OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO

Pendulo simple con forzaje vertical

γ

Ω

2ω0ω0

Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold

OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO

Pendulo simple con forzaje verticalEcuación de Mathieu:

θ = −(g

l+ γ sin(Ωt)

)sin θ − µθ (1)

γ

Ω

2ω0ω0

Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold

OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO

Pendulo simple con forzaje verticalEcuación de Mathieu:

θ = −(g

l+ γ sin(Ωt)

)sin θ − µθ (1)

γ

Ω

2ω0ω0

Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold

Parametrically driven damped pendula chain

In the continuos limit this system is decribe by

where ωο is the natural frequency, γ and ω are the amplitude and frequency of forcing, µ is the damped and k is coupled constant.

Amplitude equationThe above model can be simplified if we restrict ourselves to the small amplitude solutions, whose main harmonic frequency is close toωo. Intoducing the ansatz

where and . The amplitude satisfies the parametrically driven and damped non-linear Schrodigerequation

Nonlinear Schrodinger equation

Bifurcation diagram of the amplitude equation close to subharmonic instability

ν

γ

1

5 3

FaradayInstabilitySoliton

spatiotemporal

chaos

OscilatorySoliton Pattern

Bloch-Wall

vertical solution

Stability of uniform steady states inside Arnold's Tongue

The parametrically driven damped Non-linear Schrodingerequation,

has the uniform solution

which is unstable and marginal only for zero detuning.

ESTABILITADAD DE LA SOLUCIÓN ESTATIONARIA HOMOGÉNIA DE LA PDNLS

Variacion del espectro

Diagrama de bifurcación de la PDNLS

3©

5©

γ

ν

γ = 2µ

1©

Entonces segun la ecuación de shcrödinger paremetrica no lineale lasolución estacionaria homogénia es inestable dentro de la lengua de Arnold.

PDNLS ENMENDADO

Derivando la ecuación de amplitude con los nuevos terminos pertinantes dela expansión de Taylor, encontramos la nueva ecuación amplitud:

PDNLS Enmendado

∂τ A = −iνA− i |A|2 A− i∂2x A− µA + γA

+ia |A|4 A + γ(

b |A|2 A + cA3)

(8)

LS de la PDNLS Enmendado(b)(a)

(d)(c)

!(A

)

!(A

)

!(A

)

!(A

)

! !

-20

0

1

0xy 0

20

-1-140

-40

!(A

)

-20

40

-40-40

20

ba

40

-40

-20y x

0

1

0

!(A

)

0

20

40

20

-20

Entonces recuperamos el comportamiento del sistema inicial.

CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS

El modelo

Hamiltoniano y ecuación de movimiento

El Hamiltoniano

H =

NXi

h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz

i )2 − gµ(Sx

i )Hx

i(9)

Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior

La ecuación de movimiento

CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS

El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento

El Hamiltoniano

H =NXi

h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz

i )2 − gµ(Sx

i )Hx

i(9)

Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior

La ecuación de movimiento

CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS

El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento

El Hamiltoniano

H =NXi

h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz

i )2 − gµ(Sx

i )Hx

i(9)

Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior

La ecuación de movimiento

CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS

El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento

El Hamiltoniano

H =NXi

h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz

i )2 − gµ(Sx

i )Hx

i(9)

Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior

La ecuación de movimiento

CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS

El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento

El Hamiltoniano

H =NXi

h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz

i )2 − gµ(Sx

i )Hx

i(9)

Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior

La ecuación de movimiento

CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS

El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento

El Hamiltoniano

H =NXi

h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz

i )2 − gµ(Sx

i )Hx

i(9)

Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior

La ecuación de movimiento

CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS

El modelo

Hamiltoniano y ecuación de movimiento

El Hamiltoniano

H =NXi

h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz

i )2 − gµ(Sx

i )Hx

i(9)

Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior

La ecuación de movimiento

~~Si = −~Si ×∂H∂~Si

(10)

CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS

El modelo

Hamiltoniano y ecuación de movimiento

El Hamiltoniano

H =NXi

h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz

i )2 − gµ(Sx

i )Hx

i(9)

Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior

La ecuación de movimiento

∂H∂~Si

= −J~Si+1 + 2J~Si − J~Si−1 + 4DSzi~ez − gµHx~ex − 2J~Si (10)

ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)

límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)

=⇒ Jdx~

(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1

dx

)→ lex∂

2x~S(x, t)

lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:

Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert

Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)

Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√

1− (M2y + M2

z ) ≈ 1− M2y +M2

z

2 + · · ·

ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)

límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)

=⇒ Jdx~

(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1

dx

)→ lex∂

2x~S(x, t)

lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:

Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert

Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)

Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√

1− (M2y + M2

z ) ≈ 1− M2y +M2

z

2 + · · ·

ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)

límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)

=⇒ Jdx~

(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1

dx

)→ lex∂

2x~S(x, t)

lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:

Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert

Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)

Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√

1− (M2y + M2

z ) ≈ 1− M2y +M2

z

2 + · · ·

CADENA DE SPINES COMO OSCILADOR NO LINEAL

Después de largos cálculos obtenemos:

Mz = −H0 (β + H0) Mz +βH0

2M3

z + (β + 2H0) ∂2x Mz

−α (β + 2H0) Mz − β2 sin(Ωt)Mz (12a)

My ≈ α

H(t)(β + H(t)) Mz (12b)

Entonces si introducimos el mismo ansatz que en la cadena de péndulollegamos a la misma ecuación de amplitud enmendado con:

ω0 =√

H0(β + H0) (13a)

µ =α

2(β + 2H0) (13b)

γ =h2(β + 2H0)

4ω0(13c)

ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS

Simulaciones numericas

Solución homogénea

My(z)

z

My(z)

z

(b)

(a)

ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS

Simulaciones numericas

KinkMy(z)

z

My(z)

z

(b)

(a)

ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS

Simulaciones numericas

Estructura Localizadade tipo horne

My(z)

z

My(z)

z

(b)

(a)

ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS

Simulaciones numericas

Estructura LocalizadaMy(z)

z

My(z)

z

(b)

(a)