@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 PROPIEDADES GLOBALES Bloque III * Tema 105.

@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 1

PROPIEDADES GLOBALES

Bloque III * Tema 105


• Los puntos de corte de la función f con el eje X se calculan resolviendo la ecuación f(x)=0

• Si f(x) es una expresión polinómica de grado impar, habrá al menos un punto de corte con el eje X.

• El punto de corte de la función f con el eje Y es el punto (0, f(0)).• Como máximo hay un punto de corte con el eje Y, ya que si no, f no sería

función.

• Ejemplo 1 Ejemplo 2• • f(x) = x3 –3x + 2 f(x) = - x3 + 4x• f(0) = 2 Pc(0,2) f(0) = 0 Pc(0,0)• 0 = x3 –3x + 2 0 = - x3 + 4x• Factorizando por Rufinni: Factorizando por Rufinni:• f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1) f(x) = - x (x + 2)(x – 2)• Pc(– 2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) Pc(0,0) , Pc(– 2, 0), Pc(2, 0)

CORTES CON LOS EJES


• Ejemplo 3 Ejemplo 4

• x – 3 1 – x2 • f(x) = -------- f(x) = ---------• x + 1 x

• Cortes con eje Y: Cortes con eje Y:

• f(0) = – 3 Pc(0,– 3) f(0) = 1/0 =oo NO HAY

• Cortes con eje X: Cortes con eje X:

• 0 = (x –3) / (x +1) 0 = (1 – x2 ) / x• (x + 1).0 = (x – 3) x.0 = (1 – x2 )• 0 = (x – 3) 0 = (1 – x2 ) • 3 = x Pc(3, 0) x2 = 1 Pc(– 1,0) , Pc(1, 0)

CORTES CON LOS EJES


(-2,0)

(0,0)

(2,0)

(-2,0) (1,0)

(0,2)

Gráficas de los ejemplos

(3,0)

(0, -3)

(-1,0) (1,0)


• Para representar gráficamente una función nos interesa saber en qué zonas o intervalos la función va por encima o por debajo del eje X.

• Los puntos de corte de la función f con el eje X, así como los puntos que no forman parte del dominio de la función, nos limitan las zonas a estudio.

• Si en un punto c del intervalo (a,b) la ordenada o valor de f (c) es positivo ( o negativo) , es también positivo ) o negativo) en todos los puntos del intervalo.


• f(x) = x3 –3x + 2 f(x) = - x3 + 4x• Intervalos a estudio: Intervalos a estudio:• (-oo,-2), (-2, 1) y (1, oo) (-oo, -2), (-2, 0), (0, 2) y (2, oo)• f(-3) =– 27 + 9 + 2 = – en (-oo, -2) f(-3) = 27 - 12 = + en (-oo, -2)• f(0) = 0 – 0 + 2 = + en (-2, 1) f(-1) = 1 – 4 = – en (-2, 0)• f(2) = 8 – 6 + 2 = + en (1, oo) f(1) = – 1 + 4 = + en (0, 2)• f(3) = – 27 + 12 = – en (-oo, -2)

SIGNO DE UNA FUNCIÓN



• x – 3 1 – x2 • f(x) = -------- f(x) = ---------• x + 1 x

• Intervalos a estudio: Intervalos a estudio:• (-oo, -1), (-1,3) y (3,oo) (-oo,-1), (-1,0), (0, 1) y (1, oo)

• f(-3) = – 6 / - 2 = + en (-oo, -1) f(-3) = -8 / - 3 = + en (-oo, -1)• f(0) = – 3 / 1 = – en (-1, 3) f(-0,5) = 0,75 / – 0,5 = – en (-1, 0)• f(4) = 1 / 5 = + en (3, oo) f(0,5) = 0,75 / 0,5 = + en (0, 1)• f(2) = – 3 / 2 = – en (1 , oo)

SIGNO DE UNA FUNCIÓN


(-2,0)

(0,0)

(2,0)

(-2,0) (1,0)

(0,2)

Gráficas de los ejemplos

(3,0)

(0, -3)(-1,0) (1,0)


SIMETRÍAS

• SIMETRÍAS

• Sea la función y = f(x).• • Si se cumple que f(x) = f(-x) Hay SIMETRÍA PAR

• Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas , eje Y.• El eje Y es eje de simetría de la función.

• Si se cumple que f(x) = - f(-x) Hay SIMETRÍA IMPAR

• Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.• Lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante.• (Es la simetría respecto a un punto que se vió en 3º ESO)


Ejemplo 1

• SIMETRÍA PAR

• • f(x) = x2 TABLA

x y

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

y

• f(x) = x2.• • Veamos si se cumple que;• f(x) = f(-x)

• f(x) = x2

• f(-x) = (-x)2 = x2

Hay SIMETRÍA PAR

• Lo mismo sucedería con:• f(x) = x2 – 3• f(x) = x2 + 5

• Pero no con:• f(x) = x2 – 3.x• f(x) = 2.x – 5


Ejemplo 2

• SIMETRÍA PAR

• • f(x) = x4 – x2 TABLA

x y

-2 12

-1 0

-0,5 -0,19

0 0

0,5 -0,19

1 0

2 12

y

• f(x) = x4 – x2

• • Veamos si se cumple que;• f(x) = f(-x)

• f(x) = x4 – x2

• f(-x) = (-x)4 – (-x)2

• f(-x) = x4 – x2

Hay SIMETRÍA PAR

• Lo mismo sucedería con:• f(x) = x4 + 3 x2 • f(x) = 2x6 + 5x2 – 3

• Pero no con:• f(x) = x4 – 3.x• f(x) = 4x3 – 5x2 + 4


Ejemplo 3

• SIMETRÍA IMPAR• • f(x) = x3

TABLA

x y

-2 - 8

-1 - 1

0 0

1 1

2 8

O

• f(x) = x3.• • Veamos si se cumple que;• f(x) = - f(-x)

• f(x) = x3

• f(-x) = (-x)3 = - x3

• - f(-x) = - (- x3 )= x3

Hay SIMETRÍA IMPAR

• Lo mismo sucedería con:• f(x) = x3 – 3.x• f(x) = x3 + 5.x• Pero no con:• f(x) = x3 + 2.x2

• f(x) = x3 – 5


Ejemplo 4

• SIMETRÍA IMPAR

• 4• f(x) = -----• x

TABLA

x y

-2 - 2

-1 - 4

0 ---

1 4

2 2

0

• f(x) = 4 / x• • Veamos si se cumple que;• f(x) = - f(-x)

• f(x) = 4 / x• f(-x) = 4 / (- x) = - 4 / x• - f(-x) = - (- 4 / x)= 4 / x

Hay SIMETRÍA IMPAR

• Lo mismo sucedería con:• f(x) = – 6 / x• f(x) = 12 / x• Pero no con:• f(x) = 4 ( x + 2)

• f(x) = – 6 / (x – 3)


Ejemplo 3 Ejemplo 4

• SIMETRÍA SIMETRÍA • • x = y2 NO ES UNA FUNCIÓN

• NO ES UNA FUNCIÓN

x

y

x

y


FUNCIONES PERIÓDICAS

• PERIODICIDAD• • Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma se

repite a intervalos iguales.

• La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, T.• • Si se cumple que f(x) = f(x + n.T), siendo n un número entero ( 1, 2, 3,

… ) , entonces la función es periódica y de periodo T.

• Ejemplos de funciones periódicas

• Con periodo T = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada.

• No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años.


5mn 10 mn 5 mn 5 mn

• Ejemplo 1 La noria.

5mn 10 mn 5 mn 5 mn

P = 25 mn

• En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros.

• Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando.

• Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta

• Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse.

• Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos.

• El periodo es t = 25 mn

P = 25 mn


• EJEMPLO_2 La electricidad

• La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas.

• Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º . En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0,020 segundos.

• Eso significa que cada segundo se recibe en los hogares, fábricas, etc, 50 ciclos completos, 50 ondas senoidales.

• Según lo dicho en la definición:• sen 30º = sen (30+nT)=sen (30+360) = sen (30+720) = sen (30+1080) = Etc

P = 0,02 s P = 0,02 s


Osciloscopio

• El osciloscopio es el aparato eléctrico diseñado para visualizar y medir todo tipo de señales eléctricas.

• Podemos ver cómo la corriente eléctrica que llega a los electrodomésticos, aparatos de imagen y sonido en los hogares, así como la que llega a las diferentes empresas, tiene forma de onda senoidal.

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