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J.M.Corberán, R. Royo (UPV) 1
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
TRANSMISIÓN DE CALORMULTIDIRECCIONAL Y
TRANSITORIA
Diapositiva 2
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
ÍNDICE
1. TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL2. PROCESOS TRANSITORIOS CON TRANSMISIÓN DE CALOR
POR CONVECCIÓN2.1. CASO DE TEMPERATURA UNIFORME2.2. VARIACIÓN ESPACIAL DE LA TEMPERATURA
- Parámetros adimensionales característicos- Transmisión de calor estacionaria unidimensional
- Ecuación general- Solución aproximada de Heissler
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
TkgtTCp ∆⋅+=⋅⋅
∂∂ρ
00 2
2
2
2
2
2
=++⇒=∆⇒zT
yT
xTT
∂∂
∂∂
∂∂Ecuación de
Laplace• g=0• k=cte
•estacionario
TRANSMISIÓN DE CALOR ESTACIONARIA BIDIRECCIONAL. PLACA CONTEMPERATURAS CONOCIDAS EN LOS LADOS.
x
L
H Tb ),( yxT ∞T
∞T
∞−= TyxTyx ),(),(θ),( yxθ
00 2
2
2
2
2
2
2
2
=+⇒=+yxy
TxT
∂θ∂
∂θ∂
∂∂
∂∂
LxTT == ∞
0== ∞ yTT
HyTT == ∞
0== xTT b0== xbθθLx == 0θ
00 == yθHy == 0θ
1. TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
Aplicando el método de separación de variables: )()(),( yYxXyx ⋅=θ2
2
2
2
2 11 λ=⋅=⋅−ydYd
YxdXd
X02
2
2
=⋅+ XxdXd λ
022
2
=⋅− YydYd λ
[ ] [ ])cos()()cosh()( yBysinxAxsinhK λλλλθ +⋅+=Solución general:
[ ][ ]
[ ]12
)/)(12()/)(12(/)()12(4
0 ++⋅
+−+⋅
= ∑∞
= nHynsin
HLnsinhHxLnsinh
n
b ππ
ππθθ
Aplicando las condiciones de contorno, obtenemos:
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoriaPRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
02
2
2
2
=+yx ∂θ∂
∂θ∂
bθ
aθ
θ = +1θ 2θ
0
bθ
aθ
0 0
0
00 0 0
bT
∞T
aT
∞T
0 L
H
T(x,y)
y
xHy
yLx
x
paraparapara
para
a
b
====
===
=
0
0
0
0
θθθ
θθθ
donde:
),(),(),( 21 yxyxyx θθθ +=
00 22
2
22
2
21
2
21
2
=+⇔=+yxyx ∂θ∂
∂θ∂
∂θ∂
∂θ∂
===
===
===
===
00
00
00
00
21
21
21
21
θθ
θθθ
θθ
θθθ
Hy
y
Lx
x
a
b
Condiciones de contornoLa solución es la superposición de ambas:
Caso particular : Placa con dos lados a temperaturas diferentes
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
2. PROCESOS TRANSITORIOS CON TRANSMISIÓN DECALOR POR CONVECCIÓN
Cuerpos de pequeñas dimensiones y conductividad elevada. En dichas condiciones, la temperatura en el interior del cuerpo se puede considerar uniforme en cualquier instante de tiempo:
dtVC
AhTT
dTTTAhQ
dtdTCV conv ⋅⋅
⋅−=
−⇒−⋅⋅==⋅⋅⋅−
∞∞ ρ
ρ )(
∫ ∫ ⋅⋅⋅
−=−−⇒
⋅⋅⋅
−=− ∞
∞
∞
T
iT
t tCV
hATTTTdt
CVhA
TTdT
i ρρln
0
τρ
θθ tt
CVhA
ii
eeTTTT −⋅⋅
⋅−
∞
∞ ==−−
=
( )tTT =
Integrando y aplicando la condición inicial de T=Ti en t=0:
(*)En caso de existir también intercambio por radiación se puede, bien introducir laecuación de calor intercambiado, o bien, utilizar el concepto de coeficiente equivalente a laradiación.
T(t)
∞Th,
hACV
⋅⋅⋅= ρτ (tiempo característico)
2.1. CASO DE TEMPERATURA UNIFORME
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
iθθ
t
Ei
)1()1()(00
ττθρθt
i
t
i
ttT
op eEeCVdthAtdAqdTCmtE
−−−⋅=−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅−= ∫∫∫
τt
i
eEE −
−=1
Siendo Ei la variación de energía interna que sufriría la pieza si llegase alequilibrio térmico con el fluido que la rodea.
La energía total intercambiada hasta un tiempo t es:
0
ii CVE θρ ⋅⋅⋅=
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria2.2. VARIACIÓN ESPACIAL DE LA TEMPERATURA. PARÁMETROS ADIMENSIONALES
Comparación entre la variación de temperatura en el interior de lapieza (conducción) con la variación de temperatura en el fluido.
En condiciones estacionarias, el calor que se transmitepor conducción en la placa ha de ser igual al que setransmite por convección entre la superficie de la placa yel fluido en contacto con ésta
)()( 2,2,1, ∞−⋅=−⋅
TTAhTTL
Aksss
placa
placaconvec
conducplaca
s
ss
kLh
RR
AhAkL
TTTT ⋅==
⋅⋅
=−−
∞ .
.
2,
2,1,
1
solidokLh ⋅Número de Biot: Bi=
Ts,2Bi<<1
Bi≈1
Ts,2
Ts,2
Bi>>1
L
Qcond Qconv
Ts,1
x
T
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EVOLUCIÓN DE TEMPERATURAS EN FUNCIÓN DEL VALOR DELNUMERO DE BIOT:
x
-L L
h, T∞∞∞∞
h, T∞∞∞∞
Bi<<1T=T(t)
-L L
Bi= 1T=T(x,t)
-L L -L L
Bi>>1T=T(x,t)
T(x,0)=Ti T(x,0)=Ti
T∞∞∞∞ T∞∞∞∞T∞∞∞∞ T∞∞∞∞
Diapositiva 10
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
Se considera adecuada la utilización del modelo de temperatura uniforme si Bi<<1.
( )
=→
=→
=→=
⇒=⇒⋅=
3)(
2arg
)2(
.
.
.
int.
.
ocaraco
ocaraco
carac
ercambiocarac
carac
rLresfera
rLrolmuycilindro
LLLeplanapared
AVL
kLhBi
En la práctica la solución de temperatura uniforme es aceptable en las siguientescondiciones: Placas: Bi<0.1
Cilindro: Bi<0.05Esferas: Bi<0.03
(Diferencia de temperatura entre superficie y centro inferior al 5%)
El modelo de temperatura uniforme anteriormente desarrollado se puede caracterizaren función del parámetro adimensional de Biot:
FoBi
i
c
c
FoBiLLt
Ck
kLh
tCVhA
i
eFo
Lt
BikLh
eee ccp
c
p ⋅−⋅−⋅⋅
⋅⋅
⋅−⋅
⋅⋅⋅
−
=⇒
=⋅
=⋅
⇒===θθ
αθθ ρρ
2
Generándose de esta forma un nuevo número adimensional, número de Fourier, Fo,tiempo adimensional característico del transitorio.
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TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN TRANSITORIAUNIDIRECCIONAL.
La ecuación general de conducción, para propiedades constantes, y sin generacióninterna de calor, es:
TtTTk
tTCpTkg
tTCp ∆=⇒∆⋅=⋅⋅⇒∆⋅+=⋅⋅ α
∂∂
∂∂ρ
∂∂ρ
⋅=−=
⇒⇒⋅=)()(),(
),(),(2
2
tTxXtxTtxTtx
defunciónenxT
tT o
θθ
θ∂∂α
∂∂
)cossen(),( 21
2
xBxBetx t λλθ αλ ⋅+⋅⋅= −
SOLUCIÓN PARA PLACA PLANA, DE ESPESOR 2L, CONCONVECCIÓN POR AMBOS LADOS:En una sola dirección en coordenadas cartesianas:
Se introduce la diferencia de temperaturas, y de nuevo el métodode separación de variables:
∑∞
=
⋅−
∞
∞ ⋅⋅⋅+
⋅⋅=−−
1
2cos
cos2
nn
nnn
nFon
i Lx
sinsine
TTTT λ
λλλλλ
Bin
nnλ
λλ =cot/siendo
ECUACION GENERAL
2L
QCONV
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TRANSMISIÓN DE CALOR CONVECTIVA EN PLACAS, CILINDROS YESFERAS EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
• Cálculo analítico de la solución de la ecuación anterior. Hoyen día solución analítica fácilmente programable.
• Resolución por métodos numéricos.
• Primeras gráficas de respuesta de temperatura (1923)
• Sólo válido para condiciones de temperatura inicial uniforme
• Heisler (1947): aproximación con un término de la seriefuncional solución . Limitaciones:
– No son válidas para Fo < 0.2
– Gráficos difíciles de leer para Fo < 1
SOLUCIÓN APROXIMADA DE HEISLER
Diapositiva 13
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
T(x t TT T
T TT T
T TT Ti o FIG
o
i FIG
, )
. .
−−
=−−
⋅
−−
∞
∞
∞
∞
∞
∞2 1
x/L
[ ]1,0∈Lx
TRANSMISIÓN DE CALORUNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARAPLACA INFINITA DE ESPESOR 2L
To: temperatura en el plano central de la placa=T(x=0,t)
Diapositiva 14
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3.FIGi
o
4.FIGoi TTTT
TTTT
TTT)t,r(T
−−⋅
−−=
−−
∞
∞
∞
∞
∞
∞
r/r0
[ ]1,00∈
rr
TRANSMISIÓN DE CALORUNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARACILINDRO DE RADIO r0 Y LONGITUDINFINITA
To: temperatura en el eje delcilindro=T(r=0,t)
Diapositiva 15
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5.FIGi
o
6.FIGoi TTTT
TTTT
TTT)t,r(T
−−⋅
−−=
−−
∞
∞
∞
∞
∞
∞
r/r0
[ ]1,00∈
rr
TRANSMISIÓN DE CALORUNIDIRECCIONAL TRANSITORIAPARA UNA ESFERA DE RADIO r0
To: temperatura en el centro dela esfera=T(r=0,t)
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TRANSMISIÓN DE CALOR BIDIMENSIONAL TRANSITORIAPLACA DE DIMENSIONES 2L*2H
HPLACAiLPLACAiHLi
tytxtyx
2222
),(),(),,(
⋅
=
⋅θ
θθ
θθ
θ
=2H
hL hL
hH
x
y
2Lx
*hL hL
2L
2H
yhH
hH
SOLUCIÓN BIDIMENSIONAL
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CILINDRO DE DIMENSIONES 2L,r0
LESPESORPLACAi
INFINITOrRADIO
CILINDROi
LLONGITUDrRADIO
CILINDROi
txtrtxr
oo 22
),(),(),,(
⋅
=
θ
θθ
θθ
θ
2L
xhL
hr hrhL
r0
=
0 r0 r
hr hr* x hL
hL
L 0
Diapositiva 18
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Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
PRISMA DE DIMENSIONES 2L*2H*2W
WPLACAiHPLACAiLPLACAiWHLPRISMAi
tztytxtzyx
222222
),(),(),(),,,(
⋅
⋅
=
⋅⋅θ
θθ
θθ
θθ
θ
hL hL
hH
hH
hw
hwhH T∞
hL
hw
2H
2L
x
y yH0
W0
z
0 Lx z
Diapositiva 19
J.M.Corberán, R. Royo (UPV) 19
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
)(
)(7.
∞−⋅⋅⋅=
⋅
=
TTCVE
EEEtE
ipi
iFIGi
ρ
iEE
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA PLACA, UN CILINDRO, Y UNAESFERA CON EL MEDIO QUE LO RODEA HASTA EL TIEMPO T
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA PLACA
Diapositiva 20
J.M.Corberán, R. Royo (UPV) 20
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
iEE
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR EL CILINDRO
Diapositiva 21
J.M.Corberán, R. Royo (UPV) 21
Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria
iEE
ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA ESFERA