Post on 12-Feb-2021
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11
Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-1
Tema 1: Introducción
� Concepto de campo
� Repaso de álgebra vectorial
� Sistemas de coordenadas
�Cartesiano
�Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
� Operadores vectoriales.
�Gradiente
�Divergencia
�Rotacional
�Derivada temporal
�Combinación de operadores: Laplaciana
�Expresiones con operadores
�Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-2
• Es frecuente que se apliquen de forma sucesiva dos operadores.
– Los operadores vistos hasta ahora sólo tienen derivadas de primer orden.
– La combinación de dos operadores de primer orden da lugar a operadores con derivadas de segundo orden.
Combinación de operadores.
grad rot div
gradrotdiv
PV => Incluye un producto vectorial en su definción …
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11
Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-3
Combinaciones que se anulan
grad rot div
gradrotdiv
0 :gradiente del Rotacional =∇×∇ U
0=⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫CS
ldUSdUrr
( ) 0 :rotacional del aDivergenci =×∇⋅∇ Ar
( ) 0·0
==⋅×∇=×∇⋅∇∫∫∫ ∫∫∫V S
ldASdAdVArrrrr
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-4
Rotacional del gradiente de un escalar:
• Rotacional del gradiente:
– Es nulo siempre:
– Demostración: Para cualquier contorno C y una de sus superficies S:
Luego el rotacional de un gradiente siempre debe ser nulo.
– Consecuencia:Si el rotacional de un vector es nulo, entonces ese vector es elgradiente de un escalar.
» Demostración:
• Si el rotacional del vector es nulo, la circulación del vector entre dos puntos es independiente del camino seguido.
• Se puede construir el escalar a partir su valor en un punto:
• El escalar queda determinado a falta de una constante aditiva.
0=∇×∇ U
( ) 0=⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫ CS ldUStokesSdUrr
UAUldACAC
∇=∃⇒=⋅∀⇒=×∇ ∫rrrr/0:0
( ) ( ) cte0
0 +⋅=⇔⋅+= ∫∫ ldAUldArUrUr
r
rrrrrrr
r
S$n
C
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11
Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-5
Divergencia del rotacional de un vector.
• Divergencia del rotacional:
– Basta con tomar volumen arbitrario:
» Como C1y C
2son el mismo contorno recorrido en sentidos
contrarios, el resultado es nulo:
( ) 0=×∇⋅∇ Ar
( )∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫=⋅+⋅=⋅×∇+⋅×∇=
=⋅×∇=×∇⋅∇
2121
0CCSS
SV
ldAldASdASdA
SdAdVA
rrrrrrrr
rrr
+
S1
$n
C1
S2
$n
C2V
S
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-6
Divergencia del rotacional de un vector:Consecuencia
• Consecuencia 1:
– El flujo de un vector de divergencia nula a través de una superficie abierta sólo depende de su contorno.
» Basta con considerar varias superficies con elmismo contorno, S1 , S2... y cerrarlas con otra S0:
• Consecuencia 2:
– Si la divergencia de un vector es nula, entonces el vector es el rotacional de otro.
» Si , siempre se cumplirá la consecuencia 1.
» Si , no se cumple la consecuencia 1, porque …
• Nota: El conocimiento de no basta para determinar
S1
S0
S2
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫⋅=⋅⇒
⋅+⋅=⋅=
⋅+⋅=⋅=
⇒=⋅∇
+
+
21
2020
1010
0
0
0SS
SSSS
SSSSSdBSdB
SdBSdBSdB
SdBSdBSdB
Brrrr
rrrrrr
rrrrrr
r
ABrr
×∇=
ABrr
×∇≠
contorno delfuncion =⋅=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫CSS
ldASdASdBrrrrrr
Ar
×∇ Ar
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11
Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-7
Combinación de operadores: Laplaciana de un escalar:
grad rot div
gradrotdiv
Es la divergencia de su gradiente:
( ) UUU ∆=∇=∇⋅∇ 2
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-8
Laplaciana de un escalar:Definición y expresiones
• Es la divergencia de su gradiente:
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∆⇒
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
33
21
322
13
211
32
1321
3
213
2
132
1
321
321
3
33
2
22
1
11 1
1
ˆ1
ˆ1
ˆ1
u
U
h
hh
uu
U
h
hh
uu
U
h
hh
uhhhU
u
hhA
u
hhA
u
hhA
hhhA
uu
U
hu
u
U
hu
u
U
hU
r
2
2
2
2
2
2
z
U
y
U
x
UU
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆
2
2
2
2
22
2
2
2 1111
z
UUU
z
UUUU
∂∂
+∂ϕ∂
ρ+
∂ρ∂
ρ∂ρ∂
ρ=
∂∂
ρ+∂ϕ∂
ρ+
∂ρ∂
ρ∂ρ∂
ρ=∆
2
2
222
2
2
2
22
2
sen
1sen
sen
11
sen
1sensen
sen
1
∂ϕ∂
θ+
∂θ∂
θ∂θ∂
θ+
∂∂
∂∂
=
=
∂ϕ∂
θ+
∂θ∂
θ∂θ∂
+
∂∂
θ∂∂
θ=∆
U
r
U
rr
Ur
rr
UU
r
Ur
rrU
( ) UUU ∆=∇=∇⋅∇ 2
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11
Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-9
Laplaciana de un escalar: Interpretación
• Al tratarse de la divergencia del gradiente:
– Será positiva en los puntos en que se generen líneas de campo del gradiente: por ejemplo, en los puntos en que el escalar sea mínimo.
– Será negativa en los puntos en que terminen líneas de campo del gradiente: por ejemplo, en los máximos del escalar.
• De alguna forma mide la concavidad del escalar.
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
XY
U(x,y)=sin(pi*x/2).*cos(pi*y/2)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
grad(U)
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-10
Combinación de operadores:Laplaciana de un Vector
• Es, es, … es
grad rot div
gradrotdiv
( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11
Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-11
Laplaciana de un vector.
• Definición:
• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:
– Limitando el cálculo a su componente x:
( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆
( )[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] ( )[ ] [ ] xxxx
xxzy
zxxy
yz
zyxzyx
Az
A
y
A
x
AxAxAxA
z
A
y
A
zx
A
yx
A
x
A
z
A
zy
A
x
A
yA
zA
yxA
zx
A
yx
A
x
A
xz
A
y
A
x
AxA
∆=∂∂
+∂∂
+∂∂
=×∇×∇−⋅∇∇=∆
∂∂
−∂∂
−∂∂
∂+
∂∂
∂=
=
∂∂
−∂∂
∂∂
−
∂∂
−∂
∂
∂∂
=×∇∂∂
−×∇∂∂
=×∇×∇
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
∇=⋅∇∇
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
22
2
2
rrr
rrr
r
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-12
Laplaciana de un vector. (2)
• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:
– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original.
• Interpretación: complicada.
zAyAxAA zyx ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11
Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-13
Teorema de Helmholtz
• Enunciado:
• Demostración:
– La divergencia no basta:
– El rotacional no basta:
Para definir un campo vectorial es necesario
especificar tanto su rotacional como su divergencia.
( ) ABAABAA r43421
rrrrrr⋅∇=×∇⋅∇+⋅∇=′⋅∇⇒×∇+=′
0
( ) AUAAUAAr
43421
rrrr×∇=∇×∇+×∇=′×∇⇒∇+=′
0
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-14
Fuentes de los campos
• Puesto que un campo vectorial se determina a partir de su rotacional y de su divergencia, se definen ambas expresiones como sus fuentes.
• Las fuentes escalares son las que definen la divergencia del campo.
– Ejemplo: la densidad de carga volumétrica es la fuente escalar de la densidad de flujo eléctrico:
• Las fuentes vectoriales son las que definen el rotacional del campo.
– Ejemplo: la densidad de corriente volumétrica es la fuente vectorial de la intensidad de campo magnético en variación lenta:
ρ=⋅∇ Dr
JHrr
=×∇
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11
Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones
J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-15
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )z
BA
y
BA
x
BABA
BAABABBABA
BAABBA
ABABBABABA
AUAUAUAUAUAU
BABABABA
VUUVUVVUVU
AAAA
UUU
CBDADBCADCBABACCABCBA
BACACBCBAABBA
zyx ∂∂
∂∂
∂∂
rrrrr
rrrrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrr
rrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rvrvrrrrvrrrr
++=∇⋅
∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
×∇×+∇⋅+×∇×+∇⋅=⋅∇
×∇+×∇=×∇⋅∇+⋅∇=⋅∇
×∇+×∇=+×∇⋅∇+⋅∇=+⋅∇
∇+∇=∇∇+∇=+∇
∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇⋅∇
=∇×∇∆=∇⋅∇
⋅⋅−⋅⋅=×⋅×⋅−⋅=××
×⋅=×⋅=×⋅×−=×
0
0
Expresiones varias