1

Tema 4: Modelos de propagación de pequeña escala

2

Desvanecimiento de pequeña escala

Modelos de pequeña escala• Explican el comportamiento de la

potencia en distancias comparables a la longitud de onda (~ m).

• Modelado estadístico− Función de densidad de

probabilidad− Número de cruces por un umbral. − Duración desvanecimiento

Modelos de gran escala• Explican el comportamiento de la

potencia a distancias mucho mayores que la longitud de onda (~ km)..

− Espacio Libre, Okumura-Hata− Bloqueo: Log-distancia, Log-normal

(modelo gaussiano en dB)

( )2( ),RR PN P d σ∼

0 100

( ) ( ) 10 logR RdP d P d nd

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

3

Desvanecimiento de pequeña escala

Se debe a • Multitrayecto

− Reflexiones, Difracción, Dispersión

• Movimiento− Dispersión Doppler

Modelo de canal( )

( ; ( ))

1

( ) ( ; ( )) ( ( )) ( )i i

N tj t t

i i T ii

y t r t t e s t t n tττ τΦ

=

= − +∑

( ; )

( ) : Retardo de Propagación (aleatorio)( ): Numero de señales recibidas (variable)

( ; ) ( ; ) Proceso aleatorio complejoi

i

j ti i

tN tr t r t e τ

τ

τ τ Φ= →

PathPath NN

EstaciEstacióónnBaseBase

MMóóvilvil

PathPath 11

PathPath 22

Canal( )Ts t ( )y t

4

τ(t0)t0

t2τ(t2)

t1τ(t1)

Dispersión temporal

Varianza Temporal

Canales con MultitrayectoRespuesta al impulso de un canal multitrayecto

( )

1

( ; ) ( ; ) ( ( ))N t

i ii

h t r t t tτ τ δ τ=

= −∑

0( ; )h t τ

1( ; )h t τ

2( ; )h t τ

5-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

frecuencia

|H(f)

|

Respuesta del canal multitrayecto

La respuesta ante impulsos del canal multitrayecto

Para canales invariantes en el tiempo• Ejemplo: 2 rayos ( ) 1 1 ej t j j tH j re r eω ϕ ωω − Δ − Δ= + = +

f

max ( ) 1H f r= +

min ( ) 1H f r= −

( )

1

( ; ) ( ; ) ( ( ))N t

i ii

h t r t tτ τ δ τ τ=

= −∑ ( ; )( ; ) ( ; ) ij ti ir t r t e ττ τ Φ=

( ) ( ) ( )h t t r t tδ δ= + − Δ

1tΔ

( )H f0.6r =

Desvanecimiento selectivo en frecuencia

6

Canal Multitrayecto

Dispersión del retardo y Ancho de Banda de coherencia• Función de autocorrelación de

• Si hacemos Δt=0,

1 2 1 2 1 2 1( ; ) ( ; ) ( ; , ) ( ; ) ( )h hWSSUSE h t h t t t tτ τ φ τ τ φ τ δ τ τ∗⎡ ⎤+ Δ = Δ = Δ −⎣ ⎦

( ; )h t τ

Dispersión temporal Varianza Temporal

|h(d

,τ)|2

τ

d

Dispersión temporal Varianza Temporal

|h(d

,τ)|2

τ

d

τ

(0; )hφ τAutocorrelación

τσ fΔ

( )h fΦ Δ

τσ1

≈CB

Fourier

:τσ Max. dispersión del retardo

:CB Ancho de banda de coherenciatΔ

1 2 1 2(0; , ) ( ; ) ( ; )h E h t h tφ τ τ τ τ∗⎡ ⎤= →⎣ ⎦Potencia a la salida del canal en función de τ

7

Caracterización del retardo En la práctica, en lugar de medir la respuesta al impulso de un canal, se utiliza el perfil de potencia recibida, es decir φh(0;τk).• Medimos los niveles de potencia recibida en función del retardo.

− “power delay profile”

Modelo discreto• Supone que φh(0;τk) es una colección de impulsos que definen los retardos

multitrayecto

• Su transformada de Fourier define la respuesta en frecuencia del canal.

-30 dBm

-20 dBm

-10 dBm

0 dBm

0 1 2 5 (µs)

τ

(0; )hφ τ

8

Caracterización del retardo

Retardo medio :

Dispersión del retardo “delay spread”

(0; )

(0; )

k h kk

h kk

τ φ ττ

φ τ=

∑∑

donde φh(0;τk) es la potencia recibida con retardo τk

( )2

22 2(0; )

donde (0; )

k h kk

h kk

τ

τ φ τσ τ τ τ

φ τ= − =

∑∑

-30 dBm

-20 dBm

-10 dBm

0 dBm

0 1 2 5 (µs)

τ

(0; )hφ τ

9

Caracterización del retardo

-30 dBm

-20 dBm

-10 dBm

0 dBm

0 1 2 5 (µs)

τ

=++++++= sμτ 38.4

]11.01.001.0[)0)(01.0()2)(1.0()1)(1.0()5)(1(_

2 2 2 22 2(1)(5) (0.1)(1) (0.1)(2) (0.01)(0) 21.07

[0.01 0.1 0.1 1]sτ μ+ + + = =

+ + +

=−= sμστ 37.1)38.4(07.21 2

1.37 µs4.38 µs(0; )hφ τ

10

Perfil del retardo de potencia: Modelo continuo

Ejemplo

Pot

enci

a de

señ

al re

cibi

da (d

Bm

)

-105

-100

-95

-90

-85

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Retardo (ns)

Dispersión del retardo RMS (στ) = 46.4 ns

Retardo medio (τ) = 45 ns

Máximo retardo < 10 dB = 110 ns

Umbral de ruido

τ

(0; )hφ τ(0; )

(0; )h

h

d

d

τφ τ ττ

φ τ τ= ∫

∫

( )2

22 2 (0; ) donde

(0; )h

h

d

dττ φ τ τ

σ τ τ τφ τ τ

= − = ∫∫

11

Valores típicos de dispersión del retardo

10ns 50ns 150ns 1µs 2µs 5µs 10µs 25µs500ns

Edificio oficinas 1

Rural 1

Rural 2

Suburbano

Edificio oficinas 2

3m 15m 45m 150m 300m 600m 3Km 7.5Km

( )2

22 2 (0; ) donde

(0; )h

h

d

dττ φ τ τ

σ τ τ τφ τ τ

= − = ∫∫

12

Interferencia Intersimbólica

-30 dBm

-20 dBm

-10 dBm

0 dBm

0 1 2 5 (µs)

τ

1.37 µs4.38 µs

0 1 2 5 (µs)

TS Periodo Símbolo

4.38

στ=1.37 μs

TS > 10στ --- No se necesita igualación

TS < 10στ --- Igualación necesariaEn el ejemplo anterior, TS debe ser mayor que 14µs para evitar la ISI.

•Velocidad menor de 70Kbaudios (approx)

(0; )hφ τ

TSRXt

ISI ISI

13

Interferencia Intersimbólica

-30 dBm

-20 dBm

-10 dBm

0 dBm

0 1 2 5 (µs)

τ

1.37 µs4.38 µs

0 1 2 5 (µs)

TS Periodo Símbolo

4.38

στ=1.37 μs

TS < 10στ --- Igualación necesaria

En el ejemplo anterior, TS debe ser mayor que 14µs para evitar la ISI.•Velocidad menor de 70Kbaudios (approx)

(0; )hφ τ

Símbolos interferidos por

14

Ancho de banda de coherencia

( )s tDominio del tiempo

Alta correlación entre lasamplitudes de dos sinusoidesde frecuencias f1, f2 que cumplen|f1- f2| < BC

Margen de frecuencias en el que la respuesta es plana

Bcστ dispersión del retardo

( )S f

Dominio de la frecuencia

(0; )hφ τ

fΔ

( )h fΦ Δ

0 ST 1

STt

f

F

F

15

Dispersión retardo-ancho banda de coherencia

La dispersión del retardo y el ancho de banda de coherencia (Bc) son inversamente proporcionales

• Ejemplo

150cB

τσ≈

Dos sinusoides separadas enfrecuencia Bc Hz tienen una correlación de 0.9

-30 dBm

-20 dBm

-10 dBm

0 dBm

0 1 2 5 (µs)

τ

= sμτ 38.4_

= 2_2 07.21 sμτ1.37 µs

4.38 µs

1(50%) 146 kHz5cB

τσ≈ =

Ancho de banda para GSM = 200 KHz

(0; )hφ τ

15cB

τσ≈

Dos sinusoides separadas enfrecuencia Bc Hz tienen una correlación de 0.5

( )22 1.37 sτσ τ τ μ= − =

16

Dispersión Doppler

Desplazamiento Doppler

1 cos2Doppler

vftφ θ

π λΔ

= =Δ

Efecto Doppler

cos cosl d v tθ θΔ = = Δ

( ) cos( ) cos( )c m cvf f f fθ θ θλ

= + = +

2 2 cosv tlπ πφ θλ λ

ΔΔ = Δ =

17

Ejemplo

Tx: 1850 MHzVelocidad del móvil: 90 Km/h = 25 m/s

Solución:• vehículo directamente hacia el transmisor (θ = 0º)

][162,0101850

1036

8

mfc

c

=⋅

⋅==λ

6 251850 10 1850,00016 MHz0,162c df f f= + = ⋅ + =

fDoppler > 0 fDoppler < 0

18

Dispersión DopplerSe origina cuando existe movimiento relativo entre transmisor y receptor.Dispersión Doppler, BDoppler: describe el ensanchamiento en frecuencia debido al desplazamiento Doppler• Si se transmite una sinusoide de frecuencia fc, el retorno contendrá

frecuencias en el rango: (fc-max(fDoppler) , fc+max(fDoppler));

Tiempo de coherencia

• En la prácticafc fc + fmfc - fm f

DopplerB

1 1max( )C

Doppler m

Tf f v

λ= = =

29 0, 423

16cmm

Tffπ

= =

( )2 ( )

( )

m

m

m

m

fc cf

Doppler fcf

f f S f f dfB

S f f df

−

−

− −=

−

∫

∫ 2

1.5( )

1 cm

m

S ff ff

fπ

=⎛ ⎞−

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

19

Tiempo de coherencia

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

Tiempo de coherencia: intervalosobre el que la respuestas impulsionales del canal están muy correladas

Tc

Ancho de banda de transmisiónPeriodo de símbolo

fc+fmfc-fm

fc + fmfc - fm

( )2 ( )

( )

m

m

m

m

fc cf

Doppler fcf

f f S f f dfB

S f f df

−

−

− −=

−

∫

∫

20

Tipos de Fading de Pequeña Escala

Según se vio antes pueden existir diferentes tipos de efectos que alteran la señal. • Por un lado, la propagación multitrayecto produce dispersión

en tiempo, y fading selectivo en frecuencia• Por otro, la dispersión Doppler produce dispersión de

frecuencia y fading selectivo en tiempoAmbos mecanismos son independientes entre si.

21

Clasificación de canales

Según la dispersión del retardo (multitrayecto)

Fading Plano1. BS < BC στ < Ts2. Distribución Rayleigh, Ricean3. Conserva espectro de la señal

transmitida

Fading selectivo en frecuencia1. BS > BC στ > Ts2. Intersymbol Interference3. No conserva espectro de la señal transmitida 4. Pueden resolverse las componentes

de Multipath.

Señal

Canal

frec.BS

BC frec.BC

BS

CanalSeñal

22

Clasificación de canales

Según la dispersión del retardo (multitrayecto)

Fading Plano1. BS < BC στ < Ts2. Distribución Rayleigh, Ricean3. Conserva espectro de la señal

transmitida

Fading selectivo en frecuencia1. BS > BC στ > Ts2. Intersymbol Interference3. No conserva espectro de la señal transmitida 4. Pueden resolverse las componentes

de Multipath.

23

Clasificación de canales

Según las varianza temporal (Doppler)

Fast Fading1. Alta dispersión Doppler2. 1/BDoppler ≅ TC < Ts

Slow Fading1. Baja dispersión Doppler2. 1/BDoppler ≅ TC> Ts

Signal

freq.BD

BSfreq.BS

BD

Doppler

Signal

Doppler

24

Tipos de Fading de Pequeña Escala

Estos efectos se pueden combinar: por ejemplo un canal puede tener a la vez fading plano y fading rápido. • Ello ocurre si la respuesta a impulso del canal es

esencialmente un solo impulso (fading plano) pero esta respuesta, o sea el impulso, toma diferentes amplitudes según cuando se aplica la excitación, y el cambio ocurre más rápido que la variación de la señal de banda base (fading rápido).

Un canal selectivo en frecuencia con fading rápido presenta múltiples impulsos de respuesta a un impulso y estos cambian más rápido que la señal transmitida

25

Fading plano Fading plano

lento rápido

Fading selectivo Fading selectivo

lento rápido

Tcoherencia Ts

Ts

στdispersiónmultitrayectorms

más Doppler spread

más multipath

Ts = duración del símbolo

Tipos de Fading de Pequeña Escala

26

Fading selectivo Fading selectivo en

en frecuencia rápido frecuencia lento

Fading plano Fading plano

rápido lento

BDoppler Bs

Bs

BC

más Doppler spread

más multipath

Bs = ancho de banda de la señal en banda base

Tipos de Fading de Pequeña Escala

27

Envolvente de la señal en un entorno de comunicaciones móviles• Doppler (puede estar acompañado de multitrayecto)

• ¿Cuál es el modelo estadístico que la describe?

105

- 50

-10-20-25-30-35-40

0 50 100 150 200 250Tiempo (ms)

Am

plitu

d de

señ

al n

orm

aliz

ada

(dB

resp

ecto

val

or R

MS)

fc = 900 MHzv = 120 km/h

Desvanecimiento de pequeña escala

10( )( ) [dB]=20log

RMS

R ttR

ρ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

@5 ms2λ Desvanecimiento

selectivo en tiempo

[ ]0.33 mλ =

[ ]33 m/sv =

[ ]100 HzDopplerf =

28

Como hemos, la señal recibida se compone de múltiples reflexiones, cada una de ellas caracterizada por un coeficiente complejo

• Cuando no hay visión directa, suele considerarse razonable suponer que las componentes reflejadas o dispersadas llegan con ángulo de llegada uniforme entre 0 y 2π y con parecida intensidad.

Cuando N>>1 (por ej. N>6) por el teorema Central del limite:

Real

Im

Caracterización estadística del desvanecimiento

2

2

Re{ } (0, )Im{ } (0, )

i r

i r

r Nr N

σσ

⎫→ ⎪ ⇒⎬→ ⎪⎭

∑∑

Distribución Gaussiana

( )

1

( ; ) ( ; ) ( ( ))N t

i ii

h t r t tτ τ δ τ τ=

= −∑

( ; )( ; ) ( ; ) ij ti ir t r t e ττ τ Φ=

Path NPath N

EstaciEstacióónnBaseBase

MMóóvilvil

Path 1Path 1

Path 2Path 2

( ; )ir t τ

( ; )ir t τ∑

29

Caracterización estadística del desvanecimiento

Señal recibida a la salida de la antena de un móvil UMTS (fc=1.9 GHz; Rs=3,84 Msímbolos/seg.; QPSK) dentro de un vehículo desplazándose a 120 km/h en un entorno con multitrayecto

0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10-6

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

t (seg)

Am

plitu

d: μ

Vol

tios

Señal recibida: fc = 1.9 GHz; v = 120 km/h

( )r t

210 seg.t −×

30

0 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.9

Densidad de la envolvente de amplitud

¿Cuál es la fdp de ?

Distribución Rayleigh

Envolvente normalizada

{ }( ) { }( )2 2( ) Re Imi ir t r r= + ⇒∑ ∑

2

2 2

2 exp : 0( )

0 : 0r r r

x x xp x

xσ σ

⎧ ⎛ ⎞− ≥⎪ ⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠

⎪ <⎩

( ) ( )ir t r t= ∑

[ ]2

2

Pr ( ) 1TH

r

r

THr t r e σ−

≤ = −

THr

( ) ( )( )r RMS

r t r ttR

ρσ

= =

unidadesnaturales

310 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.9

c=0

c=0.5

c=1

FDP de la envolvente

Si hay visión directa Rice-Fading• Componente LOS más intensa que el resto

Factor Rice c: • Relación entre la potencia de la componente

de visión directa y la de las componentes reflejadas por dispersión.

• c=0 [-∞ dB] → Rayleigh

⇒

2

2 2 02 exp : 0

( )0 : 0

2r r r r

xc I cx x xp x

xσ σ σ

⎧ ⎛ ⎛⎞− ≥⎪ ⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠

⎪ <

⎞− ⎟

⎝ ⎠

⎩

⎜

[ ]2 210 log2 2LOS LOS

r r

P Pc dBσ σ

= →Path NPath N

EstaciEstacióónnBaseBase

MMóóvilvil

Path 1Path 1

Path 2Path 2

LOS

LOSP

unidadesnaturales

32

( )p xΓ

x0

En canales con fading plano y lento (Slow Flat Fading, SFF)

• Como

• usando

• tenemos

( ) { }{ }22

2

2 0,x E r

rxp x e x

E r

−= ≥

( ) 1 0 .x

p x e x−

ΓΓ = ≥

Γ

Distribución Rayleigh

Distribución Exponencial

FDP de la relación señal a ruido

{ } { }2

2 2

0 0

b bE rE Er E r r

N N

ΓΓ = → Γ = → =

Γ

( ) ( ) ( )1 1( ) ( )Y Xp y p g y g g y− −′=

( )r

Y g XΓ

=

{ }0

1Pr 1TH

THx

TH e dx eΓ

− −ΓΓ Γ

⎛ ⎞Γ < Γ = = −⎜ ⎟

Γ ⎝ ⎠∫

THΓ

[ ] 2

Pr ( ) 1 THTHt e ρρ ρ −≤ = −

unidadesnaturales

33

Ejemplo

Valor medio de la relación señal a ruido condicionado a que ésta es menor que un cierto valor umbral.• Este valor puede emplearse

para aproximar la probabilidad de error media.

− Sólo válido para relaciones señal a ruido inferiores a 15 dB

0 10 20 30 40 50 60 700

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Valores de la (Eb/N0)

His

togr

ama

1( )x

p x e−

ΓΓ =

Γ

{ } 0

0

1

|1

1

TH TH

THTH

TH

x

THTH x

x e dx eEe dx e

−Γ ΓΓ −Γ

Γ<ΓΓ−Γ −

Γ Γ

ΓΓΓ = Γ Γ < Γ = = Γ −⎛ ⎞

−⎜ ⎟Γ ⎝ ⎠

∫

∫

ΓTHΓ

{ }0

1Pr 1TH

THx

TH e dx eΓ

− −ΓΓ Γ

⎛ ⎞Γ < Γ = = −⎜ ⎟

Γ ⎝ ⎠∫

unidadesnaturales

34

Cálculo de la probabilidad de error

Constelación QPSK

Si la relación señal a ruido es aleatoria,también lo es la probabilidad de error de bit

{ }

( )

min2Pr error de bit

2

QPSK

dQ

Q

σ⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= Γ

Imag

Real

b bE j E+

Pbit erroroBER

10-4

10-6

10-8

10-2

10-10 5 1510 [ ] dBΓ

THΓ

0 10 20 30 40 50 60 700

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Valores de la (Eb/N0)

His

togr

ama

1( )x

p x e−

ΓΓ =

Γ

unidadesnaturales

35

Cálculo de la probabilidad de error

La probabilidad de error media es

donde la probabilidad de error para un nivel |r| dado es

Por tanto

( )0

Pr Error | ( )ErrorP x p x dx∞

Γ= Γ =∫

( ) ( ) ( )20Pr Error | 2 2 bx Q x Q r E NΓ = = =

( )0

1 12 1 .2 1

xErrorP Q x e dx

∞− Γ

⎛ ⎞Γ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟Γ + Γ⎝ ⎠

∫

2-PSK2-PSK

BER

10-4

10-6

10-8

10-2

10-10 5 1510 [ ] dBΓx

( )2Q x

( ) 1 xp x e− ΓΓ =

Γ

36

0

0

0

0

,1

,1

,1

,1

1 112 1 4

1 112 2 2

1 12(1 ) 2

1 12

b

b

b

b

e BPSK EN

e FSK EN

e DPSK EN

e NCFSK EN

P

P

P

P

⎡ ⎤Γ= − ≈⎢ ⎥+ Γ Γ⎣ ⎦

⎡ ⎤Γ= − ≈⎢ ⎥+ Γ Γ⎣ ⎦

= ≈+ Γ Γ

= ≈+ Γ Γ

PSK binaria coherente

FSK coherente

PSK binaria diferencial

FSK no coherente

Canales con Desvanecimiento Plano y Lento

Rendimiento de Modulaciones Digitales

37

S/N (dB)

BER

Canal con fading selectivo en frecuencia (sin igualación)

Canal con fading plano

canal AWGN (sin fading)

Canal con fading selectivo en frecuencia (con igualación)

“BER floor”

1 4eP ≈ Γ

( )ErrorP=

es una línea recta en escala log/log

( )= Γ

Canales con Desvanecimiento Plano y Lento

38

Intensidad (normalizada por el valor cuadrático medio) de señal en un entorno de comunicaciones móviles

• ¿Cuál es el modelo estadístico que la describe?

105

- 50

-10-20-25-30-35-40

0 50 100 150 200 250Tiempo (ms)

fc = 900 MHzv = 120 km/h

Efecto en el tiempo de la dispersión Doppler

10( )( ) [dB]=20logRMS

r ttR

ρ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2λ Desvanecimiento

selectivo en tiempo

[ ]0.33 mλ =

[ ]33 m/sv =

[ ]100 HzDopplerf =

RMSR

Am

plitu

d de

señ

al n

orm

aliz

ada

(dB

resp

ecto

val

or R

MS)

39

Modelado estadístico de canales móvilesN(ρTH) es el número de veces que la señal cruza un cierto nivel ρTH por unidad de tiempo. • Para valores de ρTH muy grandes o muy pequeños, habrá un pequeño

número de cruces.

105

- 50

-10-20-25-30-35-40

0 50 100 150 200 250Tiempo (ms)

Am

plitu

d no

rmal

izad

a de

señ

al

(dB

resp

ecto

al v

alor

RM

S)

[dB]THρ

( )THN ρ ↓

( )THN ρ ↑

( )THN ρ ↓

10( )( ) [dB]=20logRMS

r ttR

ρ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

40

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

ρ [dB] (normalizado)

N( ρ

)/fD

oppl

er N

umer

o de

Cru

ces

por s

egun

do (n

orm

aliz

ado)

Modelado de canales SFF

Si tenemos en cuenta que...

... y que la distribución de probabilidad

Se puede demostrar que...

N(ρ) tiene su máximo para ρ=1/√2 es decir, con |r(t)| 3 dB bajo el valor RMS.• Valor máximo

( ) 2

2 [Cruces/segundo]DopplerN f e ρρ π ρ −=

max DopplerN f eπ=

( ) ( )0

,N R p R dRρ ρ∞

= ⋅∫

( ) 22

22( ) Rayleigh

( ) Gaussiana

1, 2 e exp22

r

R

p R

p R

Rp Rbb

ρρ ρπ

−

→

→

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

maxN eπ=

3 dB−

( ) ( )0

,N R p R dRρ ρ∞

= ⋅∫

41

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

ρ [dB] (normalizado)N

( ρ)/f

Dop

pler

Num

ero

de C

ruce

s po

r seg

undo

(nor

mal

izad

o)

Modelado de canales SFF

A veces, los umbrales de funcionamiento del receptor se expresan en función de la relación señal a ruido.Ya que una envolvente Rayleigh da lugar a una relación señal a ruido exponencial…

Se puede demostrar que para una y para una relación umbral

• Valor máximo

( ) 2

2 [Cruces/segundo]DopplerN f e ρρ π ρ −=

max DopplerN f eπ=

maxN eπ=

3 dB−

Doppler( ) 2 [Cruces/segundo]TH

THTHN f eπ

Γ−

ΓΓΓ =

Γ

0

bEN

⎛ ⎞Γ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠THΓ

42

Modelado de canales SFF

La distribución estadística de la envolvente se puede caracterizar como Rayleigh. • Por tanto, la probabilidad de que la

envolvente normalizada caiga por debajo de un valor ρUmbral es

El valor medio del número de veces que la envolvente normalizada cruza el umbral en dirección positiva, por periodo de símbolo es:

1/N(ρUmbral) también especifica la separación media, en segundos, entre dos desvanecimientos.

Desvanecimiento

Tiempo t

ρUmbral

( )( )

RMS

r tt

Rρ =

[ ] 2

Pr ( ) 1 UmbralUmbralt e ρρ ρ −≤ = −

( ) 2

2 [Cruces/segundo]UmbralUmbral Doppler UmbralN f e ρρ π ρ −=

( )1 [segundos/cruce]UmbralN ρ

43

Modelado de canales SFF

Duración media de un desvanecimiento bajo el nivel “ρUmbral”• Se define como el tiempo promedio durante el cual la señal está por debajo de un

nivel ρUmbral específico.

− Ejemplo: ρUmbral (umbral) 20 dB por debajo del valor RMS de la envolvente.

Sabiendo la tasa a la cual la señal en el receptor cae de un cierto nivel “ρUmbral” y por cuanto tiempo se mantiene (en promedio) por debajo, podremos determinar el numero esperado de símbolos que se pierden durante un “fade”.

( )

( )

2 2

2

Pr1 e e 1

22

Umbral Umbral

Umbral

UmbralRMS

Umbral Umbral DopplerDoppler Umbral

r tR

N ff e

ρ ρ

ρ

ρ

τρ ρ ππ ρ

−

−

⎡ ⎤≤⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦= = =

Cuando 0.1 (-20 dB ), 2 mseg.

1.5GHz, 50km/hUmbral

cf vρ

τ= ⎫

→ =⎬= = ⎭