02 Matlab Ec Lineales
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1 1
Sistemas de ecuaciones lineales
José Manuel Pereiras & Javier Langone
FIUBA
2 2
Indice
Matrices inversibles
Determinantes
Resolución de sistemas de ecuaciones
lineales
Refinamiento iterativo
Autovectores y autovalores
Apéndice: vectores y matrices
Bibliografía
3
Breve introducción teórica
Matrices no-singulares o inversibles:
Ej. Matlab
1Notación:
AB BA I
B A
4
Breve introducción teórica
No todas las matrices son inversibles. En cuyo caso
decimos que la matriz es singular.
Ej. Matlab
5
Breve introducción teórica
La cantidad de operaciones que se necesitan para
calcular la inversa de una matriz A de n filas por n
columnas es:
Por ej. calcular la inversa de una matriz de 100x100
requerirá alrededor de 100^3=1000000 de
operaciones aritméticas!
3n
6
Breve introducción teórica
Determinantes: el determinante de una matriz
cuadrada A es un valor real y se denota como det(A)
o |A|.
Si det(A) 0, entonces A es no-singular. Es decir, A
es inversible.
Ej. Matlab
7
Breve introducción teórica
La cantidad de operaciones que se necesitan para
calcular el determinante de una matriz A de n filas
por n columnas es:
Por ej. calcular el determinante de una matriz de
100x100 requerirá alrededor de 100! operaciones
aritméticas!
!n
8
Ejercicios en Matlab
Dada la matriz A: calcular
(a) det(A)
(b) inv(A)
1 1 2
1) 2 4 3
3 6 5
2 32)
3 5
A
A
9
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos: Eliminación de Gauss y el método
de factorización LU.
Métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y SOR.
1 11 1 12 2 1 1
2 21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
:
:
:
n n
n n
n n n nn n n
F a x a x a x b
F a x a x a x b
F a x a x a x b
𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛, 𝑥 ∈ ℝ𝑛×1, 𝑏 ∈ ℝ𝑛×1
𝐴𝑥 = 𝑏
10
Algoritmo de sustitución hacia atrás
Definición: se dice triangular superior si los elementos
siempre que .
se dice triangular inferior si los elementos siempre que
.
Si A es una matriz triangular superior, entonces Ax=b es un sistema
triangular superior que tiene la forma:
0ija
0ija
i j
i j
11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1
22 2 23 3 2 1 1 2 2
33 3 3 1 1 2 3
1, 1 1 1, 1
,
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n n n
n n n n
a x a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
a x b
𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛
𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛
11
Algoritmo de sustitución hacia atrás
1
1 1,
1
1, 1
1
: 0; para 1,2,...,
ahora que se calculó , podemos calcular el valor de :
y en gral. la k-ésima incógnita se calcula:
; para
kk
nn
nn
n n
n n n n
n
n n
n
k kj j
j k
k
kk
Condición a k n
bx
a
x x
b a xx
a
b a x
x ka
1, 2,...,1n n
12
Métodos directos: el método de eliminación de Gauss
Para resolver el sistema Ax=b con n ecuaciones y n
incógnitas vamos a construir un sistema triangular
superior equivalente, Ux=b, que pueda ser resuelto
utilizando el algoritmo de sustitución hacia atrás.
Dos sistemas lineales de dimensión nxn se dicen
equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.
13
Eliminación de Gauss
Para resolver el sistema de ecuaciones Ax = b es
suficiente guardar los coeficientes en un arreglo de
dimensión n x (n+1). Los coeficientes de b se
almacenan en la columna n+1 del arreglo. La matriz
aumentada se denota [A|b] y el sistema tiene la
siguiente representación:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
|
n
n
n n nn n
a a a b
a a a bA b
a a a b
14
Eliminación de Gauss
Operaciones de fila elementales: las siguientes
operaciones pueden ser aplicadas a la matriz
aumentada para obtener un sistema
equivalente:
Intercambiar el orden de dos filas
Multiplicar una fila por una constante no nula
Reemplazar una fila por la suma de esa fila y un
múltiplo no nulo de otra fila, es decir,
multiplicador
r rp p r
rp
F m F F
m
15
Eliminación de Gauss
Pivote: El número en la matriz de
coeficientes A que se utiliza para eliminar ,
donde , recibe el nombre de r-
ésimo pivote.
rra
kra
1, 2,...,k r r n
16
Ejemplo (sin pivoteo)
1 2 3 4
1 3 42
1 2 3 4
1 2 3 4
2 21 1 2
21 21 11
3
31 31 11
41 41 11
2 4 13
2 0 4 3 28
4 2 2 20
3 3 2 6
La matriz aumentada es
pivote 132 1 4m
m 2 282 0 4 3m
m 4 204 2 2 1
m 3 63 1 3 2
x x x x
x x xx
x x x x
x x x x
F F Fa a
Fa a
a a
1
31 1 3
4 41 1 4
3 32 2 3
32 32 22
4 42 2 4
42 42 22
43
m
1 2 1 4 13
2 5 pivote 2m
m 1.5 326 2 15m
m 1.75 457 6 14
pivote
m
F F
F F F
F F Fa a
F F Fa a
a
2
4
-3
-4
4 43 3 4
43 33
1 2 1 4 13
4 2 5 2m
357.5
1.9 48.59.5 5.25
1 2 1 4 13
4 2 5 2
355 7.5
189
Utilizando el algoritmo
2
4
3
2
4 1
de su
.5
3 1.75
F F F
a
1.5
-1.75
-1
-5
.9
4 3 2 1
stitución hacia atrás obtenemos:
18 35 7.5*2 2, 4, 1, 3
9 5x x x x
17
Método de eliminación de Gauss con pivoteo parcial
Objetivo: construir un sistema triangular superior equivalente que
pueda ser resuelto aplicando el método de sustitución hacia atrás.
Pivoteo parcial:
El pivote se hace cero:
Pivoteo para reducir el error: 1, 1,max , ,..., ,kp pp p p n p npa a a a a
( ) ( )0; buscar 0 con p p
pp kpa a k p
18
Pivoteo para reducir el error Como la computadora tiene una cantidad finita de dígitos para realizar las cuentas,
es posible que se introduzca un pequeño error cada vez que se realiza una operación
aritmética. Por ejemplo, el sigu 1 2
1 2
1 2
iente sistema tiene solución 1.000
1.133 5.281 6.414
24.14 1.210 22.93
Supongamos que trabajamos con una máquina que tiene 4 dígitos de precisión y que
utilizamos el método de eliminación d
x x
x x
x x
2 21 1 2
21
e Gauss pivoteo para calcular la solución
del sistema.
1.133 5.2816.414 6.4145.281
22.93 24.14 1.133 21.31 113.824.14 1.210 113.7
Utilizando sustitución hacia atrás d
sin
F m F F
m
1.133
21.31
2
1
espejamos las incógnitas:
113.8 113.7 1.001
6.414 5.281 1.001 1.133 6.414 5.286 1.133 0.9956
x
x
19
Pivoteo para reducir el error (cont.)
21El error se debe a la magnitud del mutiplicador 21.31.
Para reducir la magnitud del multiplicador, primero vamos a intercambiar el orden
de las ecuaciones y luego resolver el sistema equivalente con
m
2 1
2 21 1 2
21
el método de Gauss.
1.133 5.281 6.414 22.931.210
24.14 1.210 22.93 6.4141.133 5.281
24.14 1.210 22.93
1.133 24.14 0. 0.046904693 5.3385.338
Utilizando sustitución hacia
24.14
3
F F
F m F F
m
2
1
atrás despejamos las incógnitas:
5.338 5.338 1.000
22.93 1.210 1.000 24.14 1.000
x
x
20
Ejemplo (con pivoteo)
1 2 3 4
1 3 42
1 2 3 4
1 2 3 4
3 1
2 4 13 1 2 1 4 13
2 0 4 3 28 2 0 4 3 28 A b
4 2 2 20 4 2 2 1 20
3 3 2 6 3 1 3 2 6
1 2 1 4 13 4 2 2 1 20
2 0 4 3 28 2 0 4 3 28
20 1 2 1 4 134 2 2 1
6 3 1 3 2 63 1 3 2
x x x x
x x xx
x x x x
x x x x
F F
2 21 1 2
21 21 11
3 31 1 3
31 31 11
4 41 1 4
41 41 11
4 2
pivote 202 2 1m
m 1 2 282 0 4 3m
m 1 4 131 2 1 4m
m 3 4 63 1 3 2
4 2 2 1 4 2 220
1 3 2.5 18
1.5 0.5 3.75 8
212.5 4.5 2.75
F F Fa a
F F Fa a
F F Fa a
F F
1 2
1 4
-3 4
4
3 32 2 3
32 32 22
4 42 2
42 42 22
1 4 2 2 1 20 20
2.5 4.5 2.75 4.5 2.75 pivote21 21m
m 0.61.5 0.5 3.7
1 2
1 4
3 4
2.5
5 8 1.5 0.5 3.75 8m
m 0.418 181 3 2.5 1 3 2.5
F F Fa a
F F Fa a
1 2
1 4
-3 4 -4
4 3
43 43 33
4 2 2 1 4 2 2 120 20
2.5 4.5 2.75 2.5 4.5 2.7521 21
2.2 2.1 4.6 4.8 3.6 26.4
26.4 4.64.8 3.6 2.2 2.1
pivot
1 2 1 2
1 4 1 4 0.6
3 4 3 4 0
e
.4
m
F F
a a
0.6
- -0.4 -
4 43 3 4
4 2 2 14 2 2 120 20
2.5 4.5 2.752.5 4.5 2.75 21 21m
4
1 21 2
1 4 0.61 4 0.6
3 4 0.4 3 4 0.
.8 3.63.6 26.4 26.4
0.4583 4.6 7.52.2 2.1 3.75
Utilizando el algoritmo de sustitució
4 0.4
.
8
8
5 3
4F F F
- -
4 3 2 1
n hacia atrás obtenemos:
7.5 26.4 3.6*2 2, 4, 1, 3
3.75 4.8x x x x
21
El método de factorización LU
Definición: se dice que una matriz no-singular A
tiene una factorización triangular si puede ser
expresada como el producto de una matrix
triangular inferior L y una matriz triangular
superior U:
En notación matricial:
A LU
11 12 13 14 11 12 13 14
21 22 23 24 21 22 23 24
31 32 33 34 31 32 33 34
41 42 43 44 41 42 43 44
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
a a a a u u u u
a a a a m u u u
a a a a m m u u
a a a a m m m u
22
El método de factorización LU (cont.)
Supongamos que A tiene una factorización
triangular y queremos resolver el sistema Ax=b:
La solución se obtiene definiendo y
resolviendo dos sistemas:
Primero resolver:
y luego resolver:
Ax LUx b
Ly b
Ux y
y Ux
23
Ejemplo: resolver el sistema mediante factorización LU
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 21
2 8 6 4 52
3 10 8 8 79
4 12 10 6 82
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 4 1 1 0 0 0 1 2 4 1
2 8 6 4 2 1 0 0 0 4 2 2
3 10 8 8 3 1 1 0 0 0 2 3
4 12 10 6 4 1 2 1 0 0 0 6
21
2 52:3 79
4 2 82
Utilizando el método de sustitución hacia adelante se obt
A LU
y
y yLy b
y y y
y y y y
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
iene:
21, 52 2(21) 10, 79 3(21) 10 6, 82 4(21) 10 2(6) 24
es decir: 21 10 6 24
Ahora se resuelve el sistema
2 4 21
4 2 2 10
2 3 6
6 24
Utilizando el método de sustituc
t
y y y y
y
Ux y
x x x x
x x x
x x
x
4 3 2 1
ión hacia adelante se obtiene:
24 ( 6) 4, (6 3(4)) ( 2) 3, (10 2(4) 2(3)) 4 2, 21 4 4(3) 2(2) 1, es decir ,
1 2 3 4t
x x x x
x
24
El método de factorización LU (cont.)
Si no se hicieron intercambios de filas (pivoteo)
en el método de eliminación de Gauss,
entonces los multiplicadores son las entradas
que están por debajo de la diagonal de L.
ijm
2 1 2
3 2 3
3 1 3
4 3 1 4 3 1 4 3 10.5
2 4 5 2.5 4.5 0.5 2.5 4.50.25
1 2 6 1.25 6.25 8.5
1
0.5 0.5
0.25 0
0 0 4 3 1
0.5 1 0 0 2.5 4.5
0.25 0.5 1 0 0
.25 0.5
8.5
F F FF F F
F F F
A LU
25
El método de factorización LU (cont.)
Matrices de permutación
No siempre se puede obtener una factorización LU
sin realizar intercambio de filas.
Definición: una matriz de permutación P es una
matriz que tiene precisamente un elemento cuyo
valor es uno en cada columna y en cada fila y
todos sus demás elementos son cero. Por
ejemplo:
1 0 0
0 0 1
0 1 0
P
26
El método de factorización LU (cont.)
Teorema: Si A es una matriz no-singular,
entonces existe una matriz de permutación P tal
que PA tiene una factorización triangular:
PA LU
27
Matlab
28
Métodos de eliminación directa
La cantidad de operaciones que se necesitan para
resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas
por alguno de los métodos de eliminación directa es:
Por ej. calcular resolver un sistema de 1000x1000 se
requerirán alrededor de 1000^3=1000000000 de
operaciones aritméticas!
3n
29
Errores en Metodos Directos
1.)(
).(.2
cot
).(
0).(1
).(.).(1
)(
.
AAAK
AK
porbyAdeerroreslosandoA
pequenoesAKcuandodasimplificaformaEn
AK
AKAK
AK
bxA
x
A
A
bA
A
x
30
Métodos iterativos
Los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales no se adaptan muy bien cuando las matrices son ralas, es decir, tienen muchos 0’s por las siguientes razones:
A medida que se aplica el proceso de eliminación directa, ciertos elementos de la matriz que inicialmente eran nulos, dejan de serlo. Por lo tanto, aumenta considerablemente el espacio de almacenamiento utilizado por la matriz.
La mayoría de las operaciones aritméticas que realizan estos métodos se aplican a elementos nulos, desperdiciando tiempo de cómputo.
Una alternativa es utilizar métodos iterativos que realizan aproximaciones sucesivas para obtener soluciones cada vez más precisas en cada iteración. Los requerimientos de memoria para éstos son en general menores en orden de magnitud.
31
Métodos iterativos
Aproximación inicial al vector solución x.
Generación de una sucesión de vectores que converge a x.
Se convierte al sistema en un sistema equivalente de la forma . Para alguna matriz T de nxn y algún vector c.
La sucesión de vectores solución se genera calculando: para cada k=1,2,3,…
Ideales para resolver sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros: eficientes en términos de almacenamiento y tiempo de cómputo.
(0)x
( )
0
k
kx
Ax b
x Tx c
( ) ( 1)k kx Tx c
32
Métodos iterativos
Ventajas:
eficientes en términos de almacenamiento
eficientes en tiempo de cómputo
Desventajas
no siempre convergen a la solución!
33
Método iterativo de Jacobi
Dada la i-ésima ecuación del sistema Ax=b,
Si se despeja asumiendo que el resto de los
coeficientes de x permanecen sin cambios, se
obtiene
Esto sugiere un método iterativo definido por:
Desventaja: el método converge lentamente.
1
n
ij j i
j
a x b
ix
para 1,2,...,i i ij j ii
j i
x b a x a i n
1 para 1,2,...,
kk
i i ij j ii
j i
x b a x a i n
34
Método iterativo de Jacobi
]2308.01538.14615.1[
13
043
22
321
321
321
s
xxx
xxx
xxx
35
Método iterativo de Jacobi
1.3
1
13
3.4
1
043
2.2
1
22
21
1
3
321
31
1
2
321
32
1
1
321
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
333.00333.0
624.0833.00
416.1833.01
36
Método iterativo de Gauss Seidel
1.3
1
13
3.4
1
043
2.2
1
22
1
2
1
1
1
3
321
3
1
1
1
2
321
32
1
1
321
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
37
38
Método iterativo de Gauss-Seidel
El método iterativo queda definido por:
Ventajas: en gral. converge más rápido que
Jacobi, aunque hay excepciones.
1
1
1 1
i nk k k
i i ij j ij j ii
j j i
x b a x a x a
39
Método iterativo de Gauss-Seidel
En forma matricial el método de Gauss-Seidel
puede ser representado como:
1
1 11
o
para cada 1,2,...
k k
k k
D L x Ux b
x D L Ux D L b k
40
Métodos iterativos: análisis de la convergencia
Para estudiar la convergencia de las técnicas
generales de iteración, consideramos la fórmula:
x(k)=Tx(k-1)+c para cada k=1,2,…
donde x(0) es arbitrario. Este estudio requerirá
del siguiente lema:
LEMA: Si el radio espectral (T) satisface que
(T)<1, entonces (I-T)-1 existe y
(I-T)-1 =I+T+T2+…
41
Radio espectral
Definición: el radio espectral (A) de una
matriz A se define como:
donde es un autovalorA máx
42
Métodos iterativos: análisis de la convergencia (cont.)
Teorema: Para cualquier vector x(0), la sucesión
{x(k)}∞k=0 definida por:
x(k) = Tx(k-1) + c para cada k≥1 y c≠0
converge a la solución única de donde x=Tx+c
si y sólo si (T)<1.
43
Métodos iterativos: análisis de la convergencia (cont.)
Corolario: Si ||T||<1 para cualquier norma matricial
natural, entonces la sucesión {x(k)}∞k=0 en la
ecuación:
x(k) = Tx(k-1) + c
converge para cualquier vector inicial x(0), a un
vector x y se satisfacen las siguientes cotas de
error:
0
1 0
1)
2) 1
kk
k
k
x x T x x
Tx x x x
T
44
Métodos iterativos: análisis de la convergencia (cont.)
Para aplicar los resultados del teorema anterior a
las técnicas iterativas de Jacobi y Gauss-Seidel,
necesitamos escribir las matrices de iteración
del método de Jacobi, Tj, y del método de
Gauss-Seidel, Tg, como:
1
1
j
g
T D L U
T D L U
45
Métodos iterativos
Si la matriz es estrictamente diagonal dominante,
tanto el método iterativo de Jacobi como el de
Gauss-Seidel convergen a la solución para
cualquier aproximación inicial x(0).
1
n
ii ij
jj i
a a i
46
Método iterativo SOR (Successive Over-Relaxation) o método de sobre-relajación
El método utiliza el promedio ponderado entre el
valor de la iteración anterior y el valor calculado
por el método de Gauss-Seidel.
El método iterativo queda definido por:
1
1 1
1 1
1
para 0 2
i nk k k k
i i i ij j ij j
j j iii
x x b a x a xa
47
Ej. Método iterativo SOR
Resolver el sistema Ax=b por el método iterativo de Gauss-Seidel y luego por el método iterativo SOR con =1.25.
Para obtener una precisión de siete decimales buenos el método de Gauss-Seidel requiere de 38 iteraciones en contra de las 23 que se necesitan para el método SOR con =1.25.
Problema: determinar el valor de que acelere la convergencia.
1 2
1 2 3
2 3
4 3 24
3 4 30
4 24
x x
x x x
x x
48
Ej. Método iterativo SOR (Matlab)
49
Refinamiento iterativo
Si las cuentas se realizaran con una aritmética
infinita, es decir, teniendo en cuenta todos los
decimales, se encontraría la solución exacta
luego de una cantidad finita de operaciones.
Pero como en los hechos se utilizan
computadoras para resolver grandes sistemas
de ecuaciones lineales, la solución exacta no se
alcanza. Se tiene entonces una aproximación x0
a la solución x del sistema de ecuaciones
lineales Ax=b y el vector de residuos es:
r0 = Ax0 – b
50
Refinamiento iterativo (cont.)
0
1
0 1
1 0
1 0
1 0
1 0 1
1 1 1 1 1 0 1
(cambio de variables)
Se resuelve
Con el valor de se resuelve para obtener
El procedimiento se repite hasta alca
r
LU
y
Ax b
A x x b
A x b Ax
A x r
LU x r
L y r y
y U x y x x x x
nzar la precisión satisfactoria.
51
Refinamiento iterativo (cont.) Pseudo-código
( )
( )
1
1 1
1 1
1
1
1
Paso 1: Calcular
Paso 2: Resolver
Paso 3: Resolver
Paso 4: Calcular
Paso 5: Si entonces Devolver . PARAR.
Paso
permutado
n n
permutado
n n
n n
n n n
n n
n
n
r b Ax
L y r
U x y
x x x
x xTOL x
x
6: Volver al Paso 1.
52
Autovectores y Autovalores
Un autovalor de una matriz cuadrada es un
escalar generalmente representado por la letra
griega .
Un autovector es un vector no nulo,
representado con la letra x.
Todos los autovectores y autovalores de una
matriz cuadrada satisfacen la siguiente
propiedad:
0A I x
Ax x
53
Ej. Matlab
1
2
3
21 0 1
12 2 1 3 2
21 0 0
13 2
2
A i
i
54
Apéndice
Vectores
Matrices
55
Apéndice
Vectores
Definición: un vector real de dimensión n es un conjunto
ordenado de n números reales.
Notación:
Matlab:
1
2 1
1 2
1
1 2
, , ,
, , ,
t nx
n
n
t t xn
n
x
xx x x x x
x
x x x x x
56
Apéndice
Algebra de vectores
1
1 1
2 2
1
2
1 1
2 2
Sean ,
para 1, 2,...,
( )
nx
j j
n n
n
n n
x y
x y x y j n
x y
x yx y
x y
x
xx
x
x y
x yx y x y
x y
ℝ
57
Apéndice
Algebra de vectores (cont.) 1 1
1
2
1 1
2 2
1 1 2 2
Sean , ; ; ,
.
..
.
. .
. .. .
. .
. ... . Si . 0, y son ortog
nx xn
n
n n
n n
x y z c d
c x
c xc x
c x
c x d y
c x d yc x d y
c x d y
z x z x z x z x z x z x z x
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
onales (perpendiculares).
...
.... , .
...
...
n
n nxn
n n n n
x z x z x z
x z x z x zx z x z
x z x z x z
ℝ ℝ ℝ
ℝ
ℝ
58
Matlab
59
Apéndice
Normas de vectores
Definición: La norma de un vector es un número real que representa el "tamaño" del vector.
Utilizaremos la norma infinito.
1
1
2 2 2
2 1 2
1
|| || | |
|| || ...
|| || | |
n
i
i
n
ii n
x x
x x x x
x máx x
60
Matlab
61
Apéndice
Algebra de vectores
Propiedades
1Sean , ; , ,
1) Propiedad conmutativa:
2) Neutro de la suma: 0 0
3) Inverso aditivo: ( ) 0
4) Propiedad asociativa:
5) Propiedad distributiva para escalares:
nxa b x y z
y x x y
x x
x x x x
x y z x y z
a b x a
. .
6) Propiedad distributiva para vectores: . . .
7) Propiedad asociativa para escalares: . . . .
x b x
a x y a x a y
a b x a b x
ℝ ℝ
62
Ejercicios en Matlab
Dados los vectores x e y: calcular (a) x+y (b) x-y
(c) 3.x (d) ||x||1 (e) ||x||2 (f) ||x||∞ (g) 7.y-4.x (h)
x.yt (i) xt.y
1. x=(3, -4)t y=(-2,8)t
2. x=(-6, 3, 2)t y=(-8, 5, 1)t
3. x=(4, -8, 1)t y=(1, -12, -11)t
4. x=(1, -2, 4, 2)t y=(3, -5, -4, 0)t
5. x=(-6, 4, 2)t y=(6, 5, 8)t
63
Apéndice
Matrices Definición: Una matriz de mxn es un arreglo rectangular de
elementos de m filas y n columnas en el cual no sólo es
importante el valor de un elemento, sino también su posición.
Notación:
Matlab:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2 ,
;
j n
j n
mxn
ij
i i ij in
m m mj m n
a a a a
a a a a
A a Aa a a a
a a a a
64
Apéndice
Algebra de matrices
Sean A, ; ,
para i 1,2,..., y para 1,2,...,
para i 1,2,..., y para 1,2,...,
para i 1,2,..., y para 1,2,...,
( ) par
mxn
ij ij
ij ij mxn
ij mxn
ij ij mxn
B c d
A B A B m j n
A B a b m j n
A a m j n
A B A B a b
a i 1,2,..., y para 1,2,...,
. . para i 1,2,..., y para 1,2,...,
. . . . para i 1,2,..., y para 1,2,...,
ij mxn
ij ij mxn
m j n
c A c a m j n
c A d B c a d b m j n
ℝ ℝ
65
Apéndice
Algebra de matrices: suma de matrices
Sean , ; , ,
1) Propiedad conmutativa: A
2) Neutro de la suma: 0 0
3) Inverso aditivo: ( ) 0
4) Propiedad asociativa:
5) Propiedad distributiva para escalares:
mxnp q A B C
B B A
A A
A A A A
A B C A B C
p q A p
. .
6) Propiedad distributiva para matrices: . . .
7) Propiedad asociativa para escalares: . . . .
A q A
p A B p A p B
p q A p q A
ℝ ℝ
66
Apéndice
Algebra de matrices: multiplicación de matrices
1 1 2 2
1
Sean ,
...
1, 2,..., y 1, 2,..., .
x x
ij x
n
ij ik kj i j i j in nj
p
p
m
m
n n
k
A B
AB C c
c a b a b a b a b
para i m j p
ℝ ℝ
67
Apéndice
Algebra de matrices: multiplicación de matrices
Sea un escalar; , , matrices
1) Propiedad asociativa:
2) Matriz identidad: AI=IA=
3) Propiedad distributiva a izquierda: A
4) Propiedad distributiva a derecha:
5) Propiedad
c A B C
AB C A BC
A
B C AB AC
A B C AC BC
asociativa para escalares: . . . ( . )c AB c A B A c B
68
Apéndice
Matriz transpuesta: la transpuesta de una
matriz se obtiene cambiando las filas de la
matriz por las columnas.
2 3
3 2
1 2 3
4 5 6
1 4
2 5
3 6
x
t t x
A A
A A
ℝ
ℝ
69
Apéndice
Normas de matrices
Utilizaremos la norma infinito.
11
1
11
Sea
|| || | |
|| || | |
mxn
m
ijj n
i
n
iji m
j
A
A máx a
A máx a
ℝ
70
Ejercicios en Matlab
Dadas las matrices A y B: calcular (a) A+B (b) A-B
(c) 3.A-2.B (d) ||A||1 (e) ||A||∞ (f) At (g) A.B (h)
B.A
1 9 4 4 9 2
1) 2 3 6 3 5 7
0 5 7 8 1 6
2 5 124 9 2 9
1 4 12) 3 5 7 1
7 0 68 1 6 0
11 3 8
3 2 5 03)
1 4 2 6
A B
A B
A B
71
Bibliografía
Aprenda Matlab 6.0 como si estuviera en primero, “www.universas.com/matlab/documentacion/matlab60.pdf”.
Burden, Richard L. and Douglas Faires, J., Análisis Numérico, Grupo Editorial Americana, 1994.
Mathews, John H. and Fink, Kurtis D., Numerical Methods Using MATLAB, 3rd edition, 1999.
Morelli, Ma. de los Angeles, Sistemas de Ecuaciones Lineales.