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Material Virtual – Curso de preparación para el Examen de COMIPEMS 2021 – Matemáticas
Tema (s): RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Subtemas: SUCESIONES NUMÉRICAS SERIES ESPACIALES
Un matemático, es como un pintor o poeta, es un fabricante de patrones. —G. H. Hardy, A mathematician’sApology, 1940
A. Sucesiones numéricas
Una de las tareas más importantes de las matemáticas es descubrir y caracterizar patrones regulares, tales como los relacionados con los procesos que se repiten. La principal estructura matemática que se utiliza en el estudio de los procesos que se repiten es la sucesión y la principal herramienta matemática que se usa para comprobar suposiciones acerca de las sucesiones es la inducción matemática. Imagina que una persona te pregunta por tus antepasados. Tú tienes dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos y así sucesivamente, estos números se pueden escribir en un renglón como:
2, 4, 8,...
El símbolo “...” se llama puntos suspensivos. Es la abreviatura de “y así sucesivamente”. Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno está etiquetado por un entero que indica su posición en el renglón.
Generación Padres Abuelos Bisabuelos Tatarabuelos …
Posición 1 2 3 4 … n
Número 2 4 8 16 …
Si te preguntan ¿Cuántos tatarabuelos tienes? Y te dan las siguientes opciones:
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
La opción que debes señalar es la C. pues en general las personas tenemos 16 tatarabuelos. Por
otra parte es común que se presenten sucesiones numéricas y se necesite obtener el patrón que
éstas obedecen. En este caso específico el patrón que se obedece es 𝑎𝑛 = 2𝑛, pues si sustituimos
el valor de la posición n, obtendremos el número de padres, abuelos, bisabuelos, etcétera que
tenemos.
𝑎1 = 21 = 2El número de padres,
𝑎2 = 22 = 4 Abuelos,
𝑎3 = 23 = 8Bisabuelos, etcétera.
Es importante que te des cuenta que los números presentados obedecen a una sucesión particular
y de ser posible obtengas el modelo general o patrón del mismo. También es común que debas
encontrar los términos siguientes de una sucesión que se te proporciona, para ello hay varias
técnicas, por ejemplo:
Encontrar el siguiente término de la sucesión: 3, 10, 17, 24, 31, ____
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En este caso podemos darnos cuenta de que entre dos términos consecutivos hay siete unidades,
es decir, dado un término de la sucesión, para obtener su sucesor es necesario sumar siete
unidades a éste:
De este modo el término siguiente es 38. Hay casos en los cuales en lugar de sumar hay que
restar, multiplicar, dividir o realizar alguna mezcla de operaciones, puede que los incrementos no
sean constantes, observa el siguiente ejemplo:
Encontrar los siguientes dos términos de la sucesión: 1, 3, 7, 15, 31, ____, _____
Aquí vemos que entre dos términos consecutivos hay un incremento, pero este incremento no es
constante sino que también se va incrementando a cada paso, es decir, observando algunos pasos
podemos encontrar una regularidad y vemos que los incrementos son 2, 4, 8, 16, de esta manera
los dos incrementos siguientes serán 32 y 64 respectivamente:
Los patrones que podemos encontrar en las sucesiones puede que no sean únicos y que haya
alguna manera diferente de resolverlos, en el caso anterior se puede resolver de la siguiente
forma:
Si tenemos una sucesión como la siguiente: 1, 3, 6, 10, 15, 21,… y deseamos obtener (más
concretamente identificar) el patrón que obedece entre una lista de opciones tales como:
A. 𝑏𝑛 =𝑛(𝑛+1)
2
B. 𝑏𝑛 =𝑛(𝑛−1)
2
C. 𝑏𝑛 =𝑛2
2
D. 𝑏𝑛 =(𝑛−1)(𝑛+1)
2
Lo que debemos hacer es identificar cada término de la sucesión con el lugar o posición que ocupa
y sustituirlo en las expresiones que se nos muestran como candidatas a ser término general.
N 1 2 3 4 5 6
𝒃𝒏 =𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
1 3 6 10 15 21
𝒃𝒏 =𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
0 1 3 6 10 16
𝒃𝒏 =𝒏𝟐
𝟐
½ 2 9/2 8 25/2 18
𝒃𝒏 =(𝒏 − 𝟏)(𝒏 + 𝟏)
𝟐
0 3/2 4 15/2 12 35/2
De aquí podemos observar que la opción A es la correcta.
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Si la pregunta por el contrario fuera: “Dada la siguiente sucesión 1, 3, 6, 10, 16, 21,…, ¿Cuál será el décimo término?” en este caso primero debemos identificar el término general 𝒃𝒏 =𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐como ya se vio, al sustituir=10:
𝑏10 =10(10 + 1)
2=
10(11)
2=
110
2= 55
Otro caso bastante frecuente es cuando se tienen dos sucesiones que están intercaladas formando
una nueva sucesión, en este caso decimos que cada una de las dos primeras son subsucesiones
de la última. Veamos esto con un ejemplo, indicar cuales son los dos términos siguientes en la
sucesión:
Está compuesta por dos subsucesiones intercaladas, cada término de una subsucesión está
alternado con un término de la otra, así las dos sucesiones componentes son:
Y podemos darnos cuenta que los términos generales de cada una de ellas son 2𝑛 y −3𝑛
respectivamente, y también podremos notar que los términos de la sucesión original alternan su
signo, dónde las posiciones pares son negativas. Entonces los términos siguientes de la sucesión
son 32 y -15.
Ahora ha llegado el momento de que pongas en práctica tus razonamientos resolviendo los
ejercicios siguientes.
B. Series espaciales
De la misma manera que se busca encontrar un patrón de comportamiento en sucesiones
numéricas, se pueden presentar series espaciales en las cuales nos piden identificar cuáles son
los siguientes movimientos o estados de la sucesión, por ejemplo:
¿Qué imagen sigue en la siguiente serie?
A. B. C. D.
Podremos darnos cuenta de que la opción correcta es el inciso B.
En otras ocasiones vamos a encontrar problemas que no nos piden el estado inmediato sino cierta
característica de éste o de un estado mucho más adelante:
¿Cuántos cuadros se requieren para construir
una pirámide de 10 niveles?
A. 50
B. 45
C. 66
D. 55
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Aquí debes notar que cada nivel agrega tantos cuadros como el mismo nivel nos indica, así para el
primer nivel tenemos 1 cuadro, para construir una pirámide de dos niveles necesitamos 1+2
cuadros, para una de tres 1+2+3 cuadros, de esta forma una de diez niveles requerirá
1+2+3+…+8+9+10=55 cuadros.
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
Epp, Susana, (2012), Matemáticas Discretas Con Aplicaciones, CENGAGE LEARNING, México.
Stewart, James (2012): "Precálculo, matemáticas para el cálculo". 6ª edición. Cengage Learning Editores.
Larson, Ron. (2012) Precálculo. 8ª edición. Cengage Learning Editores.
https://es.slideshare.net/augustocabrerabecerril/habilidad-matemtica-series-espaciales
http://roa.uveg.edu.mx/repositorio/bachillerato2015/171/Seriesespacialesynumricas.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=Vlmgmlt7t9U
http://profe-alexz.blogspot.mx/2012/10/series-numericas-razonamiento.html
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Tema (s): RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Subtemas: IMAGINACIÓN ESPACIAL
Imaginación espacial
Capacidad del individuo de analizar y visualizar objetos en su mente
Rotación de
imágenes
Construcción de
figuras
Descubrir
semejanzas
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METODOLOGIA PARA UNA MEJOR COMPRENCIÓN DE PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO
Para resolver problemas de razonamiento, debemos tener una organización al momento de
comprender, analizar, clasificar y entender el resultado, puesto que si nos guiamos por conjeturas,
podemos llegar a un resultado erróneo, por lo anterior se han dado a conocer estrategias o
procesos para resolver problemas de razonamiento matemático. Con base al método de cuatro
pasos de George Polya:
Paso 1. Comprenda el problema. Entender que piden calcular (el objetivo). Analizar y leer
cuidadosamente el problema. Finalmente preguntar ¿Qué debo calcula?
Paso 2. Elabore un plan. Primero identificar los datos que nos proporciona el problema, clasificar
los datos, elaborar un Plan o estrategia utilizando (diagramas, esquemas, operación matemática,
sentido común).
Paso 3. Aplique un Plan. Una vez que ha clasificado el problema, ponga en práctica la estrategia.
Paso 4. Revise y Verifique. Revisar la respuesta para ver si es razonable. Preguntar: ¿Satisface
las condiciones del problema?, ¿Se han contestado todas las preguntas del problema?, ¿Es
posible resolver de otra manera y llegar al mismo resultado?
Ejemplo 1
1.- Observando la figura:
¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la anterior después de haberla girado 90 ˚a la IZQUIERDA?
a) b) c) d)
Resolución:
Primero observa detenidamente la figura:
Toma un solo punto de referencia en este caso tomaremos el 2, ahora imagina en qué posición
debe de quedar al girarlo 90°, como lo pide el ejercicio:
Valida que en las opciones aparezca la forma de la referencia que tomamos
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Una vez que validaste que la referencia si corresponde con una de las opciones debes validar que
las demás referencias coincidan:
Una vez encontrada la respuesta regresamos al problema:
1.- Observando la figura:
¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la anterior después de haberla girado 90 ˚a la derecha?
a) b) c) d)
Ejemplo 2
¿Qué opción contiene los números de la siguiente figura?
a) 9, 36
b) 11,44
c) 10, 40
d) 12,48
Primero observa detenidamente las figuras. En este caso se debe tomar en cuenta que el tipo de
problema es de sucesiones numéricas, por lo tanto se analizará buscando patrones de diferencias
entre cada cifra:
Por lo tanto la respuesta
correcta debe de ser “C”
2 5 8
8 32 20
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Notarás que en el caso de la sucesión de arriba existe una diferencia de 3 y en la sucesión de
abajo existe una diferencia de 12, por lo tanto siguiendo esa lógica la siguiente sucesión deberá
quedar como:
Una vez encontrada la respuesta regresamos al problema: ¿Qué opción contiene los números de
la siguiente figura?
a) 9, 36
b) 11,44
c) 10, 40
d) 12,48
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
https://books.google.com.mx/books?id=0F_pWjrT1CYC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=razonamiento+a
ritmetico&source=bl&ots=vYzMXi9xbY&sig=1Ip4liJ7SKNIh9xIS4mmqXcehNs&hl=es-
419&sa=X&ved=0ahUKEwjytIDwuqHXAhUe0IMKHVtECU0Q6AEIVzAJ#v=onepage&q=razonamie
nto%20aritmetico&f=false
https://www.tropaymarineria.es/test/Tropa%20y%20Mariner%C3%ADa%20-
%20Ejemplo%20Test%20Razonamiento%20Espacial.pdf
2 5 8
8 32 20
Por lo tanto la respuesta correcta debe de ser “b”
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Tema (s): NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
Subtemas: NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS, OPERACIONES BASICAS
Cuando pensamos en números, lo que escribimos es 101, 8.5, 12⁄ , 0, ¿y qué hay de los números
negativos −7 o de √4 o el número ? Todos ellos pertenecen a un conjunto de números llamados
los Números Reales. A continuación se muestra la clasificación y a qué conjunto pertenecen estos números.
Ahora, con ayuda de los números Naturales, N={1, 2, 3, … , +∞}, podemos identificar los números COMPUESTOS y los número PRIMOS.
Números Compuestos
4=2x2 10=5x2
111=11x11
Números Naturales
Números Primos 2,3,5,7,11
,13,17,…
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Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números: Ej. 1. m.c.m (8,10)= 40
8 10 2
4 5 2 2 5 2 1 5 5 1
Ej. 2. m.c.m (9, 15)=
9 15 3
3 5 3 1 5 5 1
Ej. 3. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se pueda llenar en un número exacto de segundos por cualquiera de tres llaves que vierten: la 1ra, 2 litros por segundos; la 2da, 30 litros en 2 segundos y la tercera 48 litros en 3 segundos?
2 30 48 2
1 15 24 2 15 12 2 15 6 2 15 3 3 5 1 5 1
Para operar números con signos, se requiere de la aplicación de la Ley de los Signos:
➢ Multiplicación: Ej. 1. (32)(−2) = −64 Ej. 2. −1(−3) = 3 Ej. 3. 103.5(2) = 207 Ej. 4. (−3)(3)(−1)(−7)(−5) = 315
➢ División: Ej. 1. (−32) ÷ (4) = −8
Ej. 2. −22
11 = −2
Ej. 3. −144
−2×
16
−8= −144
Ej. 4. −2(3)÷ 2
−5(−3)÷ −5= 1
2(2)(2)(5) = 40
2(2)(2)(2)(3)(5)=240 litros
3(3)(5) = 45
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➢ Suma o Adición: Para efectuar la suma o adición de números enteros tenemos los siguientes casos.
1) Reducción de números con signo: en este tipo de operación se recomienda sumar primero los términos positivos, sumar luego los términos negativos y por último restar las dos sumas:
Ej. 1. 2 + 3 − 5 + 8 − 7 + 4 = 5 Ej. 2. 6 − 2 − 7 + 9 + 8 − 12 = 2 Ej. 3. 8 + 5 + 3 − 13 − 2 − 1 = 0
2) Uso de paréntesis: cuando el signo exterior del paréntesis es positivo, los términos dentro del paréntesis no cambian su signo. Cuando el signo exterior del paréntesis es negativo, los términos del paréntesis cambian su signo.
Ej. 1. 5 + (−3) = 2 Ej. 2. 7 − (−8) = 15 Ej. 3. −3 + 4 − (−1 + 1) = 1 Nota 1: Cuando existe un paréntesis y dentro de este se encuentra una operación, primero deberá de realizar la operación. Ej. 4. 7 + (5 − 3) − (2 − 5) + 6 = 18 Ej. 5. 6 + [2 − (3 + 4) + (5 − 7) − 3] − 2 = −6
Ej. 6. 10)8267()3248(
)9548()]6824(13[−=
−−+−
+−−−+−−
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
Aritmética Teórico practica A Baldor Décima cuarta impresión 1998 Publicaciones Cultural. Cuadernillo gratuito de Habilidad matemática. PLANEA 2016 y 2017 INEE (Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación en México)
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Numerador
Denominador
Tema (s): NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES
Subtemas: OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS
NÚMEROS FRACCIONARIOS
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes
iguales.
𝑎
𝑏
Numerador: Indica las partes que se toman.
Denominador: Indica las partes iguales en que se divide la unidad.
2
5
8
20
Tipos de fracciones
Las fracciones se clasifican de acuerdo al denominador, estas son:
Fracciones Propias: son aquellas cuyo numerados es menor que el denominador. Su valor
comprendido esta entre 0 y 1.
Ejemplos: 4
5,
5
9,
3
8,
2
3
Fracciones Impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es
mayor que 1.
Ejemplos: 5
3,
14
9,
7
5,
23
11
Fracciones mixtas: están compuestas de una parte entera y una fraccionaria.
Ejemplos: 34
9, 1
1
5, 2
3
11
Convertir fracciones mixtas a impropias. Las fracciones mixtas pueden representar el mismo valor que una fracción impropia, es decir, son fracciones equivalentes. Por esta razón podemos convertir una fracción mixta a impropia. Para convertir lo primero que hay que hacer es multiplicar el entero por el denominador de la fracción, después sumar el numerador por el resultado de la multiplicación anterior. Todo esto sobre el denominador de la fracción.
𝟏𝟑
𝟓 = (𝟓)(𝟏) + 𝟑 =
𝟖
𝟓
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Convertir fracciones impropias a mixtas
Para realizar la conversión de una fracción impropia a mixta se efectúa la división del numerador entre el denominador, el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador de la fracción y el divisor es el denominador.
17
8= 8 17 = 2
1
8
Fracciones decimales
Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.
101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000, 104 = 10000, 𝑒𝑡𝑐.
Ejemplos:
0.4 = 4
10 0.23 =
23
100 0.724 =
724
1000
Suma de fracciones
Para sumar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores,
conservando el mismo denominador.
Ejemplos: 2
7+
3
7+
1
7=
6
7
3
8+
2
8=
5
8
Para realizar una suma con distinto denominador, se sigue el procedimiento de productos
cruzados.
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
Ejemplo: 2
7+
3
5=
2(5)+3(7)
7(5)=
10+21
35=
31
35
Resta de fracciones
Para restar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman los numeradores, conservando
el mismo denominador.
Ejemplos: 8
9−
3
9=
5
9
9
11−
5
11=
4
11
2
1
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Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones se realiza lo siguiente: se multiplican los numeradores, se multiplican los
denominadores y se simplifica la fracción.
Ejemplo: 3
8 ×
2
7=
6
56=
3
28
División de fracciones
Para dividir dos o más fracciones, se multiplican en cruz. Es decir, el numerador de la primera
fracción por el denominador de la segunda fracción (se obtiene el numerador), y el denominador de
la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador).
Ejemplo: 3
5
1
8=
3 × 8
5 × 1=
24
5
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
https://www.matematicasonline.es/cidead/libros/1eso/temas/05-Fracciones.pdf
http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema506.pd
https://matesyciencias.files.wordpress.com/2012/10/apuntes-de-fracciones.pdf
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Tema (s): RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES
Subtemas: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES
RAZÓN Es la comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas.
Se lee “a es b”.
𝒂
𝒃= 𝒌 𝒐 𝒂: 𝒃
No se trata de repartir al azar, por ejemplo si al grupo de 15 alumnos le doy 36 libros y al grupo de
10 alumnos le doy 14 libros, el reparto no es proporcional. En cambio, si al grupo de 15 alumnos le
doy 30 libros y al segundo grupo le doy 24 libros, el reparto es proporcionalmente directo.
Si el total de estudiantes que hay es 25 y el total de libros es 50.
La Razón correspondiente es 𝟐𝟓
𝟓𝟎=
𝟏
𝟐
PROPORCIÓN Es una comparación entre dos razones, esta relación puede ser de forma directa e
inversa.
Un primer grupo tiene 15 estudiantes y se necesita conocer el número de libros que le corresponde
Primera razón 50
25 = Segunda razón
x
15
PROPORCIÓN DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o
disminuir una de ellas la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción.
Con estas dos razones planteamos la proporción y resolvemos.
25
50=
15
𝑥 → 𝑥 =
(50)(15)
25= 30
Acabamos de averiguar que al grupo de 15 alumnos le corresponde 30 libros.
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PROPORCIÓN INVERSA Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando haciéndose
mayor o menor la primera cantidad, la segunda por el contrario se hace menor o mayor
respectivamente el mismo número de veces. Observa la tabla:
Primera magnitud 1 2 3 4 5 6
Segunda magnitud 120 60 40 30 24 20
Un grupo de 18 alumnos ha ganado un premio por un trabajo realizado y han recibido $ 200 cada
uno. ¿Cuánto recibirían si hubieran participado sólo 10 alumnos?
Alumnos dinero
18 200
10 x
Por tanto se aplica el inverso multiplicativo
x
200
10
18=
x = 10
)200(18
200
x
10
18= x = 360
· Recibirían $ 360 cada uno de los 10 alumnos
Una de las aplicaciones de las razones y proporciones es el porcentaje.
PORCENTAJE Un porcentaje es una forma de expresar una proporción como una fracción de
denominador 100, en otras palabras es el número de unidades que se toma de cada cien. Es de
utilidad para realizar comparaciones entre cantidades.
8 por ciento es lo mismo que la fracción 8 % = 08.0100
8=
35 % = 35.0100
35= 15.8 % = 158.0
100
8.15=
Existen los siguientes tipos de porcentaje.
PORCENTAJE DE AUMENTO
El precio final, aplicando un porcentaje se calcula sumando el AUMENTO al precio inicial.
PORCENTAJE DE DESCUENTO
El precio final del, aplicando un porcentaje se calcula restando el DESCUENTO del precio inicial.
a + alumnos – dinero
a – alumnos + dinero
Proporcionalidad inversa
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Ejemplos ✓ En una escuela que tiene una población de 30 alumnos el 30 % fue de visita al
museo, ¿cuántos alumnos no fueron al museo? Considera:
Fueron al museo 30 %
No fueron al museo: 70 %
✓ En un almacén de ropa, hay un descuento en los artículos para caballero. Calcula el descuento que me hicieron en un artículo si pague $105 cuyo precio normal es de $150.00.
Considera:
Pago: $105
Costo normal: $150
Resuélvelo
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
http://lasmatematicas.eu/matematicas-y/algebra/porcentajes
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.html
http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf
http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf
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Tema (s): POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Subtemas: LEYES DE LOS EXPONENTES OPERACIONES COMBINADAS JERARQUIA DE OPERACIONES
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Potenciación:
Las potencias o exponentes se utilizan para denotar la multiplicación repetida de un número por sí
mismo; por ejemplo:
24 = (2)(2)(2)(2) = 16 y 63 = (6)(6)(6) = 216
En estas expresiones, 2 y 6 son la base y 4 y 3 son el exponente.
Reglas de los exponentes: A continuación se mencionan algunas reglas. En cada regla se da por
hecho que x y y son bases y números reales mayores a cero. También, que los exponentes a y b
son enteros, a menos que se especifique lo contrario.
Regla 1 : 𝑥−𝑎 = 1
𝑥𝑎
Ejemplo 1: 2−5 = 1
25 = 1
32 Ejemplo 2:
1
5−3 = 53 = 125
Regla 2 : (𝑥𝑎)(𝑥𝑏) = 𝑥𝑎+𝑏
Ejemplo 1: (22)(23) = 22+3 = 25 = 32Ejemplo 2: (𝑥−3)(𝑥5) = 𝑥5−3 = 𝑥2
Regla 3: 𝑥𝑏
𝑥𝑎 = 𝑥𝑏−𝑎 = 1
𝑥𝑎−𝑏
Ejemplo 1: 25
22 = 25−2 = 23 = 8Ejemplo 2: 𝑥2
𝑥6 = 𝑥2−6 =1
𝑥6−2 =1
𝑥4
Regla 4: 𝑥0 = 1 ; 𝑥1 = 𝑥
Ejemplo 1: 50 = 1Ejemplo 2: (-5)0 = 1
* 00 no está definido.
Regla 5: (𝑥𝑎)(𝑦𝑎) = (𝑥𝑦)𝑎
Ejemplo 1: (52)(22) = 102 = 100Ejemplo 2: (2𝑥)4 = 24𝑥4 = 16𝑥4
Regla 6:(𝑥
𝑦)3 =
𝑥3
𝑦3
Ejemplo 1: (2
3)3 =
23
33 =8
27Ejemplo 2: (
𝑥
2𝑦)2 =
𝑥2
4𝑦2
Regla 7: (𝑥𝑎) 𝑏 = 𝑥𝑎𝑏
Ejemplo 1: (24)2 = 24∗2 = 28 = 256Ejemplo 2: (2𝑥3)3 = (23)(𝑥3∗3) = 8𝑥9
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Radicación:
La raíz cuadrada de un número positivo n es un número m, por lo tanto m2 = n. Donde m es la raíz,
2 es el orden y n es el radicando.
Por ejemplo, 5 es la raíz cuadrada de 25 dado que 52 = 25. También, la raíz cuadrada de 25 es -5
dado que (-5)2 = 25 ya que todos los números positivos tienen una raíz cuadrada positiva y otra
negativa. Una raíz cuadrada es una raíz de orden 2, órdenes mayores, por ejemplo 3 y 4 se
escriben de la siguiente manera: 3m y 4n. A continuación se muestran algunos ejemplos de
raíces.
√9 = 3 ya que el cuadrado de 3 es 9, la raíz de 9 es igual a 3.
√25= 5 √81 = 9√100 = 10 √121 = 11√144= 12
√169 = 13√196= 14√225 = 15√625= 25
Las raíces más comunes con órdenes mayores son:
√83
= 2 ya que 23 = 8 por lo tanto la raíz cúbica es 2, 3 es el orden y 8 es el radicando.
√273
= 3√814
= 3
Jerarquía de operaciones:
Para realizar operaciones mixtas, utilizando sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, paréntesis
y potencias se debe seguir el siguiente orden:
Operaciones combinadas:
Operaciones con sumas y restas:
2 + 3 – 5 – 2 + 6 = 4
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Cuando existen dos o más operaciones de la misma jerarquía juntas se resuelven por orden de
aparición.
Operaciones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones:
2x4-5-6/3+7 = 7
Se resuelve primero la multiplicación, después la división y la sumas y restas de izquierda a
derecha.
Operaciones con sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, paréntesis y potencias:
-(5x3)+2-9/3+32 = -7
Se resuelven utilizando la jerarquía de operaciones y de izquierda a derecha cuando poseen la
misma jerarquía.
Nunca olvides la ley de los signos para resolver estas operaciones.
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
Arias Cabezas, José María y MazaSáez Ildefonso. 2008. Aritmética y Álgebra. En Carmona
Rodríguez, Manuel y Díaz Fernández Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial
Bruño, Sociedad Limitada. p. 19.
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_rad.htm (Se consultó el
05/11/2017)
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_pot.htm (Se consultó el
05/11/2017)
http://ciencias.udea.edu.co/semilleros/Semilleros%202009/Taller%207/PDF/Taller%207%20grado
%207.pdf(Se consultó el 05/11/2017)
https://www.ditutor.com/numeros_naturales/jerarquia_operaciones (Se consultó el 11/11/2017)
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Tema (s): EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Subtemas: LENGUAJE ALGEBRAICO, OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Es una combinación de números y letras que representan números (variables) cualesquiera.
Algunas ocasiones se sugiere que las últimas letras del alfabeto para las variables (x, y, z) y las
primeras (a, b, c) para las constantes.
Por ejemplo:
3x2-7xy + 2y3, (√5 xyz+2z)
(3 a2+2k)
LENGUAJE ALGEBRAICO
En algebra es la parte de la matemática que estudia la relación entre números, letras y signos. Por
lo tanto, el lenguaje algebraico es aquel que emplea símbolos y letras para representar números.
Dicho en otras palabras, permite expresar números desconocidos y realizar operaciones
matemáticas con ellos; siendo más preciso al expresarse en forma breve.
EL lenguaje algebraico tiene como finalidad, establecer y diseñar un idioma que ayude a
generalizar las diferentes operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde sólo se
emplean los números y sus operaciones básicas.
Ejemplo
El sucesor de n 𝑛 + 1
El antecesor de n 𝑛 − 1
Entero siempre par 2𝑛
Entero siempre impar 2𝑛 + 1
Dos pares consecutivos 2𝑛 y 2𝑛 + 2
Dos impares consecutivos 2𝑛 + 1 y 2𝑛 + 3
TÉRMINO INDEPENDIENTE
Sólo consta de un valor numérico −2𝑥𝑦
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que sólo se diferencian en su coeficiente. Por ejemplo, -2xy, 4xy son términos
semejantes, mientras que 2ab,3𝑎2𝑏3 no lo son.
POLINOMIO
Es una expresión algebraica de más de un término.
Por ejemplo.
a) 7𝑥3𝑦4 es un monomio, ya que sólo consta de un término.
b) 2𝑥 + 3𝑦 es llamado binomio, por constar de dos términos.
c) 3𝑥2 + 4𝑥 – 2recibe el nombre de trinomio pues es una expresión algebraica de tres
términos.
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OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
1.-SUMA Se efectúa agrupando los términos semejantes.
7𝑥 + 3𝑦2 − 4𝑥𝑦 ; 3𝑥 − 2𝑦2 + 𝑥𝑦; 𝑥 − 6𝑦2 − 2𝑥𝑦
( 7𝑥 + 3𝑦2 − 4𝑥𝑦 ) + ( 3𝑥 − 2𝑦2 + 𝑥𝑦 ) + ( 𝑥 − 6𝑦22 − 2𝑥𝑦 ) =
7𝑥 + 3𝑦2 − 4𝑥𝑦 + 3𝑥 − 2𝑦2 + 𝑥𝑦 + 𝑥 − 6𝑦2 − 2𝑥𝑦=
𝟏𝟏𝒙 − 𝟓𝒚𝟐 − 𝟓𝒙𝒚
2.- RESTA Se lleva a cabo efectuando la suma de la expresión del minuendo con el inverso aditivo
del sustraendo, la cual se obtiene cambiando el signo de todos sus términos.
Restar 2𝑥2 − 𝑥𝑦 + 4𝑦2 de 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2
(5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2) - ( 2𝑥2– 𝑥𝑦 + 4𝑦2) =
5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 − 2𝑥2 + 𝑥𝑦 − 4𝑦2=
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 − 𝟑𝒚𝟐
3.- MULTIPLICACIÓN Hay tres casos y debemos recordar:
i) Producto de dos o más monomios. Para
realizarlo se aplican las leyes de los exponentes
(−3𝑥2𝑦3𝑧)(2𝑥𝑦2𝑧5)=
[(−3) (2)][ 𝑥 2𝑥][ 𝑦3𝑦2][𝑧 𝑧5]=
− 𝟔𝒙𝟑𝒚𝟓𝒛𝟔
ii) Producto de un monomio por un polinomio.
Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio y sumando los productos.
(5𝑥2𝑦4) (3𝑥𝑦2 − 4𝑥3 + 2𝑥𝑦2)=
(5𝑥2𝑦4) (3𝑥𝑦2) + (5𝑥2𝑦4) (−4𝑥3) (5𝑥2 𝑦4) (2𝑥𝑦2)=
𝟏𝟓𝒙𝟑𝟑𝒚𝟓 − 𝟐𝟎𝒙𝟓𝒚𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑𝒚𝟔
i) Producto de un polinomio por un polinomio.
Se multiplican todos y cada uno de los términos de un polinomio por todos y cada uno de los términos del otro y sumando los productos obtenidos.
(𝑥 + 3) (𝑥2 + 9𝑥 − 2) =
(𝑥)(𝑥2)+(𝑥)(9𝑥)-(𝑥)(2)+(3)(𝑥2) + (3)(9𝑥) − (3)(2)=
𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟗𝒙 + 𝟔
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4.- DIVISION Hay dos casos:
Monomio entre monomio. Se inicia la división aplicando leyes de los signos, los coeficientes se dividen y para las letras que son iguales se aplican las leyes de los exponentes.
75𝑐2𝑒15𝑓11
−5𝑐𝑒7𝑓 =
75
−5
𝑐2
𝑐
𝑒15
𝑒7
𝑓11
𝑓
= −𝟏𝟓𝒄𝒆𝟖𝒇𝟏𝟎
Polinomio entre monomio Cada uno de los términos de polinomio se divide entre el monomio (que se encuentra en el denominador)
32𝑥2 + 20𝑥 − 12𝑥3
4𝑥
32𝑥2
4𝑥+
20𝑥
4𝑥−
12𝑥3
4𝑥=
8𝑥 + 5 − 3𝑥2
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
PiotrWisniewski, Marian y Gutiérrez Banegas, Ana Laura, s.f., Introducción a las matemáticas
Universitarias, México, D.F., Ed. Mc Graw Hill- Schaum,
Earl w. Swokowski y Jeffery A. Cole, Diciembre de 2007, Algebra y Trigonometría con Geometría
Analítica, , México, D.F., Ed. CengajeLearning.
http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Expresiones_algebraicas
https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s
https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-algebraic-expressions
http://www.estoy-aprendiendo.com/algebra.html
https://www.google.com.mx/search?q=que+es+el+lenguaje+algebraico&oq=QUE+ES+EL+LENGU
AJE&aqs=chrome.1.69i57j0l5.7048j0j8&sourceid=chrome&ie=UTF-8
http://conceptodefinicion.de/lenguaje-algebraico/
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Tema (s): PRODUCTOS NOTABLES
Subtemas: BINOMIO: AL CUADRADO, CONJUGADOS, TÉRMINO COMÚN
PRODUCTOS NOTABLES
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos
conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla
cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de
productos notables.
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a
término.
CUADRADO DE UN BINOMIO
El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. El desarrollo
del cuadrado del binomio a + b se puede obtener multiplicando término a término
El cuadrado de un binomio a + b es
igual al cuadrado del primer término
más el doble del producto delos términos más el cuadrado del segundo término.
Ej.
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS
Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos.
Al efectuar el producto de un binomio a + b por su conjugado a - b , se tiene:
Es decir, Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos
Ej.
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
El producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de
los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos.
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Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado de lado
x . A uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una cantidad b , por lo que
se forma una superficie con cuatro regiones
Ej.
Esto significa que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término
común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto
de los términos distintos.
BINOMIO CON TÉRMINO SEMEJANTE
Son aquellos términos que solo difieren en el coeficiente. En el caso del producto de dos binomios
con términos semejantes (2x + 3) (3x + 4) cuando el coeficiente del término semejante en cada
binomio sea el mismo, se tiene el caso de binomios con un término común.
Para obtener el producto de dos binomios con términos semejantes, se puede hacer la
multiplicación directamente.
El polinomio que se obtiene como producto de dos binomios con términos semejantes se forma
con un término que es el producto de los dos términos semejantes, otro termino que es el producto
de los otros dos términos, y la suma del producto de los extremos (el termino semejante del primer
binomio con el otro término del segundo binomio) con el producto de los medios (el otro término del
primer binomio con el termino semejante del segundo binomio).
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Los términos semejantes se separan de acuerdo al producto de dichos términos más el producto e
los otros dos términos.
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
https://www.youtube.com/watch?v=OP_WX8TjeI4
http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/AlgebraProductosnotables.htm
http://www.escolares.net/matematicas/productos-notables/
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Tema (s): FACTORIZACION
Subtemas: POR TERMINO COMUN, TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, DIFERENCIA
DE CUADRADOS, TRINOMIO CON TERMINO COMUN, BINOMIO CON
TERMINO SEMEJANTE
FACTORIZACIÓN
Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Nótese como el
número 2 aparece como factor común de 6, 10 y 30 porque cada uno de estos números se divide
exactamente entre dicho factor común. Cuando una expresión algebraica está contenida
exactamente en todos y cada uno de los términos de un polinomio, se dice que es factor común de
ellos.
(3)(2)= 6 , por lo que factores de son 3 y 2.
(5)(2)=10 , por lo que factores de son 5 y 2 .
(5)(3)(2)= 30, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2 .
Para encontrar el factor común de los términos de un polinomio se busca el máximo común divisor
(MCD)de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los
términos, se escogen las que tengan el menor exponente.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es el
cuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, 9𝑎2 es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de 3a.Se
conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado
un binomio.
Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe
cumplir que dos de sus términos sean cuadrados perfectos y
que el otro término corresponda al doble producto de las raíces
cuadradas de los términos cuadráticos.
Ej.
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DIFERENCIA DE CUADRADOS
Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados. Esto
implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los
términos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su
conjugado.
Forma:
Es lo mismo que factor común de binomios solo que con trinomio, porque el procedimiento es
exactamente el mismo, con las mismas reglas.
TRINOMIO CON TÉRMINO COMÚN
El factor común es aquel factor que está presente en cada término del trinomio. El factor común
puede ser numeral, literal, o ambos a la vez. Si es un factor común literal se extrae el de menor
exponente. Si el factor común es numeral se saca el máximo común divisor. El proceso para
aplicar el factor común en trinomio, se realiza igualmente de los binomios.
Producto de dos binomios los cuales sólo tienen en común un sólo término, su forma general es ( a
+ b ) ( a + c ) la cual trata del producto de dos binomios, los cuales tienen en común el término “a”
y los términos NO comunes son los términos “b, c”. El producto de binomios con término común es
un trinomio cuadrado, para lo cual existe una regla de 3 pasos en donde cada paso nos da un
término de dicho trinomio.
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1) El cuadrado del término común.
2) La suma de los términos NO comunes, por el término común.
3) El producto de los términos NO comunes.
Ej.
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
https://www.youtube.com/watch?v=ROGt8u81FxM
https://es.wikiversity.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n
http://math.uprm.edu/academic/courses-help/mate0066/m0066_ver09/sol_factorizacion.pdf
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Las incógnitas son las literales
que aparecen en la ecuación.
La solución es el valor único
que toma la incógnita para
que la igualdad sea cierta.
El grado de una ecuación es
de primer grado el
exponente de la literal.
Tema (s): ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Subtemas: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del
signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el
otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
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ECUACIÓN BASICA
Pasamos las x a un lado de la igualdad (izquierda) y los números al otro lado (derecha):
En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:
Sumamos los monomios con x:
En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando:
Sumamos los monomios de la derecha:
El coeficiente de la x es 2. Este número está multiplicando a x, así que pasa al otro lado dividiendo:
Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3.
ECUACIÓN CON PARENTESIS
Recordamos que los paréntesis sirven para agrupar elementos, para simplificar o para evitar ambigüedades.
El signo negativo de delante del paréntesis indica que los monomios que contiene tienen que cambiar de signo:
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Sumamos 3 y -2 en el lado derecho:
Pasamos los monomios con x a la izquierda y los números a la derecha:
Sumamos 1 y -1. Como el resultado es 0, no lo escribimos:
Pasamos 2x a la izquierda restando y sumamos los monomios:
Luego la solución de la ecuación es x = 0.
ECUACIÓN CON FRACCIONES
Tenemos varias formas de proceder con las fracciones:
• Sumar las fracciones de forma habitual.
• Multiplicar la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
En esta ecuación aplicaremos la segunda opción. De este modo los denominadores van a desaparecer.
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Multiplicamos, pues, por m.c.m. (2, 3) = 6:
Para simplificar, calculamos las divisiones:
Nótese que hemos escrito un paréntesis al eliminar la fracción de la derecha. Esto se debe a que el 3 debe multiplicar al numerador que está formado por una suma.
Calculamos los productos:
Para eliminar el paréntesis, multiplicamos por 3 todos los elementos que contiene:
Pasamos las x a la izquierda:
Sumamos los monomios:
Finalmente, el coeficiente de la x pasa dividiendo al otro lado:
La solución de la ecuación es x = 3/4. La fracción no se puede simplificar más puesto que ya es irreductible (el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para resolver este tipo de problemas, el enunciado se transforma al lenguaje algebraico, de esta
manera se obtiene una ecuación de primer grado.
¿Cuál es el modelo matemático que resuelve el problema: “La suma de 2 números es 60, el mayor excede al menor en 20”?
✓ Utilizas una literal para generalizar
Número menor : 𝒙
Número mayor: 𝒙 + 𝟐𝟎 ✓ Se plantea la ecuación:
Número mayor + Número menor =60 (𝒙 + 𝟐𝟎) + 𝒙 = 𝟔𝟎
Norma tiene 15 años y Aidé 35. ¿Dentro de cuántos años Aidé tendrá el doble de años que Norma?
Edad Actual Dentro de 𝒙 años
Norma 𝟏𝟓 𝟏𝟓 + 𝒙
Aidé 𝟑𝟓 𝟑𝟓 + 𝒙
Edad de Aidé = 2(edad de Norma) 𝟑𝟓 + 𝒙 = 𝟐(𝟏𝟓 + 𝒙) 𝟑𝟓 + 𝒙 = 𝟑𝟎 + 𝟐𝒙 𝟑𝟓 − 𝟑𝟎 = 𝟐𝒙 − 𝒙
𝟓 = 𝒙
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec.html
http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-primer-grado.htm
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Tema (s): ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICAS)
Subtemas: CLASIFICACION DE ECUACIONES CUADRÁTICAS RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN Y FÓRMULA GENERAL INTERPRETACIÓN GEOMETRICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Se clasifican en
De la forma De la forma
Métodos de Resolución
FÓRMULA GENERAL
𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Para aplicar la fórmula general deben obtenerse los valores de 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐, en el orden de la
ecuación de segundo grado igualada a cero. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝒂: 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒐
𝒃: 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒄: 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 Observa:
• En la ecuación de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 considera 𝑐 = 0 • En la ecuación de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 considera 𝑏 = 0
ECUACIONES COMPLETAS ECUACIONES INCOMPLETAS
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
MIXTAS
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
PURAS
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
✓ FÓRMULA GENERAL
✓ FACTORIZACIÓN
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
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COMPLETA: contiene el término de segundo grado, el de primer grado y el independiente
𝑥2 + 5𝑥 − 6
Solución: (Formula General)
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎= 1 𝑏= 5 c = -6
𝑥 =−5 ± √52 − 4(1)(−6)
2(1)
𝑥 =−5 ± √25 − (−24)
2(1)
𝑥 =−5 ± √25 + 24)
2(1)
𝑥 =−5 ± √49
2(1)
𝑥 =−5 ± 7
2
𝑥1 =−5 − 7
2𝑥2 =
−5 + 7
2
𝑥1 = −6 𝑥2 = 1
DISCRIMINANTE Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos en la ecuación la convierten en una identidad.
Llamamos discriminante ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄, a partir del signo del discriminante conoceremos el
número de soluciones de la ecuación, así:
Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
Si el discriminante es 0 hay una solución.
Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0
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Discriminante
Ejemplo Discriminante Carácter de las Raíces
∆> 0
POSITIVO
𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0 52 − 4(1)(−6) = 49 Dos raíces reales y diferentes
−6 , 1
∆= 0
CERO
4𝑥2 + 12𝑥 + 9 = 0 122 − 4(4)(9) = 0 Reales e iguales
− 32⁄ , 3
2⁄
∆< 0
NEGATIVO
5𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 (−3)2 − 4(5)(2) = −31 Imaginarias No hay solución
PURA: es aquella donde la variable a encontrar esta elevada al cuadrado y carece del término de
primer grado:
Solución:
MIXTA: Es aquella ecuación donde carece del término independiente.
22𝑥2-14𝑥 = 0
Solución: (Método de Factorización)
2𝑥(𝑥 − 7) = 0
2𝑥 = 0
(𝑥 − 7) = 0
𝑥1 = 0/2 → 𝑥1 = 0
𝑥2 = 7
𝑎𝑥+c=0
3𝑥2-27=0
3𝑥2-27=0
3𝑥2 = 27 𝑥2 = 27/3
𝑥2 = 9
𝑥 = ±√9
𝑥2 = −3 𝑥1 = 3
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0
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INTERPRETACION GRÁFICA La interpretación geométrica de la ecuación de segundo grado se obtiene a partir de la gráfica de la función y=ax2+bx+c, que es una parábola; donde la solución de la ecuación ax2+bx+c=0 son los puntos de dicha gráfica cuando y=0, es decir, los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas (eje X).
PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL USO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
• Hallar la suma de dos números es 16 y cuyo producto es 63
𝑥 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑦 = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
Despejamos ( y ) de la ecuación ①.
𝑥 + 𝑦 = 16…① 𝑦 = 16 − 𝑥 …③
𝑥 ∗ 𝑦= 63…②
Sustituimos el valor obtenido de la ecuación ③ en ecuación ② para obtener la ecuación con una
sola incógnita.
𝑥 ∗ 𝑦 = 63… ②
𝑥 ∗ (16 − 𝑥) = 63… ②
Igualamos esta ecuación a cero y resolvemos.
En la imagen de la izquierda podemos observar la gráfica de y = x2+2x-3 donde los puntos de intersección en el eje de las abscisas son: (-3,0) y (1,0). Por lo tanto la solución de la ecuación cuadrática es:
𝑥1= -3
𝑥2= 1
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𝑥2 − 16 + 63 = 0 a = 1 b = -16 c = 63
𝑥 =−(−16) ± √((−16)2 − 4(1)(63)
2(1)
𝑥 =16 ± √256 − 4(1)(63)
2
𝑥 =16 ± √256 − 252
2
𝑥 =16 ± √4
2
𝑥 =16 ± 2
2
𝑥1 =16 + 2
2 𝑥2 =
16 − 2
2
𝒙𝟏 = 𝟗 𝒙𝟐 = 𝟕
Así, los números cuya suma es 16 y su producto es 63 son 9 y 7.
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
http://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2009/descartes/catalunya/materials/jordi_s
egarra_practica_3/tema5_ccss_eda05/item_2.htm
http://www.allmathwords.org/es/q/quadraticequation.html
http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/discriminante.html
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Tema (s): SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Subtemas: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS
PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS EN CONTEXTO
INTERPRETACIÓN DEL MÉTODO GRAFICO
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es conjunto de ecuaciones lineales (Un sistema de ecuaciones
donde cada ecuación es de primer grado y puede tener más de una incógnita);lo que hacen estas
ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.
Por ejemplo: A𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶
𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 = 𝐶′
MÉTODOS DE
SOLUCIÓN.
Reducción.
Consiste en sumar ambas ecuaciones y eliminar una de las variables, obteniendo una ecuación de primer grado con una
incognita.
Igualación
Consiste en despejar la misma incognita de ambas ecuaciones e igualarlas para
obtener una ecuación de primer grado con una incognita.
Gráfico
En este método se dan valores a x para encontrar los valores de y, y formar las
parejas que al gráficar forman la recta que representa la ecuación en el plano cartesiano
y la intersección de ambas rectas será la solución.
Sustitución
Consiste en despejar una incognita de cualquiera de ambas ecuaciones para
sustituir en la ecuación restante y obtener una ecuación de primer grado con una
incognita.
Es un sistema de dos
ecuaciones con dos
incógnitas (x e y).
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a) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se
cumplan todas las ecuaciones del sistema.
Los métodos de solución para este sistema de ecuaciones son los siguientes:
1. Método de Sustitución
Consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones del sistema y sustituir su valor
en la otra ecuación.
Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
5𝑥 + 2𝑦 = 1 ………….( 1)
−3𝑥 + 3𝑦 = 5 ………….( 2)
i. Despejamos en una incógnita de una de las ecuaciones.
En este caso de la ecuación (2) despejamos “y”
𝑦 =3𝑥 + 5
3
ii. Sustituimos en la otra ecuación, la incógnita despejada:
5𝑥 + 2 (3𝑥 + 5
3) = 1
iii. Resolvemos la ecuación, para encontrar el valor de la incógnita.
5𝑥 +6𝑥
3+
10
3= 1 →
21𝑥
3+
10
3= 1 → 7𝑥 = 1 −
10
3
7𝑥 = − 7
3 → 𝑥 =
7
3
7
𝑥 = −7
21
iv. Sustituimos el valor obtenido en la ecuación despejada al principio y resolvemos para
obtener el otro valor.
𝑦 =3𝑥 + 5
3 → 𝑦 =
3 (−7
21) + 5
3 → 𝑦 =
−1 + 5
3 → 𝑦 =
4
3
Los valores de las incógnitas son:
𝑥 = −7
21
𝑦 =4
3
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2. Método de Reducción
Consiste en reducir el sistema de ecuaciones a una sola ecuación con una sola incógnita. Para
esto se necesita multiplicar una ecuación y en ocasiones las dos ecuaciones por números
convenientes, para que los coeficientes de una de las incógnitas sean números iguales pero con
signos opuestos, al momento de realizar la suma de las dos ecuaciones, la incógnita quedará
eliminada.
Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
𝑥 + 2𝑦 = 9 ………….( 1)
3𝑥 − 𝑦 = 20 ………….( 2)
i. Si queremos eliminar la incógnita x, es necesario tener el mismo número y con signo
contrario los coeficientes de esta incógnita. Para ello multiplicaremos la ecuación (1)
por “-3” y realizamos la sima algebraica de ambas ecuaciones:
−3𝑥 − 6𝑦 = −27 ……………… (ecuación “1” multiplicada por “-3”)
3𝑥 − 𝑦 = 20 ………………. (ecuación “2”)
−7𝑦 = −7 → 𝑦 =−7
−7 → 𝑦 = 1
ii. Sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones iniciales y resolvemos
despejando la incógnita “x”.
𝑥 + 2𝑦 = 9 → 𝑥 + 2(1) = 9 → 𝑥 + 2 = 9
𝑥 = 9 − 2 → 𝑥 = 7
Los valores de las incógnitas son:
𝑥 = 7
𝑦 = 1
3. Método de Igualación
Consiste en despejar en despejar una incógnita en ambas ecuaciones e igualar para formar una
ecuación con una sola incógnita.
Suponiendo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
5𝑥 + 𝑦 = 8 ………….( 1)
3𝑥 − 𝑦 = 8 ………….( 2)
i. Despejamos “y” en ambas ecuaciones
𝑦 = 8 − 5𝑥
𝑦 = 3𝑥 − 8
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ii. Igualamos los segundos miembros del paso anterior y resolvemos para la incógnita “x”.
3𝑥 − 8 = 8 − 5𝑥 → 3𝑥 + 5𝑥 = 8 + 8 → 8𝑥 = 16
𝑥 =16
8 → 𝑥 = 2
iii. Ya encontrada la incógnita “x” la sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya
despejada y resolvemos.
𝑦 = 8 − 5𝑥
𝑦 = 8 − 5(2)
𝑦 = 8 − 10
𝑦 = −2
Los valores de las incógnitas son:
𝑥 = 2
𝑦 = −2
b) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas pueden
ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se
representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de ecuaciones que
satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este sistema conduce a los
valores de las incógnitas.
Ejemplo:
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto
iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.
Solución: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el
problema obtenemos las dos ecuaciones:
5𝑥 + 4𝑦 = 32
6𝑥 + 3𝑦 = 33
Utilizando los métodos antes mencionados para este tipo de ecuaciones. Para este caso
utilizaremos igualación.
Despejamos “y”
𝑦 = 8 −5
4𝑥
𝑦 = 11 − 2𝑥
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Igualando y resolviendo para x.
−5
4𝑥 + 8 = 11 − 2𝑥 → 2𝑥 −
5
4𝑥 = 11 − 8 →
3
4𝑥 = 3
𝑥 = 33
4
⁄ → 𝑥 = 4
Sustituyendo “x” en una de las ecuaciones iniciales encontramos “y”:
𝑦 = 11 − 2𝑥
𝑦 = 11 − 2(4)
𝑦 = 3
La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el
costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de
5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros
es igual a 6(4) +3(3) = $33.
a) Interpretación del método gráfico en la solución de un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
Consiste en graficar las ecuaciones lineales de dos incógnitas, donde el resultado se interpreta
como continúa:
➢ Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados: Dos rectas
que se cortan en un punto.
Ejemplo:
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑥 + 2𝑦 = 4
3𝑥 + 𝑦 = 4
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
Las dos rectas se cortan en el punto (4/5, 8/5) que es la solución del sistema.
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➢ Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas compatibles indeterminados: Una recta.
Ejemplo:
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 9
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
En realidad, solo hay una recta, que es la dada por todas las soluciones del sistema.
➢ Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas incompatibles: Dos rectas paralelas.
Ejemplo:
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 8
Representamos ahora gráficamente las dos rectas dadas por las ecuaciones del sistema:
Obtenemos dos rectas paralelas. No hay soluciones para el sistema y de igual
forma no hay puntos de corte de las dos rectas.
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BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
https://oggisioggino.wordpress.com/2014/02/15/sistemas-de-ecuaciones-lineales-con-dos-incognitas/ http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm http://www.algebra.jcbmat.com/id1252.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_lineales_dos_incognitas_dchg/p5_sde_3.html https://es.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations#solutions-to-two-var-linear-equations http://www.vadenumeros.es/primero/sistemas-graficamente.htm http://www.aprendermatematicas.org/2esomate09sistemas.html
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Tema (s): RECTAS Y ÁNGULOS, PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
Subtemas: TIPOS DE RECTAS, CLASIFICACIÓN DE RECTAS FIGURAS PLANAS
RECTAS Y ÁNGULOS
Tipos de rectas
Recta
Línea de puntos sin
principio ni fin, sin curvas
ni ángulos
Paralelas
Rectas que nunca se
cortan aunque se
prolonguen. La
distancia entre ambas
siempre es la misma
Recta Tangente
Recta que toca en un
punto pero sin cortar a
otra recta
Secante
Dos rectas tienen un
punto en común
(VERTICE) se llaman
secantes.
Oblicuas
Si dos rectas tienen un punto de
intersección, y forman ángulos no
todos iguales se llaman rectas
oblicuas
Perpendiculares
Dos rectas tienen un punto de
intersección, y forman cuatro ángulos
iguales y los ángulos se llaman rectos
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CLASIFICACIÓN Y RELACION DE ÁNGULOS ENTRE
PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
Dos rectas paralelas son cortadas por una recta
secante creando 8 ángulos que reciben distintos
nombres según la posición que ocupan.
La recta “r” corta a las rectas paralelas “m” y “n”
ÁNGULOS EXTERNOS
• Los ángulos externos son aquellos que se
forman al exterior de las rectas paralelas m
y n cuando son cruzadas por una recta
secante r.
• Su propiedad es:
∠𝒂 + ∠𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°
∠𝒃′ + ∠𝒄′ = 𝟏𝟖𝟎°
ÁNGULOS INTERNOS
• Los ángulos internos son aquellos que se
forman al interior de las rectas paralelas m
y n cuando son cruzadas por una recta
secante r.
• Su propiedad es:
∠𝒃 + ∠𝒄 = 𝟏𝟖𝟎°
∠𝒂′ + ∠𝒅′ = 𝟏𝟖𝟎°
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ÁNGULOS ALTERNO EXTERNOS
• Son los ángulos que están fuera de las líneas paralelas a
distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante.
Por un lado los ángulos a y c’, y por otro,
los ángulos b’ y d.
• Una de sus propiedades es que estos ángulos son
congruentes, lo cual significa que:
∠𝒂 = ∠𝒄′ y ∠𝒅 = ∠𝒃′
Ejemplo:
Si el ángulo a es de 135°, determine el valor del ángulo g
Solución:
Sabemos que por ser ángulos externos ∠𝑎 + ∠𝑏 = 180°, por lo tanto:
135° + 𝑏 = 180°
𝑏 = 180° − 135°
𝑏 = 45°
Entonces aplicando la propiedad ∠𝑏 = ∠𝑔
𝑏 = 45° por lo tanto 𝑔 = 45°
Ángulos correspondientes:
Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante y estos
siempre son iguales.
El ángulo a se corresponde con el ángulo a’
El ángulo b se corresponde con el ángulo b’
El ángulo c se corresponde con el ángulo c’
El ángulo d se corresponde con el ángulo d’
Por lo tanto:
∠𝒂 = ∠𝒂′ ∠𝒃 = ∠𝒃′ ∠𝒄 = ∠𝒄′ ∠𝒅 = ∠𝒅′
Figura 1
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TRIÁNGULO
Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y
tres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º.
Cada uno de los lados es menor que la suma de los
otros dos, esto es
a < b + c b < a + c c < a + b
Propiedades del Triángulo
ÁNGULOS ALTERNO EXTERNOS
• Son los ángulos que están dentro de las líneas paralelas a
distinto lado de ellas y a distinto lado de la secante.
Por un lado los ángulos b y d’, y por otro,
los ángulos c y a’.
• Una de sus propiedades es que estos ángulos son
congruentes, lo cual significa que:
∠𝒃 = ∠𝒅′ y ∠𝒄 = ∠𝒂′
Ejemplo:
Si el ángulo f es de 65°, determine el valor del ángulo d
Solución:
Sabemos que por ser ángulos externos ∠𝑒 + ∠𝑓 = 180°, por lo tanto:
𝑒 + 65° = 180°
𝑒 = 180° − 65°
𝑒 = 115°
Entonces aplicando la propiedad ∠𝑒 = ∠𝑑
𝑒 = 45° por lo tanto 𝑑 = 45°
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Clasificación de triángulos según sus lados
Triángulos equiláteros
• Todos sus lados son iguales
• Cada uno de sus ángulos
• Para poder encontrar el valor de su altura, hay que proceder a hacer uso
del Teorema de Pitágoras.
• El perímetro de este tipo de triángulos puede calcularse multiplicando la
longitud de cualquiera de los lados por tres.
P=3a Suponiendo que a= 24cm entonces P=3(24) por tanto el perímetro queda como P=72cm
• La fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero es siempre la misma:
𝐴𝑟𝑒𝑎 =𝑏 ∗ ℎ
2
Suponiendo que h= 21cm y b=24cm para determinar el Área :
𝐴𝑟𝑒𝑎 =𝑏∗ℎ
2 ; entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎 =
(24𝑐𝑚)(21𝑐𝑚,)
2= 252𝑐𝑚2
Triángulos isósceles
• El triángulo isósceles es un polígono de tres lados, siendo dos iguales y el otro desigual.
• Los ángulos también serán dos iguales (α) y el otro diferente (β)
• La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de
Pitágoras.
• El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como dos veces el lado
repetido (a) más el lado desigual (b).
P=2a * b
• fórmula para calcular el área de un triángulo es siempre la misma:
𝐴𝑟𝑒𝑎 =𝑏 ∗ ℎ
2
Suponiendo que a=10cm y b=12cm por lo tanto h=8cm, entonces para calcular el área:
𝐴𝑟𝑒𝑎 =𝑏∗ℎ
2 ; entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎 =
(12𝑐𝑚)(8𝑐𝑚,)
2= 48𝑐𝑚2
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SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES
La propiedad 1 nos indica que la suma de todos los ángulos interiores siempre debe de ser igual a 180°.
𝛼 + 𝛽 + 𝛿 = 180°
SUMA DE DOS ÁNGULOS EXTERIORES
La propiedad 4 nos indica que la suma de dos ángulos exteriores X y Y será igual a 180° más el Ángulo interno no adyacente 𝑋 + 𝑌 = 180° + 𝛿
Triángulo escaleno
• Todos sus lados son desiguales 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐
• Cada uno de sus ángulos son diferentes ∠𝛼 ≠ ∠𝛾 ≠ ∠𝛽
• La altura (h) del triángulo escaleno se puede calcular a
partir del teorema de Pitágoras.
• El área de un triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón
si se conocen todos sus lados (a, b y c).
𝐴𝑟𝑒𝑎 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) donde S es el semiperimetro 𝑆 =𝑎+𝑏+𝑐
2
• El área también puede calcularse con la fórmula de siempre si se conoce b y h
𝐴𝑟𝑒𝑎 =𝑏 ∗ ℎ
2
Suponiendo que a=2cm y b=5cm y c=4cm calcula el área:
𝑆 =2+5+3
2= 5.5𝑐𝑚 entonces 𝐴𝑟𝑒𝑎 = √5.5(5.5 − 2)(5.5 − 5)(5.5 − 4) = 3.80𝑐𝑚2
Clasificación de triángulos según sus ángulos
ÁNGULOS EXTERIOR
La propiedad 2 nos indica que 𝜃 será igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes. 𝜃 = 𝛼 + 𝛿
SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES
La propiedad 3 nos indica que la suma de los 3 ángulos exteriores X,Y y Z siempre será 360°
X+Y+Z=360°
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TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
• Sus 3 ángulos siempre son agudos
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 < 90°
• Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los
triángulos
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
• Su principal característica es que tiene un ángulo de 90°
• Sus dos ángulos agudos suman 90º
• La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos
• Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los
triángulos
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
• Tiene un ángulo mayor a 90°
∠𝐴 > 90°
• Cumplen con las 4 propiedades de los ángulos de los
triángulos
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Ejemplos:
Considera que las rectas PQ y RS son paralelas, calcula y anota las medidas de ángulos que
hacen falta.
∢a = 47° es Opuesto por el vértice
∢b = 47° es Alterno Interno con 47°
∢c = 68° 112° + ∢c = 180°
∢d = 68° es Opuesto por el vértice
∢e =65° Ángulos interiores del Δ
∢f = 115° es Opuesto por el vértice
∢g = 65° 115° + ∢g = 180°
∢h = 133° 47° + ∢h = 180°
Calcular el valor de C, cuando 𝑎 = 6𝑥 + 15° y 𝑔 = 2𝑥 + 5°
Los ángulos ∢a y ∢g suman 180°
∢a + ∢g = 180°
(6x + 15°) + (2x + 5°) = 180°
8x + 20° = 180°
8x = 180° - 20°
8x = 160°
x = 160° ÷ 8 x = 20°
Entonces ∢a = 6(20°) + 15° = 135° y ∢c = 45°
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
http://diccionariomate.blogdiario.com/1279652640/geometria/ https://sites.google.com/site/eet468conthales/conceptos-basicos/transversales/rectas-oblicuas-2 https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1445431865/contido/ud6/22_posiciones_relativas_entre_una_recta_y_una_circunferencia.html http://www.aulafacil.com/cursos/l11136/ciencia/matematicas/geometria/angulos-determinado-por-rectas-paralelas-cortadas-po-una-secante http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/paralelas/paralelas.htm https://www.ematematicas.net/figurasplanas.php https://es.scribd.com/doc/27590449/Propiedades-basicas-de-los-triangulos
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Tema (s): SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES
Subtemas: CONCEPTO Y DEDUCCION DE PROPORCIÓN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN CONTEXTO
SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES
La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos congruentes y sus lados correspondientes (homólogos) son proporcionales. Se les llama lados homólogos los opuestos a ángulos iguales. En los siguientes triángulos se indican los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados:
Para que los triángulos sean semejantes se deben de cumplir las siguientes condiciones:
A r se le denomina razón de semejanza.
Se llama razón de semejanza a la relación que existe entre la relación entre la longitud de uno de
los lados de una figura con la de su homólogo.
Sus lados sean
proporcionales:
Sus ángulos sean iguales:
a = a´
b = b´
c = c´
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CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para que dos triángulos sean semejantes, deben cumplir alguno de los tres criterios de semejanza,
que se mencionan a continuación.
Criterio AA (ángulo – ángulo). Que tengan dos ángulos iguales.
Si b = b’ y c = c’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.
Criterio LAL (lado – ángulo - lado). Que tengan los lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.
Entonces:
Por lo tanto, los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.
Criterio LLL (lado – lado – lado). Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.
Entonces:
Por la tanto los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.
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TEOREMA DE TALES.
El Teorema de Tales afirma: que todo sistema de paralelas divide a dos transversales en
segmentos proporcionales
Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos a ese ángulo son paralelos
entre sí, entonces esos triángulos son semejantes.
Y, por tanto, se cumple que:
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/41/criterios-de-semejanza-triangulos
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej3.htm
https://matematica.laguia2000.com/general/semejanza-de-triangulos
http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_tales.html
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Tema (s): POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIA
Subtemas: CARACTERISTICAS DE LOS POLIGONOS REGULARES CARACTERISTICAS DE LA CIRCUNFERENCIA
POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
• POLÍGONOS
Un polígono es una figura cerrada y plana limitada por un mínimo de tres segmentos rectilíneos,
formando una línea poligonal que denominamos contorno del polígono.
Los segmentos que forman el polígono son sus lados, y sus puntos de unión son los vértices.
a) Clasificación
Los polígonos se clasifican de la siguiente manera:
Según su número de lados
➢ Triángulo: polígono con tres lados
➢ Cuadrilátero: polígono con cuatro lados
➢ Pentágono: polígono con cinco lados
➢ Hexágono: polígono con seis lados
➢ Heptágono: polígono con siete lados
➢ Octógono: polígono con ocho lados
➢ Eneágono: polígono con nueve lados
➢ Decágono: polígono con diez lados
➢ Undecágono: polígono con once lados
➢ Dodecágono: polígono con doce lados
➢ Y así sucesivamente…
Según su regularidad
➢ Equilátero: si tienen todos sus lados iguales
➢ Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales
➢ Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales)
➢ Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.
LADO VÉRTICE
Triángul
o
Pentágono
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Según sus ángulos
➢ Convexo: Todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º.
➢ Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º.
Según su complejidad
➢ Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro
➢ Complejo: al menos un par de lados se corta
b) Polígonos regulares
El polígono regular consta de tres elementos básicos:
➢ Centro “C”: Punto interior que equidista de cada vértice.
➢ Radio “r”: Es el segmento que va del centro a cada vértice.
➢ Apotema “a”: Distancia del centro al punto medio de un lado.
➢ Ángulo central “α”. Tiene el vértice en el centro del polígono y los lados pasan por
dos vértices consecutivos. En un polígono regular de “N” lados su valor es:
𝛼 =360°
𝑁
Donde “N” es el número de lados que tiene el polígono.
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i. Numeró de diagonales
Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
La cantidad de diagonales de un polígono se determina por el número de lados que
tiene el polígono y su fórmula es:
𝐷 =𝑁(𝑁 − 3)
2
Para obtener la cantidad de diagonales de un vértice se utiliza la siguiente formula:
𝐷 = 𝑁 − 3
ii. Medida del ángulo interior
Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos que forman dos lados contiguos
y que quedan dentro del polígono.
Para calcular el ángulo interior de un polígono regular de "N" lados se utiliza la fórmula:
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =180°(𝑁 − 2)
𝑁
Por ejemplo el ángulo interior de un hexágono (6 lados) es:
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =180°(6 − 2)
6 → á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =
720
6
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 120°
iii. Suma de ángulos interiores
La suma de los ángulos interiores de un polígono regular depende del número de lados
(N) que tiene éste y la fórmula que determina dicha suma (en grados sexagesimales)
es:
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 180°(𝑁 − 2)
Por ejemplo la suma de los ángulos interiores de un octágono (8 lados) es:
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 180°(8 − 2)
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 1080°
Deduciendo la fórmula:
Cualquiera que sea la forma de un triángulo, la suma de sus ángulos interiores vale
180°. Si tenemos un polígono regular y trazamos las diagonales de un vértice,
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observamos que el número de triángulos obtenidos en cada polígono es igual al
número de lados menos 2; como los grados de un triángulo valen 180, basta con
multiplicar este valor por el de lados menos 2.
Ejemplo:
Dado un hexágono regular
Número de lados 𝑁 = 6
DIAGONALES = 𝑁(𝑁−3)
2 =
6(6−3)
2 = 6
ÁNGULO INTERIOR = 180° (𝑁−2)
𝑁=
180° (6−2)
6= 120°
• CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una línea plana y cerrada en la que todos los puntos están a igual
equidistantes de un punto llamado centro O.
La circunferencia cuenta con seis elementos que la caracterizan.
• Centro: es el punto situado en su interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier
punto de la circunferencia.
• Radio: es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.
El cuadrado tiene 4 ángulos
interiores que miden 90°, al
sumarlos nos resulta 360°. Al
trazar la diagonal de un vértice se
generan N-2 triángulos = 2, al
multiplicar por 180°(suma de los
ángulos internos del triángulo) nos
resulta 360°
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• Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, de los dos arcos
que una cuerda determina se le llama arco correspondiente al menor de ellos.
• Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
• Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos.
• Semicircunferencia: es el arco que abarca la mitad de la circunferencia.
La longitud o perímetro de una circunferencia se determina de la siguiente formula
𝐿 = 𝜋 ∙ 𝑑
Donde:
L Es la longitud o perímetro de la circunferencia
D Es el diámetro de la circunferencia
De igual forma se puede determinar por la siguiente formula:
𝐿 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
Donde:
r Es el radio de la circunferencia
a) Rectas en la Circunferencia
Una recta que tiene dos puntos comunes con la circunferencia, se dice que es una
secante.
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Una recta que tiene un solo punto común con la circunferencia se dice que es tangente, al
punto se le llama punto de tangencia o punto de contacto
Si la recta no tiene punto en común con la circunferencia, se dice que la recta es exterior.
b) Ángulos en la circunferencia y el cálculo de su medida
i. Ángulo central.
Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de
ella.
La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.
Arco AB = ÁNGULO AOB
ii. Ángulo inscrito.
Tiene su vért ice en la c ircunferenc ia y sus lados son secant es a e l la.
Mide la mitad del arco que abarca.
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iii. Ángulo interior.
Tiene su centro en un punto interior del círculo.
La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su
opuesto.
iv. Ángulo exterior.
Tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados,
tangentes o secantes a la misma.
La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.
c) Corona Circular
La corona circular es la parte del plano comprendida entre dos circunferencias que tienen
el mismo centro:
La zona coloreada del plano es la corona circular.
Para saber su superficie necesitas conocer las medidas del radio mayor y la del radio
menor.
Primero se calcula el área de un círculo con el radio mayor, seguidamente el área del
círculo con el radio menor y se hallará su diferencia. Esta diferencia representa la corona
circular:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝜋𝑅2 − 𝜋𝑟2
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Si extraemos el factor común que es π, la formula será:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2)
Para calcular el perímetro se emplea la siguiente expresión:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 2𝜋(𝑅 + 𝑟)
Ejemplo:
En un parque de forma circular de 70m de radio hay situada en el centro una fuente,
también de forma circular de 5m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2) = 𝜋(702 − 52) = 15331.8 𝑚
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/poligono/
https://www.vitutor.com/geo/eso/s_3.html
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/angulos-interiores-poligono/#ejemplos
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos-regulares.html
http://calculo.cc/temas/temas_geometria/rectas_angulos/problemas/prob_ang_circun.html
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/anguloscircun.htm
https://www.vitutor.com/geo/eso/ac_4.html
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Tema (s): CUERPOS GEOMÉTRICOS: PERÍMETROS, ÁREAS COMBINADAS Y VOLUMEN
Subtemas: CÁLCULO DE PERIMETROS Y ÁREAS CÁLCULO DE SOLIDOS
CUERPOS GEOMETRICOS: PERIMETRO, AREAS COMBINADAS Y
VOLUMEN
¿Qué es el perímetro?
El perímetro es la suma de las medidas de los lados de un rectángulo. Esto
equivale al contorno de la forma a ser calculada. Un ejemplo práctico: si
quisiéramos calcular la cantidad de cerca eléctrica necesaria para delimitar
un terreno que tiene 6 de largo y 8 de ancho, la expresión matemática para
calcular el perímetro será:8 + 8 + 6 + 6.
Calcula el perímetro
Si tenemos una longitud cuyo valor es 10 unidades y un área de 60, ¿cuál es el perímetro del
rectángulo?
Perímetro: ___________
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¿Qué es el área?
El área puede ser definida como la medida de la superficie,
y se descubre partir de multiplicar la base por la altura.
Utilizamos esta expresión cuando vamos a calcular la
superficie, por ejemplo, de un campo de fútbol u otro
deporte.
Calcula el área
Si tenemos que el perímetro de un rectángulo es 34 y el ancho de uno de los lados es 5, ¿cuál
es el área de la figura?
Área: ________
¿Qué es el volumen?
El volumen corresponde al espacio que la forma
ocupa, por lo tanto, es la multiplicación de la altura
por el ancho y por el largo. El volumen sirve, por
ejemplo, cuando queremos calcular la cantidad de agua
en una piscina.
Calcula el volumen
SI tenemos una caja cuya altura es 7m, su longitud es de 8m, y el ancho de 6m, ¿cuál es el
volumen?
Volumen: __________
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Cálculo de Área
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Cálculo de Volumen
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS
http://noticias.universia.com.ar/vida-universitaria/noticia/2014/08/20/1110073/aprende-diferencia-
perimetro-area-volumen-como-calcular-cada.html
https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-
8_RESOURCE/U07_L2_T2_text_final_es.html
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/perimeter-area-volume
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Tema (s): TEOREMA DE PITÁGORAS
Subtemas: APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
TEOREMA DE PITÁGORAS
DEMOSTRACIÓN GEOMETRICA
(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 + (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Características:
• Los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo recto (90°). “ c ”
• El lado mayor recibe el nombre de Hipotenusa. “ a ”
• Los Catetos son los ángulos que forman el lado recto. “ b ”
Definición:
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
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EJEMPLOS:
Determina la hipotenusa.
a2 + b2 = c2
52 + 122 = c2
25 + 144 = 169
c2 = 169
c =√169 c = 13
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/teorema.htm
https://www.youtube.com/watch?v=ifiHSM6QhYM
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Tema (s): TRIGONOMETRÍA
Subtemas: DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. En este rubro estudiaremos al triángulo rectángulo, este triángulo tiene la característica de tener un ángulo recto (90°); (en el dibujo de este se acostumbra poner un pequeño rectángulo donde está el ángulo recto) y pueden ser isósceles o escalenos. Pitágoras (570 a.c.) en su amor a la geometría determinó los nombres para cada uno de los lados de un triángulo rectángulo:
Cuando en un problema se da como dato un ángulo y un lado, por medio de razones trigonométrica podemos calcular la medida del otro lado faltante, para ello consideremos los siguientes conceptos: Razón: la razón de un número 𝑎 con otro número 𝑏 (este distinto de cero), es el cociente que resulta de dividir 𝑎
𝑏⁄ ; o sea, razón es el número que resulta de comparar por cociente dos
magnitudes. Las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo varían al variar el ángulo de que se trate (Fig. 1); es decir, que las razones son funciones del ángulo. A estas razones se les llama Razones Trigonométricas.
Las razones que resultan de comparar los lados del triángulo reciben los nombre de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; que se expresan en forma abreviada como sen, cos, tan, cot, sec, y csc, respectivamente.
cateto
cateto
hipotenusa
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Si nos referimos a la fig. 1, para el ángulo agudo 𝜃, estas funciones se definen como sigue:
adyacentecateto
opuestocateto
hipotenusa
adyacentecateto
hipotenusa
opuestocatetosen
_
_tan
_cos
_
=
=
=
opuestocateto
adyacentecateto
adyacentecateto
hipotenusa
opuestocateto
hipotenusa
_
_cot
_sec
_csc
=
=
=
Ej. 1 Expresa las 6 funciones trigonométricas correspondientes al ángulo que se indica:
=
=
=
=
=
=
cot
sec
csc
tan
cos
sen
Las razones trigonométricas son muy útiles cuando se necesita calcular alguno de los lados de un triángulo rectángulo, por ejemplo: Ej. 2. El piloto de un avión voló 6 km hacia el oeste de A hasta C, desde C fue hacia el sur 8 km hasta B. Calcula el ángulo de vuelo y la distancia de B a A.
Por Teorema de Pitágoras:
𝐴𝐵 = √(62 + 82) = √36 + 64 = √100 = 10
Por la razón trigonométrica
𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=
6
8
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−16
8= 38.86°
Aquí explicar que el ángulo se puede obtener con la inversa de las razones
trigonométricas y hacer hincapié en el planteamiento de la razón.
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Ej. 3. Si el ángulo de elevación del Sol, en un determinado momento, es de 40° y un poste proyecta una sombre de 12m de longitud, calcula la altura del poste. Altura poste
tan 42° =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Tan 42° =𝑥
12
Despejando x: 12 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝑔 42° = 𝑥 12(0.9004) = 𝑥 𝑥 = 10.80𝑚
BILIOGRAFIA Y REFERENCIAS
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html
http://www.ematematicas.net/trigonometria.php
42°
12 m
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Tema (s): PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Subtemas: INTERPRETACIÓN DE TABLAS DE FRECUENCIA RELATIVA Y ABSOLUTA INTERPRETACIÓN DE GRAFICAS Y POLIGONOS DE FRECUENCIAS CALCULO DE PROBABILIDADES
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Estadística:
A) Interpretación de tablas de frecuencia relativa y absoluta.
Las tablas de frecuencia resumen información acerca del número de veces que se presenta un
valor determinado. Esto, nos permite manipular la información de manera rápida y sencilla.
Frecuencia absoluta: Se define como la cantidad de veces que se presenta un dato. Se denota
como fi. La suma de estas frecuencias absolutas es equivalente al valor total de datos en la tabla y
se representa con la letra N.
Por ejemplo: Se realizó una encuesta a los alumnos del curso COMIPEMS 2017 para determinar
cuál era su primera opción de ingreso al nivel medio superior. Los resultados fueron los siguientes:
Escuela Frecuencia absoluta
CECyT 1 5
CECyT 2 3
CECyT 3 10
CECyT 4 8
CECyT 5 6
CECyT 6 9
Total 41
La frecuencia absoluta en el CECyT 3 es de 10 estudiantes.
Frecuencia absoluta acumulada: Es la suma sucesiva de frecuencias absolutas. Este valor se
conoce como Fi.
Escuela Frecuencia absoluta Frec. absoluta acumulada
CECyT 1 5 5
CECyT 2 3 5+3=8
CECyT 3 10 8+10=18
CECyT 4 8 18+8=26
CECyT 5 6 26+6=32
CECyT 6 9 32+9=41
Total 41 41
Por ejemplo: en el CECyT 3 la frecuencia acumulada es de 18 alumnos (8 de la suma de CECyT 1
y 2 más los 10 estudiantes del CECyT 3).
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Frecuencia relativa: Se define como la probabilidad de obtener cierto dato sobre el total. Se
obtiene calculando la razón entre la frecuencia absoluta de un dato con el total. Este valor se
conoce como hi. También, se puede expresar como fracción, decimal y porcentaje.
Para obtenerlo en decimal, se divide la frecuencia absoluta entre el total. Para obtenerlo en
porcentaje, se multiplica el valor decimal por 100.
Escuela Frecuencia absoluta Frec. abs. acumulada
Frecuencia relativa (en fracción)
CECyT 1 5 5 5/41
CECyT 2 3 8 3/41
CECyT 3 10 18 10/41
CECyT 4 8 26 8/41
CECyT 5 6 32 6/41
CECyT 6 9 41 9/41
Total 41 41 41
Por ejemplo: en el CECyT 3 la frecuencia relativa es de 10/41 (fracción) o 0.24 (decimal) o 24%
(porcentaje).
Frecuencia relativa acumulada: Es la suma sucesiva de frecuencias relativas. Este valor se
conoce como Hi. Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta acumulada entre el total. De la
misma manera que la frecuencia relativa, se puede expresar en fracción, decimal y porcentaje.
Escuela Frecuencia absoluta Frec. abs. acumulada
Frecuencia relativa (en fracción)
Frecuencia relativa
acumulada
CECyT 1 5 5 5/41 5/41
CECyT 2 3 8 3/41 8/41
CECyT 3 10 18 10/41 18/41
CECyT 4 8 26 8/41 26/41
CECyT 5 6 32 6/41 32/41
CECyT 6 9 41 9/41 41/41
Total 41 41 41 41
Por ejemplo: la frecuencia relativa acumulada en el CECyT 3 es de 18/41 (fracción), 0.44 (decimal)
o 44 % (porcentaje).
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B) Interpretación de polígono de frecuencia, gráfica de barras y gráfica circular.
Polígono de frecuencias: Representa variables de una tabla de forma esquemática, lo que permite
observar de manera más sencilla los cambios. Se forma interpolando los datos variables de x con y
y uniendo estos puntos.
Tomando el ejemplo del punto anterior.
Gráfica de barras: Se forma de la misma manera que el anterior pero añadiendo rectángulos que
representan cada uno de los datos. La altura de la barra indica la frecuencia.
Escuela Frecuencia absoluta
CECyT 1 5
CECyT 2 3
CECyT 3 10
CECyT 4 8
CECyT 5 6
CECyT 6 9
Total 41
Escuela Frecuencia absoluta
CECyT 1 5
CECyT 2 3
CECyT 3 10
CECyT 4 8
CECyT 5 6
CECyT 6 9
Total 41
0
2
4
6
8
10
12
CECyT 1 CECyT 2 CECyT 3 CECyT 4 CECyT 5 CECyT 6
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
(fre
c. a
bs.
)
Escuela
Polígono de frecuencia
0
2
4
6
8
10
12
CECyT 1 CECyT 2 CECyT 3 CECyT 4 CECyT 5 CECyT 6
Nú
mer
o d
e es
tud
ian
tes
(Fre
c. a
bs.
)
Escuela
Gráfica de barras
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Gráfica circular: Se construye tomando el 100% como el total del círculo (360º) y determinado con
base en la frecuencia el porcentaje correspondiente a cada variable.
Todos estos gráficos pueden calcularse con la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.
c) Cálculo de medidas de tendencia central.
Las medidas de tendencia central sirven para evaluar una serie de variables. Estas son la media
aritmética o promedio que se obtiene mediante la suma de todos los valores numéricos entre el
total de estos y se expresa con el siguiente símbolo 𝒙 . La mediana es un valor que está en el
centro de la distribución y se representa con las letras Md. La moda es el valor más común entre
las variables y se representa con las letras Mo.
Por ejemplo: Se analizaron los promedios de 10 estudiantes de nuevo ingreso del CECyT 3 y se
obtuvieron los siguientes resultados:
Estudiante Promedio de cada estudiante
1 9.1
2 8.6
3 8.8
4 9.4
5 9.9
6 10
7 10
8 8.3
9 8.6
10 9.7
Determine el valor de la media, la mediana y la moda.
CECyT 112%
CECyT 27%
CECyT 324%
CECyT 420%
CECyT 515%
CECyT 622%
Gráfica circular
CECyT 1 CECyT 2 CECyT 3 CECyT 4 CECyT 5 CECyT 6
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1. Media: Se realiza una suma de todos los valores
𝟗. 𝟏 + 𝟖. 𝟔 + 𝟖. 𝟖 + 𝟗. 𝟒 + 𝟗. 𝟗 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝟖. 𝟑 + 𝟖. 𝟔 + 𝟗. 𝟕 = 𝟗𝟐. 𝟒
y se divide entre la frecuencia total (6 grupos de calificaciones):
𝟗𝟐. 𝟒
𝟏𝟎= 𝟗. 𝟐𝟒
2. Mediana: Para obtener este valor, se ordenan las variables de menor a mayor o viceversa y se
toma el valor central.
𝟖. 𝟑, 𝟖. 𝟔, 𝟖. 𝟔, 𝟖. 𝟖, 𝟗. 𝟏, 𝟗. 𝟒, 𝟗. 𝟕, 𝟗. 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟎
En este caso hay dos valores distintos, por lo que se toman ambos y se obtiene el promedio:
𝟗. 𝟏 + 𝟗. 𝟒
𝟐= 𝟗. 𝟐𝟓
3. Moda: Ya que se tienen los valores ordenados, se observa que valor es el que se repite más
veces. En este caso 8.6 y 10.
Probabilidad:
a) Concepto de probabilidad clásica.
La probabilidad se define como la posibilidad de que suceda un evento de manera aleatoria.
Asumimos que todos los resultados posibles se conocen antes de realizar el experimento pero no
se conoce el resultado. Esto se obtiene mediante la fórmula:
𝑷(𝑬) =𝒏(𝑬)
𝒏(𝑺)
Donde P(E) es la probabilidad de un evento, n(E) es un evento y n(S) es el total de eventos.
Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que salga un frijol de una bolsa que contiene 5 chícharos
y 4 frijoles?
P (frijol) = 4 (frijoles) / 9 (total)
P = 4/9 = 0.44
Nota: Las probabilidades también se pueden expresar en fracción, decimal y porcentaje.
A continuación se mencionan algunos hechos en probabilidad.
Hecho 1: Si es seguro que un evento E ocurra entonces P(E) = 1.
Hecho 2: Si es seguro que un evento E no ocurra entonces P(E) = 0.
Hecho 3: Si es posible pero no seguro que un evento E ocurra entonces 0<P(E)<1.
Hecho 4: La probabilidad de que un evento E no ocurra es igual a 1 - P(E).
Hecho 5: La suma de las probabilidades de todos los posibles resultados del evento E es igual a 1.
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Ejemplo:
• En una baraja de 52 naipes, hay 13 naipes de cada grupo:
•
13 tréboles, 13 corazones, 13 diamantes, 13 corazones.
𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 ∶ 𝑺 = Una baraja con 52 naipes
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta al azar?
Evento A : La carta es de diamantes … 𝑛(𝐴) = 13
Probabilidad (A)
𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)
𝑁(𝑆) =
13
52 =
1
4= 0.25 𝑜 25%
Evento B : La carta es un As … 𝑛(𝐵) = 4
Probabilidad (B)
𝑃(𝐵) = 𝑛(𝐵)
𝑁(𝑆) =
4
52 =
1
13= 0.076 𝑜 7.6%
Evento C : La carta es de color rojo … 𝑛(𝐶) = 26
Probabilidad (C)
𝑃(𝐶) = 𝑛(𝐶)
𝑁(𝑆) =
26
52 =
1
2= 0.5 𝑜 50%
Evento D: La carta es menor que 5 y de color negra… 𝑛(𝐷) = 8
Probabilidad (D)
𝑃(𝐷) = 𝑛(𝐷)
𝑁(𝑆) =
8
52 =
2
13= 0.153 𝑜 15.3%
¿Qué evento es más Probable de suceder? El más probable es el evento C.
Existen eventos que son resultados de un evento y que son los únicos resultados posibles se les
conoce como eventos complementarios. Por ejemplo: Lanzar un dado 1 vez y obtener un número
par o un número impar.
Existen eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo y se les llama eventos mutuamente
excluyentes. Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes.
Por ejemplo: Si un dado de 6 lados es girado una vez, el evento de obtener un número par y un
número impar es complementario y mutuamente excluyente ya que sólo puedes obtener un
resultado u otro.
También, se pueden presentar eventos no mutuamente excluyentes, se le conoce como la regla
de suma. Si dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir que pueda ocurrir A y B a
la vez o uno u otro, se aplica la siguiente regla:
𝑷 (𝑨𝑼𝑩) = (𝑷 (𝑨) + 𝑷 (𝑩) ) − 𝑷(𝑨𝑩)
Por ejemplo: en una caja donde se encuentran todas la piezas de un ajedrez (32).
Dado que el evento A es tomar un alfil y el evento B tomar una pieza negra. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un peón negro en la primera pieza tomada?
P(A) = 4/32
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P(B) = 16/32
P(AB) = (4/32)(16/32) = 2/32
¿Cuál es la probabilidad de tomar un alfil o una pieza negra?
P (AUB) = (P (A) + P (B) ) - P(AB)
P (AUB) = 4/32 + 16/32 - 2/32 = 18/32 = 9/16
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/786/Interpretacion-de-tablas-de-frecuencias
http://calculo.cc/temas/temas_e.s.o/estadistica/teoria/poligono-frec.html
http://libros.conaliteg.gob.mx/content/restricted/libros
https://es.slideshare.net/liliawhite37/interpretacin-de-la-informacin-en-grafica-de-barras-y-circular