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ESTADISTICA Y PROBABILIDADES/ ES-241 2012
I. Cálculos II. SUMATORIAS DOBLES Y VALOR NUMÉRICO: DADO EL SIGUIENTE
CUADRO II ;donde cada valor corresponde a un valor Xij, desarrolle y calcule su valor numérico:
a) ∑ X i1 e) ∑ X1 j i) X .2
b) ∑ X i2 f) ∑ X2 j j) X3.
c) ∑ X i3 g) ∑ X3 j k) X . .
d) ∑ X i4 h) ∑ X4 j l) ∑∑ X ij
SOLUCIÓN.
a) ∑i=1
4
X i1=X11+X21+X31+X41=2+4+3+2=11
b) ∑i=1
4
X i2=X12+X22+X32+X42=5−1−4+8=8
c) ∑i=1
4
X i3=X13+X23+X 33+X 43=3+7+1−2=9
d) ∑i=1
4
X i4=X14+X24+X 34+X44=1+2+0+6=9
e) ∑j=1
4
X1 j=X11+X12+X13+X14=2+5+3+1=¿11
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i ,j 1 2 3 4
1 2 4 3 22 5 -1 -4 83 3 7 1 -24 1 2 0 6
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f) ∑j=1
4
X2 j=X21+X22+X23+X24=4−1+7+2=12
g) ∑j=1
4
X3 j=X31+X32+X33+X34=3−4+1+0=0
h) ∑j=1
4
X4 j=X 41+X 42+X43+X44=2+8−2+6=14
i) ∑i=1
4
X i2=X12+X22+X32+X42=4−1+7+2=12
j) ∑j=1
4
X3 j=X31+X32+X33+X34=3−4+1+0=0
k)
∑i=1
4
∑j=1
4
X ij=∑i=1
4
[X i1+X i2+X i3+X i4 ]=[ ( X11+X 12+X 13+X 14 )+(X21+X22+X23+X24 )+ (X31+X32+X33+X34 )+( X41+X42+X43+X 44 ) ]= [ (4+3+2+0 )+(3+5+0+1 )+(1+0+3+6 )+(0+4+2+3 ) ]=[ 9+9+10+9 ]=37
l)
∑i=1
4
∑j=1
4
X ij=∑i=1
4
[X i1+X i2+X i3+X i4 ]=[ ( X11+X 12+X 13+X 14 )+(X21+X22+X23+X24 )+ (X31+X32+X33+X34 )+( X41+X42+X43+X 44 ) ]= [ (4+3+2+0 )+(3+5+0+1 )+(1+0+3+6 )+(0+4+2+3 ) ]=[ 9+9+10+9 ]=37
III. DEMOSTRACIONES USANDO SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS.- dada la relación conocida X barra = ∑Xi /n demostrar que:
a) ∑ [ X i ( X i−x )+(x−X i ) ]=∑ X i2−(∑ X i )
2/n
b) ∑ [ X i (X i−x )+x2 ]=∑ X i2
c) ∏i=1
n
Y iW iZ i=∏i=1
n
Y i∏i=1
n
W i∏i=1
n
Zi
SOLUCION:
a)
∑ [ X i ( X i−x )+(x−X i ) ]=∑ [X i2−X i x+x−X i ]=∑ X i
2−∑ X i x+∑ x−∑ X i
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¿∑ X i2−x∑ X i+nx−¿∑ X i=∑ X i
2−x (nx )+n x−nx ¿
¿∑ X i2−n x2=∑ X i
2−n (∑ X i )
2
n2 =¿∑ X i2−(∑ X i )
2/nlqqd .¿
b) ∑ [ X i (X i−x )+x2 ]=∑ [X i2−X i x+x
2 ]=∑ X i2−∑ X i x+∑ x2
¿∑ X i2−x∑ X i+¿nx2=∑ X i
2−x (n x )+¿n x2 ¿¿
¿∑ X i2−n x2+¿n x2 ¿=∑ X i
2lqqd .
c) ∏i=1
n
Y iW iZ i=[ (Y 1W 1Z1 ) (Y 2W 2Z2 ) (Y 3W 3Z3 )… (Y nW nZn ) ]
¿ (Y 1Y 2…Y n) (W 1W 2…W n) (Z1Z2…Zn )=∏i=1
n
Y i∏i=1
n
W i∏i=1
n
Z ilqqd .
IV. ORGANIZACIÓN DE DATOS Y CÁLCULOS DE ESTADÍGRAFOS: Los siguientes datos corresponden al muestreo de los diámetros de 50 cojinetes fabricados por una empresa Metal- Mecánica del PARQUE INDUSTRIAL DE TRUJILLO.
0.529 0.538 0.532 0.529 0.535 0.536 0.534 0.542 0.537 0.5300.538 0.536 0.536 0.526 0.525 0.524 0.530 0.543 0.539 0.5420.536 0.528 0.546 0.532 0.535 0.534 0.539 0.527 0.544 0.5270.535 0.534 0.540 0.536 0.540 0.532 0.535 0.535 0.528 0.5410.535 0.531 0.540 0.532 0.535 0.533 0.535 0.537 0.541 0.537
4.1 Tipología de variable estadística bajo estudio. ¿El tamaño de muestra n es pequeña o grande? Calcular el rango de datos originales Rx
4.2 Determinar el número de intervalos de clase (m) por el método de STURGES ¿existirá un nuevo rango y alguna diferencia de rangos?
4.3 Elaborar un cuadro completo de la Distribución de Diámetros de 50 cojinetes.4.4 Calcule el Diámetro medio, el Diámetro Mediano y el Diámetro Modal de los
datos agrupados. Interprétalos estadísticamente.
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4.5 Calcule la Varianza y la Desviación Estándar de datos agrupados. Interprétalos.4.6 Calcule la Desviación Media y Calcule la Desviación Mediana de datos agrupados.
Interprétalos estadísticamente.4.7 Calcule el Coeficiente de Variación de datos agrupados. Interpretar
estadísticamente.4.8 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos
estadísticamente.4.9 Calcule el Nonagésimo Percentil y Décimo percentil. Interprétalos4.10 Calcule el Recorrido Intercuartílico y el Semi-Recorrido Intercuartílico.
Interpretarlos.4.11 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos
estadísticamente4.12 Hallar el 1er. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera
As? 4.13 Hallar el 2do. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución
genera As?
Fórmula: As = β = Q3+Q1−2Me
Q3−Q1
IV.14 Hallar el Coeficiente Percentílico de KURTOSIS. ¿Qué distribución genera K?Fórmula: (Q3 – Q1) / 2(P90 – P10)
IV.15 Hallar el Coeficiente de Asimetría de FISHER. ¿Qué distribución genera As? IV.16 Hallar el coeficiente percentilico de KURTOSIS ¿qué distribución genera k?IV.17 Comparar en un histograma y curva los estadígrafos de tendencia central o
medidas de posición. ¿qué distribución genera As ?
Solución:
4.1 Tipología de variable estadística bajo estudio. ¿El tamaño de muestra n es pequeña o grande? Calcular el rango de datos originales Rx
Es una variable cuantitativa continua (v.c.c).
El tamaño de la muestra es 50, y es una muestra grande por ser mayor a 30.
R x=Xmax−Xmin=0.546−0.524=0.022
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4.2 Determinar el número de intervalos de clase (m) por el método de STURGES ¿existirá un nuevo rango y alguna diferencia de rangos?
m=1+3.3 ( logn )=1+3.3 (log 50 )=6.640580414=7
Hallamos la amplitud interválica o ancho de la clase “c”.
c=Rxm
=0.0227
=0.003142857143 c '=0.0032 , c ' '=0.004
Entonces Hallamos el nuevo rango con la ecuación: c ' '=R ' xm'
0.004= R ' x7
R' x=(0.004 ) (7 )=0.028
entonces si existeunnuevorango y elloes R' x=0.028
∆ Rx=R' x−Rx ∆ Rx=0.028−0.022=0.006 ………diferencia de rangos
4.3 Elaborar un cuadro completo de la Distribución de Diámetros de 50 cojinetes.Haciendo uso del nuevo rango obtenido en el problema anterior haremos una distribución:
repartiendoel delta rango :
R ' x=+∆ Rx
2;R ' ' x=−∆ Rx
2
R' x=+0.003 R ' ' x=−0.003
Y 'i−1=Xmin−R ' ' x
Y 'i−1=0.526−0.003=0.523
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Cuadro completo de distribución de frecuencias1 2 3 4 5 6 7 8 9 10i [Yi-1 ,Y'i-1⟩ Yi Ci tabulación ni hi=ni/n Nj Hj=Ni/n Hjx1001 [0.523-0.527⟩ 0.525 0.004 II 2 0.04 2 0.04 4%2 [0.527-0.531⟩ 0.529 0.004 IIIII III 8 0.16 10 0.2 20%3 [0.531-0.535⟩ 0.533 0.004 IIIII IIIII IIIII I 16 0.32 26 0.52 52%4 [0.535-0.539⟩ 0.537 0.004 IIIII IIIII III 13 0.26 39 0.78 78%5 [0.539-0.543⟩ 0.541 0.004 IIIII IIIII 10 0.2 49 0.98 98%6 [0.543-0.547⟩ 0.545 0.004 0 0 49 0.98 98%7 [0.547-0.551⟩ 0.549 0.004 I 1 0.02 50 1 100%
50 1
4.4 Calcule el Diámetro medio, el Diámetro Mediano y el Diámetro Modal de los datos agrupados. Interprétalos estadísticamente.
El diámetro medio calcularemos mediante la siguiente ecuación.
Me=∑i=1
m
Y ini
n
Me=∑i=1
7
Y ini
50=26.75
50=0.535
Interpretación estadística: El diámetro medio es 0.535
El diámetro mediano calcularemos mediante la siguiente ecuación.
~x=Y ' i−1+c [ n2 −N j−1
N j−N j−1]
1ro n2=50
2=25
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2do 10≤25<26 ; Me∈ ¿
~x=0.531+ (0.004 ) [ 25−1026−10 ]=0.53475
Interpretación estadística: El diámetro mediano es 0.534 cm supera a lo más al 50% de los diámetros y es superado por no más del 50% de los diámetros restantes.
Calculemos el diámetro modal.
M 0=Y ' j−1+c [ n j−n j−1
(n j−n j−1 )+(n j−n j+1 ) ] 1ro La mayor frecuencia absoluta es: 16 entonces M 0∈ ¿
M 0=0.531+ (0.004 )[ 16−8(16−8 )+(16−13 ) ]
M 0=0.531+ (0.004 )[ 811 ]=0.53390909
Interpretación estadística: El diámetro que más se repite es:0.53390909
4.5 Calcule la Varianza y la Desviación Estándar de datos agrupados. Interprétalos.
La variancia. Sy
2=∑i=1
n
n i (Y i− y )2
n=0.001628
50=0.00003256
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Interpretación estadística: el valor obtenido nos indica que los datos están bastante concentrados respecto a su media.
La desviación estándar. S=√S y2 =√0.00003256=0.005706137
Interpretación estadística:
4.6 Calcule la Desviación Media y Calcule la Desviación Mediana de datos agrupados. Interprétalos estadísticamente:
DMe=
∑i=1
m
ni|Y i−Me|n
=0.250
=0.004
Interpretación estadística:
DM=
∑i=1
m
ni|Y i− y|n
=0.250
=0.004
Interpretación estadística:
4.7 Calcule el Coeficiente de Variación de datos agrupados. Interpretar estadísticamente.
C .V= Sy=0.005706137
0.53456=0.010674455
Interpretación estadística:
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4.8 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente.
Para el primer cuartil
Q1=Y ' j−1+c j[ n4 −N j−1
N j−N j−1]
1ro n4=50
4=12.5
2do 10≤12.5<26entoncesQ1∈[0.531-0.535⟩
Q1=0.531+ (0.004 )[ 12.5−1026−10 ]=0.531625
Interpretación estadística: el diámetro 0.531625 cm supera a no más de un cuarto de los diámetros, y es superado por no más de los tres cuartos de los diámetros restantes.
Para el tercer cuartil
Q3=Y ' j−1+c j[ 3n4
−N j−1
N j−N j−1]
1ro 3n4
=1504
=37.5
2do 26≤37.5<39entoncesQ3∈[0.535-0.539⟩Q3=0.535+(0.004 )[ 37.5−26
39−26 ]=0.5385384
Interpretación estadística: el diámetro 0.5385384cm supera a no más de tres cuarto de los diámetros, y es superado por no más de un cuartos de los diámetros restantes.
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4.9 Calcule el Nonagésimo Percentil y Décimo percentil. Interprétalos
Para el nonagésimo percentil
P90=Y ' j−1+c j[ ¿100
−N j−1
N j−N j−1]
1ro 90n100
=4500100
=45
2do 39≤45<49entonces P90∈[0.539-0.543⟩P90=0.539+ (0.004 )[ 45−39
49−39 ]=0.5414
Interpretación estadística: el diámetro 0.5414cm supera a no más de noventa centésimos de los diámetros, y es superado por no más de un centésimo de los diámetros restantes.
Para el décimo percentil
P10=Y ' j−1+c j[ ¿100
−N j−1
N j−N j−1]
1ro 10n100
=500100
=5
2do 2≤5<10entoncesP10∈[0.527-0.531⟩
P10=0.527+ (0.004 )[ 5−210−2 ]=0.5285
Interpretación estadística: el diámetro 0.5285cm supera a no más de diez centésimos de los diámetros, y es superado por no más de noventa centésimos de los diámetros restantes.
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4.10 Calcule el Recorrido Intercuartílico y el Semi-Recorrido Intercuartílico. Interpretarlos.
RI=Q3−Q1
Q3=0.5385384 yQ1=¿ 0.531625
Entonces RI=0.5385384−0.531625=0.006913
4.11 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente:
La pregunta ya fue resuelta en el ejercicio 4.8
4.12 Hallar el 1er. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera As?
CAs=3 ( x−~x )
S=
3 (5.3456−0.535 )0.005706137
=2.529171662
¿Qué distribución genera As? comoCAs>0entonces genaraunadispersión asimétrica positiva
4.13 Hallar el 2do. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera As?
Fórmula: As = β = Q3+Q1−2Me
Q3−Q1
β = Q3+Q1−2Me
Q3−Q1
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β = 0.5385384+0.531625−2.(0.53475)
0.5385384−0.531625
β =0.0959entonces genaraunadispersión asimétrica positiva o sesgada a la derecha
IV.18 Hallar el Coeficiente Percentílico de KURTOSIS. ¿Qué distribución genera K?
Fórmula: (Q3 – Q1) / 2(P90 – P10)
El coeficiente percentilico de KURTOSIS está dado por.
K=Q3−Q1
2 (P90−P10 )= RI
2 (RIP )=0.0069134
0.0258=0.26796124
IV.19 Hallar el Coeficiente de Asimetría de FISHER. ¿Qué distribución genera As?
IV.20 Hallar el coeficiente percentilico de KURTOSIS ¿qué distribución genera k?
IV.21 Comparar en un histograma y curva los estadígrafos de tendencia central o medidas de posición. ¿qué distribución genera As ?
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