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CÁLCULO DIFERENCIALTRABAJO COLABORATIVO 3
CURSO: 100410
PRESENTADO AL TUTOREDGAR ALONSO BOJACA
ELABORADO POR
ALBERTO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
25/11/2014
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN.....................................................................................................3
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD.........................................................................4
CONCLUSIONES.....................................................................................................9
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................10
INTRODUCCIÓN
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. Es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máximos y mínimos de una función. Un problema de mucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el máximo o el mínimo de una función y donde se alcanza este máximo o mínimo. Cuando la función es cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de este tipo de función. Para funciones más generales, la derivada puede ayudar a resolver este problema. El presente documento es la evidencia de una serie de ejercicios de aplicación a la terminología ya presentada. A continuación se presenta el desarrollo de la actividad. (ULA, 2014)
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
1. Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por qué?
Para saber si una función tiene un punto crítico se halla su primera derivada y esta se iguala a cero dado que es el punto en que la pendiente es constante e igual a 0, para saber si el punto hallado es máximo o mínimo se recurre al criterio de la segunda derivada en la cual se evalúa dicho punto crítico si la segunda derivada evaluada en el punto crítico es >0 el punto crítico será un mínimo, si por el contrario la evaluación del punto crítico en la segunda derivada da como resultado un valor <0 esto quiere decir que el punto crítico es un máximo
y=x2−3 x−2
y ´=2 x−3
0=2x−3
x=32
y=32
2
−3∗32
−2=−174
y ´ ´=2
Dado que y ´ ´=2>0 el punto critico ( 32,−17
4 ) es un mínimo
y=3 x2−12 x
y ´=6x−12
0=6 x−12
x=2
y=3¿22−12∗2=−12
y ´ ´=6
Dado que y ´ ´=6>0 el punto critico (2 ,−12 ) es un mínimo
2:y=3 x2−12 x
y=3 x2−12 x
y=6x−12x
−6 x=−12
x=−12−6
x=2
Segundo paso es sustituir en la primera ecuación
y=3 x2−12 x
y=3 (2)2−12(2)
y=3 (4 )−12(2)
y=12−24
y=−12
El punto critico es (2 ,−12)
El tercer paso, es identificar si es MAXIMO O MINIMO, por lo que hay que tener en cuenta el símbolo que se obtiene en la segunda derivada
y '=6 x−12
y '=6
Por lo que se puede decir que el punto es MINIMO, por lo que es positivo y nos da el cóncavo hacia arriba
Y
Decreciente Mínimo Creciente
X
a
Usando la Regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5:
La regla de L’Hopital nos dice que debemos tomar tanto numerador como denominador como funciones diferentes f(x) y g(x) y derivar en ambos lados reemplazando inmediatamente con el límite hasta que el resultado deje de ser una indeterminación
3.limx→0
3√3 x+1−1x
=00
f ( x )= 3√3 x+1−1
f ´ ( x )= 1
3 (3 x+1 )23
∗3= 1
(3x+1 )23
g ( x )=x
g ´ ( x )=1
Aplicando L’Hopital limx→0
f ´ ( x )g´ (x )
= 1
(3 x+1 )23
=1
4.limx→1
1−x2
sin (πx)
Primer paso: con la regla L’Hopital
limx→1
(1−x2)(si n (πx ))
El segundo paso: se deriva
limx→1
−2 xCo s (πx )∗π
Tercer paso: se aplica el limite
−2(1)Cos (π (1))∗π
−2Co s (π )∗π
Como se conoce que Co s (π )=−1
−2−1∗π
−2−π
= 0,6366
5.limx→0
e2x−1x
Primer paso: con la regla L’Hopital
limx→0
(e¿¿2x−1)x
¿
Segundo paso: se deriva
limx→0
e2x∗21
limx→0
2e2x
Tercer paso: se aplica el límite
2e2(0)=2
Halle paso a paso la tercera derivada de:
6.f ( x )=3 tan 3x
f ´ ( x )=9 sec2 3x=9 (sec 3 x )2
Aplicando regla de la cadena
f ´ ´ ( x )=9∗2 sec3 x∗(sec 3xtan 3 x∗3 )=9∗2∗3∗Se c2 3 x tan3 x
f ´ ´ ´ ( x )=2∗3∗9∗2∗3∗Se c23 x tan 3x tan3 x+9∗2∗3∗Sec23 x ¿3∗sec23 x
f ´ ´ ´ ( x )=324 Se c2 (3 x )∗ta n2 (3 x )+162Sec4 3 x
7.f ( x )=3cot 3 x
f ´ ( x )=−9csc2 (3 x )=−9 (csc (3x ) )2
f ´ ´ ( x )=−9∗2∗csc (3 x )∗3∗(−cot (3x )∗csc (3x ))
¿9∗2∗3∗csc 23 x∗cot 3 x
R= 25 cm
f ´ ´ ´ ( x )=−9∗2∗3∗2∗3∗csc2 3 x∗cot 3 x∗cot 3 x+9∗2∗3∗csc2 3x∗¿
f ´ ´ ´ ( x )=−324csc2 3x∗cot2 3x−162csc 4 3x
Halle, paso a paso, la derivada implícita, con respecto a x, de:
8.e− x−e− y=1
−e− x+e− y dydx
=0
dydx
= e−x
e− y= e
y
ex=e y−x
9. Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen
aumenta a razón de 100cm3
s. ¿Con qué rapidez crece el globo cuando su radio es
de 25cm?
Recordar que el volumen es igual a 43π r3
-Razón de cambio en que aumenta el volumen del globo
dvdt
100cm3
s-con qué rapidez crece el radio
drdt?
-volumen de esfera en términos de su radio
V= 43π r3
-Se deriva a ambos lados con razón al tiempo
dvdt
=43π .3 r2 .
drdt
dvdt
=4 π r2 .drdt
-Se despeja la razón de cambio
drdt
=
dvdt
4 π r2
Y remplazamos
drdt
= 100
4 π (25)2
drdt
= 1002500π
Esta es la razón con que crece el radio del globo cuando: r = 25 cm
drdt
= 125π
cms
=0.0127cms
10. Una fábrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de forma cilíndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro cúbico (1000 litros). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para que la cantidad de material empleado en su construcción sea mínima?
v=π r2h
Según las especificaciones del problema v=1m3
1=π r2h
h= 1
π r2
A (r )=2π r2+2πrh
A (r )=2π r2+2 πr
π r2
A (r )=2π r2+2r
Debemos hallar el punto crítico de la función A(R) y evaluarlo en la segunda derivada para saber si el radio que se encuentre será realmente el mínimo para disminuir la cantidad de material empleado
A´ (r )=4 πr− 2
r2
0=4 πr− 2
r2
4 π r3=2
r=3√ 12π
r=0.5419m
A´ ´ (r )=4 π+ 2
r3
Es evidente que r evaluado en A´ ´ (r )>0 por tanto este radio es el adecuado para minimizar la cantidad de material utilizado en la construcción del tanque
h= 1
π r2= 1
π∗(0.5419m )2=1.0838m
Por tanto las dimensiones del tanque deberán ser 0.5419m de radio por 1.0838m de alto
CONCLUSIONES
Se analizaron adecuadamente los diferentes casos de derivación y con el conocimiento pleno de los mismos se llevaron a la aplicación por medio de problemas de optimización y razón de cambio.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DURAN, J. E. (2010). CÁLCULO DIFERENCIAL. Bogotá: UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA .
Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable. Mexico: Pearson.
ULA. (11 de 11 de 2014). Aplicaciones de las derivadas. Obtenido de http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/graficacion_optimizacion2011.pdf