Post on 30-Jan-2016
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA-ENERGÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA
MATEMÁTICA I
UTILIZACIÓN DE FUNCIONES MATEMÁTICAS EN ALGUNAS
PROFESIONES
BORJA GUZMAN MIGUEL ANDRES
CCAMA YUPANQUI DINCARLOJ
JUAREZ SANCHEZ EDDÚ
LUNA OJEDA LUCERO ESTRELLA
MORE BRAVO JEFFERSON RODRIGO
SEMESTRE 2015-A
CALLAO-PERU
0
1
DEDICATORIA
Esta monografía la cual fue realizada por los
alumnos de aula N°011001 pertenecientes al
curso de Matemática I a cargo del profesor
CARLOS PEÑA MIRANDA, va dedicado
hacia los alumnos de este Semestre 2015A,
como recuerdo del primer trabajo
monográfico realizado en el presente curso,
pues en un futuro al ver esta monografía nos
traerá recuerdos de nuestros inicios en la
Universidad Nacional del Callao.
ÍNDICE
RESUMEN...............................................................................................................3
INTRODUCCIÓN...................................................................................................4
UTILIZACIÓN DE FUNCIONES MATEMÁTICAS EN ALGUNAS PROFESIONES.......................................................................................................5
1. EN LA INGENIERÍA.......................................................................................5
1.1. Funciones Trigonométricas...........................................................................5
1.2. Función Polinómica......................................................................................8
1.3. Funciones Aplicadas en la Geometría.........................................................10
2. EN LA QUÍMICA GENERAL......................................................................13
2.1. Función Lineal............................................................................................13
2.2. Función exponencial...................................................................................15
2.3. Función logarítmica....................................................................................17
3. EN LA FÍSICA...............................................................................................19
3.1. Función en gases ideales.............................................................................19
3.1.1. Ley de Charles (proceso isobárico).........................................................19
3.1.2. Ley de Gay- Lussac (proceso isócoro)....................................................19
3.1.3. Ley de Boyle-Marriotte (proceso isotérmico).........................................20
4. EN LA ECONOMÍA......................................................................................23
4.1. Función Lineal............................................................................................23
4.1.1. Curvas de Ofertas y Demandas lineales..................................................23
4.1.2. Costos Fijos(CF)......................................................................................24
4.1.3. Costo de Variable(CV)............................................................................25
4.2. Función Cuadrática.....................................................................................27
CONCLUSIONES.................................................................................................31
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................32
2
RESUMEN
El objetivo de esta monografía es demostrar que las funciones enseñadas al
alumno , no son horas de clases pérdidas como se suele creer, sino que las
funciones es un recurso importante en el momento de desarrollar la habilidad del
profesional puesto que otorga una visión matemática del mundo además de dar
más exactitud al momento de realizar los proyectos que el profesional quiere
aplicar en su trabajo, dejando en claro que solo algunas profesiones dan uso de las
función como las ya mencionadas.
Las funciones al ser un campo de estudio de la matemática sirve como apoyo a
algunas profesiones las cuales usan las matemáticas como fuente principal de
desarrollo, hay diversas profesiones que aplican las funciones en su campo
estudiantil y laboral, pero en esta monografía solo hablaremos de cuatro que son
la ingeniería, química, física y economía. Aunque solo se hablará de algunas
funciones como por ejemplo la función lineal, trigonométrica, exponencial.
Las aplicaciones de las funciones matemáticas en la ingeniería son diversas,
tenemos por ejemplo la función trigonométrica con la cual el ingeniero eléctrico
puede estudiar los fenómenos periódicos, así como también el ingeniero civil
quien la utiliza para poder hacer cálculos con respecto a las edificaciones o como
el ingeniero mecánico quien necesita de las funciones aplicadas a la geometría
para poder basarse en el volumen en los engranajes. Así también su aplicación en
la química está más centrada en obtener graficas que expresen los datos obtenidos
en el laboratorio o en investigaciones previas realizadas en un campo de estudio
de la química general. Una aplicación en la química muestra la gráfica de la
radioactividad que pueden producir ciertos elementos. Las aplicaciones de las
funciones matemáticas en la física son muchas, como por ejemplo función lineal
como lo utilizamos en el proceso isócoro así mismo también en el proceso
isobárico.
Y finalmente en la economía una parte muy importante es la aplicación de las
funciones como podría ser la función lineal y cuadrática estas funciones se aplican
mayormente en la oferta y la demanda o en el crecimiento de la población.
3
INTRODUCCIÓN
En la presente monografía hablaremos sobre la utilización que tienen las
funciones matemáticas en algunas profesiones, como la ingeniería, química
general, física y en la economía, siendo la ingeniería la que más usa las funciones
puesto que su aplicación es directa en el campo laboral de esa profesión. También
hay ejercicios que demuestran la forma en la cual las funciones se aplican en las
profesiones ya mencionadas.
Las funciones entregan al profesional una manera distinta de ver el mundo y nos
da a entender que cumple una misión vital en la preparación del profesional y
sobre todo en el futuro de la humanidad dado que es un conocimiento innegable
para el ser humano, ya que las funciones son una representación matemática de la
realidad.
4
UTILIZACIÓN DE FUNCIONES MATEMÁTICAS EN ALGUNAS
PROFESIONES
1. EN LA INGENIERÍA
En un campo tan amplio como es el campo de la ingeniería se utilizan todos los
modelos matemáticos, estos se han convertido indispensables para los ingenieros
quienes suelen aplicar frecuentemente dichas funciones para resolver cualquier
estudio que requiera una relación entre las magnitudes o cantidades. Un punto
muy importante en este aspecto es que hoy en día los ingenieros cuentan con una
gran herramienta a su favor que es la aplicación de la funciones en cualquier área
de su carrera. (Mundo Informatico. (19 de Noviembre de 2012). Obtenido de
http://mundoinformaticoljg.blogspot.com/2012/11/aplicaciones-de-las-funciones-
en-la.html)
Ilustración 1: Ingenieros
Fuente: http://www.udelprado.mx/assets/Holder/_resampled/SetRatioSize579339-ing-01.jpg?
Algunas funciones utilizadas para la ingeniería son:
5
1.1. Funciones Trigonométricas
Son indispensables para quienes deseen estudiar ingeniería civil, mecánica y
electrónica. Es usada sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como
el flujo de corriente alterna. (Prezi. (6 de Noviembre de 2013). Obtenido de
Prezi: https://prezi.com/cl6qwe9lfj-r/aplicaciones-de-las-funciones-en-la-
ingenieria/)
Ilustración 2: Corriente alterna
Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/3-phase-voltage.svg/575px-3-
phase-voltage.svg.png
Ejercicio N°1
Mediante una espira que gira a razón de 4πrad/s la corriente varía según la gráfica
I vs t. Determine el valor de la corriente eficaz y la ecuación de la intensidad de
corriente alterna. (Salvador Q., 2005, pág. 134)
6
5
t(s)
I(A)
-10
Ilustración 3: Grafica de Corriente Alterna
Fuente: Física: Electromagnetismo-Teoría y Problemas; Cuzcano
7
I (máxima)
Resolución del Ejercicio N°1
Del gráfico tenemos:
I (máx.)= 10A; pero I (eficaz)= I (máx.)÷√2
Luego:
I (ef.) = 10÷√2
I (ef.)=5√2A
En conclusión el valor de la corriente eficaz es:
I (ef.) =5√2A
Hallando la ecuación de I(t) :
Por teoría I (t) es de la forma:
I (t) = I (máx.)×Sen (wt+α) ……. (I)
De la gráfica I vs t
I=5, para t=0
5=10×Sen (wt+α)
Ya que t=0, entonces:
5=10 Sen (α)
Sen (α) =0.5
Luego
α= π/6… (Fase inicial)
Reemplazando valores en (I)
I (máx) =10, w=4π, α= π/6
I (t) = 10 Sen (4 π t+ π/6)
8
En conclusión la ecuación de la intensidad de la corriente alterna es
I (t) = 10 Sen (4 π t+ π/6).
1.2. Función Polinómica
Los ingenieros Civiles la suelen aplicar para resolver problemas en específico,
tomando como punto de apoyo una ecuación de segundo grado, en la
construcción de puentes colgantes, como podemos evidenciar en los siguientes
gráficos. (Prezi. (9 de Octubre de 2012). Obtenido de Prezi:
https://prezi.com/fopjgop6qken/aplicacion-de-las-funciones-matematicas/)
Ilustración 4: Puente Golden Gate
Fuente: http://mural.uv.es/esgogi/imagenes/pagina2candidatas/puentegoldengate.jpg
Ilustración 5: Puente Bridge
Fuente: http://www.lugaresquevisitar.com/wp-content/uploads/Londres-Tower-Bridge.jpg
9
Ejercicio N°2
El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres
de 800 pies de altura están separadas por una distancia de 4500 pies. El puente
está suspendido de dos enormes cables que miden 4 pies de diámetro: el ancho de
la calzada es de 110 pies y esta se encuentra aproximadamente a 240 pies del nivel
del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del
puente. Determine la altura de los cables a una distancia de 1200 pies del centro
del puente. (SlideShare. (05 de Julio de 2011). Obtenido de SlideShare:
http://es.slideshare.net/jhunioralvaradoromero/aplicacion-de-las-funciones-
matematicas-a-la-vida-diaria)
Resolución del Ejercicio N°2
Empezamos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de
modo que el eje X coincida en la calzada y el origen coincida en el centro
del puente.
Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a:
800-240=560 pies arriba de la calzada,
y ubicadas a 4500/2= 2250 pies al centro.
Lo cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo
hacia arriba y tendran su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura.
Ilustración 6: Gráfica del Problema
Fuente: http://es.slideshare.net/jhunioralvaradoromero/aplicacion-de-las-funciones-atematicas-a-
la-vida-diaria
10
Y
X
La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite
identificar la ecuación de una parábola como
Y= aX2, a>0
Se observa que los puntos (-2250,560) y (2100,560) están en la gráfica
parabólica.
Con base en estos datos podemos encontrar el valor de ´´a´´ en Y= aX2
560=a (2250)2
Así la ecuación de la parábola es
Y= (560/22502 )X2
La altura del cable cuando X=1200 es
Y= (560/22502 )12002
Notamos que la altura del cable es ≅ 159.289 pies
Por lo tanto el cable mide 159.289 pies cuando se esta a una distancia de
1200 pies del centro del puente.
En conlcusion la respuesta es 159.289 pies.
1.3. Funciones Aplicadas en la Geometría
Usadas por ingenieros civiles, mecánicos, químicos; quienes usan fórmulas
basadas en funciones, que sirven para calcular perímetros, áreas, y
volúmenes. (Instituto de Ciencias y Humanidades, 2009, pág. 510)
Ejercicio N°3
Los troncos de cono con pequeños dientes en su superficie lateral son usados para
asegurar un exitoso agarre entre engranajes. Si se sabe que este tipo de tronco es
recto y de bases circulares cuyos radios de las bases son 2 y 4 .Calcule el radio de
la sección determinada al hacerle un corte paralelo a las bases y secante a su
superficie lateral, que determina dos troncos conos equivalentes. (Instituto de
Ciencias y Humanidades, 2009, pág. 443)
11
Ilustración 7: Pequeños troncos de cono
Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Kegelradgetriebe.jpg
Ilustración 8: Gráfica del tronco del cono
Fuente: Lumbreras editores
Resolución del Ejercicio N°3
Tenemos:
12
Nos pide X
Dato: V (Tronco de cono AB-MN) = V (Tronco cono MN-CD)
Se prolonga CA y DB hasta V
Luego, los conos V-AB y V-CD son semejantes, entonces:
V (cono V-AB) / V (cono V-CD) = (2/4)3
V (cono V-AB) / V (cono V-CD)= 1/8
Si
V (cono V-AB)= 2V
Entonces
V (cono V-CD)= 16V
Se observa
V (cono V-CD)= V (cono V-AB) + V (Tronco de cono AB-CD)
V (Tronco de cono AB-CD)= 14V
Entonces:
V (Tronco de cono AB-MN) = V (Tronco cono MN-CD) = 7V
Luego se tiene
V (cono V-MN) = 2V+7V= 9V
Notamos que los conos V-AB y V-MN son semejantes.
Entonces
V (cono V-AB)/ V (cono V-MN) = 2V/9V = (2/x)3
Resolviendo
X = 3√36
En conclusión el radio de la sección cortada es 3√36.
13
2. EN LA QUÍMICA GENERAL
El uso de las funciones abarca en todas las ciencias, eso incluye también en la
química; desde gráficas con las propiedades de los elementos químicos según su
peso atómico, hasta gráficas de la masa final de un elemento radioactivo a partir
de su masa inicial por un periodo de tiempo. Si bien las gráficas no describen
exactamente a un fenómeno dado, se asemeja bastante a esta; haciendo posible los
cálculos o describir su comportamiento. (Prezi. (13 de agosto de 2013). Obtenido
de Prezi: https://prezi.com/ftj18i4mbauu/modelos-matematicos-para-la-quimica/)
2.1. Función Lineal
Esta función se caracteriza por su gráfica, que es una sucesión de puntos
trazados, y tiene la siguiente forma:
f (x)=mX
Dónde:
m: es la llamada pendiente de la función.
El empleo de este tipo de función se puede ver en la ley Beer-Lambert, que
“la absorbancia de una muestra a determinada de longitud de onda depende
de la cantidad de especie de absorbente con la que se encuentra la luz al
pasar por la muestra” (Fundación Wikipedia, Inc. (s.f.). Wikipedia. Obtenido
de Wikipedia: www.wikipedia.org/wiki/Absortividad.)
La absorbancia se calcula de esta manera:
Ilustración 9: Formula de la Absorbancia
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Beer-Lambert
Dónde:
α: es el coeficiente molar de absorción.
c: es la concentración molar del absorbente.
l: es la longitud del objeto expresada en cm, usualmente se usa 1.
14
Ilustración 10: Grafica de la absorbancia del 5-HMF, según su concentración.
Fuente: http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/ap/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/ap-
fisquim-farm3/c5.2.html
Ejercicio N°4
El Al+3 puede determinarse mediante espectrometría de llama por su emisión a
396 nm. Se prepararon seis disoluciones, cada uno de 25,0 mL, a partir de otra
concentración desconocida, a la que se le añadieron cantidades específicas de este
catión, midiendo cantidades a continuación la intensidad emitida. Los resultados
son:
Al+3(a ñadido )/mg 0 10 20 30 40 50
Intensidad/unidades 25 30 36 42 48 54
Tabla 1: Intensidad emitida según cantidad de al/mg añadido
Determinar la concentración de Al+3 en la muestra original. (Rodríguez, 2006,
pág. 3)
Resolución del Ejercicio N°4
Sea w mg la cantidad de Al+3 presente en 25 ml de la muestra inicial, a la que se
añaden, sin variación apreciable de volumen, cantidades adicionales de x mg. La
relación entre la intensidad emitida y la cantidad del catión puede expresarse del
modo siguiente:
I=K [ Al+3 ] total=K (w+x)
15
Ilustración 11: Intensidad de emisión de las disoluciones de al frente a la cantidad de catión
añadida.
Fuente: http://campus.usal.es/~licesio/T_I_Farmacia/Apuntes_TIF/Resueltos02_0506.pdf
Se observa de modo gráfico este comportamiento, de donde puede determinarse la
pendiente de la línea recta que corresponde al parámetro K=0.59unidades/mg, Y
la ordenada en el origen, que representa el producto de dicho parámetro y la
cantidad de aluminio en la muestra inicial: kW = 25 unidades.
De lo expuesto es fácil deducir que la cantidad de aluminio en la muestra inicial
es:
w= 25 unidades
0.59 unidades∗mg−1=42 mg
2.2. Función exponencial
Esta función se caracteriza ya que la variable x se encuentra el exponente de
una determinada base, usualmente se usa la base 10 o e.
Con esta función se puede hallar la masa final de determinada sustancia
radioactiva después de cierto tiempo de exposición a un ambiente dado (esto
ocurre debido a la inestabilidad del núcleo). (Fundación Wikipedia, Inc. (25 de
Enero de 2012). Wikipedia. Obtenido de Wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Radiactividad)
Para ello se usa la siguiente formula:
Ilustración 12: fórmula del decaimiento radioactivo.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Radiactividad
16
Dónde:
N (t): es la masa final.
No: es la masa inicial.
λ: es la constante de desintegración radioactiva.
t: es el tiempo transcurrido, en horas.
Ilustración 13: Grafica de la vida media del radon-232
Fuente: http://www.librosmaravillosos.com/brevehistoriaquimica/capitulo13.html
Ejercicio N°5
Determinar el pH de la solución resultante si se pesaron 5,0g de NaOH y se
disolvieron hasta un volumen final de 250 mL. (García, 2012, pág. 28)
Masa atómica de Na= 23g/mol
Masa atómica de O=16g/mol
Masa atómica de H=1g/mol
Resolución del Ejercicio N°5
Aplicando la fórmula del decaimiento radioactivo, tendremos lo siguiente:
343=350 e−λ 2
ln343350
=ln e− λ2
−2.02027073 x10−2=−λ 2
λ=¿1.01013536x10−2
Se concluye que la constante de desintegración radioactiva del elemento
seria de 1.01013536x10−2 por año.
17
2.3. Función logarítmica
Esta función viene a ser la inversa de la función exponencial. Sus bases
mayormente usadas son 10 y e.
Esta función nos ayuda a encontrar la medida de acidez o alcalinidad de
diversas soluciones. (Fundación Wikipedia, Inc. (21 de noviembre de 2011).
Wikipedia. Obtenido de Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/PH)
El pH (concentración de hidrógeno) se halla de esta forma:
Ilustración 14: Fórmula para el pH.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/PH
Dónde:
aH+: concentración molar de los iones hidrógeno.
Ilustración 15: Gráfica de la concentración de ión hidrógeno.
Fuente: http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/log/Graphing.html
Ejercicio N°6
Determinar el pH de la solución resultante si se pesaron 5,0g de NaOH y se
disolvieron hasta un volumen final de 250 mL. (Morales, Restovic, & Zárate, pág.
58)
Masa atómica de Na= 23g/mol
Masa atómica de O=16g/mol
Masa atómica de H=1g/mol
18
Resolución del Ejercicio N°6
Datos:
Masa de NaOH= 5g
Volumen de la solución= 250 ml
Masa atómica de NaOH= 40g/mol
El NaOH al ser base fuerte se disocia un 100%
Determinar pH de la solución:
n= mM
= 5,0 g
40g
mol
=0,125 mol
M= nV
=0,125 mol0,250 L
=0,5mol
L
Como es una base fuerte primero se determina pOH y luego pH:
pOH=−log [ OH ] pOH=−log ¿0.30
Como pH+pOH=14
Ph=14-0.30=13.7
Se concluye que el pH de la solución resultante es 13.7
19
3. EN LA FÍSICA
El tema de funciones en el ámbito de ingeniería hace más accesible la resolución
de diversos problemas en diversos aspectos como uno de ellos es en la física.
3.1. Función en gases ideales
En termodinámica se necesita de funciones para poder comprender su estado
de equilibrio con respecto a los otros componentes
3.1.1. Ley de Charles (proceso isobárico)
Para una misma masa de gas y a presión constante los cambios de volumen
y temperatura absoluta son directamente proporcionales (Vera Lázaro,
2005, pág. 8)
Ilustración 16: Gráfica del proceso isobárico
Fuente: http://quimicautnfrt.galeon.com/TemaN6.html
Ilustración 17: Ecuación del proceso isobárico
Fuente: http://www.educaplus.org/gases/ley_charles.html
3.1.2. Ley de Gay- Lussac (proceso isócoro)
Para unas mismas masas de gas y a volumen constante la variación de la
presión y temperatura absoluta son directamente proporcionales. (Vera
Lázaro, 2005, pág. 8)
20
Ilustración 18: Gráfica del proceso isócoro
Fuente: https://leyesdelosgases.wordpress.com/2011/02/15/22/
Ilustración 19: Ecuación del proceso isócoro
Fuente: https://leyesdelosgases.wordpress.com/2011/02/15/22/
3.1.3. Ley de Boyle-Marriotte (proceso isotérmico)
Para una misma masa de gas y a temperatura constante los cambios de
presión y volumen son inversamente proporcionales. (Vera Lázaro, 2005,
pág. 9)
Ilustración 20: Gráfica del proceso isotérmico
Fuente: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/termo1p/estado.html
Ilustración 21: Ecuación del proceso isotérmico
Fuente: http://www.educaplus.org/gases/ley_boyle.html
21
Ejercicio N°7
Un mol de gas ideal realiza el siguiente proceso cíclico. Determinar P₃; V₁; V₂ (R=8.3J/mol K) en P2=10⁵. (Vera Lázaro, 2005, pág. 29)
Resolución del Ejercicio N°7
Piden hallar presión y tenemos los siguientes datos:
n=1mol
Dónde:
“n”: número de moles
Para pasar de grados Celsius “°C” a grados kelvin “°K” se requiere la
siguiente fórmula:
°C +273 =°K
Entonces lo aplicamos a la temperatura 2 y a la temperatura 3, junto con
la temperatura 1:
T₂=227°C +273 =500°K
T₁=T₃=127°C=400°K
22
En el proceso 2-3 (ISÓCORO) aplicamos la ley de Gay- Lusacc, que
implica la igualdad de presiones entre sus respectivas temperaturas como
una constante.
Aplicamos en las presiones 2 y 3 junto con sus respectivas temperaturas.
(P₃/T₃) = (P₂/T₂)
Reemplazamos los datos del gráfico en la ecuación:
P₃/400 =5x10⁵/500 Pa.
P₃=4x10⁵ Pa.
En el estado 3:
P₃ V₃ = R T₃ n
Dónde:
P: Presión
V: Volumen
R: Constante “0.082 atm.L/mol
Reemplazando
(4x10⁵)V₃=8.3 (400) (1)
V₃=8.3x10⁻³
Por ser proceso ISÓCORO podemos ver que V₂= V₃, luego:
V₂=8.3x10⁻³
En el proceso 3-1 (ISOTÉRMICO), aplicando la ley de Boyle- Marriotte,
en la cual la multiplicación de las presiones con sus respectivos volúmenes
es constante:
P₁V₁ = P₃V₃
(4x10⁵)V₁ = (4x10⁵) (8.3x10⁻³)
V₁ =6.64x10⁻³
Entonces el volumen “1” es 6.64x 10⁻³.
23
4. EN LA ECONOMÍA
La economía es muy importante en la actualidad por que proporciona información
valiosa para el progreso de la institución, compañía y gobiernos en general. La
matemática es la base de la economía en este caso expondremos en específico las
funciones como herramienta útil para el área financiera, analizaremos muchos
procesos económicos donde se utiliza las funciones cuadráticas, exponenciales y
la más utilizada la lineal. Y así confirmar su importancia. (Scribd. (13 de mayo de
2010). Obtenido de Scribd: http://es.scribd.com/doc/31319710/Funciones-as-en-
La-Economia#scribd)
Ilustración 22: Área de financiamiento de la economía
Fuente: http://manuelgross.bligoo.com/media/users/0/872/images/public/191/Leadership-in-a-
changing-world.jpg?v=1385907827957
Algunas funciones que utilizamos en la economía son:
4.1. Función Lineal
Este tipo de función se puede emplear en varias situaciones de la vida
cotidiana porque es la más usada en la economía de esto podríamos obtener:
4.1.1. Curvas de Ofertas y Demandas lineales
“En la práctica, algunas ecuaciones de la oferta y las demanda son
aproximadamente la mayoría lineales suelen proporcionar razonablemente
en un intervalo limitado dependiendo al saldo que se está utilizando en la
24
oferta y la demanda”. (Slideshare. (26 de Noviembre de 2010). Obtenido
de Slideshare: http://es.slideshare.net/jrmorocho/anexo-2-diapositivas)
Ilustración 23: Función lineal de la oferta y la demanda
Fuente: http://image.slidesharecdn.com/anexo2diapositivas-101126094945-phpapp02/95/
aplicaciones-de-funciones-en-la-economa-5-638.jpg?cb=1422651462
En la imagen debe notarse que los segmentos de la ecuación que están en
el primer cuadrante son pertinentes esto ocurre porque la oferta, precio y la
cantidad, en general es cero o positivo. (Slideshare. (26 de Noviembre de
2010). Obtenido de Slideshare: http://es.slideshare.net/jrmorocho/anexo-2-
diapositivas)
“la función lineal tiene la forma f(x) = y = mx + b, este tipo de función son
de primer grado y como su nombre lo dice, su grafica es lineal (línea
recta).
En la economía podemos usarla para obtener el costo total al producir “x”
cantidad de artículos”. (Scribd. (13 de mayo de 2010). Obtenido de Scribd:
http://es.scribd.com/doc/31319710/Funciones-as-en-La-Economia#scribd)
4.1.2. Costos Fijos(CF)
El costo fijo no depende de la cantidad de producto hecho, siempre va
hacer el mismo F(x)=CF.
25
Ilustración 24: Gráfica del costo fijo
Fuente: http://www.auladeeconomia.com/cf.gif
4.1.3. Costo de Variable(CV)
El costo de variable depende de la cantidad de producto echo entre más se
produzca, mas alto va hacer su valor de este F(x)=CV.
Ilustración 25: Gráfica del costo de variable
Fuente: http://www.monografias.com/trabajos90/analisis-costo-volumen-utilidad/image002.png
Se utilizará la fórmula de ecuación lineal, pero a esta se le modifican los
nombres.
Costo total =costo variable + costo fijos
Ilustración 26: Gráfica del costo total
Fuente: http://www.monografias.com/trabajos94/analisis-cvu-control-costos-y-presupuesto/
img4.png
26
Ejercicio N°8
Se sabe que la función de producción P(x) de un artículo es lineal, donde x es el
dinero invertido. Si se invierten $20000, se producen 100 artículos; si se invierten
$40000, se producen 500 artículos. (Beltran, 2010, pág. 3)
a) Escriba la función de producción P(x)
b) ¿Si se invierten $6000, cuantos artículos se producen?
c) Graficar la función P(x)
Resolución del Ejercicio N°8
Sea
X: precio de producción de cada artículo
P(x)=Y: número de artículos producidos, en función de x
a) Dos puntos coordenados de la función lineal son:
A (20000,100) y B (40000,500)
Dónde:
x1=20000, y1=100, x2=40000, y2=500… (1)
Sustituimos los valores de (1) en la ecuación de la recta en la forma:
punto-punto.
y= y 2− y 1x 2−x 1
( x−x 1 )+ y1
y= 500−10040000−20000
( x−20000 )+100
y= 40020000
(x−20000 )+100
y= 150
(x−20000 )+100
y= 150
x−400+100
y= 150
x−300
b)
P(x )= 150
x−300
27
P(18000)= 150
(18000)−300
P(18000)=60
Por lo tanto se concluye que se producen 60 artículos con una inversión de
18000
c) Se procede a graficar:
Ilustración 27: Gráfica de la función de producción
Fuente: http://es.scribd.com/doc/31746890/Funciones-lineal-cuadratica-exponencial-logaritmica-
aplicadas-en-economia
4.2. Función Cuadrática
La función cuadrática tiene la forma de F(x)=ax2+ bx+c (a≠0), es de grado 2 y
su grafica tiene un sentido de curva llamada parábola. Esta función se aplica
en la economía, al ofertar un servicio o producto se disminuye su valor según
la cantidad. Por lo que amerita saber, tanto por el ofertante como el
demandante, cuál es su valor real o ganancia conforme a la que se vendía o
adquirió. (Scribd. (13 de mayo de 2010). Obtenido de Scribd:
http://es.scribd.com/doc/31319710/Funciones-as-en-La-Economia#scribd)
28
La función cuadrática entre todo a sus aspectos puede ayudar o averiguar este
incógnito.
Ejercicio N°9
“Un carpintero puede construir libreros a un costo de 40 mil pesos cada uno. Si
el carpintero vende los libreros a x miles de pesos la unidad, se ha estimado que
300-2x libreros pueden ser vendidos mensualmente. (Beltran, 2010, pág. 10)
a) Exprese la ganancia mensual por el trabajo del carpintero como una
función de x.
b) Utilice la función del inciso (a) para determinar la ganancia mensual si el
precio de venta es de $ 110 mil pesos por librero.
c) Trace la gráfica del inciso a (a) y estime el precio de venta por cada librero
que dará la mayor ganancia mensual.
d) Compruebe, algebraicamente, la estimación hecha en el inciso (c)”.
Resolución del Ejercicio N°9
Sea:
X: precio de venta de cada librero, en miles de pesos.
C(x): costo, en función de x.
I(x): ingreso, en función de x.
U(x): ganancia, en función de x.
De donde:
U(x)=I(x)-C(x)……………….. (1)
Ahora
300-2x: número de libreros que pueden ser vendidos (y producidos)
mensualmente:
Así que:
I(x)=300x-2x2…………………... (2)
C(x)=40(300-2x)=12000-80x………. (3)
Entonces unimos el (2) y (3) en el (1)
a)
U(x)=300x-2x2-(12000-80x)
29
U(x)=300x-2x2-12000+80x
U(x)=-2x2+380x-12000
b)
U (110)=-2(110)2+380(110)-12000
U (110)=-24200+41800-12000
U (110)=5600
Utilizando el (c) y (d)
U(x)=-2x2+380x-12000, dominio U= (- ∞, ∞)
a=-2: la parábola abre hacia abajo
b=380
c=-12000: corte con el eje y
−b2 a
=3804
=¿95: abscisa del vértice.
Entonces cada librero se debe vender a $9500 para obtener la mayor
ganancia.
U (95)= -2(95)2+380(95)-12000
U (95)= -18050+36100-1200
U (95)=6050: ordenada de vértice
La mayor ganancia que puede obtener el carpintero en su empresa es de $
6’050.000 mensuales.
Entonces
-2x2+380x-12000=0
x2-190x+6000=0
x={ 40150
: cortes con el eje
A partir de los datos anteriores, se construye la gráfica de U, en función
del precio de venta unitario:
30
Ilustración 28: Gráfica de U en función del precio de la venta unitaria
Fuente. https://html2-f.scribdassets.com/5cknql25dskcutn/images/16-a17c281442.jpg
31
CONCLUSIONES
Hemos obtenido un resultado muy positivo al finalizar la monografía,
debido a que hemos estudiado las aplicaciones de las funciones
matemáticas en este campo que es la ingeniería. Desde el punto de vista
personal, las funciones matemáticas han facilitado la labor de muchas
ciencias que son sumamente importantes para obtener resultados precisos
para cada situación.
En la química al igual que en varias ramas, las funciones desempeñan un
papel importante al simplificar los datos.
Gracias a las funciones lineales u otros tipos de funciones utilizadas en la
matemática también pudimos utilizarlas en la física como en el tema de
termodinámica y utilizándolas pudimos obtener de manera más rápida la
respuesta.
Las funciones es una parte importante de la economía, por lo tanto, es
necesario aprender estas partes importantes que se utilizan no solamente lo
aplicamos en la economía sino en varias ramas que podría ser la
ingeniería, química, física, etc. Es tener en cuenta estas habilidades
lógicas, que nos darán competencias para tener éxito en nuestro camino
profesional.
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BIBLIOGRAFÍA
Anónimo. (2005). Quimicautnfrt.galeon. Obtenido de Quimicautnfrt.galeon: http://quimicautnfrt.galeon.com/TemaN6.htm
Anónimo. (15 de Febrero de 2011). Leyesdelosgases.wordpress. Obtenido de Leyesdelosgases.wordpress: https://leyesdelosgases.wordpress.com/2011/02/15/22/
Anónimo. (15 de febrero de 2011). WordPress. Obtenido de WordPress: https://leyesdelosgases.wordpress.com/2011/02/15/22/
Anónimo. (15 de febrero de 2011). WordPress.com. Obtenido de https://leyesdelosgases.wordpress.com/2011/02/15/22/
Beltran, J. (2010). Scribd. Obtenido de Scribd: http://es.scribd.com/doc/31746890/Funciones-lineal-cuadratica-exponencial-logaritmica-aplicadas-en-economia
Collazo, A. (12 de Abril de 2011). SlideShare. Obtenido de SlideShare: http://es.slideshare.net/arlene_collazo619/aplicaciones-de-la-funcin-lineal-en-la-qumica-analtica
Educaplus.org. (2007). Educaplus.org. Obtenido de Educaplus.org: http://www.educaplus.org/gases/ley_boyle.html
Educaplus.org. (s.f.). Educaplus.org. Obtenido de Educaplus.org: http://www.educaplus.org/gases/ley_charles.html
Fundación Wikipedia, Inc. (21 de noviembre de 2011). Wikipedia. Obtenido de Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/PH
Fundación Wikipedia, Inc. (25 de Enero de 2012). Wikipedia. Obtenido de Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Radiactividad
Fundación Wikipedia, Inc. (s.f.). Wikipedia. Obtenido de Wikipedia: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Kegelradgetriebe.jpg
Fundación Wikipedia, Inc. (s.f.). Wikipedia. Obtenido de Wikipedia: www.wikipedia.org/wiki/Absortividad
García, W. (2012). "Modelacion Matemática en Funciones Exponencial y Logarítmica: Una Propuesta Pedagógica para el Aprendizaje de las Matemáticas Básicas". Universidad de Colombia, Facultad de Ciencias, Medellin. Obtenido de http://www.bdigital.unal.edu.co/8306/1/WILMER_GARCIA_trabajo_final_70729009.pdf
Instituto de Ciencias y Humanidades. (2009). Tronco de Cono. En Geometría una Visión de la Esterometría (pág. 443). Lima: Lumbreras.
Lugares que visitar. (s.f.). Lugaresquevisitar. Obtenido de Lugaresquevisitar: http://www.lugaresquevisitar.com/wp-content/uploads/Londres-Tower-Bridge.jpg
33
Martín Blas , T., & Serrano Fernández, A. (s.f.). Acer.forestales.upm.es. Obtenido de Acer.forestales.upm.es: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/termo1p/estado.html
Morales, T., Restovic, A., & Zárate, O. (s.f.). Resolución de Problemas de Química General. Universidad e Antofagasta, Facultad de Ciencias Basicas, Antofagasta. Obtenido de http://www.uantof.cl/depto_quimica/arestovic/Materias%20QA%2025/III%20PRUEBA/2.-EJERC%20AC-BASE.pdf
Mundo Informatico. (19 de Noviembre de 2012). Obtenido de http://mundoinformaticoljg.blogspot.com/2012/11/aplicaciones-de-las-funciones-en-la.html
Mural UV. (s.f.). Mural UV. Obtenido de Mural UV: http://mural.uv.es/esgogi/imagenes/pagina2candidatas/puentegoldengate.jpg
Prezi. (9 de Octubre de 2012). Obtenido de Prezi: https://prezi.com/fopjgop6qken/aplicacion-de-las-funciones-matematicas/
Prezi. (6 de Noviembre de 2013). Obtenido de Prezi: https://prezi.com/cl6qwe9lfj-r/aplicaciones-de-las-funciones-en-la-ingenieria/
Prezi. (13 de agosto de 2013). Obtenido de Prezi: https://prezi.com/ftj18i4mbauu/modelos-matematicos-para-la-quimica/
Rodríguez, D. L. (18 de mayo de 2006). Universidad de Salamanca. Obtenido de Universidad de Salamanca: http://campus.usal.es/~licesio/T_I_Farmacia/Apuntes_TIF/Resueltos02_0506.pdf
Salvador Q., M. A. (2005). Electromagnetismo. En M. A. Salvador Q., Fisica: Electromagnetismo-Teoria y Problemas (pág. 134). Lima: Cuzcano.
Scribd. (13 de mayo de 2010). Obtenido de Scribd: http://es.scribd.com/doc/31319710/Funciones-as-en-La-Economia#scribd
Slideshare. (26 de Noviembre de 2010). Obtenido de Slideshare: http://es.slideshare.net/jrmorocho/anexo-2-diapositivas
SlideShare. (05 de Julio de 2011). Obtenido de SlideShare: http://es.slideshare.net/jhunioralvaradoromero/aplicacion-de-las-funciones-atematicas-a-la-vida-diaria
Universidad del Prado. (s.f.). Udelprado. Obtenido de Udelprado: http://www.udelprado.mx/assets/Holder/_resampled/SetRatioSize579339-ing-01.jpg?
Universidad Nacional Experimental del Táchira. (2005). Unet. Obtenido de Unet: http://www.unet.edu.ve/~fenomeno/F_DE_T-50.htm
Vera Lázaro, I. A. (2005). Física: Termodinámica-Teoría y Problemas. Lima: Cuzcano.
34