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SISTEMA HELICOIDAL 65
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
CAPTULO
0 4
OBJETIVOS
Definir las razones trigonomtricas: ctg, sec, csc.
Calcular las R.T. de un ngulo, conocida una de ellas.
Interpretar enunciados de caractersticas geomtricas.
I. MOTIVACIN
Creadores de la Trigonometra. Generalmente se
considera como creador de la Trigonometra al griego
Luego podemos definir
Hiparco de Nicea (150 a.C.), quien recopil en unalista
la posicin de 1 000 estrellas fijas y confeccion una
tabla de funciones trigonomtricas con ayuda de la
cual hall la distancia de la Tierra a la Luna.
Fue Claudio Ptolomeo quien sistematiz la Trigo-
nometra de entonces, enriquecindola con nuevas
frmulas y procedimientos. Public su inmortal obra
Al Magisti o Almagesto cuyos mtodos eran tan co-
rrectos que an siglos ms tarde se enseaban en
distintas universidades llegando a constituir la base
ctg =
sec =
csc =
Cateto Adyacente = c
Cateto opuesto a
Hipotenusa = b
Cateto adyacente c
Hipotenusa = b
Cateto opuesto a
de las tablas astronmicas que facilitaron los descu-
brimientos de Enrique el Navegante y Cristbal Co-
ln. Fue autor de la teora geocntrica del sistema
solar as como de importantes obras que por mu-
chos siglos fueron la nica fuente de consulta, hasta
la aparicin de Coprnico, Galileo y Kepler.
Modernamente, descuellan en el perfeccionamien-
1. En los vrtices de los tringulos siempre se colocan
letras maysculas y a los lados que se oponen se
colocan sus respectivas letras minsculas.
N
to de la Trigonometra Francisco Viete, Leonardo
Euler y John Kepler. A
II. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN N-
a r m
M
n R
GUL O AG UDO
C
b a
b 2 a
2 b
2
2. Una razn trigonomtrica indica la proporcin
en que se encuentran los lados.
3. (sen )2 = sen2 sen2
sen + sen sen ( + )
se n
B c A
Para el ngulo .
b : Hipotenusa
a : Cateto Opuesto
c : Cateto Adyacente
se n
(Lo mismo sucede con las otras razones trigono-
mtricas).
66 PASCUAL SACO OLIVEROS
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
Problema desarrollado
1. Demostrar que la cotangente del menor ngulo
agudo de un tringulo rectngulo es 2 2 si la
hipotenusa es el triple de un cateto.
Resolucin:
Problema por desarrollar
1. Demostrar que la tangente del mayor ngulo agudo
de un tringulo rectngulo es 3 si la hipotenusa
es el doble de un cateto.
Resolucin:
a 3a
x
Sea el menor ngulo:
x 9 a 2 a 2 x 2a 2
x 2a 2 a
ctg 2 a 2
2 2 a
m en o r ngulo
1. En un tringulo rectngulo ABC (B = 90).
Reducir:
E = senA . secC
8 4. Siendo: tg= , es agudo.
15
Calcular: P 1 tg 2
Rpta.: .............................................................
2. En un tringulo rectngulo ABC (B = 90).
Reducir:
K=cosC . secC + 2tgA . tgC
Rpta.: .............................................................
Rpta.: .............................................................
5. En un tringulo rectngulo ABC (B = 90), se sabe
que: b = 13 y a = 5. Calcular: E = secC + ctgA
Rpta.: .............................................................
3
3. Si sen= 5
; donde "" es un ngulo agudo de un 6. En un tringulo rectngulo ABC (B = 90), se sabe
que: a + b = 3c. Calcular: R = secA + ctgC
tringulo rectngulo, calcular: M 1 ctg 2
Rpta.: ............................................................. Rpta.: .............................................................
SISTEMA HELICOIDAL 67
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
7. En un tringulo rectngulo un cateto es el doble del
otro. Calcular la secante del mayor ngulo agudo.
Rpta.: .............................................................
8. En un tringulo rectngulo, su hipotenusa es el
doble de uno de los catetos. Determinar la
cotangente de su menor ngulo agudo.
Rpta.: .............................................................
9. Del grfico, calcular: E = ctg ctg
Si: MNPQ es un cuadrado.
13. Calcular: ctg. Si AM es bisectriz.
C
3
M
2
A B
Rpta.: .............................................................
14. Calcular: tgx. Si: se n= 1 2
M N
Q a 2a P x
Rpta.: .............................................................
10. Calcular: E ctg.se c
6
Rpta.: ............................................................. 15. Si BCDE es un cuadrado; calcular: E = ctg - tg
D
C
A
B E
8
Rpta.: .............................................................
Rpta.: ............................................................. 16. En un tringulo rectngulo ABC, recto en C, redu-
cir: M = c (senA senB) + a . tgB 11. Dado: se n 0, 6 . Calcular:
Donde es agudo.
R sec2 tg
2
Rpta.: .............................................................
Rpta.: .............................................................
17. En un tringulo ABC, recto en B, se sabe:
12. Si: cos= 0,8 , calcular: M = 3csc+ 4sec
Donde es agudo.
12 tgA=
5
. Calcular: E = cscC+ctgC
Rpta.: ............................................................. Rpta.: ..........................................................
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
68 PASCUAL SACO OLIVEROS
3 18. Si: tg =
4
. Calcular: M 2 csc ctg20. Del grfico, calcular: tg
Donde es agudo.
Rpta.: .............................................................
19. Del grfico, calcular: tg . tg
C
B C
A D
Rpta.: .............................................................
A 2 D 1
B
Rpta.: .............................................................
1. Del grfico, calcular: E = tg . tg
4. Si: ctg = 1
; donde : ngulo agudo. 3
Calcule: sec . csc
3 A)
1 0 B) 3
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/3 E) 1/4
4 1 0
C) 3
D) 3
3 E)
4
2. Calcular: tgA. Si PQRS es un cuadrado.
A
5. Si: ctg = 4. Calcular: E
sen cos
csc
1 Donde es ngulo agudo. R
Q 1 3 A) B)
17 17
P
S 4 B
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Sea un tringulo ABC (recto en B). Si:
senA . senC= 1
. Calcular: E = ctgC + ctgA 2
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4 E) 5
5 7 C) D)
17 17
9 E)
17
SISTEMA HELICOIDAL 69
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
CAPTULO
0 5
OBJETIVOS
Identificar la proporcin en que se encuentran los lados de un tringulo rectngulo notable.
Reconocer el valor numrico de las razones trigonomtricas de ngulos notables y aproximados. NOTA HISTRICA
Investigar el origen de una palabra con frecuencia significa tener que efectuar muchas conjeturas, especialmente
cuando intervienen varios idiomas. La designacin intervienen varios idiomas. La designacin de "seno" dada a la
razn trigonomtrica de este nombre es un ejemplo destacado. El matemtico rabe Aryabhata (aproximadamente
en el ao 530 d.C.) emple la denominacin ardha-jyija (o semicuerda) para lo que ahora llamamos "seno". Los
rabes tenan la curiosa costumbre de omitir las vocales, de modo que la expresin ya fue interpretada fonticamente
como jiba por los matemticos rabes, y como jaib por los matemticos europeos que vertan al latn. Como
resultado jya (cuerda) se convirti en jaib, que significa seno (el pecho femenino) concepto que se designa en latn con
la palabra sinus. Esto es lo que dice esta historia. Aryabhata es conocido tambin por haber asignado la expresin
62 832/20 000 (o sea, 3927/1250) como un valor aproximado del nmero .
TRINGULOS RECTNGULO NOTABLES
Son aquellos tringulos rectngulos; donde conociendo las medidas de sus ngulos agudos, se puede saber la proporcin
de sus lados. Los tringulos conocidos son:
60
k
2k
30
3 k
45
k
k 2
45
k
53
3k 5k
4k
37
74
7k 25k
24k
16
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
70 PASCUAL SACO OLIVEROS
Problema desarrollado
1. Demostrar que n = 3, donde: se n n
10 n 4
Problema por desarrollar
1. Demostrar que n = 2, donde: tg 2 n 1
n
Si: tg se n 30 . tg 45 . se c 37 . se n74 ;
: agudo.
Resolucin:
Si: se c ctg 30 . se n 60 . ctg 45
Resolucin:
3 34
5
1 3
tg 1
. 1 . 5
. 24
3
2 4 25 5 5
se n 3
3
n
3 4 3 . 10 4 10 n 4
n 3
SISTEMA HELICOIDAL 71
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
1. Calcular: E = 8sen45 + 4cos45
Rpta.: ..........................................................
2. Calcular: M = 3 . tg 30 4 cos 60
Rpta.: ..........................................................
3. Calcular: R = cos260 . tg245 . sen230
Rpta.: ..........................................................
11. Calcular: M = 32sen53 + 9sen30
Rpta.: ..........................................................
12. Si: tg = Cos 30. Calcular: sen es agudo.
Rpta.: ..........................................................
13. Si: sen= sen30 . tg37 . sec60. Calcular: cos;
es agudo.
Rpta.: ..........................................................
4. Resolver: A = sen53 . cos60 + sen37 . sen30 14. Calcular: E a b ; si: a = sen30 + tg37
Rpta.: ..........................................................
b = sec60 + cos230
Rpta.: ..........................................................
5. Calcular: R 1 co s2 6 0 15. Calcule: E = sen16 . cos 16
Rpta.: ..........................................................
6. Calcular: E = cos37. ctg53.sec60
Rpta.: ..........................................................
Rpta.: ..........................................................
16. Calcule: S = tg74 + ctg16
Rpta.: ..........................................................
17. Calcule: R = tg53 . sec16
7. Calcular: A
3.tg 2 60 . 8 se n 30
Rpta.: ..........................................................
18. Calcule: P = cos53 . tg74
Rpta.: ..........................................................
8. Calcular: E = 16Cos60 + 32Sen37
Rpta.: ..........................................................
9. Calcular: A = (csc30)tg45 (ctg45)sec60
Rpta.: ..........................................................
19. Calcule:
R 1 tg 2
1 6
Rpta.: ..........................................................
Rpta.: ..........................................................
10. Calcular: E = (sec 60 + csc30) . sen 37
20. Calcule:
H sen 3 0 . tg16 . ctg 53
tg 2
4 5
Rpta.: .......................................................... Rpta.: ..........................................................
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
72 PASCUAL SACO OLIVEROS
A) 1/10 B) 1/20
C) 1/30 D) 1/40
E) 1/50
1. Calcular: T tg37 ctg53
se n 2 45 4. Calcule: S se c 2 7 4 tg 2 7 4
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
A) 4 B) 3
C) 6 D) 2
E) 1
2. Calcular: E co s 60 sen 37
11 tg 3
45
5. Calcule:
1
A) 2
sen
2 53 co s
2 53
K
csc2 16 ctg 2 16
B) 2
3. Si: sen2 = sen30; donde es agudo.
1 C) 3 D)
3
E) 1
Calcular: A tg ctg tg . ctg
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
SISTEMA HELICOIDAL 73
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
CAPTULO
0 6
OBJETIVOS
Resolver tringulos rectngulos, relacionando las longitudes de los lados mediante una razn trigonomtrica.
Encontrar equivalencias entre las razones trigonomtricas de ngulos notables en enunciados de caractersticas
geomtricas.
MOTIVACIN
La trigonometra, para qu sirve?
El problema bsico de la trigonometra es algo parecido a esto:
Est cerca de un ro ancho y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el rbol marcado en el
dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la tercera dimensin). Cmo hacerlo sin cruzar el ro?
La forma habitual es como sigue. Clave postes en el suelo en los puntos A y B y mida con una cinta la distancia c
entre ellos (la base).
Luego extraiga el poste del punto A y sustityalo por un telescopio de topgrafo como
el que se muestra aqu (teodolito), contando con una placa dividida en 360 grados, A
marque la direccin (azimut) a la que apunta el telescopio.
Dirigiendo el telescopio primero hacia el rbol y luego hacia el poste B, mide el ngulo A
del tringulo ABC, igual a la diferencia entre los nmeros que ha ledo de la placa azimut. c
Sustituya el poste, lleve el teodolito al punto B y mida de la misma forma el ngulo B.
La longitud c de la base y los dos ngulos A y B son todo lo que necesita para conocer el
tringulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un tringulo de la misma forma y mismo
tamao, en un sitio ms conveniente. La trigonometra (de trigon=tringulo) en un principio B fue el arte de calcular la informacin perdida mediante simple clculo. Dada la suficiente
Ro
b
C
a
informacin para definir un tringulo, la trigonometra le permite calcular el resto de las dimensiones y de ngulos.
Por qu tringulos?
Porque son los bloques bsicos de construccin para cualquier figura rectilnea
que se pueda construir. El cuadrado, pentgono u otro polgono puede dividirse en
tringulos por medio de lneas rectas radiando desde un ngulo hacia los otros.
Para topografiar una tierra los topgrafos la dividen en tringulos y marcan cada
ngulo con un punto de referencia, que hoy en da es, a menudo, una placa de latn
redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que se ponen sus
varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescen-
te). Despus de medir la base, como la AB en el ejemplo del ro, el topgrafo medir
(de la forma descrita aqu) los ngulos que se forman con el punto C y usar la
trigonometra para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base
de dos nuevos tringulos, que a su vez suministrarn base para dos ms..., y de esta
forma construir ms y ms tringulos hasta que se cubra la tierra al completo con
una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede aadir una red
secundaria, subdividiendo los tringulos grandes y marcando sus puntos con estacas
de hierro, que proporcionarn distancias conocidas adicionales en las que se pueden
basar los mapas o planos.
Un antiguo telescopio de topgrafo
(teodolito)
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
74 PASCUAL SACO OLIVEROS
TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES
60
2K K
45
K 2 K
30
K 3
45
K
TRINGULOS APROXIMADOS
53
5K 3K
25K
7K
37
4K 16
24K
Es cierto que estos tres tringulos no son los nicos, pues existen muchos ms que los iremos descubriendo o
demostrando poco a poco.
Problema desarrollado
1. Demostrar que:
ctg 3 7 csc ctg
ctg 3 7 4 3
csc ctg 25
7
3 2
4
24 24 2 4 3
ctg 3 7 csc ctg
Resolucin:
37 Problema por desarrollar
1. Demostrar que:
tg 3 7 csc ctg
24 25
7
37
25
Resolucin:
37
En el grfico: = 37
Luego: = 74
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
SISTEMA HELICOIDAL 75
1. Del grfico, calcular: tg. 5. En el grfico mostrado, calcular: ctgx. Si:
C B
3 60
M
2
45 A
2 D 1 B
A 60 x
C
Rpta.: .............................................................
2. Calcular x del grfico.
Rpta.: .............................................................
6. Calcular: x si el rea del cuadrado es 642
B x
C
8
53 45
x
A 53
D
Rpta.: .............................................................
Rpta.: ............................................................. 7. Calcular: tg
N P
3. Calcular: tgx.
B
5
x 37
M 37
Q
A 13 C
Rpta.: .............................................................
4. Del grfico, calcular: ctgx.
C
x
Rpta.: .............................................................
8. Calcular: x.
D
A
30 x
A 37
B B
20 C
Rpta.: ............................................................. Rpta.: .............................................................
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
76 PASCUAL SACO OLIVEROS
x
H
B
9. En el grfico, calcular: x.
A
A
53 45
D
16
C
A 30
H D
B
C
Rpta.: ............................................................. Rpta.: .............................................................
10. Calcular: DB, si: AC 2 6
C
45
14. Del grfico, calcular: ctg
C
D
60
16 B
2 D 6 A
A B
Rpta.: ............................................................. 11. De la figura, calcular: BH. Si: AC = 17.
B
Rpta.: ............................................................. 15. Calcular: tgx.
B
50
A 16 45
C
Rpta.: ............................................................. 12. Calcular: BC.
A x 74
C 26
Rpta.: ............................................................. 16. Calcular: tg.
A
5 3
C 16
D
Rpta.: .............................................................
13. Calcular: tg. Si: AB = BC.
Rpta.: .............................................................
17. Del grfico, calcular: tgx.
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
SISTEMA HELICOIDAL 77
E
C A B
100
x 74 B D 4
A
Rpta.: .............................................................
18. Calcular: tg.
16 D
C
Rpta.: .............................................................
20. Del grfico; calcular: sen. O: Centro de la semicir-
cunferencia.
B
9 2
A 45
C 21
16
O
Rpta.: .............................................................
19. Del grfico, hallar: tg.
Rpta.: .............................................................
1. Del grfico, calcular: tg 2. Del grfico, calcular: ctg
53
53
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
Compendio de Ciencias II-C Trigonometra
78 PASCUAL SACO OLIVEROS
3. Del grfico, calcular: tgx. 5. Del grfico, calcular: x.
5
x
A) 24/31 B) 2/7
C) 7/31 D) 4/7
E) 5/7
53 45 30
x
4. Del grfico, calcular: ctgx. A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
x 74
7 2
A) 4 8
B) 8
3 4 8 C)
4 8 D)
3
1 0 E)
3