Pgina 1 de 5

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA 243005 SISTEMAS DINMICOS

FUNCIN DE TRANSFERENCIA

1. RESPUESTA IMPULSO La respuesta impulso de un sistema lineal es la respuesta del sistema a una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Para el caso de sistemas continuos la entrada corresponde a la funcin delta de Dirac. La respuesta impulso del sistema se puede determinar a partir de la ecuacin que lo describe. Ejemplo 1 Encuentre la respuesta impulso del sistema representado por la siguiente ecuacin diferencial:

2 ( ) 4 ( ) 3 ( )y t y t x t

Solucin: Haciendo ( ) ( )x t t se obtiene la respuesta ( ) ( )y t h t . Por lo tanto, ( )h t debe satisfacer la siguiente ecuacin diferencial:

2 ( ) 4 ( ) 3 ( )h t h t t

Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuacin y recordando que las condiciones iniciales son cero, se obtiene:

2 ( ) 4 ( ) 3sH s H s

Despejando ( )H s ,

2 ( )( 2) 3H s s

3 1

( )2 2

H ss

Ahora, se aplica la transformada inversa de Laplace a ( )H s para hallar ( )h t o

respuesta impulso:

1 23 1 3( )2 2 2

th t es

L

Pgina 2 de 5

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA 243005 SISTEMAS DINMICOS

2. FUNCIN DE TRANSFERENCIA En general, cualquier sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) puede modelarse mediante una ecuacin diferencial de la forma:

1 1

1 1 0 1 11 1

n n m m

n n m mn n m m

d y d y dy d u d u dua a a y b b b b u n m

dt dt dt dt dt dt

donde (1)

Esta ecuacin diferencial relaciona la seal de salida ( )y t de un sistema con la

seal de entrada ( )u t del mismo, y permite conocer la respuesta de dicho sistema

a una seal de entrada determinada, mediante su resolucin. A esta ecuacin se le denomina ecuacin diferencial caracterstica del sistema. Sin embargo, el tratamiento analtico del sistema a travs de la ecuacin diferencial caracterstica es, en general, complejo. Es por ello que se introduce el concepto de funcin de transferencia. La funcin de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo se obtiene realizando la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial caracterstica del sistema, con condiciones iniciales nulas. Es decir, para obtener la funcin de transferencia del sistema lineal que est representado la ecuacin (1), se aplica la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuacin y se suponen condiciones iniciales cero. El resultado es:

1 11 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )

n n m mn n m ms a s a s a Y s b s b s b s b U s

Entonces, la funcin de transferencia entre ( )y t y ( )u t est dada por:

1

0 1 11

1 1

( )( )

( )

m mm m

n nn n

b s b s b s bY sG s

U s s a s a s a

(2)

Donde, ( )U s es la transformada de Laplace de la entrada del sistema y ( )Y s es la

transformada de Laplace de la salida del mismo. La funcin de transferencia contiene toda la informacin de la dinmica del sistema. En concreto, la caracterstica dinmica del sistema depende fundamentalmente de las races del polinomio del denominador de la funcin de transferencia; estas races se denominan polos de la funcin de transferencia.

Pgina 3 de 5

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA 243005 SISTEMAS DINMICOS

Para que un sistema sea fsicamente realizable, el orden del denominador debe ser mayor o igual (de hecho en la prctica siempre es mayor) que el orden del numerador, de este modo se garantiza que el sistema es causal. Por ltimo, hay que resaltar que la funcin de transferencia no ofrece informacin sobre la estructura fsica del sistema, con lo cual diversos sistemas fsicos pueden tener la misma funcin de transferencia, aplicndose, de este modo, el concepto de sistema anlogo. Los sistemas anlogos son tiles cuando alguno de los sistemas es complejo, caro, frgil o de respuesta muy lenta (por ejemplo, en aplicaciones con prototipos electrnicos). Algunas de las propiedades de la funcin de transferencia se resumen a continuacin: La funcin de transferencia est definida solamente para un sistema lineal

invariante en el tiempo. No est definida para sistemas no lineales. La funcin de transferencia entre un par de variables de entrada y de salida es

la relacin entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada.

Todas las condiciones iniciales del sistema son cero. La funcin de transferencia de un sistema de tiempo continuo se expresa slo

como una funcin de la variable compleja s . No es funcin del tiempo, o de cualquier otra variable que se utilice como la variable independiente.

Ejemplo 2 Encuentre la funcin de transferencia del sistema que tiene como modelo matemtico la siguiente ecuacin diferencial:

6 8 5y y y u u

Solucin: La funcin de transferencia se puede hallar aplicando la propiedad de la diferenciacin real:

2 ( ) (0) (0) 6 ( ) (0) 8 ( ) ( ) (0) 5 ( )s Y s sy y sY s y Y s sU s u U s Teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son cero, se tiene

2 ( ) 6 ( ) 8 ( ) ( ) 5 ( )s Y s sY s Y s sU s U s

Pgina 4 de 5

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA 243005 SISTEMAS DINMICOS

Agrupando trminos y despejando se obtiene:

2

( ) 5( )

( ) 6 8

Y s sG s

U s s s

3. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS A continuacin se presenta el listado de las referencias bibliogrficas requeridas: Dorf, R & Bishop, R. (2011). Mathematical models of systems. En: Modern control

systems. (12a. ed.). (pp. 49-160). Estados Unidos: Prentice Hall. Golnaraghi, F. & Kuo, B. (2010). Mathematical foundation. En: Automatic control

systems (9a.ed.). (pp. 16-103). Estados Unidos: John Wiley & Sons. Ogata, K. (2010). Modelado matemtico de sistemas de control. En: Ingeniera de

control moderna (5a. ed.). (pp. 13-62). Madrid, Espaa: Pearson Education. Nise, N. (2011). Modeling in the frequency domain. En: Control Systems

Engineering (6a ed.). (pp. 33-116). Estados Unidos: John Wiley & Sons. A continuacin se presenta el listado de las referencias bibliogrficas complementarias: Curso virtual de anlisis de sistemas dinmicos. Recuperado en

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html Design and analyze control systems. Recuperado en

http://www.mathworks.com/help/control/index.html La funcin de transferencia. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=lB7DJ-nWo4Y La respuesta impulso. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=mHk3JDCH96M Modelizacin de sistemas elctricos funcin de transferencia 1. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=kss5cVkdxqM Modelizacin de sistemas elctricos funcin de transferencia 2. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=8u3zh9VMlvw Modelizacin de sistemas elctricos funcin de transferencia 3. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=bnnLEGM7aKg Modelizacin de sistemas elctricos funcin de transferencia 4. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=wZeW6vZZbpg Modelizacin de sistemas mecnicos funcin de transferencia 1. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=MmfEheSENLc Modelizacin de sistemas mecnicos funcin de transferencia 2. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=58i-jO3LJbY Modelizacin de sistemas mecnicos funcin de transferencia 3. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=L8gYgnOMA08 Modelizacin de sistemas mecnicos funcin de transferencia 4. Recuperado en

https://www.youtube.com/watch?v=yrq8caS4FwE Modelizacin de sistemas mecnicos rotacin funcin de transferencia 1.

Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=axHUmMOEiWk

Pgina 5 de 5

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA 243005 SISTEMAS DINMICOS

Modelizacin de sistemas mecnicos rotacin funcin de transferencia 2. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=zONWoTRrEqQ

Problemas resueltos de sistemas automticos. Recuperado en http://www.inevid.com/p/sistemas-automaticos.html

Resolucin de ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=fnlNB-yer6Q

Teora de control bsica. Recuperado en http://controltheory.org/index_spa.html