Post on 28-Jul-2015
LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES
Sean x e y variables independientes, mientras que m y n son números enteros positivos, entonces:
0 1x = ( )n n nxy x y= 1 1x
x− = ( )mn m nx x ⋅=
1nnx
x− = m n m nx x x +⋅ =
n n
n
x xy y
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
mm n
n
x xx
−=
1/ nn x x= nn nx y x y⋅ = ⋅ /n m m nx x= ( )m n m mnn x y x y⋅ = ⋅
1/1 nn
xx
−= n
nn
x xy y=
/1 m n
n mx
x−=
m n mn
mn
x xy y
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Sean n , x e y variables independientes y a la base del logaritmo, entonces:
lnloglna
xxa
=
log ( ) log loga a axy x y= +
log log loga a ax x yy
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
log logna ax n x=
1log loga a xx
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
REGLAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA
Desarrollo de las expresiones algebraicas más comunes:
( )1a c a cc c a ab b b b
⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( )c a b c a b c b a⋅ = ⋅ = ⋅ ( )c a b c a c b+ = ⋅ + ⋅
( )( )a b c d a c a d b c b d+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 2( ) ( )( )a b a b a b− = + − 3 3 2 2( ) ( )( )a b a b a ab b− = − + +
2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − + 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + + 3 3 2 2 3( ) 3 3 3a b a a b ab b− = − + −
Solución para una ecuación cuadrática de segundo grado: Sea la ecuación de la forma 2 0ax bx c+ + = , donde a , b y c son coeficientes reales. Las soluciones para este tipo de ecuaciones es:
2 42
b b acxa
− ± −=
Si 2 4 0b ac− > , entonces las dos las raíces serán reales Si 2 4 0b ac− = , entonces las dos raíces tendrán multiplicidad de dos y serán reales Si 2 4 0b ac− < , entonces las dos raíces serán complejas conjugadas
Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
FÓRMULAS BÁSICAS DE DIFENCIACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIBLE INDEPENDIENTE
Sean u , v y w funciones que dependen la variable independiente x , y c .una constante. Entonces:
( ) 0d c = ( )d u du= ( )d c u c du⋅ = ⋅ ( )d u du− = − ( )d u v w du dv dw+ − = + − ( )d uv vdu udv= +
2
u vdu udvdv v
−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIBLES INDEPENDIENTES
Sea f una función que depende de las variables independientes x e y , es decir ( , )f f x y= . Entonces, al diferenciar f se obtiene que:
y x
f fdf dx dyx y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ la cual representa una ecuación diferencial.
TEOREMA DE EULER: CONDICIÓN PARA QUE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL SEA EXACTA
Si la función ( , )f f x y= es continua y diferenciable, entonces:
y x
f fdf dx dyx y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ hacemos:
y
fMx∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
y x
fNy
⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
entonces
df Mdx Ndy= +
La ecuación diferencial será exacta cuando se cumple que: yx
M Ny x
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
o bien y x yx
f fy x x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ que es equivalente a
2 2f fy x x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN BÁSICAS
Sean u , v y w funciones que dependen de x (variable independiente), n un número racional, y c una constante, entonces:
0d cdx
=
1d xdx
=
[ ]d dc x c x cdx dx
⋅ = =
[ ]d dc u c udx dx
⋅ =
[ ]d du udx dx
− = −
1n nd x n xdx
−= ⋅
1n nd du n u udx dx
−= ⋅ ⋅
[ ]d d d du v w u v wdx dx dx dx
+ − = + −
[ ]d d du v u v v udx dx dx
⋅ = +
2
d dv u u vd u dx dxdx v v
−⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
Regla de la cadena:
Si ( )u f v= , y ( )v f x= , entonces: d d du u vdx dv dx
= ⋅
Por ejemplo: si 2(2 1)u x= − esto quiere decir que 2( )u v v= y que ( ) 2 1v x x= − . Entonces:
( )22 1d du xdx dx
= − ; por consiguiente,
2 2d v vdu
= y (2 1) 2d dv xdx dx
= − = ; y al final
2(2 1)(2) 4(2 1) 8 4d u x x xdx
= − = − = −
Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN BÁSICAS
Sea ( )F x la función antiderivada o primitiva de ( )f x , esto es: ( ) ( )f x dx F x c= +∫
Integrales indefinidas: Sean f , u , v y w funciones que dependen de x (variable independiente), n un número racional, k es una constante y c la constante de integración, entonces:
dx x c= +∫
k dx k dx kx c⋅ = = +∫ ∫ 1
1
nn xx dx c
n
+
= ++∫ ; cuando 1n ≠ −
1 lndx x dx x cx
−= = +∫ ∫ ; cuando 0x >
[ ]( ) ( )f x dx f x dx− = −∫ ∫
( ) ( )k f x dx k f x dx⋅ =∫ ∫
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x w x dx u x dx v x dx w x dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫ Integrales definidas: Sea ( )F x la función antiderivada o primitiva de ( )f x , a , b y c números reales, entonces:
( ) ( ) ( ) ( )bb
a af x dx F x F b F a= = −∫
( ) ( )b a
a bf x dx f x dx= −∫ ∫
( ) ( ) ( )b c c
a b af x dx f x dx f x dx+ =∫ ∫ ∫
Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura