P. Alvarez A. 1

TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

Carrera de Ingeniería en Química

UTEM

P. Alvarez A. 2

Para poder comprender la difusión de tipo convectiva, es necesario estudiar el concepto

de la capa límite.

Difusión convectiva

P. Alvarez A. 3

En 1904 Prandtl, desarrolló el concepto de capa límite. Este proporciona el enlace entre el flujo de fluido real y flujo de fluido ideal.De acuerdo a la hipótesis de Prandtl, los efectos de la fricción en un fluido a valores altos del NRe sólo se presentan en una delgada capa cerca de los límites del cuerpo, de donde proviene el nombre de capa límite.

Concepto

El número de Reynolds es una relación entre las fuerzas inerciales y la fuerza asociadas a los esfuerzos viscosos en un fluido en movimiento.

P. Alvarez A. 4

El criterio para indicar qué tipo de capa límite está presente es la magnitud del número de Reynolds, conocido como número deReynolds local, con base en la distancia x desde el borde de la entrada. El número de Reynolds local está dado por:

xvvx

NxRe

P. Alvarez A. 5

Este tipo de transporte ocurre entre sólidos líquidos y gases.

P. Alvarez A. 6

La presión en la capa límite es la misma que la presión en el flujo no viscoso fuera de ella. Esta hipótesis tiene importancia porque simplifica el tratamiento de los fluidos viscosos. La presión se obtiene por experimentos o de la teoría del flujo no viscoso; por tanto las únicas Incógnitas son los componentes de la velocidad. En la Figura 1 se muestra la capa límite en una placa plana el espesor de la capa límite es δ, que se considera la distancia arbitraria en la que la velocidad alcanza el 99 % de la velocidad de la corriente libre.

P. Alvarez A. 7

Para el flujo que pasa por una placa plana, experimentalmente se ha definido lo siguiente:

a)NRex < 2x105 La capa límite es laminar.

b) 2x105< NRex < 5x105 La capa límite puede ser laminar o turbulenta.

c) NRex > 5x105 La capa límite es turbulenta.

P. Alvarez A. 8

)2(y

v

dx

dUU

y

vv

x

vv

t

v2x

2x

yx

xx

)3(0y

v

x

v yx

Las ecuaciones (2) y (3) se conocen como ecuaciones de la capa límite hidrodinámica.

Ecuaciones de la capa límite

Ecuación de continuidad

Ecuación de la c d m:

Se considera U=cte.

P. Alvarez A. 9

Solución de Blasius de la capa límite

yv x

x

vy

Blasius obtuvo una solución al conjunto de ecuaciones anteriores introduciendo primero la función de corriente, Ψ. Esta es de tal forma que:

P. Alvarez A. 10

Existe una solución para esta ecuación diferencial para las siguientes transformaciones de variables:

)4(yyxyxy 3

3

2

22

)5(xU)(f)y,x(

P. Alvarez A. 11

donde la variable independiente adimensional η está dado por:

)6(

Ux

2

y

P. Alvarez A. 12

)7()(f2

U

yvx

)8()ff(x

U

2

1

xv

2/1

y

)9(fx4

U

yx

2

A partir de estas expresiones se obtiene:

P. Alvarez A. 13

)10(fx

U

4

U

y2

2

)11(fx8

U

y

2

3

3

)12(0fff

)13(cuando2f

0cuandoff

Al sustituir estas correlaciones en la expresión (4) se obtiene:

con las siguientes condiciones límites:

P. Alvarez A. 14

La ecuación (12) se ha resuelto numéricamente y los resultados se presentan en la Tabla 1. Estos datos nos permiten calcular la velocidad en cualquier parte de la capa límite viscosa, o para determinar el espesor de la capa límite en cualquier punto x.

P. Alvarez A. 15

Tabla 1. Solución al problema de la capa límite laminar.

η= (y/2)√(v∞/xν)f´ vx/v∞ f´´

0 0 0 1.32824

0.2 0.2655 0.1328 1.3260

0.4 0.5294 0.2647 1.3096

0.6 0.7876 0.3938 1.2664

0.8 1.0336 0.5168 1.1867

1 1.2596 0.6298 1.9670

1.2 1.4580 0.7290 0.9124

1.4 1.6230 0.8115 0.7360

1.6 1.7522 0.8761 0.5565

1.8 1.8466 0.9233 0.3924

2 1.9110 0.9555 0.2570

2.2 1.9518 0.9759 0.1558

2.4 1.9756 0.9878 0.0875

2.6 1.9885 0.9943 0.0454

2.8 1.9950 0.9962 0.0217

3 1.9980 0.9990 0.0096

P. Alvarez A. 16

Ejemplo 1Defínase el borde de la capa límite en vx=0.99U.

Al examinar la Tabla 1, se infiere que cuando vx /U

es aproximadamente igual a 0.99, η es igual a 2.5. Entonces estableciendo y=δ , con la ecuación (6) se obtiene:

)14(N

5

Ux5

xxRe

2/1

donde NRex ya fue definido.

Por tanto, a partir de la deducción de las ecuacionesde la capa límite, se ha encontrado un resultado útily simple.

P. Alvarez A. 17

El valor de vy en ese mismo punto es:

2/1

y x

U8159,1))9820,1(5,23232,1(

x

U

2

1v

Y esto es equivalente a:

x3632,0

U

vy

P. Alvarez A. 18

Considérese ahora un punto x fijo en la placa plana. La ecuación (14) establece que en la medida que la velocidad de la corriente libre, U, incrementa, entonces el NRex

aumenta, por ello el espesor de la Capalímite, δ, disminuye.

P. Alvarez A. 19

fx

U

4

U

y2

2

)15()0(fx

U

4

U

y

vx

)16(x

UU332.0

y

v2/1

x

0yyx

Ejemplo 2.Encontrar el esfuerzo cortante en la superficie de la placa.De la ecuación (10).

se obtiene:

De la tabla 1 se infiere: f´´(0)=1,32824; por ello el esfuerzo cortante en la superficie de la placa es:

P. Alvarez A. 20

Puesto que no hay un gradiente de presión asociado al término de arrastre, el arrastre essólo causado por el efecto de τyx a lo largo

de la superficie de la placa.Este tipo de arrastre se denomina arrastre por fricción superficial. Es tradicional definir un coeficiente de fricción superficial para la placa, de la siguiente forma:

)17(

N664,0Ux

664,0x

U

U

U)664,0(

)2/U(C 2/1

xRe

2/12/1

22

0yyx

fx

P. Alvarez A. 21

La ecuación anterior es el coeficiente de Fricción superficial local, esto es, en cualquier punto específico x. generalmentese requiere conocer el coeficiente de fricción medio sobre una placa de longitud L; esto fácilmente se obtiene así:

)18(

N32,1Lv

32,1dxxv)664,0(L

1dxC

L

1C 2/1

LRe

L

0

2/1

2/1L

0

fxfL

P. Alvarez A. 22

DIFUSIÓN CONVECTIVA, Y TRANSFERENCIA DE MASAINTRODUCCIÓN.Tema: aplicaciones en capa límite de concentración.Muchos fenómenos de transferencia de masa deben serconsiderados debido a efectos combinados de difusión y convección; este último debido al movimiento del fluido.Esto es cierto a niveles de gran escala (p.ej. mezclado y/o disoluciones en grandes estanques, mediante agitadores) en donde la transferencia por difusión, por sí misma, no puede muy eficiente en el transporte de masa.

Se deberá considerar una capa límite de concentración que coexiste con la capa límite de momentum (o de cantidadde movimiento) ya analizada.Entre ambas capas, como se verá existen correlacionesbien definidas.

P. Alvarez A. 23

Se abordará un estudio para estudiar el transporte difusivo – convectivo para la transferencia entre sólidos líquidos y gases.El ejemplo que sigue demostrará los efectos de la difusión molecular y la convección. La Figura 2, muestra dos sistemas de absorción de gases. En la Figura 2a el gas A y el líquido B se contactan, y el gas a se difunde en el líquido B. El gas A se mantiene a la misma presión (concentración), por tanto la concentración de A en la superficie líquida es constante,

P. Alvarez A. 24

P. Alvarez A. 25

En la Figura 2b, el gas también se difunde en el líquido, pero una corriente fresca de líquido siempre esta siendo transportada a una velocidad U al interior de la cámara, así en ésta siempre se tiene una superficie fresca, es decir, renovada. En este sistema también se tiene el gas A a presión constante. El sistema de Figura 2a, es un problema de transporte por difusión que ya se analizó anteriormente (difusión en un medio semi-infinito) con concentración constante en la interfase); en este caso la sustancia que se difunde no penetra mucho más allá al interior del líquido. La solución es:

tD

xerfccc

AB

O,,AA2

P. Alvarez A. 26

de2

1c

c máxAB2

v/yD4/x

00A

A

erf1v/y·D4

xerf1

c

c

máxAB0A

A

Esta ecuación proviene de las ya definidas: Función error y Complemento de Función error, indicadas Abajo.

)exp(2

)(erfd

d 2

y·

vDc

dx

dcD máxAB

0A0x

AAB

Luego:

P. Alvarez A. 27

Donde x , se indica en la Figura 2a, y cA,0 es la

concentración del gas que se difunde en x=0.La densidad de flujo de materia desde A hasta B, se expresa como:

)19(t

Dc

dx

dcDJ AB

O,A0x

AABA

P. Alvarez A. 28

En consecuencia la transferencia de masa total por unidad de amplitud de área (hacia el interior de la página), entre el líquido y el gas en cualquier instante se obtiene integrando la Ec. (19) en el tiempo y al mismo tiempo multiplicando por L:

)20(

tDLc2z/atransferidtotalMasa AB

O,A

P. Alvarez A. 29

Considérese el sistema indicado en Figura 2b. En y=0 el líquido no contiene gas (no existe exposición al gas en ese punto). Es la misma condición que se tiene cuando t=0, en el otro sistema (Figura Ia). El fluido a otras distancias de y habría tenido un tiempo finito en el cual A podría haberse difundido en B. Por tanto en estado estacionario, el gas A habría tenido un tiempo t=y/U, con el cual se habría difundido en el líquido B, en cualquier distancia y de la figura. En consecuencia el perfil de concentración en la dirección x sobre cualquier distancia y de la Figura Ib queda definida de la misma forma que la expresión (b), poniendo t = y/U:

)21()U/y(D2

xerfccc

AB

O,,AA

P. Alvarez A. 30

Aquí se tiene la misma restricción que en el caso anterior: el gas A no se difunde mucho más allá en B, desde x=0. La densidad de flujo de materia será en este caso:

)22(y

UDc)y(J AB

O,AA

P. Alvarez A. 31

)22(

dyyUD

cL

dy)y(JLLsobrepromedioatransferidMasa

L

0

2/1ABO,A

L

0

)23(

ULDc2LsobrepromedioatransferidMasa AB

O,A

y la transferencia de masa promedio de A (por unidad de amplitud al interior de la página) en el líquido, es simplemente el valor promedio de la ecuación (22) con el valor medio ponderado sobre L:

P. Alvarez A. 32

La masa total transferida por unidad de área de interfase gas-líquido en estado estacionario, se obtiene integrando sobre el tiempo:

)23(LtUD

c2'dtLUD

c2

amplituddeunidadporatransferidtotalMasa

2AB

O,A

t

0

ABO,A

Por tanto para el sistema de la Figura 2b, la transferencia de masa en estado estacionario es proporcional al tiempo. Este segundo sistema es simplemente un ejemplo de difusión convectiva, o difusión asistida por la convección. Este es un sistema más efectivo para el transporte de masa que la difusión molecular pura.

P. Alvarez A. 33

Introducción a la difusión convectiva.

Cuando se inicia el movimiento en un fluido de viscosidad muy baja, el flujo es fundamentalmente irrotacional al principio.

Puesto que el fluido tiene velocidad cero respecto a sus fronteras, existe un alto gradiente de velocidad entre la frontera y el flujo (donde la velocidad es uniforme).

P. Alvarez A. 34

P. Alvarez A. 35

Se vio que la relación existente entre el Espesor de la capa de momentum y la coordenada x (Ver Figura 1) está dada por la expresión (14):

xRexRe N

5

N

64,4

x

3/1Sc

2/1xRe,

3/1

ABc NN

3D·

Ux3

Y como se verá el espesor de la capa de concentración :

P. Alvarez A. 36

En la capa de concentración : flujo principal está intentando barrer con la capa en dirección aguas-abajo, mientras que la difusión molecular está intentando una transición y correlación entre la concentración de la corriente principal con la condición de concentración cero en la superficie. La capa límite de concentración (CLC) es sensible al número de Reynolds. La velocidad influye en el transporte de masa. Pero, ¿Qué es lo que determina los espesores relativos de las dos capas límites? Se compararán los parámetros característicos de tiempo asociados a la difusión viscosa, τν, y a la

difusión de masa, τd :

)23(N

NN

D/L

D/L

Re

PeSc

AB2

AB2

d

P. Alvarez A. 37

NSc es el número de Schmidt (ν/DAB) y NPe (U·L/DAB) es el número de Peclet.

L es un parámetro de longitud característicodel sistema.

3/1Sc

2/1xRe,

3/1

ABc NN

3D·

Ux3

P. Alvarez A. 38

)24(y

cD

y

cv

x

cv 2

A2

ABA

yA

x

)25(dz)zN22,0exp(

89,0

N22,0

cc

ccc~

x

Uy

2

1

0

3Sc

3/1Sc

s,A,A

s,AAA

2

Para una CLC delgada (NSc>>1).Para una situación en estado estacionario:

La solución de esta ecuación (Levich, 1962), en función de los parámetros U, cA, y, ν y x es:

P. Alvarez A. 39

s,A,A

s,AAA cc

ccc~

x

Uy

2

1z

2

)26()cc(D

xU

x

D34,0

y

cDJ s,AA

3/1

AB

2/1

AB

0y

AABA

)27()cc(NNx

D34,0J ,As,A

3/1Sc

2/1xRe

ABA

donde la concentración adimensional es,

y donde cA,s y cA,∞ son las concentraciones en la superficie

y lejos de ella, respectivamente.Para calcular la densidad de fluido de materia de A hacia la superficie, se usa la ley de Fick:

y

P. Alvarez A. 40

La ecuación (27) plantea que la densidad de flujo de materia incrementa en tanto el NRe aumente, y , junto con esto, se puedeesperar que la capa límite se haga más delgada.

)27()cc(NNx

D34,0J ,As,A

3/1Sc

2/1xRe

ABA

)26()cc(D

xU

x

D34,0

y

cDJ s,AA

3/1

AB

2/1

AB

0y

AABA

P. Alvarez A. 41

JA es grande a pequeños valores de x y disminuye cuando x incremente. La densidad de flujo es proporcional a NSc

1/3 (NSc=ν/DAB). Entonces si NSc incrementa, la capa límite de concentración se hace más delgada con relación a la capa límite viscosa, lo cual implica mayor pendiente para elgradiente de concentración con el consecuente aumento de la transferencia de masa.

)26()cc(D

xU

x

D34,0

y

cDJ s,AA

3/1

AB

2/1

AB

0y

AABA

P. Alvarez A. 42

)cc(D

LU

L

D678,0J ,As,A

3/1

AB

2/1

ABpromedio,A

)cc(NNL

D678,0J ,As,A

3/1Sc

2/1LRe,

ABpromedio,A

Si se requiere la densidad de flujo de materia promedio con relación al largo de la lámina, L, entonces operando sobre la ec.(26) se tendrá el valor medio:

O sea:

(27)

(28)

P. Alvarez A. 43

Considérese las cuatro condiciones limites generales que se muestran en la Figura 3:

s,A,A

s,AAA cc

ccc~

P. Alvarez A. 44

yen1c~A

0yen0c~A

Figura 3 : flujo laminar que pasa sobre una placa plana con una reacción en la superficie muy rápida; las condicioneslímites en términos de la concentración adimensional son:

y

)cc(D

J O,A,Ac

ABA

Cálculo aprox. del espesor de la capa de concentración queilustra la Figura 3. La solución surge a partir de la siguiente ecuación que se deduce considerando que

s,A,A

s,AAA cc

ccc~

yA vyx

c

son pequeños:

P. Alvarez A. 45

3/1

ABc

D·

Ux3

Puesto cA,0=0, retomando las

condiciones de la Figura 3(a), se encuentra que de las expresiones(d1) y (g1) se obtiene:

P. Alvarez A. 46

Incorporando la definición de capa límitehidrodinámica laminar, sobre la placa plana, resulta:

3/1Scc N6,0 (29)

P. Alvarez A. 47

Ejemplo.La derivaciones obtenidas en esta sección requieren que la capa límite de concentración sea más delgada que la capa límite hidrodinámica. Verificar qué tan apropiado es el modelo para sistema en medio de aire cuando la especie que se difunde es:a) CO2 yb) partículas de aerosol esféricos de diámetros: 0.01, 0.1, y 1 micrones, a 25ºC difundiéndose en aire.

P. Alvarez A. 48

Solución:El coeficiente de difusión del O2 en aire es DCO2-aire=0,164 cm2/seg, Considerando que la viscosidad cinemática del aire es 0,156 cm2/seg, el número de Schmidt es, ν/DCO2-aire =0,951 y de la ec (29) se obtiene:

δc = 0,6*(0,951)-1/3 δ =0,610 δ.

Por tanto la suposición de una delgada capa de concentración puede que no sea segura o cierta, para cuando el CO2 reaccione con superficies en medio de aire (y esto es cierto para gran parte de las especies gaseosas que difunden en aire).

P. Alvarez A. 49

Se estimará el coeficiente de difusión para una partícula de aerosol esférica, vía ecuación Stokes-Einstein,

d3

kT

f

kTDAB

,

Pero ésta hay que modificarla con el factor de corrección de deslizamiento de Cunningham, Cc, que da para los diámetros indicados ( en tabla 2.1 del libro de Mark Clark)22,7; 2,91; y 1,168 respectivamente.

d3

kTC

f

kTD c

AB

P. Alvarez A. 50

donde los símbolos tienen las connotaciones usuales, excepto porque k es la constante de Boltzmann y f es un factor de fricción de la partícula en el medio en que se mueve.

Para aire seco la viscosidad a esa T es 1,85 x10-5 g cm-1 seg-1.Así para 0,01 micrones:

]seg/m[10x35,5

]m[10x1]m1/cm100][g1000/kg][seg·cm/g[10x85,1x1416,3x3

7,22]seg/kgm][K[298]K/J[10x38,1D

28

84

2223

aire01,0

P. Alvarez A. 51

Calculando los NSc para cada diámetro se obtienen los siguiente valores de capa límite de concentración:δc-0,01 = 0,09 δδc-0,1 = 0,02 δδc-1= 0,0073 δSe concluye, (a) aunque apropiado en medio de agua, se tendrá que ser cuidadoso para aplicarlo en aire (p.ej., en transporte de gases). (b) Sin dudalos sistemas de aerosoles-aire podrán trabajarse con este modelo pues los NSc son relativamente altos.-

P. Alvarez A. 52

Cuando la transferencia de masa implica la disolución de un soluto a la velocidad constante desde una superficie sólida, y la posterior difusión en un fluido que se mueve, el coeficiente convectivo de transferencia de materia se define por:

)1j()cc(kN As,AcA

NA representa los moles de soluto A que salen de la interfase por unidad de tiempo y por unidad de interfasial.

P. Alvarez A. 53

En la expresión anterior la concentración del soluto en la interfase, cA,s, es la composición del soluto en equilibrio con el fluido a la temperatura y presión del sistema. La cantidad cA indica la concentración de A en alguna región o punto de la fase líquida, que podría ser c A,∞, si es la concentración de A en fase fluida uniforme que está más allá de la capa límite de concentración.

P. Alvarez A. 54

Pero también la Ec. (j1)es para el caso en que un soluto A reacciona o se absorbe en una superficie debido a fenómenos de absorción.

En la figura adjunta la concentración de A tiene un valor finito en la superficie

P. Alvarez A. 55

Como se verá, la Ec. (j1) es, en la forma, muy parecida al coeficiente de película convectivo de transferencia de calor.Para evaluar estos coeficientes de transferencia de masa se utilizan diversos métodos, entre los cuales se tienen:1.- Análisis dimensional apoyado en datos experimentales.2.- Análisis exacto de la capa límite (Blasius).3.- Análisis aproximado de la capa límite4.- Analogía entre transferencia de momentum, energías y masa.

P. Alvarez A. 56

Se estudiará el punto 1. Si se iguala Ec. (j1) con:

0y

AABA dy

dcDN

Se tendrá, después de ordenar adecuadamente:

)1k()cc(

dy/dc

D

k

,As,A

A

AB

c

P. Alvarez A. 57

Si se multiplican ambos miembros de la expresión (k1) por un parámetro característico de longitud, L, se obtiene una relación adimensional llamada número de Sherwood, NSh:

L/)cc(

dy/dc

D

Lk

,As,A

0yA

AB

c

)1i(x/)cc(

dy/dc

D

xk

,As,A

0yA

AB

c

O bien,

Si x es la longitud característica local en el sistema

P. Alvarez A. 58

El miembro de la derecha en la Ec. (i1) es la relación entre el gradiente de concentración en la superficie y el gradiente de concentración total o de referencia. Por ello es una relación entre la resistencia a la transferencia de masa molecular a la transferencia de masa por convección.-La expresión de la izquierda se conoce como el número de Sherwood, NSh.-

P. Alvarez A. 59

Correlaciones para la transferencia de masa usando el número de Sherwood

• Obtenido por análisis exacto de capa límite:

• Para un NSc≠1

• Para capa límite turbulenta, placa plana

Ec. (o1)

2/1xRe,Sh

AB

N332,0ND

xc

k

3/1Sc

2/1xRe,Sh

AB

NN332,0ND

xc

k

3/1Sc

5/4xRe,Sh

AB

NN0292,0ND

xc

k

Transición de laminar a turbulento: NRe,x= entre 2 a 3x105

x es la distancia desde el comienzo de la placa.-

P. Alvarez A. 60

Relaciones para la transferencia de masa IIanalogías para determinar kc

• Por análisis aproximado

Analogía de Reynolds

• Analogía de Von Karman

• Analogía Chilton

y Colburn

2

0yx

2o

ffc

v

y/v2

2/vC;

2

C

v

k

6/N51ln1N2/C51

2/C

v

k

ScScf

fc

3/2Sc

c3/2Pr

p

f3/2Sc

c Nv

kN

cv

h;

2

CN

v

k

P. Alvarez A. 61

Ejemplo: Una capa de benceno cubre un área de piso de 2 m de largo y 1 m de ancho. Un ventilador está soplando aire en dirección al largo y paralela a la superficie del piso, a una velocidad de 4 m/seg.

¿Cuál es la tasa de evaporación del benceno si la capa límite arriba del benceno es turbulenta?

P. Alvarez A. 62

Solución: Lo primero que se determina es la densidad de flujo de benceno al interior del aire. El número de Sherwood local está dado por la Ec. (o1) la que puede expresarse en términos de la densidad de flujo, considerando la Ec. (j1) como:

)cc(NNx

D0292,0

x

)cc(DN ,As,A

3/1Sc

8,0xRe,

ABs,A,AABA

P. Alvarez A. 63

El valor medio de la densidad de flujo por unidad de largo del piso, L, se determina integrando la expresión anterior, con límites de 0 a L.-

dxx

xU)cc(ND

L

0292,0

L

dxJ

JL

0

8,08,0

,As,A3/1

ScAB

L

0

A

prom,A

)cc(NNDL

0365,0

L

dxJ

J ,As,A3/1

Sc8,0

LRe,AB

L

0

A

prom,A

P. Alvarez A. 64

La presión de vapor del vapor de benceno a 25ºC es 12700 Pa, y la concentración en la interfase será, entonces:

3s,A m/mol13,5

298·314,8

12700

RT

P

V

nc

Usando la viscosidad cinemática del aire seco, 1,56 x 10-5 m2/seg, y una difusividad del benceno de 0,0088 cm2/seg, el número de Schmidt es:

77,1)cm100/m1(0088,0

10x56,1

DN 22

5

ABSc

P. Alvarez A. 65

El número de Reynolds es:

55Re 10x13,5

10x56,1

2·4N

Aplicando valores a la ecuación de NA,prom y suponiendo cA,s=0; aplicando números se encuentra :

seg·m

mol10x69,3N 2

2prom,A

P. Alvarez A. 66

Por tanto la tasa de transferencia de masa es:

12prom,Apromedio,A seg·mol0737,0)m2(JW

P. Alvarez A. 67

Cuando la transferencia de masa ocurre en condiciones de flujos turbulentos dentro de tuberías, como sería el caso de transferencia de materia entre las paredes del tubo y el flujo masivo, se puede usar la correlación de Linton y Sherwood, dada por:

3/1Sc

83,0Re

AB

c NN023,0D

Dk

Donde kc es el coeficiente de transferencia y D el diámetro de la tubería. .

P. Alvarez A. 68

Los rangos de validez para la expresión anterior son:

2000< NRe< 70000

1000< NSc <2260

P. Alvarez A. 69

Placa plana. El número de Sherwood definido en la Ec. (l1) , expresado para la situación de transferencia de masa local, desde o hacia una placa plana en flujo laminar (NRe<3x105 y 0,6<NSc<2500), puede expresarse como sigue:

ó 3/1

Sc2/1xRe,x,Sh NN34,0N

3/1Sc

2/1LRe,L,Sh NN664,0N (n1)

P. Alvarez A. 70

A NRe entre 3 y 5x105, la capa límite hidrodinámica laminar llega a ser turbulenta, y por datos experimentales el NSh para una placa plana con capa límite turbulenta (en general con NRe>3x105), se encontró que la siguiente correlación expresa esa situación:

3/1Sc

8,0xRe,x,Sh NN0292,0N

3/1Sc

8,0LRe,L,Sh NN0365,0N

(o1)

P. Alvarez A. 71

La siguiente correlación es apta para flujo en tuberías de paredes suaves:

346,0Sc

913,0Re

AB

cSh NN0096,0

D

ak2N

Para 10000<NRe<100000 y 432<NSc<97600

(u1)

P. Alvarez A. 72

Ejemplo.La adición de cloro al agua potable se efectúa en un punto de la tubería, lejos de la planta, la concentración inicial de cloro es 0,5 mg/L. El diámetro de la tubería es de 20 cm, la velocidad del flujo es 0,5 m/seg y la temperatura es 20ºC. Encontrar el máximo decrecimiento en concentración de cloro en un punto ubicado a 200 m de tubería aguas abajo usando el análisis desarrollado en esta sección. Suponer que el cloro sólo se consume en las paredes de la tubería y que la concentración de cloro en las paredes de la tubería es cero.Solución.La ec.(u1) define el número de Sherwood para flujo turbulento en la tubería. El coeficiente de transferencia de masa promedio se obtiene de la misma:

P. Alvarez A. 73

346,0Sc

913,0Re

ABShABc NN

a2

)0096,0(D

a2

N·Dk De Ec. (u1)

Los NRe y NSc son:

100000seg/cm01,0

m/cm100·seg/m5,0·cm20U·a2N

2

promedioRe

820seg/cm10x22,1

seg/cm01,0

DN

25

2

ABSc

a es el radio de la tubería. Se usará la Ec..(u1)

P. Alvarez A. 74

seg/cm10x2,210·2

)820()10·(0096,0·10x22,1k 23

346,0913,055

c

La densidad de transferencia de materia sería:

donde c*A es una concentración característica de A en el sistema. Ahora se considera la disminución del cloro en la tubería. Sea la siguiente figura, que indica el sistema:

AcA ckJ

P. Alvarez A. 75

Balance de masas alrededor del volumen de control indicado por segmentos, en la figura:

Axxxx xJa2AJAJt

cV

A es la sección transversal de la tubería (A=πa2) y V es el volumen de control del elemento.Si se plantea Jx=Ucx y Jx+∆x = U[cx+(∂cx/∂x)∆c] y luego se divide por V= πa2, se obtiene la siguiente ecuación unidimensional de conservación:

a

J2

x

cU

t

c Axx

P. Alvarez A. 76

poniendo xx cc

considerando que sólo se está en condiciones de estado estacionario, resulta la siguiente expresión:

a

ck2

dx

dcU xxx

Al integrar para las condiciones iniciales cx= cx=0 en t=0 ( es decir al comienzo de la inyección de cloro), se tiene:

x

aU

k2expcc c

0xx

0x

5

0x200x c84,0)seg/m(5,0·m1,0

m200)·seg/m(10x2,2·(2expcc

P. Alvarez A. 77

Esferas.

A bajos NSc y NPe y con NRe≈1 la ecuación fue dada por Clift (1978):

)cc()N991,092,0(Da2W s,A,A3/1

PeABA

La Ec. anterior llega a ser inexacta en tanto el NPe se aproxime a cero, por tanto Clift (1978) sugirió la siguiente expresión que tiene una precisión de 2% para todos los números de Peclet.

)cc())N1(1(Da2W s,A,A3/1

PeABA

P. Alvarez A. 78

Para número de Reynolds mayores se debe aplicar correlaciones experimentales; una expresión de Garner y Suckling (1958) se da para líquidos:

3/1Sc

2/1ReSh NN95,02N

Para 100<NRe<700 y 1200<NSc<1525.

Una expresión para gases es:

3/1Sc

2/1ReSh NN552,02N

Para 2<NRe<800 y 0,6<NSc<2,7.

P. Alvarez A. 79

Camas empacadas (torres rellenas).En diversas aplicaciones de ingeniería, existen operaciones unitarias que consisten en pasar un flujo a través de una gran masa a granel de pequeñas esferas u otras formas geométricas. Este es el caso de las camas empacadas o camas “fijas”. En estos casos puede existir transferencia de masa entre el fluido y el ensamblaje de partículas.Aunque los datos experimentales para todo tipo de partículas son incompletos, varias correlaciones están disponibles por ejemplo Wilson y Geankoplis (1966) entregaron expresiones para líquidos que corren a través de camas de partículas esféricas, cuya porosidad fluctuaba entre 0,35 y 0,7 (Porosidad = ε = volumen de poros/volumen total),

P. Alvarez A. 80

3/1ScSh N

09,1N

Para 0,0016<NRe, cama <55 y 165<NSc<70600.

3/1Sc

69,0camaRe,Sh NN

25,0N

A.-

B.-

Para 55<N Re, cama <1500 y 165<NSc<10690.

P. Alvarez A. 81

El número de Reynolds para la cama empacada se define como:

sup

empacadacamaRe,

aU2N

AB

cSh D

ka2N

El número de Sherwood:

P. Alvarez A. 82

Usup es la velocidad superficial de la cama, esto es el flujo total a través de la cama, dividido por el área transversal de la cama y a es el radio del empaque o relleno, y kc el coeficiente de transferencia de masa.

Para la transferencia de masa en camas empacadas y lechos fluidizados, con partículas esféricas o de otra forma, tanto para gases y líquidos, la correlación de Dwidevi y Upadhyay (1977), recomendada por Fogler (1992) se aplica:

P. Alvarez A. 83

3/1Sc614,0

camaRe,18,0

camaRe,Sh

N)N365,0N765,0(NA.-

Para NRe >10 (gases) y NRe>0,01 (líquidos).

Para partículas no esféricas el radio equivalente de la partícula se puede estimar usando la siguiente expresión:

pA

2

1a

donde Ap es el área superficial de la partícula.

P. Alvarez A. 84

Ejemplo.Una cama empacada (o lecho relleno) está compuesta de partículas esféricas de 2a=0,5 cm de diámetro; la porosidad de la cama es ε=0,47, y el área superficial específica del material poroso, es : ap=3,24 cm2/cm3. El agua pasa a través de la cama con una velocidad superficial de 0,8 m/min., y una sustancia disuelta en el agua reacciona rápidamente en la superficie de la partícula por tanto la transferencia de masa a la superficie de la partícula es la que gobierna el proceso de transferencia en esa dirección. Si el coeficiente de difusión de la sustancia es 10-5 cm2/seg, ¿Cuál es % de remoción de la sustancia a través de 1 m profundidad de cama?

P. Alvarez A. 85

Puesto que la transferencia en la dirección z es fundamentalmente por transporte masivo de la sustancia A, desechándose la transferencia por difusión molecular, las ecuaciones a usar son:

zc2

Pzzzz ckz·R·aAJAJ

dt

dcV

P. Alvarez A. 86

V es el elemento de volumen de control, limitado por los trazos, V=Δz·A. A es el área transversal de la cama empacada; A=πR2 y S=aP ·πR2· Δz, es la superficie de todas las esferas en el elemento de volumen, y R el radio de la torre.-.

Se debe poner Jz=Ucz y J z+∆z =Ucz+∆z .Se debe considerar que aP es el área específica de la cama. Se deberá considerar condiciones en estado estacionario. si a = 0,25 es el diámetro de la partícula esférica, NRe =2aUsup/ν. Finalmente se llegará a la ecuación:

P. Alvarez A. 87

zU

kaexp

c

c

sup

cP

0z

z

Para definir el valor de kc se tendrá que escoger entre las expresiones anteriormente dadas (A) o (B), considerando el que dé el valor adecuado. Previamente se calcula el NRe,cama para saber con que régimen de NRe,cama está operando el sistema.

P. Alvarez A. 88

Guías para visualizar cómo operan los coeficientes de transferencia de masa por convección.

• Teoría de la película. Existe película ficticia de espesor δ junto al límite. Su resistencia abarca zona laminar y turbulenta.

• Pero solo existe difusión molecular.• La película no se difunde: fluido estancado

ml,B

ABc P

PDk

P. Alvarez A. 89

Modelos para coeficientes de transferencia de masa por convección II

• Caso contradifusión equimolar:

AB'

c

Dk

En ambos casos kc está correlacionado con

la difusividad molecular.

δ no existe por ello se postulan otras teorías.

P. Alvarez A. 90

• Teoría de la penetraciónSe considera que la masa se

transfiere a la fase líquida por transporte molecular en estado transitorio

• El flujo de masa en interfase líquido-gas se expresa como

• Flujo turbulento. Cuando el total del soluto penetra en el remolino con tiempo de exposición texp:

)cc(t

DN ,As,A

osiciónexp

ABA

)cc(t

D2N ,As,A

osiciónexp

ABA

P. Alvarez A. 91

• Modelo de la capa límite, ya visto.• En cualquier teoría existe una interfase entre fluidos

que se mueven. • Para relacionar datos en el caso de un sólido que se

sublima en un gas o de un sólido que se disuelve en un líquido; para la difusión en la capa límite laminar el kc promedio de masa es:

• Obtenido por análisis exacto de capa límite para un NSc≠1

• Esto indica que kc varía según D2/3AB

3/1Sc

2/1LRe,

ABc NN

L

D664,0k

P. Alvarez A. 92

Transferencia de masa en la interfase

• Equilibrio. Ejemplo gas – líquido en equilibrio: Parte de las moléculas que entran a la fase líquida regresan a fase gaseosa con velocidad que depende de la concentración del gas o en la fase líquida a la misma velocidad

P. Alvarez A. 93

• Relaciones en el equilibrio.

• Expresión de Raoult: PA=xAP*A

• Dalton : PA=yA P yAP=xAP*A

• Henry: para disoluciones diluidas : PA=HcA

H, constante de Henry.• Ley de distribución:

2líq,A1líq,A c/cK

P. Alvarez A. 94

Teoría de las dos resistencias

Transferencia de masa en fases líquida y gaseosa

Figura A

P. Alvarez A. 95

Coeficientes individuales de transferencia de masa

• Densidad de flujo másico de A en estado estacionario en la dirección z:

)xx(kN

)cc(kN

)yy(kN

)PP(kN

L,Ai,Axz,A

L,Ai,ALz,A

i,AG,Ayz,A

i,AG,AGz,A

kG y ky: coef. convectivo de transferencia de masa enfase gas.-

kL y kx: coef. convectivo de transferencia de masa en fase líquida.-

P. Alvarez A. 96

Relación entre coeficientes convectivos

;cc

PP

k

k

AiAL

AiAG

G

L

FIGURA B

P. Alvarez A. 97

Coeficientes en función de fracciones molares en fase gas y líquida.- caso de contradifusión equimolar.

FIGURA C

P. Alvarez A. 98

(A)

)xx(k)yy(kN ALiA'xAiAG

'yA

AiAL

AiAG'y

'x

xx

yy

k

k

Caso de contradifusión equimolar.

Ecuaciones.

Los valores (yAG- yAi) y (xAi – xAL) son las diferencias en concentración o las fuerzas que impulsan la difusión en cada fase.

P. Alvarez A. 99

Caso de A difundiéndose en B estanco

AiAL

AiAG

iMA'y

iMA'x

xx

yy

)y1(k

)x1/(k

FIGURA D

P. Alvarez A. 100

Caso de difusión de A en B estancado. Ecuaciones:

iMA'xxiMA

'yy )x1/(kky)y1/(kk

AG

Ai

AGAiiMA

y1

y1ln

)y1()y1()y1(

Ai

AL

AiALiMA

x1

x1ln

)x1()x1()x1(

P. Alvarez A. 101

Caso de difusión de A en B estancado:

La obtención de la pendiente PM es necesariamente una operación de tanteo, debido a que el lado izquierdo contiene las concentraciones en la interfase yAi y xAi que son las que se buscan;esto es fácil de manejar usando la ec. (B) mostrada arriba mediante tanteo. Por tanto usando los valores preliminares yAi y xAi encontrados con la ec.(A), se calcula un valor del lado izquierdo de la ec.(B).

AiAL

AiAG

iMA'y

iMA'x

xx

yy

)y1(k

)x1/(k

(B)

P. Alvarez A. 102

Caso general de difusión de A y B.

• En este caso en que A y B están difundiéndose simultáneamente, las concentraciones puede ser nuevamente representadas en la Figura C o D, donde P representa la composición en la fase masiva y M la composición en la interfase. La ecuación

• general para A y B difundiéndose es:

)xx(k

)yy(k

N ALAiix

'x

AiAGiy

'y

A

P. Alvarez A. 103

Caso general de difusión de A y B. Ecuaciones C

AGBAA

AiBAA

BA

A

AGBAAAiBAAiy

y)NN/(N

y)NN/(Nln

NN

N

y)NN/(Ny)NN/(N

AiAL

AiAG

iy'y

ix'x

xx

yy

/k

/k

AiBAA

ALBAA

BA

A

AiBAAALBAAix

x)N/(NN

x)N/(NNln

NN

N

x)N/(NNx)N/(NN

P. Alvarez A. 104

• Ejemplo. Efecto de la razón de densidad de flujo

• sobre las composiciones en la interfase.-

• Se quiere separar un componente A de una mezcla de gaseosa constituida por A y B.

P. Alvarez A. 105

P. Alvarez A. 106

Determinar yAi, xAi y NA para el caso de

(a) contradifusión equimolar y (b) difusión a A en B estanco

Tabla de datos de equilibrio:

kx=1,55 [lbmol/hr·ft2·fracc_mol] y

ky=1,03 [lbmol/hr·ft2·fracc_mol].

Datos de coeficientes:

P. Alvarez A. 107

Diagrama para localización de las concentraciones en la interfase del ejemplo.

Figura E

P. Alvarez A. 108

Solución:

Parte (a). Aquí los coeficientes de transferencia dados, kx y ky, corresponden a la difusión de A a través de B estancado; pero puesto que las soluciones son diluidas, xBM e yBM son aproximadamente la unidad por ello los coeficientes dados se pueden considerar iguales a k’y y k’x. La ecuación que se usa para determinar la pendiente de la línea PM en la Figura E es la expresión (A) cuando yAG = 0,7 y xAL = 0,1.

P. Alvarez A. 109

Cálculos.

-k’x/ k’y =-1,55/1,03 =-1,506 =>Pendiente intersectando en M la curva de equilibrio

-k’x/ k’y = (yAG-yAi)/(xAL-xAi) = (0,7-yAi)/(0,1-xAi).

Pero como la función yAi=f(xAi) es conocida, después de resolver la ecuación de equilibrio se tiene: yAi=0,470 y xAi= 0,253.

LA DENSIDAD DE FLUJO MOLAR SERÁ:

NA=k’y(yAG-yAi) = 1,03(0,7-0,470) = 0,237 Lbmol/h·ft2

NA=k’x(xAi -xAL) = 1,55(0,253-0,1) = 0,237 lbmol/h·ft2

P. Alvarez A. 110

Parte (b). En este caso se usarán las ecuaciones:

AiAL

AiAG

iMA'y

iMA'x

xx

yy

)y1(k

)x1/(k

AG

Ai

AGAiiMA

y1

y1ln

)y1()y1()y1(

Para determinar (1-yA)iM y (1-xA)iM preliminarmente se usa yAi y xAi obtenidos en parte (a), esto es 0,470 y 0,253, respectivamente. Luego:

407,0

7,01

470,01ln

)7,01()470,01(

y1

y1ln

)y1()y1()y1(

AG

Ai

AGAiiMA

820,0

253,01

1,01ln

)253,01()1,01(

x1

x1ln

)x1()x1()x1(

Ai

AL

AiALiMA

P. Alvarez A. 111

Sustituyendo los valores obtenidos en la ec.(B)

745,0407,0/03,1

820,0/55,1

)y1(k

)x1/(k

iMA'y

iMA'x

Con esto se obtienen los valores preliminaresen la interfase: yAi=0,564 y xAi =0,281 Usando estos valores para proceder a un nuevo tanteo se obtiene una pendiente de -0,673 y se repite el proceso anterior. Los valores finales sonyAi = 0,575 y xAi =0,285. En la figura E está línea es la PM’. Sin embargo como se tiene yAi=f(xAi) se Obtiene directamente.

P. Alvarez A. 112

La densidad de flujo molar será:

]ft·h·lbmol[358,0)1,0285,0(801,0

55,1)xx(

)x1(

kN

]ft·h·lbmol[358,0)575,07,0(360,0

03,1)yy(

)y1(

kN

21ALAi

iMA

'x

A

21AiAG

iMA

'y

A

P. Alvarez A. 113

Parte (c). Aquí se usan las ecuaciones (C) y NB=-0,5 NA. Por tanto,

2N5,0N

N

NN

N

AA

A

BA

A

Primer tanteo se asume yAi=0,470 y xAi= 0,253

AiAL

iAAG

iyy

ixx

ixiy

xx

yy16,1

7,0/03,1

91,0/55,1

/'k

/'k

91,0

253,02

1,02ln2

)253,02()1,02(7,0

7,02

47,02ln2

)7,02()470,02(

P. Alvarez A. 114

Se dibuja una línea con esta pendiente, -1,16; pasando por P e intersectando con la línea de equilibrio en donde se obtiene yAi=0,51 y xAi= 0,265. Usando estos nuevos valores, se obtiene una nueva pendiente igual a -1,157. Finalmente la línea PM’’ se obtiene con valores de yAi=0,51 y xAi=0,265.Por tanto:

]ft·h·lbmol[282,0)1,0265,0(905,0

55,1)xx(

kN

]ft·h·lbmol[282,0)51,07,0(695,0

03,1)yy(

kN

21AiAL

iix

´'x

A

21AiAG

iy

´'y

A

P. Alvarez A. 115