UNIDAD 2

ÁLGEBRA

“Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

El Álgebra

Es la rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general.

En la unidad anterior utilizamos solamente números y cada uno de ellos representaba un valor específico.

Ahora utilizaremos números y letras a la vez para representar cantidades, y las letras representarán cualquier valor.

Esto quiere decir que una misma expresión algebraica puede representar la edad de una persona, el costo de un artículo, o

cualquier otro valor.

A eso nos referimos cuando decimos que trataremos las cantidades de manera más

general.

En esta unidad aprenderás a:

Factorizar expresiones algebraicas identificando factor común o a través del reconocimiento de productos notables.

Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.

Reconocer productos notables como cuadrado de binomio, suma por su diferencia, suma de cubos, diferencia de cubos y cubo de binomio.

Determinar el Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor entre expresiones algebraicas.

Contenido de la unidad2.1 Definiciones

2.1.1 Término algebraico

2.1.2 Expresión algebraica

2.2 Operaciones Algebraicas

2.2.1 Suma y resta

2.2.2 Multiplicación2.2.3 Productos Notables

2.2.4 Factorización

2.1.3 Términos semejantes

2.2.5 División

2.3 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

2.4 Máximo común divisor (M.C.D.)

Ejemplos:

15a3b5,3w

2zab2c, 5x2y,

2.1 Definiciones

2.1.1 Término algebraico

Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces.

Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal” formado por una o más letras. Las literales siempre tienen asociado un exponente, pero en caso de que este sea uno, se omite escribirlo.

Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta.

2.1.2 Expresión algebraica

Ejemplos:

1) 4x2 – 3 5y

2) 8a3 + 7xy2 – 3x + 10y

3) 2a3b2 + 5ab – 3a 2

Monomio:

Expresión algebraica que consta de un solo término algebraico.

Ejemplos:

Polinomio:

Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

Los polinomios se pueden clasificar según el número de términos que contienen. En la siguiente diapositiva se muestran algunos ejemplos:

25a3, 45x2z59xy2,

Hay dos tipos de expresiones algebraicas:

2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos.

Ejemplo: 2a3b2 + 5ab – 3a2

Ejemplo:

1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.

4x7y2 + 5xy

Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales.

Ejemplo:

- Los términos y son semejantes.

- Los términos y no son semejantes.

6a2b 5a2b

2x4 7x2

2.1.3 Términos Semejantes

2.2.1 Suma y Resta

Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes.

Ejemplo:

ab2c + 3ab2c – 5ab2c = (1 + 3 – 5) ab2c

= (4 – 5) ab2c

= (– 1) ab2c

= – ab2c

2.2. Operaciones algebraicas

En la suma de polinomios, se escribe cada polinomio uno detrás de otro y se reducen los términos semejantes.

Sumar los siguientes polinomios:

Suma de polinomios

En la suma, los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes:

En esta operación, es importante identificar el minuendo y el substraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes.

Realizar la siguiente operación:

Resta de polinomios

Para realizar la resta, primero se eliminan los paréntesis.

Solución:

Para hacerlo, debemos recordar que el signo “menos” fuera del paréntesis, afecta a todos los monomios que están dentro de los paréntesis.

Por lo tanto, debemos invertir el signo de cada monomio en el segundo paréntesis, es decir, debemos cambiar los signos positivos por negativos y los negativos por positivos:

Posteriormente se reducen los términos semejantes:

3x ∙ 2xy =

2.2.2 Multiplicación

Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí.

Ejemplo:

• Monomio por monomio:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Para hacerlo, se aplican las leyes de los exponentes estudiadas en la unidad anterior (se suman los exponentes que tengan la misma base)

Ejemplo:

• Monomio por polinomio:

6x2y

3ab4 (5a2b + 2ab2 - 4ab) =

= 15a3b5 + 6a2b6 – 12a2b5

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Posteriormente se suman los términos semejantes.

Ejemplo:

Polinomio por Polinomio:

(2x + y)(3x + 2y) =

= 6x2 + 7xy + 2y2

6x2 + 4xy + 3xy + 2y2

2.2.3 Productos Notables

Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.

• CUADRADO DE BINOMIO:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplo:

La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:

(5x – 3y)2 = (5x)2

- 2(5x∙3y) + (3y)2

= 25x2

- 30xy + 9y2

bab

a ab2

2

a b

b

a

a b

a

b

• CUBO DE BINOMIO:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando potencias...

Multiplicando...

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3

= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3

= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

(3x – 2y)3 =

• SUMA POR SU DIFERENCIA:

Ejemplo: Aplicando la fórmula...

(a + b)∙(a – b) = a2 – b2

(5x + 6y)∙(5x – 6y) =(5x)2 – (6y)2

= 25x2 – 36y2

PRODUCTO DE BINOMIO:

Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

Ejemplo 1:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + 4)∙(x + 2) =

= x2 + 6x + 8

x2 + (4 + 2)x + 4∙2

Ejemplo 2:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(y - 4)∙(y + 2) =

= y2 – 2y - 8

y2 + (-4 + 2)y - 4∙2

CUADRADO DE TRINOMIO:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z)

(2x + 3y + 4z)2 = ?

= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

• DIFERENCIA DE CUBOS:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

8x3 – 64y3 =(2x)3 – (4y)3

= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )

= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

SUMA DE CUBOS:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3

= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)

= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación.

Ahora haremos el proceso inverso al de los productos notables.

Es decir, ahora debemos representar con una cantidad menor de términos cada expresión.

2.2.4 Factorización

Factores de una expresión

Son las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto a la primera expresión.

x (x + 2)

factor factor

Ejemplos:

factor factor

(x – 2)(x + 1)

x2 + 2x =

x2 – x – 2 =

Factorización de una expresión

Es convertir la expresión en el producto compuesto por sus

factores

Factorización de un polinomio

Todo polinomio puede ser descompuesto en dos o más factores distintos de 1.

Los polinomios se pueden descomponer de distintas maneras las cuales se explicaran a continuación.

a) Cuando todos los términos tienen un factor común

Ejemplos:

10a + 30ax2 = 10 1 a + 10 3 a x x

10 a ( )1En ambos términos

+ 3 x2=

Factorización de un polinomio

18 m x y2 – 54 m x2 y2 + 36 m y2

En todos los términos

y= 18 m x y – 18 318 m x x x y y 18+ m y y

18 m y2 ( )x – 3 x2 + 1

1

= En cada uno de los términos

Factorización de un polinomio

b) Cuando todos los términos tienen un polinomio como factor común

Ejemplos:

factor

(a – 1)(a – 1) (a – 1)

(x + 2)(x + 2) (x + 2)factor

2x – y = (2x – y)

m + = (m + 1)

Factorización de un polinomio

c) Cuando se agrupan los términos factor común

Ejemplos:

aa aa =x x xx bb b byyyy +++ + + +( () )factor

= x (a + b) + y(a + b)factor

(a + b)= ( )x y+

Factorización de un polinomio

d) Cuando un trinomio es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando se cumple que es el cuadrado de otra, es decir, se cumple que:

a2 2ab + b2 = (a b)(a b)

Factorización de un polinomio

Ejemplos:

4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 + 25y2 – 20xy

= (2x) (5y)(2x) (5y)2– +

= 2x

2 2

– 5y( ) 2

Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones algebraicas.

Factorización de un polinomio

e) Cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable se puede transformar a cuadrado perfecto por adición o sustracción.

Factorización de un polinomio

Ejemplos:

x4 + x2y2 + y4 Es un cuadrado perfecto

x4 + x2y2 + y4

2

No es un cuadrado perfecto1

2

Para llegar de a : 1 2

x4 + x2y2 + y4

x2y2+ – x2y2

x4 + x2y2 + y42 – x2y2 = ( x2 + y2 ) 2 – x2y2 Cuadrado perfecto

= ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 )

= ( x2 + y2 ) ( xy )–

Se le suma cero

Diferencia de cuadrados xy– +

2 2

xy2 2

Factorización de un polinomio

f) Trinomios de la forma x2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones:

Coeficiente del primer termino 1

Primer término es una letra elevada al cuadrado

Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera

Tercer término es independiente (sin letra)

Ej: y2 – 8y +15

Factorización de un polinomio

Ejemplo:

x 2 ++ 5 x 6 = ( ) ( )x x+

5

3

Al multiplicar los signos:

+ + = +

+2

2 + 3 = Se tiene que buscar dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 62 3 = 6

Factorización de un polinomio

g) Trinomios de la forma ax2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones:

Coeficiente del primer termino distinto de 1

Primer término es una letra elevada al cuadrado

Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera

Tercer término es independiente (sin letra)

Ej: 3a2 + 7a – 6

Factorización de un polinomio

Ejemplo:

6 x2 – 7 x – 3

Se multiplica por el coeficiente de x2 (6) x2 – 7 x – 36 (6) (6)

(6x) 2 – (6x)7 – 18

Trinomios de la forma x2 bx c

( )6x – 2( )6x9

= +

+

– – La suma y la multiplicación es entre un número positivo y otro negativo

2 – 9 = – 7

2 - 9 = – 18

Factorización de un polinomio

Aunque ya se factorizó el polinomio hay que recordar que se multiplicó por seis por lo que para no alterar el polinomio hay que dividirlo por el mismo valor.

(6x – 9) (6x – 2)6x2 – 7x – 3 =

6= 3 (2x – 3) 2 (3x – 1)

2 3

(2x – 3) (3x – 1)=

Factorización de un polinomio

h) Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio.

( a + b )3 = a3 + 3 a b2+3 a2 b + b3

ó

( a + b )3 = – a3 – 3 a2 b + 3 a b2 b3

Factorización de un polinomio

Ejemplo:

8 x6 + 54 x2 y9 – 27 y9 – 36 x4 y3

(2 x2) (3 y3)– 3 33 (2 x2) 2 (3 y3) + 3 (2 x2) 2(3 y3) –

= ( )2x2 3y3– 3

Factorización de un polinomio

i) Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos.

Ej:

x 3+ 1 = ( )1x + ( )x 2 x 1 + 1 2

cubo ( x3 )

cubo ( 13 )

cuadrado

cuadrado

Signo contrario el que se encuentra en término anterior

–

a3– 8 = ( )2a – ( )a2 a 2 – 2 2

Cubo ( a3 )

cubo ( 23 )

cuadrado

cuadrado

Signo contrario el que se encuentra en término anterior

+

Factorización de un polinomio

(x + 5)(x – 4)

(x + 5)(x – 5)

2.2.5 División

Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.

Ejemplos:

1)

Factorizando...

Simplificando...

=x2 + x - 20

x2 - 25

(x – 4)

(x – 5)=

Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:

(x – 4)

(x – 5)

(a + b)

(a – b) 1

a - b= ∙

(a + b)(a – b):

(a + b)(a + b) 1

a - b

2)

Factorizando y simplificando

Dividiendo:

(a + b)2

a2 - b2: 1

a - b=

(a + b)

(a – b)

1

a - b:=

= (a + b)

2.3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

• Entre monomios:Corresponde a todos los factores con su mayor exponente.

Ejemplo 1:

El m.c.m. entre:

3x5y2, 18x2yz6 y 9y3

es: 18x5y3z6

Ejemplo 2:

El m.c.m. entre:

x4y2z3 , x2y , xy6z

es: x4y6z3

x2 + 2x +1x2 + x

Entre polinomios:

El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.

Ejemplo:

Determinar el m.c.m. entre:

y

m.c.m. :

Factorizando... x(x +1) (x +1)2

x(x +1)2

2.4. Máximo común divisor(M.C.D.)

Entre monomios:

Corresponde a los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo 1:

El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3

es: 3y

Ejemplo 2:

El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2

es: a4b

x2 + 2x +1x2 + x

Entre polinomios:

El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.

Ejemplo:

Determinar el M.C.D. entre:

y

M.C.D. :

Factorizando... x(x +1) (x +1)2

(x +1)