01 ejer 1 2-3-4 zapatas 6º (10-11)

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1 ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE ING. DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS ASIGNATURA: PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CIMENTACION PLAN 83/84/ 6ºCURSO / AÑO 10/11 EJERCICIO Nº 1 ZAPATAS: CARGAS DE HUNDIMIENTO Una zapata que puede considerarse indefinida en la dirección perpendicular al plano del dibujo, con un ancho de 3 m y un canto de 2 m, se construye empotrada en un terreno sumergido que tiene las características siguientes: peso específico saturado γ sat = 2 t/m 3 , ángulo de rozamiento interno φ’ = 23º y cohesión c’ = 1,2 t/m 2 , ambos en tensiones efectivas. Sobre la zapata actúa una carga lineal P = 54 t/m y un momento M = 6,3 mt/m en la posición de la figura. La densidad del hormigón es de 2,5 t/m 3 . Se pide: Suponiendo que el nivel del agua coincide con la superficie del terreno calcular el valor de la presión unitaria de hundimiento a largo plazo según Brinch Hansen y el coeficiente de seguridad al hundimiento de la zapata. Madrid, 3 de Febrero de 2011 El Catedrático

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ASIGNATURA: PROCEDIMIENTOS ESPECIALES DE CIMENTACIO N

PLAN 83/84/ 6ºCURSO / AÑO 10/11

EJERCICIO Nº 1 ZAPATAS: CARGAS DE HUNDIMIENTO Una zapata que puede considerarse indefinida en la dirección perpendicular al plano del dibujo, con un ancho de 3 m y un canto de 2 m, se construye empotrada en un terreno sumergido que tiene las características siguientes: peso específico saturado γsat = 2 t/m3, ángulo de rozamiento interno φ’ = 23º y cohesión c’ = 1,2 t/m2, ambos en tensiones efectivas.

Sobre la zapata actúa una carga lineal P = 54 t/m y un momento M = 6,3 mt/m en la posición de la figura. La densidad del hormigón es de 2,5 t/m3.

Se pide:

Suponiendo que el nivel del agua coincide con la superficie del terreno calcular el valor de la presión unitaria de hundimiento a largo plazo según Brinch Hansen y el coeficiente de seguridad al hundimiento de la zapata.

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EJERCICIO Nº 1 SOLUCION

qh = c. Nc. sc. dc. ic + γ1. D. Nq . sq. dq. iq + 2

1. B. γ2. Nγ . sγ. dγ. iγ

Nq = tan2 (45 + φ /2).e π tanφ = 8,66

φ =23º Nc = (Nq -1) / tan φ = 18,04

Nγ = 1,5 (Nq -1) tan φ = 4,87

Dimensiones virtuales en función de la excentricidad W’ = 3,00. 2,00. (2,50 -1) = 9,00 t/m (peso sumergido)

954

3,6

+=e = 0,1 e’ = 1,5 – 0,1 = 1,4 B* = 2,8 m

Coeficientes de forma: sq = sc =sγ = 1 (por ser zapata indefinida) Coeficientes de profundidad:

dq= 1 + 2 tan φ (1 − sen φ )2 *B

D= 1 + 2.tan 23 (1-sen 23)2.

8,2

2= 1,225

dc = 1

1

−−

q

qq

N

Nd=

166,8

166,8.225,1

−−

= 1,254

dγ= 1

Coeficientes de inclinación: iq = ic =iγ = 1 (por ser carga centrada) q h = 1,2.18,04.1.1,254 + 2.1.8,66.1.1,225 + ½ .2,8.1.4,87.1.1=27,15 + 21,22 + 6,82= 55,19 t/m2

q real = 8,2

954 += 22,5 t/m2 Fh =

5,22

19,55= 2,45

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EJERCICIO Nº 2 ZAPATAS: ASIENTOS

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EJERCICIO Nº 2 SOLUCION 1º) Asiento como zapata flexible

Para el cálculo de los asientos aplicamos la fórmula de Schleicher que nos da el asiento

en la esquina de un rectángulo de dimensiones L x B (se suele suponer B ≤ L, aunque el

resultado final de k por B resulte el mismo), cargado con una carga uniforme q:

E

qBks

)21( ν−= , siendo k =

+++++

)1(ln11

ln1 2

2

nnn

nn

π con

B

Ln = (pag 224 G y C

II)

También se puede obtener k → tabla 3.12 pág 1101 → fig 3.52 pág 224

Asiento en el centro:

2/250

3.12

9000mkNq == Para n = 4

5,1

6 = → (fórmula) k = 0,982

s0 = 4. 0,982.( )

20000

3,01.5,1.250 2− = 0,067 m

Asiento en la esquina:

Para n = 43

12 = → (fórmula) k = 0,982

sE = 0,982.( )

20000

3,01.3.250 2− = 0,0335 m =

20s

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2º) Asiento como zapata rígida

En G y C II el ábaco de la figura 3.122 (pag 292 G y C II) nos da aproximadamente el

asiento de la cimentación rígida, que resulta uniforme en toda la zapata. La expresión del

CTE resulta más precisa:

mBL

V

Es 0546,0

12.325,1

9000

20000

3,01

25,1

1 22

=−=−= ν

3º) Distribución de presiones

4º) Giro como zapata en faja rígida (página 289 G y C II)

=−=

−=2

2

2

2

5,112

4500

20000

)3,01(4

2

)1(4

ππνϑ

BL

M

E0,0097 radianes

5º) Asientos en los bordes largos s = 0,0546 ± 0,0097.1,5 = 0,0546 ± 0,0145 s MAX = 0,069 m s MIN = 0,040 m

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EJERCICIO Nº 3 ZAPATAS EXCENTRICAS

Una zapata de medianería recibe una carga de 80 ton de un pilar de borde de 40 x 40 cm con una excentricidad inicial e0 = 0,50 m. La zapata tiene unas dimensiones en planta de 2,4 x 1,4 m y un canto de 0,60 m según la figura. El apoyo de la zapata se realiza sobre un terreno muy firme, para el que se puede suponer un coeficiente de balasto k = 8 Kp/cm3. Para absorber parcialmente la excentricidad inicial se proyecta una riostra compensadora de 40 cm de ancho y canto a determinar, con un hormigón de resistencia característica fck = 250 Kg/cm2 y coeficiente de elasticidad E = 300000 Kp/cm2. Calcular, suponiendo despreciable el peso de la zapata y el de la riostra en comparación con la carga del pilar, lo siguiente:

1º- El canto que debe tener la riostra, supuesta articulada en el pilar adyacente, para que sea capaz de absorber un 71 % de la excentricidad inicial e0, absorbiendo la zapata el 29 %.

2º- Las presiones máxima, media, mínima y de cálculo que la zapata transmite al terreno. 3º- Los esfuerzos que debe resistir la viga compensadora en la sección b-b del borde de la zapata, Mb-b y Qb-b.

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EJERCICIO Nº 3 SOLUCION

1º) Rz = K.12

3BA= 8000.

12

4,1.4,2 3

= 4390,40 mton/rad.

Rv = 6

12

.4,0.10.3.33

36 h

EI =l

= 50000 h3 mton/rad.

i =

v

z

R

Re

+1

0 = 0,71. 0e i = 0,71. 0,50 = 0,355

1= 0,71+ 0,71v

z

R

R → Rv = 50000 h3 =

29,0

71,0 Rz = 2,448. 4390,40 = 10747

h = 0,60 m

2º)

σ = 784,0

60,11

36,3

73,84 ± = 25,22 ± 14,80

σmáx = 40,00 t/m2

σmed = 25,22 t/m2

σmin = 10,42 t/m2

σcal = 40,00 t/m2

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3º)

QA-A = 4,73 ton.

MA – A = 4,73. (6 – 0,70) = 25 m.ton.

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EJERCICIO Nº 4 ZAPATAS AISLADAS

En un solar urbano el informe geotécnico recomienda la solución de cimentación

superficial con una presión media admisible de 3 Kp/cm2, después de haber realizado

el correspondiente estudio de la carga de hundimiento y asientos para las zapatas de

un edificio.

La cimentación de un pilar cuadrado de 50 cm de lado, que representa a un cierto

número de pilares interiores de un edificio, se resuelve con una zapata cuadrada de

dimensiones a determinar para que se cumplan las recomendaciones del informe

geotécnico realizado en el solar, según los criterios siguientes:

• La presión máxima de punta que puede transmitirse al terreno puede

admitirse hasta un 15% mayor que la presión media admisible.

• Las cargas que actúan en la base del pilar son las siguientes:

N = 180 ton

Mx = 2,8 mton

My = 3,6 mton

Determinar las dimensiones de una zapata cuadrada para que pueda ser

considerada como flexible ó como rígida según la Instrucción EHE y transmita al

terreno las presiones recomendadas en el informe geotécnico.

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EJERCICIO Nº 4 SOLUCION

Predimensionado

Estudiemos una zapata que se apoya en un terreno que tiene una presión admisible de

σadm = 3 kp/cm2 y recibe las siguientes cargas de un pilar de 50 x 50 cm:

N = 180 ton Mx = 2,80 mton My = 3,60 mton

Predimensionado Descontando del valor de la presión media admisible la presión que corresponda al peso

propio de la zapata, se pueden determinar aproximadamente las dimensiones en planta

de la zapata para que se cumplan las condiciones del informe geotécnico.

Area

AreaH

Area

N

Area

PP

Area

N hadm

..γσ +=+= → H

NArea

hadm .γσ −=

Para un canto medio de 80 cm (que puede considerarse normal para las condiciones del

ejercicio) el peso propio de la zapata supone una presión de ~ 0,8.2,5 = 2 ton/m2, con lo

que tendremos:

L ≈ .m55,2230

180 ≈−

Pilar 50 x 50 cm

Criterio de rigidez según EHE

2

aAa

−=v

2

bBb

−=v

Si H ≥ 2maxv

→ Rígida

Si H < 2maxv

→ Flexible

En nuestro caso vmax =2

5,055,2 −=1,025 m

Se elige vmax

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Con un canto de 50 cm la zapata resulta flexible:

H = 0,5 < 0,5 . 1,025 = 0,512 Flexible

Con un canto de 60 cm la zapata resulta rígida:

H = 0,6 > 0,512 Rígida.

Canto recomendado: (para presiones normales de 2 a 3 Kp/cm2)

H ≈ 0,7 vmáx ≈ 0,70 m

Estudio de la zapata flexible de 2,55 x 2,55 x 0,50

Comprobación de las tensiones transmitidas al terreno:

Peso = 2,552. 0,50. 2,5 = 8,13 ton

A = 2,552 = 6,50 m2

W = 32

m76,26

55,2.55,2 =

2,76

3,6)(2,8

6,50

8,13

6,50

180 +±+=σ = 27,69 + 1,25 ± 2,32 =

σmax = 31,26 t/m2 ⇔ 3,13 Kg/cm2 < 3,4 Kg/cm2 (1,15 σadm )

σmed = 28,94 t/m2 ⇔ 2,90 Kg/cm2 < 3 Kg/cm2 (σadm )

σmin = 26,62 t/m2 ⇔ 2,67 Kg/cm2 > 0

σcal = 27,69 + 2,32 ≈ 30 t/m2

Cálculo a flexión según la EHE 08:

El método consiste en determinar el momento flector en la sección de referencia S1 en

cada dirección.

Lcálc=2

5,055,2 −+ 0,15. 0,5 = 1,10 m

Mcalc= 2,55. 30.2

10,1 2

= 46,28 m.ton

Uo= 0,85. 2,55. 0,44.5,1

2500= 1589 ton

Uo = Bdf

Bdf

Bdfc

ck

c

ckcccd γγ

α 85,0== ccα varía entre 0,85 y 1. Tomamos 0,85 del lado de la seguridad

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La EHE adopta distintos coeficientes de mayoración de cargas para las cargas permanentes y las

sobrecargas y en la EHE 08 se han reducido a 1,35 y 1,50 respectivamente. Se adopta un valor medio del

lado de la seguridad de fγ = 1,5.

Con fyd = 15,1

5= 4,35 t/cm2, resulta :

Us1=1589.

−−

44,0.1589

28,46.5,1.211 =166,50 ton → AS =

35,4

50,166= 41 cm2 ⇔ 20 ∅ 16

Cálculo a cortante según EHE 08:

La EHE hace referencia a que este tipo de fallo pueda producirse en el lado largo de una

zapata larga y estrecha, es decir funcionando como una viga ancha. La comprobación se

realiza considerando una sección S2 a un canto útil de la cara del pilar.

V = 0,585. 2,55. 30 = 44,75 ton

ξ = 1 + 440200

= 1,674

ρa = 44.255

01,2.20 = 0,00358

Con γc = 1,5 :

τrd = 0,12. ξ . (100. ρa. fck)1/3 = 0,12. 1,674. (100. 0,00358. 25)1/3 = 0,42 N/mm

2 (*)

VCU = 2,55. 0,44. 54 = 60,59 ton

γf =75,44

59,60= 1,35 < 1,5

(*) Valor mínimo de 22

1

2

3

2

1

2

3

/54,025.674,1.05,0..05,0 mmNf ckrd === ξτ

Se necesitarían armaduras para absorber el esfuerzo cortante, por lo que resulta más

conveniente aumentar el canto

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Cálculo a punzonamiento según EHE 08 Se comprueba la tensión tangencial en el perímetro crítico situado a “2d” para el volumen

de presiones que actúan en el área rayada, es decir fuera del perímetro crítico.

Perímetro de punzonamiento:

P = 4. 0,5 + 2π.0,88 = 7,53 m

VCU = P. d. τrd

VCU = 7,53. 0,44. 54 = 178,91 ton.

V = [ ]222 88,0.5,05,0.88,0.455,2 π−−− . 30 = 61,79 ton.

γf = 79,61

91,178 = 2,89

A nuestro juicio resulta excesivo el descontar las presiones del terreno dentro de un perímetro crítico fijado

por criterios empíricos, sin correspondencia con las roturas reales de los ensayos, que reflejan perímetros

críticos más pequeños, por lo que estimamos que sería razonable reducir el área en la que las presiones se

transmiten directamente al pilar a través de bielas de compresión concentrándola en un perímetro mucho más

cercano al pilar (por ejemplo a h/2 como en el caso de las losas de las estructuras elevadas).

Estudio de la zapata rígida de 2,55 x 2,55 x 0,60

Peso = 2,552. 0,60. 2,5 = 9,75 ton

A = 2,552 = 6,50 m2

W = 32

m76,26

55,2.55,2 =

2,76

3,6)(2,8

6,50

9,75

6,50

180 +±+=σ = 27,69 + 1,5 ± 2,32 =

σmax = 31,51 t/m2 ⇔ 3,15 Kg/cm2 < 3,4 Kg/cm2 (1,15 σadm )

σmed = 29,19 t/m2 ⇔ 2,92 Kg/cm2 < 3 Kg/cm2 ( σadm )

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σmin = 26,87 t/m2 ⇔ 2,69 Kg/cm2

σcal = 27,69 + 2,32 ≈ 30 t/m2

Determinación de las armaduras por el método de las bielas

Aplicando el método para una presión uniforme igual a la presión de cálculo σcal :

R = 30. 2,552.21

= 97,53 ton

tanθ =a)0,25(A

0,85d

−=

)5,055,2.(25,0

54,0.85,0

−= 0,896

Td =896,0

53,97.5,1.=

θ

γ

tg

Rf= 163,27 ton

fyd = 400 N/mm2 = 4 t/cm2 Armadura ≈ 4

27,163= 40,82 cm2 ⇔ 21 ∅ 16 ó 13 ∅ 20

Determinación de las armaduras por cálculo a flexión:

En los comentarios del artículo correspondiente al cálculo por el método de las bielas se

indica que se permite aplicar el mismo cálculo a flexión que se utiliza para las zapatas

flexibles.

Lcálc = 2

5,055,2 − + 0,15 . 0,5 = 1,10 m

Mcalc = 2,55. 30. 2

10,1 2

= 46,28 m.ton

Uo = 0,85 . 2,55 . 0,54 .5,1

2500= 1950 ton

US1 = 1950.

−−

54,0.1950

28,46.5,1.211 = 133,1 ton

con fyd = 15,15

= 4,35 t/cm2 → As = 35,4

1,133= 30,59 cm2 ⇔ 16 ∅ 16

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Cálculo a cortante según EHE 08:

Con γc = 1,5 :

τrd = 0,12. ξ . (100. ρa. fck)1/3 = 0,12. 1,609. (100. 0,00307. 25)1/3 = 0,38 N/mm

2 (*)

VCU = 2,55. 0,54. 51 = 70,22 ton

γf =1,37

22,70= 1,89 >1,5

(*) Valor mínimo de 22

1

2

3

2

1

2

3

/51,025.609,1.05,0..05,0 mmNf ckrd === ξτ

Comprobación a punzonamiento

Por ser rígidas no hace falta comprobar (la sección de referencia se sale fuera de la

zapata).