Post on 06-Jul-2018
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
1/25
Tema 5
El elipsoide de revolución
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
2/25
Índice
5.1.- Introducción
5.2.- El elipsoide medio terrestre
5.3.- Teoría de curvas5.4.- Teoría de superficies
5.5.- Radios de curvatura principales
5.6.- Medidas sobre el elipsoide5.7.- Línea geodésica
2
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
3/25
5.1.- Introducción
• Posicionamiento terrestre necesario una superficie geométrica dereferencia descrita por pocos parámetros que se aproxime a laforma de la Tierra Elipsoide terrestre medio
• Elipsoide terrestre medio: – Definición física: elipsoide de revolución que comparte con la Tierra: Masa, M.
Potencial W0
Dif. entre los momentos principales de inercia.
Velocidad angular, ω
– Definición geométrica: elipsoide de revolución quemejor se aproxima al geoide. Para ello:
míndN2
3
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
4/25
5.2.- Elipsoide medio terrestre
• Considerando un sistema de referencia cartesiano se define elelipsoide de revolución, con centro en el origen del S.R., como elconjunto de puntos x, y, z que verifica la ecuación:
Siendo:- a, semieje mayor o ecuatorial
- b, semieje menor o polar
• En función de a y b:
– 1ª excentricidad Aplanamiento
– La forma y dimensión del elipsoide se determina a partir de sus parámetros.
4
1b
z
a
yx2
2
2
22
Elipsoide
Geoide
2
222
a
bae
a
ba
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
5/25
5.2.- Elipsoide medio terrestre
a (m)
Elipsoide internacional(Hayford, 1924)
6378388 1/297
WGS84 6378137 1/298.257223563
GRS80 6378137 1/298.257222101
5
Ejemplos de elipsoides medios terrestres
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
6/25
5.3.- Teoría de curvas
• 5.3.1.- Curvatura de la circunferencia
• 5.3.2.- Diferencial de arco
• 5.3.3.- Curvatura media de arco y curvatura en un punto
6
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
7/25
5.4.- Teoría de superficies
5.4.1.- Introducción
5.4.2.- Plano tangente a una superficie
5.4.3.- Curvatura de una superficie en un punto
- Secciones normales- Direcciones principales
- Curvaturas principales
7
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
8/25
5.4.- Teoría de superficies
8
Teorema curvatura de una sección inclinada
Si a través de un punto de la superficiese trazan 2 secciones:una normal y otra inclinada,
teniendo en dicho punto unarecta tg común, entonces
sección inclinada = sección normal * cos
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
9/25
5.5.- Radios de curvatura principales
5.5.1.- Secciones normales.
5.5.2.- Radio de curvatura de la sección meridiana.
5.5.3.- Radio de curvatura del primer vertical.
- Gran normal.5.5.4.- Radio de curvatura de una sección normal cualquiera.
5.5.5.- Radio medio de curvatura.
9
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
10/25
Sección normal al elipsoide
radio de curvaturade la sección meridiana
N radio de curvaturadel primer vertical
M
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
11/25
Haz de planos
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
12/25
5.5.4.- Radio de curvatura de una secciónnormal cualquiera
Teorema de Dupin:
“Dada una superficie cualquiera, si consideramos todas lassecciones normales en un punto Q de la misma, esdecir, las curvas determinadas por los planos que pasanpor la normal en Q, y para cada curva llevamos sobre latangente, a uno y otro lado, un segmento igual a la raizcuadrada del radio de curvatura de dicha curva en elpunto Q ( ), tenemos vectores cuyos extremos
forman una curva llamada “indicatriz” de la superficie enel punto Q.”
12
r
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
13/25
13
5.5.4.- Radio de curvatura de una secciónnormal cualquiera
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
14/25
5.5.5.- Radio medio de curvatura.
Se llama radio medio de curvatura al límite de la mediaaritmética de los radios de curvatura de las seccionesnormales cuando el número de éstas tiende a .
14
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
15/25
5.6.- Medidas sobre el elipsoide
5.6.1.- Longitud de un arco de meridiano
5.6.2.- Longitud de un arco de paralelo
5.6.3.- Área de un trapecio
15
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
16/25
5.6.1.- Longitud de un arco de meridianoLa longitud “s” de un arco de meridiano comprendido entre
dos puntos de latitudes 0 y 1 se obtiene integrando elelemento de arco:
ds = des decir,
Para resolver esta integral:1) se desarrolla el integrando empleando el binomio de Newton.
2) Se consideran sólo los términos ≤e10 3) Se sustituyen las potencias pares de senx por cosenos de ángulos
múltiples:
16
5.6.- Medidas sobre el elipsoide
1
0
dsene1
e1as
23
22
2
x4cos8
1x2cos
2
1
8
3xsen
x2cos2
1
2
1xsen
4
2
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
17/25
4) Sacar factor común cos (2nx)
5) Se designa:
17
5.6.- Medidas sobre el elipsoide
...e
131072
693F
...e65536
3465e
16384
315E
...e131075
31185e2048
315e512
35D
...e16384
10395e
4096
2205e
256
105e
64
15C
...e6553672765e
20482205e
512525e
1615e
43B
...e65539
43659e
16384
11025e
256
175e
64
45e
4
31A
10
108
1086
10864
108642
108642
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
18/25
6) Integrando término a término se obtiene:
18
5.6.- Medidas sobre el elipsoide
01
0101
010101
2
10sen10sen10
F
8sen8sen8E6sen6sen
6D
4sen4sen4
C2sen2sen
2
BA
e1as
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
19/25
Veamos el problema inverso: conocido “s” y “ 0” ¿“ 1”?
Resolución:
Puesto que “ 0” es conocido podemos escribir
1- 0 =se resuelve el problema para “ ”. Así,una vez calculado “ ” será
inmediata obtención de “ 1”.
Consideremos:
y llamemos “s0 “ al arco de meridiano conocido
19
5.6.- Medidas sobre el elipsoide
10sen10
F
8sen8
E
6sen6
D
4sen4
C
sen2
B
Ae1a)(f s
2
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
20/25
Para obtener “ ” aplicamos el método iterativo de Newton:
a la expresión :
Resultando:
20
5.6.- Medidas sobre el elipsoide
n
0nn1n
'f
sf
00322
2
sdsd
sene1
e1af
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
21/25
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
22/25
En la primera iteración 0=0 1=s0 / a(1-e2)
EJEMPLO.-
22
5.6.- Medidas sobre el elipsoide
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
23/25
5.7.- Línea geodésica
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
24/25
Línea geodésica
8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución
25/25
Bibliografía
Martín Asín, F. (1990). Geodesia y CartografíaMatemática. Editorial Paraninfo. Madrid.
25