Yo, Alfredo Nicolás Samaniego Burneo, declaro que el trabajo aquí descrito es de miautoría; que no ha sido previamente presentada para ningún grado o calificaciónprofesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en estedocumento.

La Escuela Politécnica Nacional, puede hacer uso de los derechos correspondientes aeste trabajo, según lo establecido por la Ley, Reglamento de Propiedad Intelectual y porla normaíividad institucional vigente.

-u-

Certifico que el presente trabajo fue desarrolladomi supervisión.

II!

Dedicado con mucho carino a mis padres,abuelos y hermanos.

IV

Dios por sobre todo, al Dr. Jesús Jáíiva por su apoyo,y a todos quienes de alguna forma colaboraron

en el desarrollo de este trabajo.

XIII

1.11.2

1.2.1

1.2.2

1.2.3

1.3

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.3.4

1.3.6

1.3.7

1.3.8

1.3.9

1.4 ^

1.5 N

1.5.1 K1.5.2 N

1.5.2.1

1.5.2.2

1.5.2.3

1.5.2.4

1.5.2.5

1ÉTODOS DE PRONÓSTICO POR SERIES DE TIEMPO

resivo (AR)Móvil (MA)

todelo

todelo S.

vi

1

2

3

5

5

13

13

20

21

22

23

23

25

50

VII

4.2.3.3

4.2.3.4

4.2.3.5

1759l75B75) 6t

odelo 3: (l-B-Kl-B

+ SasB ÍI + 9175B175) e,

525

>17S

5:(1-175

B)(1-

85

esincí + e17SB175\t

90

91

1.11.2 ASPECTOS GENERALES SOBRE LA DEMANDA ELÉCTRICA 2

1.2.1 FACTORES DE INFLUENCIA EN LA DEMANDA 3

1.2.2 CURVA DE CARGA DIARIA 5

1.2.3 CURVA DE DURACIÓN DE CARGA 5

1.3 ALGUNOS CONCEPTOS ESTADÍSTICOS ÚTILES 7

1.3.1 VARIANZA 7

1.3.2 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 8

1.3.3 DISTRIBUCIÓN NORMAL, FUNCIÓN DE DENSIDAD 8

1.3.4 COVARIANZA 10

1.3.5 CORRELACIÓN 10

1.3.6 AUTOCOVARIANZA 11

1.3.7 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN 11

1.3.8 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL 12

1.3.9 ESTACIONARIEDAD 13

1.4 MÉTODOS DE PRONÓSTICO 13

1.5 MÉTODOS DE PRONÓSTICO POR SERIES DE TIEMPO 16

1.5.1 MÉTODOS DE SUAVIZAMIENTO O ALISAMIENTO 16

1.5.2 MODELOS DE PRONÓSTICO ARMA 18

1.5.2.1 El Modelo Autorregresivo (AR) 18

1.5.2.2 El Modelo de Media Móvil (MA) 20

1.5.2.3 El Modelo ARMA 21

1.5.2.3 El Modelo ARIMA 22

1.5.2.4 El Modelo SARIMA 23

1.5.2.5 El Modelo SARIMA . 23

1.6 VARIABLES EXTERNAS 25

2.2 IDENTIF1

2.2.1.1 Determinación y Consecución de Estacionariedad 28

2.2.1.2 Determinación y Remoción de la Estacionalidad 28

2.2.2 ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES DE AUTOCORRELACIÓN

Y AUTOCORRELACIÓN PARCIAL 30

2.2.2.1 Función de Auíocorrelación 30

2.2.2.2 Función de Autocorrelación Parcial 31

2.2.2.3 Funciones de Autocorrelación y Autocorrelación

Parcial en Procesos ARMA 32

2.2.3 IDENTIFICACIÓN DE LOS COEFICIENTES P Y Q

2.2.3.1 Estadística Semejanza T (T - Like) 35

2.2.3.2 Prueba Q 36

2.2.3.3 Identificación de los Coeficientes para

un Modelo Estacional 36

2.2.4 IDENTIFICACIÓN DE LA INFLUENCIA DE

LAS VARIABLES EXTERNAS 37

2.2.4.1 Aplicación de la Función de Correlación Cruzada 38

3.1

3.2 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

3.3 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS RECURSIVO

3.3.1 ALGORITMO PARA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

3.4 MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 49

3.4.1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS 50

3.4.1.1 Consistencia 50

VII

3.4.1.2 Sin Sesgo (Unbiased) 50

3.4.1.3 Mejor Estimador Lineal Sin Sesgo

o BLUE (Best Linear Unbiased Estímate) 51

3.4.2 APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL ESTIMADOR

DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 57

3.4.3 ALGORITMO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD 62

4.1 INTRODUCCIÓN

LA METODOLOGÍA DE BOX Y JENKINS 70

4.2.1 ANÁLISIS DE CONSISTENCIA DE DATOS 70

4.2.2 ANÁLISIS DE ESTACIONARIEDAD Y ESTACIONALIDAD 72

4.2.2.1 Serie de la Demanda 72

4.2.2.2 Series de la Temperatura 77

4.2.3 IDENTIFICACIÓN DE MODELOS SARIMA TENTATIVOS 83

4.2.3.1 Modelo 1: (1 - Bs)(1 - B175)(1 - frB) yt = et 83

4.2.3.2 Modelo 2: (1 - B25)^ - B175)(1 + frB) yt =1*1 «4- Hocn M I *t* H'f'TKH 1 P* rír^\ ViíSJ*-* / \ i O*-' / "t ww

4.2.3.3 Modelo 3: (1 - B^Í! - B175)(1 + <t>iB)(1 + feB25) yt =

(1 + 82sB2B)(1 + SiTsB175) et 86

4.2.3.4 Modelo 4: (1 - B25)^ - B175)(1 -i- <t>iB)(1 + 4>rab175) yt =

(He1B)(1+e^B25)et 90

4.2.3.5 Modelo 5: (1 - B25)^ - B175)(1 + frB +

(1 + <|)175B175 + faaEF0)* =(1 + 6iB)(1 + easB^CI + e175B175) et 91

4.2.4 IDENTIFICACIÓN DE MODELOS SARIMAX TENTATIVOS 95

4.2.4.1 Modelo 6: (1 - B23)^ - B175)(1 + foB)(1 + feB25) yt=

(po + piB) ut + (1 + ftaB^ÍI + eTOB175) et. 95

7: (1 - B25)(1 - B175)(1 + <|HB)(1 + <])175B175) yt =

JiB) ut + (1 + 6iB) (1 +

VIII

5.1

5.1.1

5.1.2

5.1.3

5.1.4

5.2

5.3

SEf

100

102

109

115

117

126

IX

El pronóstico de demanda es un proceso esencial como entrada para la

elaboración de programas de operación óptima y económica y de expansión de

los sistemas eléctricos de potencia. La precisión de este pronóstico tiene un

significativo impacto en las decisiones que se toman para la planificación y

operación del sistema de potencia y en sus costos de producción, cualquier

desviación sea en exceso o en defecto lleva a producir sobrecostos

considerables. Si, por ejemplo, se predice una demanda más baja a la real, la

programación no tomará en cuenta el posible arranque de unidades de base que

son más baratas y llevará a cubrir el déficit provocado en demanda media con

unidades de pico más costosas. En el caso opuesto de que el pronóstico sea

debajo de su potencia óptima, generando también sobrecosías.

Hasta aproximadamente mediados de los años 70, antes de que la eficiencia

energética empiece a llamar la atención de la opinión pública demandando un

medio ambiente más limpio y energía más barata, el pronóstico de la demanda

eléctrica era un proceso relativamente simple. Era un reflejo directo de los

requerimientos instantáneos de potencia por parte de los consumidores en base a

datos históricos, pero esto ha venido cambiando hasta llegar a los actuales

modelos de mercado. Entonces, es muy importante que el pronóstico sea lo más

preciso, considerando los dramáticos cambios estructurales que se están

presentando en el sector eléctrico y la introducción de competencia entre actores

como resultado de la desregulación normativa, donde entran en juego intereses

económicos que pueden ser afectados por un error en la programación. La

privatización y competencia obligan a los agentes y al propio operador del sistema

a trabajar con el mayor nivel de eficiencia, esto exige pronósticos precisos.

El sector eléctrico tiene como característica la preocupación por mantener y

satisfacer las condiciones de seguridad y calidad en la programación de la

operación y el propio proceso de suministro de energía a los usuarios. El Centro

Nacional de Control de Energía, CENACE, como organismo encargado de la

I) y laadministración comercial del Mercado Eléctrico Mayorista (MEM) debe velar

porque dichas condiciones se cumplan eficientemente. Los resultados de el

presente trabajo podrán ser de utilidad en varios de sus procesos de

programación a corto y mediano plazo.

El horizonte de tiempo para el pronóstico se puede clasificar según el tipo de

programación que se esté ejecutando, como de corto. Mediano y largo plazo. En

el caso de programación de expansión del sistema se tiene:

1. Corto plazo: 6 meses a 1 año,

2. Mediano plazo: 1 año a 3 años,

3. Largo Plazo: mayor a 3 años.

Para la planificación de la operación los horizontes de tiempo son más cortos, así:

1. Corto plazo: de fracciones de hora a 2 días,

2» Mediano plazo: de 1 semana a 1 mes,

3. Largo plazo: de 1 mes a 1 año.

Para el caso ecuatoriano, el CONELEC define estos plazos en la Regulación

008/2000, Procedimientos de Despacho y Operación, Se ha fijado como horizonte

de largo plazo un año, para el mediano plazo una semana y a corto plazo un día;

aunque en forma más general, la selección de los rangos es subjetiva

dependiendo de los objetivos de quien realiza la programación.

En el pronóstico de demanda se presentan dos problemas distintos, pronosticar la

demanda de energía y pronosticar la demanda de potencia o carga. Cada uno de

ellos depende del plazo u horizonte de tiempo y del tipo de programación que se

El interés de este trabajo es establecer un método de predicción para la demanda

de carga a corto y mediano plazo, a ser utilizada en la programación de la

operación del Sistema Nacional Interconectado, SNI, por el, CENACE, que

minimice los errores o desviaciones en la predicción y que sea capaz de seguir la

tendencia una serie continua.

Los métodos de pronóstico tradicionalmente utilizados, como técnicas regresivas

o patrones estandarizados, han tenido cierto grado de éxito aunque sus

estructuras rígidas e inflexibles acarrean errores frente a variaciones rápidas de la

demanda. La aplicación de modelos ARMA con variables externas climatológicas,

permite crear modelos bajos en complejidad y que no representen cargas

computacionales demasiado grandes y sus resultados son de excelente precisión.

XII

El presente trabajo se ocupa del pronóstico de demanda a corto y mediano plazo

para el Sistema Nacional Iníerconectado (SNI). Como metodología de predicción

se trabaja con modelos ARMA, sus variaciones para series estacionales y

además se incluye al modelo como variable externa la temperatura ambiente, muy

influyente en la demanda relacionada con sistemas de refrigeración y

enfriamiento. Se intenta con modelar la demanda como una serie de tiempo

continua sin desglosarla en series individuales para cada día de la semana. El

modelo final presentado entrega resultados satisfactorios con errores menores a

1.7 % en el período de prueba para el pronóstico de corto plazo (un día), y 2,3 %

para el pronóstico a mediano plazo (una semana).

Objetivo General:

Presentar y probar un método de pronóstico de demanda que pueda

entregar resultados confiables minimizando ios errores en la

proyección.

Objetivos Específicos:

i. Estudiar los modelos ARMA y sus variaciones

ii. Realizar ios pronósticos necesarios para el estudio,

iii. Probar la influencia de la temperatura en la Demanda.

Pronosticar es emitir un enunciado sobre lo que es probable que ocurra en el

futuro, basándose en análisis y en consideraciones de juicio, su propósito es

obtener conocimiento sobre eventos inciertos que son importantes en la toma de

decisiones presentes. Las técnicas de pronósticos disminuyen la inceríidumbre

sobre el futuro, permitiendo estructurar planes y acciones congruentes con los

objetivos que se persigue y permiten también tomar acciones correctivas

apropiadas y a tiempo cuando ocurren situaciones fuera de lo pronosticado,

A lo largo de este capítulo se presentan algunas características de la demanda

eléctrica, la clasificación de los modelos de pronóstico y algunas herramientas

estadísticas de utilidad para el pronóstico.

La demanda de potencia eléctrica y su consumo de energía asociado son

variables en el tiempo con una cierta característica de aleatoriedad y que,

además, se comportan de manera diferente para cada punto de la red eléctrica.

Este comportamiento es típico de cada sistema eléctrico y se debe a la naturaleza

y composición de los usuarios y a la intensidad y modos de uso de la potencia.

Una forma característica de variación de la demanda eléctrica diaria se muestra

en la siguiente figura:

2

Prned Pmin

Tn

Esta curva representa los valores instantáneos de la demanda para un período Tn,

en este caso de un día presenta un mínimo, un máximo y es bastante irregular.

Su forma depende fuertemente de varios factores de influencia.

Costumbres de los consumidores: Sea por ejemplo el caso de ceñiros

urbanos con características diferentes, por ejemplo Quito, Guayaquil, o

Máchala; evidentemente, las costumbres en cada uno de ellos dan como

resultado variaciones en el consumo muy distintas. En el caso de la

Empresa Eléctrica Quito, la necesidad de calentamiento de agua hace

que la demanda empiece a crecer a partir de las 04:30, casi dos horas

antes de lo que ocurre en las otras ciudades que son de la costa y donde

la carga inicia su subida a partir de las 08:00 coincidiendo con el inicio de

la jornada laboral. Los días de la semana también influencian en el

comportamiento de los usuarios, la carga de un día miércoles es mayor

que la de un domingo por tratarse de un día de descanso.

Tipo de Usuarios Predominantes: Las características de consumo de una

zona eminentemente industrial será distinta de una zona agrícola o de una

zona residencial o turística. Las zonas de carga predominantemente

industrial tienen una curva de carga con un factor de carga mucho más

alto del que puede presentar la curva de una zona predominantemente

residencial, donde el mayor consumo de electricidad ocurre en la noche

durante las horas pico,

© Condiciones Climáticas: Bastaría comparar la característica del consumo

de dos zonas, como la sierra y la costa, en una se presentan fríos durante

casi todo el año y en la otra al contrario temperaturas altas,

evidentemente ambas zonas tienen curvas de carga distintas a lo largo

del día y del año, provocadas por el uso de equipos de calefacción o de

enfriamiento.

• Tarifa como elemento regulador: La tarifa eléctrica puede ser utilizada

como elemento regulador, tendiendo a orientar las características del

consumo, por ejemplo haciendo que sea más conveniente para las

industrias efectuar sus mayores consumos en las zonas de valle de la

curva de carga, lo que podría conducir a un mejor factor de utilización de

las unidades generadoras.

Para distinguir un tipo de demanda se definen algunos valores característicos. Se

puede definir la energía asociada correspondiente a un día, semana, mes o año.

Cualquiera sea el período de tiempo que se considere, el consumo está dado por

la integral de la curva que da la variación de potencia instantánea de la carga P(t).

También queda definido un valor mínimo, máximo y un valor medio de la potencia,

este último obtenido de la división de la energía calculada de la integral para el

valor de tiempo del período analizado.

E= ÍP(t)dt (1.1)jo

P = Í- (1.2)

Además, se define el factor de carga nA que da una idea de la variación de la

carga; cuanto más se aproxime a !a unidad significa que la carga varía menos y si

es pequeño indica que la demanda varía entre valores máximo y mínimo que

difieren fuertemente entre sí y que durante el período de tiempo considerado se

tienen cargas próximas al valor mínimo y en consecuencia una potencia media

(P) pequeña.

n A = (1.3)A p Tmax. n

El denominador es la energía que se consumiría, si todo el tiempo el valor de

potencia de la demanda coincidiera con el valor Pmax. y E es la energía que

corresponde a la curva de carga instantánea dada por P = f(t).

Generalmente las curvas de carga se interpretan como diagramas que dan la

variación de potencia instantánea de la carga, podrían ser curvas diarias,

semanales, anuales o algunas correspondientes a períodos intermedios, las

mismos se presentan en la práctica como funciones escalonadas, donde cada

escalón corresponde a un período de tiempo pequeño, en general períodos

horarios. Se procede de esta manera, puesto que es costoso efectuar un registro

continuo. Además, para efectuar la mayoría de los cálculos o estudios que

incluyen la consideración de modelos de demanda con curvas de carga diaria es

suficiente una representación de valores medios horarios o de 30 min. En otros

casos, por ejemplo en estudios de previsión que utilizan modelos que requieren la

consideración de la energía anual consumida dividida en sectores de consumo y

en 8760 potencias horarias.

5

En general la curva de carga caracterizada hasta ahora constituye la forma de

modelación de la demanda para un día (curva de carga diaria). Si se desea

modelar la demanda para una semana, una posibilidad está constituida por las 7

(siete) curvas de carga diaria correspondientes o , como sucede en la mayoría de

los casos es suficiente modelarla a través de 3 (tres) diagramas típicos

correspondientes a día hábil laborable, día sábado y día domingo. En general esta

misma modalidad puede utilizarse para modelar la demanda mensual.

Otra forma de modelar la demanda es a través de curvas que condensan la

información con ciertas ventajas e inconvenientes; puesto que, al condensar la

información se pierde parte de la misma. Una forma usual de sintetizar la

información se logra a través de las curvas de duración de carga.

Estos diagramas se construyen de la siguiente manera: supóngase una curva de

carga cualquiera, y se representa la potencia en función del valor de tiempo que

resulta de acumular las duraciones correspondientes al valor de potencia de que

se trata, así este diagrama define el valor de potencia en la ordenada con la

duración definida en la abscisa.

Si se toma un valor de potencia cualquiera tendrá una duración asociada

correspondiente; los valores de potencia mayores o iguales que el citado tendrán

una duración menor o igual asociada, y los valores menores una duración mayor

o igual, en definitiva lo que se hace es acumular a partir del origen de tiempos las

duraciones para cada nivel de potencia .

I Pman

PI

TI

Pmed Pmh

T1 Tn

Así para valores de potencia mayores, la duración es menor; cuando se considera

P < Pmin la duración será de 24 horas para el caso de un día o 168 horas para la

semana, etc.

Una de las características de este diagrama es que conserva el valor máximo y

también el valor mínimo de potencia de demanda; a la vez que tiene el mismo

contenido de energía que la curva de carga diaria, pero se pierde alguna

información que para algunos tipos de estudios es muy importante y para otros no

es necesaria. La información que se pierde es la secuencia en la escala de tiempo

en que se producen los distintos valores de carga.

Para hacer la programación de despacho diario de unidades de generación se

requiere que la demanda pronosticada mantenga su relación real de tiempo, por

lo que la representación de la demanda por medio de la curva de duración de

carga no es útil para el propósito de este trabajo.

Cuando se tiene aleatoriedad presente en un proceso, como en la demanda

eléctrica, lo mejor que se puede hacer es aislar esta aleaíoríedad. El hecho de

que se presenten errores en el pronóstico requiere de métodos y variables

estadísticas para medirlos y determinar su magnitud.

Generalmente la medición de la magnitud de ios errores se realiza por medio de

las medidas estadísticas de dispersión, de las cuales la más común es la

varianza.

La varianza muesíral (pues es solamente de la muestra que se esta utilizando) se

define como:

s=^ir~ (1-4)

Donde:

S2 es la varianza,

x¡ es la iésima observación,

x es la media de los datos, x = -^, yn

n es el número de observaciones de los datos.

La ecuación (1.4) expresa la varianza como una relación de los errores o

desviaciones entre cada una de las observaciones x¡ y el valor de su media.

La varianza S2 es un estadístico (medida estadística) que indica la dispersión de

los datos alrededor de su media. La varianza es peculiarmente importante porque

cuando la distribución es "normal", la varianza junto con la media especifican

única y completamente dicha distribución de datos. En la mayoría de casos de

métodos de pronóstico se asume una cierta distribución en la muestra.

Otro estadístico importante es la Desviación Estándar, denotada por S, es la raíz

cuadrada de la varianza.

(1.5)

Una variable aleatoria escalar x se dice que tiene una distribución normal si es

caracterizada por una función densidad de probabilidad dada por:

fx (£) =J X \^/

y que cumple con las siguientes propiedades de las funciones de distribución:

(1.7)

(1.8)

(1.9)

En el caso de tener un vector con n variables aleatorias que tienen una

distribución normal común se define el vector de medias X y la matriz de

covarianza (no singular, conformada por las varianzas de cada variable en la

diagonal) como:

£(X) = X (1.10)

E((X~X)(X-X)r) = R (1.11)

entonces:

[(27c)ndetRf(1.12)

Si los elementos del vector X no están mutuamente correlacionados y tienen

medias y varianzas S2 idénticas, entonces R = S2 y deí R = (S2)n, entonces ia

función de distribución de probabilidad se escribe como:

(1.13)

En muchos casos intuitivamente se detecta que los valores de una variable

fluctúan con cierta relación a las fluctuaciones de otra variable distinta, como

puede ser el caso del peso de una persona y su estatura. Para determinar la

relación entre estas dos variables se utiliza una medida estadística que describe

como dos variables varían una en relación con la otra. Este estadístico se

denomina covariante denotada por cov( X, Y):

(1.14)

Mientras más grande sea la variación conjunta de dos variables, mayor será su

covarianza, esta puede ser positiva si existe una relación positiva, cero si no

existe relación alguna y, negativa si la relación es negativa.

Esta forma de representación de la relación es un poco ambigua y no permite

determinar diferencias cuando se esta analizando más de dos variables debido a

10

las diferencias en las escalas de medición, por ello, es necesaria una

normalización.

La medida normalizada de la covarianza se denomina correlación (denotada por

p) y se determina dividiendo la covarianza para el producto de las desviaciones

estándar de las variables :

correlación = p(X,Y) 9 (1.15)

Se puede demostrar que ahora esta medida solo varía entre +1 y- 1 y de manera

similar, la relación es más fuerte cuando la correlación se acerca a 1 pudiendo ser

relación negativa o positiva.

Los coeficientes de covarianza y correlación son medidas estadísticas que indican

la magnitud de la relación entre dos variables. Como tales, se los usa para medir

relaciones explicativas o causales. Para el mismo propósito, se han creado los

estadísticos denominados autocovarianza y aotocorralacién que cumplen el

mismo propósito de los anteriores pero para el análisis de series de tiempo.

Eí objetivo de estas medidas es encontrar la relación que existe entre un valor

actual de una variable y sus valores anteriores, por ejemplo en el caso de la

demanda, cual sería la relación entre la demanda a las 18:00 de un día cualquiera

y sus valores pasados como los registrados a las 17:00 ,16:00 de aquel día o a

las 18:00 del día anterior.

Entonces para encontrar la autocovarianza entre una serie Xt con su primer

retardo de tiempo (es decir una medición anterior), denominada serie XHI, se

tiene:

n — l

Si a la autocovarianza se la transforma a su valor estandarizado, la

autocorrelación está dada por:

autocov1

La correlación entre valores sucesivos se llama autocorr©lac¡ón debido a que

ambas variables provienen de un mismo conjunto de datos y que son mediciones

del mismo fenómeno, pero referidas a distintos instantes o períodos de tiempo.

Para los valores en el límite, cuando n H*> <*>» se tiene:

(1.18)

(1.19)

Dado que el proceso de donde se obtiene la serie es infinito, solamente se

pueden estimar estos estadísticos tomando una muestra lo suficientemente

grande, de donde se obtiene la función de autocorrelación muestral :

-- - - - A.T • • ,uutuwrr = rt = ' .T, - - (1 .20

2

12

Donde: k es el período de tiempo con el que se quiere

encontrar la relación.

La función muestral de auíocotrelaeüón parcial es un estadístico creado por Box

y Jenkins con el objetivo de medir la relación entre dos mediciones de la serie que

están separados k períodos, sin tomar en cuenta las mediciones comprendidas

entre ellas. Para calcular la autocorrelación parcial se tiene:

r, si k = 1

(1.21)2,3,.

— T f- rjkftrít_1>fc_y

Estos dos estadísticos, autocorralacién y autocorrelación parcials son de

mucha utilidad para encontrar la relación que puede existir en la serie de tiempo

entre datos de diferentes períodos, y usando estas relaciones como base se

puede hacer los análisis preliminares para determinar los parámetros iniciales que

rigen el comportamiento de la serie de tiempo.

La estacionariedad de una serie de tiempo juega un papel crucial en su análisis, la

selección de un método de análisis u otro se basa en si dicha serie es

estacionaria o no. Las características estadísticas de la serie (Media y Varianza)

sirven para determinar su estacionariedad.

13

Cuando una serie tiene un valor de media constante y su varianza es finita se dice

que esta serie de tiempo es estacionaria.

Algunos oíros conceptos estadístico se definen más adelante según sean

necesarios.

Existe un número virtualmente infinito de situaciones para las que se requiere

hacer un pronóstico y sus rangos de horizontes, factores dominantes,

comportamiento de los datos y varios oíros aspectos varían ampliamente- Por

esta razón íambién se han desarrollado muchas íécnicas de pronóstico. Estas

técnicas se pueden dividir en dos grandes grupos a saber: métodos cuaníiíativos

y métodos cualitativos o tecnológicos.

Las técnicas cualitativas no requieren de muchos artificios matemáticos y más

bien se basan principalmente en el conocimiento, capacidad de juicio y

experiencia adquirida. Generalmente, requieren el aporte de gente especializada.

Algunos ejemplos de estas técnicas son el método Delphi, matrices de decisión y

árboles de relevancia.

Las íécnicas cuantitativas, en cambio, son básicamente maíemáíicas y sus

pronósíicos van a depender de los resulíados de algún proceso maíemático o

estadístico. Estas técnicas se pueden aplicar bajo íres condiciones :

1. Exisíe información histórica disponible.

2. Esía información se puede cuaníificar en forma de datos.

3. Se puede asumir que el comportamiento histórico de la

variable se repetirá en el futuro.

La ultima condición se trata de una premisa inicial en la que se basan muchos de

los métodos, sean cualitativos o cuantiíaíivos, se conoce como asumir constancia

y se aplica especialmente en aquellos métodos que utilizan el comportamiento

histórico de la variable a pronosticar como una entrada.

Estas técnicas cuantitativas varían considerablemente en precisión, propósitos

para los que fueron desarrolladas, y costos computacionales. Los métodos de

pronóstico cuantitativo se subdividen a su vez en dos categorías principales : ios

métodos intuitivos, basados en experiencia empírica, y los formales, basados en

principios estadísticos.

Otro tipo de clasificación de las técnicas cuantitativas las subdivide en modelos

causales y de series de tiempo.

Los modelos causales asumen que el fenómeno a ser pronosticado mantiene una

relación de causa-efecto con una o más variables independientes, como por

ejemplo la velocidad de un objeto es función de su desplazamiento y el tiempo

que íe tomo hacerlo v = f(x, t). El propósito de los modelos causales es descubrir

la forma de la relación y usarla a ésta para pronosticar valores futuros de la

variable dependiente.

En los modelos de series de tiempo, el pronóstico de los valores futuros de la

variable se logra a través de sus valores pasados, y también basándose en

errores anteriores. Para hacer una selección correcta del método de series de

tiempo que se usará para el pronóstico es necesario considerar los patrones de

comportamiento que pueden contener los datos, estos patrones pueden ser

cuatro, como se indica a continuación :

a) Tendencia. Identifica los movimientos hacia arriba o abajo del total de la

serie, se trata de movimientos lineales de la serie que se relacionan, por

ejemplo, con el continuo incremento de usuarios. En lo que se refiere a

la demanda eléctrica, esta tendencia se la detecta principalmente en

períodos mensuales o anuales.

15

b) Patrón Cíclico. Se da por movimientos ascendentes o descendentes de

la serie en forma global, cada cierto período que en general es en el

orden de lustros o décadas. Esta componente es una influencia de los

ciclos económicos.

c) Patrón Estacional. Representa movimientos de la serie asociados con el

comportamiento estacional del clima, aunque también se la usa para

representar variaciones en períodos menores, como por ejemplo las

variaciones diarias o semanales de la demanda. Se diferencia del

patrón cíclico porque éste mantiene un período constante mientras que

el del cíclico puede ser variable, de acuerdo al fenómeno que lo

provoca.

d) Patrón Irregular. Aquí se acumulan todos los movimientos erráticos o

impredecibles de la serie que no pueden ser identificados de forma

regular. Se la conoce como error aleatorio o en algunos casos como

Una serie de tiempo no es nada más que un conjunto de observaciones de alguna

variable Xf, cada una de ellas correspondientes a un tiempo especifico t Una

serie de tiempo discreta, que es el tipo de series con las que se trata en este

trabajo, es la que el conjunto To en el cual se obtiene las mediciones, es un

conjunto discreto, de mediciones a intervalos fijos de tiempo. Una serie de tiempo

es continua cuando las observaciones se registran continuamente en algún

intervalo de tiempo.

Como se indicó anteriormente los métodos de pronostico por medio de series de

tiempo se los ha clasificado dentro de las técnicas cuantitativas que se subdividen

en los modelos causales y los de series de tiempo.

Dentro de los modelos de series de tiempo se pueden encontrar tres grupos :

1. Métodos de suavizamiento o alisamiento,

2. Métodos de descomposición, y

3. Modelos ARMA.

La media estadística de una serie de tiempo puede ser un excelente pronóstico

cuando se cumplen ciertas condiciones especiales como por ejemplo que dicha

serie sea estacionaria y aleatoria, sin embargo, esta técnica de pronóstico no es

adecuada.

Una mejora sustancial es la técnica de la media mó¥ils que consiste en tomar un

conjunto fijo de valores observados, encontrar el promedio de dichos valores y

usar ese promedio como pronóstico. Se denomina media móvil pues cada vez

que se tiene una observación disponible esta se incluye en el cálculo del

promedio y se desecha la última.

Para no calcular el promedio cada vez que se tenga una nueva observación

disponible, se puede usar la siguiente ecuación para calcular la media móvil:

p L_N N

En la técnica de media móvil se asigna igual peso a cada una de las N

observaciones que se utilicen para el promedio, esto trae algunas complicaciones

pues las observaciones más nuevas contienen más información de lo que puede

ocurrir en el futuro. Así que las observaciones más recientes deberían tener más

peso que las anteriores.

17

La técnica del alisamiento exponencial parte de la ecuación del cálculo de ia

media móvil (1.22), suponiendo que el valor (t - N) no existe, lo más lógico seriareemplazarlo por el valor de Ft:

Reemplazando 1 / N por a y reagrupando, se tiene:

(l~a)Ft (1.24)

Esta ecuación es la forma general del alisamiento exponencial. Como se observa

es necesario solamente almacenar la última observación, el último pronóstico y e!

valor de a, sin necesidad de almacenar toda la información histórica de las H

observaciones.

Para entender toda la implicación que tiene este método a continuación se

desarrolla la ecuación 1 .24 :

(1.25)

donde se nota que cada observación pierde peso según se aleja en el tiempo. Si

a la ecuación 1.25 se la reordena nuevamente agrupando la observación con su

valor pronosticado se llega a la ecuación 1,26:

(1.26)

Como Xt - Ft = et , donde et es el error en el pronóstico la ecuación 1 .26 se reduce

a :

(1.27)

18

Los modelos ARMA son una combinación de las técnicas autorregresivas y de

media móvil, y de ahí sale su denominación como una abreviación del inglés Auto

Regresiva Moving Average (ARMA). Estos modelos ARMA parten de la

suposición de que la serie de tiempo en análisis es el resultado de aplicar un filtro

lineal a una señal de ruido blanco.

Ruido Blanco Filtro Lineal Serie de Tiempo

Se define como ruido blanco a aquel proceso estocástico estacionario con una

distribución normal que tiene media cero, varianza S2, N(0,S2), y que es generado

por variables aleatorias, independientes (función de covarianza igual a cero) e

idénticamente distribuidas (v.a.i.i.d.).

Con la función de transferencia del filtro correctamente modelada, el proceso

inverso tendría como resultado una serie de tiempo que sea ruido blanco, lo que

significaría que se esta aislando toda la aleaíoriedad que contiene la serie de

Una técnica causal que se usa para el pronóstico es la regresión múltiple, es

tratar de pronosticar los valores de una variable dependiente en base a los

valores de un número de variables independientes de esta manera :

+u (1.28)

19

Cada una de estas variables X pueden representar muy distintos factores que

afecten a la variable Y. Supóngase que los factores X se reemplazan por valores

anteriores de la misma variable Y de tal manera que la ecuación 1.28 quedaría de

la siguiente forma:

Yt = *i/t-i + <t>2yf-2 +-+<t>pyf-p +ef (129)

Aunque se han aplicado algunos pequeños cambios, como aquel de notación

para los coeficientes (4> por b) y se ha eliminado la constante, dejando solamente

un valor de error, esta es aún una ecuación de regresión, pero, por ser función de

los valores anteriores se denomina autorregreslén. La ecuación 1.29 define un

modelo autorregresivo de orden p o AR (p), donde p indica el orden del modelo

con el número de términos a ser incluidos. Para seleccionar un valor apropiado de

p se requiere examinar la función de autocorrelación.

Analizando el modelo AR (1), se escribiría de la siguiente forma:

Si en la ecuación 1.30 se reemplaza

y así sucesivamente hasta llegar a la primera observación se tiene:

Yt = <K~Vf-n+i +*?~20r^a +».+*?e« +*A-i +ef (1-32)

Se observa claramente que el modelo AR pondera los errores en las

observaciones pasadas en una manera exponencialmente decreciente, esto es

algo similar a lo que ocurre con el alisamiento exponencial que en cambio

pondera las observaciones.

20

El modelo de media m©¥¡Is de manera semejante al modelo autorregresivo,

provee el pronóstico de una variable como una combinación lineal de los errores

obtenidos para las observaciones anteriores. Aunque a este método se lo conoce

como de media móvil, no tiene ninguna relación con aquel descrito en los

métodos de alisamienío. Se representa de la siguiente manera:

(1.33)

Aquí se pueden anotar algunas características que diferencian a este modelo de!

método de alisamiento. La suma de los coeficieníes 91 + 02 + — + ®q n° t'ene 3ue

necesariameníe ser igual a 1, de igual manera los valores de 6, no se actualizan

cada vez que se íiene una nueva observación disponible como ocurre en el

méíodo de alisamienío, si no que son valores fijos que se obtienen mediante una

estimación.

Como se hizo en el caso autorregresivo, desarrollando la ecuación del modelo MA

(1), se tiene:

si se toma en cuenta que:

(1.35)

Sustituyendo ew de la ecuación 1.35 en la ecuación 1.34, y así sucesivamente

Y —o — ÑY — £) Y — _¿3n~Iy —ÑnY M ^f^\ ~— tZ-t 1/1J. + 1 IX1 JL f O ... \s\ f __n_i,1 1/1 JL t M I 1 ,\J\J I¿ 1 1 í—J, 1 t,—¿. i. f~rtTL L i—n \

21

se nota que cada observación de la serie pierde peso exponencialmente según se

aleja en el tiempo, de manera similar como ocurre en el alisamienío exponencial.

Finalmente y, como se ha indicado anteriormente, los modelos auto regresivo de

orden p y de media móvil de orden q pueden combinarse para llegar al modelo

mucho más generalizado autorregreslvo de media móvil de orden (p, q) o

ARMA (p, q) y cuya forma general sería la siguiente :

yt = *i/M + <t>2yf-2 + - + $pYt-p + ~ e^ - e^^ - ... - &qet_q (1 .37)

Por ejemplo, para un modelo ARMA (2,3) :

Yt = *I/M + $2yt-2 + e, - 9,eM - 62ef_2 - 93ef_3 (1 .38)

Para facilitar la notación de los modelos, se ha definido un operador denominado

"operador de paso regresivo" o simplemente "operador regresivo" B cuyo efecto

es dar retardos de tiempo a la serie, retardos definidos por la potencia de B, así:

(1.39)

entonces el modelo general ARMA quedaría de la siguiente manera :

22

(1.40)

El análisis de series de tiempo por medio de modelos ARMA requiere que la serie

de tiempo cumpla con la condición de estacionariedad. Cuando la serie no es

estacionaria se pueden utilizar algunos métodos para alcanzar esta

estacionaridad. El método más comúnmente aplicado para conseguri

estacionariedad es la diferenciación, que consiste en restar los valores que

pertenecen a retardos de tiempo consecutivos así:

(1-41)

a este proceso se denomina diferenciación de primer orden. Se ha creado una

nueva serie Xt que tendrá n - 1 elementos y que será estacionaria si la tendencia

en la primera serie era lineal. En caso de que la serie continúe manteniendo

tendencia, será necesario una segunda diferenciación de primer orden de la

primera diferenciación, es decir encontrar la serie de las segundas diferencias.

En general para conseguir estacionaridad es necesario aplicar diferenciaciones

sucesivas hasta que los coeficientes de correlación de la serie resultante caigan a

cero o dejen de ser significativamente distintos de cero después del segundo o

tercer retardo de tiempo. En la práctica no es necesario aplicar más de dos

diferenciaciones consecutivas pues los datos no contienen un nivel de no

estacionaridad mayor al segundo orden. Usando el operador regresivo se puede

indicar el número de diferenciaciones de la siguiente manera:

23

(1.42)

Así, un modelo AR (2) con una diferenciación ordinaria se escribiría

<|)1B-(t,2B2)yf = ef. (1.43)

El modelo final en el que se aplica diferenciación a la serie original para alcanzar

estacionariedad, se denomina Autorregresivo de Media Móvil Integrativo o sus

siglas en inglés ARIÜA (AutoRegressive Integrative Moving Average). La notación

que se aplica para definir el modelo es ARIMA (p, d, q) donde p y q son los

parámetros ya conocidos del modelo ARMA y cí indica el número de

diferenciaciones que han sido necesarias de aplicar.

Como se definió anteriormente, la serie puede tener un patrón de comportamiento

estacional creado por ciclos repetitivos de altos y bajos en factores que son de

alta influencia en la demanda como por ejemplo el día y la noche, horarios de

trabajo, etc. Para poder identificar adecuadamente el período de dichos ciclos es

necesario que primero se haya alcanzado la estacionaridad para la serie en

análisis.

Si la serie es estacionaria, los períodos de esíacionalidad se pueden determinar

examinando ios coeficientes de autocorrelación e identificando aquellos para los

que después de 2 o 3 retardos de tiempo, sus valores son significativamente

distintos de cero, y el período es determinado por el coeficiente que tenga el

mayor valor entre retardos adyacentes.

Cuando se ha determinado que la serie contiene un comportamiento estacional de

período S y para analizar sus características estacionales, se genera una serie

que solo contendrá los valores de los retardos de tiempo múltiplos de S. Se

puede encontrar un modelo ARSMA (P, D, Qf ajustable a ese período, ignorando

la parte no estacional previamente establecida. Este modelo se denomina ARMA

estacional o del inglés Seasonal AR1MA.

Para conseguir estacionariedad entre ios períodos estacionales sucesivos es

necesario aplicar una diferenciación de período largo o estacional que se notaría

de la siguiente manera :

(1.44)

De manera ilustrativa, suponiendo que se tiene un modelo SARIMA (1,1,1) x

(I,!,!)12, su notación seria la siguiente :

Hasta aquí, se ha analizado la demanda eléctrica de potencia como un proceso

estocástico dependiente solamente de sus valores anteriores, pero, como ya ha

sido indicado anteriormente, la demanda eléctrica es función de muchos factores

o variables que afectan a su evolución en el tiempo.

Algunos de estos factores mencionados son condiciones climáticas, como la

temperatura ambiente, intensidad luminosa y humedad- De entre ellas se destaca

la temperatura ambiente, dado que de su magnitud depende el funcionamiento de

sistemas de calefacción o de aire acondicionado y refrigeración, que pueden

representar cargas significativas, especialmente en sistemas como el ecuatoriano

donde la carga de tipo residencial (que es donde se instalan la mayoría de estos

sistemas) tiene gran peso en el total de la demanda.

25

Para poder incluir el efecto de la temperatura ambiente, se debe considerarla

como una variable externa al proceso, así :

Yt = ®(P)Yt + ®(<7)ef + ¥(r)t/f (1 .46)

2 f _ 2

Donde : Ut es la serie de tiempo de la variable externa.

Usando la función de correlación cruzada o autocorrelación cruzada y en forma

similar a lo realizado para encontrar el orden de los procesos AR y MA se puede

encontrar el polinomio de diferencias ^(r) de orden r (ecuación 1.47) que

describa de la mejor manera el comportamiento de la serie de tiempo que se

intenta pronosticar.

La teoría sobre los modelos ARMA ha sido desarrollada desde principios del siglo

XX por muchos investigadores en forma teórica. Los investigadores G. Box y G.

y sistematizado para

Su método consiste de tres fases:

2. Estimación y Pruebas, y

3. Aplicación o Pronóstico.

En las secciones subsiguientes se desarrolla

fases, excepto por la de la estimación de

capítulo 3.

En la figura 2.1 se puede observar un gráfico esquemático del proceso aplicado

por Box y Jenkins.

metodología de cada una de las

¡e desarrollará en el

Este método asume que la serie de

representativa del fenómeno del cual se quiere

no válidos y así mejorar los resultados

aleatoriedad en la serie.

utilizada es una muestra

;icar su

posibles errores o datos

o la

26

27

El propósito en la etapa de identificación es determinar un modelo ARMA

específico basándose en las funciones de auíocorrelación y autocorrelación

parcial. Cuando se trabaja con series estacionales se debe identificar el

correspondiente modelo SARIMA (p, d, q) x (P, D, Q)s o, con los períodos

estacionales que sean convenientes.

Fase 1IdMiftificacifin

F«se2E filmacióny Prueba»

Fase 3aplicación

Postular un modelode caraterfstieas

generales

*i 'Identificar el

modelo tentativo aser probado

\Estimación de

parámetros en elmodelo tentativo

>/Diagnóstico del

modelo,es adecuado?

\itUso del modelopara pronósticos

No

Modelo Esquemático del Método de Box y Jenkins

Como se indicó en el capítulo 1, los modelos ARMA exigen

a ser analizada sea estacionaria, es decir que su media

su varíanza sea finita. Si una serie es no estacionaria

incluyen una cierta tendencia a lo largo del tiempo.

la serie de tiempo

constante y

que los datos

28

La esíacionariedad de una serie de tiempo puede ser determinada analizando los

coeficientes de la función de autocorrelación de la serie. En una serie estacionaria

estos coeficientes decaen a cero luego del segundo o tercer retardo de tiempo,

mientras que en una serie no estacionaria se mantienen significativamente

diferentes de cero por muchos períodos de tiempo. En la figura 2.2 se puede

observar las funciones de autocorrelación de una serie estacionaria y de una serieno estacionaria.

Si una serie de tiempo es no estacionaria, los modelos ARMA no pueden ser

utilizados para su análisis; entonces es necesario alcanzar la estacionariedad en

los datos de la serie, esto se consigue aplicando diferenciaciones a la serie.

Generalmente cualquier componente de tendencia que pueda incluir una serie se

elimina con una primera diferenciación o máximo con un segundo nivel de

diferenciación dado que los datos reales no incluyen componentes de tendenciamás allá del primer o segundo nivel.

retardos de tiempo retardos de tiempo

Funciones de Autocorrelación: (a) de una Serie no Estacionaria y (b) de una SerieEstacionaria

La estacionaiidad de una serie de tiempo se define como un patrón en ios datos

que se repite cada cierto intervalo provocado por ciclos en el comportamiento de

los consumidores que dependen de características ciimáíicas como el día y la

29

noche o propias de la sociedad como los horarios de trabajo o los días de la

semana. Como se nota claramente, una serie de tiempo puede tener más de un

patrón estacional.

Los patrones estacionales se reflejan directamente en los coeficientes de

autocorrelación con frecuencias de repetición iguales. En una serie de tiempo

estacionaria, los patrones estacionales se pueden identificar analizando los

coeficientes de autocorrelación con retardos de tiempo mayores a 3 o 4 períodos.

Cualquier coeficiente significativamente mayor que cero indicaría la existencia de

algún patrón en los datos. En el gráfico de la función de autocorrelación se puede

identificar fácilmente el comportamiento estacional de una serie, siempre y

cuando esta serie sea estacionaria, pues una componente de tendencia puede

esconder el comportamiento estacional, de esta manera, en el análisis de series

de tiempo es conveniente primero alcanzar la esíacionariedad de la serie para

luego analizar su comportamiento estacional. La figura 2.3 presenta la función de

autocorrelación de una serie de tiempo con un período estacional de orden 4.

Que una serie de tiempo sea estacional i

patrón de tendencia de período largo, por lo

mediante el uso de diferenciaciones de

estacionales. Este patrón de tendencia se

10

indica que contiene un

debe ser removido de la serie

largo o diferenciaciones

calificar como estacionariedad

|Tj nn r^

retardos de tiempo

Función de Autocorrelación de una Serie de Tiempo con Estacionaíídad

Período 4

30

Los coeficientes de las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de

un proceso Auíoregresivo (ÁR) o de Media Móvil (MA) se comportan de forma

muy distinta según el proceso y su orden, de tal manera que conociendo el

comportamiento, se puede lograr identificar el proceso de una serie de tiempo a

partir de estos coeficientes. Aunque los patrones de comportamiento de los

coeficientes de estas funciones son típicos, el proceso de identificación del

modelo no puede ser reducido a un nivel mecánico. Se requiere de análisis y

juicio para llegar a identificar correctamente un modelo. Este requerimiento se

debe básicamente a 2 razones:

1. Las funciones de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial no pueden

ser suficientemente claras como para identificar el modelo, esto se debe

a que las series tienen una influencia aleatoria suficientemente fuerte

como para alterar los patrones de las funciones, y

2. Las funciones pueden indicar más de un modelo.

Los coeficientes de la función de autocorrelación de un proceso MA tienen valores

significativos para los primeros q retardos (siendo q el orden del proceso)

mientras que para un proceso AR decaen exponencialmente hasta cero, como se

puede observar en la figura 2.4, donde se ha graficado el comportamiento de la

función de autocorrelación para un proceso AR (nótese que aún no se puede

decir nada sobre su orden) y para un proceso MA de segundo orden (para el caso

MA es posible identificar el orden del proceso).

31

retardos de tiempo

(a}

i i i iretardos de tiempo

(b)

Funciones de Áutocorrelación: (a) Coeficientes decaen exponencialmente a cero,

indicando un modelo AR, (b) Coeficientes se cortan después de 2 retardos

sugiriendo un modelo MA(2)

Los coeficientes de la función de Áutocorrelación Parcial se comportan de manera

inversa que los de la función de autocorrelación, en la figura 2.5 se puede

observar que estos coeficientes decaen exponencialmeníe para indicar un

proceso MA o se cortan luego de p retardos de tiempo indicando que se puede

relardos de tiempo

(a)

retardos de tiempo

(b)

Figura 2.5 Funciones de Autocorrelación Parcial: (a) Coeficientes se cortan luego de 3

retardos indicando un modelo AR(3); (b) Coeficientes decaen exponencialmeníe sugiriendo un

modelo MA.

32

La información que se desprende de analizar independientemente las funciones

de Auíocorrelación y Autocorrelación Parcial es complementaria, así usando

ambas funciones es posible determinar con más exactiíud el íipo de proceso

involucrado.

En especial, los procesos ARMA combinan las características de los esquemas

Auíoregresivo y Media Móvil. Como se puede apreciar en la figura 2.6, que indica

las funciones de Auíocorrelación y Auíocorrelación Parcial de un proceso ARMA

(1, 1), se podría decir que liíeralmente se han sumado las funciones de un

proceso AR con las de un proceso MA, decayendo ambas exponencialmeníe

hacia cero.

En la figura 2.7 se grafican oíros posibles comportamientos de las funciones de

Autocorrelación adicionales al de la figura 2.6 para un proceso ARMA (1,1).

retardos de tiempo

(a)

retardos de tiempo

ib)

¡ Funciones de (a) Auíocorrelacíón y (b) Auíocorrelación Parcial de un Proceso

ARMA(1,1)

33

A A A A

/u* A A A A A.v v %

A_A

Posibles Combinaciones de Funciones de Autocorrelación y Auíocorreiación

Parcial de un Proceso ARMA (1,1)

36

Para determinar si un determinado número de coeficientes de Autocorrelación son

significativamente distintos de cero, Box y Pierce [1] desarrollaron una prueba

estadística basada en la distribución *2 (Chi cuadrado) denominada como la

prueba Q.

Si el valor calculado para la prueba es menor que el valor de la función *2,

significa que las autocorrelaciones usadas para calcular la prueba no son

significativamente distintas de cero.

La prueba Q se calcula como

/i2 (2.4)k=l

donde m es el mayor retado de tiempo considerado.

Mientras menores sean las correlaciones menor será el resultado de X2. Si el

valor calculado para X2 con las correlaciones tomadas en cuenta es menor que el

valor de las tablas de la función X2, para el número de grados de libertad dado, se

diría que la hipótesis de que esas correlaciones no son significativamente distintas

de cero es verdadera.

Identificar, y en general pronosticar, una serie de tiempo estacional es mucho más

complejo que hacerlo para una serie de tiempo no estacional, dado que además

del patrón repetitivo entre retardos de tiempo seguidos, existen uno o más

patrones repetitivos de período Si, Sa, etc. (donde S es la longitud en retardos de

tiempo del período estacional) más largos que los normales y que necesitan ser

representados por modelos ARIMA propios. El proceso de identificación de los

37

componentes estacionales de la serie es semejante a la identificación de ios

componentes normales, se analiza los retardos de tiempo que sean múltiplos del

período de la esíacionalidad y se determina cual es el modelo que la rige.

La identificación de los procesos estacionales siempre se realiza después de

haber identificado el modelo ARSMA de período normal, y en orden creciente

desde el período más corto hasta el más largo. Los períodos más cortos son más

fáciles de identificar puesto que pueden estar contenidos más de una vez en los

períodos largos y su comportamiento puede ser más claro, así las influencias de

los períodos más cortos son eliminadas facilitando también la identificación de los

más largos.

Se ha elegido a la temperatura ambiente como la variable externa a ser incluida

en el pronóstico de demanda. Esta inclusión no es una simple elección del autor

realizada sin fundamento; de todas las variables climáticas que tienen efecto

sobre la demanda eléctrica, la temperatura ambiente es la que tiene el

comportamiento más predecible y su pronóstico no es complicado a diferencia de,

por ejemplo, la nubosidad que también tiene un efecto interesante sobre la

demanda, afectando en especial a la carga de iluminación, pero su

comportamiento es mucho menos predecible y acarrea errores significativos y por

tanto en lugar de ser útil para el pronóstico de demanda puede distorsionarlo.

Para identificar como afecta la temperatura a la demanda eléctrica se han

desarrollado algunas metodologías, entre ellas se pueden destacar:

1. Análisis de Fourier, usado en general para el análisis de series de

38

2. Efecto proporcional a la temperatura, se identifica dos valores umbral de

temperatura entre los cuales se desarrolla el efecto de la temperatura

en la demanda y el valor máximo en que varía la demanda con el valor

máximo de temperatura y mediante una función lineal se asigna valores

de demanda proporcionales a la temperatura.

3. Series de tiempo con ecuaciones de diferencias, se realiza mediante

técnicas de regresión múltiple.

En concordancia con los modelos ARMA, en este trabajo se utilizarán las técnicas

de series de tiempo con ecuaciones de diferencias.

La función de correlación cruzada o auíocorrelación cruzada como la llaman

algunos autores [1], es el resultado de combinar los conceptos de correlación

simple, que define el grado de relación entre dos variables X y Y, y el concepto de

autocorrelación, que indica el grado de relación o asociación entre valores

correspondientes a distintos puntos en la serie de tiempo. La función de

correlación cruzada es útil para determinar cuando las series Xt y Yt son

estacionarias y aun más importante, es utilizada para determinar la influencia de

las variables externas sobre una serie de tiempo y así poder postular un modelo

ARMAX, en general, apropiado.

Para definir la función de correlación cruzada es preciso definir primero la función

de covarianza cruzada. La función de covarianza cruzada entre Xt y Yt define los

niveles de asociación entre el valor de X en el instante t y el valor de Y en el

instante t + k ( K = O, 1, 2, 3, .....). Inversamente, la función de covarianza

cruzada entre Yt y Xt, indica los niveles de asociación entre el valor de Y en el

instante t y el valor de X en el instante t + k (k = 0,1,2,3,...).

La expresión para el cálculo de la función de Covarianza Cruzada entre Xt y Yt se

indica a continuación:

39

Se puede comprobar que Cvx(k) = Cxv(-k) o Cxv(k), k = ~1, -2, -3,.... entonces la

función de covarianza cruzada entre Yt y Xt se convierte en:

t+k -x)

La función de covarianza cruzada es una medida absoluta que puede ser

estandarizada dividiéndola para la desviación estándar de X y la desviación

estándar de Y. La función de covarianza cruzada una vez estandarizada se llama

función de correlación cruzada y se expresa por:

= 0,±1,±2,±3,... (2.7)

Donde Sx y Sy son las desviaciones estándar de Xt y Yt respectivamente.

La función de correlación cruzada puede ser utilizada en forma semejante como

se hace con la función de auíocorrelación para determinar el patrón de

comportamiento entre las series en análisis.

El pronóstico es la etapa mas sencilla de todo el proceso, puesto que se trata de

modelos lineales, una vez que se dispone de un modelo apto y sus parámetros

han sido estimados, el pronóstico se hace reemplazando en el modelo los valores

de cada retardo de tiempo que se considere y multiplicarlo por su correspondiente

Si la serie en análisis ha sido diferenciada, con el pronóstico de la serie

estacionaria simplemente se aplica el proceso inverso a la diferenciación a partir

de los más recientes valores conocidos de la serie. Por ejemplo, si se tiene una

diferenciación de orden m:

yí'=(1-Bm)yf = yf-yí.m (2.8)

entonces el valor original de yt se consigue de la siguiente manera:

Los algoritmos de estimación y pronóstico se han implementado a manera de

rutinas escritas para ei software MATLAB, especializado en el trabajo con

vectores y matrices de grandes dimensiones, como las series utilizadas en este

trabajo, y aprovechando las ventajas que ofrece este software para la realización

de rutinas que involucren cálculos numéricos de alta carga computacional. En el

anexo 1 se presentan las rutinas de pronóstico, estimación de parámetros y

cálculo de funciones de auíocorrelación y autocorreiación parcial.

Al final de la etapa de identificación se obtienen varios modelos preliminares de la

serie de tiempo, luego para probar su eficiencia y hacer los pronósticos es

necesario primero estimar los parámetros correspondientes a cada modelo.

La técnica básica que se ha seleccionado para estimar los parámetros es el

método de mínimos cuadrados optimizada mediante técnicas recursivas y el

seleccionado entrega los mejores resultados, la distribución de la muestra de los

parámetros estimados, tiene una media igual a los parámetros reales y su

varianza es igual o menor que la de cualquier otro estimador, es decir no tiene

sesgo y es de mínima varianza .

Supóngase que se quiere estimar los parámetros del modelo ARMA descrito a

continuación:

(3.1)

donde p y r son los ordenes de los parámetros autorregresivos y de la variable

externa u respectivamente, y que se dispone de un conjunto de observaciones:

(3.2)

Se debe calcular los valores del vector de parámetros:

(3-3)

que mejor se ajuste a los datos observados. Dado que y(k) depende de datos

anteriores hasta en n retardos (donde n es el mayor número entre p y r), el error

más anterior que se puede conseguir es e(N - n) y dado que se puede definir elx/potnr HP prmrpsí p<5("T¡hipnrln la pr*uarMÓn *3 "1 nna w rvfra Y/PT nsara lrs<s \/alrirp«s HPVG^UJI uc oí i ui wo cowi IMIGI luu la cwucawiwii w« i ui id y LILI o v&¿. poíd iuo vaiui co uc

= xr(0)9

y(n) = xr (n)9 + e(rí)

donde x se define como el vector de estado del modelo de la siguiente forma:

x(/í) = [y(/c + 1) y(k+2)-y(k + p) u(k)-u(k + r)f (3.5)

Para pasar a notación matricial, se definen los vectores siguientes:

= [x(0)-.x(A/~n)]r(3.6)

= [e(0)-e(A/-n)f

En términos de estas definiciones se puede rescribir la ecuación de errores:

(3.7)

La expresión de los mínimos cuadrados significa que se debe encontrar un valor

para 9 de tal manera que minimice la suma de los cuadrados de los errores. Para

ello se define la función:

(3.8)

y, usando la notación matricial anterior, la ecuación 3.8 se puede escribir como:

(3.9)

El objetivo es encontrar un vector 9MC de tal manera que minimice la función J,

pero como J es una función cuadrática, para minimizarla, §MC debe hacer cero su

algebraicas se llega a esta ecuación:

A __* u ur. — (3.10)

7MC

0 ——

fi "w\~*\pT (3.11)

expresión es la solución para la minimización de J, y como se puede

observar es explícita y de aplicación directa.

En el caso anterior intencionalmente se desarrolló el cálculo de los parámetros

por mínimos cuadrados para un modelo ARMA de parámetros MA cero es decir,

se analizó el caso de un modelo AR con una variable externa (i/t), pero ahora se

plantea un modelo ARMA más general, que en este caso ya incluirá parámetros

de Media Móvil así:

(3.12)

los nuevos vectores de parámetros y de estado o información están definidos por:

6 = (fh — $p \i/0 — vr 0! "-egF (3.13)

x(í) = |y(í + l)y(t+2)—y(t+p)u(t) — u(t+r)e(t + l)—e(t + q)f (3.14)

Aquí es donde se presenta el problema, los valores de los errores e(t+1)... e(t+q)

son desconocidos al momento de hacer la estimación; el error es igual a:

(3.15)

donde y(t) es el valor estimado para y en el instante t, y que solamente se puede

conocer cuando se ha realizado la estimación y el cálculo respectivo. Para

corregir este problema se utiliza la técnica de los mínimos cuadrados recursivos

de la siguiente forma:

1. Para la primera iteración se supone que todos los errores en la

estimación son iguales a cero, lo cual no está muy lejano de la

realidad pues se supone que los parámetros estimados son la mejor

aproximación a la realidad.

2. Se hace la primera estimación de parámetros para la medición más

lejana posible es decir, t + N - n, donde n es el mayor número entre

3. Con la primera estimación ya es posible calcular el error

t + N - n, y se actualiza el vector de los errores.

4. Ahora se hace la estimación para t *N- (n- f1 )yse procede como

en el numeral 3, de esta manera se hace una aproximación

recursiva hasta t = t y se obtiene el vector final de parámetros de la

Cada vez que se añade una nueva medición se redefine la matriz de estado con

el nuevo vector de información así:

; = [x(N-n-l)x(N-n)...x(N)]

entonces:

x(k)w(k)xr (k) = J^x(k)ayN-kxT(k) (3.17)I /C=A/-/í-1

donde w(k) es una función de ponderación de las observaciones definida por

ayw~* siendo a una ganancia del factor y y el factor de ponderación u olvido. La

como w(k) multiplicado por l¡

La ecuación 3.17 puede quedar escrita en dos términos como :

r i" T"

X %BJV «,'V' / A / n\yH/A/ n\V/A/ rA_i_Y/A/ n 'ftoY /A/ n *\\ "1 Gl\A = VA i /v — n j w w t / v — niAi/v — n i + AI/V — n— ijaji t /v — n — n lo. l o jl \\ \ \ \ \

para la solución de los mínimos cuadrados se requiere la inversa de la matriz

anterior, entonces por conveniencia se define una matriz P como :

P(A/-n-1) = [X/(A/~n-l)WX(A/-n-1)f (3.19)

Entonces la ecuación 3.19 se puede rescribir:

_ 1 -f

(3.20)

Aplicando el lema de inversión de matrices:

r~l ¿a ~iffisí!iíl**~-J . @=% ¿a ~iE=a 1 "B-siík"! /Q O*i\a ecuación 3.18 puede llegar a la siguiente expresión equivalente:

(3.22)

que representa el primer término de la ecuación normal ponderada (mínimos

cuadrados ponderados) donde I representa la matriz identidad y L(N-n-l) se

define como:

(3.23)a

Análogamente, la ecuación 3.18 se puede escribir:

f-n-l) (3.24)

Para la nueva medición en (N-n-1), la ecuación normal de solución de mínimos

cuadrados, se expresa de la siguiente manera:

W¥(N-n~l) (3.25)

Si en la ecuación anterior se sustituyen las expresiones 3.22 y 3.24 y, haciendo

algunas operaciones algebraicas se llega a obtener la expresión normal para la

solución por mínimos cuadrados recursivo:

(3.26)

(3.27)

Como es claro observar, en el proceso de estimación de parámetros po el método

de mínimos cuadrados recursivo no es necesario invertir ninguna matriz, lo que lo

hace un método rápido y efectivo.

A continuación se plantea un algoritmo para estimación de parámetros utilizando

las expresiones 3.14, 3.19, 3.23 y, 3.26, planteadas en el punto anterior:

1. Seleccionar un valor adecuado para a y el factor de olvido gamma.

Generalmente se selecciona un valor cercano a uno (p.e. gamma =

O*J,

2. ¡nicializar los valores de la matriz P y el vector de parámetros estimadosn

6 . Estos se inicializan con valores cero para la primera iteración.

3. Seleccionar el número de iteraciones K. En todo caso tiene que

menor que N-n-1.

4. Coleccionar ios n primeros (más antiguos) datos (y(N~n), ......

n),...,u(N)) y formar xT(N-n-1).

5. Iniciar el proceso de estimación con k = N-n.

,-1I T f

X(k -1) - + XT (k -1) í- i x(k -

7. Coleccionar y(k~1) y u(k-1).

8.

9.

10. Formar x(k-2)

^>'ac'^^, caso

La demanda eléctrica es función de muchos factores dependientes, como ya se

indicó anteriormente, de las costumbres y características de ios usuarios

ciertamente imposibles de determinar con exactitud. Cualquier pequeña variación

de uno de estos factores induce en la demanda un comportamiento diferente al

esperado, pero tomando las variaciones globales de todos los parámetros se

puede identificar que las desviaciones provocadas pueden ser asociadas con una

señal de ruido sobre la serie de la demanda.

Esta señal de ruido que afecta a las variables involucradas (en nuestro caso

demanda y temperatura) se representan con una función de densidad de

probabilidad y, en función del teorema del límite central que dice que "si una

variable aleatoria x es la suma de n variables aleatorias independientes que

satisfacen ciertas condiciones generales, entonces para un n suficientemente

grande, x se encuentra aproximadamente distribuida en forma normal o

gaussiana" [ ], se puede decir que la señal de error o ruido que afecta a la serie de

demanda cumple con las condiciones del teorema del limite central, es decir que

tiene una distribución normal.

A procesos como el que se analiza, donde están presentes variables aleatorias

regidas por una función de probabilidad, se los denomina procesos esíocásticos.

El error en la estimación de parámetros en procesos esíocásticos no solamente

depende de cuan bien esté el cálculo de los parámetros sino también del ruido o

aleaíoriedad presente en el sistema. Para que un estimador de procesos

esíocásticos se desempeñe adecuadamente, debe cumplir con algunas

características como consistencia, sin sesgo y mejor estimador, que se detallan

en los puntos siguientes.

Un estimador esíocástico es consistente si los parámetros estimados 9 cumplen

con la condición de que la diferencia con el valor real 9° después de un número

de iteraciones N es despreciable, es decir, se dice que el estimador es

consistente si se cumple la condición siguiente:

50

YT í-»-

w 1 ír\/&¡\9UJ Í9(A/)~9U!=Q (3.28)

Un estimador estocástico no presenta sesgo si la diferencia entre el valor medio

de las estimaciones, es decir el valor esperado, y el valor real es igual a cero

-9°= O

estimación es necesario que ios valores estimados se acerquen a los valores

reales en un número de iteraciones N finito. Desafortunadamente, no es posible

obtener un estimador que calcule el mínimo de 9 - 9° sin incluir el valor de 9°

(desconocido) directamente. Lo que se puede hacer es obtener un estimador que

sea el mejor, en el sentido de error medio cuadrático, que también sea lineal y sin

sesgo: el resultado es un BUJE.

El método de máxima verosimilitud es un método de estimación de parámetros

estocástico en el que se trabaja con cualquier función de distribución de

probabilidad. En la aplicación presente se asume una función de distribución

normal.

En la estimación se asume una estructura para la función de densidad de

probabilidad de las observaciones disponibles. Supóngase, por ejemplo, que los

datos consisten en un conjunto de observaciones que tienen una densidad de

probabilidad definida por la ecuación 1.6, pero con valor medio desconocido. El

es entonces 9° = x.

La función

\-7c/21=1 (3-30)

que es la función de probabilidad de £ dado 8, se representa como una función

de 0 y expresa la densidad de probabilidad de un conjunto x¡ para cualquier valor

0 de la media de la población. Como la probabilidad de que un x¡ cualquiera este

en el rango entre a y b es igual a :

(3.31)

Entonces la función de densidad de probabilidad resulta ser una medida de la

"verosimilitud" para un valor particular. Cuando fes grande en la cercanía de x°,

se espera encontrar muchas muestras de la población con valores cercanos a x°.

A esta función/x(£|9°) de densidad de probabilidad, función de los parámetros

0, se la denomina función de verosimilitud,

Si los datos reales vienen de una población con una densidad de probabilidad

/:C(£|00)I entonces se espera que las muestras reflejen este hecho y que un

buen valor estimado de 9° dadas las observaciones x = {xi, x2,...,Xn}T sea 9 = 9,

donde 9 es aquel que hace que la función de verosimilitud fx(& \) sea lo mayor

posible. Un valor estimado con estas características se denomina un valory,

,es

fx(x|0w)>fx(x!9) (3.32)

de la ecuación 2.30 se puede calcular 0^ para la media x, haciendo

derivada parcial de fx(x\Q) con respecto a 6 sea igual a cero.

, se obtiene lo siguiente :

1 (3.33)

de tal manera que la derivada del logaritmo de f es cero cuando df/dQ es cero,

puesto que no es posible para f ser cero en la cercanía de su máximo. Como el

logaritmo natural de la función de densidad es una función mucho más sencilla

que la propia función, en adelante, y por facilidad, se trabaja con el negativo del

logaritmo. Así, para el parámetro escalar í se tiene:

si se obtiene la derivada con respecto a 6:

/=!(3.34)

(3.35)

/o o¿>\)

di i

e igualando a cero se llega a:

/=!(3.37)

(3.38)

53

De lo anterior se llega a la conclusión de que para una distribución normal, donde

se desconoce la media, su valor estimado de máxima verosimilitud es la media

muestral, que también es consistente, sin sesgo y BLUE, además de cumplir con

los mínimos cuadrados. Ahora, el siguiente paso es aplicar esto al sistema

Considérese un modelo ARMA que contiene solamente el efecto del ruido blanco

en el período actual representado por el error e(t), semejante al descrito en la

ecuación 3.1:

(3.39)

y si se asume que la distribución del vector de los errores en la serie,

E = [e(0)...e(JV-iz)]r, es normal N(0,S21), esto significa que cada e(t) está

normalmente distribuido con media cero y varianza S2 y además que la relación

de covarianza entre e(i) y e(¡) es cero para todo / j. Si se conocen los valores de

y(t), u(t)t <j> , y \i/ se puede calcular e(t) de los valores observados, y la

distribución de y(t) se conoce inmediatamente por la distribución de e(í). Usando

la notación que se utilizó para los mínimos cuadrados, se define:

-n

= [x(0)-x(A/-n)f

= fe(0)*-e(/V-n

Eníonces para la ecuación 2.31 tenemos:

0+!

Para obtener la función de densidad de probabilidad /(Y|6°) necesaria en el

método de máxima verosimilitud, es necesario calcular directamente el vector E,

para lo que es necesario el modelo inverso del sistema, es decir

que resulta ser de cálculo trivial. Como se ha asumido una distribución normal

para el vector de errores E, la función de distribución de probabilidad se escribe

directamente de lo anterior:

)°) = (27i;S2rm/2eL 2 s2 J (3.43)

donde m = N - n, el número de retardos para los que hay valores disponibles.

0° por un 8 más general. Si se procede como en el ejemplo elemental

anteriormente expuesto, obteniendo el logaritmo natural de f se llega a:

2

Claro está que los valores estimados 8^ y S*w son aquellos que hacen que

¿(Y 18) tome su valor máximo posible. La manera de obtenerlos es igualando a

cero las derivadas parciales de ¿(Y 18) con respecto a 8 y S2. Estas derivadas

son:

1 I T * T IA iw-í -VQ v^'vl— nAü i/»- — A 1M = U

s2

• H : = O

La ecuación 3.45 que da la solución de los valores estimados de 6 es idéntica a

la ecuación normal que se obtiene con la solución a través del método de los

mínimos cuadrados, y por tanto esta solución es asintóticamente consistente y sin

sesgo. La solución para S2 se despeja de la ecuación 3.46, y resolviendo se llega

1

m

Hasta aquí, no se tiene una nueva solución excepto el valor estimado para S2,

pues se nota que el método de máxima verosimilitud para el caso analizado

entrega la misma solución que el método de los mínimos cuadrados.

Autorregresivos y de la variable exfcerna, sin tomar en cuenta aquellos

correspondientes a la parte de Media Móvil. A continuación considérese un

modelo ARMA más general descrito en la ecuación 3.12:

la función de distribución de probabilidad de E = [e(Q)...e(N-ri)Y es considerada

nuevamente como normal, A/fO, S2!). La diferencia entre el modelo planteado en

la ecuación 3.39 y el nuevo modelo de la ecuación 3.48, radica en que ahora se

incluye la influencia de los valores anteriores de la serie del error, afectados por

coeficientes de ponderación 9¡. Sí los coeficientes de ponderación de ios errores

son distintos de cero, en este caso el estimador de mínimos cuadrados será

sesgado [9] y por lo tanto es necesario recurrir a otro método de estimación como

el de máxima verosimilitud.

En el momento de la estimación, los valores de los errores pasados que se

podrían cometer con el modelo al cual se está estimando los parámetros son

desconocidos y, esto no permite que se pueda hacer la estimación de parámetros

y por tanto, no se puede encontrar una ecuación con la cual calcular

directamente los parámetros. Para solucionar este problema circular lo que se

debe hacer es una aproximación numérica hacia la solución por medio de un

algoritmo recursivo similar al planteado para el método de los mínimos cuadrados.

Como no es posible plantear una expresión que permita hacer el cálculo directo

del estimador de Máxima Verosimilitud, a continuación se plantea un algoritmo por

medio del cual se hace la aproximación numérica para el vector de parámetros/\s 9^ . Partiendo de la ecuación 2.37 y formando el modelo inverso, es

decir despejando e(t), se llega a la siguiente expresión:

donde se asume que e(t) tiene una distribución normal con media zero y varianza

escalar desconocida Se. De igual manera el vector E = [<0)...e(JV-ii)]r también

cero y covarianza S = Selm = E(Wr), donde lm

m = N-n + l,o sea, el número de elementos en

Así, se puede escribir la función de densidad de E como una función de los

parámetros reales 0° =kl—<|>. \ivVr er"^

57

•f/c i Q\\ (E | 9) = ((27C) (3.50)

para encontrar la función de verosimilitud se sustituyen parámetros cualesquiera,

9, en la ecuación 3.50 y suponiendo que e(t) es la salida de la ecuación 3.49

cuando 8 * 9°, entonces:

(3.51)2 2 2SP t=N-n

El valor estimado de Se, que se puede calcular directamente igualando a cero la

derivada de la función de verosimilitud con respecto a Se, es igual a :

N

Para calcular los parámetros del vector 9 que maximicen la función de

verosimilitud se utiliza una técnica recursiva basada en el método de Newton.

Básicamente la técnica parte de una estimación k-ésima dada y se pretende

obtener una (k+1)-ésima estimación que haga que la función de verosimilitud sea

mayor que en la iteración anterior. El método expande I alrededor de 9(£) y/-,

busca 9(& + l) de tal manera que los términos cuadráticos (los tres primeros

términos en la expansión de I sean maximizados. El proceso es el siguiente. Sea

9(/c +1) = é(*)+69, entonces:

(3.53)

di

e=0(/c)

8=9(/c)

Es necesario encontrar 59 de tal manera que la aproximación hacia i sea lo

mayor posible. La condición para que I tenga un máximo es aquella donde

d£/d$Q = Q. Diferenciando la expresión 2.42 e igualando la derivada a cero

(ignorando los términos de órdenes superiores), el resultado es:

380

Usando el resultado de la expresión 3.55 se puede calcular 0(£+l) como:

(3.56)

Usando los términos de la expresión 3.54 se puede escribir el algoritmo así:

(3.57)

es necesario

términos de las series

de la expresión 3.57 en

observadas y(t) y u(t). Para lograr esto se debe utilizar la

59

expresión 3.51 y, suponiendo que S6 es una constante, formalmente ei proceso

es el siquie

^e2(/0

2S6 ft=W-n

f 1 v- ~,,,W<?

(3.59)

dze

Se nota que la expresión 3.58 y el primer término de la expresión 3.59 dependensolamente de la primera derivada de e(t) respecto de G . Puesto que se espera

que el algoritmo solamente haga un acercamiento hacia el valor real de 9,y

además, como se esta trabajando cerca del máximo de la función de

verosimilitud, se asume que los términos correspondientes a la primera derivadasean los que dominan y se simplifica, por facilidad matemática y compuíacional, elalgoritmo eliminando de la expresión 3.59 el término que contiene la segunda

\eeft

Con la simplificación anterior, solamente es necesario calcular los valores

relacionados con 5e(í)/58- A estas derivadas parciales se las conoce como

sensitividades de e respecto de 9 y se las puede calcular a partir de las

expresiones escritas a continuación:

a*/ -yd-n-^Qj^r^1 0.60a)

(3.60b)

- rff n Vfl— ~Sli — / J — 7 O ;^ ' ¿**¿ J

(3.60c)

Para fines del algoritmo, es necesario expresar las ecuaciones 3.60 en forma

matricial, por esto se define la matriz denominada gradiente del error así:

(3.61)

Y utilizando el vector de información (x), las ecuaciones 3.60, en forma iterativa,

(3.62)

reemplazando la expresión anterior en las expresiones 3.58 y 3.59 y despreciando

la segunda derivada del error utilizada en 3.59, se tiene la nueva forma de escribir

SW e,

(3.63)-iT

,,(K)

H de(k)

aeQ frtTnVCíy; OT O frTT»wg K-¡v-n N ^ Og K-/v~n

(3.65)

estimado de la varianza del ruido blanco Se utilizado en las expresiones

se puede definir en forma recursiva a partir de su definición en la

3.52 como:

(3-67)

vector de información y el gradiente del error sirven para expresar el error de

icción en forma recursiva:

Con las expresiones antes expuestas de la aproximación numérica, se puede

plantear el algoritmo necesario para los cálculos computacionales.

Una vez representadas todas las expresiones en forma recursiva se plantea el

algoritmo de máximo de verosimilitud, para mejorar el desempeño del algoritmo y

aumentar su estabilidad numérica es necesario hacer algunas aproximaciones

que se indican al final del algoritmo.

1. Cálculo del error de predicción:

e(k +1) = y(k +1) - XT (k

2. Cálculo del gradiente del error de predicción:

(3.69b)

3. Cálculo de la varianza del ruido blanco:

K + 1(3.69o)

4. Cálculo de la primera derivada de la función de verosimilitud:

Se(/c + 1)

5. Cálculo de la segunda derivada de la función de verosimilitud:

(3.69d)

(3.69e)

6. Cálculo de los parámetros estimados :

63

7.

El algoritmo básico de estimación indicado en las líneas anteriores, puede

mejorarse en algunos aspectos matemáticos.

1. En la expresión para el cálculo de los parámetros estimados 3.89f se

requiere la inversa de la segunda derivada de la función de verosimilitud,

V". Para evitar el complejo proceso de cálculo de la inversa de la matriz V"

se utiliza el lema de inversión de matrices de la siguiente manera:

Sea P(k+l) =[V"(k* I)]"1, y por ende P(k+1) =IV"(k-M)r1; entonces:

Se(/c+1)(3.70)

Para encontrar esta matriz inversa, se aplica a la expresión 3.70 el lema de

inversión de matrices, ya mencionado anteriormente, llegando a lo

>(*)r (k (3.71)

(3.72)

El último término entre paréntesis de la expresión anterior no es más que

un término escalar. De esta manera, el cálculo de la inversa de la segunda

derivada se reduce al cálculo de la matriz P(k), donde solamente se

requiere la inversión de un término escalar.

2. En el cálculo del error de predicción e(k*1) en 3.69a se usa los valores

estimados en el instante k, 6(£) . Sin embargo, después de calcular la

nueva estimación 9(&+l), se puede actualizar el error de predicción para

formar el vector de información x(k*1) y con ello mejorar el cálculo del

gradiente del error ®(A;+1). Esta actualización del error de predicción se

denomina error residual:

/(* + 1) = y(k + 1) - xT(k + 1)0(¿ + 1) (3.73)

Con este cálculo mejorado del error se define un nuevo vector de

información:

(3.74)

3. En la expresión 2.55d es posible hacer que V'(k) = o, ya que para valores

de k suficientemente grandes se considera que se trabaja en la vecindad

de 0° y para instantes anteriores a k*l se supone que ya se ha minimizado

la función de costo. Entonces la expresión 3.69d se puede escribir como:

(3.75)

kCuando k alcanza valores grandes se puede considerar que - = 1,

£ + 1

entonces la expresión 3.69c se puede rescribir como:

(3.76)

5. Otro punto a tomar en cuenta es que el valor de Se(/c + 1) es muy

semejante a Se(k)f por consiguiente se puede aproximar las expresiones

3.71 y 3.72 haciendo esos términos iguales:

(3.77)

1)IS6 (3.78)

Dado que los datos más cercanos en el tiempo tienen mayor influencia o

son un mejor indicativo del proceso real, es posible hacer una ponderación

de los datos para que tengan mayor peso aquellos que están más

cercanos. Para esto se define una función de ponderación w(k) ~ ayk que

se introduce en la ecuación 2.40

2S0 k=N~n

3.79 se

y que como

nuevamente el algoritmo de máxima

las expresiones 3.75, 3.76 y 3.77

S.(/c(3.80)

+1) = - I - L(k+1)<5r (k + 1)P(/c)Y

(3.81)

'1\1

(3.82)

entonces la estimación será:

= é(/c) - F(/c + 1)[V (k + 1)f (3.83)

El factor de ponderación y incluido en ésta ultima adecuación del algoritmo,

además de cumplir su función de ponderar los datos, evita inestabilidad

numérica en los cálculos del algoritmo, pues evita que la matriz Pf en algún

momento de la estimación, llegue a ser igual a cero.

7. En el proceso recursivo de estimación de parámetros para series de

tiempo, es necesario iniciar el proceso de estimación a partir de los

primeros datos de la serie, es decir los más antiguos. En la notación

generalmente utilizada para series de tiempo, que es la que se utiliza para

este trabajo, ios primeros datos de la serie se marcan con los índices

mayores y, el último dato con el índice cero; por esto, los pasos de las

iteraciones en lugar de avanzar desde el punto k hacia el punto k+1 lo

harán hacia el punto k-1, acercándose de ésta manera al último dato de la

serie.

Con todas las aproximaciones e innovaciones añadidas al algoritmo original, se

está en condiciones de plantear el algoritmo definitivo:

1 . Seleccionar un valor adecuado para los factores de ponderación, a y y „

El valor a se inicializa con a = 1 que se mantiene durante todo el proceso,

pues en la función de ponderación solo se toma en cuenta el término

exponencial y que para este caso se inicializa con un valor de 0,998.

2. Inicializar la matriz F y el vector de parámetros estimados 9, inicializar

también la matriz del gradiente del error y la varianza del error.

Como la matriz P está relacionada con la varianza del error, es aconsejableinicializarla con un valor alto, haciendo P = al, donde alfa es igual a un

número grande como 10000. También, el gradiente del error se puedeinicializar con un valor de cero. La varianza del error se debe inicializar conun valor muy cercano a cero, por ejemplo 0,001, para evitar problemas de

3. Seleccionar el número de iteraciones K, con la condición de que K < N-n-1,

4. Obtener n datos de las series de tiempo y con ello iniciar el proceso deestimación, para k= N-n.

5. Leer los datos y(k-l) y u(k-l) y con ellos actualizar x(k-l).

1) - XT (k

Cálculo del gradiente del error:

HA la v/nnaíTya Hpl niirin hlanrU O Id VOI IOI I¿_C1 UCI I UIV-HJ UIOIIWJ

9. Cálculo de la primera derivada de V:

10.Cálculo de la matriz L:

68

y a\1 .Cálculo de la matriz P:

+1) «e- -l-T

IS.CálcuIo del error residual:

s(/c + 1) <- y (/c + 1) - XT (k + 1)9(/c + 1)

1 4. Incrementar k.

15.Iral paso 5.

Este algoritmo ha sido i

En el anexo 1 se presentan en

como una subruíina en el

las subruíinas utilizadas.

La serie de tiempo estudiada en este trabajo se compone por 24 observaciones

diarias realizadas sobre el estado de la demanda de potencia del SNI al final de

cada hora, más una observación adicional realizada a las 19:30. Esta

observación adicional es necesaria debido a que en el período comprendido entre

las 19:00 y 20:00 es donde generalmente se presenta la demanda máxima diaria.

Al final, la serie de tiempo queda conformada por 25 observaciones diarias

recopiladas durante los 365 días del año.

Los datos que se han utilizado para conformar la serie se han obtenido de las

estadísticas del SNI correspondientes al año 2000 entre el 1 de enero y el 31 de

diciembre.

Como variable externa al modelo se ha seleccionado la temperatura ambiente por

ser la que afecta en mayor manera a la demanda y además es mas factible

obtener los datos necesarios.

La carga dependiente de la temperatura se puede dividir en dos grupos, la que se

utiliza para calefacción y la que es necesaria para refrigeración. Con esta

clasificación, la carga instalada en el SNI se agruparía en dos tipos generales:

1. La carga de la Región Sierra, donde los rangos de temperatura son bajos

en todo el año lo que hace que la carga dependiente de la temperatura

predominante sea del tipo de calefacción, y

2. La carga de la Región Cosía, en este caso los rangos de temperatura son

altos y consecuentemente la carga será para efectos de refrigeración y

acondicionamiento de aire.

69

70

Esta clasificación hace necesario dos muestras de temperatura, una

correspondiente a cada región como mínimo. Los puntos donde se han obtenido

las muestras son las subestaciones Pascuales y Viceníina, ubicadas en los

centros de carga de cada región.

Por dificultades técnicas no ha sido posible obtener un óptimo de muestras

ubicadas por lo menos en las cabeceras provinciales, pero para efectos de

estudio las dos muestras serán suficientes.

Estas series han sido muesíreadas en forma similar a la demanda, de manera que

se dispone de 25 observaciones diarias en cada una de las dos regiones.

La calidad de los productos resultados de cualquier proceso depende

principalmente de la calidad de la materia prima que se le suministra, en este

aspecto, los pronósticos que se puedan generar desde un modelo ARIMA también

dependen en gran medida de los datos incluidos en las series de tiempo que

conforman sus entradas.

Para confirmar la consistencia de los datos, se utiliza en la regla que en

estadística se denomina como "empírica", que señala, que para una distribución

de datos que en general se parezca a una distribución normal se puede decir que

el 99% de los datos estarán dentro del intervalo comprendido entre la media de la

distribución menos 3 veces su desviación estándar y la media más 3 veces su

desviación estándar.

Para el caso específico de la serie de tiempo de la demanda de potencia, no es

posible aplicar la regla empírica en forma directa, es decir determinando la media

71

y desviación estándar de la serie a partir de todo el conjunto de datos, puesto que

esto llevaría a que los valores de la desviación estándar se presenten muy altos y

la clasificación de los datos sea incorrecta.

Este problema se presenta por la naturaleza estacional de la serie. La influencia

de estacionalidades diaria así como semanal hace que no sea apropiado

comparar, por ejemplo, la demanda de un día martes con la de un día domingo, o

la demanda de cualquier día a las 07:00 con su valor a las 19:00. La forma de

análisis que se adopta consiste en separar la serie original en series más*

pequeñas conformadas con las observaciones correspondientes a cada período

horario y para cada día de la semana, en total 175 series conformadas por 52

datos correspondientes a las 52 semanas del año.

Con los datos clasificados de una manera que permita agruparlos con valores

más similares se aplicó la regla empírica a cada una de las series. La figura 4.1

representa la distribución de datos correspondiente a la subserie de los días

viernes a las 07:00.

10 -

- 8 '

i 6 -2 -

0 -.*•

n.n.n.n, . . . . . .

Las observaciones que son rechazadas por la regla empírica se consideran como

datos aíípicos que no son representativos del comportamiento real de la serie en

condiciones normales. Los datos atípleos pueden deberse a muy variadas

72

causas, pero para efectos de análisis se los ha clasificado en las siguientes

categorías:

1. Días feriados o de paro.

2. Fallas o desconexiones en el sistema de potencia,

3. Errores de digitación.

Los valores atípicos son reemplazados para mejorar el desempeño del modelo

procediendo de la siguiente forma:

1. Cuando se trata de días feriados o de paro y de fallas en el sistema de

potencia con duración mayor a 2 períodos, se reemplaza los valores

aíípicos por la media correspondiente a cada período.

2. Cuando se traía de fallas en el sistema de potencia con duración igual a un

período o errores de digitación, se reemplaza el valor atípico por el

promedio entre los valores correspondientes a los períodos anterior y

posterior al periodo de dicho valor.

Después de que los datos son verificados se los organiza nuevamente según la

serie de tiempo original.

Con las series correspondientes a la temperatura el proceso es menos complejo,

puesto que los rangos de variación son menores y el proceso de adquisición es

más confiable, se aplica la regla empírica en forma directa a cada serie.

Una vez que se cuenta con una serie de tiempo conformada por datos confiables,

se puede iniciar el análisis y modelación de la serie siguiendo la metodología

indicada en el capítulo 2.

73

En primera instancia es necesario conocer si la serie es estacionaria. Para ello se

utiliza la función de autocorrelación de la serie y sus características estadísticas,

media y desviación estándar, estas dos últimas se presentan en la tabla 4.1.

estadístico

Media

S

Q352

A (0.05.352)

Valor

1145.93

260.59

3933918

396.74

En la figura 4.2 se presenta la gráfica correspondiente a la función de

autocorrelación, aquí se puede observar que los coeficientes decaen rápidamente

dentro de los primeros períodos, además, su media es distinta de cero en un valor

apreciablemeníe alto, demostrando el comportamiento de una serie estacionaria

en el corto plazo.

La estadística Q de Box y Pierce también tiene un valor mucho más alto que el de

la distribución X2 para los valores dados, esto indica que los períodos

considerados de la función de autocorrelación son significativamente distintos de

cero.

Luego de los primeros períodos se observa que los coeficientes de ia serie tienen

tendencia a crecer cíclicamente con una frecuencia de 25 períodos, se puede

decir entonces que la serie contiene una estacionalidad de período 25

(esíacionalidad diaria).

Para remover la esíacionalidad de la serie es necesario que esta sea

diferenciada. Se aplica una diferenciación estacional de período 25. Los

resultados de dicha diferenciación se pueden observar en la figura 4.3, los

incrementos cíclicos cada 25 períodos han desaparecido.

—i 1 •" i 1 \ 1 1 1 r-

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 35

101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 35

75

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 35

T- Va or Aufo&orrelación

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 35

76

150

-100-

-1501 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476

T - Va or Autocorre ación

T- Valor Autocorrelación

77

Luego de aplicar la diferenciación de período 25 se encuentra que la serie aun

contiene otra componente estacional, pero esta vez la frecuencia es cada 175

períodos (estacionalidad semanal) y, al igual que en el caso anterior, debe ser

removida aplicando una diferenciación estacional con idéntico período, es decir de

período 175.

En la figura 4.4 se presenta la función de autocorrelación de la serie resultante de

aplicar las dos diferenciaciones estacionales a la serie original. La tabla 4.2

presenta la media y desviación estándar de dicha serie. Los resultados indican

variaciones más moderadas de los coeficientes con frecuencias de 25 y 175

períodos, variaciones propias del comportamiento de la serie estacionaria, y a

partir de estos resultados se puede decir que la serie ha alcanzado la

esíacionariedad a largo y corto plazo.

0.244

114.85

El efecto de la temperatura sobre la demanda depende, como ya ha sido indicado,

de la región geográfica del país en donde este ubicada la carga. En el SNI la

mayor parte de la demanda esta distribuida entre las zonas costa y sierra, y de

ellas se cuenta con medición de temperatura en el centro de carga de cada

región, es decir: Guayaquil (subestación Pascuales) y Quito (subestación

Vicentina).

Para estudiar cual es el efecto de la temperatura en cada región, se ha graficado

la demanda de dos días correspondientes ai mismo día de la semana pero en

78

fechas distintas, diferentes temperaturas promedio y para cada ciudad. En las

figuras 4.5 y 4.6 se presentan los resultados de este análisis.

Sep-00

Sábado 11-Nov-OO

11-Nov-OO

•Temperatura23-Sep-OO

CM

E.E.

500

350

300

250

200

150

100CO N- O> CO LO

i iK

35

30

25

20

15

•Martes 18-Jul-00

•Martes 31-Oct-00

•Temperatura18-Jul-OO

• Temperatura31-Oct-OO

T- CO IOCM CM CN

De lo presentado en las figuras 4.5 y 4.6 se puede inferir que en la región sierra la

carga dependiente de la temperatura es mínima y no afecta en mayor escala a la

demanda de la región; mientras que en la región costa es clara la influencia que

la temperatura ambiente tiene sobre la demanda.

79

La serie de temperatura incluye patrones de comportamiento estacional con

período de 25 retardos de tiempo como se puede apreciar en la figura 4.5. Para

eliminar dicho comportamiento, se aplica una diferenciación estacional de orden 1

y período 25, La figura 4^ presenta la serie de temperatura diferenciada y suv.

función de auíocorrelación. \¡ '

La serie de temperatura diferenciada es útil para un modelo de pronóstico de

temperatura, pero en el caso del pronóstico de la demanda, al diferenciar la serie

de temperatura se pierde la información que actúa como indicativo para la

evolución de la demanda. Es necesario entonces aplicar otro tipo de

transformación a la serie de temperatura.

En la referencia [12] se determina que la porción de demanda dependiente de la

temperatura sigue una curva por segmentos, la carga se activa proporcionalmente

a una temperatura umbral debajo de la cual es cero y hasta un valor de

temperatura techo sobre la cual la demanda será el valor máximo:

Dr =

O s¡T<T1

Y^V-Tj s¡T1<T<T2 (41)

DTM si

donde:

T! es la temperatura umbral bajo la cual la

demanda dependiente de la temperatura es casi

nula, y se asume que su valor es cero. En otros

términos, TI sería la temperatura de comfort a

partir de la cual se incrementa este tipo de

es la temperatura de saturación a la que se

supone que todos los aparatos de

80

acondicionamiento de aire y refrigeración están

encendidos.

DTM es el valor máximo de este tipo de carga.

Los valores de TI y Ta determinados en la referencia son 22 y 32 °C

respectivamente. Por haber sido calculados para una zona tropical como Brasil,

se asume (sin cometer mayores errores) que estos valores son también

representativos del comportamientos de los consumidores en la región costa

ecuatoriana.

En la metodología de pronóstico utilizada en este trabajo no se utilizara la

ecuación 4., sino solamente la transformación de la temperatura a valores entre O

y (T2-Ti), así:

O siT<T,

T-T, s!T1<T<T2

T2-Tj siT>T2

35.0Sene de la Temperatura

26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326

Autocorrelacion de Temperatura

26 51 76 101 126 151 176

Figura 4.7 S

15.0

10.0 -

-10.0 -

-15.0

82

Sene Diferenciada de Temperatura

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326

Auíocorrelacíón

76 101 126 151 176

Figura 4.8 Serie de Tempo de Ba Temperatura Diferenciada y su Función de

83

Seleccionar el modelo que mejor se ajuste a una serie es un proceso que requiere

el planteamiento de varios modelos tentativos que satisfagan las condiciones de

la identificación para posteriormente seleccionar de entre ellos el mejor.

En el caso de la serie de la demanda, como un primer paso se parte de las

funciones de auíocorrelación y autocorrelación parcial correspondientes a la serie

resultante del proceso de remoción de estacionariedad y estacionalidad. Estas

funciones están presentadas en la figura 4.4. A continuación se presentan varios

modelos tentativos, algunos utilizados simplemente como base de desarrollo de

los que son efectivamente escogidos para obtener pronósticos.

Este modelo se plantea como primer paso en el proceso de análisis. En la función

de auíocorrelación correspondiente a la serie estacionaria presentada en la figura

4.4 se observa que los coeficientes de los primeros períodos decaen con

tendencia exponencial, lo que puede indicar que la serie contiene un proceso

auíorregresivo de primer orden. El modelo comprende: dos diferenciaciones

estacionales de la serie original, una de período 25, notada (1-B25), y otra de

período 175, notada (1-B176); y un parámetro autorregresivo de primero orden y

período 1, se escribe como (1 - <)>iB). Una vez planteado el modelo, se realiza la

estimación de parámetros utilizando el algoritmo de máxima verosimilitud para

determinar el valor del parámetro <|>i.

*1Media

S

Q

X¿

0.823

0.1

23.6

3208

395.6

Tabla 4.3

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301

0.4

0.3

0.2

0.1

O

-0.1

-0.2

•0.3

•0.4

351 376 401 426 451 476

Autocorrelación

T- tf> V-

T-Va or Autoc irrelación Parcial

« m r- o íuY- •£> *-u\ of •*- íH

Figura 4.9 Residuales del Modelo 1, sus Funciones de Autocorrelación y

85

La figura 4.9 presenta los residuales correspondientes a la serie después de

aplicar el modelo 1, las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de

los residuales, y sus estadísticas semejanza T con altos valores repetitivos que

indican que varios de los coeficientes de las funciones de autocorrelación y

autocorrelación parcial son distintos de cero.

S25- + <|>iB) yt = (í + 6»B*) (I + 9175B175)

En las gráficas de las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial

correspondientes a los residuales del modelo 1 se observan dos cosas:

1. Fue una decisión correcta incluir el parámetro auíorregresivo de orden 1,

puesto que se ha eliminado el comportamiento exponencial decreciente de

los coeficientes correspondientes a los primeros retardos de tiempo, y

2. Los picos presentes en la función de autocorrelación en los períodos 25 y

175, combinados con el decrecimiento de sus múltiplos en la función de

autocorrelación parcial, indican la necesidad de incluir dos parámetros de

media móvil correspondientes a estos dos períodos,

Finalmente el modelo 2 queda conformado por 2 diferenciaciones estacionales a

la serie de demanda, notadas por (1 - B25) y (1 - B175), un polinomio

auíorregresivo de orden uno y período 1, (1 + <(>iB), y dos polinomios de media

móvil, el primero de orden 1 y período 25, (1 + GasB25), y el segundo también de

orden 1 pero periodo 175, (1 +

Los resultados de la estimación de parámetros del modelo 2, así como las

características de la serie de residuales se presentan en la tabla 4.4.

<t>1

625e175

0.7433

-0.8076

-0.6713

86

Tabla 4.4

Media

S

Q(352)

X (0.05, 352)

-0.02

9.81

9854.56

393.56

La media y la desviación estándar de los residuales podrían indicar que se trata

de ruido blanco, pero observando las funciones de autocorrelación y

autocorrelación parcial, presentadas en la figura ^9, es claro que la serie aún

contiene información que no puede ser atribuida al ruido blanco.

I175) + = (1 + I25)

En las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de los residuales del

modelo 2 se nota que los picos presentados en los primeros períodos múltiplos de

25 indican la necesidad de añadir un coeficiente autorregresivo de orden 25

dentro del modelo 3.

Este tercer modelo lleva, igual que los anteriores, dos diferenciaciones

estacionales a la serie original, (1 - B25) y (1 - B175). Dos polinomios de

parámetros auíorregresivos de primer orden y períodos 1 y 25, (1 + <)>iB) (1 +

<t>2sB25) y los dos polinomios de primer orden de parámetros de media móvil con

períodos 25 y 175 respectivamente, (1 + 025B25) (1 +

La figura 4.9 presenta los residuales obtenidos a partir del modelo 3 y cuales son

sus funciones de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial.

Los resultados de la estimación de parámetros y las propiedades estadísticas de

la serie de residuales son:

87

+1<|>25

925

8175

Media

S

Q352

X (0.05, 348)

0.8687

-0.048

-0.7627

-0.746

-0.14

23.94

10291

395

La serie de residuales aparentemente se comporta como ruido blanco

confirmando esto con las funciones de autocorreiación y autocorreiación parcial.

Dichas funciones presentan coeficientes con valores bastante bajos y que pueden

indicar que el modelo es adecuado para usarlo en el pronóstico de la serie de

demanda eléctrica.

200

-200

88

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50

T - Valor Autocorrelación

T ' l & T - l O r - t O f i O ' r - l & f l O - r - l i í - r -« m i v o o j i r t r w o í u i f t r w o t u i f j* - T - ^ T - < y c a « W t > t 7 W

T - I Ú T - l O ^ - l Ü T - í O l — ( O T - l f l y - U j T -p j t n r ^ o í y i r t i s - o o J i n r t a O í y i r t

T - T - ^ . Y - w f t | í y í y « ' f > * > 1

T-Valor Autocorrelación Parcial

(« « W ÍU

Figura 4.10 Residuales del modelo 2 y sus funciones de Autocorrelación y

89

100

50-

-50 -

-100-

-150

Residuales!

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50

T - Valor Autocorrelación

T- Valor Autocorrelación Parcial

Figura 4.11 Residuales del modelo 3 y sus funciones de AutocorreBación y

90

+ + 175W -)yt- + 25v

En las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de la serie

diferenciada estacionalmente se observan picos en los períodos 175 y sus

múltiplos lo que sugiere que se puede incluir un parámetro estacional

auíorregresivo de orden 1 y período 175, y retirar el parámetro de media móvil de

período 175. Además, el comportamiento de las funciones de autocorrelación de

los residuales de los modelos 2 y 3 en sus primeros períodos sugieren la

posibilidad de que se trate de un modelo combinado ARMA (1,1) por lo que se

incluye también un parámetro de media móvil regular. El modelo finalmente

contiene las dos diferenciaciones a la serie original, (1 - B25) (1 - B175), dos

polinomios autorregresivos de primer orden, (1 + <j>-iB) (1 + <JM75b175), con períodos

de 1 y 175 retardos. El modelo también incluye 2 polinomios de media móvil de

primer orden con periodos de 1 y 25 retardos, (1+0-iB) (1 +

Las propiedades estadísticas de los residuales resultantes de aplicar el modelo 4

pueden observarse en la tabla 4.12. Su gráfica, así como las de sus funciones de

autocorrelación y autocorrelación parcial con sus respectivos coeficientes de

semejanza T están presentados en la figura 4.12.

*1<j>173

61

825

Media

S

Q352

X (0.05, 348)

0.7628

-0.462

-0.108

-0.861

0.41

22.08

1860

392

91

,25t

25-

al75\v

Este modelo se deriva del número 4. A dicho modelo se le ha incrementado el

orden de los procesos auíorregresivos y además se ha incluido un parámetro de

media móvil de orden 1 y período 175, con la intención de disminuir los picos de

las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial que se presentan en los

primeros periodos y en los múltiplos de 175, que sugieren un posible

comportamiento combinado autorregresivo y media móvil.

El modelo queda conformado por dos polinomios de segundo orden y con

retardos de 1 y 175 , (1 + faB + fcB2) (1 + $m&m + feoB350), las diferenciaciones

estacionales, y tres polinomios de primer orden y de retardos de tiempo 1, 25 y

175.

La tabla 4.7 contiene los resultados de la estimación de parámetros y las

propiedades estadísticas de la serie de los residuales.

<j>1

<j>2

<|>175

<t>350

61

e25

6175Media

S

Q352

X (0.05, 348)

1.405

-0.4783

-1.14

-0.4681

-0.6755

-0.9184

-0.6288

0.28

18.48

712

396

92

En la figura 4.13 se puede observar los residuales correspondientes , así como

sus funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial, aquí se observa que

los residuales guardan una correlación muy baja, aunque en el período 175 aún

hay influencia.

93

100

50 -

-50 -

-100 -

-1501 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50

T - Va or Autocorre ación

T-Valor Autocorrelaclon Parcial

Figura 4.12 Residuales del Modelo 4 y sus Funciones de AutocorreEación y

100

50-

0 -

-50-

-100 -

-150 -

-200

Residuales

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50

0.4

0.3

0.2

0.1

O

-0.1

-0.2

•0.3

•0.4

Autocorrelación T - Valor Autocorrelación

« m r - o í a i f i r - O í u m r - o í n i í f t

0.4

0.2

0.1

O

•0.1

•0.2

•0.3

-0.4

Autocorrelación Parcial T-Valor Autocorrelación Parcial

T - l f i - r - l f i T - l D - r - l i j T -« i n i v o c a i n i v o nj -r- >o « i ñ r w o w i f t r - Q í y i n t . o o i j f jT - - r - T - - r - o i í y < y w * > « ' | { T

Figura 4.13 Residuales del Modelo 5 y sus Funciones de Autocorrelación y

95

La influencia de las variables externas dentro de los modelos ARMA no se puede

identificar directamente utilizando las funciones de autocorrelación y

auíocorrelación parcial. Como se ha indicado en los capítulos aníeriores, para

esíe efecto es necesario utilizar la función de autocorrelación cruzada.

Cuando se calcula la función de autocorrelación cruzada de dos series

directameníe, el efecío de los procesos esíacionales incluidos deníro de la series

esconde la influencia real que una serie puede íener sobre oirá, además, los

propios procesos (sean auíorregresivos o de media móvil) que incluya la serie en

análisis íambién opacaran la verdadera relación entre las series. Entonces, para

identificar modelos SARIMAX que se ajusíen efecíivameníe al proceso real se

deberá partir de las series íransformadas.

i; (1 - B25) (1 - B175) (1 + (j>iB) (1 + <j>25B25) yt =( p0 + PiB) nt + (1 +

En la figura 43% se gráfica la función de correlación cruzada entre la serie

diferenciada de la demanda y la serie diferenciada de temperatura donde se

observa un comportamiento de influencia a partir del retardo de tiempo O, que en

este caso es el valor de la temperatura a la misma hora. Se selecciona para la

aplicación 2 coeficientes de regresión con orden O y 1.

Al incluir variables externas dentro dei modelo ARMA, el análisis de los residuales

puede ser distorsionado. Las funciones de autocorrelación y auíocorrelación

parcial ahora incluyen el efecto de dichas variables, siendo solamente un

indicativo del comportamiento de los residuales.

96

=(

La propuesta presente se obtiene a partir del modelo 4, que es uno de los de

mejor ajuste para la serie de demanda. Se trabaja con la función de correlación

cruzada entre la serie diferenciada de la demanda y la serie transformada de

temperatura. Al igual que en el caso anterior, se añaden 2 coeficientes regresivos

a la serie de la temperatura de período O y 1.

El modelo resultante contiene entonces dos polinomios autorregresivos de primer

orden y 1 y 175reíardos de tiempo, (1 + <j>iB) (1 + «jMysB175), más dos polinomios de

media móvil de primero orden y periodos 1 y 25, (1 + 9iB) (1 + SasB25) y además el

polinomio de primer orden con parámetros en el período Oye! período 1. La figura

4.16 muestra los residuales que entrega el modelo y las funciones de

autocorrelación y autocorrelación parcial correspondientes. Se observan

coeficientes de correlación bajos con niveles de significancia en el l{imite.

0.05

Correlación Cruzada

1 2 3 4 5 6 7 8 S 10 11 12 13 14 15 16 17 18 192021 22232425262728293031 32333435363738384041 42 434445464748496051 £2

Figura 4.14 Función de autocorreiación cruzada entre las serles diferenciadas de

97

1 26 61 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50

0.4

0.3

0.2

0.1

o

•0.1

•0.2

•0.3

•0.4

Auto correlación T - Valor Autocorrelación

Autocorrelación Parcial10 i

i - T - T - T - C U O J O J Q l t t

T-Va orAutocorre ación Parcial

Figura 4.15 Residuales del RñodeBo 6 y sus Funciones de Autocorrelación y

98

-150

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276 301 326 351 376 401 426 451 476 50

T - Valor Autocorre ación

T- Valor Autocorrt lación Parcia

o a i n r w O í y m r w o o d i n r w p o i i f t

Figura 4.16 Residuales deB Modelo 7 y sus Funciones de Auíocorrelación y

La efectividad de los modelos

pronósticos en dos horizontes

el segundo a una semana o

jo: conseguir un

en el capítulo 4 se prueba realizando

distintos, uno a 24 horas (25 períodos) y

horas (175 períodos), según los objetivos del

para pronóstico diario y semanal de la

Como medida de la precisión del pronóstico se calcula su error promedio

porcentual absoluto (eppa), obtenido a partir de la ecuación 5.1. El modelo

seleccionado será el que genere el menor eppa.

(5-1)

y/c demanda real en el período k,

yk demanda pronosticada para el período k,

N número de períodos del pronóstico.

Además, en caso de que dos modelos tuvieren resultados semejantes, se

selecciona el de menor número de parámetros según el criterio de parsimonia,

que dice:

"Un modelo parsimonioso es un modelo lineal general con un número pequeño de

parámetros. En situaciones en que dos modelos en competencia tienen

esencialmente la misma capacidad de predicción, conviene escoger el más

parsimonioso de los dos". [4]

99

100

En este punto se evalúa la calidad de los resultados que entregan los modelos

con un horizonte de 24 horas, para esto se utilizan ios pronósticos realizados

entre los días 17 y 31 de octubre de 2000. Dado que la demanda del sistema se

comporta de manera similar durante el año, el número de pronósticos utilizados

se considera suficiente para evaluar los resultados y definir el mejor modelo de

ajuste sin cometer errores. Los 5 modelos a los que se prueba su efectividad son;

Modelo 3: (1 - B25) (1 - B175) (1 + frB) (1 + feB25) yt = (1 + e^B25) (1 + GiTsB175) et,

4: (1 - B25) (1 - B175) (1 + frB) (1 * <j)175b175) yt = (l+8iB) (1 + G^B25) et,

5: (1 - B25) (1 - B175) (1 + faB + fcB2) (1 + ^nsB175 +

25 175odelo 6: (1 - B ) (1 - B ) (1 + 4iB) (1 + feB) yt =( Po+ piB) ut + (1 +

7: (1 - B25) (1 - B175) (1 + <i)iB) (1 + TsB175) yt =( po+ piB) ut + (1 + 9iB) (1

25) et.

Todos ellos distintos y con un análisis de residuales que sugiere que podrían ser

buenos predictores de la demanda eléctrica.

En la figura 5.1 se presenta la gráfica de comparación entre la demanda real y los

pronósticos obtenidos para el día 25 de octubre de 2000. En el anexo 2 se

incluyen todos los resultados obtenidos para el grupo de días analizado. La tabla

5.1 contiene los valores de eppa para cada modelo y su valor promedio total,

además, a manera de comparación se incluye el eppa para los pronósticos

realizados por el CENACE.

I «fea

hS M 0»

ÍÍ1 NI £ M ba oí

6 a o (O <o M M co M —X

00 en o -A O M O)

CO

00 co

€4

O 6 o *•*

-i. co oo co M Oí

00 1 co o> M FO M en

as-oct

en 00

_x

CD

00

O s 00

— X •fr-

eo 00 M

69 6 o a-*

— X

-si

O CD en Í2 en _x co o> <o O)

6 o co en Q o «5

•fr-

IO CO — X

O <O O —X

CO <o tn K?

M 6 M O to -o.

Q M M 00 N en 00 en M

8 £1 o 00

O to -i.-i

M M O) en 0> o 00 en M o> co

M 6 H — X en ro co M M O en 03

—X tn M O) o co

6 a —X

Q to § M SJ to — X

O CD M § •fr

© O M 00 ro o oo 00 M o> to co M oí co M 00

6 o -i. to -i 00

O) •s en co M — X

00

—X

00 co tn O <o

o ó —X

— X

<0

— X en tn o co co — X tn — X ro

6 o fí*

— X

M — X O> en —X

CO

00 en — X

M 00 — *,

CO o co — X co

18-O

ct

00

O)

M 00 en — X

M *-en -A, 8 to ls> —

XO

)

-X CTí

NI 6 o M —

X to o> M ro •fr to —X

— X

O M M tn to CD

Oí

O)

CO ÍD to —A

O)

>-x 4i -A cu —A Oí J. -4 -A 00 -i. (O 8 to » íá K

o

102

Los resultados presentados en la tabla 5.1 indican que los errores de la predicción

de cada uno de los modelos varían para cada día, pero se puede notar una

tendencia general en cada caso, tendencia similar ai promedio total.

El modelo 6 es el que entrega resultados con los menores errores en la mayoría

de los casos, y además su promedio en total es el menor de entre todos, por

tanto, es el escogido para el pronóstico de demanda del SNI. Sus resultados

también entregan errores menores a los obtenidos por el CENACE.

De la tabla 5.1 también se puede observar que el modelo 5, que en la etapa de

identificación parecía ser el de mejor ajuste por tener los residuales con menor

nivel de correlación, no tiene un buen desempeño y es superado por el resto de

modelos de menor número de parámetros.

Para evaluar los resultados del modelo con horizonte de una semana, deben

hacerse pronósticos de la serie de trabajo para 175 periodos hacia adelante. Se

realiza los pronósticos en el mismo lapso de tiempo que para el caso del horizonte

de 24 horas. Aquí se trabajará solamente con ios dos mejores modelos para el

pronóstico horario, estos son los modelos 3 y 6.

En la tabla 5.2 se presentan los valores de eppa resultantes de cada pronóstico y

su valor promedio total. Como resultado se tiene que el modelo 3 se comporta

mejor en el pronóstico a mediano plazo que el modelo 6, que incluye la

temperatura. La figura 5.2 contiene la demanda pronosticada para los días 19 al

25 de octubre de 2000. En el anexo 3 se encuentran todos los resultados

obtenidos de los pronósticos a 168 horas.

103

11 -17 Oct

12 -18 Oct

13 -19 Oct

14 -20 Oct

15-21 Oct

16-220CÍ

17 -23 Oct

18 -24 Oct

19 -25 Oct

20 - 26 Oci

21 - 27 Oct

22 - 28 Oct

23 - 29 Oct

24 - 30 Oct

25 - 31 Oct

Promedio

2.517

2,304

2.569

2,094

2.622

2.184

2.639

2.450

1.785

1.925

2,049

1.963

2.612

1.991

1.701

2.27S

2.790

2.629

2.925

2.451

2.704

2.240

2.766

2.408

1.772

1.908

2.064

2.020

2.875

2.020

1.672

2.578

1900

50026 76 101 126 151

El modelo de pronóstico ARMA no es un modelo apto para pronóstico de

demanda de días feriados. Sus propiedades de seguimiento de las características

periódicas de la serie hacen que cuando se realice el pronóstico para días que

serán feriados el modelo entregue los resultados que corresponderían a un día

normal. En las figuras 5.3 y 5.4 se presenta los resultados del pronóstico para los

días 2 y 3 de noviembre de 2000, ambos días feriados y consecutivos. Se puede

apreciar dos cosas:

1. Los errores del pronóstico son demasiado altos e inaceptables, para el

jueves 2 de noviembre se tiene un error del orden del 23 % y para día

viernes 3 del orden del 7 %.

2. El error en el pronostico del día viernes 3 es mucho menor al anterior,

menos de la mitad. Esto evidencia la capacidad de adaptación del

modelo a los cambios que se presentan en la serie.

20001800 -

1600-

1200-

1000-

800 -

600-

200 -

o

-Demanda Real-Pronóstico

1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425

105

1700

1500-

1300-

1100-

900-

700-

500

-Demanda

•Pronóstico

1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425

Sin embargo, se puede adaptar la serie para que el modelo optimice la predicción

de los días feriados "engañándolo", mediante el se cambio de los datos de

demanda de los días correspondientes al día a pronosticar en las semanas

anteriores por los datos de un día feriado con características semejantes y luego

se hacen los pronósticos respectivos.

Los resultados de aplicar esta técnica son mucho mejores, ya que se obtienen

errores promedio de 5,9 % para el día jueves 2 de noviembre y de 4,8 % para el

día viernes 3 de noviembre de 2000, Las figuras 5.5 y 5.6 presentan los

resultados obtenidos para ambos días.

1700

1500-

1300-

1100-

900-

700 -

500

-Demanda Real- Pronóstico

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425

1700

1500-

1300-

1100-

900 -

700 -

500

Demanda RealPronóstico

1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425

El método de estimación de parámetros seleccionado es de tipo recursivo. Los

parámetros no son calculados en un solo paso, sino en un número grande de

pasos recuri ivos igual al número de datos que se le entrega al modelo. Para

107

optimizar los recursos compuíacionales, es preciso conocer cual es el ritmo de

convergencia de los parámetros del modelo. En la figura 5.3 se presentan las

curvas de tendencia de los parámetros del modelo 6 a lo largo del número de

iteraciones.

Se observa que los parámetros correspondientes al modelo ARMA, es decir <j>i,

fe 025» y BITS convergen en alrededor de 1500 recursiones, pero los parámetros

correspondientes a la variable externa tienen una convergencia mucho más lenta,

puesto que Po y Pi alcanzan valores estables después de casi 2800 recursiones.

Las variaciones menores en los valores de los parámetros después del punto de

convergencia se relacionan con el estado de la demanda en ese punto, indicando

la capacidad del algoritmo de hacer seguimiento al comportamiento de la serie, y

no representan problemas de inestabilidad numérica.

Como conclusión, en este punto se puede decir que el número de datos necesario

para obtener una estimación confiable de los parámetros del modelo debe ser

superior a las 2900 observaciones, esto a razón de 175 observaciones por

semana es igual a las observaciones correspondientes a aproximadamente 4

meses y una semana.

Para asegurar que los parámetros sean estimados con precisión, especialmente

los relacionados con la variable externa, es preferible ingresar a la serie el mayor

número de datos disponible hasta llegar alrededor del doble del mínimo, ingresar

un mayor número de datos no mejoraría efectivamente los pronósticos y afectaría

al tiempo de ejecución del proceso alargándolo innecesariamente.

108

21.510.5

-1.5

4» 25-825

•6175

-po-Pl

Los parámetros autorregresivos y de media móvil del modelo tienen una etapa de

oscilación que toma alrededor de 1000 recursiones y en las cuales aun no

presentan ninguna tendencia de convergencia, es después de las 1000

recursiones que se estabilizan en un valor cercano al definitivo y tienden hacia

este. Los parámetros de temperatura tardan mucho más, alrededor de 2800

iteraciones, para estabilizarse, este comportamiento es justificable en razón de

que el efecto de la temperatura sobre la demanda es muy sutil comparado con ei

efecto de los oíros parámetros, y es por eso que su convergencia es bastante

más lenta.

109

Una vez expuesta la teoría de los modelos ARMA y sus variaciones como ARMA,

SARiMA y SARIMAX; presentado el desarrollo de los métodos de estimación de

parámetros por mínimos cuadrados, mínimos cuadrados recursivo y mínimos

cuadrados recursivo con máxima verosimilitud; planteados varios modelos

tentativos desarrollados para modelar y hacer pronósticos de la serie de

demanda; y finalmente presentados los resultados obtenidos, se extrae a

continuación las conclusiones resultantes del trabajo.

• Los objetivos propuestos para el trabajo han sido alcanzados con

resultados satisfactorios. Se ha expuesto la teoría de pronósticos mediante

modelos ARMA; la influencia de la temperatura sobre la demanda ha sido

probada, obteniendo un modelo de pronóstico que entrega resultados

apreciablemeníe buenos; se han desarrollado subrutinas por medio de las

cuales se han realizado los pronósticos de demanda, y finalmente, se ha

desarrollado un modelo de pronóstico de demanda que entrega buenos

resultados y es capaz de seguir a la serie de demanda en forma continua.

» La demanda eléctrica como variable en el tiempo es un proceso

esíocásíico que resulta de la combinación de infinidad de variables

aleatorias con probabilidad de distribución aproximada a la normal,

pudiendo decirse que cada usuario conectado a la red eléctrica

corresponde a una variable del proceso lo que influye en la gran

aleaíoriedad de la demanda en el corto plazo. Finalmente esta

aleatoriedad esta enmarcada dentro de un patrón general de

comportamiento de los usuarios que hace que la demanda eléctrica sea

predecible en el tiempo con desviaciones despreciables.

• Los modelos ARMA exigen que la serie de tiempo de trabajo sea

estacionaria para poder entregar resultados libres de errores, en el caso de

que dicha serie no cumpla con tal condición es necesario que se aplique un

método de transformación para obtener esíacionariedad. El método de

transformación que se utiliza con mayor frecuencia es la diferenciación y se

adopta en este trabajo por su facilidad de aplicación. La demanda eléctrica

no cumple con esta condición de primera mano, por lo que es necesario

aplicar a dicha serie varias diferenciaciones para conseguir esíacionariedad

en el corto y largo plazo.

Al analizar la esíacionariedad y esíacionalidad de la serie, se concluye que

la serie es esíacíonaria en el corto plazo, pero no así en el largo plazo,

puesto que coníiene dos paírones de comportamiento esíacional. Un

patrón diario, que se repite con periodicidad de 24 horas, y un patrón

semanal, este con periodicidad de 168 horas. Para remover la

esíacionalidad de la serie se uíilizan dos niveles de diferenciación

esíacionales, uno a 24 horas y el segundo a 168 horas. Con los dos niveles

de diferenciación aplicados la serie resulíaníe pasa a ser estacionaria y por

tanto apta para ser procesada con modelos ARMA.

Los patrones estacionales detectados en la serie indican claramente cuan

sensible es la demanda eléctrica al comportamiento de los usuarios. El

ciclo diario corresponde a las variaciones de la carga duraníe el día y la

noche, relacionadas con los períodos de descanso y actividad de los

usuarios, de donde se puede jusíificar que el pico de la demanda se

presenía en las primeras horas de la noche donde la demanda de

iluminación y de equipos domésticos, como televisores, es mayor.

Igualmente, el ciclo semanal se asocia directamente con el período

semanal de írabajo y descanso siendo los días eníre el lunes y viernes los

de mayor demanda.

Los resulíados de predicciones que enírega un modelo ARMA son

íotalmeníe dependientes de los datos que se han ingresado al modelo a

íravés de la serie de trabajo, esto exige que dichos datos sean alíameníe

confiables sin coníener valores fuera de los rangos reales de variación de

los datos, caso contrario las predicciones tendrían errores proporcionales a

los ingresados a la serie. Para cumplir con esta condición y entregar al

proceso de estimación y pronóstico datos que sean confiables, es

necesario realizar un análisis de consistencia de los datos de la serie.

El análisis de consistencia no puede realizarse de forma directa con todos

los datos de la serie, sino que es necesario clasificarlos en series parciales

por día de la semana y hora del día, de manera que la media de la serie

parcial sea cercana a los valores de cada hora y día y la desviación

estándar sea menor facilitando ia identificación de posibles datos erróneos

o

Siendo la demanda muy dinámica a lo largo del tiempo, para su

modelación sería conveniente disponer de una función continua de donde

se pueda obtener su valor puntual en cualquier instante requerido. Como

esto no es posible, la demanda es muesíreada con cierta frecuencia para

mantener los registros necesarios en los procesos estadísticos, de

planificación o de análisis en general. Para el caso del SN1 se dispone de

una serie de tiempo muestreada cada hora, lo que entrega 24

observaciones diarias que resultan suficientes para hacer un seguimiento

de la demanda con aceptable precisión. Además, esta serie incluye una

observación adicional muestreada a las 19:30 de cada día con la intención

de tener una mejor referencia del período de pico que se presenta entre las

19:00 y 20:00.

Utilizando los modelos ARMA se puede modelar la demanda eléctrica

como una serie continua en el tiempo, sin necesidad de descomponerla en

series pequeñas relacionadas con cada día de la semana. Así, el modelo

de pronóstico tendrá una característica de seguimiento de las variaciones

de la carga en forma continua de tal manera que si en un día se presenta

alguna desviación no prevista, ésta podrá ser incluida directamente en el

pronóstico siguiente sin necesidad de reajustar los valores de ia serie como

ocurre en el caso de la descomposición en series diarias.

Encontrar el mejor modelo que represente el comportamiento de la serie de

tiempo es una tarea compleja que depende en gran medida de experticia

de la persona encargada del análisis. La metodología de identificación del

modelo correcto planteada por Box y Jenkins es un proceso de prueba y

error, que entrega solamente los lineamientos generales a seguir, siendo

los resultados altamente dependientes del analista. Afortunadamente, las

funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial presentadas son

herramientas de gran utilidad para identificar los modelos tentativos que

después serán probados y aceptados o rechazados según los resultados

que entreguen.

Aunque en los coeficientes de las funciones de autocorrelación y

autocorrelación se han identificado patrones de comportamiento típicos

para ciertos tipos de modelos, la mayoría de las veces estos coeficientes

pueden indicar más de un modelo, no todos ajusíables a la realidad. Es por

eso que necesariamente la etapa de identificación del modelo correcto

tiene que pasar por un ciclo de prueba y error donde se evalúen los

distintos modelos que las funciones de autocorrelación puedan sugerir.

El método de estimación de parámetros de máxima verosimilitud es una

extensión probabilística del método de mínimos cuadrados recursivo que

permite una mejor estimación de procesos estocásticos reales, al contrario

de la forma deíerminísíica de los mínimos cuadrados. Por esta razón es

ventajosa su aplicación en el pronóstico de la demanda siendo ésta un

proceso estocástico en el tiempo.

Otra ventaja del método de estimación de parámetros por máxima

verosimilitud es que, siendo un estimador de mínima varianza, los

parámetros resultantes de la estimación van a tener la menor desviación

estándar posible, y por tratarse de un estimador sin sesgo, la media de la

distribución de los parámetros estimados va a ser igual al valor real de

estos. Estas dos propiedades hacen que los parámetros estimados por

este método estén lo más cerca posible de sus valores reales.

113

Cuando se trabaja con series de datos grandes, el método de estimación

de parámetros por mínimos cuadrados recursivos presenta una gran

ventaja frente al método normal puesto que al no requerirse la inversión de

ninguna matriz los cálculos computacionales son mucho más rápidos y

exigen menor capacidad en equipos de computación.

El método de estimación de parámetros también incluye un factor de

ponderación u olvido de las observaciones. Se ha fijado para este factor un

valor por defecto de 0,998, muy cercano al valor de uno, el que significaría

que no se hace ninguna ponderación. El factor de olvido, además de evitar

inestabilidad numérica en los cálculos de los algoritmos, permite que los

algoritmos se adapten con mayor rapidez a las variaciones repentinas que

se podrían presentar en la serie. Además el factor de olvido también sirve

como un mecanismo de filtrado de los datos entregados en la serie dando

una ponderación mayor a los más recientes que pueden decir más sobre el

comportamiento reciente de la serie.

La estimación de parámetros, por tratarse de un método recursivo, requiere

de un cierto número de recursiones para que los parámetros converjan

hacia los valores definitivos, aquí se ha determinado luego de

aproximadamente 2900 iteraciones los parámetros se estabilizan cerca de

sus valores finales, manteniendo variaciones por las propias características

de adaptación del método de estimación a las condiciones reales de la

serie. El número de iteraciones señalado corresponde a una serie con los

datos muesíreados para 4 meses y una semana.

Puesto que el modelo desarrollado es apto para entregar pronósticos

desde 1 hora hasta una semana, su aplicación es útil en los procesos de

Despacho Diario, Programación Semanal y Redespacho realizados en el

Ct "M A/"*r^EN AGE.

La temperatura, como variable externa al modelo, afecta de muy distintas

formas a la demanda según las características de la región donde se

ubique la carga. En el SNI se determina que el efecto de la temperatura

sobre la demanda tiene valores significativos en la carga de la región

Cosía, mientras que en la región Sierra, la temperatura tiene un efecto casi

imperceptible. Por esta razón se modela la demanda del SNI tomando

como referencia la temperatura registrada en la subestación Pascuales

ubicada en el área de Guayaquil.

Al modelar la demanda de un área muy distribuida con el valor de la

temperatura de una zona pequeña se puede cometer errores

considerables, pero por tratarse de la zona de Guayaquil, centro de carga

de la región Costa, su efecto sobre la demanda será el predominante y así

el error cometido se reduce sustancialmente.

Como se ha anotado anteriormente, las funciones de autocorrelación y

autocorrelación parcial de las series y sus residuales no siempre pueden

indicar directamente el mejor modelo para la serie en análisis, por esta

razón en este trabajo se han planteado 7 modelos distintos, de los cuales

se escogerá el de mejor ajuste midiendo el promedio de errores que

presenten en los pronósticos.

Los pronósticos realizados a corto plazo con los modelos tentativos llevan

a la conclusión de que, efectivamente, la temperatura afecta directamente

a cierta porción de la carga del sistema, pues uno de los modelos donde se

ha incluido la temperatura como variable externa resulta ser el que entrega

resultados con los menores errores en el orden de 1,6 %.

En los pronósticos a mediano plazo los errores son bastante bajos,

alrededor de 2,3 % para el modelo ARMA y 2,6 % para el caso donde se

incluye la temperatura. Por ser mayor el horizonte de tiempo los errores

acumulados hacen que el efecto de la temperatura se distorsione

incrementando los errores en los pronósticos.

Se ha llegado finalmente a obtener un modelo de pronóstico que modela la

demanda eléctrica como una serie continua en el tiempo con capacidad de

seguimiento de las fluctuaciones de la demanda en el tiempo, que puede ser

utilizado efectivamente para el pronóstico de demanda a corto y mediano plazo,

con errores muy bajos- A continuación se hacen algunas recomendaciones sobre

la base de los resultados obtenidos y la experiencia adquirida:

© Es preciso mantener información estadística sobre todos los eventos que

ocurran en el sistema y que afecten a la demanda, registrando el valor de

la desviación así como el tipo de evento. Esto serviría en el futuro para

modelos de pronóstico más avanzados, que con conocimiento de las

desviaciones relacionadas con la demanda y sus características pueda

incluirlas en los pronósticos y así disminuir los errores,

• Como desarrollo futuro del modelo se puede trabajar en la adaptividad de

la estimación de parámetros y su robustecimiento. Además también se

puede trabajar en mejorar el sistema de ponderación de los datos para

incluir una técnica de "olvido selectivo" de los datos con menor

Se recomienda estudiar las técnicas de pronóstico basadas en redes

neuronales, aunque la mejora que pueden dar al pronóstico de demanda

no es significativa comparada con los resultados de los modelos ARMA en

días normales, en combinación con estos se puede desarrollar una técnica

efectiva para el pronóstico de demanda de días feriados o irregulares.

Se recomienda trabajar en el desarrollo de una base de datos apta para el

modelo y su propia interfaz de aplicación.

116

Jhon Wiiey &sons, New York, 1981.

2. Brockweii, P., R. Davis, Time Seríes: Theory and Methods, Springer-

3. Downie, N. ML, R. W., Heaí, Métodos Estadísticos Aplicados, Edicionesdel Castillo S. A., Madrid 1981, sexta impresión.

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12.Afranio, L, Kelman, J., y otros, Modelo Estocástico de Demanda, Centrode Pesquisas de Energía Eléctrica, Brasil, 1979

13.The Maíh Works Inc., MATLAB User Guide, Maíiab 5.1, 1995

Los algoritmos para la estimación de parámetros, pronóstico de demanda, así

como los correspondientes al cálculo de las funciones de auíocorrelación y

auíocorrelación parcial fueron implementados en el software MATLAB versión 5.1.yp-

Todos ellos trabajan archivos planos de texto para la entrada y salida de datos. A

Se desarrollo dos subrutinas para estimación de parámetros, para la estimación

de modelos SARIGA y para modelos SARIMAX.

% Estimación de parámetros por algoritmo de máxima verosimilitud% Alfredo Samaniego B.% 2001 - 06 - 03

load('c:\matlabrll\work\datosY.txt1);disp (' ')disp {' ')disp ('ingresar los vectores de parámetros autorregresivos y1)disp ('de media móvil en orden descendente :')disp (' ')disp (' ')

vectar = input(" vector de parámetros autoregresivos. ...'};% vectar = vectar +1;vectma = input ('vector de parámetros de media móvil...1);% vectma = vectma + 1;

disp (r ')disp (' '}disp ('ingresar el valor seleccionado de factor de olvido')disp (f ')disp í 1 '}

gamma = input( ' gamma = ');

maximoar = max (vectar) ;maximoma = max( vectma);máximo = max ( maximoar, maximoma) ;largoar = length(vectar);largoma = length(vectma);

coefi = [0] ;N = length(datosY);eresl = datosY;a=1.01;sigmar =0;% inicializar los datos de parámetros estimados

param(l:(largoar+largoma)} = 0.99;x(l:(largoar+largoma)) = 0;grad(l:(largoar+largoma)) = 0;x= x1;grad = grad1;

param = param1;

% inicializar matriz P

P = 10000 * eye(largoar+largoma);

% inicializar matriz gradigradil(l:largoma+ largoar,l:maximoma) = 0;gradi (1:largoma + largoar, l:largorna) = 0 ;

^ *********************************% se inician las N - n recursiones^ *********************************

for k = 1:(N-maximo-1);% x = datosY((vectar(l)}:(end-maximo+vectar(1)});%x(1:(largoar+largoma)} = 0;paramchek = param?y = datosY (N-maximo-k) ;for cont = Itlargoar,

numero = vectar(cont);x(cont)= datosY(N-maximo-k +n-umero) ;

end;for cont= (largoar+1):(largoar+largoma)f

numero = vectma(cont-largoar);x(cont) = eresl(N-maximo-k + numero);coefi(cont-largoar) = param(cont);

end;

% calculo del error de predicción

error = y - x1 * param;^calculo del gradiente de errorfor cont = 1: largoma,

numero =vectma(cont);gradi(:r cont)=gradil(:T numero);

end

grad = x - gradi * coefi';gradil = [ grad gradi!(;,!: maximoma -1)];% calculo de la varianza del ruido blanco

sigmar = sigmar + error*error"/(k+1) ;

% calculo de la primera derivada de VVprima = (- grad *a*error / sigmar)1;

119

% calculo de L

L = (P/gamma) * grad * inv(sigmar/ a + (grad1*P*grad)/gamma);

% calculo de PI = eyeísize (L,1),size(L,1));P = inv(gamma)*( I - L * grad1)* P;

% calculo de los parámetros

param = param - P * Vprima';

% calculo del error residual

eres = y - x1* param;eresl(N-maximo-k) = eres;

end

% calculo de los residualesresiduales = datosY(l:end-maximo);for cont = l:largoar,

numero — vectar(cont);residuales = residuales - param(cont)* datosY(numero+l:end-

maximo+numero);erid;for cont = largoar + l:largoar + largoma,

numero = vectma(cont-largoar);residuales = residuales - param(cont)* eresl(numero+l:end-

maximo+numero) ;end;

save 'c:\matlabrll\work\residuales.txt1 residuales -ascii -double -tabs;save fc:\matlabrll\work\param.txt' param -ascii -double -tabs;

% algoritmo de máxima verosimilitud para modelos% Alfredo Samaniego B.% 2001 - 06 - 03

loadí'c:\matlabrllXwork\datosY.txt');load(*c:\matlabrll\work\datosB.txt1);disp (' ')disp (' f)disp ("ingresar los vectores de parámetros autoregresivos y1)disp ('de media móvil en orden descendente :")disp (' ')disp (' ')

vectar = input(r vector de parámetros autoregresivos....");

vectma = input (' vector de parámetros de media móvil....1);

120

vectb — input(' vector de parámetros de variable externa....');

disp (f f)disp (' ')disp (Tingresar el valor seleccionado de factor de olvido1)disp (' ')disp (! '}

gamma = input( f gamma = ');

maximoar = max (vectar);maximoma = max( vectma) ;maximob = max ( vectb);máximo - max ( maximoar, max ( maximoma, maximob));máximo = max (201, máximo) ;largoar = length(vectar);largoma = length{vectma);largob = length(vectb);coefi = [0];N = length(datosY);eresl = datosY;a=l;sigmar =0;% inicializar los datos de parámetros estimadosclear gradparam(l:(largoar+largob+largoma)) =0.1;xfl:(largoar+ largob +largoma)) = 0;grad(l:(largoar+ largob +largoma)) = 0;x= x1;

grad = grad1;

param = param1;

% inicializar matriz P

P = 10000 * eye(largoar+largob+largoma);

% inicializar matriz gradigradil(l:largoma+ largob + largoar,1:maximoma)- 0;gradi(Irlargoma + largob + largoar,1:largoma) = 0;

s *********************************% se inician las N - n recursiones

for k = 1:(N-maximo-1);% x = datosY((vectar(l)):(end-maximo+vectar(1)));paramchek = param;y = datosY(N-maximo-k);for cont = 1:largoar,

numero = vectar(cont);x(cont)= datosY(N-maximo-k +numero);

end;

for cont = largoar+l:largoar+ largob,numero = vectb(cont~ largoar);x(cont)= datosB (N-maxirno-k +numero);

end;

for cont= (largoar+ largob +1}:(largoar+ largob +largoma)numero = vectma(cont - largoar - largob);x(cont) = eresl(N-maximo-k + numero);coefi(cont - largoar - largob) = param(cont);

end;

% calculo del error de predicción

error = y - x! * parara;%calculo del gradiente de errorfor cont = 1; largoma,

numero =vectma (cont) ;gradi(:, cont)=gradil(i, numero);

end

grad - x - gradi * coefi1;gradi1 = [ grad gradi!(;,!: maximoma -1)];% calculo de la varianza del ruido blanco

sigmar - sigmar + error*error"/(k+1) ;

% calculo de la primera derivada de VVprima = (- grad *a*error / sigmar)';

% calculo de L

L = (P/gamma) * grad * inv{sigmar/ a + (grad' *P*gra.d) /gamma) ;

% calculo de PI — eyefsize (L,l),size(L,l));P = inv(gamma)*( I - L * grad1)* P;

% calculo de los parámetros

param = param - P * Vprima1;%paramX = [param1;% paramX];% calculo del error residual

x1

eresl(N-maximo-k) = eres;

% if k >(N-N/2) & (normtparam - paramchek) <= 0.0001),% break;%end

end

% calculo de los residualesresiduales = datosY(l:end-maximo);for cont = l:largoarr

numero = vectar(cont);residuales = residuales - param(cont)* datosY(numero-M:end-

maximo+numero);

122

end;

%residuales = datosY(l:end~maximo) ;for cont = largoar + l:largoar + largob,

numero = vectbfcont - largoar);residuales = residuales - param(cont)* datosB(numero+l:end~

maximo+numero);end;

for cont = largoar + largob + 1;largoar + largob + largoma,numero = vectma(cont-largoar - largob);residuales - residuales - param(cont)* eresl(numero+l:end-

maximo+numero) ;end;

save 'c:\matlabrll\work\residualest.txt' residuales -ascii -double ~tabs;save ' c:\matlabrll\work\paramt.txt* param -ascii -double -tabs;

load("c:\matlabrll\work\param. txt');load("c:\matlabrll\work\residuales.txt1);load(!c:\matlabrll\work\datosY.txt1);load(rc:\matlabrll\work\Yoriginal.txt1);

disp (' - '}disp (' Mdisp (fingresar los vectores de parámetros autorregresivos y1)disp {'de media móvil en orden descendente :')disp (' Mdisp (' f)

vectar = input(! vector de parámetros autoregresivos...!);vectma = input ('vector de parámetros de media móvil..»1);lengthprono = input('longitud del pronóstico...1);

maximoar = max (vectar) ;maximoma = max( vectma);máximo = max ( maximoar, maximoma);largoar = length(vectar);largoraa = length (vectma) ;máximo = max(201, máximo); % agregado para cuando se utiliza periodosmenores a 200

% pronostico de YYactual = 0;Ynuevo = datosY(l:maximo) ;Rnuevo = residuales (l:maximo) ;Ynuevol = Yoriginal(l:maximo);for contprono = 1:lengthprono,

for cont = 1:largoar,

123

numero = vectar(cont);Tactual = Tactual - param(cont)* Ynuevo(numero);

end;for cont = largoar + 1;largoar + largoma,

numero = vectma(cont-largoar);Yactual = Yactual + param(cont)* Rnuevo(numero);

end;Ractual = Yactual;Ynuevo = [ Yactual;

Ynuevo];

for cont = 1:largoar,numero = vectar(cont);Ractual = Ractual - param(cont)* Ynuevo(numero);

end;for cont = largoar + 1:largoar + largoma,

numero = vectma(cont-largoar);if numero == 1

Ractual = Ractual - param(cont)* Ractualelse

Ractual = Ractual - param(cont)* Rnuevo(numero-1);end

end;

Rnuevo = [Ractual;Rnuevo];

% Integración de la serie a partir de 2 diferenciaciones estacionales

Yactuall - Yactual + Ynuevol(25) + Ynuevol(175) - Ynuevol(200);YnuevoI — [ Yactuall;

Ynuevol]?end;save "c:\matlabrll\work\pronostico.txt1 Ynuevol -ascii -double -tabs;

load("c:\matlabrll\work\paramt.txt1);load("cüYmatlabrllXworkVresidualest.txt1);load('c:\matlabrll\work\datosY.txt1);load('c:\matlabrll\work\Yoriginal.txt1);load('c:\matlabrll\work\datosBprono.txt1);disp ('disp (M 1 ')disp ('1 ingresar los vectores de parámetros autoregresivos y 1 ')disp (' 1 de media móvil en orden descendente : |')disp ('I i')disp (' ')

vectar = input(* vector de parámetros autoregresivos...');vectma = input (fvector de parámetros de media móvil...');disp (' Mdisp (M I')disp ('| ingresar el vector de observaciones de variable externa, i f)disp (f| recuerde que este debe llevar incluidas las observaciones !T)disp (M para el periodo a pronosticar: i 1 )disp (M I')disp (' ')

vectb - inputí1 vector de parámetros de variable externa....');

lengthprono = input(* longitud del pronóstico...');

param^paramtclear paramtmaximoar = max (vectar);maximoma = max( vectma);maximob = max( vectb);máximo - max ( maximob, max (maximoar, maximoma)};largoar = length(vectar);largoma = length(vectma) ;largob = length(vectb);máximo = max( 201, máximo); % agregado para cuando se utilizan periodosmenores a 200

% pronostico de YYactual =0;Ynuevo = datosY(l:maximo) ;Rnuevo = residualest (l:maximo) ;Ynuevol = Yoriginal (l:maximo) ;for contprono = 1:lengthprono,

datosB = datosBprono(lengthprono+1 - contprono:maximo+ lengthprono+1contprono);

for cont = 1:largoar,numero — vectar(cont);Yactual = Yactual - param(cont)* Ynuevo(numero);

end;for cont = largoar+l:largoar+ largob,

numero = vectb(cont- largoar);Yactual = Yactual + param(cont)*datosB(numero+1);

end;for cont - largoar + largob + 1:largoar + largob + largoma,

numero — vectma (cont-largoar - largob};Yactual = Yactual + param(cont)* Rnuevo(numero)?

end;Ractual = Yactual;Ynuevo = [ Yactual;

Ynuevo];

for cont = 1:largoar,numero = vectar(cont);Ractual = Ractual - param(cont)* Ynuevo(numero);

end;for cont = largoar+l:largoar+ largob,

numero = vectb(cont- largoar);Ractual = Ractual - param(cont)*datosB(numero+1);

end;

for cont = largoar + largob + 1:largoar + largob + largoma,numero *= vectma (cont-largoar - largob);if numero = 1

Ractual - Ractual - param(cont)* Ractualelse

Ractual = Ractual - param(cont)* Rnuevo (numero-1) ;end

end;

125

Rnuevo = [Ractual;Rnuevo];

% esta parte esta hecha suponiendo dos diferenciaciones estacionales 1de 25 y 1 de 175

Yactuall = Yactual + Ynuevol (25) + Yriuevol (175) - Ynuevol (200) ;Ynuevol = [ Yactuall;

Ynuevol3 ;end;save !c:\matlabrll\work\pronostico.txt1 Ynuevol -ascii -double -tabs;

% cálculo de funciones de autocorrelación y% autocorrelación parcial% ANSB 03-2001

c = load(*c:\matlabrll\work\datos.txt");c= c1;a=input {'grado de diferenciación de la serie ?....");agraficar = input ('que longitud quieres graficar...');Er_kfstderrsrlpqFrqpvalq] = acorrí(c,agraficar);b= (l:length(r_k));

[r_kk] = pací (c, agraficar);bl =(l:length(r_kk));stem(bf r_k,'-b1);hold;Stemíbl, r_kk,'-g1};r__k = r_k";r_kk = r_kk" ?qpvalq = qpvalq";

% T-like

r_km = [O ; r_k(l:length(r_k)-l)];Sr_k = sqrt(l+2*(cumsum(r_km.'s2) ) 3 ./ sqrt ( length(c) - a +1) ;

tr_k = r_k./Sr_k;

tr_kk = r_kk./(l/sqrt(length(c) - a +1)};

% Estadística Q%linea = (linspace(I7length(r_k)r length(r_k)))J;q= {length{c)-a )*sum(r_k.A2);

save 'c:\matlabrll\work\ACF_PACF.txt1 r_k r_kk -ascii -double -tabs;save "c:\matlabrll\work\tlikeacf.txt1 tr_k -ascii -double -tabs;save 'G:\matlabrll\work\tlikepacf.txt1 tr__kk -ascii -double -tabs;save rc:\matlabrll\work\qstat.txtf q -ascii -double -tabs;

En esta sección están

realizados en el capítuio4

los días 17 y 31 de

pronósticos a 168 horas

las tablas con los resultados de los pronósticos

. Primero se presentan los pronósticos a 24 horas entre

de 2000, y a continuación los resultados de los

entre los días 11 y 31 de octubre de 2000.

Pro

nóst

ico

a 24

Hor

as p

ara

el M

arte

s 17

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e 20

00

FEC

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18/1

0/20

0000

:00

17/1

0(20

0023

:00

17/1

0/20

0022

:00

17/1

0/20

0021

:00

17/1

0/20

0020

:00

17/1

0/20

0019

:30

17/1

0/20

00 1

9:00

17/1

0/20

0018

:00

17/1

0/20

00 1

7:00

17/1

0/20

00 1

KQ

O17

/10/

2000

15:0

017

/10/

2000

14:0

017

/10/

2000

13:0

017

/10/

2000

12:

0017

/10/

2000

11:0

017

/10/

2000

10:

0017

/10/

2000

09:0

017

/10/

2000

08:0

017

/10*

2000

07:0

017

/10/

2000

05:0

017

/10/

2000

05:0

017

/10/

2000

04:

0017

/10/

2000

03:0

017

/10/

2000

02:0

017

/10/

2000

01:0

0

Dem

anda

SN

I99

0.10

011

30.3

0013

52.3

0015

77.2

0016

98.5

0017

46.8

0017

56.3

0013

50.0

0012

33.4

0012

35.6

0012

39.5

0012

15.3

0012

07.2

0012

49.3

0012

43.9

0012

29.8

0011

8020

010

73.1

0010

39.1

0010

37.3

0091

Z90

087

6.10

087

6.50

089

6.60

092

8.50

0

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anda

Dife

renc

iada

-71.

600

-5.8

00-8

.950

3550

-24.

200

-9.0

50-1

6.00

0-1

8500

2.70

016

.900

-33.

157

-34.

450

-19J

950

-350

0-7

.350

24.6

0024

.400

23.2

0040

.600

25.4

0051

.550

67.8

0063

.750

85.1

0030

-900

Tím

poná

ura

Paüc

uslB

B21

.425

21.6

2521

.875

22.5

7523

.025

23.5

2523

.525

24.3

7524

550

25.5

0026

.750

27.2

0027

.450

27.0

5027

.000

27.5

4426

.075

26.0

5024

.450

23.1

5022

.400

22.2

5022

.200

22.4

0022

.900

Tem

pera

tura

Trtn

afon

nsdn

0.00

00.

000

0.00

00.

575

1.02

51.

525

1.52

52.

375

2.95

03.

500

4.75

05.

200

5.45

05.

050

5.00

05.

544

4.07

54.

050

2.45

01.

150

0.40

00.

250

0.20

00.

400

0.90

C

Mod

ílo3

996.

572

1149

.009

1377

.435

1601

.514

1745

.840

1784

.749

1801

.145

1384

.162

1254

.323

1263

.213

1280

.628

1252

.132

1228

.581

1258

.394

1249

.190

1213

.117

1156

.955

1055

.193

1026

.179

1031

.713

897.

556

860.

799

854.

585

865.

608

851.

517

Erro

r-6

.472

-18.

709

-25.

135

-24.

314

-47.

340

-37.

949

-44.

845

-34.

162

-20.

923

-27.

613

-41.

128

-36.

832

-21.

381

-9.0

94-5

.230

16.6

8323

.245

17.9

0712

.921

5.58

715

.344

15.3

0121

.915

30.9

9276

.983

Erro

r% 0.65

41.

655

1.85

91.

542

2.78

72.

172

2.55

32.

530

1.69

62.

235

3.31

83.

031

1.77

10.

728

0.42

51.

357

1.97

01.

669

1.24

30.

539

1.68

11.

747

2.50

03.

457

8.29

1

Mod

elo

499

1.21

211

6055

013

8252

315

89.3

4317

32.7

5917

66.4

0517

54.2

9814

60.1

1212

53.3

1812

5459

912

75.1

3812

80.9

1312

24.1

8012

70.6

8112

58.0

1612

08.3

8611

66.9

4410

42.6

0110

12.1

4710

49.3

9089

7.17

386

3.64

385

6.99

887

6.85

087

1.28

8

Erro

r-1

.112

-30.

650

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143

-34.

259

-19.

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£002

-110

.112

-19.

918

-16.

999

-35.

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•65.

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-16.

980

-21.

381

-14.

116

21.4

1413

.256

30.2

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.953

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15.7

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457

19.5

0219

.750

57.2

12

Erro

rW 0.11

22.

712

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50.

770

2.01

71.

122

0.11

48.

156

1615

1.53

62.

875

5.39

91.

407

1.71

11.

135

1.74

11.

123

2.62

32.

594

1.16

61.

723

1.42

22.

225

2203

6.16

2

Mod

elo

509

4.23

2021

711

64.8

5716

413

69.9

9082

816

05.1

0644

217

30.0

30S8

417

97.2

0048

717

53.7

2011

414

42.9

3912

512

71.5

1120

712

43.3

7334

412

6858

3061

1281

.369

908

1223

.077

60S

1281

.688

921

1251

.365

268

1219

.942

198

1148

.076

511

1037

.622

307

1043

.264

677

1056

.174

849

888.

2699

2786

0.95

7339

486

2.33

4163

884.

8831

495

640.

5916

299

Erro

r-4

.132

-34.

557

-17.

691

-27.

906

-31.

531

-50.

400

2.58

0-9

2.93

9-3

8.11

1-7

.773

-49.

083

-66.

070

-15.

878

-32.

389

-7.4

659.

658

32.1

2335

.478

-4.1

66-1

8.87

524

.63C

15.1

4314

.166

11.7

1787

.90É

Erro

r % 0.41

73.

057

1.30

81.

769

1.85

62.

865

0.14

76.

884

3.09

00.

629

3.96

05.

437

1.31

52.

592

0.60

00.

802

2.72

23.

306

0.40

11.

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2.69

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1.61

61.

307

9.46

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Mod

elo

S99

8.69

011

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9713

77.6

4216

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3917

45.3

1617

82.9

6117

99.0

2213

83.7

0412

57.9

3312

62.1

5212

77.6

3812

48.0

8812

25.6

3412

53.4

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45.5

0912

09.3

5311

53.4

2810

50.8

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23.1

7110

33.6

5589

9.31

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1.31

-185

5.77

086

7.07

865

1.93

6

Erro

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DimandaDiferenciada

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