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Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)
1 de 1
Matrices Una matriz de m x n con elementos en C es un arreglo de la forma
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
KKK
KKK
KKK
M
21
22221
11211
donde a 11, a 12, ..., a mn Є ℮ y m, n Є Z. La matriz es de orden m x m. [a 11, a 12,..., a 1n ] primer renglón [a 21, a 22,... a 2n ] segundo renglón [a i1, a i2,..., a in ] i-ésimo renglón en forma análoga
a
a
a
nj
j
j
M
2
1
j-ésima columna
Definición Sean A= [a ij] y B= [bij] dos matrices de m x n con elementos en C. A y B son iguales, lo que representamos con A=B, si: a ij= bij; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n Adición de matrices y multiplicación por un escalar.
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La adición Definición Sean A= [a ij] y B=[bij] dos matrices de m x n con elementos en C. La suma A + B es una matriz s = [sij] de m x n definida por Sij = a ij + bij i = 1,2,..., m y j = 1,2,..., n Ejemplo:
Sean A=
+
+12
37i
i; B=
−+43
25i
ii; C=
− 154361
ii
A+B=
+++
−++++413)2(
)2()3()5(7ii
iii
=
++
542512
ii
A+C No existe porque no son del mismo orden. “No son conformables para la suma”. Teorema Si A, B y C son matrices de m x n cuyos elementos son números complejos, entonces: 1) A+(B+C) = (A+B)+C asociatividad 2) A+B = B+A conmutatividad 3)∃ la matriz 0 de orden m x n tal que A+ (-A)=0 elemento neutro Definición
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Sean A= [a ij] y B=[bij] dos matrices de m x n con elementos en C. La diferencia A-B se define como A-B= A+ (-B) A-B= (A+(-B) = ([a ij + (-bij)] = [a ij - bij]
Para las matrices definidas en el ejemplo anterior:
A-B =
+
+12
37i
i -
−+43
25i
ii =
−−+
−−++−413)2(
)2()3()5(7ii
iii
=
−−+−
322212
iii
A-C No son conformables para la sustracción. Multiplicación por un escalar Definición Sean A=[a ij] una matriz de m x n con elementos en C y α Є C. El producto α A es una matriz E dada por E = [ ]ije de m x n definida
ije = α a ij; para i= 1,2,...,m y j = 1,2,..., n si α = 3i
αA=3i
+
+12
37i
i=
+
+)1(3)2(3
)3(3)7(3iii
iii =
−
−ii
ii336
3921 (i-i)=i2=-1
Teorema
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Si A y B son matrices de m x n con elementos en C y ∞ β Є C, entonces 1) α (A+ β ) = α A+α B 2) (α +B) A = α A +BA 3) α (BA) = (α B)A Multiplicación de matrices Definición Sean A=[a ij] y B=[bij] dos matrices con elementos en C, de m x n y n x q, respectivamente. El producto AB da como resultado p= [pij], de m x q, definida por
pij =bkj
n
k ika∑
=1 para i = 1,2…………m
j = 1,2…………n
=
PB
j
Ai
pij
Teorema Sean A, B y C matrices de m x n, n x p y p x q, respectivamente, entonces: A(BC)=(AB)C Teorema
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Sean A,B y C matrices de m x n, n x p y n x p respectivamente y D, E y F matrices de m x n, m x n y n x p, respectivamente, cuyos elementos son numeros complejos. Entonces:
1) A(B+C) = AB+AC 2) (D+E)F = DF+EF
Definición Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada de orden n,
In= [ ]δ ij tal que
ij∂ = 1 si i =j
ij∂ = 0 si i ≠ j
ij∂ Delta de kronecker
I3 =
100010001
Matriz de identidad de orden 3
Ejemplo: Sean las matrices
A=
142
031
B=
1234
C=
3201
3 X 2 2 X 2 2 X 2
Demostrar que A(BC) = (AB)C
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22
222222
32910
3201
1234
x
xxx
BC
=
=
23
232223
34910
3234
142
031
x
xxx
AB
=
=
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7 de 7
( )
23
232223
33915
44618
34910
142
031
x
xxx
BCA
=
=
( )
( ) ( )CABBCAx
CAB
xxx
=∴
=
=
23
33915
44618
3201
1135
2208
232223
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Ejemplo: Sean A y B dos matrices de 4 x 5 y C, D y E de 5 x 2, 4 x 2 y 5 x 4, respectivamente. Determinar cuáles de las siguientes operaciones son conformables. a) AB
A B No son conformables para la multiplicación
4x5 4x5 |---/---| b) AC+D
A C + D Matriz de 4 x 2
4x5 5x2 4x2 |---/---| |----/----| 4 x 2 |--------/---------| 4 x 2 c) AE + B
A E + B
4x5 5x4 4x5 No son conformables para la suma |------------| 4 x 4
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d) E (A + B) E (A + B) 5x4 4x5 4x5 Matriz de 5x5 |--------| 4x5 |------------| |----------------| 5x2
e) E (AC) E (A C) 5x4 4x5 5x2 Matriz de 5x2 |------| 4x2 |--------| |---------------| 5x2 Inversa de una matriz Definición Sea A una matriz de mxn con elementos en C. Una matriz X se dice que es inversa de A si: XA=AX=In Y se representa con A-1
A, X y A-1 son matrices cuadradas de orden n. Si A tiene inversa ⇒ matriz “no singular” Si A no tiene inversa ⇒ matriz “singular”
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Matrices elementales Definición Una matriz elemental es aquella que se obtiene aplicando a In una transformación elemental y se representa con In (i,j) Se obtiene intercambiando los renglones i y j de In In k(i) Se obtiene multiplicando por un número k≠ 0 el renglón i de In In k(i,j) Se obtiene multiplicando por k el renglón i de In Ejemplo:
Sea la matriz A=
214735142
Se aplica la transformación T1 igual a I3
(1,2)
E1= I3 (1,2) =
100001010
Si multiplicamos E, A se tiene
A1 = EA =
=
214142735
214735142
100001010
E1= Matriz elemental Teorema Las matrices elementales son “no singulares”
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Teorema El producto de dos matrices elementales es una matriz “no singular” Supongamos que existe una sucesión finita de matrices elementales
IAA nT
KTT KA →→→ −11 ,21 K
Entonces existe una sucesión finita de matrices elementales E1, E2, ..., Ek
(( )( ) )( ) IEEE
IEEE
nK
nK
AA=
=
12
12
K
KK
Si llamamos P al producto (Ek ... E2 E1) se tendrá que PA= In Como P es un producto de matrices elementales, P es “no singular” y existe P-1
P-1(PA)= P-1In (P-1P)A= P-1
InA= P-1
A= P-1
Si post multiplicamos por P AP= P-1P AP=In En consecuencia PA=AP=In ∴P es la inversa de A
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Se tiene que P= Ek... E2 E1
=( Ek... E2 E1)In = Ek(...(E2(E1,In))...) por lo tanto, P se obtiene aplicando a In una sucesión de transformaciones elementales T1, T2,... Tk
T1 Tk [A | In] → ...→[In | A-1] Inicialmente el arreglo tiene del lado izquierdo la matriz A y del lado derecho la matriz identidad In. Se efectúan (en ambas matrices) las transformaciones necesarias para obtener del lado izquierdo la matriz In y al finalizar el proceso se obtiene del lado derecho la matriz A-1. Ejemplo:
Determinar la inversa de la matriz A=
6543
[ ]
=
1001
6543
2IA ~
−− 135
031
3203
41
R1/3
R1(- ∂ ) + R2
−
−2325
231001
R2 (-3/2)
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R2 (-1/3) + R1
∴A-1 = ½
−
−35
46
A es NO singular Ejemplo: Encontrar, si existe, A-1 para
A=
854213641
−−−
111013001
854213641
~
−−
−−−−
104013001
1611016110641
R1(3)+ R2
R1(4)+ R3
−−−−−
111013001
00016110641
R2(-1)+ R3
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El ultimo renglón de la resultante maestra que no se puede transformar en I3; por tanto, A-1no existe A es singular Ecuaciones con matrices Un ejemplo de ecuaciones con matrices la constituye la llamada representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas puede quedarse representada por la ecuación AX=B Donde A – Matriz de coeficientes, de mxn B – Vector de términos independientes, de nxl X – Vector de incógnitas de mxl Si ∃ A-1 se tiene AX=B A-1(AX)= A-1B (A-1A)X= A-1B InX= A-1B X= A-1B Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones lineales que se plantea X1+3X3=2 X2 -2X3=-1 X1+X2+2X3=3
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A=
−211210
301 X=
321
XXX
B=
−31
2
A-1=
−−−−
−
111212334
∴X= A-1B=
−
−−−−
−
31
2
111212334
X=
−
234
Es decir: X1=-4 X2=3 X3=2 Ejemplo: Obtener la matriz X1, si existe tal que XA+B=XC
Si A=
−
−4212
; B=
−−
1123
; C=
−−
2111
XA+B=XC X-1[XA+B] = X-1[XC] X-1 XA+ X-1 B = X-1XC InA + X-1 B = InC A+ X-1 B=C
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[A+ X-1 B] –A= C-A A+ X-1 B –A= C-A X-1 B=C-A X[X-1 B]=X[C-A] InB=X[C-A] B=X[C-A] B[C-A]-1= [X[C-A]] [C-A]-1
B[C-A]-1= XIn B[C-A]-1=X X=B[C-A]-1
C-A=
−−
2111
-
−
−4212
=
−
−63
21
[C-A]-1
−
−→
0001
6321
~
−−1301
0021
( )( ) RR
R
21
1
31+−
−
(C-A) es una matriz singular ∴ ∃ [C-A]-1 y no es posible determinar X. Se presentan algunas diferencias importantes entre el álgebra de los números y el de las matrices:
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1) Podemos sumar o multiplicar dos números cualesquiera, mientras que no siempre podemos hacerlo con las matrices, éstas deben ser conformables para la suma o la multiplicación.
2) La multiplicación de números es conmutativa, mientras que la multiplicación de
matrices no lo es. Para los números se tiene: Si b=c ⇒ab=ac Si b=c ⇒ab=ca Para las matrices: Si B=C ⇒AB=AC Si B=C ⇒AB=CA 3) El producto de dos números diferentes de cero es diferente de cero, mientras que la
multiplicación de dos matrices diferentes de cero puede ser igual a la matriz de cero. Para las matrices
A=
−−3913
B=
−−−
6321
AB=
=
−
−
−−0000
6321
3913
A≠ 0 B≠ 0 AB≠ 0 Tipo Especial de Matrices Diagonal principal, triangular superior y triangular inferior
Diagonal principal → a ii
Triangular superior → a ij tal que i<j
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Triangular inferior→ a ij tal que i>j Traza Definición Sea A=[a ij] una matriz de n x n con elementos en C. Se llama traza de A, y representa con trA, al número
∑=
n
iiia
1
Ejemplo
Sea A=
− i
i
230412135
trA= 5i+1+(-2i) = 1+3i Teorema Si A y B son dos matrices de nxn con elementos en C y ∝ ∈C . 1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B) 2) tr(∝A) = ∝ [tr(A)] 3) tr(AB) = tr(BA) Matrices triangulares Definición Sea A=[ a ij] una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que
1) A es triangular superior si a ij=0 para i>j
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2) A es triangular inferior si a ij=0 para i<j
600540321
Triangular superior
654032001
Triangular inferior
Teorema Si A y B son dos matrices triangulares superiores (inferiores) del mismo orden y C∈α entonces
1) A+B es triangular superior (inferior)
2) ∝A es triangular superior (inferior)
3) AB es triangular superior (inferior) Matriz Diagonal Definición Sea A=[ a ij] un matriz de nxn con elementos en C. Se dice que A es una matriz diagonal si a ij=0 para i ≠ j y se representa con diag (a11,, a22,..., ann)
000020001
i Matriz diagonal
diag (1,2i,0)
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Teorema Si A y B son dos matrices diagonales diag A =(a11, a22,..., ann) diag B = (b11, b22,..., ann)
1) A+B = diag (a11 + b11, a22 + b22,..., ann bnn)
2) ∝A= diag (∝a11, ∝ a22,..., ∝ann)
3) AB =(a11b11, a22b22,..., annbnn)
4) A-1 = diag (1/a11, 1/ a22,..., 1/ann)
Si A es no singular Regla de Sarrus Cálculo de determinantes Este método se emplea para determinantes de segundo y tercer orden
2221
1211
aaaa
= a11a22 - a21a12
232221
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaa
= (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23) - (a21a12a33 +
a11a32a23 + a31a22a13 )
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Ejemplo
Obtenga el det A, para A =
7531 ( )( ) ( )( )3571 −
det A = 7-15 det A = -8
A=
−141523541
det A =
523541
141523541
−
( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ]
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]601878
521541143541543121
=−=++−
−++−=
Desarrollo por cofactores Sea
A =
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
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22 de 22
det A = a11(-1)1+13332
2322
aaaa
+
a 12(-1)1+23331
2321
aaaa
+
a13(-1)1+33231
2221
aaaa
Definición Sea A= [a ij] una matriz de n x n con elementos en C (-1) i+j Mij
Teorema Si A= [a ij ] es una matriz de n xn con elementos en e y r un número entero tal que
nr ≤≤1 , entonces
ca
ca
irir
n
i
rjrj
n
j
A
A
∑
∑
=
=
=
=
1
1
det)2
det)1
Ejemplo
Sea A =
−−−
245342013
Calcular det A
det A= 3(-1)1+1 24
34−
− + (1)(-1)1+2
2532−
− + (0)(-1)1+3
4542 −−
= 3[(8)-(12)] -1 [(4)-(15)]
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23 de 23
= 3(-4) -1(-11)
=-12+11
det A =-1
Método de condensación
Este método se basa en lo siguiente:
1) Elegir una línea que contenga el mayor número de ceros posible.
2) Elegir un elemento no nulo de dicha línea (de preferencia 1 ó -1) y aplicar reiteradamente transformaciones elementales hasta reducir a ceros el resto de los elementos de la línea.
3) Desarrollar los factores según dicha línea.
4) Repetir los tres pasos anteriores hasta obtener un determinante de tercer o segundo orden y obtener su valor por medio de la regla de Sarrus
Ejemplo Calcular el determinante de la matriz A
A=
−−
−−−
1042113120
012111012332511
Seleccionamos la cuarta columna para efectuar el desarrollo y para “pivote” el tercer elemento de dicha columna. Se multiplica por 2 y -3 el renglón 3 y se suma a los renglones 1 y 4, respectivamente.
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24 de 24
det A =
1042113120
0121110123
32511
−−
−−−−
~
1042110553
0121110123
30111
−−−−
−−−
desarrollamos por cofactores la columna 4
det A= (1)(-1)3+4
142115531123
3111
−−−−
−−
Se escoge el primer renglón para el desarrollo y el elemento de la primer columna como pivote
det A= (-1)
142115531123
3111
−−−−
−−
c1 (1)+ c2
c1 (1)+ c3
c1 (-3)+ c3
=-1
25318823104530001
−−−
−
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25 de 25
det A= (-1)(1)(-1)1+1
2538821045
−−
−
c1 (4)+ c2
c1 (-4)+ c3
det A = -1
1417300230245
−
−
det A= -1(2)(-1)2+1 14173024
−−
det A= 2[(24)(-14)-(17)(-30)] =2 (-336+510) =348 Cálculo de la inversa por medio de la adjunta Sea A= [a ij ] una matriz de n x n con elementos en C. y sea cij el cofactor del elemento a ij. Se llama adjunta de A a la matriz Adj A= [ ]bij donde bij= cij.
Considérese la matriz A = 461421321
c11 = (-1)2 4642
= 8-24=-16
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26 de 26
c12 = (-1)3 4141
= (-1)[4-4]=0
c13 = (-1)4 6121
= 6-2=4
c21 = (-1)-3 4632
= (8-18)(-1)=10
c22 = (-1)4 4131
= (4-3)=1
c23 = (-1)5 6121
= (6-2)(-1)=-4
c31 = (-1)4 4232
= (8-6)=2
c32 = (-1)5 4131
= (4-3)(-1)=-1
c33 = (-1)6 2121
= (2-2)=0
∴Adj A =
−−
−=
044110
21016
332313
322212
312111
ccccccccc
∴ A Adj A =
−−
−=
044110
21016
461421321
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27 de 27
= 4400
040004
−=
−−
−I3
¿Cuál es la relación de -4 con la matriz A? si calculamos detA
det A= 4461421321
−=
es decir Si A es una matriz de n x n con elementos en C, entonces A(Adj A) = (det A)A=(detA)In Teorema Sea A una matriz de n x n con elementos en e. A-1 existe si y sólo si A 0≠
* A-1 = Adet
1 (Adj A)
* Si ∃ A-1 entonces det A-1
Adet1
En el ejemplo anterior,
A-1 = 1/-4
−−
−
044110
21016
Ejemplo
Calcular la inversa de A=
4121
utilizando el método de la adjunta
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28 de 28
c11 = (-1)2 (4)=4 c12 = (-1)3 (1)=-1 c21 = (-1)-3 = (2)=-2 c22 = (-1)4 (1)=1
∴Adj A =
−
−=
1124
2212
2111
cccc
det A= 2244121
=−=
A-1=1/2
−
−1124
Solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Crammer Sea a11 x 1 + a12 x 2 +...+a1n x n = b1 a21 x 1 + a22 x 2 +...+a2n x n = b2
* * * *
* * * *
* * * *
an1 x 1 + an2 x 2 +...+ann x n = bn
Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y sea A=[ ]aij su matriz de coeficientes
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29 de 29
A =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
...
...
21
22221
11211
Si det A ≠ 0 entonces
x k = AAk
detdet para k=1,2,…n
donde Ak = [Cij] es tal que
Cij
=≠
kjparakjpara
ij
ij
b
a
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Crammer 3 x 1-4 x 2 =-5 2 x 1+ x 2 = 4
A=
−1243
B=
−45
[ ]21
45
1243
321 ij
bA
−−−=
det A = 1243 −
=3+8=11
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30 de 30
det A1= 1445 −−
= -5+16=11
k=1 ∴b1
det A2= 4253 −
= 12+10=22
k=2 ∴b2
x 1 = 11111
detdet 1
==AA
x 2 = 21122
detdet 2
==AA