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UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 1
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
UNIDAD N°6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS
6.1- NOCIONES DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Una manera de describir la posición de un punto P en el plano,
consiste en asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales (o perpendiculares), llamados ejes x e y.
Si P es el punto de intersección de la recta x = a (perpendicular al eje x) y la recta y = b (perpendicular al eje y), entonces se dice que los elementos de la pareja ordenada (a; b) son las coordenadas cartesianas rectangulares del punto.
En el espacio de tres dimensiones se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales. El punto en el que estos ejes se cortan se llama origen (O). Estos ejes se denominan mediante la regla de la mano derecha: “Si los dedos extendidos de la mano derecha señalan en la dirección positiva del eje x, y luego se encorvan apuntando hacia el eje y (positivo), entonces el pulgar apuntará en la dirección de un nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x e y. Este nuevo eje se designa como el eje z. Las líneas punteadas de la figura representan los ejes negativos.
Ahora bien, si: 𝑥 = 𝑎; 𝑦 = 𝑏; 𝑧 = 𝑐 Son tres planos perpendiculares al eje x; eje y y eje z respectivamente; el punto P en el cual se
cortan dichos planos se puede representar por una tríada ordenada de números (a; b; c) llamados coordenadas cartesianas rectangulares del punto. Los puntos a; b y c se denominan coordenadas x; y; z de P(a; b; c) respectivamente.
Cada pareja (o par) de ejes coordenados determina un plano coordenado. Los ejes x e y determinan el plano xy, los ejes x y z determinan el plano xz y así sucesivamente. Los planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho partes conocidas como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se llama primer octante. No existe ningún acuerdo para denominar a los otros siete octantes.
La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto que se encuentre en un eje coordenado o en un plano coordenado. Es también posible describir, por ejemplo, el plano xy mediante la simple ecuación z = 0, como se ve en la tabla. De manera semejante, el plano xz es y = 0, y el plano yz es x = 0.
Regla de la mano derecha
Ejes Coordenadas Plano Coordenadas
x y z
(a; 0; 0) (0; b; 0) (0; 0; c)
xy xz yz
(a; b; 0) (a; 0; c) (0; b; c)
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Los ángulos ; ; son los ángulos de la dirección 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ , y sus cósenos se llaman directores de
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ .
Distancia entre dos puntos: P1(x1; y1; z1) ; P2(x2; y2; z2)
𝒅 = √(𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝟐 + (𝒛𝟐−𝒛𝟏)𝟐
Ecuación del Plano: Toda ecuación lineal en (x; y; z) representa un plano. Su ecuación general es:
Ax + By + Cz + D = 0 A, B y C Coeficientes directores del plano. No nulos simultáneamente
El plano queda identificado por su recta normal “n” que tiene coeficientes A, B y C
La ecuación de la familia de planos que pasa por un punto P0(x0; y0; z0) es:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Dos planos Paralelos:
Dos planos Perpendiculares:
Sí: A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0
- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 - n1 (A1; B1; C1)
- 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 - n2 (A2; B2; C2)
Sí: A1 = B1 = C1 =K A2 B2 C2
- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 - n1 (A1; B1; C1)
- 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
- n2 (A2; B2; C2)
z
Q
S y x
z
0 M y
N
x
P(x; y; z)
2
n2 n1
1
1
2
n2 n1
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La Recta en el Espacio: Viene definida por la intersección de dos planos:
- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
- 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1; y1; z1) y P2(x2; y2; z2):
x - x1 = y - y1 = z - z1 X2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
(u; v y w son coeficientes directores de la recta que son números cualesquiera
proporcionales a los cósenos directores de la recta) u = x2 - x1 ; v = y2 - y1 ; w = z2 - z1
Dos rectas son Paralelas:
Sí: u1 = v1 = w1 = K u2 v2 w2
Dos rectas son Perpendiculares:
Sí: u1.u2 + v1.v2 + w1.w2 = 0
a) Si la recta es Perpendicular al eje x: y - y1 = z - z1
. v w x = x1
b) Si la recta es Perpendicular al eje y: x - x1 = z - z1
. u w y = y1
c) Si la recta es Perpendicular al eje z: x - x1 = y - y1
. u v z = z1
d) Si la recta es Perpendicular a los dos ejes: x = x1 y = y1
r a los ejes x e y
y = y1 z = z1
r a los ejes y y z
x = x1 z = z1
r a los ejes x y z
Recta Perpendicular a un plano: Sean (u; v; w) las componentes o coeficientes directores de una recta; para que ésta sea
perpendicular al plano de ecuación:
Ax + By + Cz + D = 0
Se ha de verificar que dichas componentes sean proporcionales a los coeficientes de (x; y; z) de la ecuación del plano que son A; B y C.
Es decir:
1 2
Recta en el E3
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u = v = w .=K A B C
Recta Paralela a un plano: La condición es:
u . A + v . B + w . C = 0
Puesto que la recta paralela (//) al plano es perpendicular a la normal del plano.
6.2- SUPERFICIES CUADRICAS Generación de las mismas Está definida por una ecuación de segundo grado en 3 (tres) variables. Una sección plana (corte)
de una cuádrica es una cónica o una forma degenerada o límite de ésta. Ecuación general
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0
Rotación Translación
Por Rotación o Translación de ejes, o bien por ambas transformaciones (cálculo bastante
complejo que trata el “Álgebra Lineal” y que en la actualidad está en programas de computación) se analizan las diversas superficies Cuádricas surgidas de la combinación de 3; 2 o 1 término cuadrático.
La ecuación general puede tomar una de las siguientes formas:
I - Ax2 + By2 + Cz2 = D Cuádricas con centro
II - Ax2 + By2 = Iz Cuádricas sin centro
n (A; B; C) r (u; v; w)
n (A; B; C) r (u; v; w)
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Si ninguna de las constantes de las ecuaciones I ó II es nula, las ecuaciones se pueden escribir de estas dos maneras:
De la I De la II
SUPERFICIES CUADRICAS
ESFERA 2222 rzyx
ELIPSOIDE
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
HIPERBOLOIDE DE 1 HOJA
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
HIPERBOLOIDE DE 2 HOJAS
1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
PARABOLOIDE
czb
y
a
x2
2
2
2
PARABOLOIDE HIPERBOLICO
czb
y
a
x2
2
2
2
CONO RECTO
0c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
CILINDRO
cyx 22
Traza de una superficie: Una traza de una superficie es una línea (curva o recta) formada por la intersección de una superficie y un plano coordenado, y proporciona a la gráfica características particulares.
x2 y2 z2 = 1 a2 b2 c2
Dependiendo de los signos que tome la ecuación, puede representar 3 superficies esencialmente distintas y simétricas con respecto al origen.
x2 + y2 + z2 = 1 a2 b2 c2 x2 + y2 - z2 = 1 a2 b2 c2 x2 - y2 - z2 = 1
a2 b2 c2
x2 y2 = z . a2 b2 c
Las dos superficies esencialmente distintas que puede representar, son:
x2 + y2 = z . a2 b2 c
x2 - y2 = z .
a2 b2 c
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Análisis de las Superficies cuádricas Las Cuádricas se clasifican según sus formas, ecuaciones y propiedades: ELIPSOIDE
La forma canónica de la ecuación del elipsoide con centro en el origen es: 1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
Un ejemplo real
Trazas sobre los planos coordenados
Cortadas por el plano
coordenado Obtenemos la traza de:
xy (z = 0) x2 + y2 = 1 Elipse
a2 b2
xz (y = 0) x2 + z2 = 1 Elipse
a2 c2
yz (x = 0) y2 + z2 = 1 Elipse
b2 c2 La figura resume las trazas en los planos coordenados y proporciona una gráfica característica.
x2 + y2 + z2 = 1
a2 b2 c2
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Secciones con planos paralelos a los coordenados Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipo elipse
(en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la ecuación que se da arriba):
Sobre el plano xy: z=k
kz
c
k1
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
si ck1c
0c
12
2k
2
2k
Elipses reales en planos paralelos al xy
si ck1c
0c
12
2k
2
2k
Elipses Puntuales
si ck1c
0c
12
2k
2
2k
Elipses Imaginarias
Sobre el plano xz: y = k
ky
b
k1
c
z
a
x2
2
2
2
2
2
si bk1b
0b
12
2k
2
2k
Elipses en planos paralelos al xz
Para 0<k<c Para k=0
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Si bk1b
0b
12
2k
2
2k
Elipses puntuales (cuando el plano es tangente al elipsoide)
Si bk1b
0b
12
2k
2
2k
Elipses Imaginarias (no existe intersección real).
Sobre el plano yz: x=k
kx
a
k1
c
z
b
y2
2
2
2
2
2
Si ak1a
0a
12
2k
2
2k
Elipses reales en planos paralelos al yz
x= k=0
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Si ak1a
0a
12
2k
2
2k
Elipses puntuales
Si ak1a
0a
12
2k
2
2k
Elipses Imaginarias
.
En particular si en la ecuación del elipsoide se tiene a=b=c queda 2222 rzyx , que es la ecuación de una esfera de radio r y centro en el origen de
coordenadas. ESFERA Definición: Una esfera es el conjunto de todos los puntos P del espacio tridimensional que
equidistan de un punto fijo llamado centro (c). El radio (r) de la esfera denota una distancia fija al centro de la misma.
En el caso de que el centro (c) de la esfera fuera un punto P(x0; y0; z0) en lugar del origen. Su ecuación será:
(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = a2 Esta ecuación representa una esfera
con centro en P(x0; y0; z0) y radio a.
Traza de la superficie
Cortadas por el plano
coordenado Obtenemos la traza de:
xy (z = 0) x2 + y2 = a2 Circunferencia
xz (y = 0) x2 + z2 = a2 Circunferencia
yz (x = 0) y2 + z2 = a2 Circunferencia
La figura resume las trazas en los planos coordenados y proporciona una gráfica característica.
Si el centro del elipsoide es el punto P(x0; y0; z0) y sus ejes son paralelos (//) a los coordenados, la ecuación es:
Si a b, pero a = c, el elipsoide es de revolución.
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(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = 1 a2 b2 c2
Es un Elipsoide con centro en P(x0; y0; z0).
HIPERBOLOIDES DE UNA Y DOS HOJAS HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA La gráfica de una ecuación de la forma:
x2 + y2 - z2 = 1 a2 b2 c2
a 0; b 0; c 0 Es un Hiperboloide de una hoja con centro en el origen.
La cuádrica que obtenemos es el Hiperboloide de una hoja en el caso de que el signo de uno
de lo coeficientes tengan signo negativo y las otras dos con signo positivo. Si a = b, la superficie cuádrica es el Hiperboloide de revolución de una hoja. Las secciones paralelas al plano xy son Elipses, excepto en el caso del Hiperboloide de
revolución en el que son circunferencias. Un ejemplo real
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Traza de la superficie En este caso, analizaremos la primera de las ecuaciones. Con un plano z = x0, paralelo (//) al
plano xy, corta la superficie en secciones transversales elípticas (ó circulares, si a = b). La elipse más pequeña, z0 = 0, corresponde a la traza en el plano xy.
Cortadas por el plano
coordenado Obtenemos la traza de:
xy (z = 0) x2 + y2 = 1 Elipse
a2 b2
xz (y = 0) x2 - z2 = 1 Hipérbola
a2 c2
yz (x = 0) y2 - z2 = 1 Hipérbola
b2 c2 En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación: Un método para graficar el Hiperboloide de una hoja aproximadamente es determinar el eje
principal de desarrollo, que vendrá dado por el término negativo (-) de la ecuación. Secciones con planos paralelos a los coordenados Los cortes del Hiperboloide de una hoja por planos paralelos a los coordenados son curvas
cónicas (hipérbolas y elipses). Se supone que el Hiperboloide de una hoja está centrado en el origen
de coordenadas y tiene la ecuación: 1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
Sobre el plano xy: z=k
kz
c
k1
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
Siempre 0c
12
2k
Elipses reales en planos paralelos al xy. La elipse de menores semiejes
será para z=0.
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Corte con plano z=k=0 . Se obtiene la elipse de garganta
.
Cortes por planos z =k para k>0
Cortes sobre el plano yz: x =k
kx
a
k1
c
z
b
y2
2
2
2
2
2
Dividiendo ambos términos en 2
2
a
k1 ,obteniendo la ecuación de una
hipérbola:
kx
1
)a
k1(c
z
)a
k1(b
y
2
22
2
2
22
2
Esta hipérbola tendrá eje real y si 2
2
a
k1 >0, es decir si ak .
La hipérbola tendrá eje real z si 2
2
a
k1 <0, es decir si ak
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Se tendrá asíntotas si 2
2
a
k1 =0, esto sucederá cuando ak
Para k <a, en este caso
k=0 Para k >a
Cortes por planos zx: y =k
La línea obtenida es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado.
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Su ecuación es de la forma:
−𝒙𝟐
𝒂𝟐+
𝒚𝟐
𝒃𝟐−
𝒛𝟐
𝒄𝟐= 𝟏
La orientación dependerá de que variable presenta signos positivos
Recuerde que no existen las hipérbolas ni imaginarias ni puntuales, es decir son todas reales.
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 14
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Traza de la superficie Las secciones paralelas a los planos xy e yz son Hipérbolas. Las secciones paralelas al plano xz son Elipses; excepto en el caso del Hiperboloide de dos
hojas de revolución en el que son Circunferencias.
Cortadas por el plano
coordenado Obtenemos la traza de:
xy (z = 0) - x2 + y2 = 1 Hipérbola
a2 b2
xz (y = 0) Ninguna
xz (y 0) x2 + z2 = 1 Familia de Elipses
a2 c2
yz (x = 0) y2 - z2 = 1 Hipérbola
b2 c2 En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación:
- x2 + y2 - z2 = 1 a2 b2 c2
Hiperboloide de dos hojas
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Un método para graficar un Hiperboloide de dos hojas aproximadamente es determinar el eje
principal de desarrollo, que vendrá dado por el término (+) de la ecuación. Secciones con planos paralelos a los coordenados
Los cortes de un hiperboloide de ecuación: 1c
z
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
por planos paralelos a los
coordenados son curvas cónicas, como se demuestra a continuación
Cortes por planos z =k
El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones
kz
c
k1
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
esta intersección da una hipérbola con eje real x en un plano xy, esta
hipérbola será 1
)c
k1(b
y
)c
k1(a
x
2
22
2
2
22
2
(hipérbola con eje real en x)
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Corte por planos y = k El resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z
Cortes por planos yz: x =k
Se multiplica ambos miembros de la igualdad por -1 y se dejan las variables a la izquierda y las constantes a la derecha se tiene la siguiente ecuación:
kx
1a
k
c
z
b
y2
2
2
2
2
2
Ecuación que representa una elipse
Si |k| > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse real.
Si |k| = a, entonces la curva intersección será una elipse puntual (el plano es tangente a la superficie).
Si |k| < a, entonces la intersección será una elipse imaginaria ( no hay intersección e real entre la superficie y el plano).
X=|k| > a X=|k| > a
ky
b
k1
c
z
a
x2
2
2
2
2
2
esta
intersección da una hipérbola con eje real x en un plano xz, esta
hipérbola será
1
)b
k1(c
z
)b
k1(a
x
2
22
2
2
22
2
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( x=k= 0 )
PARABOLOIDES
PARABOLOIDE ELIPTICO
Su ecuación es de la forma : czb
y
a
x2
2
2
2
La orientación del Paraboloide elíptico
dependerá de la variable que aparece lineal.
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Traza de la superficie
Tomando la ecuación
Las secciones obtenidas por los planos z = k son Elipses, cuyas dimensiones van
aumentando a medida que el plano se aleja del plano xy. Las secciones correspondientes a los planos paralelos a los coordenados xz o yz son
Parábolas.
Si c 0 la cuádrica está, toda ella, por encima del plano xy.
Si c 0 está toda ella por debajo de dicho plano xy.
Cortadas por el plano coordenado
Obtenemos la traza de:
xy (z = 0) (0; 0) Punto (Elipse puntual)
Si z 0
x2 + y2 = cz sí a b Familia de Elipses a2 b2
x2 + y2 = cz sí a = b Familia de Circunferencias a2 b2
xz (y = 0) x2 = cz Parábola
a2
yz (x = 0) y2 = cz Parábola
b2
En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación:
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Secciones con planos paralelos a los coordenados
Tomando la ecuación se obtiene:
Cortes por planos z = k
kz
ckb
y
a
x2
2
2
2
si k > 0, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes proporcionales a a y
b con ecuación 1ckb
y
cka
x2
2
2
2
si k = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto.
si k < 0, entonces no existe intersección.
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 20
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(k < 0)
Cortes por planos x = k
kx
a
kcz
b
y2
2
2
2
La intersección de la superficie con el plano x=k dará siempre una parábola de
ecuación )a.c
kz(cby
2
222
(corte por plano x =k >0 )
( k> 0 )
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 21
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Cortes por planos y = k
ky
b
kcz
a
x2
2
2
2
La intersección de la superficie con el plano y=k dará siempre una
parábola de ecuación )b.c
kz(cax
2
222
y = k = 0
PARABOLOIDE HIPERBOLICO
Esta superficie responde a una ecuación del tipo:
czb
y
a
x2
2
2
2
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 22
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czb
y
a
x2
2
2
2
axb
y
c
z2
2
2
2
Traza de la superficie
Las secciones por los planos z = k (donde k 0) son Hipérbolas cuyos ejes real e imaginario son paralelos respectivamente a los ejes coordenados x e y; y cuyas dimensiones aumentan a medida que lo hace k.
Si k 0, los ejes reales e imaginarios son paralelos a los xy respectivamente. Si k = 0, la sección degenerada es el par de rectas: x2 - y2 = 0 (5to Factoreo) a2 b2 Las secciones correspondientes a los planos y = k son Parábolas abiertas hacia abajo. Las secciones correspondientes a x = k son Parábolas abiertas hacia arriba.
Cortadas por el plano
coordenado Obtenemos la traza de:
Si z 0 Hipérbolas cuyos ejes transversales son // al eje y.
xy (z = 0) y = a x Rectas b
Si z 0 Hipérbolas cuyos ejes transversales son // al eje x.
xz (y = 0) - x2 = cz Parábola b2
yz (x = 0) y2 = cz Parábola a2
En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación:
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Un método para graficar el Paraboloide Hiperbólico aproximadamente es determinar el eje
principal de desarrollo, que vendrá dado por el término positivo de la ecuación. Secciones con planos paralelos a los coordenados
Cortes por planos z =k
kz
ckb
y
a
x2
2
2
2
si k= 0, entonces la curva intersección es un par de rectas (asíntotas), que se cortan en el origen de coordenadas
si k>o la hipérbola tendrá eje real paralelo al eje y, como se muestra en las dos primeras figuras,
si k<0 entonces la hipérbola tiene eje real paralelo al eje x como se muestra en las dos figuras correspondiente.
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 24
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
(k > 0)
(k < 0)
(k = 0)
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 25
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Cortes por planos y = k
La curva intersección son parábolas:
ky
b
kcz
a
x2
2
2
2
ky
)cb
kz(cax
2
222
Es la ecuación de una parábola trasladada
y=k=0 y=k<0
Cortes por planos x = k
La curva intersección son parábolas:
kx
a
kcz
b
y2
2
2
2
Es la ecuación de una parábola trasladada
kx
)ca
kz(cby
2
222
X=k=0 x=k>0
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 26
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
CONOS Y CILINDROS
CONO RECTO
La gráfica de una ecuación de la forma:
x2 + y2 = z2 . a2 b2 c2
a 0; b 0; c 0 Es un Cono Recto Elíptico (ó Circular si a = b)
Esta superficie se puede considerar generada por la rotación de la recta y = kx alrededor del eje
z.
x2 + y2 – c2z2 = 0 Es como la I - Ax2 + By2 + Cz2 = D pero en ésta A
= B; y Cz2 es negativo y D = 0
Traza de una superficie Las secciones horizontales producidas por los planos paralelos al plano coordenado xy son
Elipses, excepto cuando a = b que son Circunferencias. Las secciones correspondientes a planos paralelos (//) al yz o al xz son Hipérbolas.
Cortadas por el plano
coordenado Obtenemos la traza de:
xy (z = 0) (0; 0) Punto
xz (y = 0) z = c x Rectas a
Si y ó 0 Hipérbolas cuyo eje real es // al eje z.
yz (x = 0) z = c x Rectas b
Si x ó 0 Hipérbolas cuyo eje real es // al eje z.
En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación:
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 27
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
SUPERFICIES CILINDRICAS
En el espacio bidimensional la gráfica de x2 + y2 = 1 es una circunferencia con centro en el origen. Sin embargo, en el espacio de tres dimensiones es posible interpretar la gráfica del conjunto como una superficie, que es el cilindro circular recto, o también llamada cilindro Está generada por una recta que se desplaza paralelamente a otra fija y que se apoya constantemente en forma perpendicular a una curva también fija. La recta móvil es la generatriz. La curva fija es la directriz de la superficie en cuestión. Una superficie cilíndrica cuya generatriz es paralela (//) a uno de los ejes coordenados y cuya directriz es una curva en el plano coordenado que es perpendicular a la generatriz, tiene la misma ecuación que la directriz.
En general una ecuación que contenga dos variables, si representa una curva en el plano de dichas variables, será la ecuación de una superficie cilíndrica recta cuyas generatrices son paralelas al eje de la variable faltante.
Cilindros elípticos:
Cilindro elíptico de generatrices paralelas al eje z.
1b
y
a
x2
2
2
2
Cilindro elíptico de generatrices paralelas al eje y.
1c
z
a
x2
2
2
2
Cilindro elíptico de generatrices paralelas al eje x.
1b
y
c
z2
2
2
2
Cilindros Parabólicos:
Cilindro parabólico de generatrices paralelo al eje x.
czy2
Cilindro parabólico de generatrices paralelo al eje y.
czx 2
Cilindro parabólico de generatrices paralelo al eje z.
byx2
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 28
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Cilindros Hiperbólicos
Cilindro hiperbólico de generatrices paralelo al eje z.
1b
y
a
x2
2
2
2
Cilindro hiperbólico de generatrices paralelo al eje y.
1c
z
a
x2
2
2
2
Cilindro hiperbólico de generatrices paralelo al eje x.
1c
z
b
y2
2
2
2
Se analizara un cilindro elíptico de generatrices paralelas al eje x. En el caso de un cilindro elíptico o circular, si la directriz es paralela al eje z las correspondientes ecuaciones son:
a b Elipse x2 + y2 = 1 a2 b2
La ecuación del Cilindro
es
x2 + y2 = 1 a2 b2
a=b=r Circunferencia x2 + y2 = r2 La ecuación del Cilindro
circular es x2 + y2 = r2
Traza de una superficie Cortados por el plano coordenado Las trazas obtenidas:
Plano xy: z = 0 Elipse de ecuación 1
b
y
a
x2
2
2
2
Plano yz: x = 0 Par de rectas paralelas y = b
Plano xz: y = 0 Par de rectas paralelas: x = a
x e y están relacionadas por:
x2 + y2 = r2 z es arbitraria.
Cilindro Circular
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 29
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SUPERFICIES REGLADAS
Las superficies cuádricas se pueden clasificar también en superficies regladas o no regladas.
Pueden ser simplemente regladas o doblemente regladas.
Una superficie cuadrica se dice simplemente reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta íntegramente contenida en ella. Ejemplo: cilindros y cono.
Una superficie se dice que es doblemente reglada si por cada uno de sus puntos pasan dos rectas íntegramente contenidas en la superficie. Por ejemplo, Paraboloide hiperbólico e Hiperboloide de una hoja.
EJERCITACIÓN
1.RECTAS EN EL ESPACIO
1.1:
Dada los puntos:
2;1;0
3;2;1
2
1
P
P
a) Encontrar la ecuación de la recta:
EC. GRAL DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
W
12
1
V
12
1
U
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
32
3
21
2
1
1
zyx
1
3z
1
2y
1
1x
1w1v1u 111
b) Encontrar la ecuación de una recta paralela que pase por: 1;2;3P
Condición de paralelismo entre rectas
2
1
2
1
2
1
w
w
v
v
u
u
2
1z
2
2y
2
3x
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 30
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
c) Encontrar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por: 3;5;1P
Condición de perpendicularidad entre rectas
0wwvvuu 212121
En esta ecuación hay tres incógnitas, dando valores, por ejemplo, a 22 vyu , se puede calcular
2w .
Adoptando 1v1u 22 ; ?w 2
0wwvvuu 212121 0w.11.11.1 2
0.111 2 w
0w.12 2
2w 2
2
3z
1
5y
1
1x
1.2:
Dada la recta que pasa por los puntos: 1;4;0P1;2;3P 21
a) Encontrar la ecuación de la recta. Graficar
b) Encontrar la recta paralela que pase por: 4;5;3P . Graficar
c) Encontrar la recta perpendicular que pase por: 5;4;2P . Graficar
PLANOS EN EL ESPACIO
1.3:
Dada la siguiente ecuación: 012z3y4x6
Obtener:
a) Gráfica aproximada.
ECUACIÓN GRAL. DEL PLANO
0DCzByAx
3y4
12y
2x6
12x
4z3
12z
x y z
0 0 4 P1
2 0 0 P2
0 3 0 P3
P2
P1
P3
x
y
z
o
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 31
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b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: 3;1;2P1
ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA POR UN PUNTO 1111 z;y;xP 0zzCyyBxxA 111111
Condición de paralelismo entre planos
111 C
C
B
B
A
A
0zz3yy4xx6 111 03z31y42x6
c) Encontrar la ecuación de un plano perpendicular que pase por el punto: 1;2;3P2
ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA POR UN PUNTO 2222 z;y;xP
0zzCyyBxxA 222222
Condición de Perpendicularidad entre planos
0CCBBAA 222
En esta ecuación hay 3 incógnitas, dando valores, por ejemplo a 22 ByA , se puede calcular 2C .
Adoptando 1B;1A 22
6 . 1 + 4 . 1 + 3 . 2C = 0
6 + 4 + 3 . 2C = 0
2C =3
10
01z3
102y3x
1.4:
Dada la ecuación del plano: 010z5y2x
a) Graficar aproximadamente
b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: 1;4;2P
c) Encontrar la ecuación de un plano perpendicular que pase por el punto: 1;2;3P
1.5:
Dado el plano 01z4
1y2x
3
1
a) Graficar aproximadamente
b) Encontrar la ecuación de una recta paralela al plano dado que pase por el punto 4;2;1P
c) Encontrar la ecuación de una recta perpendicular al plano dado que pase por el origen de
coordenadas
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 32
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1.6:
Dado la recta en el espacio 2
5z
3
1y
4
2x
a) Encontrar la ecuación de un plano paralelo a la recta dada que pase por el punto 0;4;2P
b) Encontrar la ecuación de un plano perpendicular a la recta dada que pase por el punto 3;4;1P
1.7:
Encuentre las ecuaciones pedidas en los siguientes ítems.
a) Plano xy.
b) Plano xz.
c) Plano yz.
d) Planos paralelos al plano coordenado xy.
e) Planos paralelos al plano coordenado xz.
f) Planos paralelos al plano coordenado yz.
g) Planos paralelos a los planos coordenados que pasen por el punto 4;3;2P
h) Plano que contenga al eje x.
i) Plano que contenga al eje y.
j) Plano que contenga al eje z.
k) Plano paralelo al eje x, y, z.
CUÁDRICAS
2.1: Analice las siguientes superficies cuádricas. Identifique las líneas resultantes de la intersección de la superficie con los planos paralelos a los coordenados y trace una gráfica aproximada de la superficie.
a) Esfera
9zyx222
Se realiza la intersección de la superficie con planos paralelos a los coordenados, analizando las líneas resultantes podemos conocer con mayor aproximación la superficie.
Intersección con planos paralelos al plano xy.
Un plano con estas características tiene una ecuación del tipo, z=k, siendo k la coordenada donde el
plano corta al eje z.
kz
9zyx222
Este sistema de ecuaciones se resuelve de las formas conocidas, en este caso lo resolvemos por
sustitución, reemplazamos z=k de la segunda ecuación en la primera, se obtiene:
9kyx 222 .
Como k es un número real para un plano determinado, conviene agrupar las partes numéricas en el
segundo miembro: 222 k9yx
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 33
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Dependiendo del valor que tome el segundo miembro, es decir 9–k2, se obtendrán circunferencias
reales, puntuales o imaginarias.
Si 0k9 2 , se obtienen circunferencias reales
Esto ocurre para todo 3k (-3<k<3)
Si 0k9 2 , se obtienen circunferencias puntuales
Esto ocurre para 3k 3k
Si 0k9 2 , se obtienen circunferencias imaginarias (no hay intersección con la superficie
cuádrica)
Esto ocurre para todo 3k ( 3ko3k )
Intersección con planos paralelos al plano xz.
Este tendrá una ecuación del tipo y=k. Trabajando de manera similar a la intersección anterior, se
obtiene:
ky
9zyx222
9zkx 222
222 k9zx
Dependiendo del valor que tome k, será el tipo de circunferencia que se obtenga
si :
imaginarianciaCircunfere3k3
puntualnciaCircunfere3k
realnciaCircunfere3k3
Intersección con planos paralelos al plano yz.
Este tendrá una ecuación del tipo x=k Se trabaja en forma similar al primero.
kx
9zyx222
9zyk 222
222 k9zy
Se obtiene una circunferencia en el plano yz; el tipo de circunferencia variará según que valores tome
k
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 34
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
si :
imaginarianciaCircunfere3k3
puntualnciaCircunfere3k
realnciaCircunfere3k3
La cuádrica analizada se denomina esfera
b) Paraboloide
z44
y
9
x22
Intersección con planos paralelos al plano xy z=k, siendo k la coordenada donde el plano corta al
eje z.
kz
z44
y
9
x22
Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:
k44
y
9
x 22
Dependiendo del valor que tome el segundo miembro, es decir 4k, se obtendrán elipses reales,
puntuales o imaginarias.
Si 0k4 , es decir 0k , se obtienen elipses reales
Si 0k4 , es decir 0k , se obtienen elipses puntuales
Si 0k4 , es decir 0k , se obtienen elipses imaginarias (no hay intersección con la superficie
cuadrica)
Intersección con planos paralelos al plano xz. Este tendrá una ecuación del tipo y=k
ky
z44
y
9
x22
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 35
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
z44
k
9
x 22
4
kz4
9
x 22
16
kz36x
22
Esta última ecuación representan parábolas en el plano xz que abrazan al eje z positivo para todo valor
de k.
Cuando k=0 el vértice coincide con el origen de coordenadas y para k distinto de cero el vértice está
trasladado en 16
kz
2
0
Intersección con planos paralelos al plano yz. Este tendrá una ecuación del tipo x=k
kx
z44
y
9
x22
z44
y
9
k 22
9
kz4
4
y 22
36
kz16y
22
Esta última ecuación representan parábolas en el plano yz que abrazan al eje z positivo para todo valor
de k.
Cuando k=0 el vértice coincide con el origen de coordenadas y para k distinto de cero el vértice está
trasladado en 36
kz
2
0
Al revisar los cortes vemos que al cortar con x=k se obtiene parábola, con y=k también se tiene
parábola, y con z=k se tiene una elipse; Estas líneas son las que generan el nombre de la superficie:
Paraboloide elíptico o simplemente Paraboloide
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 36
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
c) Paraboloide hiperbólico
zyx
49
22
Intersección con planos paralelos al plano xy. Un plano con estas características tiene una ecuación
del tipo , z=k,
kz
z4
y
9
x22
k4
y
9
x 22
Dependiendo del valor que tome el segundo miembro, es decir k, se obtendrán hipérbolas o rectas
Si 0k , se obtienen hipérbolas que abrazan al aje x
Si 0k , se obtienen dos rectas (asíntotas)
Si 0k , se obtienen hipérbolas que abrazan al eje y
Intersección con planos paralelos al plano xz. Este tendrá una ecuación del tipo y=k
ky
z4
y
9
x22
z4
k
9
x 22
4
kz
9
x 22
4
kz9x
22
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 37
MATEMÁTICA 2019 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Esta última ecuación representan parábolas en el plano xz que abrazan al eje z positivo para todo valor
de k.
Cuando k=0 el vértice coincide con el origen de coordenadas y para k distinto de cero el vértice está
trasladado en 4
kz
2
0
Intersección con planos paralelos al plano yz. Este tendrá una ecuación del tipo x=k
kx
z4
y
9
x22
z4
y
9
k 22
9
kz
4
y 22
9
kz4y
22
Esta última ecuación representan parábolas en el plano yz que abrazan al eje z negativo para todo valor
de k.
El nombre de esta superficie es: Paraboloide hiperbólico
2.2:
Analice las siguientes superficies cuádricas.
1. 136
z
25
y
9
x 222
2. 43
z
4
y
9
x 222
3. 16
z
15
y
3
x222
UNIDAD 6: Geometría en el espacio y Cuádricas 38
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4. 08
z
16
y
9
x222
5. y68
z
3
x22
6. zyx 22
7. 364369 222 zyx
8. 144936 222 zyx
9. yzx 224
2.3:
Analizar las siguientes superficies cilíndricas. Graficar en forma aproximada
1. y8x2
2. 49
y
4
x 22
3. z4y2
4. 112
z
7
x 22
5. 4yx 22
2.4: Graficar en forma aproximada las siguientes superficies trasladadas.
1.
116
)4z(
9
)1y(
4
2x222
2.
z49
)2y(
4
4x22
3.
0)4z(9
)1y(
4
2x 222
4.
116
)3y(
9
1x 22