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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
1
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
10° cuatrimestre
Geometrías no euclidianas
Unidad 2. Geometría hiperbólica
Clave:
050941037
Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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Índice Presentación de la unidad ................................................................................................... 3
Propósitos ............................................................................................................................ 3
Competencia específica ....................................................................................................... 3
2. Geometría hiperbólica ...................................................................................................... 3
Actividad 1. El postulado de las paralelas ...................................................................... 5
2.1. Suma de ángulos. ................................................................................................... 5
2.1.1. Axioma hiperbólico .............................................................................................. 8
2.1.2. Ángulos internos de un triángulo ....................................................................... 11
2.2. Triángulos semejantes .......................................................................................... 23
2.2.1. El postulado de Wallis ....................................................................................... 24
2.2.2. Congruencia de triángulos ................................................................................ 27
Actividad 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes ................................................ 28
2.3. Paralelas y perpendiculares .................................................................................. 29
2.3.1. Paralelas que admiten una perpendicular común .............................................. 29
2.3.2. Limitación de rayos paralelos ............................................................................ 38
2.4. Clasificación de las paralelas ................................................................................ 42
Actividad 3. Paralelas y perpendiculares ...................................................................... 43
Autoevaluación .................................................................................................................. 43
Evidencia de aprendizaje. Geometría hiperbólica .............................................................. 43
Autorreflexiones ................................................................................................................. 44
Cierre de la unidad ............................................................................................................ 44
Para saber más ................................................................................................................. 44
Fuentes de consulta .......................................................................................................... 45
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Presentación de la unidad
En el inicio de esta unidad observarás algunas formas equivalentes de presentar el quinto
postulado de Euclides, para después construir una geometría distinta a la euclidiana por
medio de la negación del postulado de las paralelas de Hilbert y así obtener el axioma
hiperbólico y comenzar con el estudio de la conocida como geometría hiperbólica. Aunado
a esto, se muestran propiedades que son comunes a ambas geometrías y también algunas
diferencias entre ellas.
Propósitos
Al término de esta unidad lograrás:
Identificar algunas equivalencias del quinto postulado de Euclides.
Identificar el axioma hiperbólico como la negación del axioma de las paralelas de
Hilbert.
Revisar algunas propiedades comunes entre la geometría euclidiana y la geometría
hiperbólica.
Revisar algunas diferencias entre la geometría euclidiana y la geometría
hiperbólica.
Competencia específica
2. Geometría hiperbólica
Como has observado en la unidad anterior, el quinto postulado de Euclides ha sido el más
controversial, muchos matemáticos intentaron deducirlo de los cuatro anteriores
fracasando en cada uno de sus intentos; llegaron a la conclusión de que este postulado era
independiente de los otros, lo que provocó un cambio en la forma de concebir la geometría,
dando origen a otras geometrías conocidas como geometrías no euclidianas. En esta
sección se aborda la geometría conocida como hiperbólica.
Es de resaltar que, en muchas ocasiones, cuando una nueva idea surge hay varias
personas que trabajan simultáneamente con ésta, es muy conocida la historia del
surgimiento del cálculo desarrollado en forma paralela por Newton en Inglaterra y Leibniz
en Alemania. La historia ha ubicado a tres matemáticos como los iniciadores en el estudio
de una geometría no euclidiana: el húngaro János Bolyai (1802-1860), el alemán Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) y el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856).
Analizar la consistencia de la geometría hiperbólica para la resolución de problemas
geométricos, mediante los conceptos de ángulo, triángulo y perpendiculares.
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Como se vio en la unidad anterior, dos rectas son paralelas si nunca se cortan, la forma
original en que Euclides presenta el quinto postulado en los elementos es:
Quinto postulado de Euclides: si dos líneas son cortadas por una transversal de tal forma que la suma de los ángulos interiores de algún lado de la transversal sea menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas se cortan del mismo lado de la transversal.
Gráficamente, el quinto postulado de Euclides se presenta de la siguiente manera:
Figura 1. El quinto postulado de Euclides
A continuación se presentan algunas equivalencias de este postulado, las cuales se
presentan sin demostración:
Teorema 2.1. El quinto postulado de Euclides se cumple si y sólo si se cumple el axioma
de las paralelas de Hilbert.
Teorema 2.2. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si dadas dos líneas
paralelas, si otra línea corta a alguna de éstas, entonces también corta a la otra.
Teorema 2.3. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si cualesquiera dos
líneas paralelas que son cortadas por una transversal tienen al menos un par de ángulos
alternos internos congruentes.
Teorema 2.4. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si cuando la línea
1 es transversal a las líneas 2 y 3 , donde 2 3 y 1 2 , implica que 31 .
Teorema 2.5. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si dadas cuatro
líneas 1 , 2 , 3 y 4 tales que 1 2 , 1 3 y 1 4 implica que 3 4 o 43 .
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Teorema 2.6. El quinto postulado de Euclides se cumple si y sólo si los rectángulos
existen.
Actividad 1. El postulado de las paralelas
2.1. Suma de ángulos
Hay muchos objetos y resultados geométricos que se pueden obtener utilizando los
axiomas de Hilbert sin necesidad de utilizar el axioma de las paralelas, como se ejemplifica
a continuación; pero primero deberás considerar las siguientes definiciones:
Definición: Sean t , y ' tres líneas distintas, con t transversal a y ' y donde t corta
en B y 'B a las rectas y ' respetivamente. Sean A y C puntos de tales que
* *A B C y de forma similar 'A y 'C son puntos de ' tales que '* '* 'A B C . Entonces los
ángulos ' ' , ', ' ' , 'A B B ABB C B B CBB son llamados internos. Por otro lado, las parejas
de ángulos ', ' 'ABB C B B y ' ' , 'A B B CBB son llamados alternos internos.
La definición anterior se ejemplifica en la siguiente figura:
A través de esta actividad, identificarás los principios básicos de la geometría euclidiana
para separar el quinto postulado de Euclides.
1. Investiga algunos resultados de la geometría euclidiana clásica.
2. Ingresa al foro y responde las siguientes preguntas.
¿Cuáles son independientes del quinto postulado de Euclides? ¿Cuáles utilizan el quinto postulado de Euclides?
3. Revisa las aportaciones de dos de tus compañeros(as), realiza una comparación con tus respuestas. Acepta o rechaza sus respuestas.
Consulta la rúbrica general de la participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.
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Figura 2. Ángulos alternos internos
El resultado que se presenta se le conoce como teorema de los ángulos alternos
interiores.
Teorema 2.7. Si dos líneas son cortadas por una transversal de tal forma que se forme una
pareja de ángulos alternos internos congruentes, entonces las dos son paralelas.
Demostración: sean las líneas t , y ' , los , , , ', ', 'A B C A B C como en la definición
anterior, entonces:
(i). Se tiene por hipótesis que ' ' 'A B BB C B .
Figura 3. Ángulos alternos internos en un par de líneas paralelas
(ii). Por contradicción, supón que y ' no son paralelas, es decir, que existe un punto
D donde intersecta a ' y supón que D está del mismo lado con respecto a t
que los puntos C y 'C .
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Figura 4. Las rectas y se intersectan en D
(iii). Existe un punto E sobre el rayo ' 'B A tal que 'B E BD .
Figura 5. El punto E satisface 'B E BD
(iv). Como el segmento 'BB es congruente consigo mismo, entonces por el criterio LAL
se tiene que ' 'BB BD B E y en particular '' BDB B E B
Figura 6. El triángulos 'B BD es congruente a 'BB E
(v). Dado que 'DB B es suplementario a 'EB B , entonces 'EBB es suplementario
a 'DBB .
(vi). En consecuencia E es un punto de .
(vii). Entonces y tienen dos puntos en común, lo que implica que ' , lo cual
contradice la hipótesis presentada en la definición.
(viii). Por lo tanto D no existe, por lo tanto ' .
Lo que demuestra el resultado.
Debido al teorema anterior, se presentan dos consecuencias inmediatas:
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Corolario 2.7.1. Dos líneas perpendiculares a la misma son paralelas entre sí. Más aún,
dada una línea y un punto que no pertenece a ésta, entonces la perpendicular a la línea
que pasa dicho punto es única.
Demostración: si dos líneas y son perpendiculares a la línea t , los ángulos alternos
internos son ángulos rectos, y como todos los ángulos rectos son congruentes entre sí,
esto implica que .
Corolario 2.7.2. Dadas cualquier línea y un punto P que no pertenezca a entonces
existe al menos una línea m paralela a que pasa por P .
Demostración: existe una línea t perpendicular a la línea que pasa por el punto P ,
Además de una única línea m perpendicular a t que pasa por P , dado que y m son
perpendiculares a t entonces por el corolario anterior m .
Observa que este resultado afirma la existencia de la línea m paralela a que pasa por el
punto P , pero este corolario no afirma la unicidad de ésta, por lo que no se obtiene el
quinto postulado de Euclides.
2.1.1. Axioma hiperbólico
Como observaste en la unidad 1, existen resultados que se obtienen inmediatamente de
los axiomas de Hilbert, sin necesidad de mezclar unos con otros. Los axiomas que
determinan a la geometría hiperbólica son los de Hilbert, sin tomar en cuenta el axioma de
las paralelas, que se sustituye por el axioma hiperbólico, es decir, los axiomas que
definen la geometría hiperbólica son:
(a) Incidencia
(b) Intermediación
(c) Congruencia
(d) Continuidad
(e) Hiperbólico
El axioma hiperbólico se enuncia de la siguiente manera:
Axioma hiperbólico: existe una línea y un punto P que no pertenece a , tales que
existen al menos dos líneas paralelas a distintas que pasan por P .
Observa que este axioma es la negación del axioma de las paralelas de Hilbert y, en
consecuencia, del quinto postulado de Euclides. La siguiente figura presenta una noción
gráfica del axioma hiperbólico:
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Figura 7. Axioma hiperbólico
En geometría hiperbólica, al no cumplirse el axioma de las paralelas de Hilbert, entonces el
teorema 2.6. es falso, por consiguiente se tiene el siguiente resultado:
Lema 2.1. En geometría hiperbólica no existen los rectángulos.
El lema anterior permite plantear una versión universal del axioma hiperbólico, a esto se le
conoce como el teorema hiperbólico universal.
Teorema 2.8. En geometría hiperbólica, para toda línea y todo punto P que no
pertenezca a se tiene que a través de P pasan al menos dos distintas líneas paralelas a
.
Demostración: basta atender los siguientes pasos:
(i). Sean una línea y P un punto que no pertenezca a .
Figura 8. La línea y el punto P
(ii). Considera el punto Q de la línea , de tal forma que PQ .
Figura 9. La línea PQ perpendicular a
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(iii). Sea m la línea que pasa por P tal que PQ m .
Figura 10. La línea m perpendicular a PQ
(iv). Sea R un punto sobre distinto de Q y t la perpendicular a que pasa por R .
Figura 11. La línea t perpendicular a que pasa por R
(v). Sea S un punto de la línea t , de tal forma que PS t .
Figura 12. La línea PS perpendicular a t
(vi). Como PS y son perpendiculares a t se tiene que PS .
(vii). Se tiene que mostrar que PS m o equivalentemente S no es elemento de la línea
m , se procede por contradicción, supóngase que S es elemento de m .
(viii). En consecuencia, el cuadrilátero QRSP es un rectángulo.
(ix). Esto contradice el lema 2.7., por consiguiente S no pertenece a m .
Lo que demuestra el resultado.
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Como consecuencia inmediata del teorema hiperbólico universal, se presenta el
siguiente resultado:
Corolario 2.8.1. En geometría hiperbólica, para toda línea y todo punto P que no
pertenezca a existen un número infinito de líneas paralelas a que pasan por P .
Demostración: dado que las rectas paralelas dependen del punto R y como hay una
manera infinita de escoger al punto R , se tiene que existen un número infinito de rectas
paralelas a .
2.1.2. Ángulos internos de un triángulo
Es momento de revisar el comportamiento de los ángulos interiores de un triángulo en
geometría hiperbólica, para ello se presentan las siguientes definiciones:
Definición: dos ángulos son adyacentes si y sólo si tienen el mismo vértice, comparten un
lado y no se sobreponen uno sobre el otro.
Gráficamente, dos ángulos adyacentes se ven de la siguiente forma:
Figura 13. Ángulos adyacentes
Definición: dos ángulos son opuestos por un vértice si se forman de la intersección de dos
líneas y tales ángulos no son adyacentes.
Gráficamente los ángulos opuestos por un vértice se ven la de la siguiente forma:
Figura 14. Ángulos opuestos por un vértice
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Los ángulos opuestos por un vértice son congruentes, esto permite mostrar que los
ángulos suplementarios de ángulos congruentes son congruentes. El siguiente concepto se
utiliza en el próximo resultado:
Definición: dados dos ángulos ABC y DEF , se dice que ABC es menor que DEF
, y se denota por ABC DEF , si y sólo si existe un rayo EH entre los rayos ED y EF
tal que ABC DEH .
En la siguiente figura se ejemplifica la definición anterior:
Figura 15. El ángulo CBA es menor que el ángulo DEF
El siguiente resultado se conoce como el teorema del ángulo exterior y es muy
importante para obtener algunas propiedades básicas sobre triángulos.
Teorema 2.9. Un ángulo exterior de un triángulo es más grande que los otros dos ángulos
no adyacentes.
Demostración: basta que observes los siguientes pasos:
(i). Sea el triángulo con vértices en los puntos , ,A B C y considera el ángulo BAC .
Figura 16. Ángulo BAC del triángulo ABC
(ii). Sea D un punto en la línea BC tal que * *B C D .
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Figura 17. Punto D que satisface * *B C D
(iii). Se procede por contradicción, si ABAC CD entonces las líneas BA y BC son
paralelas y en consecuencia B no existe, lo que es una contradicción.
(iv). Si ABAC CD existe un rayo AE , de tal manera que CACD AD .
Figura 18. Rayo AE que satisface CACD AD
(v). Existe el punto G sobre el rayo AE , tal que * *B G C .
Figura 19. Punto G que satisface * *B G C
(vi). Entonces las líneas AE y CD son paralelas, por consiguiente el punto A no existe,
lo que es una contradicción.
(vii). Por consiguiente ABAC CD .
(viii). Para mostrar ABC ACD hay que considerar un punto F que esté en la línea
AC , de tal forma que * *A C F .
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Figura 20. Línea AC que satisface * *A C F
(ix). Luego se tiene que FACD CB , ya que son opuestos por el vértice C .
(x). Por el razonamiento dado de los pasos (ii) al (vii), se tiene que ABC BCF .
(xi). En consecuencia ABC ACD .
Lo que demuestra el resultado.
Como consecuencia del teorema 2.9. y los resultados anteriores, se tienen los siguientes
resultados:
Proposición 2.1. Dados dos triángulos ABC y DEF tales que AC DF , DA y
EB entonces DABC EF .(LAA)
Proposición 2.2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus respectivas
hipotenusas son congruentes y algunos de sus respectivos catetos son congruentes.
Proposición 2.3. Todo segmento tiene un punto medio.
Proposición 2.4. Todo ángulo tiene una bisectriz.
Proposición 2.5. Todo segmento tiene una única bisectriz perpendicular.
Proposición 2.6. En todo triángulo, el ángulo interno más grande se opone al lado de
mayor longitud, y el lado de mayor longitud es opuesto al ángulo interno más grande.
Proposición 2.7. Dados los triángulos ABC y DEF tales que AB DE y BC EF
entonces B E si y sólo si AC DF .
Proposición 2.8. Dados dos triángulos tales que son congruentes todos sus lados,
entonces son congruentes. (LLL)
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La Proposición 2.1. toma el nombre de criterio Lado-Ángulo-Ángulo (LAA) y la Proposición
2.8. es conocida como el criterio Lado-Lado-Lado (LLL) de congruencias de triángulos.
Es conocido que a cada segmento y a cada ángulo se le asigne un número, el primero
llamado longitud y el segundo amplitud (expresada en grados). Los siguientes resultados
garantizan la existencia de dichos números, las demostraciones se basan en el axioma de
Dedekind y su demostración es presentada en un curso de análisis matemático, por lo
cual escapa de los objetivos de este curso.
El primer resultado se presenta para ángulos y se enuncia de la siguiente manera:
Teorema 2.10. Dado un ángulo A , existe una única manera de asignarle los grados
A que satisface las siguientes condiciones:
(a) 0 180A .
(b) A B si y sólo si BA .
(c) Si el rayo AC es interior al ángulo DAB entonces
DAC CAB DAB .
(d) 90A si y sólo si A es un ángulo recto.
(e) Para todo 0,180x existe un ángulo A tal que A x .
(f) Los ángulos A y B son suplementarios si y sólo si 180A B .
(g) A B si y sólo si A B .
A partir del resultado anterior se obtienen los siguientes conceptos:
Definición: dado un ángulo A , se dice que A es agudo si y sólo si 90A y se
dice que A es obtuso si y sólo si 90A .
Como una consecuencia inmediata de este teorema se tiene el siguiente resultado:
Corolario 2.10.1. La suma de los grados de dos ángulos internos de un triángulo es menor
que 180 .
Ahora se presenta el resultado análogo para segmentos:
Teorema 2.11. Dado un segmento OP llamado unidad existe una única manera de
asignar la longitud AB del segmento AB tal que satisface las siguientes condiciones:
(a) 0AB y 1OP .
(b) AB CD si y sólo sí AB CD .
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(c) * *A B C si y sólo si AB BC AC .
(d) AB CD si y sólo si AB CD .
(e) Para todo x con 0x existe un segmento AB tal que AB x .
Como consecuencia del teorema anterior se obtiene el siguiente resultado:
Corolario 2.11.1. Para cualesquiera tres puntos no colineales A , B y C se tiene que
AC AB BC .
Demostración: basta observar los siguientes pasos:
(i). Sean A , B y C tres puntos no colineales.
Figura 21. Puntos no colineales A , B y C
(ii). Aplicando los axiomas de intermediación 1 y de congruencia 1 al rayo opuesto a
BA , existe un único punto D que satisface * *A B D y que BD BC .
Figura 22. Punto D que satisface * *A B D y que BD BC
(iii). Entonces el triángulo CBD es isósceles y así BBCD DC .
Figura 23. Triángulo isósceles CBD
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(iv). Por la parte (c) del teorema 2.11. se tiene que AB BD AD .
(v). Como BC BD se tiene que AB BC AD .
(vi). Dado que el rayo CB esta entre los rayos CA y CD , por definición, se tiene que
BCD ACD .
(vii). Como BCD ACD y BBCD DC implica que ADC ACD .
Figura 24. El ángulo ADC es menor que el ángulo ACD
(viii). Por la proposición 2.7. se tiene que AD AC .
(ix). Por la parte (d) del teorema 2.11. se tiene que AD AC .
(x). Por consiguiente AB BD AD AC .
Lo que demuestra el resultado.
El siguiente es un resultado muy importante cuya demostración requiere del axioma de
Arquímedes, éste es conocido como el teorema de Saccheri-Legendre, pero antes de
abordarlo debes revisar el siguiente lema con su demostración.
Lema 2.2. Dado el triángulo ABC sea D el punto medio del segmento BC , y sea E el
punto sobre el rayo AD de tal forma que * *A D E y AD DE entonces la suma de las
aberturas de los ángulos del triángulo ABC es igual a la suma de las aberturas de los
ángulos del triángulo AEC y la medida de alguno de los ángulos AEC o EAC es
menor o igual a 1
2BAC .
Demostración: basta observar los siguientes pasos:
(i). Dado un triángulo ABC , sea D el punto medio del segmento BC y sea E el
punto sobre el rayo AD , de tal forma que * *A D E y AD DE .
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Figura 25. El punto D es el punto medio de los segmentos AE y BC
(ii). Por ser ángulos opuestos por el vértice D , se tiene que CBDA DE , y por
hipótesis BD CD y ED AD .
(iii). Por el criterio LAL se tiene que BDA CDE .
Figura 26. El triángulo BDA es congruente al triángulo CDE
(iv). Luego DEC DAB y así BAC BAD DAC CEA EAC .
Figura 27. El triángulo DEC es congruente al triángulo DAB
(v). Como EABD CD , se tiene que ECA ECD DCA ECB BCA .
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Figura 28. El triángulo ABD es congruente al triángulo ECD
(vi). Aplicando la parte (c) del teorema 2.10. se tiene que:
BAC ACB CBA CEA EAC ACB ECB
CEA EAC ACE
(vii). Finalmente 2min ,BAC CEA EAC CEA EAC lo que
implica que 1
in2
,m CEA EAC BAC .
Con lo cual queda demostrado el resultado.
Teorema 2.12. En todo triángulo, la suma de las medidas en grados de sus ángulos
internos es menor o igual a 180 .
Demostración: se procede por contradicción siguiendo los siguientes pasos:
(i). Supóngase que la suma de las medidas en grados de sus ángulos internos del
triángulo ABC es mayor que 180 .
(ii). Así, existe 0p tal que 180A B C p .
(iii). Por el lema 2.2. existe un triángulo 1AB C tal que la suma de las aberturas de los
ángulos del triángulo ABC es igual a la suma de las aberturas de los ángulos del
triángulo 1AB C , es decir 1 180A B C p y
1
1
2AB BACC .
Figura 29. Triángulo 1AB C que satisface el lema 2.2
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(iv). De forma similar, aplicando el lema 2.2. al triángulo 1AB C existe un triángulo
2AB C tal que:
2 180A B C p y 12
1 1
2 4B AC BACA CB .
Figura 30. Triángulo
2AB C que satisface el lema 2.2
(v). Por inducción matemática para todo k existe un triángulo kAB C tal que:
180kA B C p y 1
2kkA BACB C .
(vi). Por el axioma de Arquímedes existe 0k tal que y
0
1
2k
BAC p .
(vii). Lo que implica que existe un triángulo 0kAB C que satisface las siguientes
relaciones:
0
180 kp A B C A p C
(viii). En consecuencia 180 A C , contradiciendo al corolario 2.10.1.
(ix). Por lo tanto 180A B C .
Lo que demuestra el resultado.
Como consecuencia del teorema anterior se desprenden dos propiedades (corolario), la
primera se enuncia a continuación:
Corolario 2.12.1. La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo es
menor o igual a la medida del ángulo exterior no adyacente.
Para la segunda hay que definir el siguiente concepto:
Definición: se dice que un cuadrilátero ABCD es convexo si y sólo si existe un par de
lados opuestos, dígase AB y CD , tal que el segmento CD está contenido en uno de los
semiplanos determinados por la línea AB y el segmento AB está contenido en uno de los
semiplanos determinados por la línea CD .
La siguiente figura ejemplifica la definición de cuadrilátero convexo:
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Figura 31. Cuadrilátero convexo y cuadrilátero no convexo
Corolario 2.12.2. La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero convexo es
menor o igual a 360 .
El teorema 2.12. permite definir el siguiente concepto:
Definición: dado un triángulo ABC , el defecto ABC es el número positivo tal que:
180A B C ABC .
El siguiente resultado muestra que si existe un triángulo tal que su defecto es positivo,
entonces todos los triángulos tienen defecto positivo, equivalentemente, si existe un
triángulo cuya suma de ángulos internos es igual a 180 , entonces para cualquier triángulo
la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 . Primero se comienza con la propiedad
aditiva del defecto de un triángulo.
Teorema 2.13. Dados un triángulo ABC y un punto D tal que * *A D B entonces
ABC ACD DCB .
Demostración: basta atender los siguientes pasos:
(i). Se tiene que el rayo CD es interior al ángulo ACB .
Figura 32. Rayo CD es interior al ángulo ACB
(ii). Por la parte (c) del teorema 2.10. se tiene que ACD DCB ACB .
(iii). Como los ángulos ADC y CDB son suplementarios, la parte (f) del teorema
2.10. implica que 180ADC CDB .
(iv). Por definición de defecto se tienen las siguientes relaciones:
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180
180
180
ABC BCA CAB
DBC BCD C
ABC
DBCDB
ADC DCA C CAD AD
(v). Sumando miembro a miembro y utilizando las relaciones obtenidas en los pasos (ii)
y (iii) se obtiene que ABC ACD DCB .
Lo que muestra el resultado.
Corolario 2.13.1. Bajo las hipótesis del teorema 2.13. la suma de los ángulos interiores del
triángulo ABC es igual a 180 si y sólo si la suma de los ángulos internos de cada
triángulo ACD y DCB es 180 .
Demostración: supóngase que la suma de los ángulos internos de cada triángulo ACD
y DCB es 180 , entonces 0ACD DCB , por el teorema 2.13. se tiene que
0 0 0ABC ACD DCB , es decir, la suma de los ángulos interiores del triángulo
ABC es igual a 180 . Inversamente, si 0ABC , entonces por el teorema 2.13. se tiene
que 0ACD DCB ABC , por el teorema 2.12. se tiene que ACD y DCB son
números no negativos, lo que implica que 0ACD DCB , es decir, la suma de los
ángulos internos de cada triángulo ACD y DCB es 180 .
El siguiente resultado muestra que cuando un rectángulo existe también un triángulo que
tiene defecto nulo e inversamente, éste se presenta sin demostración.
Teorema 2.14. Si existe un triángulo cuya suma de ángulos internos es 180 , entonces
existe un rectángulo. Inversamente, si un rectángulo existe entonces en todo triángulo la
suma de sus ángulos internos es igual a 180 .
Corolario 2.14.1. Si existe un triángulo con defecto positivo, entonces todos los
rectángulos tienen defecto positivo.
Combinando el lema 2.1. y el teorema 2.14., se tienen los siguientes resultados:
Teorema 2.15. En geometría hiperbólica, en cualquier triángulo la suma de sus ángulos
internos es menor que 180 .
Una consecuencia del teorema anterior es la siguiente propiedad que tienen los
cuadriláteros convexos.
Corolario 2.15.1. En geometría hiperbólica, la suma de los ángulos interiores de cualquier
cuadrilátero convexo es menor que 360 .
Demostración: considera los siguientes pasos:
(i). Sea el cuadrilátero convexo ABCD .
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23
(ii). Tomando la diagonal AC y considerar los dos triángulos ABC y ACD .
Figura 33. Triángulos ABC y ACD
(iii). Por el teorema 2.15. las suma de los ángulos internos de cada triangulo es menor
que 180 .
(iv). Dado que ABCD es convexo significa que el rayo AC esta entre los rayos AB y
AD .
Figura 34. El rayo AC está entre los rayos AB y AD
(v). Por la parte (c) del teorema 2.10. se tiene las siguiente relación:
BAC CAD BAD
(vi). De forma similar se tiene que ACB ACD BCD .
(vii). Combinando los pasos (ii), (v) y (vi) se tiene que la suma de los ángulos internos
del cuadrilátero ABCD es menor que dos veces 180 .
Lo que demuestra el resultado.
2.2. Triángulos semejantes
Hasta el momento, tomando en cuenta también la unidad anterior, se han presentado los
siguientes criterios de congruencias de triángulos:
(a) Criterio Lado-Ángulo-Lado.
(b) Criterio Ángulo-Lado-Ángulo.
(c) Criterio Lado-Ángulo-Ángulo.
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(d) Criterio Lado-Lado-Lado.
El objetivo de esta sección es mostrar que en geometría hiperbólica basta el criterio Lado-
Lado-Lado.
2.2.1. El postulado de Wallis
El resultado importante de esta sección es también equivalente al axioma de las paralelas,
inicialmente fue planteado por el astrónomo persa Nasir Eddin al-Tusi (1201-1274); sin
embargo, su demostración tiene varias afirmaciones cuya justificación no es correcta, el
matemático John Wallis (1616-1703) fue quien se dedicó a resolver los vacíos dejados por
el astrónomo persa. Wallis plantea un nuevo postulado y utilizando los axiomas incidencia,
intermediación, congruencia y continuidad obtuvo el postulado de las paralelas. Se
empieza con el siguiente concepto.
Definición: dados dos triángulos ABC y DEF se dice que el triángulo ABC es
semejante a DEF si y sólo si se puede realizar una correspondencia de vértices de tal
forma que los ángulos sean congruentes.
Cuando los triángulos ABC y DEF son congruentes se denota por ABC DEF .
En geometría euclidiana se demuestra que cuando dos triángulos son congruentes los
lados correspondientes son proporcionales.
La siguiente figura ilustra concepto de semejanza de triángulos:
Figura 35. Triángulos semejantes
Postulado de Wallis: dados un triángulo ABC y un segmento DE , siempre existe un
triángulo DEF , de tal manera que ABC DEF .
A continuación se presenta el resultado principal de esta sección:
Teorema 2.16. El postulado de Wallis implica el postulado de las paralelas.
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Demostración: basta atender los siguientes pasos:
(i). Sean una recta y P un punto que no sea elemento de .
Figura 36. La línea y punto P
(ii). Sean Q el punto sobre la recta tal que PQ y m la recta que pasa por P tal
que m PQ .
Figura 37. Línea PQ perpendicular a
(iii). Como PQ y m PQ entonces m , sea desea mostrar que m es la única
línea paralela a .
(iv). Sea n una línea distinta de m que pasa por P .
Figura 38. Línea n que pasa por P
(v). Toma el rayo 1n contenido en n que inicia en P que está entre los rayos PQ y
1m ,
donde 1m es un rayo contenido en la línea m .
Figura 39. Rayo
1n contenido en n que inicia en P
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(vi). Para cualquier punto R en el rayo 1n existe un punto S en el rayo PQ que
satisface que PS QR .
Figura 40. Línea SR perpendicular a PQ
(vii). Aplicando el postulado de Wallis al triángulo PSR y al segmento PQ , así existe
un punto T de tal manera que PSR PQT , con la asignación P P , S Q y
R T . Se puede suponer que T y R están del mismo lado con respecto a la línea
PQ , ya que si T y R están del lado opuesto con respecto a PQ existe un punto 1T
que está del mismo lado que R con respecto a PQ tal que 1PQT PQT .
Figura 41. Triángulo PQT congruente al triángulo
1PQT
(viii). Por (viii) se tiene que RTPQ PS .
(ix). Por el punto (ix), por el hecho de que PQ PS y el axioma de continuidad 4
implican que PR PT . Por consiguiente T es un punto del rayo PR .
(x). De forma similar, por ser ángulos rectos se tiene que PPQT SR y se tiene que
T es un punto de la línea n , lo que implica que n y se intersectan en T .
Figura 42. Punto T donde se intersectan las líneas n y
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27
(xi). Por lo tanto m es única.
Lo que demuestra el resultado.
2.2.2. Congruencia de triángulos
El teorema 2.16. garantiza que el postulado de Wallis no se cumple en geometría
hiperbólica. En consecuencia, bajo ciertas circunstancias, en esta geometría hablar de
triángulos similares carece de significado. El objetivo de esta sección es agregar
condiciones para ver que el concepto de triángulos similares no se tiene en geometría
hiperbólica.
Teorema 2.17. En geometría hiperbólica, si dos triángulos son similares, entonces también
son congruentes.
Demostración: se procede por contradicción siguiendo los siguientes pasos:
(i). Supóngase que existen dos triángulos ABC y ' ' 'A B C que son similares pero
no congruentes, con la correspondencia 'A A , 'B B y 'C C .
Figura 43. Triángulos similares y no congruentes
(ii). Entonces no hay lados correspondientes que sean congruentes, ya que en caso
contrario por el criterio LAL garantiza que los triángulos ABC y ' ' 'A B C son
congruentes contradiciendo el punto (i).
(iii). Considera las dos ternas ordenadas , ,AB AC BC y ' ', ' ', ' 'A B A C B C de lados de
los triángulos ABC y ' ' 'A B C , respectivamente.
(iv). Alguna de las ternas anteriores debe contener al menos dos segmentos que sean
más grandes que los otros dos correspondientes, sin pérdida de generalidad, se
puede suponer que ' 'AB A B y ' 'AC A C .
(v). Luego, existen dos puntos ''B y ''C en AB y AC respectivamente tales que
' '''AB A B y ' '''AC A C .
(vi). Por el criterio LAL se tiene que los triángulos '' ''AB C y ' ' 'A B C son
congruentes. Esto implica que los ángulos correspondientes son congruentes
'' ''AB C B y '' ''AC B C .
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28
(vii). Por la hipótesis ' ' 'ABC A B C y el axioma de congruencia cinco implica que
'' ''AB C B y '' ''AC B C .
(viii). Por el teorema 2.7. se tiene que '' ''BC B C , trayendo como consecuencia que el
cuadrilátero '' ''BB C C es convexo.
(ix). Por las partes (b) y (f) del teorema 2.10. se tiene que:
'' '' '' '' 180B BB C C CC B
(x). Por consiguiente la suma de los ángulos internos del cuadrilátero '' ''BB C C es
360 , lo que contradice al corolario 2.15.1.
Lo que demuestra el resultado.
En resumen, en la geometría hiperbólica es imposible ampliar o reducir el tamaño del
triángulo sin que éste sufra una distorsión. Como una aplicación de esto, si se tiene una
fotografía, en un mundo hiperbólico, tiene que ser inherentemente surrealista.
Una consecuencia sorprendente del teorema 2.17. es que en la geometría hiperbólica un
segmento puede ser determinado con la ayuda de un ángulo; por ejemplo, el ángulo de un
triángulo equilátero determina la longitud de un lado de forma única. Esto a veces se dice
de forma más dramática, afirmando que la geometría hiperbólica tiene una unidad absoluta
de longitud. Incluso si la geometría del universo físico fuera de tipo hiperbólico, no tendría
más que el tamaño necesario, obteniendo así una unidad de longitud que sería
cuidadosamente guardada en la Oficina de Pesas y Medidas Internacionales.
Actividad 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes
A través de esta actividad, resolverás ejercicios de sumas de ángulos y triángulos
semejantes, tomando en cuenta los axiomas de intermediación y congruencia.
Instrucciones:
1. Descarga el documento Act. 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes.
2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, toma en cuenta los axiomas de
intermediación y congruencia.
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MGNE_U2_A2_XXYZ.
4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.
*Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que
será evaluado tu trabajo.
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2.3. Paralelas y perpendiculares
Una de las primeras experiencias que se tiene con las líneas paralelas se presenta al
observar las vías del tren, éstas se mantienen siempre a una misma distancia una de la
otra, como lo muestra la siguiente figura:
Figura 44: Rieles de ferrocarril
Para formalizar la idea anterior se presenta el siguiente concepto:
Definición: dadas dos líneas y ' , para un conjunto de punto , , ,A B C sobre la línea ,
le corresponde el conjunto de puntos ', ', ',A B C de la línea ' , que se obtiene cuando las
perpendiculares a que pasan por los puntos , , ,A B C respectivamente intersectan a ' .
Se dice que los puntos , , ,A B C son equidistantes a si y sólo si ' '' BB CAA C .
La siguiente figura ejemplifica la definición anterior:
Figura 45. Puntos equidistantes de dos líneas
2.3.1. Paralelas que admiten una perpendicular común
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El matemático Girolamo Saccheri (1667-1733) presentó en su libro Euclides ab omni naevo
vindicatus la negación del postulado de las paralelas e intentó obtener una contradicción.
Concretamente, Saccheri estudió un tipo particular de cuadriláteros que tienen como base
dos ángulos rectos y cuyos lados adyacentes a las bases son congruentes uno al otro, por
tal motivo esta clase de cuadriláteros toman el nombre de Cuadriláteros de Saccheri.
Lema 2.3. Los cuadriláteros de Saccheri existen.
Demostración: basta atender los siguientes pasos:
(i). Toma el segmento AB .
Figura 46. Segmento AB
(ii). Sean m y n las rectas perpendiculares a la línea AB tal que pasa por A y B
respectivamente.
Figura 47. Líneas m y n perpendiculares a AB
(iii). Considera los puntos C y D de las líneas m y n respectivamente, de tal manera
que C y D están del mismo lado con respecto a AB y que AC BD .
Figura 48. Puntos C y D que satisfacen AC BD
(iv). Toma la línea que pasa por CD y el cuadrilátero ABCD es un cuadrilátero de
Saccheri.
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Figura 49. Cuadrilátero ABCD
Lo que demuestra el resultado.
En la parte alta de un cuadrilátero de Saccheri pueden suceder una y sólo una de las
siguientes condiciones:
(a) Los ángulos en la altura son ángulos rectos.
(b) Los ángulos en la altura son ángulos obtusos.
(c) Los ángulos en la altura son ángulos agudos.
En la siguiente figura se ejemplifican los tres casos de cuadriláteros de Saccheri.
Figura 50. Cuadriláteros de Saccheri
La clasificación anterior se deduce a partir del siguiente resultado:
Lema 2.4. Dado un cuadrilátero de Saccheri ABCD donde los ángulos A y B son
rectos y AC DB entonces DC .
Demostración: basta atender los siguientes pasos:
(i). Considera el cuadrilátero ABCD donde los ángulos A y B son rectos y
AC DB .
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Figura 51. El cuadrilátero ABCD
(ii). Considera la segmentos AD y BC , el criterio LAL garantiza que los triángulos
CAB y DBA son congruentes y en consecuencia BACB DA y CB DA .
Figura 52. Los triángulos CAB y DBA son congruentes
(iii). Por el criterio LLL los triángulos DCBD AC , así los ángulos BCD y ADC
son congruentes.
(iv). Luego se tiene que C ACB BCD y D BDA ADC .
(v). Por las partes (b) y (c) del teorema 2.10. se tiene que:
C ACB BCD
BDA ADB
D
(vi). Por la parte (b) del teorema 2.10. se tiene que DC .
Lo que demuestra el resultado.
Otra propiedad importante que tienen los cuadriláteros de Saccheri se presenta en el
siguiente enunciado:
Lema 2.5. En un cuadrilátero de Saccheri, el segmento que une el punto medio de la base
con el punto medio de la altura es perpendicular tanto a la base como a la altura y su
longitud es más pequeña que la longitud de sus lados paralelos.
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33
Demostración: considera los siguientes pasos:
(i). Sean y dos líneas donde los puntos ,A B de y los puntos ' 'A B de son
escogidos de tal manera que el ' 'ABB A es un cuadrilátero de Saccheri. Denota
por M y 'M los puntos de los segmentos AB y ' 'A B respectivamente.
Figura 53. Cuadrilátero de Saccheri ' 'ABB A
(ii). Por el lema 2.4. se tiene que BA y utilizando el criterio LAL que implican
''A AM B BM , obteniendo que los lados 'A M y 'B M son congruentes:
Figura 54. Los triángulos 'A AM y 'B BM son congruentes
(iii). El criterio LLL garantiza que '' ' 'A M M B M M . Luego los correspondientes
ángulos ' 'A M M y ' 'B M M son congruentes y como son congruentes éstos
deben ser ángulos rectos, lo que demuestra que '' 'M M A B .
Figura 55. Los triángulos ' 'A M M y ' 'B M M son congruentes
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(iv). De las dos congruencias de triángulos anteriores se tiene que ' ' ' 'A MM B MM
y ''A MA B MB ,
(v). Además ' ' ' 'AMA A MM AMM y ' ' ' 'BMB B MM BMM lo que implica
que los ángulos suplementarios 'A MA y 'B MB son congruentes y la parte (b)
del teorema 2.10. implica que ' 'BA MA MB , es decir, los ángulos 'A MA
y 'B MB son rectos.
Figura 56. Los ángulos 'A MA y 'B MB son rectos
(vi). Considera el rectángulo ' 'A M MA , que tiene tres ángulos rectos, en geometría
hiperbólica, como los rectángulos no existen el cuarto ángulo tiene que ser agudo.
Lo que implica que ' 'AA MM .
Lo que demuestra el resultado.
En geometría euclidiana es usual utilizar el concepto de equidistancia para definir rectas
paralelas como aquéllas que cada punto de una es equidistante a la otra. En geometría
hiperbólica las cosas son distintas, como lo muestra el siguiente resultado:
Teorema 2.18. En geometría hiperbólica si dos líneas y son dos líneas paralelas,
cualquier conjunto de puntos de la línea a la línea tiene a lo más dos elementos
equidistantes.
Demostración: se procede por contradicción, siguiendo los pasos que a continuación se
presentan:
(i). Supóngase que existen tres puntos , ,A B C de la línea que son equidistantes a la
línea ' .
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35
Figura 57. Los puntos equidistantes , ,A B C
(ii). Entonces se forman dos cuadriláteros ' 'A B BA , ' 'A C CA y ' 'B C CB que son
cuadriláteros de Saccheri, ya que sus ángulos bases son rectos y sus lados son
congruentes.
Figura 58. Los cuadriláteros de Saccheri ' 'A B BA , ' 'A C CA y ' 'B C CB
(iii). El lema 2.4. garantiza que ''A AB B BA , ''A AC C CA y ''B BC C CB .
(iv). Por el axioma de congruencia 5 se tiene que los ángulos suplementarios 'B BA y
'B BC son congruentes a cada uno de los otros, es decir, son ángulos rectos.
Figura 59. Los ángulos 'B BA y 'B BC son rectos
(v). Lo que implica que ' 'A B BA , ' 'A C CA y ' 'B C CB son rectángulos, lo que
contradice el lema 2.1.
(vi). Por lo tanto A , B y C no pueden ser equidistantes a la línea .
Lo que demuestra el resultado.
Los siguientes resultados son importantes, ya que permiten darle una interpretación gráfica
a la geometría hiperbólica.
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Teorema 2.19. En geometría hiperbólica si dos líneas y son paralelas y además
existen dos puntos A y B de que son equidistantes a , entonces y tienen una
perpendicular común.
Demostración: considera los siguientes pasos:
(i). Dadas dos líneas y paralelas y dos puntos A y B de que son equidistantes
a .
Figura 60. Puntos A y B son equidistantes
(ii). Existen dos puntos 'A y 'B de la línea tales que el cuadrilátero ' 'A B BA es un
cuadrilátero de Saccheri, es decir, los puntos 'A y 'B de la línea ' se obtienen
cuando las perpendiculares a que pasan por A y B respectivamente cortan a ' .
Figura 61. Cuadrilátero de Saccheri ' 'A B BA
(iii). Sean M y 'M los puntos medios de los segmentos AB y ' 'A B respectivamente.
(iv). El lema 2.5. garantiza que el segmento 'M M es perpendicular a y
simultáneamente.
Figura 62. Línea 'M M perpendicular a y
Lo que demuestra el resultado.
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Teorema 2.20. En geometría hiperbólica si dos líneas y tienen una perpendicular
común 'MM , entonces éstas son paralelas, y la perpendicular 'MM es única. Más aún, si
A y B son dos puntos de la línea de tal forma que M es el punto medio de AB
entonces los puntos A y B son equidistantes a .
Demostración: basta atender los siguientes pasos:
(i). El corolario 2.7.1. garantiza que las líneas y son paralelas, ya que 'MM es
simultáneamente perpendicular a y .
Figura 63. La línea 'MM es perpendicular común a y
(ii). La perpendicular 'MM a y es única, ya que si existiera otra perpendicular,
ésta formaría un rectángulo, contradiciendo el lema 2.1.
(iii). Dados dos puntos A y B de la línea , tales que M sea el punto medio del
segmento AB .
(iv). Considera los puntos 'A y 'B de la línea que se obtienen al trazar las
perpendiculares a la línea que pasan por los puntos A y B respectivamente.
Figura 64. Línea 'MM perpendicular a
(v). Por el criterio LAL se tiene que '' MAM M B M , ya qué '' MAM M B M y
' 'AM BM .
Figura 65. Los triángulos 'AM M y 'BM M son congruentes
(vi). Por consiguiente:
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' ' 90 ' 90 ' ' 'A M A AM M BM M B M B .
(vii). Así que '' ' 'A M A B M B , por el criterio LAA se tiene que ' ' ' 'AA M BB M
lo que implica que los lados correspondientes 'AA y 'BB son congruentes.
Lo que muestra el resultado.
El teorema 2.18. plantea que a los más dos puntos en una línea pueden ser
equidistantes a la línea , el teorema 2.19. plantea que si un par de líneas y tienen
un par de puntos equidistantes éstas poseen una única perpendicular común y el teorema
2.20. proyecta cómo se ubican dos puntos equidistantes. Una idea gráfica que conjunta
todos estos resultados se presenta en la siguiente figura:
Figura 66. Líneas paralelas en geometría hiperbólica
2.3.2. Limitación de rayos paralelos
A lo largo de esta unidad se ha utilizado una técnica estándar para construir, a partir de
una línea y un punto que no pertenezca a ésta, una línea paralela a la línea inicial que
pasa por el punto dado. Esta técnica se describe a continuación:
Dado una línea y un punto P que no pertenece a , se traza la perpendicular PQ a
que pasa por P , luego se traza la perpendicular m a PQ que pasa por P , las líneas y
m tienen una perpendicular común que es PQ entonces m . Por el teorema hiperbólico
universal existe otra línea n distinta de m que pasa por el punto P tal que n .
La siguiente es una noción intuitiva del objetivo de esta sección, para ello se hace uso del
axioma de continuidad. Considerando la construcción anterior, toma la familia kPR de
todos rayos que pasan por P , en este conjunto existe un rayo distinguido PR tal que
cualquier rayo kPR que esté entre m y PR es paralelo a y cualquier rayo kPR que no
esté entre m y PR tiene que intersectar a , en tal caso se dice que el rayo PR limita a
los rayos kPR que son paralelos a la línea . La siguiente figura bosqueja la idea antes
presentada:
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Figura 67. Rayo paralelo limitante
Teorema 2.21. Dada la línea , y para todo punto P que no pertenezca a sea Q el
punto de la línea de tal manera que PQ . Entonces existen dos únicos rayos PX y
'PX que no intersectan a y que están en lados opuestos con respecto a la línea PQ
que satisface la condición: un rayo que inicie en P intersecta a si y sólo si éste está
entre los rayos PX y 'PX . Más aún, esos rayos limitantes están situados simétricamente
con respecto a la línea PQ en el sentido de que 'PXPQ X Q .
Demostración: basta atender los siguientes pasos:
(i). Sea una línea y P un punto que no pertenece a , considera la perpendicular
PQ a que pasa por P , y se denota por m la perpendicular a PQ que pasa por
P , implicando que m .
Figura 68. La línea m es paralela a la línea
(ii). Sea S un punto en la línea m distinto de P y considera la línea SQ . Sea 1 el
conjunto de todos los puntos T sobre el segmento SQ , de tal manera que PT
intersecta a y el conjunto 2 el complemento de
1 . Observa que 1Q y
2S .
Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica
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Figura 69. Definición de los conjuntos
1 y 2
(iii). Si el punto T del segmento SQ pertenece al conjunto 1 , entonces todo el
segmento TQ está contenido en 1 , lo que implica que la pareja 21, es una
cortadura de Dedekind. Por el axioma de continuidad se tiene que existe un único
punto X de la línea SQ de tal manera que 21 * *P X P si y sólo si
1 1P y 2 2P .
Por definición de 1 y
2 se tiene que cualquier rayo que esté por encima del rayo
PX no intersecta a y cualquier rayo que este por debajo del rayo PX intersecta
a .
Figura 70. La cortadura de Dedekind 21,
(iv). Se desea mostrar que PX no intersecta a y se procede por contradicción,
supóngase que PX intersecta a la línea en el punto U .
Figura 71. El rayo PX intersecta a línea en el punto U
Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica
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(v). Sea V cualquier punto sobre la línea que cumpla con * *V U Q , como U y V
están del mismo lado con respecto a la línea SQ se tiene que los puntos P y V
son opuestos con respecto a la línea SQ , implicando que VP intersecta a SQ en
el puntoY . Se tiene que * *Y X Q implicando que 2Y . Contradiciendo el hecho
de que PY intersecta a , lo que implica que PX es un rayo paralelo limitante.
Figura 72. El rayo PX es un rayo paralelo limitante de
(vi). Para mostrar la simetría, se procede por contradicción: supóngase que los
ángulos contrarios XPQ y 'X PQ no son congruentes y sin pérdida de
generalidad se puede suponer que 'XPQ X PQ . Por el axioma de
congruencia 4, existe un rayo 'PR entre los rayos 'PX y PQ , de tal manera que
' XR PQ PQ .
(vii). El axioma de congruencia 1 garantiza que existe un punto R que es opuesto a 'R
con respecto a la línea PQ que satisface * * 'R Q R y 'RQ R Q .
(viii). El criterio LAL garantiza que 'PRPQ R Q , lo que implica que 'PRPQ R Q .
El axioma de congruencia 5 garantiza que XRPQ PQ , lo que es una
contradicción, ya que PR se encuentra entre los rayos PX y PQ .
Figura 73. El rayo 'X es simétrico al rayo X
Lo que demuestra el resultado.
Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica
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42
Los ángulos XPQ y 'X PQ que tienen respectivamente los rayos limitantes PX y 'PX
son llamados ángulos de paralelismo y usualmente se denotan por PQ . Observa
que 90PQ , ya que si 90PQ , entonces se contradice el teorema hiperbólico
universal, más aún, se tiene que PQ toma cualquier valor entre 0 y 90 . Bolyai y
Lobachevsky describieron una fórmula para encontrar el valor del ángulo de paralelismo.
En geometría hiperbólica un segmento unitario natural OI es cualquier segmento OI tal
que 45OI .
2.4. Clasificación de las paralelas
En geometría hiperbólica existen dos tipos de líneas paralelas:
(a) El primer tipo consiste de líneas paralelas m y que tienen una perpendicular
común, donde m diverge de en ambos lados de la perpendicular común.
Figura 74: Líneas paralelas de primer tipo
(b) El segundo tipo consiste de todas las líneas paralelas a que están contenidas
en un rayo paralelo limitante en una dirección, es decir, estas paralelas se
aproximan asintóticamente a una de las direcciones de y son divergentes a
en la otra dirección.
Figura 75. Líneas paralelas de segundo tipo
Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica
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43
Si la línea m es una paralela de segundo tipo a la línea se puede demostrar que m y
no tienen una perpendicular común, lo que muestra que no existe una paralela que sea de
ambos tipos. El siguiente teorema, el cual se enuncia sin demostración, establece que sólo
existen estos dos tipos de líneas paralelas.
Teorema 2.22. Dadas dos líneas y m de tal forma que m , supóngase que m no está
limitado por ningún rayo paralelo a en alguna dirección adecuada. Entonces existe una
línea perpendicular común a m y .
Actividad 3. Paralelas y perpendiculares
Autoevaluación
Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta
unidad, es necesario que resuelvas la autoevaluación.
Ingresa al aula virtual para realizar tu actividad.
Evidencia de aprendizaje. Geometría hiperbólica
A través de esta actividad, resolverás ejercicios relacionados con paralelas y
perpendiculares, tomando en cuenta los axiomas de continuidad y paralelismo.
Instrucciones:
1. Descarga el documento Act. 3. Paralelas y perpendiculares.
2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, toma en cuenta los axiomas de
continuidad y paralelismo.
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U2_A3_XXYZ.
4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.
*Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.
A través de esta actividad, resolverás ejercicios tomando en cuenta los axiomas de
Hilbert. Para ello:
Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
44
Autorreflexiones
Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión
y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes
elaborar tu autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides
que también se toman en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad
En esta unidad iniciaste estudiando distintos enunciados equivalentes al quinto postulado
de Euclides, como la geometría hiperbólica, que es distinta a la euclidiana, la cual se
obtiene partiendo del axioma hiperbólico, negando el postulado de las paralelas de Hilbert.
Comprendiste que existen algunas propiedades comunes entre la geometría hiperbólica y
la geometría euclidiana, como también propiedades que difieren entre ambas.
Te invitamos a que revises la unidad 3, donde estos conocimientos se reforzarán, con lo
que lograrás tener un conocimiento integral.
Para saber más
Existe una geometría no-euclidiana llamada geometría elíptica que se construye de forma
similar a la geometría hiperbólica para ver más detalles puede consultar los siguientes
sitios:
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry
1. Descarga el documento llamado EA_. Geometría hiperbólica.
2. Resuelve los planteamientos que se presentan de acuerdo con lo que
aprendiste en la unidad.
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U2_EA_XXYZ.
4. Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu
Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu
evidencia.
5. Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será
evaluado tu trabajo.
Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
45
http://www.math.brown.edu/~banchoff/gc/elliptic/elliptic.html
http://web.mnstate.edu/peil/geometry/C2EuclidNonEuclid/7elliptic.htm
Fuentes de consulta
Courant, R., Robbins, H. y Stewart, I. (1996). What Is Mathematics? An Elementary
Approach to Ideas and Methods. EUA: Oxford University Press.
Devlin, K. (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. EUA:
Holt Paperbacks.
Eves, H. (1972). Survey of geometry. EUA: Allyn & Bacon.
Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. EUA: Springer.
Hilbert D. y Cohn-Vossen, S. (1999) Geometry and imagination. EUA: American
Mathematical Society.
Meschkowski, H. (1964). Noneuclidean Geometry. EUA: Academic Press.