01 Introducción a la Probabilidad
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Control Estadístico de procesos
Ing. Julio Carreto
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Control Estadístico de
Procesos
Introducción a la Probabilidad
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Ing. Julio Carreto 3
Introducción a la Probabilidad
22 R Cada vez que realizamos un cálculo matemático para resolver un problema, lo que estamos haciendo es aplicar un modelo matemático a un fenómeno de la realidad.
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Ing. Julio Carreto 4
Introducción a la Probabilidad
Este fenómeno puede ser, por ejemplo, la caída de un objeto desde cierta altura, y en este caso utilizamos un modelo que es la Ley de Gravedad.
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Ing. Julio Carreto 5
Introducción a la Probabilidad
¿Qué es un modelo?.
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Ing. Julio Carreto 6
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Al enfrentar un problema de física, química, ingeniería o de algún otro tipo, estamos analizando e investigando una parte o aspecto de la realidad material que nos rodea.
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Ing. Julio Carreto 7
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Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una representación en la mente de cómo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que permitan calcular los efectos de los mismos.
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Ing. Julio Carreto 8
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El modelo de fuerza gravitatoria o leyes de la gravedad permite estudiar la caída de un cuerpo en el vacío.
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Ing. Julio Carreto 9
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Cuando aplicamos este modelo a la caída real de un cuerpo, estamos dejando de lado la influencia del aire, cuyo rozamiento en el cuerpo disminuye su velocidad, pero lo hacemos a sabiendas que este rozamiento es muy pequeño y por lo tanto no va a afectar demasiado nuestros cálculos.
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Ing. Julio Carreto 10
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En ningún caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es sólo una representación de la realidad, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.
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Ing. Julio Carreto 11
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Los modelos matemáticos que mencionamos hasta ahora, después de efectuar los cálculos nos dan un resultado numérico preciso, por ejemplo, que la velocidad de un automóvil es de 75,5 Km/Hora.
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Ing. Julio Carreto 12
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También podemos calcular la corriente eléctrica que circula por un cable con la Ley de Ohm y obtenemos, por ejemplo, un resultado como 5,7 Amperes:
ARV
I 7.5
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Ing. Julio Carreto 13
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Este tipo de modelos matemáticos se denominan Determinísticos.
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Ing. Julio Carreto 14
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Hay fenómenos que necesitan otro tipo de modelos matemáticos, que se denominan no determinísticos, probabilísticos o estocásticos.
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Ing. Julio Carreto 15
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Por ejemplo, supongamos que un agricultor necesita saber cuanta lluvia va a caer en los próximos meses, antes de decidir si le conviene sembrar o no esta temporada.
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Ing. Julio Carreto 16
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El agricultor se informó en la oficina de meteorología acerca de la presión barométrica, la temperatura, velocidad del viento y otros datos meteorológicos de la zona en que vive.
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Ing. Julio Carreto 17
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Sin embargo, no hay una ecuación que con todos esos datos le permita calcular los milímetros de lluvia que van a caer en un mes en forma precisa.
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Ing. Julio Carreto 18
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De la misma manera, ningún operador puede calcular cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o bajar, aún cuando tenga a su alcance todas las variables económicas disponibles para el país.
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Ing. Julio Carreto 19
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Este tipo de fenómenos No admiten un modelo determinístico, sino un modelo probabilístico, que como resultado nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje.
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Ing. Julio Carreto 20
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El resultado no es un valor determinado, sino la probabilidad de un valor.
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Ing. Julio Carreto 21
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Veamos algunos ejemplos de fenómenos o experimentos para los cuales es apropiado o conveniente utilizar un modelo probabilístico:
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Ing. Julio Carreto 22
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Experimento 1: Se lanza un dado y se anota el número
que aparece en la cara superior.
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Ing. Julio Carreto 23
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Experimento 2: Se arroja una moneda cuatro veces y se
cuenta el número total de caras obtenidas.
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Ing. Julio Carreto 24
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Experimento 3: Se arroja una moneda cuatro veces y
se anota la sucesión de caras y cecas obtenidas.
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Ing. Julio Carreto 25
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Experimento 4: Se fabrican artículos en una línea de
producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.
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Ing. Julio Carreto 26
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En todos estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir con absoluta certeza. Hay varios resultados posibles cada vez que se realiza la experiencia.
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Ing. Julio Carreto 27
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Para cada experimento del tipo que estamos considerando, se define el Espacio Muestral como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento.
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Ing. Julio Carreto 28
Introducción a la Probabilidad
Experimento 1: Se lanza un dado y se anota el número
que aparece en la cara superior.
1
4
3
2
5
6 6,5,4,3,2,1S
Espacio Muestral S
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Ing. Julio Carreto 29
Introducción a la Probabilidad
1
43
2
0 4,3,2,1,0S
Espacio Muestral S
Experimento 2: Se arroja una moneda cuatro veces y se
cuenta el número total de caras obtenidas.
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Ing. Julio Carreto 30
Introducción a la Probabilidad
xxxx
xcxxcxxxxxcxxxxcccxx
cxcxcxxcxccxxcxcxxcc
cccxccxccxccxccccccc
S,,,,,
,,,,,
,,,,,
Experimento 3: Se arroja una moneda cuatro veces y se anota
la sucesión de caras (C) y cecas (X) obtenidas.
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Ing. Julio Carreto 31
Introducción a la Probabilidad
NS ,...,3,2,1,0
Experimento 4: Se fabrican artículos en una línea de
producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.
donde N es el número máximo que pudo ser producido en 24 horas.
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Ing. Julio Carreto 32
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Un Suceso, respecto a un espacio muestral S asociado con determinado experimento, es un subconjunto de resultados del espacio muestral.
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Ing. Julio Carreto 33
Introducción a la Probabilidad
1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso
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Ing. Julio Carreto 34
Introducción a la Probabilidad
Entonces, el subconjunto formado por un solo elemento del espacio muestral es un suceso.
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Ing. Julio Carreto 35
Introducción a la Probabilidad
1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso Elemental
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Ing. Julio Carreto 36
Introducción a la Probabilidad
El conjunto formado por todos los elementos del espacio muestral también es un suceso.
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Ing. Julio Carreto 37
Introducción a la Probabilidad
1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso
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Ing. Julio Carreto 38
Introducción a la Probabilidad
Y también lo es el conjunto vacío.
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Ing. Julio Carreto 39
Introducción a la Probabilidad
Hemos visto que dado un experimento cualquiera, hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos los resultados que se pueden obtener de la experiencia.
Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso.
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Ing. Julio Carreto 40
Introducción a la Probabilidad
Ahora ¿Cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es grande o pequeña?
Por ejemplo, si arrojamos un dado, ¿Cómo podemos calcular la probabilidad de que salga un 2 ?.
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Ing. Julio Carreto 41
Introducción a la Probabilidad
Para esto necesitamos un número asociado con cada suceso, al cual se lo denomina probabilidad del suceso.
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Ing. Julio Carreto 42
Introducción a la Probabilidad
Entonces, la probabilidad P de un suceso es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra el suceso.
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Ing. Julio Carreto 43
Introducción a la Probabilidad
Si la probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrirá con toda certeza.
Si la probabilidad es 0,5 significa que un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma probabilidad.
Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es imposible que ocurra.
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Ing. Julio Carreto 44
Introducción a la Probabilidad
¿Cómo podemos calcular la Probabilidad de un suceso?
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Ing. Julio Carreto 45
Introducción a la Probabilidad
La respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla y depende del experimento y de su espacio muestral asociado.
Hay casos simples en los que el cálculo es relativamente sencillo.
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Ing. Julio Carreto 46
Introducción a la Probabilidad
En primer término, supondremos que se trata de un experimento cuyo espacio muestral es finito y tiene un número pequeño de resultados posibles.
En segundo término, supondremos que todos los resultados que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen la misma probabilidad de ocurrir.
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Ing. Julio Carreto 47
Introducción a la Probabilidad
Con estas dos hipótesis, la fórmula para calcular la probabilidad es muy sencilla.
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Ing. Julio Carreto 48
Introducción a la Probabilidad
Supongamos que se trata de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral S tiene N elementos (N resultados posibles).
Deseamos calcular la probabilidad de un suceso H (Un subconjunto H del espacio muestral S) que tiene m elementos.
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Ing. Julio Carreto 49
Introducción a la Probabilidad
De acuerdo a lo dicho previamente, el número N tiene que ser pequeño y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser la misma.
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Ing. Julio Carreto 50
Introducción a la Probabilidad
Espacio Muestral S
Suceso H
N elementos
m elementos
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Ing. Julio Carreto 51
Introducción a la Probabilidad
Entonces la probabilidad P de que ocurra el suceso H es:
Nm
P
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Ing. Julio Carreto 52
Introducción a la Probabilidad
Veamos algunos ejemplos. Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos a que salga un número igual o menor que 4.
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Ing. Julio Carreto 53
Introducción a la Probabilidad
Sabemos que son igualmente posibles los números: {1, 2, 3, 4, 5 y 6} (Espacio muestral con 6 elementos).
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Ing. Julio Carreto 54
Introducción a la Probabilidad
Pero los números favorables a nuestra apuesta son: {1, 2, 3 y 4} (Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad de que ganemos es:
...666,064 P
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Ing. Julio Carreto 55
Introducción a la Probabilidad
1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso
...666,064 P
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Ing. Julio Carreto 56
Introducción a la Probabilidad
Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de 0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %).
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Ing. Julio Carreto 57
Introducción a la Probabilidad
Si apostamos a un sólo número, por ejemplo a que sale un as, la probabilidad de ganar sería:
...1666,061 P
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Ing. Julio Carreto 58
Introducción a la Probabilidad
1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso
...1666,061 P
![Page 59: 01 Introducción a la Probabilidad](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062303/5587bd65d8b42aa8658b45f2/html5/thumbnails/59.jpg)
Ing. Julio Carreto 59
Introducción a la Probabilidad
Repitiendo, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra un suceso.
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Ing. Julio Carreto 60
Fin de la
sección