1

Unidad 16: La derivada.

16.1 Definición de derivada y sus notaciones.

16.1.1 Definición de derivada.

La derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se define como el límite de la razón del incremento de la

función sobre el incremento de la variable independiente y se define como:

𝑦′ = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

16.1.1.1 Notación de la derivada.

Diversas notaciones para expresar la derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) son:

𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐷𝑥𝑦

Ejemplos:

1.- La derivada de la función 𝑦 = 3𝑥 + 2 es:

a) 𝑦′ = 2 b) 𝑦′ = 3 c) 𝑦′ = −2 d) 𝑦′ = −3

Solución:

Se aplica la definición de la derivada:

𝑦 = 3𝑥 + 2 → 𝑦′ = 1 lim∆𝑥→0

[3(𝑥 + ∆𝑥) + 2] − [3𝑥 + 2]

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

[3𝑥 + 3∆𝑥 + 2] − [3𝑥 + 2]

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

3𝑥 + 3∆𝑥 + 2 − 3𝑥 − 2

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

3∆𝑥

∆𝑥= lim

∆𝑥→03 = 3

2.- La derivada de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 es:

a) 𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

∆𝑥

∆𝑥 b) 𝑓′(𝑥) = lim

∆𝑥→0

2+∆𝑥

∆𝑥 c) 𝑓′(𝑥) = lim

∆𝑥→0

2∆𝑥

∆𝑥 d) 𝑓′(𝑥) = lim

∆𝑥→0

∆𝑥−2

∆𝑥

2

Solución:

Se realiza la derivada:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 → 𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

[2(𝑥 + ∆𝑥) + 1] − [2𝑥 + 1]

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

[2𝑥 + 2∆𝑥 + 1] − [2𝑥 + 1]

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

2𝑥 + 2∆𝑥 + 1 − 2𝑥 − 1

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

2∆𝑥

∆𝑥

16.2 Obtención de derivadas.

16.2.1 Derivadas de funciones algebraicas.

16.2.1.1 Reglas para determinar la derivada de una función algebraica.

1) 𝑑

𝑑𝑥(𝑐) = 0 2)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) = 1 3)

𝑑

𝑑𝑥(𝑐𝑥) = 𝑐

4) 𝑑

𝑑𝑥(𝑐𝑣) = 𝑐

𝑑𝑣

𝑑𝑥 5)

𝑑

𝑑𝑥(𝑢 + 𝑣 − 𝑤) =

𝑑𝑢

𝑑𝑥+

𝑑𝑣

𝑑𝑥−

𝑑𝑤

𝑑𝑥 6)

𝑑

𝑑𝑥= (𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1

7) 𝑑

𝑑𝑥= (𝑣𝑛) = 𝑛𝑣𝑛−1 𝑑𝑣

𝑑𝑥 8)

𝑑

𝑑𝑥(√𝑣) =

1

2√𝑣

𝑑

𝑑𝑥 9)

𝑑

𝑑𝑥(√𝑥) =

1

2√𝑥

10) 𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥

11) 𝑑

𝑑𝑥(

𝑢

𝑣) =

𝑢𝑑𝑢

𝑑𝑥−𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑣2

Donde la constante es: 𝑐 y las variables son: 𝑥, 𝑢, 𝑣 y 𝑤.

Ejemplos:

1.- La derivada de la función 𝑦 = 𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 7 es:

a) 3𝑥2 + 5𝑥 − 4 b) 3𝑥2 + 10𝑥 + 7 c) 3𝑥2 + 5𝑥 + 7 d) 3𝑥2 + 10𝑥 − 4

Solución:

3

Al aplicar las fórmulas:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 7) =

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3) +

𝑑

𝑑𝑥(5𝑥2) −

𝑑

𝑑𝑥(4𝑥) +

𝑑

𝑑𝑥(7)

=𝑑

𝑑𝑥(𝑥3) + 5

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) − 4

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) +

𝑑

𝑑𝑥(7) = 3𝑥3−1 + 5(2𝑥2−1) − 4(1) + 0

= 3𝑥2 + 5(2𝑥) − 4 = 3𝑥2 + 10𝑥 − 4

2.- La derivada de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥35 es:

a) 5

3𝑥

2

5 b) 3

5𝑥

2

5 c) 3

5𝑥−

2

5 d) 5

3𝑥−

2

5

Solución:

𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥(√𝑥35

) =𝑑

𝑑𝑥(𝑥

35) =

3

5𝑥

35

−1 =3

5𝑥

3−55 =

3

5𝑥−

25

3.- La derivada de la función 𝑦 =3

𝑥2 es:

a) 3

2𝑥 b)

6

𝑥3 c) −3

2𝑥 d) −

6

𝑥3

Solución:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(

3

𝑥2) =

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥−2) = 3

𝑑

𝑑𝑥(𝑥−2) = 3(−2𝑥−2−1) = −6𝑥−3 = −6 (

1

𝑥3) = −

6

𝑥3

4.- La derivada de la función 𝑦 = (3𝑥5 + 2)4 es:

a) 60𝑥4(3𝑥5 + 2)3 b) 4(15𝑥4 + 2)3 c) 60𝑥(3𝑥5 + 2)3 d) 4𝑥4(3𝑥5 + 2)3

Solución:

Se utilizará la fórmula 𝑑

𝑑𝑥= (𝑣𝑛) = 𝑛𝑣𝑛−1 𝑑𝑣

𝑑𝑥 , dando como resultado:

4

𝑦 = (3𝑥5 + 2)4 →

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥= (3𝑥5 + 2)4 = 4(3𝑥5 + 2)4−1

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥5 + 2) = 4(3𝑥5 + 2)3(15𝑥4)

= 60𝑥4(3𝑥 + 2)3

5.- La derivada de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)(3𝑥3 + 2) es:

a) 𝑥(15𝑥3 − 9𝑥 + 4) b) 𝑥(15𝑥3 − 9𝑥 − 4) c) 𝑥(15𝑥3 + 9𝑥 + 4) d) 3𝑥(5𝑥3 + 3𝑥 + 1)

Solución:

Para obtener la derivada se utiliza la fórmula 𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)(3𝑥3 + 2) → 𝑓′(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑑

𝑑𝑥(3𝑥3 + 2) + (3𝑥3 + 2)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 1)

𝑓′(𝑥) = (𝑥2 + 1)(9𝑥2) + (3𝑥3 + 2)(2𝑥)

𝑓′(𝑥) = 9𝑥4 + 9𝑥2 + 6𝑥4 + 4𝑥

𝑓′(𝑥) = 15𝑥4 + 9𝑥2 + 4𝑥

𝑓′(𝑥) = 𝑥(15𝑥3 + 9𝑥 + 4)

16.2.2 Derivadas de funciones trigonométricas.

16.2.2.1 Reglas para determinar la derivada de una función trigonométrica.

1) 𝑑

𝑑𝑥 sen 𝑣 = cos 𝑣

dv

𝑑𝑥

2) 𝑑

𝑑𝑥 cos 𝑣 = −sen 𝑣

dv

𝑑𝑥

3) 𝑑

𝑑𝑥 tan 𝑣 = sec2 𝑣

dv

𝑑𝑥

4) 𝑑

𝑑𝑥 cot 𝑣 = csc2 𝑣

dv

𝑑𝑥

5) 𝑑

𝑑𝑥 sec 𝑣 = sec 𝑣 tan 𝑣

dv

𝑑𝑥

6) 𝑑

𝑑𝑥 csc 𝑣 = −csc 𝑣 cot 𝑣

dv

𝑑𝑥

5

Ejemplos:

1.- ¿Cuál es la derivada de la función 𝑦 = sen 3𝑥?

a) 3 cos 3𝑥 b) 3 sen 3𝑥 c) cos 3𝑥 d) −sen 3𝑥

Solución:

𝑦 = sen 3𝑥 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (sen 3𝑥) = cos 3𝑥

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥) = (cos 3𝑥)(3) = 3 cos 3𝑥

2.- ¿Cuál será la derivada de la función 𝑓(𝑥) = cos 𝑥2?

a) −sen 𝑥2 b) −cos 2𝑥 c) −2𝑥 sen 𝑥2 d) 2𝑥 cos 2𝑥

Solución:

𝑓(𝑥) = cos 𝑥2 → 𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥(cos 𝑥2) = −sen 𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) = (−sen 𝑥2)(2𝑥) = −2𝑥 sen 𝑥2

3.- ¿Cuál será la derivada de la función 𝑦 = sen 𝑥3 5𝑥?

a) sen2(3𝑥2 + 2𝑥) b) tan(6𝑥 + 2) c) sen2(6𝑥 + 2) d) (6𝑥 + 2) ∗ sen2(3𝑥2 + 2𝑥)

Solución:

𝑦 = sen 𝑥3 5𝑥 → 𝑦′ =𝑑

𝑑𝑥[tan(3𝑥2 + 2)] = sen2(3𝑥2 + 2𝑥)

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥2 + 2𝑥)

sen2(3𝑥2 + 2𝑥) (6𝑥 + 2) = (6𝑥 + 2) ∗ sen2(3𝑥2 + 2𝑥)

16.2.3 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

16.2.3.1 Reglas para determinar la derivada de una función exponencial.

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑣 = 𝑒𝑣 ∗

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑣 = 𝑎𝑣 ln 𝑎 ∗

𝑑𝑣

𝑑𝑥

6

donde la base del logaritmo natural es 𝑒, la constante es 𝑎 y la variable es 𝑣.

16.2.3.2 Reglas para determinar la derivada de una función logarítmica.

𝑑

𝑑𝑥ln 𝑣 =

1

𝑣∗

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥log𝑏 𝑣 =

log𝑏 𝑒

𝑣∗

𝑑𝑣

𝑑𝑥

Ejemplos:

1.- ¿Cuál es la derivada de 𝑦 = 𝑒2𝑥?

a) 𝑒2𝑥 b) 2𝑥 𝑒2𝑥 c) 2 𝑒2𝑥 d) 2 𝑒𝑥

Solución:

Se utilizará la fórmula 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑣 = 𝑒𝑣 ∗

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑦 = 𝑒2𝑥 → 𝑦′ =𝑑

𝑑𝑥(𝑒2𝑥) = 𝑒2𝑥

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥) = 𝑒2𝑥(2) = 2 𝑒2𝑥

2.- ¿Cuál será la derivada de 𝑦 = 23𝑥2−1?

a) 23𝑥2−1 ln 2 b) 23𝑥2−1 (6𝑥) c) 26𝑥 ln 2 d) 23𝑥2−1 ln 2 (6𝑥)

Solución:

Se utilizará la fórmula 𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑣 = 𝑎𝑣 ln 𝑎 ∗

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑦 = 23𝑥2−1 → 𝑦′ =𝑑

𝑑𝑥(𝑦 = 23𝑥2−1) = 𝑦 = 23𝑥2−1 ln 2

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥2 − 1) = 23𝑥2−1 ln 2 (6𝑥)

3.- ¿Cuál será la derivada de 𝑦 = ln(𝑥3 − 2)?

a) 3𝑥2

𝑥3−2 b)

1

𝑥3−2 c)

3𝑥

𝑥3−2 d)

𝑥2

𝑥3−2

Solución:

7

𝑦 = ln(𝑥3 − 2) → 𝑦′ =𝑑

𝑑𝑥ln(𝑥3 − 2) =

1

𝑥3 − 2∗

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 − 2) =

1

𝑥3 − 2∗ (3𝑥2) =

3𝑥2

𝑥3 − 2

16.3 Regla de la cadena.

Sea la función 𝑦 = 𝑔(𝑢) y 𝑢 = 𝑓(𝑥), entonces la derivada 𝑑𝑦

𝑑𝑥 , se define como:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∗

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Ejemplos:

¿Cuál es la derivada 𝑑𝑦

𝑑𝑥, si 𝑦 = 𝑢3 + 5𝑢 y 𝑢 = 𝑥2 + 3𝑥?

a) (3𝑢2 + 5)(2𝑥 + 3) b) (𝑢3 + 5𝑢)(2𝑥 + 3) c) 3𝑢2(2𝑥 + 3) d) (3𝑢2 + 5)(𝑥2 + 3𝑥)

Solución:

Se utilizará la regla de la cadena:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∗

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Donde:

𝑑𝑦

𝑑𝑢=

𝑑

𝑑𝑢(𝑢3 + 5𝑢) = 3𝑢2 + 5 ;

𝑑𝑢

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 3𝑥) = 2𝑥 + 3

Entonces:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (3𝑢2 + 5)(2𝑥 + 3)

2.- ¿Qué derivada tiene la fórmula 𝑦 = sen 𝑥2?

a) 2𝑥 cos 𝑥2 b) 2 cos 𝑥2 c) cos 2𝑥 d) 𝑥 sen 2𝑥

Solución:

8

En la función se aplicará la regla de la cadena donde 𝑦 = sen 𝑢 y 𝑢 = 𝑥2:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∗

𝑑𝑢

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑢(sen 𝑢) ∗

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) = cos 𝑢 ∗ 2𝑥 = 2𝑥 cos 𝑢

Y como 𝑢 = 𝑥2 el resultado queda de la siguiente manera:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 cos 𝑥2

16.4 Derivada de funciones implícitas.

Para derivar una función implícita se utiliza la siguiente fórmula:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦)

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) , con 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) ≠ 0

Donde:

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦): derivada la función respecto de 𝑥

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦): derivada la función respecto de 𝑦

Ejemplos:

1.- ¿Qué valor tendrá la derivada respecto de 𝑥 de 𝑥2 + 𝑦2 = 4 es:

a) −𝑥

𝑦 b) −

2𝑥

𝑦 c) −

𝑥

2𝑦 d)

𝑥

𝑦

Solución:

Se iguala la expresión con cero:

𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0

Se deriva la ecuación respecto de 𝑥 y se toma como constante 𝑦 para obtener 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦):

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦) =𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 𝑦2 − 4) = 2𝑥

Se deriva la ecuación respecto de 𝑦 y se toma como constante 𝑥 para obtener 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦):

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) =𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 𝑦2 − 4) = 2𝑦

9

Por último:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦)

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦)= −

2𝑥

2𝑦= −

𝑥

𝑦

2.- ¿Cuál será la derivada respecto de 𝑥 de 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 + 𝑦3 = 0?

a) 3𝑥2+6𝑥𝑦−𝑦2

3𝑥2−2𝑥𝑦+3𝑦2 b) −3𝑥2+6𝑥𝑦−𝑦2

3𝑥2−2𝑥𝑦+3𝑦2 c) 3𝑥2+6𝑥𝑦+𝑦2

3𝑥2−2𝑥𝑦−3𝑦2 d) 3𝑥2−2𝑥𝑦+3𝑦2

3𝑥2+6𝑥𝑦−𝑦2

Solución:

Se deriva la ecuación respecto de 𝑥 y se toma como constante 𝑦 para obtener 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦):

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 𝑦2

Se deriva la ecuación respecto de 𝑦 y se toma como constante 𝑥 para obtener 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦):

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦2

Por último:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦)

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦)= −

3𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 𝑦2

3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦2

16.5 Derivadas sucesivas de una función.

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces:

Primera derivada 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Segunda derivada 𝑦′′ = 𝑓′(𝑥) =𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

Tercera derivada 𝑦′′′ = 𝑓′(𝑥) =𝑑3𝑦

𝑑𝑥3

… …

n-ésima derivada 𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥) =𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛

Ejemplos:

10

1.- Si 𝑦 = 𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 7, 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 es:

a) 3𝑥2 + 8𝑥 − 5 b) 𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 7 c) 6𝑥 + 8 d) 6

Solución:

Se calcula la primera derivada:

Si 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 7 entonces,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 + 8𝑥 − 5

Para calcular la segunda derivada, se tiene que derivar la primera:

Si 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 + 8𝑥 − 5 entonces,

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (3𝑥2 + 8𝑥 − 5) = 6𝑥 + 8

2.- ¿Cuál es la segunda derivada de 𝑓(𝑥), si la primera es 𝑓(𝑥) = cos 𝑥2?

a) −2𝑥 sen 𝑥2 b) −4𝑥2 sen 𝑥2 − 2 cos 𝑥2 c) −4𝑥2 cos 𝑥2 + 2 sen 𝑥2 d) −4𝑥2 cos 𝑥2 − 2 sen 𝑥2

Solución:

Se calcula la primera derivada:

𝑓(𝑥) = cos 𝑥2 → 𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥(cos 𝑥2) = −sen 𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) = (−sen 𝑥2)(2𝑥) = −2𝑥 sen 𝑥2

Ahora se deriva la primera derivada para obtener la segunda derivada:

𝑓(𝑥) = −2𝑥 sen 𝑥2 → 𝑓′′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥(−2𝑥 sen 𝑥2) = −2𝑥

𝑑

𝑑𝑥(sen 𝑥2) + sen 𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(−2𝑥)

= −2𝑥(cos 𝑥2)𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) + sen 𝑥2 (−2) = −2𝑥(cos 𝑥2)(2𝑥) + sen 𝑥2 (−2)

= 4𝑥2 cos 𝑥2 − 2 sen 𝑥2

16.6 Interpretación geométrica y física.

11

16.6.1 Interpretación geométrica.

La derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) evaluada en un punto de la curva es igual a la pendiente de la

recta tangente en ese punto.

Si 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces la pendiente de la de

la recta tangente en el punto (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) es:

𝑚 = 𝑓′(𝑥1)

Ejemplos:

1.- La pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 en el punto (−1, −4) es:

a) 7 b) 3 c) −10 d) −4

Solución:

Calculamos la derivada de la función:

𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 → 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 5

La pendiente de la recta tangente es:

𝑚 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 5

Se determina en el punto (−1, −4) la derivada:

𝑚 = 2(−1) + 5 = −2 + 5 = 3

Y

X

𝑦 = 𝑓(𝑥)

(𝑥1, 𝑓(𝑥1))

Recta tangente

12

16.6.2 Interpretación física.

16.6.2.1 Velocidad instantánea.

Sea 𝑆 = 𝑓(𝑡) la función que describe la posición de una partícula con respecto al tiempo, la velocidad

instantánea de la partícula en el instante 𝑡 se define como:

𝑣 = 𝑓′(𝑡) ↔ 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡

16.6.2.2 Aceleración instantánea.

Sea 𝑆 = 𝑓(𝑡) la función que describe la posición de una partícula con respecto al tiempo, la

aceleración de la partícula en el instante 𝑡 es:

𝑎 = 𝑓′(𝑡) ↔ 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2s

𝑑𝑡2

Ejemplos:

1.- La posición de una partícula está dada por 𝑆 = 𝑡3 − 4𝑡2 + 5𝑡, donde 𝑆 está en metros y 𝑡 en

segundos, ¿cuál es la velocidad instantánea a los 3 segundos?

a) 6m

s b) 8

m

s c) 4

m

s d) 5

m

s

Solución:

Para obtener la función velocidad, se tiene que derivar la función desplazamiento:

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑡3 − 4𝑡2 + 5𝑡) = 3𝑡2 − 8𝑡 + 5

Se determina 𝑡 = 3 s en la derivada:

𝑣 = 3(3)2 − 8(3) + 5 = 3(9) − 24 + 5 = 8m

s

2.- Una partícula se mueve de acuerdo con la función 𝑆 = 2𝑡3 − 𝑡2 − 3 donde 𝑆 está dada en metros

y 𝑡 en segundos, ¿cuál es la aceleración instantánea en 2 segundos?

13

a) 9m

s2 b) 20m

s2 c) 22m

s2 d) 24m

s2

Solución:

Con la función 𝑆 = 2𝑡3 − 𝑡2 − 3 se saca la segunda derivada:

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 6𝑡2 − 2𝑡 → 𝑎 =

𝑑2s

𝑑𝑡2= 12𝑡 − 2

Se determina 𝑡 = 2 s en la segunda derivada:

𝑎 = 12(2) − 2 = 24 − 2 = 22m

s2

16.7 Ecuaciones de la tangente y la normal a una curva.

La ecuación de la recta tangente en el punto (𝑥1, 𝑦1) es:

𝑦 − 𝑦1 =𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑥 − 𝑥1)

La ecuación de la recta normal en el punto (𝑥1, 𝑦1) es:

𝑦 − 𝑦1 = −1

𝑑𝑦𝑑𝑥

(𝑥 − 𝑥1)

Donde:

𝑇: recta tangente

𝑁: recta normal

Ejemplo:

En el punto (1, 4), ¿Cuáles son las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥?

Y

X

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑃(𝑥1, 𝑦1)

T N

14

a) 5𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ; 𝑥 + 5𝑦 − 21 = 0 b) 5𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 ; 𝑥 − 5𝑦 + 21 = 0

c) 5𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 ; 𝑥 − 5𝑦 − 21 = 0 d) −5𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 ; −𝑥 + 5𝑦 − 21 = 0

Solución:

Se calcula la derivada de la función 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 3

Se determina la derivada en el punto (1, 4):

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

En el punto (1, 4), la ecuación de la recta tangente es:

𝑦 − 𝑦1 =𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑥 − 𝑥1) → 𝑦 − 4 = 5(𝑥 − 1) →

𝑦 − 4 = 5𝑥 − 5

5𝑥 − 𝑦 − 5 + 4 = 0

5𝑥 − 𝑦 − 1 = 0

En el punto (1, 4), la ecuación de la recta normal es:

𝑦 − 𝑦1 = −1

𝑑𝑦𝑑𝑥

(𝑥 − 𝑥1) → 𝑦 − 4 = −1

5(𝑥 − 1) →

5(𝑦 − 4) = −1(𝑥 − 1)

5𝑦 − 20 = −𝑥 + 1

𝑥 + 5𝑦 − 20 − 1 = 0

𝑥 + 5𝑦 − 21 = 0

16.8 Máximos y mínimos relativos de una función.

16.8.1 Criterio de la primera derivada.

1) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un punto máximo en

(𝑥0, 𝑦0) si 𝑓′(𝑥0) = 0, la derivada es positiva

antes del punto y la derivada es negativa

después del punto.

2) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un punto mínimo en

(𝑥0, 𝑦0) si 𝑓′(𝑥0) = 0, la derivada es negativa

antes del punto y la derivada es positiva

después del punto.

15

16.8.1.1 Intervalos donde crece y decrece una función.

1) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es creciente en el intervalo

(𝑎, 𝑏), si 𝑓′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

2) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es decreciente en el intervalo

(𝑎, 𝑏), si 𝑓′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

Ejemplos:

1.- El punto mínimo de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 es:

a) (−2, 17) b) (2, 1) c) (−2, 1) d) (2, 5)

Solución:

1. Se obtiene la derivada de la función:

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 4

2. Se iguala la derivada a cero y se resuelve la ecuación:

2𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = 2

Y

X

𝑓′(𝑥) > 0

𝑃(𝑥0, 𝑦0)

𝑦0

𝑥0

𝑓′(𝑥) < 0

Y

X

𝑓′(𝑥) > 0

𝑃(𝑥0, 𝑦0)

𝑦0

𝑥0

𝑓′(𝑥) < 0

Y

X

𝑓′(𝑥) > 0

𝑓(𝑥)

a b x

Y

X

𝑓′(𝑥) < 0 𝑓(𝑥)

a x b

16

3. La derivada se analiza para los valores de 𝑥 antes y después de 𝑥 = 2:

Si 𝑥 = 1 Si 𝑥 = 3

𝑓′(1) = 2(1) − 4 = 2 − 4 = 2 𝑓′(3) = 2(3) − 4 = 6 − 4 = 2

La derivada antes de 𝑥 = 2 es negativa y es positiva después de 𝑥 = 2, así que la función tiene un

mínimo para 𝑥 = 2.

4. Al sustituir 𝑥 = 2 la ordenada en la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5, se obtiene la ordenada:

𝑓(2) = (2)2 − 4(2) + 5 = 4 − 8 + 5 = 9 − 8 = 1

Se genera el punto (2, 1) que es un mínimo.

2.- ¿En qué intervalo es creciente la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 27𝑥?

a) (−3, 3) b) (−∞, −3] ∪ [3, ∞) c) (−∞, 3) ∪ (3, ∞) d) [−3, 3]

Solución:

1. Se obtiene la derivada de la función 𝑓(𝑥):

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 27

2. Se iguala la deriva a cero y después se obtienen las abscisas de los puntos críticos resolviendo la

ecuación:

3𝑥2 − 27 = 0 → 3𝑥2 − 27 → 𝑥2 = 9

𝑥 = 3, 𝑥 = −3

3. Los resultados se representan en la recta numérica y se evalúan los intervalos para definir en

cuál de ellos es creciente la función, asignando valore que pertenezcan a cada intervalo.

−∞

−4

∞

4 1

3 −3

17

▪ Para el intervalo (−∞, −3), se escoge 𝑥 = −4, 𝑓′(−4) = 3(−4)2 − 27 = 48 − 27 = 21.

▪ Para el intervalo (−3, 3), se escoge 𝑥 = 1, 𝑓′(1) = 3(1)2 − 27 = 3 − 27 = −24.

▪ Para el intervalo (3, ∞), se elige 𝑥 = 4, 𝑓′(4) = 3(4)2 − 27 = 48 − 27 = 21.

4. La solución está en aquellos intervalos en los que la derivada es positiva:

(−∞, −3) ∪ (3, ∞)

16.8.2 Criterio de la segunda derivada.

▪ La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un mínimo en el punto (𝑥0, 𝑦0) si 𝑓′(𝑥0) = 0 y 𝑓′′(𝑥0) > 0.

▪ La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un máximo en el punto (𝑥0, 𝑦0) si 𝑓′(𝑥0) = 0 y 𝑓′′(𝑥0) < 0.

Ejemplo:

¿Cuáles son los puntos máximos y mínimos de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 1?

a) (−2, 19) 𝑦 (1, −12) b) (−2, −19) 𝑦 (1, 8) c) (2, −19) 𝑦 (−1, 8) d) (2, 19) 𝑦 (1, −8)

Solución:

1. Se calcula la derivada de la función y para obtener los puntos críticos se iguala a cero:

𝑓(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12 → 6𝑥2 − 6𝑥 − 12 = 0 → 𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0

𝑥 = 2, 𝑥 = −1

2. Se calcula la segunda derivada:

𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 6

En los puntos críticos 𝑥 = 2 y 𝑥 = −1 se evalúa la segunda derivada:

▪ Si 𝑥 = 2, 𝑓′′(2) = 12(2) − 6 = 24 − 6 = 18 > 0, entonces la función tiene un mínimo en

𝑥 = 2.

▪ Si 𝑥 = −1, 𝑓′′(−1) = 12(−1) − 6 = −18 < 0, entonces la función tiene un máximo en

𝑥 = −1.

3. Al sustituir en la función original los valores de 𝑥 = 2 y 𝑥 = −1:

18

▪ Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) = 2(2)3 − 3(2)2 − 12(2) + 1 = 16 − 12 − 24 + 1 = 17 − 36 = 19, se

crea el punto mínimo (2, −19).

▪ Si 𝑥 = −1, 𝑓(2) = 2(−1)3 − 3(−1)2 − 12(−1) + 1 = −2 − 3 + 12 + 1 = 13 − 5 = 8,

se crea el punto máximo (−1, 8).

16.8.2.1 Punto de inflexión y concavidad de una función.

La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un punto de inflexión en el punto (𝑐, 𝑓(𝑐)) si 𝑓′′(𝑐) = 0 y existe cambio

de concavidad.

Concavidad:

▪ Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),

𝑓′′(𝑥) > 0.

▪ Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),

𝑓′′(𝑥) < 0.

Ejemplo:

¿Cuál es punto de inflexión de la función y = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥?

a) (2, 0) b) (1, 4) c) (3, 0) d) (2, 2)

Solución:

1. En la función y = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥, se calcula la segunda derivada:

𝑦′ = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 → 𝑦′′ = 6𝑥 − 12

Y

X

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥 = 𝑐

19

2. Se iguala la segunda derivada a cero y se resuelve la ecuación:

6𝑥 − 12 → 𝑥 = 2

3. Se evalúa la segunda derivada para los valores de 𝑥 antes y después de 𝑥 = 2:

Si 𝑥 = 1 Si 𝑥 = 3

𝑓′′(1) = 6(1) − 12 = 6 − 12 = −6 𝑓′′(3) = 6(3) − 12 = 18 − 12 = 6

Se modifico la segunda derivada de negativa a positiva, teniendo la función un punto de inflexión en

𝑥 = 2.

4. La ordenada de 𝑥 = 2 se obtiene en la función original:

𝑓(2) = (2)3 − 6(2)2 + 9(2) = 8 − 24 + 18 = 26 − 24 = 2

En conclusión, el punto de inflexión tiene las coordenadas (2, 2).