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TERCERA UNIDAD
EL PLANO
DETERMINACION El plano es una superficie ilimitada, sin espesor, transparente y
bidimensional
Representación. Al plano se representa en el depurado de la siguientes maneras:
a) Por tres puntos no colineales
b) Por una recta y un punto exterior a ella Por dos rectas que se intersectan o se cortan
c) Por dos rectas que se intersectan o se cortan
d) Por dos o más rectas paralelas
e) Cuando se conoce la orientación y la pendiente del plano
f) Por cualquier figura geométrica plana
Un plano generalmente esta representado por un triángulo, en caso contrario se debe
tener cuidado que todos los puntos del contorno e interiores del plano le pertenezcan,
comprobándose esto en una vista donde el plano se proyecte de canto, observándose que
todos y cada uno de los puntos del plano se encuentren alineados en una recta que
representa al plano de filo o de canto
PUNTOS PERTENECIENTES A UN PLANO
Si un punto pertenece a un plano, dicho punto pertenecerá también a cualquier recta que
esté contenida en el plano, siempre que la recta pase por dicho punto.
RECTAS CONTENIDAS EN UN PLANO
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Dos o más rectas pertenecen a un plano, cuando cortan o intersectan como mínimo a dos
rectas contenidas en el plano
Una recta se encuentra contenida en un plano si pasa por un punto que pertenece al
plano y es paralela a otra que también se encuentra contenida en el plano
Observación. Si dos rectas son paralelas, se proyectarán como tales en todos los planos
de proyección sean éstos principales o auxiliares
RECTAS NOTABLES DE UN PLANO
Estas rectas son la horizontal, frontal y la de perfil que tienen una posición particular en
correspondencia con su nombre
CLASIFICACION DE LOS PLANOS
Los planos se clasifican de acuerdo a la posición que adopten con los planos principales
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de proyección, en relación a su paralelismo o su perpendicularidad con éstos
1. POR SU PARALELISMO Cuando son paralelos a uno de los planos principales de
proyección:
a. PLANOS HORIZONTALES Son aquellos que son paralelos al plano horizontal
de proyección, se proyectan en su verdadera extensión sobre éste y de canto o
como una línea en los planos frontal y lateral derecho, todos los puntos del plano
tienen la misma cota
b. PLANOS FRONTALES Son aquellos planos que son paralelos al plano frontal
de proyección, sobre éste se proyecta en su verdadera extensión, en los planos
horizontal y lateral derecho se observa al plano de canto, todos los puntos que
pertenecen al plano tiene el mismo alejamiento
c. PLANOS DE PERFIL Son aquellos que son paralelos al plano principal de
proyección de perfil, sobre éste se proyecta en su verdadera extensión, en los
planos horizontal y frontal se observa de canto, todos los puntos que pertenecen al
plano tienen el mismo apartamiento
2. POR SU PERPENDICULARIDAD Cuando son perpendiculares a uno de los
planos principales de proyección:
a. PLANOS VERTICALES Son aquellos que son perpendiculares al plano
horizontal de proyección
b. PLANOS NORMALES Son aquellos que son perpendiculares al plano frontal de
proyección
c. PLANOS ORTOPERFILES Son aquellos que son perpendiculares al plano
lateral derecho de proyección
3. PLANOS INCLINADOS Son aquellos planos que tienen posiciones diferentes a los
planos horizontal y vertical. La verdadera extensión de estos planos nunca se
observaran en los planos principales de proyección, pero la posición de canto de estos
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planos si se lo podrá observar ya sea en el plano frontal o en el plano de proyección
lateral derecho, pero nunca en el plano horizontal de proyección
4. PLANOS OBLICUOS Son aquellos planos que están inclinados con respecto a los
tres planos principales de proyección, la posición de canto y la verdadera extensión
no se observara en ningún plano principal de proyección
PLANO DE CANTO
Un plano se proyectará de canto o de filo, sobre un plano de proyección cuando
es perpendicular a este plano
Métodos para colocar a un plano de canto
Condición Necesaria y Suficiente. Para que un plano se proyecte de canto o de filo es
condición que una recta que pertenezca al plano se proyecte de punta o como un punto
sobre dicho plano de proyección
Los métodos para colocar a un plano de canto, utilizando planos auxiliares, son las
siguientes:
1º MÉTODO
Tomando una recta cualquiera del plano
PROCEDIMIENTO
1) Tomamos una recta cualquiera del plano en la proyección horizontal
2) Determinamos su proyección en un plano adyacente (frontal) mediante sus líneas de
referencia
3) Tomamos una línea de pliegue paralela a la proyección de la recta tomada sobre el
plano, proyectándose en su longitud verdadera esta recta
4) Tomamos un plano de proyección perpendicular a la longitud verdadera de la recta
sobre ésta el plano se proyectará de canto o de filo
2º MÉTODO DIRECTO
Tomando una recta notable del plano, llamada también directa
PROCEDIMIENTO
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1) Determinamos una recta notable (horizontal, frontal o de perfil) en uno de los planos
principales se proyectará en su longitud verdadera
2) Tomamos un plano auxiliar perpendicular a la longitud verdadera de la recta, sobre
ésta se proyectará el plano de canto o de filo. Cuando el plano auxiliar es
perpendicular al plano de proyección horizontal se observará el ángulo de pendiente
del plano en su verdadera amplitud
VERDADERA MAGNITUD DE UN PLANO
PROCEDIMIENTO
a) Procedimiento de los planos auxiliares
1) Tomamos una recta cualquiera del plano o una notable y utilizando un plano
auxiliar llevamos al plano, de canto o de filo
2) Utilizando otro plano auxiliar paralelo a la de canto proyectamos sobre éste al
plano, observándose en su extensión verdadera.
b) Procedimiento de la diferencia de cotas y las construcciones auxiliares
Dadas las proyecciones de un plano ABC, con el auxilio de un cuadrante y teniendo
en cuenta la diferencia de cotas y la proyección horizontal, así como la diferencia de
alejamientos, la diferencia de apartamientos con la proyección frontal y la proyección
de perfil respectivamente; de las rectas que limitan el plano, determinamos la VM de
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estas rectas y por construcción determinamos la VM. del plano dado.
c) Procedimiento de giros
Lo estaremos desarrollando en el capítulo de giros.
ORIENTACION DE UN PLANO
La orientación de un plano esta determinada por la orientación de una recta horizontal
que pertenezca al plano, el ángulo estará referido al norte o al sur y varía de 0º a 90º.
- La orientación de un plano se ve solamente en el plano horizontal.
- La nomenclatura para la orientación del plano es la misma que utilizaremos para la
orientación de una línea recta.
- Dicha orientación se enuncia en cualquiera de los sentidos de la recta horizontal,
ejemplo, en la figura tenemos; si en el plano ABC se toma el sentido AX, el plano
ABC de nuestro ejemplo se tiene una orientación S ° E.. Si lo tomamos en sentido
XA, la orientación debería ser N ° O.
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PENDIENTE DE UN PLANO
Es la tangente del ángulo de inclinación, que hace un plano dado, respecto a un plano
horizontal, la podremos expresar como tangente del ángulo, en porcentaje de pendiente,
o en grados sexagesimales. Para determinar el ángulo (diedro) de pendiente de un plano
es necesario que éste se encuentre proyectado de canto en una vista ya sea principal o
auxiliar de alzada
RECTA DE MAXIMA PENDIENTE DE UN PLANO
Es una recta contenida en un plano oblicuo perpendicular a todas las horizontales
contenidas en dicho plano
La recta de máxima pendiente mucha importancia en ingeniería y es aquella por donde
rodaría una pequeña esfera, si se le dejara rodar libremente sobre el plano.
Analíticamente la recta de máxima pendiente de un plano se determina respecto a un
plano horizontal cualquieras, y esta dado por una recta contenida en aquel plano, que
hace con su proyección ortogonal en el plano horizontal, un ángulo cuya tangente es
máxima.
- La dirección en que baja la recta de máxima pendiente es hacia el vértice más bajo del
plano o paralela a ella.
- Por la razón anterior, la recta de máxima pendiente en la proyección horizontal, se
indica con flechita que apunta en esa dirección.
- Obviamente, ninguna recta contenida en el plano, tendrá mayor pendiente, que la recta
de máxima pendiente; el plano tiene pendiente igual a la recta de máxima pendiente; la
recta de máxima pendiente es la pendiente del plano.
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Nomenclatura de la pendiente y recta de máxima pendiente.
Se nota primero el ángulo que forma el plano respecto al plano horizontal (que se lee en
plano auxiliar o por diferencia de cotas en la construcción auxiliar) y luego la dirección
en que baja la recta de máxima pendiente (que se lee en el plano H ). Así, la pendiente y
la recta de máxima pendiente del plano ABC es 0°NE.
Procedimientos para determinar la pendiente y la Recta de Máxima Pendiente
(RPM) de un Plano
Es posible determinarlo por cualquiera de los procedimientos:
a) Procedimiento de los planos auxiliares.
Proyectamos al plano de canto, en una vista de elevación (es decir adyacente al
plano H.). En esta vista, dicho plano de canto mostrará la amplitud del ángulo de
inclinación respecto a la horizontal o paralela a ella.
.
b) Procedimiento de la diferencia de cotas y proyección auxiliar
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Teniendo en cuenta el criterio de que una recta de máxima pendiente es
perpendicular a todas las horizontales contenidas en el plano, realizamos las
construcciones auxiliares pertenecientes.
c) Procedimiento de los Giros.
PROBLEMAS DE PLANO
1. Sobre el plano ABC y la recta L contenida en el, se trata de hallar el punto P
equidistante de la recta AC y el vértice B. La recta L parte de C y tiene un rumbo de
N60O. A(2, 8,11), B(6, 5, 15), C(8, 8, 12).
2. Sabiendo que la recta QR es el diámetro de una circunferencia en la cual se halla
circunscrito un triángulo equilátero. Determinar sus proyecciones principales
sabiendo que QR es la recta de máxima pendiente de un plano, que ST pertenece al
mismo y que un lado del triángulo equilátero es frontal. Se sabe que: R(0.7,-, 3.4);
Q(4.3,-, 6.7); S(3.7, 1.2, 7.6); (1.7,1.2,2.9).(*). Cota, alejamiento y apartamiento
3. Hallar el perímetro del cuadrilátero ABCD donde A(4, 4, 13); B(8, 7, 13);
C(13,8,11); D(13, 4, 9) en cm.
4. Construir el triángulo equilátero XYZ que se encuentra inscrito en una
circunferencia cuyo radio sea 8.00 m. y cuyo centro será el punto O que pertenece al
plano ABC, proyectar sobre los planos principales de proyección el triángulo
equilátero sabiendo que XY debe ser frontal y se encuentre por encima del punto Z.
Se sabe que:
A (3.6, 3, 4.8); B(1.2, 0, 4.8), C(2.4, 0, 0.6). ESC:1:291. (*).
5. Determinar las proyecciones principales de un pentágono regular inscrito en una
circunferencia que está inscrita en el triángulo ABC, sabiendo que un lado del
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pentágono tiene por orientación exactamente al Norte, se conoce además que:
A(4.8, 5.2, 2); B(8.6, 0.6, 3.9) y C(2.3, 2.4, 8.1). (*).
6. Una billar parte del punto M en el plano ABC, rueda sobre éste plano y cae
verticalmente sobre otro PQR sobre el cual también rueda, cayendo finalmente al
piso. Hallar la trayectoria seguida por la billa, y su posición final, sabiendo que:
A(1, 1, 8); B(3, 5, 6); C(0, 4, 2); P(5.3,4,10); Q(4.2,8,6); R(3.5,2,4) y
M(-,2.4,2.6).(*).
7. Hallar el pentágono regular inscrito en una circunferencia, si se conoce que AB es el
apotema del mencionado pentágono y que éste es perpendicular al plano QR, dista
del punto M 25.00 mts. y tiene un lado frontal
ESCALA 1:400 A(0, 2, 4) B(4, , 1) M(6, 0, 0) R(7, 2,5, 4) S(8, , 2)
8. En el punto medio del rectángulo ABCD se deja una billa, que rueda sobre él 3.00
mts. hasta encontrar al cuadrado horizontal CDEX sobre el cual rueda 2.00 mts. y
encuentra un obstáculo que desvía su trayectoria en 90º y sigue rodando hasta el
borde, donde encuentra al rectángulo CXGY, sobre el cual rueda 5.00 mts., llegando
a su borde.- Completar las proyecciones principales de los mencionados planos y
toda la trayectoria de la billa, sabiendo que el ángulo de pendiente de ABCD es el
mismo que de CXGY y sabiendo además que los puntos :
A(7.5, , 20) B(5, ,17) y C(6.5, , ) (*) cota, alejamiento, apartamiento
ESCALA 1:112
9. Determinar las proyecciones principales de un triángulo equilátero que está
circunscrito en una circunferencia la cual a su vez está inscrita en un triángulo RST.-
Un lado del triángulo equilátero tiene una orientación S65ºO, sabiendo que:
R(2, 2.5, 11) S(7.5, 1.5, 10.5) y T(4.5, 4, 8)
10. Hallar sobre los planos principales de proyección las vistas de una circunferencia
que esta contenida en el plano ABC, sabiendo que pasa por el punto C y debe ser
tangente al lado AB en el punto X de tal manera que se cumpla 4AX=XB, sabiendo
además que A(3.5, 3.3, 8) B(5.8, 5.7, 5.1) y C(1.5, 1, 1.9) cota, alejamiento y
apartamiento