Departamento de Matematica

Escuela de Formacion Basica

Calculo IV

2015

I. Sucesiones y series numericas

Sucesiones

1. Si una pelota es lanzada desde una altura h, en medio segundo llega al suelo y rebota llegando, en otromedio segundo, hasta las tres cuartas partes de la altura anterior, y este proceso se repite indefinidamente:

(a) Escribe la altura que alcanzara luego de 1 s, 2 s, 3 s . . .n s

(b) Que ocurre a largo plazo?

2. Pensando en la posicion de la aguja del reloj que marca las horas:

(a) Escribe la posicion que marca la misma luego de 1 h, 2 h, 3 h . . .n h

(b) Que ocurre a largo plazo?

3. (a) Considera una poblacion de bacterias que inicia con una colonia de 1000 especmenes, y en cada segundoduplica la cantidad de bacterias:

i. Escribe la cantidad de bacterias luego de 1 s, 2 s, 3 s . . .n s

ii. Que ocurre a largo plazo?

(b) Se puede ver que en el caso anterior la cantidad de bacterias en cada segundo es proporcional a lacantidad en el segundo anterior Cual es la constante de proporcionalidad? Otro modelo que tieneen cuenta que al cabo de un cierto tiempo escasean los recursos para que la poblacion siga creciendo,establece que la cantidad de bacterias en cada segundo es proporcional tanto a la cantidad en elsegundo anterior como a la diferencia entre 10000 y la cantidad en el segundo anterior. Si la constantede proporcionalidad es 0.0002:

i. Escribe la cantidad de bacterias luego de 1 s, 2 s, 3 s . . .n s

ii. Que ocurre a largo plazo?

4. Si se sabe que una sucesion es decreciente y todos sus terminos son positivos, explica por que la misma esconvergente. Que se puede decir del valor del lmite?

5. La oscilacion de una estructura, dotada de un sistema de amortiguacion, ante un movimiento oscilatorio,viene dada por la funcion y (t) = 10e

t

2 cos 2t. Queremos determinar en que instante t la posicion de laestructura es y (t) = 4, lo cual es equivalente a encontrar el valor de t para el cual f (t) = 0 siendof (t) = y (t) 4.

(a) Metodo de la biseccion: Recordando el Teorema de Bolzano, busca valores de a y b para los cualesf (a) f (b) < 0 (se cumplen las hipotesis del Teorema?). Considerando a0 = a y b0 = b desarrollaalgunos pasos del siguiente algoritmo y comenta lo que vas encontrando:

mn =an + bn

2 Si f (an) f (mn) < 0 entonces an+1 = an, bn+1 = mn; si no: an+1 = mn, bn+1 = bn

(b) Metodo de la secante: Considerando nuevamente x0 = a y x1 = b calcula sucesivamente la abscisadel punto de interseccion de la secante que une los puntos (xn1; f (xn1)) y (xn; f (xn)) con el eje de

las abscisas: xn+1 =xn1f (xn) xnf (xn1)

f (xn) f (xn1)y comenta lo que vas encontrando.

6. (a) Ejercicios sugeridos de la seccion 11.1: 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, impares del 17 al 45, 57, 61, 63,65, 71. Preguntas de V o F del Repaso (pag. 759): 1, 3, 14, 15, 16, 18.

(b) Ejercicio para entregar la proxima clase: Proyecto de Laboratorio Sucesiones logsticas (pag. 687)

Series

7. (a) Escribe una sucesion que te permita calcular la distancia total recorrida por la pelota del ejercicio 1 encada segundo. La misma converge?

(b) Que ocurre si en cada rebote la pelota alcanza la misma altura que en el rebote anterior?

(c) Y si dispone de un sistema de propulsion que hace que en cada rebote duplique la altura anterior?

8. Explica por que 0, 9 = 1.

9. Para trazar la curva llamada copo de nieve de Koch se comienza con un triangulo equilatero de lado 1. Acontinuacion se divide cada lado en tres partes iguales, se traza un triangulo equilatero en la parte media yse borra el segmento que estaba en esa parte media. En el siguiente paso se repite el proceso en cada unode los lados de los triangulos resultantes:

(a) Encuentra la longitud Ln de la n-esima curva Cn y muestra que limn

Ln =

(b) Encuentra el area An de la region acotada por Cn y muestra que limn

An =8

5A1

10. Dada la sucesion {an}nN convergente, considera la sucesion

{n

k=1

ak ak+1

}

nN

(a) Escribe algunos terminos de la misma y analiza su convergencia.

(b) Analiza la convergencia den=1

2

4n2 1y de

n=1

ln

(1 +

1

n

)

11. (a) Escribe algunos terminos de

{n

k=1

1

k

}

nN

.

(b) Utiliza

{n1

dx

x

}

nN

para comparar y extraer conclusiones acerca de la convergencia de la serie anterior.

12. Si an 0n N, considera la serien=1

(1)n an.

(a) Analiza si es posible aproximar la suma de la serie con la suma parcial n-esiman

k=1

(1)k ak.

(b) En caso de serlo, estudia el error cometido en la aproximacion.

(c) Cual sera el numero de terminos adecuado para aproximar el resultado con un error menor que 103?Considera:

i.n=1

(1)n+1

n!

ii.n=1

(1)n+1

n

iii.n=1

(1)n+1

lnn

13. (a) Ejercicios sugeridos: Seccion 11.2: impares del 11 al 19, 47, 49, 59 - Seccion 11.3: 3, 5, 7, 11, 15, 17, 21- Seccion 11.4: 1, 2, 5, 17, 31, 40, 41, 42, 45 - Seccion 11.5: 3, 7, 9, 13, 23, 25, 32 - Seccion 11.6: 1, 4,13, 19, 21, 29, 33 - Seccion 11.7: todos los que quieran. Preguntas de V o F del Repaso (pag. 759): 2,5, 8, 12, 17.

(b) Realiza el ejercicio 7 de los Problemas Adicionales (pag. 761). Averigua otras formas de obtener cifrasdecimales del numero .