Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición. Y se habla de ella como matemática práctica.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS

CatetoOpuestoasen

Hipotenusaa

a =Hipotenusa

cosecCatetoOpuesto

CatetoOpuestoatan

CatetoContiguoa

Hipotenusasec

CatetoContiguo

CatetoContiguoa

cosHipotenusa

CATETO

OPUESTO

A

CATETO CONTIGUO A

HIPOTENUSA

SENO COSECANTE

COSENO SECANTE

TANGENTE COTANGENTE

CatetoContiguoacot

CatetoOpuesto

12

35

H2 2 2H 12 35

TEOREMA DE PITÁGORAS

H 1369 37

sen

cos

tan 12373537

1235

cot

sec

csc 3512

37353712

EJEMPLO :

•SISTEMA SEXAGESIMAL• La circunferencia se divide en 360

partes iguales.

• Cada una de ellas es un grado sexagesimal.

• Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

• En la calculadora aparece con la denominación DEG

Notación:

30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’

MEDIDAS DE ÁNGULOS:

• RADIANES

R

R• Un radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia

• Una circunferencia mide 2p radios y como cada radio da lugar a un radián:

360º equivalen a 2p radianes

¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián?

360º ___________ 2p rad

xº ___________ 1 rad x = 360º/2p = 57,29º

• SISTEMA CENTESIMAL

0º

400º

100º

200º

300º

• Cada cuadrante se divide en 100 partes.

• En la calculadora aparece con la denominación GRA.

• Actualmente apenas se utiliza.

0

0

/6p

/p

Ángulos equivalentes :

Como 360º ____ 2p rad

entonces

180º ____p rad

90º ____ p/2 rad

30º ____ p/6 rad

60º ______2p/6 =p/3 rad

270º ______ 3p/2 rad

Ejemplo: Cuántos radianes son 300º

180º ____p rad

300º ____ x rad

entonces x=300º p /180º = 5p/3 rad

De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la

unidad.

De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos:

R = 1

αseny1y

αsen

Circunferencia goniométrica

αcosx1x

αcos

y'αtg1y'

αtgThalesaplicandoxy

αtg

senα=tgα

cosα

:

Observamos que entonces que

Construimos triángulos rectángulos semejantes que

contengan al ángulo a.Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo

que:

y y' y''

x x' x''

'x''y'

x'y'

xy

αtg

Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se

calculen.

Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo

diferencian de los demás ángulos.

SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

X

Y

O 1a

A

sen

a

cos a

sen

b

cos b

sen

g

cos g

sen

d

cos d

b

B

g

C

d

D

-1 0 1

El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores

mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1

1sen1

1cos1 -1

-1

1

++_ _

SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO

__ +

+

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

X

Y

O 1

A

a

tg a

cotg a

tg

b

cotg b

tg g

cotg g

tg d

cotg d

g

C

d

D

B

b

La tangente y la cotangente de un

ángulo puede tomar cualquier

valor .

tg

gcot

+_

+ _

TANGENTE Y COTANGENTE

Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad:

IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS

Como consecuencia de la primera igualdad se cumple:

-1 ≤ sen a ≤ 1

-1 ≤ cos a ≤ 1

Dividiendo ambos miembros entre cos2a:

Y dividiendo entre sen2a:

2 2sen α+cos α=1

2 2tg α+1=sec α2 21+cotg α=cosec α

senα=tgα

cosαComo hemos visto antes tenemos que

2

3

2 2cos 1sen

24cos 1

9 2 4 5

cos 19 9

5 5

cos9 3

tancos

sen

2 2 53tan

553

EJEMPLO 1 Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3 calcula el cos y tan

222

cos 13

22 0,63 1sen

2 1 0,3969 0,6031sen

0,6031 0,777sen

EJEMPLO 2 Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que

cos α=0,63 calcula el sen α y tan α

2

0,3969 1sen

2 2

cos

cos 1

sentag

sen

1 1 5cos

5 55

EJEMPLO 3 Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que

tagα=2 calcula el sen α y cosα

2 2 15cos 1 cos

5

2 2

2cos

cos 1

sen

sen

2cossen

52·

5sen 2 5

5sen

2 24cos cos 1

RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º

1

12

32

o30

(

)O60

1

1

2

o45

o45

(

)osen30

12

ocos 30

osen45 1 222

Triángulo rectángulo isósceles

ocos 45 1 222

Triángulo rectángulo mitad de un triángulo equilátero

osen 60

ocos 6012

32

32

otg45 1

otg30 otg6033

3

R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

sen

a

cos a

sen

a

sen

a

sen

a

sen

a

1

Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo

tanto

sen 90º = 1A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0

cos 90º = 0

Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1.

Es decir,

sen 0º = 0

cos 0º = 1radio=1

1

P(x,y)

O X

Y

a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º

Ángulo coseno seno tangente

0º 1 0 0

90º 0 1 ∞

180º - 1 0 0

270º 0 -1 ∞

(1,0)

(0,1)

(-1,0)

(0,-1)

1) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

+ =90a b º

=90b º - a

sen a = cos ( 90º - a )

cos a = sen ( 90º - a )

tg a = ctg ( 90º - a )

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

+ =180a b º =b180º - a

sen (180º - a ) = sen a

tg (180º - a ) = - tg a

cos (180º - a ) = - cos a

2) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 20 CUADRANTE

b) ÁNGULOS a y p/2 + a

sen ( p/2 + a ) = cos a

cos ( p/2 + a ) = - sen a

tg ( p/2 + a ) = - cotg a

a) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

a) a y 180º + a

sen (180º + a ) = - sen a

cos (180º + a ) = - cos a

tg (180º + a ) = tg a

b) a y 270 - a

sen (270º-a) = - cos a

cos (270º-a) = - sen a

tg (270º-a) = cotg a

3) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 3er CUADRANTE

c 20,88m

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

46o27

CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO

En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27º y la hipotenusa 46m. Halla los dos catetos

c

b

c

sen27º46

c 46·sen27º

b

cos 27º46

b 46·cos 27º b 40,99m

)

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

40

CASO 2 : DATOS ; LOS DOS CATETOS

17

17

tg 0,42540

arct g 0,425 23º1' 32 ''

Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17cm y 40cm. Hallar los ángulos del triángulo

90º 23º1' 32 '' 66º58 ' 28 ''

)

PROBLEMA 1. Cuando los rayos del sol forman 40º con el suelo, la sombra de un árbol mide de 18m. ¿Cuál es su altura?

PROBLEMA 2. Una escalera de 3m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forman la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

x

tg40º=18

x =18·tg40º

x =15,1m

1,2cosα=

3=0,4 α=arccos0,4

=66º25'19' '

ÁNGULOS VERTICALES

Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

HORIZONTAL

VISUAL

VISUAL

))

Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?

EJEMPLO :

SOLUCIÓN

) ) o37O53

70

h h

) O53x

) o37

+

htg53º=

xh

tg37º=x+70

hx =

tg53º

hx = - 70

tg37º

h h

= - 70tg53º tg37º

h h= - 70

1,33 0,75

0,75h=1,33h- 69,825 0,58h=69,825h=120,39m