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MATEMÁTICA Y

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA

CURSO INTRODUCTORIO

2015

Ing. Carlos A. LOPEZ

Prof. Ricardo MASSUCCO

Apunte teórico

UNLP – Facultad de Ciencias Naturales y Museo Matemática y Elementos de Matemática

Ing. Carlos López- Prof. Ricardo Massucco Ing. Viviana Cappello

Curso Introductorio 2015 Página 2

Contenidos Conjuntos numéricos: Números naturales. Números enteros: valor absoluto, MCD, mcm. Números racionales e irracionales. Números reales. Propiedades de las operaciones en cada conjunto numérico. Expresiones algebraicas: Suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factorización. Aplicación de la factorización de polinomios para operar con fracciones algebraicas racionales. Ecuaciones y problemas: Ecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Proporcionalidad. Porcentaje. Problemas. Trigonometría: Ángulos, sistemas de medición. Relaciones trigonométricas. Teoremas de Pitágoras. Resolución de triángulos




CONJUNTOS NUMÉRICOS.

EL NUMERO NATURAL: Definición; Representación Gráfica; Operaciones y Propiedades.

Un conjunto de elementos que comenzamos a utilizar desde la infancia es el de los Números Naturales (1,2,3, etc...), que se simboliza con la letra N, y el conjunto de los Números Naturales ampliado, que incluye al cero y que nomenclamos con No = N U {0}

Ambos conjuntos cuentan con infinitos elementos, por lo cual no resulta

posible expresarlos por extensión; sin embargo, haciendo abuso de notación, podemos escribir:

N = {1,2,3,...}

N0 = {0,1,2,3...}

Estos conjuntos pueden representarse utilizando una recta que

denominamos recta numérica, sobre la cual se fija un origen O, un sentido positivo (hacia la derecha), y una unidad de medida U.

En el caso del conjunto de los números naturales ampliado, al efectuar la representación gráfica hacemos coincidir el cero con el origen del sistema de referencia. El número que corresponde a cada punto (marcado sobre la recta a intervalos de longitud U) se denomina abscisa del mismo

En el conjunto de los números naturales pueden definirse para todo par

de elementos que pertenezca al mismo las operaciones de suma y producto; ambas dan como resultado elementos del mismo conjunto en que se opera.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES. Propiedades. (Operamos con el conjunto ampliado N0).

Considerando conocidas las operaciones de suma, diferencia, producto,

cociente, etc., efectuaremos una descripción de sus propiedades:

O

N 4 3 2 1

U

O

N0 0 4 3 2 1




a) Respecto de la Suma:

a + b = c a.1) Ley de Cierre:

Si a y b N0: a + b = c N0 a.2) Propiedad Asociativa:

a + (b + c) = (a + b) + c a.3) Existencia de elemento neutro: (el cero)

a + 0 = 0 + a = a a.4) Propiedad Cancelativa:

a + c = b + c ---> a = b a.5) Propiedad Uniforme:

Si a = b y c = d ---> a + c = b + d a.6) Propiedad Conmutativa:

a + b = b + a b) Respecto de la diferencia:

a - b = c ; (válida sólo si a b) "a se denomina minuendo; b, sustraendo; c diferencia o resta" b.1) Propiedad Cancelativa:

Si a - c = b - c ----> a = b b.2) Propiedad Uniforme:

Si a = b y c = d ---> a - c = b - d En la diferencia no existen las propiedades conmutativa y asociativa; en efecto:

a - b b - a

(a - b) - c a - (b - c)




c) Respecto del Producto:

a.b = c c.1) Ley de Cierre:

Si a y b N0 ----> c N0 c.2) Propiedad Asociativa:

(a.b) . c = a . (b.c) c.3) Existencia del elemento neutro: (el uno)

a . 1 = 1 . a = a c.4) Propiedad Cancelativa:

Si a . c = b . c ----> a = b para que se verifique es imprescindible que c sea distinto de 0 c.5) Propiedad Uniforme:

Si a = b y c = d ----> a . c = b . d c.6) Propiedad Conmutativa:

a . b = b . a c.7) Propiedad Distributiva respecto de la suma:

a . (b + c) = a.b + a.c c.8) Propiedad Distributiva respecto de la diferencia:

a . (b - c) = a•b - a•c

Con el objeto de desarrollar las propiedades de los números naturales

respecto de la división, definimos previamente:

MÚLTIPLO:

Un número b es múltiplo de otro a, si existe un número k del mismo conjunto, que verifica b = a.k De acuerdo con la definición precedente, 12 es múltiplo de 3 ya que 12 = 3•4 y 0 es múltiplo de 3 porque 0 = 3•0

Como complemento podemos expresar que si b es múltiplo de a, resulta

que a es divisor de b, o lo que es igual a divide a b.




Ejemplo:

3 15 se expresa "3 divide a 15"

3 0 se expresa "3 divide a 0"

d) Respecto del cociente: (debe ser el dividendo múltiplo del divisor, para que la operación resulte posible). d.1) Propiedad Uniforme:

Si a = b y c = d ----> a:c = b:d d.2) Propiedad Cancelativa:

Si a : c = b : c ----> a = b d.3) Propiedad distributiva respecto de la suma:

(a + b) : c = a:c + b:c d.4) Propiedad distributiva respecto de la diferencia:

(a - b) : c = a:c - b:c debe observarse que la propiedad distributiva respecto de la diferencia, sólo es posible a derecha; además, se hace notar, el cociente no goza de las propiedades asociativa y conmutativa. e) Respecto de la Potenciación: Sea la operación an = b en la cual a es la base, n el exponente y b la potencia, con la condición de que la base y el exponente no sean simultáneamente nulos; se verifican: e.1) Propiedad Uniforme:

Si a = b ----> an = bn e.2) Propiedad Distributiva con respecto al producto:

(a.b)n = an . bn e.3) Propiedad Distributiva con respecto al cociente:

(a:b)n = an : bn e.4) Producto de Potencias de igual base:

an . am = an+m (se suman los exponentes)




e.5) Cociente de Potencias de igual base:

an : am = an-m (se restan los exponentes) e.6) Potencia de exponente nulo:

a0 = 1 (Se demuestra utilizando la propiedad del cociente de potencias de igual base):

para n = m an:am = an-m = a0 = 1

e.7) Potencia de otra potencia:

(an)m = an.m (se multiplican los exponentes) e.8) Cuadrado de la suma o de la diferencia de dos números:

(a b)2 = a2 2 a•b + b2

e.9) Cubo de la suma o de la diferencia de dos números:

( a b)3 = a3 3 a2•b + 3 a•b2 b3 f) Propiedades respecto de la Radicación: Sea la operación:

a nb b n a

en la cual a es el radicando; b es la raíz y n 2 es el índice; se verifican las siguientes propiedades: f.1) Propiedad Uniforme:

nn b ab aSi

f.2) Ley de simplificación:

aaa n nnn y

n

m

n m aa

f.3) Propiedad distributiva con respecto al producto:

nnn baba

f.4) Propiedad distributiva con respecto al cociente:




n

n

n

b

a

b

a

Nota Importante:

Debe observarse que las operaciones de potenciación y de radicación no gozan de la propiedad distributiva respecto a la suma y a la diferencia.

nnn baba )(

bnn baba

EL NUMERO ENTERO:

En el conjunto N0 no pueden resolverse las operaciones de resta o diferencia en el caso en que el minuendo de la operación sea menor que el sustraendo. Por ello que resulta imprescindible, (a los efectos de dar solución a una operación como (3 - 5)), definir un nuevo conjunto numérico; el de los números enteros que simbolizamos con la letra Z. Este conjunto tiene la particularidad de no poseer ni primer ni último elemento y se define de tal manera que: 1) Al conjunto Z pertenecen todos los elementos de N0. 2) Las operaciones de resta con minuendo menor que el sustraendo, siempre

tienen solución en Z. 3) Las operaciones en Z conservan las propiedades establecidas para el conjunto

N0, con excepción de las propiedades de la radicación en el caso de radicando negativo y exponente par, operación para la cual no existe solución en este conjunto.

Para conformar el conjunto Z debemos definir para cada número n N, un nuevo número (-n) que se denomina "opuesto de n" El conjunto Z podrá definirse entonces, haciendo un abuso de notación como:

Z = {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...} y se representa en la recta numérica como indica el siguiente gráfico, en el que observamos que a cada número entero le corresponde un único punto sobre la recta numérica, existiendo, en consecuencia, infinitos puntos de la misma que no corresponden a ningún número entero.

O

U

-3 -1 0 1 2 3 -2




A los efectos de precisar posteriores conceptos, convenimos en designar: Z+ = N (conjunto de los números naturales, también llamado de los enteros positivos) Z0

+ = N0 (enteros positivos, incluido el cero, o enteros no negativos). Z- = Conjunto de los enteros negativos. Resultando:

Z+ U {0} U Z- = Z o bien:

Z0+ U Z- = Z.

Operaciones en Z. Para el conjunto Z se definen las mismas operaciones vistas para N0, debiendo cumplirse las siguientes reglas operatorias: 1) El producto o el cociente de dos números enteros positivos o de dos números

enteros negativos da como resultado un número entero positivo. 2) Si se multiplican o dividen un número entero positivo y uno negativo, obtenemos

como resultado un número entero negativo. Se verifica, entonces la siguiente "regla de los signos":

+ • + = + - • - = + + : + = + - : - = +

+ • - = - - • + = - + : - = - - : + = -

3) División y divisibilidad:

La operación de división entre números enteros se define a partir de la operación de producto:

a

bc a b c (1)

Para que esta operación arroje resultados en el conjunto Z, es necesario

que a sea múltiplo de b.

La división entonces, no siempre es posible entre elementos cualesquiera del conjunto Z, razón por la cual decimos que se trata de una operación parcialmente definida en dicho conjunto, verificándose que para algunos pares ordenados (a,b) existe el cociente y para otros no.

La operación de división no siempre da como resultado un número; en

efecto, si b = 0, la expresión a/0 carece de sentido cuando a es distinto de cero, porque ningún número da como resultado a al ser multiplicado por cero.




Convendremos que tampoco tiene sentido el símbolo 0/0 ya que cualquier número da como resultado cero al ser multiplicado por cero y, en consecuencia, la operación 0/0 no resulta definida por falta de unicidad en el resultado (es indeterminada).

La relación inversa de la división se denomina relación de divisibilidad

en Z; se simboliza ba y se lee “b divide a a” o “b es divisor de a”, lo que significa que existe un número entero c que verifica c•b = a.

Debe considerarse con especial cuidado el papel que desempeña el

cero en la divisibilidad : De la igualdad c • 0 = a debe deducirse que a = 0. Esto significa que

todo número divide a cero lo que se simboliza c0 y se expresa “cero es múltiplo de cualquier número”.

Por otra parte, si a = 0, se verifica c•0 = a para todo número c Z. Sin

embargo, es cierto que 00 (cero divide a cero) ya que existe c Z (en este caso cualquier entero) que verifica 0 = c•0 , resultando en consecuencia que “cero no divide a ningún número, excepto a sí mismo”. 4) La POTENCIA DE UN NÚMERO NEGATIVO resulta positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.

(-2)2 = 4 (-2)3 = -8 5) En la RADICACIÓN se obtienen los siguientes resultados: 5a) Índice impar: la raíz resultará un número positivo o negativo, cuando el radicando sea positivo o negativo, respectivamente:

8 2 8 23 3 ;

5b) Índice par: si el radicando es positivo, el resultado es siempre un número entero; en cambio, si el radicando es negativo, no existe solución en el conjunto Z.

2164 ya que 162162 44 ) ( y

4 16 no existe en Z

VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO. Decimos que el Valor Absoluto del número 2 es 2 y lo simbolizamos:

2 = 2 el valor absoluto de -2 es 2:

-2 = 2




y el valor absoluto de 0 es 0 :

0 = 0

Se trata para todos los casos de la distancia (considerada positiva) entre el origen y el punto que corresponde en la recta numérica al número considerado.

Podemos establecer una regla práctica para obtener el Valor Absoluto de

un número procediendo de la siguiente manera": a) Si el número es positivo se quitan las barras de valor absoluto y se conserva el

signo:

4 = 4 b) Si el número es cero, se quitan las barras de valor absoluto:

0= 0 c) Si el número es negativo, se quitan las barras de valor absoluto y se cambia el

signo:

-4 = 4 Dicho de otra forma:

* 0x six-

0 x sixx

* El signo (-) ubicado delante de “x” no significa que x sea negativo, sino que

al valor que se le corresponde debemos cambiarle el signo:

-4 = -(-4) = 4 El valor absoluto verifica:

x + y x+y

x • y = x•y

Máximo común divisor. Se denomina máximo común divisor de dos números enteros no nulos a y b, al mayor de los números enteros x tal que:

xa xb

Para hallar el M.C.D. de varios números se los descompone en factores primos, efectuando el producto de los factores comunes a todos ellos, tomando cada factor con el menor de sus exponentes.




Ejemplo: Hallar el M.C.D. de los números 90 y 350.

90 2 350 2 45 3 175 5 90 = 2•32•5 15 3 35 5 5 5 7 7 350= 2•52•7 1 1

M.C.D. = 2•5 = 10

Mínimo común múltiplo.

Se denomina Mínimo común múltiplo de varios números enteros no nulos, al menor entero positivo que sea múltiplo de todos ellos.

Para hallar el m.c.m. de varios números se los descompone en factores primos, efectuando el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Ejemplo: Hallar el m.c.m de 90 y 350.

90 = 2•32•5

350 = 2•52•7 m.c.m = 2•32•52•7 = 3150 El mínimo común múltiplo se usa para reducir varias fracciones a común denominador, operación que posibilita sumar o restar fracciones.




NÚMEROS RACIONALES.

Definición, representación gráfica, expresión decimal periódica. Operaciones y propiedades. La operación de división entre números enteros se define como hemos visto, a partir de la operación de producto:

a

bc a b c (1)

Para que esta operación arroje resultados en el conjunto Z, es necesario,

como hemos visto, que a sea múltiplo de b. Si en (1) tenemos por ejemplo:

a = 5 y b = 3, el cociente será 5 / 3 = c 5 = 3 • c y no existe ningún número entero que satisfaga la última igualdad.

Esta circunstancia genera la necesidad de ampliar nuestro campo numérico, introduciendo el concepto de número fraccionario, definido como el cociente entre dos números enteros.

Conformamos de esta manera, un nuevo conjunto numérico: el de los

Números Racionales; sus elementos son tales que, al simplificar los factores comunes de numerador y denominador, nos queda un número entero, o bien una fracción irreducible.

20

4

2 2 5

45

33

6

3 11

3 2

11

2

;

El conjunto de los números racionales se nomencla Q y puede expresarse

simbólicamente:

0/ ZbZab

aQ

En consecuencia:

5/3 es racional ya que 5 Z 3 Z.

-5/3 es racional ya que - 5 Z 3 Z

2 es racional ya que 2 = 4/2 y (4 2) Z.

0,2 es racional ya que 0,2 = 2/10 y (2 10) Z.

0,55...es racional ya que 0,55 = 5/9 y (5 9) Z.




En el caso de aplicaciones prácticas es frecuente utilizar los números fraccionarios expresados como números decimales: 3/11 = 0,2727… 5/9 = 0,5555... 11/39 = 0,282051282... 13/21 = 0,619047661904766... las cifras decimales de los números fraccionarios se repiten indefinidamente a partir de cierto orden; el número formado por las cifras que se repiten se denomina período. 1601/495 = 3,234234 ... = 3,234 23/60 = 0,38333... = 0,383

Conversión de una expresión decimal periódica a fracción ordinaria.

Interesa estructurar un procedimiento para escribir una expresión decimal periódica en forma de fracción, para lo cual deberá tenerse en cuenta que si el período comienza inmediatamente después de la coma, la expresión es pura, mientras que, si existen cifras no periódicas antes del período la expresión recibe el nombre de mixta.

Del mismo modo en que un número fraccionario puede expresarse en forma decimal entonces, vale la recíproca, es decir, un número expresado en forma decimal puede pasarse a la fracción que le dio origen. Esto tiene gran importancia para la representación de los Números Racionales sobre la recta numérica ya que la ubicación de un número racional sobre la misma podrá efectuarse con mayor facilidad y precisión si el mismo está expresado como cociente de dos enteros. Sea entonces, por ejemplo, el número decimal: x = 1,5151... = 1,51 Multiplicamos ambos miembros por una potencia de 10 de modo tal que el período pase a la izquierda de la coma decimal: 100 x = 151,51 x = 1,51 ---------------- restando m. a m. 99 x = 150,00 o sea: x = 150/99 Para representar este número racional se divide la unidad en 99 partes y a partir del origen O se toman 150 de ellas. Regla práctica:




Una expresión decimal periódica de parte entera nula puede transformarse en una fracción ordinaria siguiendo la regla:

0,23 = 99

23

1) El numerador es el período. 2) El denominador tiene tantos nueves como cifras tiene el período.

Densidad de los números Racionales. Los números racionales tienen la propiedad de constituir un conjunto DENSO; en efecto, se puede demostrar fácilmente que entre dos números racionales existen infinitos números racionales; por ejemplo entre 1/3 y ½ se puede colocar el racional

5/12, que se obtiene efectuando el promedio verificándose 1

3

5

12

1

2 , es decir que

entre 1/3 y 1/2 colocamos el promedio, y así sucesivamente 5/12 0 1/3 1/2 1

El hecho de que el conjunto de los números racionales Q sea “denso”, puede llevarnos a pensar que por sucesiva inserción de números racionales obtenidos efectuando el promedio entre dos números racionales conocidos habremos agotado todos los puntos de la recta; ello no es así pues, como veremos, existen números que no pueden ser expresados como razón o cociente de dos enteros.

Operaciones en Racionales(Q):

Con el objeto de que la adición y la multiplicación en Q conserven los resultados y propiedades de estas operaciones realizadas en Z, debe definírselas de la siguiente manera: 1- Igualdad:

a

b

c

da d c b

2- Suma y diferencia:

a

b

c

d

a d b c

b dcon b d

; ( ) 0

3- Producto:

a

b

c

d

a c

b dcon b d

; ( ) 0




4- Cociente:

a

b

c

d

a

b

c

d

a d

b cb c d: ; ,

1

0

NÚMEROS REALES.

Definición, representación gráfica, operaciones y propiedades.

El número irracional:

Si construimos un cuadrado de lado igual a la unidad y pretendemos medir su diagonal, la misma resulta ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y como sabemos, para los triángulos rectángulos vale el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

d² = 1² + 1²

2d

2 no es un número racional ya que no es posible expresarlo como cociente entre dos números enteros, y por ello se lo llama IRRACIONAL.

Resulta también irracional (como puede demostrarse fácilmente) 3 , (razón de la

longitud de la diagonal de un cubo a la longitud de su lado). Geométricamente pueden obtenerse con facilidad los irracionales y efectuar su representación sobre la recta numérica; la figura siguiente ilustra el procedimiento: 45º

0 1 2 En general se demuestra que si la raíz n-sima (se lee raíz enésima o de orden n) de un número entero no es otro número entero, tampoco es fraccionario (es decir, no es racional), resultando, en consecuencia un irracional; esto nos indica que la radicación nos provee infinitos números irracionales. Son también irracionales : la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro:

l/d = = 3,141592653589...

y el número e = 2,718281828459045... que aparece en muchos modelos matemáticos de procesos naturales: desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones celulares, espiral de los caracoles, etc., y es utilizado como base de los logaritmos Nepperianos, también llamados logaritmos naturales.

Los logaritmos y las funciones trigonométricas nos proveen asimismo de infinitos números irracionales.




Los números irracionales se caracterizan por presentar infinitas cifras no periódicas, lo que justifica que no puedan expresarse mediante una fracción.

Los números racionales ya definidos y los irracionales que terminamos de ver, conforman un nuevo conjunto, llamado de los números REALES, que se simboliza con la letra R. De este conjunto podemos decir que "cubre" la recta numérica; es decir para el conjunto "R" puede establecerse una correspondencia biunívoca con los puntos de la recta numérica; esta correspondencia se expresa: "A cada punto de la recta le corresponde un único número real y recíprocamente".

Hemos ampliado de esta manera el campo numérico, desde los números más elementales (los números naturales) hasta el conjunto recién definido; esta ampliación puede esquematizarse en el siguiente cuadro: Naturales (N) N0 Cero ENTEROS (Z) RACIONALES (Q) Enteros negat.(Z-) FRACCIONARIOS REALES

(R)

IRRACIONALES (I)

OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES:

En este conjunto definimos las mismas operaciones que en el conjunto Q. Son de fundamental importancia las operaciones de potenciación y de radicación, con sus correspondientes propiedades: 1) Potenciación con exponente racional:

a1) a R y n Z .

an = a • a • a • ... a • a

n veces a1 = a

a-n = 1/an siendo a 0.

a0 = 1 siendo a 0.

a2) a R y exponente fraccionario.

mnn mn

m

aaa (excluyendo a<0 y simultáneamente n par).

( si a<0, existe am/n para n impar).




Ejemplos:

86444 323

822 323

(no tiene solución)

32288855

33 535

1.a) Propiedades de la potenciación con exponente racional. 1.a.1) Producto de potencias de igual base:

am/n • ap/q = a(m/n+p/q)

1.a.2) Cociente de potencias de igual base:

am/n : ap/q = a(m/n-p/q)

1.a.3) Potencia de otra potencia:

( am/n)p/q = a (m/n)•(p/q)

1.a.4) Propiedad distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación.

(a•b)m/n = am/n • bm/n

1.a.5) Propiedad distributiva de la potenciación respecto de la división.

(a:b)m/n = am/n : bm/n

2) Raíz n-sima de un número real:

a b b a a n R nn n ; ; 2

2.a) Raíz principal: Si el número a tiene una raíz positiva o nula, se la denomina raíz principal; pero si a no tiene raíz positiva o nula y posee raíz negativa, ésta será la raíz principal.




Ejemplo:

416 ( la raíz principal es 4).

283 ( la raíz principal es 2).

283 ( la raíz principal es -2).

3 8 (no está definida).

2.b) Propiedades de la Radicación:

2.b.1) nnn baba

2.b.2) nn

n

b

a

b

a

2.b.3) np mp n m aa

2.b.4) n mnp mp aa

3) Reducción a mínimo común índice. Reducir varios radicales a mínimo común índice es encontrar radicales que, siendo iguales a los dados, tengan por índice común el mínimo común múltiplo de sus índices. Ejemplo: Reducir a mínimo común índice:

53 13;9;5

Debemos buscar el m.c.m de 2, 3 y 5.

2 2 3 3 5 5 1 1 1 m.c.m = 2•3•5 = 30

30 6530 10330 15 1313;99;55




INTRODUCCIÓN Y EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL.

Sea la expresión n ba ; si queremos introducir el factor a bajo el signo radical

hacemos

n naa y luego nn nn baba ;

siendo ahora los factores de índice común, pueden colocarse bajo un único signo radical:

n nnn n baba

Ejemplo:

73623 333 baabbaabba

El problema de la extracción de factores de un radical se resuelve siguiendo el mismo concepto:

8585 22 baba

842 baa

842 baa

422 baa

aba 242

RADICALES SEMEJANTES: SUMA Y DIFERENCIA. Decimos que dos o más radicales son semejantes cuando, extraídos de ellos todos los factores posibles, tienen el mismo índice y el mismo radicando; dos radicales semejantes, en consecuencia, solo pueden diferir en los coeficientes (factores que figuran fuera de ellos). Ejemplo:

3 2 33 3; son radicales semejantes.

2 3 2b a b; son radicales semejantes.

Suma de radicales semejantes:

a a a an n n n 2 5 1 2 5




Diferencia de radicales semejantes:

3 2 3 2a a an n n

Producto de radicales. El producto de varios radicales, sean o no semejantes, es un radical que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes de los factores y cuyo radicando está formado por el producto de los radicandos reducidos a común índice, si fuera necesario. Ejemplo:

1205245245432545352 3 33 3333

División de radicales. El cociente entre dos radicales es el radical que se obtiene reduciéndolos a común índice (si es necesario); el coeficiente del radical cociente se obtiene haciendo la división de los coeficientes de los radicales que se dividen, siendo el radicando del cociente, el cociente de los radicandos. Ejemplo:

44

4

4

232

23

613

1

26

1

33

1

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.

Dada una fracción en cuyo denominador figura un radical, racionalizarla es encontrar una fracción igual en cuyo denominador no existan radicales. Se presentan los siguientes casos: a) El denominador es un radical único. Para racionalizarlo, se extraen del radical todos los factores posibles y luego se multiplican numerador y denominador de la fracción dada por un radical de igual índice al del denominador, cuyo radicando tenga como exponente la diferencia entre el índice y el exponente del denominador que se quiere racionalizar. Ejemplo:

Racionalizar 1

25

5 4

5 5

5 4

5 4

5 4

5 45

5 4

52

2

1

2

2

22

2

22

21

2

1




b) El denominador es una suma de dos números: uno racional y el otro irracional cuadrático, o bien ambos irracionales cuadráticos.

Para resolverlo se multiplica y divide la expresión dada por el conjugado

del denominador.

Si el denominador es a b a b ; es el conjugado y recíprocamente.

Ejemplo:

11

23

223239

23

23

23

23

1

23

1

OPERACIONES COMBINADAS EN NÚMEROS REALES. Las operaciones de suma y diferencia separan los términos de una operación. Cuando en una operación existen paréntesis, deberán realizarse primero las operaciones encerradas entre ellos. Ejemplo 1:

1

34 6

5

3

1

324

5

3

1

3

72

3

5

3

68

3

Ejemplo 2:

3

73

3

5

3

78

3

56

3

13

3

56

3

12

3

1

3

564

3

1




EXPRESIONES ALGEBRAICAS

DEFINICION Y CLASIFICACION:

Si pretendemos simbolizar por medio de una fórmula matemática la posición x en función del tiempo de un cuerpo que cae verticalmente en el vacío, lo hacemos utilizando la expresión:

x = 2

0 tg ½ t v en la cual V0 representa la velocidad inicial y t el tiempo transcurrido.

Con similar concepto, podemos decir que el cociente entre el duplo de x y la suma triplo de x e y; más 2 puede expresarse:

2

32

x

x y si y -3x

De igual modo simbolizamos el período T de oscilación de un

péndulo ideal de longitud "l" mediante:

Tl

g 2

En estos ejemplos hemos procedido a vincular CONSTANTES Y

VARIABLES mediante un número finito de operaciones conocidas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación).

Expresiones del tipo precedente se denominan EXPRESIONES ALGEBRAICAS, y admiten, de acuerdo al tipo particular de operaciones que intervienen en cada una de ellas, la siguiente clasificación: a) EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES:

Las variables están ligadas por las operaciones de suma, resta, multiplicación, potencias de exponente entero y división.

Las expresiones algebraicas racionales pueden subdividirse a su vez en: a1) Expresiones Algebraicas ENTERAS o POLINOMICAS:

Son aquellas en las cuales solo intervienen las siguientes operaciones: suma, resta, multiplicación y potencias de exponente entero "n" no

negativo ( n Z 0 )

Ejemplo:

x x x x x2 1 0 22 2 1




a2) Expresiones Algebraicas NO ENTERAS:

Además de las operaciones de a1), alguna de las variables puede tener exponente entero negativo o formar parte de algún divisor: Ejemplo 1:

x x x2 12 1

Ejemplo 2:

x x

x

2 2 1

2

b) EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES:

Cuando además de las operaciones especificadas en a1) y a2) (que pueden o no estar presentes en un caso particular), alguna de las variables se encuentra bajo un signo de radicación o (lo que es equivalente) tiene un exponente racional no entero, estamos en presencia de una EXPRESION ALGEBRAICA IRRACIONAL. Ejemplo:

x x x2 22 1

1

La descripción precedente de los distintos tipos de EXPRESIONES ALGEBRAICAS puede resumirse en el siguiente cuadro: ENTERAS O POLINOMICAS RACIONALES EXPRESIONES NO ENTERAS ALGEBRAICAS IRRACIONALES

A diferencia de las descriptas, las expresiones del tipo ex; sen x; log x; no son algebraicas; las denominamos EXPRESIONES TRASCENDENTES. EXPRESIONES RACIONALES ENTERAS O POLINOMIOS: Cumplen con las condiciones establecidas

P(x) =3x3 - 2x2 + 5x - 2 (una variable)

P(x,y) = 3x3 - 2x2y + 5xy2 - 2x + 2 (dos variables) P(x,y,z) = 4 x y - 5 x z + x (tres variables)




Cada uno de los términos de un polinomio tiene una constante que

se denomina coeficiente (si es el número 1, se omite) y una parte variable denominada parte literal. Cuando la variable está elevada a la potencia cero, el término correspondiente es una constante y se denomina término independiente.

Según sea el número de términos que los componen, los polinomios de uno, dos, tres y cuatro términos se denominan MONOMIOS, BINOMIOS, TRINOMIOS Y CUATRINOMIOS respectivamente; cuando el número de términos supera a cuatro (por ejemplo 6) se habla de un POLINOMIO de seis términos. Términos semejantes de un polinomio:

En general, podemos decir que un polinomio es una suma algebraica de monomios; cuando dos términos o monomios poseen la misma parte literal, decimos que son semejantes. Ejemplo: P(x,y) = 2 x y2 Q(x,y) = - 3 x y2 Grado de un polinomio: Sea P(x,y,z) = 3 x2 y z2 + 2 x y2 = 3 x·x·y·z·z + 2 x·y·y ; en el primer término hay cinco variables (grado igual a cinco) y en el segundo término tres variables (grado igual a tres). Como el mayor grado es cinco, decimos que el polinomio es de grado cinco. En forma práctica se suman para cada término los exponentes de las variables y el mayor grado de un término es el grado del polinomio. Ejemplo: P(x,y) = 3 x y2 + 2 x y5 + 4 x2 y 6 (grado 8) Polinomio nulo: Tiene todos sus coeficientes nulos y en consecuencia, carece de grado. Ejemplo: P(x) = 0 x + 0 x2 + 0 x3 Polinomio en una variable:

En lo sucesivo solo trabajaremos con aquellos polinomios desarrollados en una sola variable. Un polinomio de tal tipo, en variable x se expresa:

0

1

1

2

2

2n

2n

1n

1n

n

n axaxa ... xaxaxaP(x)

con las siguientes restricciones: a) el coeficiente principal an es distinto de cero.




(Si an = 1 el polinomio se llama reducido, normal o mónico) b) los coeficientes ai (i = 1, 2, . . ., n) pertenecen al conjunto de los Reales. c) los exponentes son enteros no negativos (pertenecen a Z0

+) y están comprendidos entre cero y n. Polinomio completo:

El polinomio P(x) = 4x3 - 2 x2 - x - 2 es de grado tres y en él figuran todos los términos de grado menor a tres; en este caso decimos que P(x) es un Polinomio Completo.

El polinomio Q(x) = 4x3 - 2 es también de grado tres, pero no están en él los términos de grado dos y uno; entonces. el polinomio Q(x) es incompleto; para completarlo (resulta a veces necesario en las operaciones entre polinomios) se agregan aquellos términos que faltan anteponiéndoles coeficientes nulos; realizando esta operación resulta:

Q(x) = 4 x3 - 0 x2 - 0 x - 2 OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. Suma de polinomios:

El polinomio suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es (P+Q)(x) tal que sus términos son los de los monomios semejantes que se suman. Prácticamente, se encolumnan los términos semejantes como en el ejemplo siguiente: P(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 - x + 5 Q(x) = 3x4 + 2x3 - x2 + 2x - 3 (P+Q)(x) = 5x4 - x3 + x2 + x + 2 Si queremos ahora sumar: P(x) = 3x5 - x3 + x - 2 y Q(x) = 2x4 + 3x3 + 2x2 + 1 observamos que ambos son incompletos; para disponerlos prácticamente como en el ejemplo anterior, previamente se los completa siguiendo el procedimiento ya explicado, resultando: P(x) = 3 x5 + 0 x4 - x3 + 0 x2 + x - 2 Q(x) = 0 x5 + 2 x4 + 3 x3 + 2 x2 + 0 x + 1 (P+Q)(x) = 3 x5 + 2 x4 + 2 x3 + 2 x2 + x - 1




Puede apreciarse que el grado del polinomio resultante es igual o menor que el grado del polinomio de mayor grado, (caso en que los términos principales sean opuestos), pudiendo resultar eventualmente el polinomio nulo y por lo tanto carecer de grado. Propiedades de la suma de polinomios: a) Ley de cierre: La suma de dos polinomios da un nuevo polinomio. b) La suma es asociativa:

P(x) + (Q(x) + R(x)) = (P(x) + Q(x)) + R(X) c) Existe elemento neutro: el polinomio nulo.

P(x) + 0(x) = 0(x) + P(x) = P(x)

d) Existe el inverso aditivo: el polinomio opuesto.

Para P(x) el polinomio opuesto es [-P(x)] y se obtiene cambiando el signo de todos los términos, y verifica:

P(x) + [-P(x)] = 0(x) e) La suma es conmutativa:

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) Resta de polinomios:

Efectuar la resta de dos polinomios P(x) y Q(x) es equivalente a sumar P(x) y el opuesto de Q(x) Ejemplo: (Si no son completos, completar antes de restar). P(x) = 3 x3 - 2 x2 + x - 5 - Q(x) = 2 x3 + 3 x2 - x - 2 (P-Q)(x) = x3 - 5 x2 + 2 x - 3 Producto de polinomios:

Dados dos polinomios P(x) y Q(x) llamamos producto P(x) Q(x) al polinomio resultante de multiplicar cada término de uno cualquiera de ellos por cada uno de los términos del otro, conservando las propiedades del producto de potencias de igual base y la distributiva del producto respecto de la suma. Sean por ejemplo: P(x) = 3 x3 - 2 x2 + 3 x - 2 y Q(x) = 2 x2 - 5 x + 2




Adoptamos la siguiente disposición práctica de cálculo: P(x) = 3 x3 - 2 x2 + 3 x - 2 Q(x) = 2 x2 - 5 x + 2 2 x2· P(x) = 6 x5 - 4 x4 + 6 x3 - 4 x2 - 5 x· P(x) = -15 x4 +10 x3 - 15 x2 + 10 x

2 · P(x) = + 6 x3 - 4 x2 + 6 x - 4 (2x2-5x+2)·P(x) = 6 x5 -19 x4 +22 x3 - 23 x2 + 16 x - 4 observándose que el grado del polinomio resultante es igual a la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Casos particulares: a) Cuadrado de un binomio: ( a + b )2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a2 + 2 a b + b2 ( a - b )2 = ( a - b ) · ( a - b ) = a2 - 2 a b + b2 b) Cubo de un binomio: ( a + b )3 = (a + b)2· (a + b) = a3 + 3 a2b + 3 a b2+ b3 ( a - b )3 = (a - b)2· (a - b) = a3 - 3 a2b + 3 a b2- b3 Propiedades del producto de polinomios. a) Ley de cierre: El producto de polinomios da un nuevo polinomio. b) La multiplicación de polinomios es asociativa.

P(x) · [Q(x) · R(x)]= [P(x) · Q(x)] · R(x) c) Existe elemento neutro: el polinomio E(x) = 1

P(x) · E(x) = E(x) · P(x) = P(x) d) El producto de polinomios es conmutativo:

P(x) · Q(x) = Q(x) · P(x)

En el producto de polinomios solo existe inverso multiplicativo para los de grado cero, con la restricción de que la constante no sea nula. Ejemplo:

P(x) = 2 tiene como inverso Q(x) = ½ verificándose:




P(x) · Q(x) = 2 · ½ = 1

División de polinomios:

Dados P(x) y Q(x), este último no nulo, existen dos polinomios C(x) y R(x) que verifican:

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) (1) con: grado R(x) < grado Q(x), pudiendo R(x) ser el polinomio nulo.

En la expresión (1), P(x) es el dividendo, Q(x) el divisor, C(x) el cociente y R(x) el resto. Ejemplo:

Sean: P(x) = x3 + 2 x4 + 7 - 13 x y Q(x) = 2x - 3 A efectos de facilitar el cálculo, se procede de la siguiente manera: a) Se ordenan P(x) y Q(x) en potencias decrecientes de x P(x) = 2 x4 + x3 - 13 x + 7 Q(x) = 2 x - 3 b) Se completa el polinomio dividendo P(x) = 2 x4 + x3 + 0 x2 - 13 x + 7 c) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente. 2 x4 + x3 + 0 x2 - 13 x + 7 2 x - 3 x3 d) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. 2 x4 + x3 + 0 x2 - 13 x + 7 2 x - 3 - 2 x4 -3x3 x3 4x3 + 0 x2 - 13 x + 7 e) Se reitera el procedimiento explicado en c) y d) hasta que el resto sea un polinomio de grado menor que el divisor, o bien un polinomio nulo.




2 x4 + x3 + 0 x2 - 13 x + 7 2 x - 3 - 2 x4 -3x3 x3 + 2 x2 + 3 x - 2 4x3 + 0 x2 - 13 x + 7 - 4x3 - 6 x2 6 x2 - 13 x + 7 - 6 x2 - 9 x - 4 x + 7 - - 4 x + 6 1

Habíamos definido el cociente entre dos polinomios P(x) y Q(x) (con Q(x) distinto del polinomio nulo) a la operación que verifica:

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) para nuestro ejemplo:

2x4 + x3 - 13x + 7 = (2x - 3)·(x3 + 2x2 + 3x - 2) + 1 se observa que el grado del cociente es la diferencia entre el grado del polinomio dividendo y el grado del polinomio divisor.

Cuando el resto es igual a cero (polinomio nulo) el cociente resulta exacto y en esas condiciones decimos que P(x) es divisible por Q(x), o lo que es igual, Q(x) es divisor de P(x). REGLA DE RUFFINI.

Cuando en la operación de cociente entre polinomios, el divisor es de la forma (x+a), puede utilizarse un procedimiento especial de resolución que permite (operando únicamente con los coeficientes) hallar rápidamente el polinomio cociente y el resto. El mecanismo de cálculo se denomina Regla de Ruffini, y efectuaremos la descripción del mismo aplicándolo al cálculo del cociente entre

P(x) = x3 - 3 x2 -2 x + 1 y Q(x) = x - 2. a) Escribimos en una fila (previo completarlo y ordenarlo) los coeficientes del polinomio dividendo: 1 - 3 - 2 1 b) Conformamos el diagrama siguiente colocando en la posición que se indica el opuesto del término independiente del polinomio divisor.




1 - 3 - 2 1 2 c) Debajo de la línea horizontal y a la derecha de la vertical, encolumnados con los coeficientes de P(x) escribimos los coeficientes del cociente C(x) (el primero de los cuales coincide con el primero de P(x). 1 - 3 - 2 1 2 1 d) El segundo coeficiente de C(x) se calcula, multiplicando el primero obtenido por el término independiente del divisor cambiado de signo, colocando este producto en la segunda fila bajo el segundo coeficiente de P(x) y sumándolo luego en la tercera fila. 1 - 3 - 2 1 2 2 1 -1 e) Reiterando la operatoria explicada se realiza el cálculo de los siguientes coeficientes de C(x); el último número que se obtiene es el resto. 1 - 3 - 2 1 2 2 - 2 - 8 1 - 1 - 4 - 7 resto.

El cociente es un polinomio de un grado menor que el dividendo y el resto es una constante o bien el polinomio nulo. Resulta entonces, para nuestro caso: C(x) = x2 - x - 4 R = - 7 Debe verificarse:

x3 - 3 x2 -2 x + 1 = (x - 2) · (x2 - x - 4) - 7 NOTA IMPORTANTE: Si deseamos realizar la división entre: P(x) = 2 x3 - 5 x2 + 6 x - 4 y Q(x) = 2 x - 1




no puede aplicarse la Regla de Ruffini a menos que transformemos el divisor a la forma (x + a); para que ello sea posible y no se altere el cociente debemos multiplicar P(x) y Q(x) por ½ resultando: P(x) = x3 - 5/2 • x2 + 3 x - 2 Q(x) = x - 1/2 Verificamos ahora las operaciones realizadas en forma clásica con los polinomios sin modificar y luego mediante la Regla de Ruffini. 2 x3 - 5 x2 + 6 x - 4 2 x - 1 - 2 x3 - x2 x2 - 2 x + 2 - 4 x2 + 6 x - 4 - - 4 x2 + 2 x 4 x - 4 - 4 x - 2 - 2 Y aplicando la Regla de Ruffini: 1 - 5/2 3 -2 1/2 1/2 -1 1 1 - 2 2 -1 resto. en ambos casos el cociente es:

C(x) = x2 - 2 x + 2 pero el Resto es distinto; en la división clásica es (-2) y aplicando la Regla de Ruffini después de multiplicar dividendo y divisor por ½ , el resto resulta multiplicado por el mismo factor. VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO.

El valor numérico de un polinomio para x igual a "a" es el número que se obtiene reemplazando "x" por "a" y efectuando las correspondientes operaciones aritméticas. Ejemplo 1: Sea P(x) = 2 x2 - x + 2 ; si hacemos x = 2, resulta: P(2) = 2 (2)2 - 2 + 2 P(2) = 8 - 2 + 2

P(2) = 8 y decimos que 8 es el valor que tiene el polinomio P(x) para x = 2.




Ejemplo 2: Sea P(x) = x2 - 2 x + 1; para x = 1, resulta:

P(1) = (1)2 - 2 · 1 + 1 P(1) = (1)2 - 2 + 1 P(1) = 0

Cuando P(a) = 0, decimos que "a" es una raíz del polinomio o también que es un "cero" del polinomio; resulta entonces para nuestro ejemplo que 1 es raíz de x2 - 2x +1. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS.

Con similar concepto al utilizado al definir la divisibilidad entre números enteros:

a b k Z / b = a · k ("a" divide a "b" si y solo si existe un número k perteneciente a los enteros tal que "b" es igual al producto de "a" por "k").

Decimos que un polinomio Q(x) divide a otro P(x) si y solo si existe un polinomio C(x) , tal que P(x) es igual al producto de los polinomios Q(x) y C(x); en símbolos:

Q(x)

P(x)

C(x)

/ P(x)

= Q(x)

· C(x)

Si queremos saber si P(x) = x2 - 3 x + 4 es divisible por Q(x) = x - 1, hacemos el cociente y comprobamos si el resto es o no nulo. 1 - 3 4 1 1 - 2 1 - 2 2 resto

Concluimos que x2 - 3 x + 4 no es divisible por (x - 1). Si el polinomio divisor es de la forma (x + a), puede hallarse el resto por aplicación de la Regla de Ruffini; Si P(x) = 2 x2 - x + 2 y Q(x) = x - 2 2 - 1 2 2 4 6 2 3 8 resto




Sin realizar las operaciones, la Regla de Ruffini para el mismo ejemplo puede expresarse: 2 - 1 2 2 22 2·22 + 2(-1) 2 22+(-1) 2·22 + 2(-1) + 2 resto = 8 la expresión recuadrada por permite verificar que el resto no es otra cosa que el valor que toma el polinomio dividendo para x = - a. P(2) = 2 · 22 + 2 (-1) + 2 = 8 generalizando, enunciamos el

TEOREMA DEL RESTO:

"El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x + a, es igual al valor que toma el polinomio dividendo para "x" igual a "-a", o sea el resto es P(-a) Para demostrar el teorema, recordemos:

P(x) = Q(x) · C(x) + R. siendo Q(x) = x + a reemplazando

P(x) = (x + a) · C(x) + R. haciendo P(-a) P(a) = (-a + a) · C(a) + R P(a) = R

COMBINACION DE OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS EN UNA VARIABLE. Dados los polinomios: P(x) = 3 x ; Q(x) = x – 1 ; R(x) = x3 + 2 x2 – 1 ; S(x) = x2 - 4 a) Calcular P Q - R S P · Q = 3 x (x - 1) = 3 x2 - 3 x R · S = (x3 + 2x2 - 1) (x2 - 4) = x5 - 4x3 + 2x4 - 8x2 - x2 + 4 R S = x5+ 2x4 - 4x3 - 9x2+ 4




P Q - R S = (3 x2 - 3 x) - (x5 + 2x4 - 4x3 - 9x2+ 4) P Q - R S = - x5 - 2 x4 + 4 x3 + 12 x2 - 3 x - 4 b) Calcular: P2 - S : Q + S c) Calcular: (Q + R) : (P2 + S) POLINOMIO PRIMO O IRREDUCIBLE.

Un polinomio P(x) de grado mayor que cero es PRIMO O IRREDUCIBLE si toda descomposición del mismo de la forma P(x) = Q(x) C(x) es tal que al menos uno de los factores del segundo miembro es de grado cero. Ejemplo 1:

P(x) = 3 x + 6 Puede expresarse: P(x) = 3(x+2) o bien P(x) = 6 (½ x + 1); pueden encontrarse infinitas maneras de descomponer P(x) pero en la descomposición siempre habrá un polinomio de grado cero; en consecuencia P(x) es primo o irreducible. Ejemplo 2:

P(x) = x2 + 3 x no es primo ya que puede expresarse: P(x) = x (x + 3) como el producto de dos polinomios de grado uno. NOTA: Si el máximo común divisor de dos polinomios es igual a uno, los polinomios se dicen coprimos. FACTOREO DE UN POLINOMIO.

Factorear un polinomio consiste en expresarlo como el producto de una constante (polinomio de grado cero) por polinomios primos o irreducibles. Para realizar la operación de factoreo deben tenerse en cuenta las siguientes propiedades: a) Si "a" es una raíz del polinomio P(x), este es divisible por x - a. b) Un polinomio de grado "n" tiene n raíces. Ejemplo:

P(x) = 2 x3 + 7 x2 + 2 x - 3 Las raíces de P(x) son: -1; -3 y ½ P(-1) = 2 (-1)3 + 7 (-1)2 + 2 (-1) - 3 = 0 P(-3) = 2 (-3)3 + 7 (-3)2 + 2 (-3) - 3 = 0 P(½) = 2 (½)3 + 7 (½)2 + 2 (½) - 3 = 0 Siendo P(-1) = 0 significa que -1 es raíz; el polinomio es divisible por x + 1.




Aplicamos la Regla de Ruffini: 2 7 2 - 3 -1 - 2 - 5 3 2 5 - 3 0 resto. pudiendo expresarse: P(x) = (x + 1) · C(x) 2 x3 + 7 x2 + 2 x - 3 = (x + 1) · (2 x2 + 5 x - 3).

Ahora bien, - 3 es raíz de P(x), por lo cual P(x) resulta divisible por (x + 3) pero también - 3 es raíz de C(x), 2 5 -3 - 3 - 6 3 2 - 1 0 resto. entonces: C(x) = (x + 3) · (2 x - 1) y en consecuencia: P(x) = (x + 1) · (x + 3) · (2 x - 1) P(x) = 2 · (x + 1) · (x + 3) · (x - ½)

La observación de este último resultado nos conduce a la siguiente regla: un polinomio de grado "n" puede expresarse en la forma:

P(x) = an · (x - x1) · (x - x2) · · · (x - xn) donde an es el coeficiente del término principal y (x- xi) con i = 1 , 2 , 3 , ..., n, son binomios mónicos primos con xi iguales a las raíces de P(x). Veamos otro ejemplo:

Sea P(x) = x3 - 2 x2 + 4 x – 8 ; el coeficiente del término principal es 1 y de las tres raíces solo una de ellas es real: 2. Resulta entonces P(x) divisible por (x - 2) 1 -2 4 -8 2 2 0 8 1 0 4 0 resto. P(x) = (x - 2) · C(x) P(x) = (x - 2) · (x2 + 4)




las otras dos raíces de P(x) son también raíces de C(x) = x2 + 4, pero no existe número real alguno cuyo cuadrado sea igual a -4; esto implica que (x2 + 4) no puede anularse si damos a x valores reales y en consecuencia deducimos que las raíces no pertenecen al conjunto de los números reales.

En los ejemplos anteriores hemos supuesto conocidas las raíces reales

del polinomio P(x) que descompusimos en el producto del coeficiente principal por binomios mónicos primos; veremos ahora un método para hallarlas. TEOREMA DE GAUSS

Si P(x), de grado n, con coeficientes enteros, tiene una raíz racional a/b (a y b tienen como M.C.D. a 1, es decir son coprimos), entonces a es divisor del término independiente y b es divisor del coeficiente principal.

( a a0 b an ) Ejemplo 1:

Sea P(x) = 2 x3 + 7 x2 + 2 x - 3 a/b es raíz racional, con a y b coprimos; entonces: a ao o sea a -3 a = { -3 ; -1 ; +1 ;+ 3} b an o sea b 2 b = {-2 ; -1 ; +1 ; +2} resultando: a/b = ± 1 ; ± ½ ; ± 3 ; ± 3/2 Verificamos: P(1) = 2(1)3 + 7 (1)2 + 2 (1) - 3 = 2 + 7 + 2 - 3 = 8 0 P(-1) = 2(-1)3 + 7 (-1)2 + 2 (-1) - 3 = 0 (-1) es raíz P(½) = 2(½)3 + 7 (½)2 + 2 (½) - 3 = 1/4 + 7/4 + 1 - 3 = 0 (½) es raíz P(-½) = 2(-½)3+ 7(-½)2 + 2(-½) - 3 =-1/4 + 7/4 - 1 - 3 = - 10/4 0 P(3) = 2(3)3 + 7 (3)2 + 2 (3) - 3 = 54 + 63 - 3 = 114 0 P(-3) = 2(-3)3 + 7 (-3)2 + 2 (-3) - 3 = -54+63-6-3 = 0 (-3) es raíz no seguimos calculando ya que hemos hallado las tres raíces de P(x): -1 ; ½ y -3. Podemos escribir entonces:

P(x) = 2 (x + 1) · (x - ½) · (x + 3) Ejemplo 2: ` Sea P(x) = x3 + 3/2 x2 - 3/2 x - 1




para aplicar el Teorema de Gauss que permite obtener las raíces, los coeficientes del polinomio deben ser enteros. Hacemos: 2 P(x) = Q(x) = 2 x3 + 3 x2 - 3 x - 2 y calculamos las raíces de Q(x) a a0 a - 2 a = ± 1 ; ± 2 b an b 2 b = ± 1 ; ± 2 a/b = ± 1 ; ± ½ ; ± 2

verificamos:

Q(1) = 0; Q(-2) = 0; Q(-1/2) = 0 resultando entonces: Q(x) = 2 · (x - 1) · (x + ½) · (x + 2); pero queríamos expresar P(x) ; teniendo en cuenta que Q(x) = 2 P(x)

P(x) = (x - 1) · (x + ½) · (x + 2)

En algunos casos, si bien para realizar el factoreo puede usarse el Teorema de Gauss (descomposición en binomios mónicos primos), por sus características particulares pueden factorearse rápidamente siguiendo un procedimiento especial. FACTOR COMUN. Ejemplo 1: P(x) = 3 x2 + 9 = 3 (x2 + 3) Ejemplo 2: P(x) = 4 x3 + 2 x2 = 2 x2(2 x + 1) Ejemplo 3: Ejemplo 4: P(x) = 10 x3 - 5 x2 + 3 x - 6 = 5 x2(x - 1) + 3 (x - 2) (Se extrajo un factor común en los primeros dos términos y otro en los dos segundos). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Siendo el desarrollo de un binomio: ( x ± a )2 = x2 ± 2 a x + a2 Si tenemos que factorear: P(x) = x2 + 4 x + 4 hacemos: P(x) = x2 + 2·2 x + 22 ; a = 2 P(x) = (x + 2)2

P(x) 1

9 x

1

15 x

1

6 x

1

3 x

1

3 x

1

5 x

1

2

3 2 2 )




Otro ejemplo:

P(x) = 4 x2 + 4 x + 1 P(x) = (2x)2 + 2·2 x + 1 P(x) = ( 2 x + 1 )2 CUATRINOMIO CUBO PERFECTO: Siendo: (x ± a)3 = x3 ± 3 x2 a + 3 x a2 ± a

Si tenemos que descomponer el polinomio P(x) = x3 - 6 x2 + 12 x - 8 hacemos P(x) = x3 - 3 x2·2 + 3·x·22 - 23 P(x) = (x - 2)3 DIFERENCIA DE CUADRADOS. Si P(x) = (x + a) · (x - a) = (x2 - a2) Ejemplo 1: P(x) = x2 - 4 = x2 - 22 P(x) = (x + 2) · (x - 2) Ejemplo 2: P(x) = x2 - 6 = x2 - P(x) = (x + ) · (x - ) EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS.

Una expresión algebraica racional no entera o expresión algebraica fraccionaria es el cociente entre los polinomios P(x) y Q(x) con la condición Q(x) = 0. Ejemplo 1: x2 con x ± 3 x2 - 9 Ejemplo 2: x + 2 con x 2 y x - 2y SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS.

Si los polinomios del numerador y/o del denominador pueden factorearse, podrán simplificarse los factores comunes no nulos. Ejemplo 1:

6 2

6 6




x2 - 4 P(x) = con x 0 y x 2 3 x2 - 6 x factoreando numerador y denominador: (x + 2) · (x - 2) x + 2 P(x) = = 3 x · ( x - 2 ) 3 x Ejemplo 2: x3 - 27 (x - 3) · (x2 + 3 x + 9) P(x) = = x2 - x - 6 (x - 3) · (x + 2) x2 + 3 x + 9 P(x) = x + 2

OPERACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Vimos que el mínimo común múltiplo de varios números era el menor número múltiplo de todos ellos y que para hallarlo se los descomponía en factores primos y luego se efectuaba el producto de los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. Este concepto se aplica también a los polinomios: se los factorea y luego se hace el producto de los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente. Ejemplo: Hallar el m.c.m. de x2 - 9; x2 - 6 x + 9 y x -3 x2 - 9 = (x + 3) · (x - 3) x2 - 6 x + 9 = (x - 3)2 x - 3 = (x - 3) El m.c.m. es (x + 3) · (x - 3)2 SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS. P(x) R(x) Sea la suma + Q(x) S(x) Llamando M al m.c.m. de Q y S resulta;




P

Q

R

S

M

QP

M

SR

M

Ejemplo:

2

2

2 1

2

2

2

2 1

22x

x

x x x

x

x x

( )

el m.c.m. es x · (x - 2)

2

2

2 1

2

2

22

2

22 1

2

2 2 1

2

4 1

2x

x

x x

x x

x

x x

x xx

x x

x x

x x

x

x x

( )

( )

( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS.

S

R

Q

P

S

R

Q

P

Y se opera igual que en la suma. PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS.

SQ

RP

S

R

Q

P

Ejemplo:

2

2

2 1

2

2 2 1

2 2

4 2

2 2x

x

x x

x

x x x

x

x x

( )

( )

( ) ( ) ( )

DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS.

P

Q

R

S

P

Q

S

R

Ejemplo:

2

2

2 1

2

2

2

2

2 1

2

2 1x

x

x x x

x x

x

x

x

( )

( )

( )




Ecuaciones Resulta frecuente que, al finalizar el ciclo secundario, no

se hayan diferenciado suficientemente los conceptos de función y de ecuación.

Mediante algunos ejemplos, en lo que sigue, trataremos de

conceptualizar esa diferencia. Como sabemos, una función del tipo:

f : RR / f(x) = an.xn + an-1.xn-1 +...+ a1.x + a0.

es una función polinómica en una variable. la igualdad f(x) = 0 o lo que es igual an.x

n + an-1.xn-1 +...+ a1.x + a0= 0 se denomina

ecuación entera en una variable o incógnita asociada a f(x).

Ejemplo 1: Sea la función polinómica: f : R R / f(x) = 2 x – 1; el cero o

la raíz de esta función es el número real cuya imagen es nula; o sea el número real que satisface la igualdad: 2 x - 1 = 0

La igualdad precedente es la ecuación asociada a la

función f(x).

Ejemplo 2:

Sea la función polinómica: f : R R / f(x) = x2 + x – 2; la ecuación asociada a f(x) será en este caso x2 + x - 2 = 0

Ejemplo 3: Sea la función polinómica: f : RR / f(x) = x2 + 1 la ecuación

asociada a f(x) será ahora: x2+ 1 = 0

Raices de una ecuación entera en una variable. De acuerdo con lo visto, la ecuación del ejemplo 1: 2 x - 1= 0

se satisface para x =1/2; en efecto:

Decimos en estas condiciones, que ½ es raíz o solución de la ecuación, siendo raíz o cero de la función polinómica que le dio origen.

Con similar razonamiento, la ecuación: x2 + x - 2 = 0 del

ejemplo 2 se satisface para x = 1 y x = -2 ya que: 12 + 1 - 2 = 0

(-2)2 + (-2) - 2 = 0 por lo cual 1 y -2 son raíces o solución de la ecuación y ademá s raíces o ceros de la función polinómica que le dio origen.

21

21 1 1 0.




Por último la ecuación del ejemplo 3: x2 + 1 = 0 no se satisface para número real alguno; esto significa que así como la ecuación no tiene raíces o solución real la función que le dio origen no posee raíces o ceros reales.Generalizando los ejemplos podemos afirmar que el número real a será raíz o solución de f(x) = 0 si y solo si f(a) = 0

Dicho de otra forma a R es una raíz de la ecuación si en la función la imagen de a resulta ser el número cero.

Grado de una ecuación.

El grado de una ecuación coincide con el grado de la

función polinómica a la que se encuentra asociada. Respectivamente, las ecuaciones de los ejemplos son de grado 1, 2 y 2. Efectuando la representación cartesiana de las funciones polinómicas de los ejemplos 1, 2 y 3,

observamos que las raíces reales o ceros de las ecuaciones coinciden con aquellos puntos en que las curvas (representaciones cartesianas de las funciones asociadas) cortan al eje de abscisas.

Conjunto solución. Una ecuación puede tener ninguna, una o más raíces. El

conjunto cuyos elementos son las raíces de la ecuación se denomina conjunto solución. Para el ejemplo 1 S = { ½ } Para el ejemplo 2 S = { -2 , 1 }

Para el ejemplo 3 S = { } =

Resolver una ecuación es, por lo tanto, encontrar su conjunto solución.

II III

---

--

f(x)=2x -1

1 2 3-1-1

-2

1

2

3

x

y

III II

---

--

f(x)= x2+ x - 2

1 2 3-1-1

-2

1

2

3

x

y

-4

-2

III II

---

-

-

f(x)= x2+ 1

1 2 3-1-1

1

2

3

x

y

-4

-2I II

5




Ecuaciones con una sola variable. a) ecuaciones de primer grado.

Una ecuación de primer grado en una incógnita, tal como la que hemos visto en el ejemplo 1 puede expresarse de una manera general como:

a1 x + a0 = 0 con a1 0 Un procedimiento sencillo (despejar la incógnita de la ecuación) permite obtener rápidamente la raíz de una ecuación de este tipo, tanto si es racional como si es irracional, es decir, cuando pertenece al conjunto de los números reales. En efecto; volviendo al ejemplo 1

2 x - 1 = 0 2 x = 1

x = ½ es la raíz de la ecuación.

b) ecuaciones de segundo grado.

Son las asociadas a los polinomios que tienen el aspecto:

P(x) = a2 x2 + a1 x + an con a2 0

son del tipo: a2 x

2 + a1 x + an = 0 con a2 0 y suelen escribirse generalmente:

a x2 + b x + c = 0

Para calcular las raíces de esta ecuación seguiremos el siguiente procedimiento: 1º Pasamos el término independiente c al 2º miembro.

a x2 + b x = -c 2º Sacamos factor común a en el primer miembro

3º Dividimos ambos miembros por a

4º Multiplicamos y dividimos el 2º término del primer miembro por 2

5º Sumamos en ambos miembros

cxa

bx a 2

a

cx

a

bx2

x 2b

2ax

c

a

2

b

(2a)

2

2




6º Observamos que el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto; el que corresponde al desarrollo de:

por lo que escribimos:

7º Obtenemos común denominador en el 2º miembro

8º operando:

expresión que debe permitirnos obtener (si existen) las dos raíces de la ecuación de segundo grado.

La existencia de raíces reales en la ecuación de segundo

grado puede analizarse si se observa la cantidad subradical que se denomina DISCRIMINANTE, para el cual pueden presentarse los siguientes casos:

a) Si b2 > 4 a c se obtienen x1 x2 (dos raíces reales y distintas). b) Si b2 = 4 a c se obtienen x1 = x2 (dos raíces reales e iguales, o sea una

raíz doble). c) Si b2 < 4 a c no existirán raíces reales, ya que la raíz cuadrada de un

número negativo no tiene solución en el campo real).

Con el objeto de ilustrar los tres casos que hemos descripto, resolveremos un ejemplo de cada uno de ellos, efectuando las representaciones gráficas de las funciones polinómicas a que cada una de las ecuaciones está asociada. Ejemplo 1:

x2 - x - 2 = 0 Recordando el aspecto de la ecuación de 2º grado:

a x2 + b x + c = 0 resulta: a = 1; b = -1; c = -2

x 2b

ax+

b

(2a)

c

a

b

(2a)

22

2

2

2

2

2a

bx

2

22

4a

b

a

c

2a

bx

2

22

4a

4acb

2a

bx

x b

2a

b 4ac

4a

2

2

xb b 4ac

2a

2




y entonces:

obteniéndose:

La función polinómica a que está asociada la ecuación resulta: f(x) = x2 - x - 2

Como puede observarse la representación cartesiana de la función corta al eje de abscisas en los puntos de coordenadas (-1,0) y (2,0). En dichos puntos las imágenes de la función son nulas; las primeras componentes de estos pares ordenados son las raíces de la ecuación. El conjunto solución es entonces: S = { -1 , 2 }

Ejemplo 2: x2 - 4 x + 4 = 0

resultando:

La función a la que está asociada la ecuación resuelta es: f(x) = x2 - 4 x + 4

x1 (-1) 4(1).(-2)

2.1

x1 1+8

2

x1 9

2

1 3

2

2

x1 3

22

x1- 3

21

1

2

x4 (-4) 4.1.4

2.1

x4 16 -16

2

x4 0

2

x x 2

2

1 2

III II

---

--

f(x)= x2 - x - 2

1 2 3-1-1

-2

1

2

3

x

y

-4

-2

x f(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

10

4

0

-2

-2

0

4

III II

---

--

f(x)= x2 - 4x + 4

1 2 3-1-1

-2

1

2

3

x

y

-4

-2

x f(x)

0

1

2

3

4

1

0

4

1

4




Observamos en este caso que la gráfica “corta” al eje de abscisas solo en el punto (2,0); la primer componente del par ordenado (x1 = 2) es la raíz doble de la ecuación resuelta. Ejemplo 3: x2 - 2 x + 4 = 0

y la ecuación no tiene solución en el campo numérico real. La función f(x) = x2 - 2 x + 4

es tal que su gráfica no corta al eje de abscisas, lo que implica la inexistencia de raíces reales.

Ecuaciones con dos variables. Con el mismo concepto desarrollado anteriormente,

decimos que si f(x,y) es una función polinómica en dos variables, f(x,y) = 0 , será una ecuación en dos variables. a) ecuaciones de primer grado en dos variables.

Sea por ejemplo la función polinómica: f(x,y) = 3 x – y. La igualdad 3 x - y = 0; se denomina: ecuación de primer grado en dos variables y se satisface, entre otros, para los siguientes pares ordenados (x,y):

(0,0) ya que 3 . 0 - 0 = 0 (1,3) ya que 3 . 1 - 3 = 0 (2,6) ya que 3 . 2 - 6 = 0 (-1,-3) ya que 3 . (-1)-(-3) = 0

....... ........... ....................

x2 4 4.1.4

2.1

x2 -12

2

III II

---

--

f(x)= x2 - 2x + 4

1 2 3-1-1

-2

1

2

3

x

y

-4

-2

x f(x)

0

1

2

3

4

3

4

7

-1 7




Todos aquellos pares ordenados que satisfacen la ecuación son sus raíces. Como ya hemos visto, también en este caso las raíces de la ecuación son raíces o ceros de la función polinómica a la que la ecuación se encuentra asociada.

Resulta evidente que, para cada valor arbitrariamente elegido de x existirá un cierto valor de y que formará un par ordenado raíz de la ecuación. Cada raíz de la ecuación (par ordenado) es en este caso un punto perteneciente a la gráfica de la función que dio origen a la ecuación considerada; en este caso podemos decir que la gráfica y el conjunto solución coinciden.

Para nuestro ejemplo:

b) ecuaciones de segundo grado con dos variables.

Sea la función polinómica de segundo grado en dos variables:

f(x,y) = x2 - x - y + 2 que tiene asociada la ecuación:

x2 - x - y + 2 = 0 o lo que es igual:

y = x2 - x + 2 Esta ecuación (no confundir con el polinomio f(x) = x2 - x +

2) tiene infinitas raíces: los pares ordenados (x,y) que se obtienen dando valores arbitrarios a x en la misma.

III II

---

--

1 2 3-1-1

-2

1

2

3

x

y

-4

-2

x y

0

1

2

3

6

0

-

III II

---

1 2 3-1

1

2

3

x

y

-4

-2

x f(x)

0

1

2

-1

-2 8

4

2

2

4

83

II I-3-4 4

----5

6

7

8




La parábola de la figura anterior es la representación gráfica de la solución de la ecuación:

x2 - x - y + 2 = 0

Sistemas de ecuaciones lineales.

Las ecuaciones 3 x - y = 0 y 2 x - y = 1 de primer grado en dos variables pueden tener una o más raíces comunes y para encontrarlas, conformamos lo que se denomina un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, que se simboliza:

El conjunto de pares (x,y) que satisface simultáneamente las dos ecuaciones se denomina conjunto solución del sistema. Cuando el conjunto solución es vacío el sistema es incompatible. Si existe única solución (un solo par ordenado) el sistema se dice compatible determinado y si, el conjunto solución está conformado por más de un par ordenado, el sistema se denomina compatible indeterminado.

Generalizando, un sistema de dos ecuaciones lineales con

dos incógnitas puede adoptar el aspecto:

(1) (2)

Las ecuaciones (1) y (2), pueden expresarse en forma conjuntista:

S1 = {(x,y) / A1 x + B1 y + C1 = 0} S2 = {(x,y) / A2 x + B2 y + C2 = 0}

En estas condiciones, resolver el sistema de

ecuaciones consiste en hallar S1 S2, intersección de los conjuntos solución de las ecuaciones (1) y (2); lo que geométricamente es equivalente a encontrar (si existen), el punto o los puntos comunes a ambas rectas. Solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo 1:

Sea el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

de (1) 3 x - y = 0 y = 3 x

de (2) 2 x - y = -1 y = 2 x + 1

0y2x

0y3x

0CyBxA

0CyBxA

222

111

1y2x

0y3x

(1)

(2)




cuya representación cartesiana es:

S1 = { ( x,y ) / 3 x - y = 0 }

S2 = { ( x,y ) / 2 x - y = -1} S1 S2 = {(1,3)}

el conjunto solución del sistema (S1 S2) tiene un único par ordenado (las rectas se cortan en un punto) y por lo tanto el sistema resulta ser compatible determinado. Ejemplo 2:

Sea el sistema:

Si representamos gráficamente las rectas que corresponden a las ecuaciones (1) y (2).

observamos que los lugares geométricos coinciden, razón por la cual el conjunto solución del sistema posee infinitos pares ordenados: los que corresponden a todos los puntos de cada una de las rectas; el sistema se dice, compatible indeterminado.

0=2y-6x

0=y-3x

II II

---

1 2 3-1

1

2

3

x

y

-4

x f(x)

1

2

3

6

I4

----5

6

7

8x f(x)

1

2

3

5y = 2x + 1

y = 3x

II II

---

1 2 3-1

1

2

3

x

y

-4

I4

----5

6

7

8

(1)

(2)




Ejemplo 3: Sea el sistema:

Representadas gráficamente las dos ecuaciones:

resultan rectas paralelas: no existe intersección, lo cual significa que el conjunto solución del sistema es vacío; por esta razón el sistema se dice incompatible. Resolución analítica de un sistema de ecuaciones lineales.

Para la resolución analítica de un sistema de dos ecuaciones lineales pueden utilizarse distintos métodos, algunos de ellos desarrollados en el ciclo secundario,: métodos de sustitución, igualación, sumas y restas, determinantes, razón por la cual solo enunciamos cada uno de ellos, remitiendo al lector para su estudio a los textos de la escuela media o bien al capítulo correspondiente a la recta en el temario de la asignatura Matemática.. Método de Eliminación Gaussiana.

Los métodos enunciados precedentemente resultan de sencilla

aplicación e interpretación cuando el sistema que se trata de resolver tiene un número reducido de variables. Como regla general puede utilizarse con ventaja sobre ellos el llamado método de eliminación Gaussiana o método de eliminación de Gauss; cuyo fundamento y disposición práctica se basa en la demostración ya efectuada para justificar el método de resolución por sumas y restas.

En efecto; retornando a las ecuaciones:

(2) b = x a + x a

(1) b = x a + x a

2222121

1212111

multiplicando la ecuación (1) por 21a y la ecuación (2) por 11a obtenemos:

2y3x

0y3x

( 1 )

( 2 )

II II

---

1 2 3-1

1

2

3

x

y

-4

I4

----5

6

7

--

y = 3x

y = 3x - 2

-1

-2




(4) b a= x a a + x aa

(3) b a= x a a+ x aa

2112112211121

1212122111121

restando (3) de (4)

( a11 a22 - a12 a21 ) x2 = a11b2 - a21 b 1 (5) El sistema

(5) b a - ba = x ) a a - a (a

(1) b = x a + x a

121211221122211

1212111

es equivalente al (1) , (2) ya que, como puede verificarse, tiene el mismo conjunto solución.

Hemos transformado mediante esta operación nuestro sistema original (1) , (2) constituido por dos ecuaciones con dos incógnitas en un nuevo sistema que le es equivalente y en el cual la segunda ecuación (5) posee una sola incógnita, por lo que, obtenida la misma, puede recurrirse a la ecuación (1) para calcular la restante.

Como en realidad, la operatoria se efectúa sobre los

coeficientes, puede realizarse una disposición práctica para el cálculo: 1) a11 a12 b1 (1)

2) a21 a22 b2 (2)

3) a11 a12 b1 (1)

4) a11a22 - a12a21 a11b2 - a21b1 (5)

Se escriben los coeficientes de las ecuaciones (1) y (2)

incluso los términos independientes que se ubican a la derecha de una recta divisoria vertical; se traza una recta horizontal y debajo de ella se escriben los coeficientes del sistema modificado: la fila 3) debe leerse: a11 x1 + a12 x2 = b1 (1)

la fila 4) (a11 a22 - a12 a21) x2 = a11 b2 - a21 b1 (5)

Ejemplo 1: Sea el sistema:

(2) 1- = y- x 2

(1) 0 = y- x 3




Escribimos: 3 -1 0 (1)

2 -1 -1 (2)

3 -1 0 (1)

0 -1 -3 (5) Desarrollo de (5): el cero que está debajo del coeficiente 3 de la ecuación (1) corresponde a que en la ecuación (5) no existe término en la incógnita x1; debajo del coeficiente -1 de la incógnita x2 de (1) escribimos el transformado del coeficiente de x2 de la (2)

(a11. a22 - a12 . a21) = [ 3 (-1) – 2 (-1) ] = -1 y debajo del término independiente de (1) el transformado del término independiente de (2):

a11 . b2 - b1 . a21 = [ 3 (-1) - 0 . 2 ] = - 3

Prácticamente el cálculo es así: el transformado del coeficiente a22 de (2) 3 -1

2 -1

3 -1

-1

se obtiene resolviendo el: 3 -1

= -3 + 2 = -1

2 -1

y el transformado del término independiente de (2) 3 -1 0 2 -1 -1

se obtiene resolviendo el: 3 0

= -3

2 -1 El sistema equivalente resultante:

3 x1 - x2 = 0 (1) x2 = -3 (5)




de donde: x2 = 3 3 x1 - 3 = 0 x1 = 1

Como vemos existe única solución y el sistema es

compatible determinado (geométricamente las gráficas son rectas que se cortan en el punto)

(x1 , x2) = (1 , 3) Ejemplo 2:

Sea el sistema: 3 x - y = 2 6 x - 2y = 4

3 -1 2

6 -2 4

3 -1 2

0 0 0

El sistema equivalente es:

3 x1 - x2 = 2 0.x2 = 0

La ecuación 0.x2 = 0 se satisface para cualquier número

razón por la cual el sistema tiene infinitas soluciones y se denomina compatible indeterminado. Cada una las posibles soluciones se obtiene fijando un valor arbitrario para x2 y obteniendo luego x1 de la otra ecuación. (Geométricamente las gráficas coinciden). Ejemplo 3:

Sea el sistema: 3 x1 - x2 = 2 3 x1 - x2 = 4

3 -1 2 3

-1 4

3 -1 2

0 6




Siendo el sistema equivalente:

3 x1 - x2 = 2 0.x2 = 6

La segunda ecuación de este sistema no tiene solución, ya

que no existe número que multiplicado por cero de como resultado seis; el sistema es incompatible (en este caso las rectas son paralelas).

Como hemos visto en los ejemplos anteriores el método de

eliminación Gaussiana no solo permite resolver con rapidez un sistema de ecuaciones sino además permite obtener el tipo de solución para cada caso particular.




PROPORCIONALIDAD.

Razón o Relación entre cantidades

Se llama Así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda consecuente. Estas cantidades las representaremos en forma fraccionaria (aunque no es exactamente una fracción), de la siguiente manera:

uenteCon

eAntecedent

sec Por ejemplo si tenemos la razón 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente será 4.

Nuestra razón quedará: 4

7

Proporciones: Es la igualdad entre dos razones. Por ejemplo, si tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9

Se escribirán: 9

3

3

2y

Si las comparo ( como si se tratara de fracciones comunes):

9

6

3

2y

(Recordemos que en comparación de fracciones multiplico cruzado)

Tenemos que 18361892 xyx Como los resultados son iguales ( en ambos casos es 18) podemos afirmar que son fracciones equivalentes, pero además están formando una proporción. La proporción se lee 2 es a 3, como 6 es a 9. Ejemplo En la calle 6 esquina 50 de la Ciudad de La Plata está emplazado un obelisco cuya altura se quiere medir. Para ello se cuenta sólo con una cinta métrica de bolsillo de 2 m. de longitud. Aprovechando la ubicación en la cercanía de un poste de parada de transporte público y utilizando la propiedad de los cuerpos de producir (a la misma hora) sombras proporcionales a su altura. Se mide: obelisco poste T. P

alturas h ( incog.) 3,50 m.

sombras 8 m. 1,40 m.




Se establece la proporción:

hh

h m

3 50

8

1 408

3 50

1 40

20

, ,

,

,

.

Magnitudes Proporcionales

Las magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:

1.- Magnitudes Directamente Proporcionales:

Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra también debe ser multiplicada por el mismo número; para conservar la proporción, o dividiendo a una de ellas por un número, la otra también debe ser dividida por el mismo número.

Por ejemplo, si tenemos: 4

7

Si se quiere formar una proporción, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el mismo número tanto a 7 como a 4:

7 x 4 28

4 x 4 16

Hemos formado: 16

28

4

7

Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan. (Pueden disminuir las dos). Son magnitudes directamente proporcionales: El tiempo y las magnitudes de trabajo realizadas ( a mayor tiempo, mayor trabajo realizado). La cantidad y el precio (a mayor cantidad, mayor precio). El peso y el precio (a mayor peso, mayor precio). El tiempo de trabajo y el sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo). El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia, si vamos a mayor velocidad). El espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo).

Las magnitudes a y b son directamente proporcionales si siempre: constante

b

a

(Si una se anula, la otra también lo hará), o bien b constante a Ejemplos:

tvE Si v es constante E y t son directamente proporcionales, ya que al multiplicar E por un número t debe ser multiplicada por el mismo número para conservar la igualdad.

Igualmente xmy x e y son directamente proporcionales, si m es constante.

En general si se tienen fórmulas al estilo 2cmE

Si c2 es constante. E y m son directamente proporcionales. Si m es constante. E y c2 son directamente proporcionales.




2.- Magnitudes Inversamente Proporcionales:

Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra debe ser multiplicada por el mismo número para obtener el mismo resultado. Ejemplo:

8VP Para mantener la igualdad. Si P aumenta al doble, V debe disminuir a la mitad. Son magnitudes inversamente proporcionales: El número de obreros y el tiempo para realizar una obra(mas obreros, menos tiempo) Las horas de trabajo y los días que se trabaja (más horas, menos días). La velocidad y el tiempo (a mayor velocidad, menor tiempo en recorrer una distancia).

Las magnitudes a y b son inversamente proporcionales, si constante ba . Nótese que NUNCA pueden anularse.

Regla de Tres Simple

La Regla de Tres Simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales, entonces tendremos dos clases:

1.- Regla de Tres Simple Directa. Se utiliza para magnitudes directamente proporcionales. Por ejemplo, si tenemos que 5 libros cuestan 26 pesos, queremos saber cuanto costarán 15 libros. Supuesto 5 libros $ 26 Pregunta 15 libros x

Se establece la proporción x

26

15

5

de donde 78$

5

1526

xx

2.- Regla de Tres Simple Inversa. Se utiliza para magnitudes inversamente proporcionales. Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequeña construcción en 12 días. ¿Cuántos días demorarán 6 obreros? Supuesto 4 obreros 12 días Pregunta 6 obreros x

Se establece la igualdad díasxx 86124




Problemas:

b) Si un ciclista viaja a 20 Km/h durante 24 hs. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo camino a 25 Km/hs?

c) Para embotellar el contenido de un barril se necesitan 300 botellas de 0,75 lts. ¿Cuántas botellas de 0,50 lts son necesarias para embotellar el contenido del barril?

d) Si 6 martillos cuestan $ 26. ¿Cuánto habría que pagar por 11 martillos? e) Si la decena de facturas cuesta $ 11 y el Kg de pan $ 5. ¿Cuánto habrá

que pagar por 3 docenas y medias de facturas y ¾ Kg de pan?

Ejercicios: 1.- Completar el siguiente cuadro si se sabe que x e y son directamente proporcionales.

x 2 3 1 0 12

y 5 7 25

2.- Completar el siguiente cuadro si se sabe que x e y son inversamente proporcionales.

x 2 3 1 8 12

y 5 7 25

PORCENTAJE

Desarrollo del concepto El “x % de una cantidad Q” corresponde a una notación que se refiere al valor

"100

" Qx

Esta expresión se lee “ el x por ciento de la cantidad Q”. No tiene sentido hablar de porcentaje si la cantidad Q no está especificada explícita o implícitamente. Esta cantidad se denomina referente. El valor que puede tomar x es cualquier, es decir x es cualquier número real.

MOTIVACION

Todo el mundo se ha encontrado alguna vez con información del siguiente tipo en titulares de periódicos:

1. El pan subió un 4,5 % 2. Los matrimonios han disminuido en un 27 %




La idea subyacente en todos estos titulares es que hubo un cambio y su magnitud se expresa como porcentaje. En el cuerpo de la información debiera quedar claro el objeto y el marco temporal al que se refiere el cambio. Así en el primer ejemplo la información periodística se puede referir a que el precio del pan (el objeto del cambio), que podemos llamar M, aumento de un mes a otro

(marco temporal), en una magnitud de

100

5,4

M. Esto es que en un mes el precio del

pan subió de M a M +

100

5,4

M. En el segundo ejemplo si se llama N al número de matrimonios realizados en un año, la información se puede referir a que el número de matrimonios realizados al

año siguiente fue de N -

100

27

N

OPERATORIA CON PORCENTAJES

Operatoria básica:

Como se vio en la definición “x por ciento de Q” equivale al valor

100

x

Q, luego, aplicar un porcentaje a algo significa sencillamente a multiplicar por el factor en cuestión y dividir por 100: Ejemplos:

El 2,8 % de 98 es

100

8,2

98 = 2,744

El 300 % de 24 es

100

300

24 = 72 Si el precio del quintal de harina en el mes de Junio era de $ 75453 una baja de un 0,32 % en el precio para el mes siguiente equivale a una disminución de

100

32,0

75453 pesos que es aproximadamente de $ 241, así el precio para Julio sería de aproximadamente $ 75211.

Notemos que es totalmente equivalente escribir “Q

x

100 ó 0,01 Q”.

Resulta entonces más rápido escribir “0,2 Q” que “Q

100

20

” para efectuar cálculos con el 20 % de Q.




Ecuaciones y porcentajes Para determinar qué porcentaje de una cierta cantidad B corresponde otra cantidad A, sólo hace falta plantear la ecuación de primer grado:

A = B

x

100 luego B

Ax 100

Ejemplos: 1. Averiguar qué porcentaje de 500 es 8:

xx

58500100

8 entonces

6,15

8 xx

luego 8 corresponde al 1,6 % de 500 2. El valor del pasaje en microbús subió en $ 10. Si el pasaje es de $ 250 antes del

alza, el porcentaje de alza es 250

10010

x

luego 4

250

1000 xx

entonces el precio del pasaje subió un 4 %. Aplicación de porcentajes. Los porcentajes pueden ser aplicados reiteradamente, hay que tener el cuidado de distinguir el referente cada vez. Ejemplos: Si en Mayo las naranjas subieron un 9,4 % y en Junio bajaron un 8 %. ¿Cuál es el porcentaje neto de variación del valor de las naranjas? Si M es el precio antes de Mayo, el precio a fines de Mayo alcanzó el valor de:

')094,1(094,0 MMMM Posteriormente a fines de junio el valor de las naranjas se modificó a:

MMMMMMM )00648,01(00648,1)094,1(()92,0('92,0')08,01('08,0' La variación neta (en este caso aumento) es de 0,648 % con respecto al precio anterior de Mayo. Si inicialmente un artículo fue rebajado en un 15 % y luego en un 12 %. ¿Cómo se obtiene la rebaja neta? Si el precio inicial del artículo era P después de la primera rebaja pasa a ser:




')85,0( PP y después de la segunda rebaja pasa a ser:

PPPP )252,01(748,0)88,0()85,0(')88,0( es decir una rebaja neta de 25,2 %. Promedio de porcentajes. Al igual que en los casos anteriores se debe tener mucho cuidado cuando se pretende calcular un porcentaje promedio. Ejemplo: Se pretende determinar el porcentaje de personas en el país que fuma a partir de los siguientes datos:

Región %de fumadores

Número de habitantes

1 47 % 80421

2 43 % 97234

3 43% 67564

Se debe recordar que el porcentaje esta asociado al referente, en este caso el número de habitantes por región:

El número de fumadores en la primera región es: 377988042147,0 Aplicación: calcular el número de fumadores por región, agregarlos en la tabla y obtener el número total de personas que fuman en el país. ACTIVIDADES: Hallar el 72 % de 4.500 Si el 4 % de un número es 70. ¿Cuál es el número? Un artículo cuyo precio de lista es $ 148 tiene un descuento del 10 % por pago contado, pero si se paga con tarjeta recibe un descuento del 5 % sobre el precio de contado. ¿Cuánto se paga si se usa tarjeta?

Hallar la fracción equivalente al 75 % de 9

5

¿Qué porcentaje de 800 es 20? Hallar el 50 % de 70 y el 70 % de 50. Comparar los resultados. Un préstamo se puede obtener a una tasa del 1 % mensual sobre saldos. ¿Cuánto habría que pagar por $ 3.000 de préstamo. Si debe devolverse en 3 cuotas mensuales compuestas de $ 1.000 cada una más el interés devengado? Un cultivo de bacterias aumenta su población en 24 % diario. ¿Qué porcentaje habrá aumentado en 3 días?




TRIGONOMETRÍA.

OBJETO DE LA TRIGONOMETRIA.

Para estudiar las relaciones que pueden establecerse entre los lados de un rectángulo, resulta suficiente medir sus lados, lo que equivale a medir segmentos y deducir consecuencias de esas mediciones.

Si el polígono de menor número de lados en que pudiera descomponerse un polígono cualquiera fuese un rectángulo, las herramientas que nos provee la Geometría serían suficientes para estudiar las relaciones entre sus elementos. Pero es sabido, cualquier polígono puede descomponerse por complicado que sea, en un número finito de triángulos y si han de establecerse relaciones entre los lados de un triángulo es necesario hacer intervenir en los cálculos las medidas de los lados y de los ángulos.

La rama de la Matemática que se ocupa de este problema se denomina Trigonometría (del griego: trigonos: triángulo; metría: medida); utilizando esta disciplina estaremos en condiciones de abordar la resolución numérica de triángulos.

La trigonometría, resulta hoy en día de fundamental importancia en el estudio de algunos problemas del Análisis Matemático y en el de fenómenos vibratorios vinculados con la Física, para lo cual es imprescindible el conocimiento del concepto que desarrollaremos de función trigonométrica.

Conceptualmente, el estudio de cualquier construcción geométrica del plano puede ser transformado, usando la Trigonometría, en un problema aritmético; la ventaja de esta transformación se ha ido acentuando con el correr de los años debido al auxilio de la computación, que permite realizar cálculos, por más complejos que ellos resulten, con mayor exactitud y rapidez que aquella que puede obtenerse apelando a soluciones gráficas, aunque se cuente con un dibujo "muy preciso".

La exactitud de los cálculos aritméticos no se encuentra limitada por las imperfecciones propias de los elementos de dibujo; sin embargo no debe esperarse que el problema tratado en forma analítica conduzca a resultados absolutamente exactos ya que, como hemos dicho, antes de establecer las correspondientes relaciones y efectuar los cálculos requeridos, deben medirse los ángulos y los segmentos, a efectos de obtener los datos imprescindibles para resolverlo.

Se trata entonces, de efectuar mediciones previas al cálculo, y, como resultado de esas mediciones, solo por azar obtendremos números exactos; estaremos siempre limitados por imperfecciones, debidas tanto a la calidad de los instrumentos de medición, como a la "habilidad" del responsable de ejecutar la misma.

Nuestro problema, comienza entonces al "medir" y, para resolverlo, como resulta en general sencilla y conocida la medición de segmentos, nos ocuparemos fundamentalmente de la medición de ángulos.




MEDIR un ángulo, es asignarle un número de manera tal que, ese número, permita reproducirlo en cualquier parte, sin necesidad de transportarlo materialmente de un lugar a otro.

MEDIDA GRAFICA DE UN ÁNGULO.

Si deseamos transportar un ángulo de vértice O y lados Ox y Oy, trazamos con centro O y radio r un arco de circunferencia que intercepte los lados P y Q.

El radio r y el segmento PQ, denominado cuerda nos dan una medida del ángulo; en efecto, si por el punto O', elegida arbitrariamente la dirección O'x' trazamos un arco de radio r, la intersección con O'x' definirá el punto Q' con centro en el cual trazamos un arco de circunferencia de radio P'Q’=PQ que intersectando al arco de radio r permite encontrar el punto P'; uniendo P' con O' queda "dibujado" un ángulo igual al original.

MEDIDA NUMÉRICA DE UN ÁNGULO. Según hemos visto podemos transportar un ángulo si conocemos dos números: el radio r del arco usado para definirlo y la cuerda, ambos medidos en unidades de longitud. Si efectuamos ahora el cociente cuerda sobre radio obtendremos un único número adimensional que "caracteriza " el ángulo.

OP OQ r

OP OQ r

PQ

r

PQ

rconstante

1 1 1

1

1

SENTIDO DE MEDICIÓN.

Un ángulo puede suponerse como engendrado por uno de sus lados que gira en el plano alrededor del vértice a partir de la posición superpuesta.

P

Q

PQO

x

y

r

P Q

P'

Q'

O'

r

r

P

Q

O

P1

Q1




El lado que gira puede hacerlo siguiendo el sentido de giro de las agujas del reloj (sentido negativo) o en sentido contrario (sentido positivo). Pueden darse las siguientes situaciones para ángulos menores o mayores que un giro completo: ángulo positivo ángulo negativo ángulo positivo ángulo negativo ángulo positivo ángulo negativo

SISTEMA SEXAGESIMAL DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS.

Si dividimos una circunferencia de radio cualquiera en 360 arcos iguales y unimos los puntos de división con el centro, obtendremos 360 ángulos iguales a cada uno de los cuales se asigna el valor de un grado sexagesimal ( 1o).

A su vez, cada ángulo de un grado se subdivide en 60 partes (ángulo de un minuto =1') y por último cada ángulo de un minuto vuelve a subdividirse en 60 partes, obteniéndose un ángulo de un segundo (1"). Entonces: un ángulo de una circunferencia mide 360º. un ángulo de media circunferencia, llamado ángulo llano mide 180º. un ángulo de un cuarto de circunferencia se denomina ángulo recto y mide 90º ; la mitad de un ángulo recto mide 45º. un ángulo de 33 grados sexagesimales, 45 minutos y 30 segundos, se escribe: 33º45'30".

SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS.

Consiste en dividir la circunferencia en 400 partes de modo que el ángulo recto sea de 100º.




La unidad se denomina grado centesimal (1g). Un grado centesimal se divide a su vez en 100 minutos (100') centesimales y cada uno de estos se subdivide en 100 segundos (100") centesimales, resultando: un ángulo de una circunferencia mide 400g. un ángulo llano (media circunferencia) mide 200g. la mitad de un ángulo recto mide 50g. un ángulo de 33 grados centesimales, 45 minutos y treinta segundos, se escribe: 33g 45' 31" y corresponde a un ángulo de menor abertura que el que tiene los mismos números en el sistema sexagesimal.

SISTEMA DE MEDIDA EN RADIANES.

La medida de un ángulo queda definida en este sistema, como el cociente

entre la longitud del arco PQ y la longitud del radio. Si designamos con al ángulo de vértice coincidente con el centro de la circunferencia:

medida de = longitud del arco PQ

longitud del radio

Cuando la longitud del arco PQ es igual al radio, decimos que el ángulo mide

un radian. Un radian entonces, no indica ninguna dimensión ya que resulta del cociente de dos magnitudes.

De la definición, surge la siguiente consecuencia, muy utilizada:

long.del arco = long. del radio x ángulo en radianes. Entonces:

un ángulo de una circunferencia mide 2 radianes.

un ángulo de media circunferencia mide radianes.

un ángulo recto mide /2 radianes.

la mitad de un ángulo recto mide /4 radianes. En el sistema de medida en radianes, el arco de un radián (longitud del arco igual a la medida del radio) equivale a un ángulo del sistema sexagesimal de 57º 17´44”,80; en efecto:




radianes 180º

1 radián 180º

= 57º,2957795.

expresión en la cual las fracciones de grado están expresadas en el sistema decimal; para efectuar la transformación a minutos y segundos del sistema sexagesimal 1º 60 ' 0º,2957795 60' x 0,2957795 = 17',74677 quedando expresada la parte no entera como fracción decimal de minuto sexagesimal, siendo : 1' 60 " 0',74677 60” x 0,74677 = 44",80 resultando: 1 radián = 57º 17' 44",80. Puede demostrarse con análogo razonamiento la equivalencia de un radián en el sistema centesimal:

1 radián =

g200 = 63g 66' 19",77

FÓRMULAS DE CONVERSIÓN. Deduciremos por ser las más usuales, aquellas expresiones que permiten efectuar la transformación entre los sistemas sexagesimal y de medición en radianes. Teniendo en cuenta la medida del ángulo llano en los dos sistemas, puede establecerse la siguiente proporción:

r

º

º180

de la cual

r 180º

º

permite transformar la medida de un ángulo expresada en grados sexagesimales a radianes. La fórmula:

ºº

180 r




posibilita transformar ángulos expresados en radianes al sistema sexagesimal. (Verificar su validez). Ejemplo 1:

Si º = 30º, expresarlo en radianes

r

18030

600 5236

ºº

º,

Ejemplo 2:

Si r = 0,7854, expresarlo en el sistema sexagesimal.

ºº

, º 180

0 7854 45

ÁNGULOS CONSECUTIVOS.

Son aquellos que tienen el vértice en común y, como lado común el final de un ángulo y el comienzo del otro:

Aquellos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes forman un ángulo recto, se denominan ángulos complementarios.

Si los lados no comunes de dos ángulos consecutivos forman un ángulo llano, dichos ángulos reciben el nombre de suplementarios.

Los lados no comunes de dos ángulos consecutivos cualesquiera determinan un ángulo llamado ángulo suma.

O O




FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Si hacemos coincidir el lado inicial de un ángulo con el semieje positivo de las abscisas y el lado final está ubicado en el primer cuadrante, eligiendo dos puntos

P(x,y) y P1(x1,y1) sobre este último lado , pueden definirse los segmentos OP = y

OP1 = 1 llamados radios vectores de los puntos P y P1 respectivamente.

Puede establecerse, de acuerdo a la figura, las siguientes relaciones de proporcionalidad.

a) y

y

= constante

b) x

= x

= constante

c) y

x =

y

x = constante

1

1

1

1

1

1

las cuales nos permiten afirmar que las razones entre ordenada y radio vector, entre abscisa y radio vector y entre ordenada y abscisa correspondiente a un punto del lado final de un ángulo, no dependen de la posición del punto sobre dicho lado.

Si ahora consideramos dos ángulos y , observamos que para el mismo radio vector, las razones que habíamos establecido dejan de ser constantes. Deducimos que dichas razones dependen o son funciones del ángulo que se considere. Definimos, entonces, las siguientes funciones:

a) función seno de : sen = y

b) función coseno de : cos = x

x

y

x1

y1

P(x,y)

P1(x1,y1)

x

y

x1

y1

P(x,y)

P1(x1,y1)




c) función tangente de : tg = y

x

d) función cotangente de : cotg = x

y

e) función secante de : sec = x

f) función cosecante de : cosec = y

Las seis funciones que hemos definido reciben el nombre de funciones

trigonométricas y el signo que les corresponde en cada caso, depende del cuadrante en que esté ubicado el lado final del ángulo; dicho de otra manera, depende del signo de la abscisa y/o de la ordenada que correspondan ya que por definición al radio vector lo consideramos siempre positivo.

Los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes, se resumen en el siguiente cuadro:

sen y cosecante cos y secante tg y cotangente

1º cuadrante + + +

2º cuadrante + - -

3º cuadrante - - +

4º cuadrante - + -

RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

a) El coseno, la cotangente y la cosecante son, respectivamente las COFUNCIONES del seno, tangente y secante.

b) La cosecante, la secante y la cotangente, son respectivamente las RECIPROCAS (cuidado ! ! !: NO SON las funciones inversas) de las funciones seno, coseno y tangente.

c) El cociente entre el seno y el coseno de un mismo ángulo es igual a la función tangente.

sen y

x

y

xtg

cos

/

/

d) Se verifica la llamada relación de Pitagórica de la Trigonometría:

sen2 2 1 cos

(Verifíquela el lector teniendo en cuenta las definiciones dadas).




RESOLUCION DE TRIANGULOS.

Resolver un triángulo es determinar sus elementos fundamentales (ángulos y lados) conociendo tres de ellos, de los cuales uno al menos debe ser un lado. Un triángulo queda determinado entonces si se dan: a) dos lados y el ángulo comprometido. b) un lado y dos ángulos. c) los tres lados. d) dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (admite doble solución). Si, como caso particular el triángulo es rectángulo, bastar para determinarlo, conocer dos elementos (además del ángulo recto); que pueden ser: a) la hipotenusa y un ángulo agudo. b) un cateto y un ángulo agudo. c) la hipotenusa y un cateto. d) los dos catetos.

Dado, entonces, un triángulo, para la resolución del mismo, utilizamos las funciones trigonométricas, el Teorema de Pitágoras, sus corolarios y los teoremas del seno y del coseno que enunciaremos sin demostrar: Teorema del seno: En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:

C sen

c

B sen

b

A sen

a

ˆˆˆ

Teorema del coseno: En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo comprendido.

A cos c b 2-c + b a 22 2 ˆ

B cos c a 2-c + a b 22 2 ˆ

C cos b a 2-b + a c 22 2 ˆ

Se aconseja, para resolver un triángulo proceder de la siguiente manera: a) Dibujar un triángulo y marcar en él los datos. b) Colocar en columna los datos por una parte y por otra las incógnitas. c) Escribir expresiones adecuadas que vinculen a dos elementos conocidos con uno desconocido y de allí obtenerlo.

C

AB^

^

^

a

b

c




d) Tratar, en lo posible de calcular las incógnitas utilizando solo los datos del problema, de modo de evitar que un error cometido al calcular una incógnita se transmita al cálculo de otra. Para mejor ilustrar, desarrollaremos un ejemplo correspondiente a cada uno de los casos descriptos: Ejemplo 1: Resolver el triángulo de la figura conocidos dos lados y el ángulo comprendido.

C

A

b

:Incognitas

10" 40' 30º = B

m 15 = c

m 10 = a

:Datos

ˆ

ˆ

ˆ

1) Cálculo de la longitud de b: Aplicaremos el Teorema del coseno: b2 = a2 + c2 - 2 a c cos B Para obtener cos B = cos 30º 40' 10" con calculadora, transformamos previamente los minutos y segundos a fracción decimal:

60' ____________0º

1' _____________60'

1º

40' ____________ ,6660º = 1º 60"

40'

del mismo modo

3600" ___________1º

1" ______________3600"

1º

10" _____________ ,0030º =1º 3600"

10"

resultando: 30º 40' 10" = 30º + 0º,666 + 0º,003 = 30º,669 y en la calculadora cos 30º,669 = 0,86012 Entonces:

b2 = 102 + 152 - 2 . 10 . 15 . 0,86012

a b

cAB

C




b2 = (100 + 225 - 258,039) m2 = 66,963 m2

b = 66,963 m2 = 8,18 m.

2) Cálculo de A : Aplicamos el Teorema del Seno:

0,51008 =,66930º sen= B sen; B sen

b =

A sen

aˆ

ˆˆ

0,62357=0,51008 8,18

10 =

b

B sen a = A sen ˆ

ˆ

Si sen A = 0,62357 ; arc sen A = sen-1 Â = 38º,577

A = 38º,577 = 38º 34' 38,22" o 141º 26' 22",8

3) Cálculo de C :

Bsen

b

Csen

c

ˆˆ

51008,018,8

15ˆ

ˆˆ

Csen ;

b

BsencCsen

93535,0ˆ Csen

285,º69ˆ)93535,0( 1 Csenarcsen

,1110º41'42"=C o C ˆ9,"77'17º69ˆ

4) Verificación:

La suma de los ángulos internos del triángulo debe ser igual a 180º; si

tomamos A=141º26’22”,8 no resulta posible a = 10m; en consecuencia debemos

tomar A = 38º34’38’38”,22 y de allí deducir que valor debemos dar al ángulo C entre los dos valores hallados. Dejamos esta verificación para el lector.

De otra manera: conocidos a, b y c, calcular C utilizando el teorema del coseno. 5) Obtención de la superficie: Podemos calcular la altura:

B sen 10 = h ˆ 5,10 = 0,51008 10 = h

2m 38,25 = 2

5,10 15 = S

8,18

15

10

B

C

A

h




La expresión de la superficie puede también obtenerse utilizando la Fórmula de Herón.

c)-(p b)-(p a)-(p p = S 2

c + b + a=p

para nuestro caso m 16,59 =2

15 + 8,18 + 10=p

15)-(16,59 8,18)-(16,59 10)-(16,59 16,59 =S

Ejemplo 2: Resolver el triángulo conocido un lado y dos ángulos.

C

b

a

:Incognitas

38" 34' 38º =A

10" 40' 30º =B

m 15 =c

:Datos

ˆ

ˆ

ˆ

a) Cálculo de C :

)38" 34' 38º + 10" 40' (30º- 180º =)B+A(- 180º =C ˆˆˆ

12" 45' 110º =C b) Cálculo de a:

C sen

c=

A sen

a

ˆˆ

C sen

A sen c=a

ˆ

ˆ

m 10 = 0,93511

0,62357 15 =

69,2467 sen

38,5772 sen 15=a

c) Cálculo de b:

B sen

b=

A sen

a

ˆˆ

B sen

A sen b=a

ˆ

ˆ

m 8,18 = 0,62357

0,51008 10=b

d) Superficie:

a

b

cB

A

C




2m 38,29 = c)-(p b)-(p a)-(p p=S

Ejemplo 3: Resolver el triángulo cuando se conocen los tres lados.

C

B

A

:Incognitas

m 15 =c

m 8,18 =b

m 10 =a

:Datos

ˆ

ˆ

ˆ

a) Calculo de A :

A cos c b 2 - c + b =a 222 ˆ 222 a - c +b = A cos c b 2 ˆ

c b 2

a - c +b = A cos

222

ˆ

15 8,18 2

10 - 15 +8,18 = A cos

222

ˆ

245,4

100 - 225 +66,912 = A cos ˆ

0,78204 = A cos ˆ

,988" 33' 38º 0,78204 cos arc = A ˆ

b)Cálculo de B :

B cos c a 2 - c + a =b 222 ˆ 222 b - c +a = B cos c a 2 ˆ

c a 2

b - c +a = B cos

222

ˆ

15 10 2

8,18 - 15 +10 = B cos

222

ˆ

300

66,912 - 225 + 100 = B cos ˆ

0,86029 = B cos ˆ 0,86029 cos arc = B

'1,68' 39' 30º = B

c)Calculo de C :

C cos b a 2 - b + a =c 222 ˆ 222 c - b +a = C cos b a 2 ˆ

b a 2

c - b +a = C cos

222

ˆ

ab

cB A

C




8,18 10 2

15 - 8,18 +10 = C cos

222

ˆ

163,6

225 - 66,912 + 100 = C cos ˆ

0,35506- = C cos ˆ

(-0,35506) cos arc = C ,649" 47' 110º = C

Ejemplo 4: Resolver el triángulo si se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. (Admite doble solución).

C

c

A

:Incognitas

10" 40' 30º =B

m 8,18 =b

m 10 =a

:Datos

ˆ

ˆ

ˆ

a) Cálculo de A :

B sen

b =

A sen

a

ˆˆ

0,62357 = 0,51008 8,18

10 = B sen

b

a=A sen ˆˆ

Siendo 0 > A ; existen dos ángulos

,2238" 34' 38º =A1ˆ

,721" 25' 141º =A2ˆ

y ambos son admisibles ya que ninguno de ellos sumados a B iguala o supera a 180º. Por lo tanto el problema admite doble solución.

b) Cálculo de C :

Para cada valor de A resultará un valor de C

Para ,2238" 34' 38º =A1ˆ

B) - A( - 180º = C 11ˆˆ

ab

cB A

C

ab

cB A1

C

b

A2

C1

C2^

^

^

^




)10" 40' 30º + ,2238" 34' 38º ( - 180º =C1ˆ

,2248" 14' 69º - 180º =C1ˆ

,7811" 45' 110º =C1ˆ

Para ,721" 25' 141º =A2ˆ

B) - A( - 180º = C 22ˆˆ

)10" 40' 30º + ,721" 25' 141º ( - 180º =C2ˆ

,731" 05' 172º - 180º =C2ˆ

,328" 54' 07º =C2ˆ

c) Cálculo de la longitud de c: Aplicando el Teorema del seno para cada calor de c, obtendremos un valor de c.

Para ,7811" 45' 110º =C1ˆ

1

1

C sen

c =

B sen

b

ˆˆ

0,51008

0,93511 8,18 =

B sen

C sen b =c 1

1 ˆ

ˆ

m 14,86 =c1

Para ,328" 54' 07º =C2ˆ

2

2

C sen

c =

B sen

b

ˆˆ

0,51008

0,13758 8,18 =

B sen

C sen b =c 2

2 ˆ

ˆ m 2,21 =c2

Tenemos entonces, las dos posibles soluciones.

Solución 1

m 10 =a

m 8,18 =b

m 14,86 =c

,2238" 34' 38º =A1ˆ

10" 40' 30º =B

,7811" 45' 110º =C1ˆ

Solución 2

m 10 =a m 8,18 =b

m 2,21 =c

,721" 25' 141º =A2ˆ

10" 40' 30º =B

,328" 54' 7º =C2ˆ

a b

c1

A1

C1

B

^

^^

a

b

c2 A2

C2

B

^

^^




Los triángulos rectángulos pueden ser tratados en la misma forma: por conocerse el ángulo recto, solo necesitamos además conocer dos datos. Ejemplo 1: Resolver el triángulo rectángulo de la figura, conocidos la hipotenusa y un ángulo agudo.

C

c

b

:Incognitas

,6311" 52' 36º =B

m 10 =a:Datos

ˆ

ˆ

a) Cálculo de C :

Los ángulos B y C son complementarios

90º =C + B ˆˆ B - 90º =C ˆˆ ,3748" 07' 53º =C

b) Cálculo de b:

Siendo a

b =B sen ˆ B sen a =b ˆ

m 3 =0,6 m 5 =b

c) Cálculo de c:

Siendo a

c =B cos ˆ B cos a =c ˆ

m 4 =0,8 m 5 =c

Ejemplo 2: Resolver el triángulo rectángulo de la figura conocido un cateto y un ángulo agudo.

C

b

a

:Incognitas

,6311" 52' 36º =B

m 4 =c:Datos

ˆ

ˆ

a) Cálculo de C :


90º =C + B ˆˆ B - 90º =C ˆˆ ,3748" 07' 53º =C

a

b

c A

C

B

^

^^

a

b

c A

C

B

^

^^




b) Cálculo de a:

Siendo a

c =B cos ˆ

B cos

c =a

ˆ

5m =0,8

4 =

,6311" 52' 36º cos

m 4 =a

c) Cálculo de b:

Siendo c

b =B tg ˆ B tg c =b ˆ

m 3 =0,75 m 4 =b

Ejemplo 3: Resolver el triángulo rectángulo de la figura, conocidos los dos catetos.

C

B

a

:Incognitas

m 3 =b

m 4 =c:Datos

ˆ

ˆ

a) Cálculo de a:

Aplicamos el Teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2 = 32 + 42 = (9 + 16) m2 = 25 m2. a = 5 m.

b) Cálculo de B :

Siendo c

b =B tg ˆ 0,75 =

4

3 =B tg ˆ

0,75 tg arc =B

,6311" 52' 36º =B

c) Cálculo de C :


90º =C + B ˆˆ B - 90º =C ˆˆ ,3748" 07' 53º =C

a

b

c A

C

B

^

^^

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