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Matemática
Trigonometría
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ÍNDICE
1. Razones trigonométricas...................................... 6
2. Resolución de triángulos rectángulos............... 10
Ejercicios 2-1 ........................................................13
Hoja de respuestas 2-1 ........................................ 16 Ejercicios 2-2. Resolucion de triangulos
rectángulos (Aplicaciones del teorema de
Pitágoras) ............................................................. 18
Hoja de respuestas 2-2 ........................................ 21
Ejercicios 2-3 ........................................................23
Hoja de repuestas 2-3 ..........................................27
Ejercicios 2-4 ........................................................28
Hoja de respuestas 2-4 ........................................ 32
Ejercicios 2-5 ........................................................34
Hoja de respuestas 2-5 ........................................ 36
Ejercicios 2-6. Resolución de triángulos
oblicuángulos ....................................................... 37
Hoja de respuestas 2-6 ........................................ 43 3. Teorema del seno. Resolución de triángulos en
general .......................................................................45
Ejercicios 3-1 ........................................................48
Hoja de respuestas 3-1 ........................................ 52
Ejercicios 3-2 ........................................................55
Hoja de respuesta 3-2 ..........................................59
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4. Teorema del Coseno. Resolución de triángulos
en general.................................................................. 61
Ejercicios 4-1 ........................................................65 Hoja de respuestas 4-1 ........................................ 69
Ejercicios 4-2 ........................................................71
Hoja de respuestas 4-2 ........................................ 75
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1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
En un triángulo rectángulo podemos hallar la
medida de todos sus ángulos conociendo la ampli-
tud de uno de los ángulos agudos; ya que sabemos
que la suma de los ángulos interiores de un trián-
gulo es igual a 180º. También, conociendo dos de
sus lados podemos conocer la medida del tercero
aplicando el Teorema de Pitágoras.Es importante estudiar las razones trigonomé-
tricas porque nos permiten relacionar los lados
con los ángulos de un triángulo rectángulo.
Dado el triángulo abc :
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Por ejemplo: si consideramos el ángulo b , su
cateto opuesto es B y su cateto adyacente es C.
Nombraremos con letras minúsculaslos vértices y ángulos y con la mismaletra, pero mayúscula, el lado opuestoa cada ángulo.
a
b
cB
A C
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DEFINICIÓN DE LAS TRES RAZONES TRIGONO-
MÉTRICAS MÁS USUALES
Relación trigonométrica En símbolos
hipotenusa
opuestocatetob sen !
A
Bb sen !
hipotenusa
adyacentecatetob cos !
A
Cb cos !
adyacentecateto
opuestocatetob tg !
C
Bb tg !
Utilizando estas razones y ayudándonos con la
calculadora, podremos averiguar la amplitud de un
ángulo agudo del triángulo rectángulo conociendo
dos de sus lados.
Ejemplo:
! Dado el triángulo abc, y sabiendo que: A
= 16 cm y C = 10 cm , averiguaremos la
amplitud de los ángulos b y c
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9
5504º38c
0,625csen
cm16
cm10csen
A
Ccsen
"""!
!
!
!
a
b
c
A C
Para usar la calculadora debés ingresar el valor
del seno del ángulo 0,625 luego las teclas:
y obtenés el valor del ángulo en
sistema decimal, apretás otra vez y
y obtenés el valor del ángulo en grados sexagesima-
les
inv sen
inv º
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2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSRECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo significa cal-
cular la medida de sus lados y la amplitud de sus
ángulos.
Utilizaremos entonces las razones trigonomé-
tricas:
c
b a
Hipotenusa
Cateto
Cateto
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En cualquier triángulo rectángulo En el triángulo abc
hipotenusa
opuestocateto sen !#
ac
bc sen !#
hipotenusa
adyacentecateto cos !#
ac
ab cos !#
adyacentecatetoopuestocateto tg !#
ab
bc tg !#
Ejemplo resuelto
Observa los datos de la figura y los lados y án-
gulos restantes:
021
c
a b
3,4 cm
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Cálculo de la hipotenusa ( bc )
bc
abc sen !ˆ
bc
cm sen o 4,3
21 !
021
4,3
sen
cmbc !
36,0
4,3 cmbc !
cmbc 4,9!
Calculamos el valor del seno utilizan-
do la calculadora. Nos da como
resultado 0,3583674949 y aproxima-
mos a 0,36.
Despejamos la hipotenusa
Reemplazamos los datos de
la figura
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EJERCICIOS 2-1
E JERCICIO 1
Con los datos de la figura y los lados y ángulos
restantes:
E JERCICIO 2
Un pintor desea pintar la pared de una casa
cuya altura es de 4,5 m. Pero necesita saber a qué
distancia de la pared ubica la escalera para que no
c
34º
a
12 cm
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se caiga, sabiendo que la escalera forma un ángulo
de 62º con el piso.
E JERCICIO 3
En el aeropuerto realizaron un curso para me-
jorar el despegue de los aviones. Cuando el aviónforme un ángulo de 26º con la pista y haya reco-
rrido 345 m, tendrá un buen despegue. Queremos
saber: ¿cuánto debe medir el avión?
E JERCICIO 4
Leonardo remonta un barrilete junto con su
papá. La altura que alcanzó el barrilete es de 12 m
y el ángulo que forma el hilo del barrilete con el
piso es de 29º. Calculá ¿cuánto hilo debió soltar
para que el barrilete se encuentre a esa altura?
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E JERCICIO 5
Tras la fuerte tormenta un poste 3,8 m de luz
se ha quebrado por la mitad. Y el ángulo que que-
dó formado por las dos partes del poste es de 47º
21´. Calculá la distancia entre la base del poste y la
punta que quedó en el piso.
E JERCICIO 6
Cuando llega el atardecer y el sol se encuentra
a 15º del horizonte, un árbol da una sombra de 23
m . Calculá la altura del árbol.
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HOJA DE RESPUESTAS 2-1
E JERCICIO 1
º56ˆ !b
mab 71,6!
mac 94,9!
E JERCICIO 2
La distancia entre la pared y la escalera es de 2,
4 m
E JERCICIO 3
El avión debe medir 387,6 m
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E JERCICIO 4
El hilo debe medir 25 m
E JERCICIO 5
La distancia entre la base del poste y la punta
que quedó en el piso es de 1,39 m
E JERCICIO 6
La altura del árbol es de 6,16 m
Nota: Todos los resultados están aproximados
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EJERCICIOS 2-2. RESOLUCION DETRIANGULOS RECTÁNGULOS
(APLICACIONES DEL TEOREMADE PITÁGORAS)
E JERCICIO 1
Lucas viaja 8 km al Norte, 3 km al Oeste, 7
km al Norte y 12 km al Este.
¿A qué distancia está Lucas del punto de partida?
E JERCICIO 2
Un alambre de 18 cm está doblado formando
la siguiente figura:
B
A
3 cm
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# Calculá la distancia de A a B.
E JERCICIO 3
La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene
una medida de 18 cm, y uno de los catetos mide12 cm.
¿Cuánto mide el otro cateto?
E JERCICIO
4Una escalera de 2,5 m de largo se coloca co-
ntra una pared con la base a 90 cm de la pared.
¿A qué altura del piso está la parte más alta de
la escalera?
E JERCICIO 5
Hallá la diagonal de un rectángulo cuyos lados
tienen una longitud de 10 y de 8.
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Recordá que:
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-
drados de los catetos
c
b a
Hipotenusa
Cateto
Cateto A
CatetoC
B
(Hipotenusa)2 = (Cateto A)2 + (Cateto B)2
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HOJA DE RESPUESTAS 2-2
E JERCICIO 1
Se encuentra a una distancia de 17,5 km
aproximadamente.
E JERCICIO 2
cm , AB 499$
E JERCICIO 3
El otro cateto mide aproximadamente 21,6 cm
E JERCICIO 4
Aproximadamente 2,66 m
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E JERCICIO 5
12,8 m
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EJERCICIOS 2-3
E JERCICIO 1
En el triangulo abc, te damos los siguientes
datos:
%&
%'(
!
!
32ºb
4cmac
ˆ
a- Calculá la medida del lado ab .
b- Calculá la medida del lado bc
a b
c
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E JERCICIO 2
El aula de Matías tiene la forma de un parale-
lepípedo, y está representada por el cuerpo de
color verde que figura más abajo. Se sabe que el
largo, el ancho y la altura de la habitación son
m12cd ym4bc m;5ab !!!
respectivamente.
# Calculá la diagonal ad del aula de Matías
c
b
d
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E JERCICIO 3
Dada una caja rectangular de 8 cm de largo, 6
cm de ancho y 11 cm de diagonal.
# Hallá la altura de la caja.
E JERCICIO 4
Teniendo en cuenta los datos que aparecen en
la figura.
# Hallá el valor de d
12 cm
35º
d
10º
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E JERCICIO 5
Sabiendo que en un triángulo isósceles la base
mide 5cm y el lado 15cm.
# Calculá la altura del triángulo.
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HOJA DE REPUESTAS 2-3
cmmenteaproximadamidealtura La
cmd
cmmenteaproximadamidealtura La
cmad
cmbc
cmab
5Ejercicio
4Ejercicio
3Ejercicio
2Ejercicio
-b
-a
1Ejercicio
79,14
37,8
6,4
6,13
54,7
4,6
$
$
$
$
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EJERCICIOS 2-4
1- Calculá los lados y ángulos de un rombo
cuyas diagonales miden 8cm y 6cm respectiva-
mente.
2- Hallá la distancia del punto "a" a la recta R.
3- Un árbol y un observador se encuentran en
orillas opuestas de un río. El observador mide el
ángulo que forma la visual desde el suelo con el
punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede
40º
a
ºR
45 metros
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10 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo un re-
sultado de 25º. ¿Qué altura tiene el árbol?
4- Hallá la altura de una antena de radio si su
sombra mide 100m cuando los rayos del Sol for-
man un ángulo de 30º con la horizontal.
5- Para conocer la altura de una torre hemos
medido el ángulo de elevación desde el suelo al
punto más alto, obteniendo un resultado de 43º.
Al acercarnos 15m hacia la torre, obtenemos un
nuevo ángulo de 57º. ¿Cuál es la altura de la torre?
6- Desde un acantilado de 50m se ve un barco
bajo un ángulo de 70º. ¿A qué distancia se encuen-
tra el barco?
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7- Para determinar la altura de un poste nos
hemos alejado 7m de su base, hemos medido el
ángulo que forma la visual al punto más alto con
la horizontal, obteniendo un valor de 40º. ¿Cuánto
mide el poste?
8- Al aproximarse una patrulla de reconoci-miento a un edificio situado en una llanura, obser-
va un objeto situado en la terraza del mismo con
un ángulo de elevación de 10°. Luego de avanzar
200 metros en línea recta hacia la construcción,
observa al objeto con un ángulo de elevación de
15°. ¿Cuál es la altura del edificio y cuánto reco-
rrió desde que comenzó la observación hasta lle-
gar al edificio?
9- Dos boyas son observadas en la dirección
Sur desde lo alto de un acantilado cuya parte supe-
rior está a 312 m sobre el nivel del mar. Hallá la
distancia entre las boyas si sus ángulos de depre-
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sión medidos desde la punta del acantilado son de
46° 18’ y 27° 15’ respectivamente.
10- Los ángulos iguales de un triángulo isósce-
les son de 35° y la base es de 393,18 cm. Hallá los
demás elementos del triángulo y calculá su super-
ficie.
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HOJA DE RESPUESTAS 2-4
1) Los lados miden 5 cm. Cada uno y los án-
gulos miden: 6351106 """) , 324473 """) .
2) La distancia del punto a a la recta R es de
aprox. 45,95 metros.
3) Aproximadamente 13,9 m.
4) La altura es aproximadamente 57,75 me-
tros.
5) La altura de la torre es aproximadamente35,9 metros.
6) El barco se encuentra a 146,2 metros.
7) La altura del poste es aproximadamente de
5,87 m.
8) La altura del edificio es de 103,13 m
aproximadamente. La distancia total recorrida
fue de 584,89 metros aprox.
9) La distancia entre las boyas es 307,64 m
aprox.
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10) El ángulo que falta mide 110º, los lados
iguales del triángulo isósceles miden
240cm. La superficie del triángulo es :
27061,36 cm2.
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EJERCICIOS 2-5
E JERCICIO 1
Una escalera de 6 m está apoyada contra un muro
vertical, de forma que la base está separada 2 m
del muro.
# Calculá el ángulo que forma la escalera con
el muro.
E JERCICIO 2
Un barco navega durante 35 Km, con un rumbo
de 42º respecto del eje este-oeste, hacia el noreste.
a- ¿Cuánto ha avanzado hacia el Norte?
b- ¿Cuánto ha avanzado hacia el Este?
E JERCICIO 3
Un avión despega formando un ángulo de 30º con
el piso.
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# ¿Cuál será la distancia recorrida por la
sombra del avión, sobre la pista, cuando el
avión haya recorrido 800 m de vuelo desdeel punto de elevación?
E JERCICIO 4
Cuando el Sol se encuentra a 20º sobre elhorizonte
# ¿Cuánto medirá la sombra que proyecta
una torre de 62 m de altura?
62m
20º
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HOJA DE RESPUESTAS 2-5
Los resultados son aproximados a dos decimales
E JERCICIO 1
# =19º 28’ 16”
E JERCICIO 2
a- 23,42 Km.
b- 26,01 Km.
E JERCICIO 3
692,82 m
E JERCICIO 4
x =170,34 m
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EJERCICIOS 2-6. RESOLUCIÓN DETRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
E JERCICIO 1
Un chico juega con un mecano que tiene pie-zas de 12cm y 7 cm de largo. Con dos piezas de
cada clase arma un rectángulo y lo va deformando
convirtiéndolo en paralelogramo.a) ¿Cuánto miden los ángulos del paralelogramo
cuando su área es de 60 cm2?
b) ¿Cuánto miden las diagonales de este paralelo-
gramo?
c) Encontrá una expresión general que te permita
calcular un ángulo del paralelogramo en fun-
ción del área del mismo.
E JERCICIO 2
Para construir la cara de un payaso una Danie-
la usa un círculo de cartulina de 8 cm de diámetro.
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El bonete lo arma con un triángulo equilátero que
tiene sus lados tangentes al círculo, con sus vérti-
ces A y B sobre el borde de dicho círculo. ¿Cuál esla superficie total de la cartulina utilizada?
E JERCICIO 3
Sebastián juega con dos espejos y una linterna.Coloca los espejos con un borde en común, for-
mando un ángulo de 130º. ¿Qué ángulo debe dar
al rayo de luz para que después de reflejarse en
uno de los espejos el rayo reflejado sea // al otro
espejo.
E JERCICIO 4
En la clase de actividades prácticas se pide a
los alumnos que construyan y recorten un cuadra-
do, que lo doblen por la diagonal y que luego
construyan otro cuadrado con dicha diagonal co-mo lado. ¿Qué relación existe entre las áreas de
ambos cuadrados.
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E JERCICIO 5
Dos motociclistas parten del punto en el quese bifurcan dos carreteras rectas que forman un
ángulo de 55º. Viajan a 90 km/h y a 120 km/h,
respectivamente. ¿A qué distancia se encuentran
uno del otro al cabo de 3 minutos?
E JERCICIO 6
Hallá el valor de los ángulos interiores del
triángulo de la figura sabiendo que los radios
de los tres círculos son 40,6 cm; 1 m y 1,64 m
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E JERCICIO 7
Los ratones han comido parte de una piezatriangular de cartón. Calculá las longitudes de los
lados de la pieza a partir de lo que ha quedado de
la pieza.
E JERCICIO 8
Dos lanchas salen de un embarcadero en di-
recciones que forman un ángulo de 70º, con velo-cidades respectivas de 50 km/h y 40 km/h. ¿A
qué distancia estarán una de la otra al cabo de 2
minutos?
120 cm
85º 50º
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E JERCICIO 9
A un ebanista le han encargado un tablerotriangular pero sólo conoce dos de las de longitu-
des de los lados, 1 m y 1,75 m respectivamente, y
el ángulo opuesto al primero de 30º. ¿Cuál es la
superficie y perímetro del tablero?
E JERCICIO 10
El radar de un buque de guerra detecta un
barco enemigo en dirección este a 8 km de distan-
cia y otro en dirección exactamente noroeste a 6
km. ¿Cuánto distan entre sí los dos barcos detec-
tados?
E JERCICIO 11
Un jugador de golf lanza una pelota desde la
posición de salida de un hoyo, distante 350m, yalcanza una distancia de 180m. Pero el golpe ha
sido defectuoso y la dirección de la pelota forma
un ángulo de 20º respecto de la dirección hacia el
hoyo . ¿A qué distancia del hoyo ha quedado su
pelota?
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E JERCICIO 12
Dos observadores, distantes 5 km entre sí, di- visan un OVNI (Objeto Volador No Identificado)
dirigiendo sus prismáticos con ángulos de eleva-
ción respectivos de 80º y 65º. ¿A qué altura se
encuentra el OVNI?
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HOJA DE RESPUESTAS 2-6
1-
a) Los ángulos miden 45º35´05´´ y
134º24´55´´ respectivamente
b) Las diagonales miden 17,61cm y 8,69 cm
respectivamente
c)Expresión general:1.l b
Aarcsen!# siendo:
A = área; b = base;y l1 = uno de los lados
2- El área total es de 65,51cm2
3- El ángulo debe ser de 50º respecto de la
superficie normal en la que se refleja
4- El cuadrado formado por la diagonal tiene
un área igual al doble del área del cuadrado inicial.
5- Se encuentran separados a 5 km.
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6- Las medidas de los ángulos son:
6341º83 """!
c
!
, 7455º31 """!
a
!
y 7394º64 """!
b
!
.7- Los lados miden respectivamente 130 cm
y 169 cm.
8- Al cabo de ese tiempo estarán separadas a
4,71 km aproximadamente.
9- La superficie del tablero es de 0,875 m2 y
el perímetro es de 4,75 m aprox.
10- Distan entre sí 13 km.
11- La pelota quedó aproximadamente a 191
metros de distancia.
12- El OVNI se encontrará a 7,77 km
aproximadamente de altura.
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3. TEOREMA DEL SENO. RESO-LUCIÓN DE TRIÁNGULOS EN
GENERAL
Así como las razones trigonométricas se utili-
zan para resolver triángulos rectángulos, el teore-
ma del seno y el teorema del coseno se utilizan
para resolver tanto los triángulos acutángulos (con
los tres ángulos agudos), o bien, los triángulos
oblicuángulos ( dos ángulos agudos y uno obtuso).
csen
C
bsen
B
asen
A!!
Es una proporción entre los lados de un triángulo
y los senos de los ángulos opuestos.
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E JEMPLO
! Calculá el ángulo b sabiendo que B=6
cm, C= 3 cm y c = 29º
A
B
C
b
a c
Recordá:
El teorema del seno resuelve un triángulo:
$ conociendo dos ángulos y el lado opuesto
a uno de ellos;
$ dos ángulos y el lado comprendido entre
ellos;
$ dos lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos.
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47
! En este ejercicio estamos en el caso de doslados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
De las proporciones del teorema del seno
º75ˆ3
º29.6ˆ
º29
3
ˆ
6
ˆˆ
!*+ ,
-./
0 !
*!*!
Bcm
sencmarcsen B
sen
cm
b sen
cm
c sen
C
b sen
B
b
c
a A
B
C
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48
EJERCICIOS 3-1
E JERCICIO 1
! Sabiendo que en un triángulo el lado B =
4 cm, el lado A= B5
3 , y a =26º. Calculá la
amplitud de los ángulos .cyb
E JERCICIO 2
Resolvé el triángulo abc, sabiendo que A =
62,5 cm; a = 112º 20´ y c = 42º 10´
a
AC
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49
E JERCICIO 3
Sabiendo que C = 25cm, a = 35º y b= 68º ;calculá los elementos restantes del triángulo
abc.
E JERCICIO 4
Resolvé el triángulo abc sabiendo que C= 628
mm, B = 480mm y c = 55º 10´
E JERCICIO 5
a y b son dos puntos localizados en las márgenes
de un río. Desde a se traza una línea ac = 275 m
y se miden los ángulos bac ˆ = 125º 40´ y bca ˆ =
48º 50´. Encontrá la longitud de ab .
E JERCICIO 6
Resolvé el triángulo abc, sabiendo que A = 525
cm, C= 421 cm y a = 130º 50´.
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50
E JERCICIO 7
Una remisería tiene 3 sucursales a, b, c. Se sabe
que la distancia entre b y c es 17 m y entre a y c
es 14 m, el ángulo cab ˆ = 30º. Calculá cba ˆ
E JERCICIO 8
Dados los siguientes datos calculá lo que co-
rresponda:
a) C = 189 cm, A =150 cm, c = 85º18 ´´.
Calculá el ángulo a
b) a = 28º 18´, b= 56º 48´, A = 32, 3 cm .
Calculá el lado B.
c) a = 42.45º, A = 315, 2 cm , B = 457,8 cm.
Calculá el ángulob
.
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E JERCICIO 9
Resolvé los siguientes triángulos oblicuángulos,
dados:
a) a = 54º 40´, A = 125 cm, b = 65º 10´
b) a = 75º 20´, B = 321 cm, c = 38º 30´
c) bˆ
= 42º 40´, C = 150 cm, B = 215cmd) a = 48º 50´, B = 426 cm, A = 512cm
e) b = 118º 30´, B = 50,4 cm, C = 33,3 cm
f) b =112º 20´, B = 40,2 cm, A = 31,5cm
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HOJA DE RESPUESTAS 3-1
E JERCICIO 1
b = 47º c =107º
E JERCICIO 2
b =25º 30´, B = 29,1 cm, C = 45,4 cm
E JERCICIO 3
c =77º, A = 15 cm, B = 24 cm
E JERCICIO 4
b = 38º 50´, a = 86º , A = 764 mm
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E JERCICIO 5
La longitud de ab es 2160 m
E JERCICIO 6
c= 37º 20´,
b= 11º 50´, B = 142 cm
E JERCICIO 7
b = 35º ó b = 145º
E JERCICIO 8
a) a = 52º 17´
b))B = 65,7cm
c) b = 78º ó b = 101,39º
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E JERCICIO 9
a) c = 60º 10´ B =139 cm, C = 133 cm
b) b = 66º 10´, C = 218 cm, A = 339 cm
c) c = 28º 10´, a = 109º 10´, A = 300 cm
d) c = 92º 20´, b = 38º 50´, C = 680cm
e) a = 26º , c = 35º 30´, A = 25,1 cm
f) a = 46º 30´, c = 21º 10´, C = 15,7 cm
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EJERCICIOS 3-2
E JERCICIO 1
El astrónomo Pitágoras sabía que la distancia
entre la estrella ‘alfa centauro’ y la luna es de 7 cm
y º50ˆyº60ˆ !! 1 #
# ¿A qué distancia se encuentra la estrella
alfa centauro de la Tierra?
#
ˆ
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E JERCICIO 2
El cuidador del faro sabe que la distancia des-
de el mirador hasta la cabaña es de 15 m y hasta la
montaña es de 6 m. Si el ángulo º120ˆ !#
# Calculá 1 .
E JERCICIO 3
Mariano juega fútbol americano y para poder
realizar un “gol” utiliza algunas estrategias. Sabe
ˆ
# ˆ
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(por experiencia) que la distancia entre su compa-
ñero más cercano es de 8 m aprox. Y que
º42ˆ º57ˆ !! 1 # y .
# ¿A qué distancia se encuentra del “arco”?
E JERCICIO 4
Con los datos que aparecen en la figura del
triángulo abc
# Calculá el lado ac .
#
1 com añero
arco
b
a c
52º
81º
10 cm
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E JERCICIO 5
Dados los siguientes datos del triángulo abc
%&
%
'
(
!!
!
cmbc
b
a
5
67ˆ
º63ˆ
# Calculá el lado el lado ac .
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HOJA DE RESPUESTA 3-2
E JERCICIO 1
La distancia entre la estrella alfa centauro y la
Tierra es de 6,19 cm
E JERCICIO 2
1 =20,3º
E JERCICIO 3
Mariano se encuentra a 6,38 m del arco
E JERCICIO 4
ac=12,5 cm
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E JERCICIO 5
ac=5,1 cm
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4. TEOREMA DEL COSENO. RE-SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS EN
GENERAL
Así como las razones trigonométricas se utili-
zan para resolver triángulos rectángulos, el teore-
ma del seno y el teorema del coseno se utilizan
para resolver tanto los triángulos acutángulos (con
los tres ángulos agudos), o bien, los triángulos
oblicuángulos ( dos ángulos agudos y uno obtuso).
TEOREMA DEL COSENO
ccos.B. A.2B AC
ccos.C.B. A.2C AB
acos.C.B.2CB A
222
222
222
23!
23!
23!
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E JEMPLO
Dados los lados ab = 20cm, ac =12cm y el
ángulo a = 100º, calculá todos los elementos res-
tantes del triángulo.
b
caB
AC
Recordá que:
Este teorema resuelve los siguientes casos
que se conozcan:
2 lados y el ángulo que forman entre ellos
3 lados
c
a
b
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R ESOLUCIÓN
! Cálculo de bc
cm25bc
cm35.627bc
)17.0.(cm480cm144cm400bc
º100cos.cm12.cm20.2)cm12()cm20(bc
acos.ac.ab2acabbc
22
2222
222
222
$
!
223!
23!
23!
4 Cálculo del ángulo b
4
´´532º52ˆ
ˆcos615.0
ˆcos.600769400
ˆcos.600625144400
ˆcos.25.12.2)25()12()20(
ˆcos..2
22
222
222
222
!
!
2!
23!
23!
23!
b
b
bcmcm
bcmcmcm
bcmcmcmcmcm
bbcacbcacab
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! Cálculo del ángulo c
´´37´57º27ˆ
º180ˆ´´232º52º100º180ˆ
ˆˆ
!
!33!33
c
ccba
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EJERCICIOS 4-1
E JERCICIO 1
! Calculá c, sabiendo que
º42c
cm12 Acm30B
!
!!
E JERCICIO 2
Resolver el triángulo abc, sabiendo que
A = 132 cm, B = 224 cm y c = 28º 40´
b
a
AC
c
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E JERCICIO 3
Dados A = 322 cm , C = 212 cm y b = 110º
50 ´, resolvé el triángulo abc.
E JERCICIO 4
Dados A = 25,2 cm, B = 37, 8 cm y C = 43,4
cm, resolvé el triángulo abc.
E JERCICIO 5
Resolver el triángulo abc, sabiendo que A =
30,3 cm, B = 40,4 cm y C = 62,6 cm.
E JERCICIO 6
Se quiere calcular las distancias de un punto c
a los puntos a y b, pero no se pueden medir direc-
tamente.
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El segmento ca se prolonga hasta el punto d
una distancia de 175m.
La prolongación del segmento cb llega hasta
un punto e a una distancia de 225 m, respecto de
b.
Sabiendo que ab = 300 m, db = 326 m y
de = 488 m, calcular ac y bc .
b
c
a
d
e
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E JERCICIO 7
Con los datos de cada ejercicio:
a) b= 30º, A = 17 cm, C = 14 cm. Encontrá
el lado B
b) c = 108º ; A = 25,7 cm, B = 38,7 cm. En-
contrá el lado C
c) Hallá la amplitud del ángulo b sabiendo, A
= 7,6 cm, B = 4,8 cm, C = 7,1cm
E JERCICIO 8
! Resolvé los triángulos oblicuángulos con
los siguientes datos:
a) a = 118º 40´, C = 270 cm, B = 120 cm.
b) A = 24,5 cm, B =18,6 cm, C = 26,4 cm
c) A = 6,34 cm, B = 7,30 cm, C = 9,98 cm
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HOJA DE RESPUESTAS 4-1
E JERCICIO 1
C = 22,6 cm
E JERCICIO 2
a = 30º 30´, b = 120º 40´, C = 152 cm
E JERCICIO 3
a = 42º 40´, c = 26º 30´, B = 444 cm
E JERCICIO 4
a = 35º 30´, b= 60º 10´, c = 84º 30´
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70
E JERCICIO 5
a = 23º 40´, b= 32º 20´, c = 124º
E JERCICIO 6
ac= 145 m,
bc= 350 m
E JERCICIO 7
a) B= 8,5 cm
b) C = 14,3 cm
c) b= 38º
E JERCICIO 8
a) c = 43º 30´, b= 17º 50´, A = 344 cm
b) a = 63º 10´, b= 42º 40´, c = 74º 10´
c) a = 39º 20´, b= 46º 50´, c = 93º 50´
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EJERCICIOS 4-2
E JERCICIO 1
Sergio estudia Dirección de Cine, y está reali-
zando una puesta en escena; el actor “a” se en-cuentra a 5 m del actor “b” y éste a 8 m de la cá-
mara; el ángulo b =112º.
¿A qué distancia se encuentra el actor “a” de la
cámara ?
a
b
c
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E JERCICIO 2
Marisa esquía en un circuito de Bariloche.Lleva recorrido 6 m de la pista( ac ), le faltan dos
tramos el primero de 5 m ( bc ) y el segundo de 7
m ( ab ). Para empezar el primer tramo debe do-
blar con el ángulo ( c ) lo más preciso posible
¿Cuánto mide ese ángulo?
E JERCICIO 3
En una agencia de viajes hay una promoción
de un tour que consiste en visitar Argentina, Brasil
y Canadá. Verónica observa un mapa de América
y obtiene la siguiente información (en escala).La
a
b
c
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distancia entre Argentina y Brasil es de 5 cm; la de
Argentina y Canadá es de 7 cm y el ángulo b mide
60º.Calculá la distancia entre Brasil y Canadá (en
escala)
E JERCICIO 4
La torre de Pisa está sufriendo una inclina-ción; la altura de la torre es de 8 m ( ba ); la “dis-
tancia” desde el mirador hasta un cierto punto del
suelo es de 7m ( bc ) y el ángulo que queda deter-
minado mide 47º.
Calcular la longitud ac
a
c
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E JERCICIO 5
Con los datos que aparecen en la figura, calculá
el lado ab
a
b
c
´24º42
5 cm
8 cm
a
b c
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HOJA DE RESPUESTAS 4-2
E JERCICIO 1
El actor “a” se encuentra a 10,9 m de la cámara
E JERCICIO 2
El ángulo mide c=78º 27´47´´
E JERCICIO 3
La distancia entre Brasil y Canadá es de 8 cm (en
escala).
E JERCICIO 4
La longitud de ac es de 6,05 m
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E JERCICIO 5
ab =5,47