Desarrollo:

Se obtiene la función de carga para una carga uniformemente variada.

Por triángulos semejantes:

q(x )x

=ql…(1)

q ( x )=q (x)l…(2)

En la ecuación (3) que es la flecha en una viga infinita de fundación elástica con una carga puntual P se sustituye P como diferencial de una carga uniformemente distribuida (2).

y= Pβ2K

e−βx (cos βx+sin βx )… (3 )

y= qβ2Kl

∫a

b

x e−βx (cos βx+sin βx )dx… (4 )

En la ecuación (4), los límites a y b se obtienen observando la Figura 1. Si el punto estuviera dentro de la carga los límites cambiarían. La resolución de la integral de la ecuación (4) se presenta a continuación por el método de integración por partes (5).

∫udv=uv−∫vdu

u=xdv=e−βx ( cos βx+sin βx )

du=1v=−1βe−βxcos βx

El resultado usando la integración por partes ofrece:

∫ x e−βx (cos βx+sin βx )dx=−xβe−βxcos βx+ 1

β∫ e−βx cos βx dx

Y el resultado de a integral es:

∫ e−βxcos βx dx= e−βx

2 β(−cos βx+sin βx )

∫ x e−βx (cos βx+sin βx )dx=¿− xβe−βxcos βx+ e

−βx

2 β2(−cos βx+sin βx )…(5)

La evaluación de los límites de integración en (5) ofrece:

y= q2Kl [−bθ (βb )+aθ (βa )+ 1

2 β2[ψ (βb )−ψ (β a ) ] ]

y= q2K

[θ (β a )−θ (β b ) ]+ q4 βKl

[ψ (βb )−ψ (βa ) ]

Después de reducir y factorizar, se obtuvo la ecuación de la flecha en cualquier punto fuera de la zona de carga, con una viga infinita sobre fundación elástica.

y= qK [ 12 [θ (βa )−θ (βb ) ]+ 1

4 βl[ψ (βb )−ψ (βa ) ] ]…(6)