Post on 03-Oct-2018
Unidad 3 Ecuaciones y sistemas
Unidad 3 │ Ecuaciones y sistemas Matemáticas 4.º ESO
Ecuaciones polinómicas
1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas.
a) 3 22 11 12 0x x x+ − − =
b) 3 23 6 18 0x x x+ + + =
c)3
25 28 2x x x+ = +
d) 6 5 4 33 3 0x x x x+ + + =
e) 4 3 26 13 7 29 15x x x x− − + =
2. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) 4 27 12 0x x− + =
b) 4 25 4 0x x+ + =
c) 4 27 18 0x x− − =
d) 4 28 9 38x x+ =
3. Una ecuación bicuadrada de la forma + + =4 2 0x ax b con a > 0 y b > 0, ¿cuántas soluciones tendrá?
4. Utilizando la misma estrategia que usas para resolver ecuaciones bicuadradas, resuelve las siguientes ecuaciones. a) 6 326 27 0x x− − =
b) 8 416 17 1 0x x− + =
5. Resuelve los siguientes sistemas.
a) 2
32 14
x yx y
− = − =
b)2 2
2 2
2 223 3
x yx y
+ =
− = −
6. En un triángulo rectángulo de área 36 cm2 su hipotenusa mide 97 cm. ¿Cuánto miden sus catetos?
Unidad 3 Ecuaciones y sistemas
Unidad 3 │ Ecuaciones y sistemas Matemáticas 4.º ESO
Ecuaciones racionales e irracionales
1. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.
a) 2
1 2 3x x+ =
b) 1 1 2 11 5
xx x x
++ =
+
c) 2 91 1 4
x xx x
− = −+ −
d) 2
2 1 1 92 2 4
x x xx x x
+ −− =
+ − −
e) 2
1 211 1
x xx x
−+ =
− −
2. En unas vacaciones un grupo de amigos reservaron un apartamento en la playa que les costó 1800 €. Al
final no pudieron ir 3, con lo que los restantes tuvieron que pagar 50 € más cada uno. ¿Cuántos amigos fueron al final?
3. Resuelve las siguientes ecuaciones con un radical.
a) 3 1 9x x+ + =
b) 22 2 3 1 0x x x+ + − + = 4. Resuelve estas ecuaciones dos radicales.
a) 2 22 2x x x− = −
b) 5 5x x+ + =
c) 4 1 2 1x x+ − =
5. Resuelve el sistema − =
+ = −
12 5
2
x yy x
x y.
6. Halla un número tal que al sumarle una unidad y hacer después la raíz cuadrada dé como resultado una
unidad más que al restarle a dicho número 6 unidades y hacer a continuación la raíz cuadrada.
Unidad 3 Ecuaciones y sistemas
Unidad 3 │ Ecuaciones y sistemas Matemáticas 4.º ESO
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
1. Resuelve estas ecuaciones logarítmicas.
a) ln 2x = − b) 2log ( 5) 4x + =
c) 3log 7 0,5x =
d) log log( 1) log12x x+ − =
e) log( 1) log( 1) 1 log6x x+ − − = −
f) log84log 2log3
x x= +
g) 2log(3 5 30) log(3 8) 1x x x+ + − + =
2. ¿Qué relación existe entre A y B si log log 12
A B+ = ?
3. Resuelve estas ecuaciones exponenciales.
a) 3 1 42 8x x+ −=
b) 4 19 027
xx− − =
c) 4 1 2 52 3x x− +=
4. Resuelve estas ecuaciones exponenciales, utilizando el cambio de variable adecuado. a) 22 3 2 2 0x x− ⋅ + =
b) 19 28 3 3 0x x−− ⋅ + = c) 2 1 12 7 2 1x x+ −− ⋅ =
5. Halla el valor de un número sabiendo que el doble de su logaritmo neperiano es una unidad inferior al logaritmo neperiano de 4.
6. Resuelve el sistema 21log log 2x y
x y− =
+ =.
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Unidad 3 Ecuaciones y sistemas
CONSOLIDACIÓN
Ficha Ecuaciones polinómicas
1. a) 3 2
42 11 12 0 ( 4) ( 3) ( 1) 0 3
1
xx x x x x x x
x
= −+ − − = ⇒ + ⋅ − ⋅ + = ⇒ = = −
b) 3 2 23 6 18 0 ( 3) ( 6) 0 3x x x x x x+ + + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ = −
c) 3
2 3 2 2 25 2 8 20 16 0 ( 2) ( 4) 048 2
xx x x x x x x xx=
+ = + ⇒ − + − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ =
d) 6 5 4 3 3 3 03 3 0 ( 1) 0
1x
x x x x x xx=
+ + + = ⇒ ⋅ + = ⇒ = −
e) 4 3 2 2
156 13 7 29 15 ( 1) (3 5) (2 3) 03
32
x
x x x x x x x x
x
=− − + = ⇒ − ⋅ − ⋅ + = ⇒ = = −
2. a) 2
4 2 2 4 27 12 0 7 12 0
3 3
z x z xx x z z
z x
= = ⇒ = ±− + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ±
b) = = − ⇒ = ± − ⇒+ + = ⇒ + + = ⇒
= − ⇒ = ± − ⇒
2
4 2 2 1 1 No tiene solución.5 4 0 5 4 0
4 4 No tiene solución.
z x z xx x z z
z x
c) = = ⇒ = ±− − = ⇒ − − = ⇒
= − ⇒ = ± − ⇒
2
4 2 2 2 27 18 0 7 18 0
4 9 No tiene solución.
z x z xx x z z
z x
d) 2
4 2 2
1 14 2
8 9 38 8 38 9 09 3 3 22 22
z xz x
x x z zz x
=
= ⇒ = ±+ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ± = ±
3. Se supone que la ecuación de segundo grado resultante tras el cambio de variable tiene solución. Si b > 0, las dos soluciones tendrán el mismo signo, porque b es el producto de ambas y si a > 0 la suma de ellas será negativa. Por lo tanto, la única opción es que las dos soluciones sean negativas. En ese caso, la ecuación no tiene solución.
4. a) 3 3
6 3 3
3
1 1 126 27 0 26 27 0
27 27 3
z x z xx x z z
z x
= = − ⇒ = − = −− − = ⇒ − − = ⇒ = ⇒ = =
.
b) 4
4
8 4 2
4
1 1 116 17 1 0 16 17 1 0 1 1 1
16 16 2
z xz x
x x z zz x
= = ⇒ = = ±− + = ⇒ − + = ⇒
= ⇒ = = ±
5. a) 22 2
3 3 4 12 8 0
2 52 14 2 6 14x y y x x y
x xx yx y x x
− = = − = ⇒ = ⇒ ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = −− = − + =
b) 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2
2 22 6 3 66 3 4 27 63 93 3 3 3 3 4 2
x y x y x y yx xx y x y x y y
+ = + = = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ − = − − = − = − ⇒ = ⇒ = ±
6.=
= ⇒ = = ⇒= = − ⇒ = −⋅ = ⇒ ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ + = = ⇒ = + = = ⇒ = − ⇒ = −
2
4 2 222 2
2
4 936 164 9 No es válida.36
97 1296 0 97 1296 097 36 9 497 81
9 4 No es válida.
z x
x yzy
x yxx yx x z z
x y x yx zx x y
Luego un cateto mide 4 cm y el otro 9 cm.
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Unidad 3 Ecuaciones y sistemas
Ficha Ecuaciones racionales e irracionales
1. a) 2
2
11 2 3 2 3 2
3
xx x
x x x
=+ = ⇒ + = ⇒
= −
b) 4
1 1 2 1 5 5 ( 1) ( 1) (2 1) 11 52
xx x x x x
x x x x
=+ + = ⇒ + ⋅ + = + ⋅ + ⇒
+ = −
c) 2 2 2
32 9 4 4 8 8 9 9 31 1 4
5
xx x x x x x x
x x x
=− = − ⇒ − − − = − + ⇒
+ − = −
d) 2
32 1 1 9 2 ( 2) ( 2) ( 1) 1 912 2 4
xx x x x x x x xxx x x= −+ −
− = ⇒ − − + ⋅ + = − ⇒ =+ − −
e) 2
21 21 ( 1) 1 1 2 2
1 1x x x x x x x
x x−
+ = ⇒ − + + − = − ⇒ =− −
2. Si se llama x al número de amigos que al final fueron al apartamento, se tiene que 2 91800 180050 1800 ( 3) 50 ( 3 ) 1800
123x
x x x xxx x=
− = ⇒ ⋅ + − ⋅ + = ⇒ = −+ , con lo que fueron al final 9 amigos.
3. a) =
+ + = ⇒ + = + − ⇒ =2 5
3 1 9 3 1 81 1816. No válida
xx x x x x
x
b) = −
+ + − + = ⇒ + − = + + ⇒ =2 2 2 2
2 2 3 1 0 2 2 3 1 22. No válida
xx x x x x x x
x
4. a) 2 2 2 2 2
2 2 2 21
xx x x x x x
x= −
− = − ⇒ − = − ⇒ =
b) 5 5 5 25 10 10 20 2 4x x x x x x x x+ + = ⇒ + = + − ⇒ = ⇒ = ⇒ =
c) 2 0
4 1 2 1 4 1 1 2 2 2 2 2 2 4 82
xx x x x x x x x x
x=
+ − = ⇒ + = + + ⇒ = ⇒ = ⇒ =
5. 1
2 21 2 3
2 2 5 (2 2 )( 1) 5( 1) 0 2 5 22 1 35 12 2 2
x yx y y x
y y y y y y y y yy xy y y x
x y
= +− = = ⇒ =
+ ⇒ + = ⇒ + + − = − ⇒ = − + ⇒ + = − = ⇒ = −
6. 1 1 6 1 1 2 1 6 8 2 1 1 4 15x x x x x x x x+ − = − ⇒ + + − + = − ⇒ = + ⇒ + = ⇒ =
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Unidad 3 Ecuaciones y sistemas
Ficha Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
1. Resuelve estas ecuaciones logarítmicas.
a) 22
1ln 2x x ee
−= − ⇒ = =
b) 2log ( 5) 4 5 16 11x x x+ = ⇒ + = ⇒ =
c) 33log 7 0,5 7 3
7x x x= ⇒ = ⇒ =
d) =
+ − = ⇒ − − = ⇒ = −2 4
log log(x 1) log12 12 03. No válida
xx x x
x
e) 1 10log(x 1) log(x 1) 1 log6 6 6 10 10 41 6
x x x xx+
+ − − = − ⇒ = ⇒ + = − ⇒ =−
f)
=
= + ⇒ = ⋅ ⇒ − = ⇒ = −
=
4 2 4 23
0. No válidalog84log 2log 8 2 0 2. No válida
32
x
x x x x x x x
x
g) 2
210
3 5 30log(3 5 30) log(3 8) 1 10 53 8 3
xx xx x x
x x
=+ + + + − + = ⇒ = ⇒
+ = −
2. 2log log 1 10 1002
A B A B A B+ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =
3. a) + − + −= ⇒ = ⇒ + = −3 1 4 3 1 3 122 8 2 2 3 1 3 12. No tiene solución.x x x x x x
b) 4 2 8 31 89 0 3 3 2 8 3 5 827 5
xx x x x x x x− − − − = ⇒ = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
c) 4 1 2 5 5 ln3 ln22 3 (4 1)ln2 (2 5)ln3 (4ln2 2ln3) 5ln3 ln2 10,754ln2 2ln3
x x x x x x− + += ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = =
−
4. a) 2
2 2 1 02 3 2 2 0 3 2 0
2 1
xtx x t x
t tt x
= = ⇒ =− ⋅ + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =
b)3
1 29 2
289 28 3 3 0 3 0 13 13
xtx x
t xt t
t x
=−
= ⇒ =− ⋅ + = ⇒ − + = ⇒
= ⇒ = −
c) =
+ −= −
− ⋅ = ⇒ − − = ⇒ = ⇒ = −
22 1 1 2
2. No válida72 7 2 1 2 1 0 12 2
4
xtx x
tt t
t x
5.
= =
+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = −
2
2 2
2ln 1 ln4 2ln ln ln4 42 . No válida
exeex x e ex
xe
6. = +− = − = = −
⇒ ⇒ + ⋅ = ⇒ + − = ⇒ + = ⋅ = = ⇒ =
21221 21 25. No válida
(21 ) 100 21 100 0log log 2 100 4 25
x yx y x y yy y y y
x y x y y x