Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación

trabajo 4“la aplicación de la integral

indefinida”Integrantes de grupo:

• GASPAR AROTINCO HUGO• FABIAN MEJIA

• KAQUI ROQUE LENINProfesor:

BERNAL SANTILLAN, RAUL AUGUSTOSección:C111- D

2015-II

INTRODUCCIÓN• Teóricamente el concepto y la forma de aplicar y

calcular un integral definida es uno de esos conceptos claves, tanto por las ideas implicadas en su definición como por las múltiples aplicaciones que tiene al interior o al exterior de la matemática. Por lo tanto ningún concepto se aprende en matemática de una sola vez y para siempre existe todo un proceso de aprehensión por parte del sujeto. La matemática es la ciencia de los resultados exactos; esto no debe llevar sin embargo a olvidarse o mirar con desdén las aproximaciones ya que las mas de las veces, son el camino que nos hacen posible llegar a lo exacto; son también quienes nos posibilitan comprobar resultados

INTEGRAL INDEFINIDA

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:F'(x) = f(x).Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)Integral indefinidaIntegral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.Se representa por ∫ f(x) dx.Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:∫ f(x) dx = F(x) + CPara comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA A LA FÍSICA

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo. Con una velocidad inicial de 20 m/s como se

muestra en la figura.1.-¿Cuánto tiempo tardara la pelota en

llegar al suelo y con que velocidad llagará?.

2.-¿Cuánto tiempo estará subiendo la pelota y que tan alto llegará?

SOLUCIÓNCONDICIONES INICIALES:

V =20 m/s cuando t =0 y s =0 cundo t = 0 y la gravedad g =10m/s

Donde:

S = la posición de la pelota ala cabo de t segundos.

V = la velocidad de la piedra en t segundos.

a = -g: la aceleración de la gravedad, quela consideramos constante.

dv = -10 dt por lo tanto ∫ dv =∫- 10 dt

v = -10t +c

si v =20 cuando t = 0

20 = -10(0)+c

C = 20

Por lo tanto se tiene que la velocidad en cualquier instante

1 V = -10t + 20

Pero v = y en consecuencia = -10t+ 20

ds = (-10t + 20) dt

Pero v = =-10 t + 20

Donde integrando a ambos lados obtenemos

ds =(-10t + 20)dt

∫ ds =∫ (-10t + 20)dt

S= -5t² + 20t + c₁

Como s = 0 cuando t0 0, deduce que c₁= 0

Es decir, la ecuación de movimiento en cualquier instante t es:

2 S =5t² + 20 t

Con las ecuaciones 1 y 2 podemos responder la s siguientes preguntas planteados en el problema

TIEMPO DURANTE EL CUAL ESTA SUBIENDO LA PELOTA Y MÁXIMA ALTURA ALCANZADA

Hacemos v =0 en la ecuación (1)

entonces 0 =-10t +20

t= 2s

Y si este valor de t lo remplazamos en (2) obtenemos la altura alcanzada por al pelota es decir:

S = -5t(2²) + 20(2) = 20 m

TIEMPO PARA LLEGAR AL SUELO Y LA VELOCIDAD CON QUE LLEGARÁ

Hacemos S = 0 en la ecuación (2)

Entonces, o = -5t²+ 20t

Donde t = 0s y t =4 s

Es decir t = o en el momento en iniciar el movimiento

t =4s es el tiempo que demora la piedra en caer al suelo.

Por lo tanto v = -10(4) + 20 = 20 m/s.

CONCLUSIÓN

• La piedra estará subiendo durante 2 segundos y alcanzar{a una altura máxima de 20 metros.

• La piedra tardará 4 segundos en llegar al suelo y llegará con una velocidad de -20 m/s.

• El calculo integral hace una función importante en nuestra vida diaria o cotidiana frente a nuestra labor o profesión.