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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
METODOS NUMRICOS
TRABAJO COLABORATIVO 2
GRUPO 100401A_220
UNIVERSIDAD NACIONAL A DISTANCIA (UNAD)ABRIL de 2015
TABLA DE CONTENIDOContenidoINTRODUCCION3DIFERENCIAS DE LOS SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES4CUADRO COMPARATIVO SISTEMAS LINEALES6ELIMINACIN DE GAUSS7GAUSS-JORDAN8MTODO DE GAUSS-SEIDEL10DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON12CONCLUSIONES13REFERENCIAS14
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
1
INTRODUCCION
El presente trabajo define los conceptos de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, con sus respectivos ejemplos explicando los conceptos, adicionalmente se presenta un cuadro comparativo de las ventajas y desventajas de los sistemas lineales; Se presenta el sistema de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel de agua que se presenta en la gua. Se presentan los sistemas de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel de agua por cada mtodo: Eliminacin de gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel. Se presenta el proceso para calcular el polinomio de diferencias divididas de newton.
DIFERENCIAS DE LOS SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES
LinealesTeniendo en cuenta que la matemtica es una ciencia que nos da las herramientas para poder solucionar operaciones, problemas de la vida real, y entre otras situaciones a las que vamos a enfrentarnos en la vida, entonces las ecuaciones lineales son la forma ms comn de resolver problemas, y las no lineales las vemos como ms complicadas y enredadas, pero en realidad es porque no conocemos los conceptos para poder solucionar de esa manera.Tipos de ecuaciones Si tenemos en cuenta el exponente de la variable.EJEMPLO
x - 9 = - 12x - 9 + 9 = -12 + 9x = - 3
-4x = 36-4x/-4 = 36/-4x = -9
x/8 = -28.x/8 = (-2)(8)x=-16
Esta es una ecuacin cubica, podemos analizar que X en la ecuacin es considerada como la entrada y que Y es considerada la salida, la ecuacin lineal, cualquier aumento en la "x" o bien provoca un aumento o una disminucin en "y" dependiendo del valor de la pendiente.
No linealesEjemplos
La relatividad generalLas Ecuaciones de Navier-Stokes de dinmica de fluidosLa ptica no linealEl sistema del clima en la TierraEl balanceo de un uniciclo robotLa ecuacin de transporte de BoltzmannLa ecuacin de Korteweg-de VriesLa ecuacin no lineal de Schroedinger
CUADRO COMPARATIVO SISTEMAS LINEALESEcuaciones linealesEcuaciones no lineales
Es un procedimiento de igualdad.El sistema al menos tiene una ecuacin que no es de primer grado.
Es una ecuacin que involucra suma y restas y de una variable.Cuando se quiere resolver este sistema se hace por medio de sustitucin.
Los sistemas lineales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan su estudio y anlisis.Los sistemas no lineales son ms difciles de analizar.
Tiene homogeneidad.Las ecuaciones no lineales son de inters en fsica y matemticas debido a que la mayora de los problemas fsicos son implcitamente no lineales en su naturaleza.
Tiene Aditivita.Para poder resolver cualquier ecuacin se necesita decidir en qu espacio matemtico se encuentra la solucin u.
Tiene invariabilidad en el tiempo.Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones.
Es un sistema que permite a los investigadores hace suposiciones matemticas y aproximaciones.Representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable con una suma de los comportamientos de sus descriptores.
Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposicin de otras soluciones de la misma ecuacin.existen muchas herramientas para analizar ecuaciones no lineales, por mencionar algunas tenemos: dinmica de sistemas, teorema de la funcin implcita y la teora de la bifurcacin
MTODO ELIMINACIN DE GAUSSTIEMPO4914X
NIVEL DEL AGUA %145079P(X)
Sistemas de ecuaciones del problema:
Obtenemos un nuevo sistema con las siguientes ecuaciones: (1)
(2)
(3)
De la ecuacin 3 del sistema se obtiene con la variable
De la ecuacin 2 del sistema se obtiene con la variable
De la ecuacin 1 del sistema se obtiene con la variable
Respuesta:
METODO GAUSS JORDAN
TIEMPO4914X
NIVEL DEL AGUA %145079P(X)
Sistemas de ecuaciones del problema:
Solucin:
Escribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz.
Matriz Original
141614
198150
11419679
La Fila 1 se divide por 1
141614
198150
11419679
A la Fila 2 le sumo la Fila 1 multiplicada por -1
141614
056536
11419679
A la Fila 3 le sumo la Fila 1 multiplicada por -1
141614
056536
01018065
La Fila 2 se divide por 5
141614
01137.2
01018065
A la Fila 3 le sumo la Fila 2 multiplicada por -10
141614
01137.2
0050-7
La Fila 3 la divido por 50
141614
01137.2
001-0.14
A la Fila 2 le sumo la Fila 3 multiplicada por -13
141614
0109.02
001-0.14
A la Fila 1 le sumo la Fila 3 multiplicada por -16
14016.24
0109.02
001-0.14
A la Fila 1 se le suma la Fila 2 multiplicada por -4
100-19.84
0109.02
001-0.14
Resultado:
x1= -19.84
x2= 9.02
x3= -0.14
MTODO DE GAUSS-SEIDEL. OPCION 1
Despejar X
Despejar Y
Despejar Z
Primera iteracin se sustituye con el valor 0
Segunda iteracin
Tercera iteracin
Cuarta iteracin
Se cumple la condicin a la 4 iteracin.IteracinXYZ
000
1
2
30,358
40,358
METODO GAUSS SEIDEL. OPCION 2Sistemas de Ecuaciones:
Despejando la variable de cada ecuacin
Primera Iteracin:Valores Arbitrarios:
Errores:
Se toma el mximo valor % en esta caso es 100, el mximo valor debe ser cercano a cero para que cumpla la condicin. Segunda IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-2,7346944
x25,446144889
x30,028003398
ERRORES
E X16,119402007 X 100611,9402
E X20,265535515 X 10026,553552
E X30,639743878 X 10063,974388
No se cumple la condicinSegunda IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-8,232633919
x26,218262078
x30,000902882
ERRORES
E X10,667822664 X 10066,782266
E X20,12416929 X 10012,416929
E X330,01557573 X 1003001,5576
No se cumple la condicinTercera IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-10,88749442
x26,757151222
x3-0,024043993
ERRORES
E X10,243844947 X 10024,384495
E X20,079750937 X 1007,9750937
E X31,03755124 X 100103,75512
No se cumple la condicinCuarta IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-12,643901
x27,176829384
x3-0,045059747
ERRORES
E X10,138913344 X 10013,891334
E X20,05847682 X 1005,847682
E X30,466397506 X 10046,639751
No se cumple la condicinQuinta IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-13,98636159
x27,515133453
x3-0,062375034
ERRORES
E X10,095983547 X 1009,5983547
E X20,045016375 X 1004,5016375
E X30,277599649 X 10027,759965
No se cumple la condicin
Sexta IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-15,06253326
x27,790545673
x3-0,076556664
ERRORES
E X10,071446924 X 1007,1446924
E X20,035352109 X 1003,5352109
E X30,185243568 X 10018,524357
No se cumple la condicinSptima IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-15,93727607
x28,015373984
x3-0,088152856
ERRORES
E X10,054886594 X 1005,4886594
E X20,028049635 X 1002,8049635
E X30,131546409 X 10013,154641
No se cumple la condicinOctava IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-16,65105024
x28,19904795
x3-0,09763072
ERRORES
E X10,042866616 X 1004,2866616
E X20,022401865 X 1002,2401865
E X30,097078707 X 1009,7078707
No se cumple la condicin
Novena IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-17,23410029
x28,349132065
x3-0,105376268
ERRORES
E X10,033831185 X 1003,3831185
E X20,017976014 X 1001,7976014
E X30,07350373 X 1007,350373
No se cumple la condicin todava, se va acercando pero se necesitan mas iteraciones.Dcima IteracinSe toman como valores arbitrarios los obtenidos en la primera Iteracin:
Y se realiza el mismo procedimientoITERACION
x1-17,71050796
x28,47177619
x3-0,111705912
ERRORES
E X10,026899718 X 1002,6899718
E X20,01447679 X 1001,447679
E X30,056663458 X 1005,6663458
No se cumple la condicin todava, se va acercando pero se necesitan ms iteraciones.DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
Realizar aportes que permitan en las condiciones ideales calcular el polinomio de diferencias divididas de newton.
TiempoX4914
Nivel de agua %P(X)145079
xPx
414
(50-14)/9-4=7,2
9505,8-7,2/14-4=-0,14
(79-50)/14-9=5,8
1479
Nivel de agua %P(X)145079
POLINOMIO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTONPolinomio de segundo orden con n=2
4
9
14
Los resultados representan los coeficientes junto a La ecuacin
Se evala en x=2 y se tiene
Los coeficientes Ai del polinomio interpolador de Newton,
Son:
En general
Es decir, son las diferencias divididas de la primera fila de la tabla.Conocido esto, el polinomio interpolador para los datos del ejercicio planteado ser:
Los coeficientes de x y x2 son:
-
CONCLUSIONES
Se comprenden los sistemas lineales y no lineales Se realizan ejemplos y ventajas de los sistemas lineales y no lineales Se realiza el sistema de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel del agua. Se realiza y comprenden cada uno de los temas de ecuaciones por medio de la tabla de tiempo por cada mtodo: Eliminacin de gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel. Se realiza y comprende el proceso de diferencias divididas de newton
REFERENCIAS
Articulo tomado desde la web el 25 de marzo de 2015. http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/GUIA_2.pdf Articulo tomado de la web el 27 de marzo de 2015 desde. http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/Modulo_Unidad2.pdf Recurso tomado el 29 de marzo de 2015 desde la web. https://www.youtube.com/watch?v=wPmUW9KY0GQ