Sobre Sistemas de Tipo Gentzen

Jose de Jesus Lavalle Martınez1

Jose Ramon Arrazola Ramırez2

Francisco Javier Ponciano Carmona1

Hugo Salinas Ramırez1

jlavallenator@gmail.com

arrazola@fcfm.buap.mx

tcho 1325@hotmail.com

skylaw6@hotmail.com1Facultad de Ciencias de la Computacion2Facultad de Ciencias Fısico Matematicas

Benemerita Universidad Autonoma de Puebla

3 de septiembre de 2012Facultad de Ciencias Fısico Matematicas BUAP

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Contenido

1 Motivacion

2 Sistema G ′

3 Sistemas LK y LJ

4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo

5 Logicas subestructurales

6 Cierre

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Contenido

1 Motivacion

2 Sistema G ′

3 Sistemas LK y LJ

4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo

5 Logicas subestructurales

6 Cierre

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Contenido

1 Motivacion

2 Sistema G ′

3 Sistemas LK y LJ

4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo

5 Logicas subestructurales

6 Cierre

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Contenido

1 Motivacion

2 Sistema G ′

3 Sistemas LK y LJ

4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo

5 Logicas subestructurales

6 Cierre

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Contenido

1 Motivacion

2 Sistema G ′

3 Sistemas LK y LJ

4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo

5 Logicas subestructurales

6 Cierre

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Contenido

1 Motivacion

2 Sistema G ′

3 Sistemas LK y LJ

4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo

5 Logicas subestructurales

6 Cierre

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Ejemplo de razonamiento matematico

1 La interesaba mas la relacion de deducibilidad entre formulas que laverdad de las formulas;

2 Gentzen deseaba definir un formalismo que reflejara lo mas exactoposible el razonamiento logico real involucrado en las pruebasmatematicas.

Example

Para establecer que (A ∨ (B ∧ C )) ⊃ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C )) es verdadera,procedemos como sigue: suponga que A se cumple o que B ∧C se cumple.Distinguimos dos casos:

1 Si A se cumple se sigue que A ∨ B se cumple, y tambien A ∨ C secumple; ası (A ∨ B) ∧ (A ∨ C ) tambien se cumple;

2 Si es el caso que B ∧ C se cumple, significa que tanto B como C secumplen. De B se sigue A ∨ B; de C se sigue A ∨ C .Ası (A∨B)∧ (A∨C ) tambien se sigue, con lo que concluye la prueba.

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Sistema de Gentzen G ′ para el calculo proposicional clasico

Definition

El sistema de Gentzen G ′ se define a continuacion:

Las expresiones basicas del sistema son inferencias de la formaΓ→ ∆, llamadas secuentes y se leen como ∆ “se sigue de”, o “esderivable de”Γ, a Γ se le llama antecedente y a ∆ sucedente,

Γ, ∆ representan conjuntos arbitrarios, posiblemente vacıos, deformulas,

A, B representan proposiciones arbitrarias,

El secuente A1, . . . ,An → B1, . . . ,Bm tiene informalmente el mismosignificado que la formula (A1 ∧ . . . ∧ An) ⊃ (B1 ∨ . . . ∨ Bm),

El unico axioma es:

Γ,A→ A,∆ Ax ′

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Sistema de Gentzen G ′ para el calculo proposicional clasico

Definition

Las reglas de inferencia son:

Γ→ A,∆

Γ,¬A→ ∆ ¬′ →

Γ,A→ ∆

Γ→ ¬A,∆ → ¬′

Γ,A,B → ∆

Γ,A ∧ B → ∆ ∧′ →

Γ→ A,∆ Γ→ B,∆

Γ→ A ∧ B,∆ → ∧′

Γ,A→ ∆ Γ,B → ∆

Γ,A ∨ B → ∆ ∨′ →Γ→ A,B,∆

Γ→ A ∨ B,∆ → ∨′

Γ→ A,∆ Γ,B → ∆

Γ,A ⊃ B → ∆⊃′→

Γ,A→ B,∆

Γ→ A ⊃ B,∆→⊃′

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Sistema de Gentzen LK para el calculo proposicionalclasico

Definition

Un secuente en LK es una expresion de la forma Γ→ ∆, donde Γ y ∆son secuencias finitas, posiblemente vacıas, de formulas;

Axiomas:A→ A

Ax

Reglas estructurales

Intercambio

Γ,A,B,Π→ ∆

Γ,B,A,Π→ ∆I →

Γ→ Π,A,B,∆

Γ→ Π,B,A,∆→ I︸ ︷︷ ︸

6LJ

Debilitamiento

Γ→ ∆A, Γ→ ∆

D → Γ→ ∆Γ→ ∆,A

→ D

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Sistema de Gentzen LK para el calculo proposicionalclasico

Definition

Reglas estructurales, continuacion

Contraccion

A,A, Γ→ ∆

A, Γ→ ∆C →

Γ→ ∆,A,A

Γ→ ∆,A→ C︸ ︷︷ ︸

6LJ

CorteΓ→ ∆,A A,Π→ Σ

Γ,Π→ ∆,ΣCut

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Sistema de Gentzen LK para el calculo proposicionalclasico

Definition

Reglas operacionales

Γ→ ∆,A

¬A, Γ→ ∆¬ → A, Γ→ ∆

Γ→ ∆,¬A → ¬

A, Γ→ ∆

A ∧ B, Γ→ ∆

B, Γ→ ∆

A ∧ B, Γ→ ∆∧ →

Γ→ ∆,A Γ→ ∆,B

Γ→ ∆,A ∧ B→ ∧

Γ→ ∆,A

Γ→ ∆,A ∨ B

Γ→ ∆,B

Γ→ ∆,A ∨ B→ ∨

A, Γ→ ∆ B, Γ→ ∆

A ∨ B, Γ→ ∆∨ →

Γ→ ∆,A B,Π→ Σ

A ⊃ B, Γ,Π→ ∆,Σ⊃→ A, Γ→ ∆,B

Γ→ ∆,A ⊃ B→⊃

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Sistema de Gentzen LJ para el calculo proposicionalintuitivo

Definition

Un secuente en LJ es una expresion de la forma Γ→ ∆, donde Γ y ∆son secuencias finitas, posiblemente vacıas, de formulas;

El sucedente ∆ puede contener a lo mas una formula, por lo cual lasreglas dadas para LK se deben adaptar adecuadamente;

Por la restriccion anterior las reglas → I y → C no pueden apareceren LJ porque solo se pueden aplicar a secuentes con mas de unaformula en el sucedente (las marcadas con 6 LJ, tienen relacion directacon la ley del tercero excluido).

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Interpretacion BHK para el calculo proposicional intuitivo

Esta interpretacion se debe a Brouwer, Heyting y Kolmogorov. Paraentender la logica proposicional intuitiva debemos olvidar la nocion clasicade “verdad”. Ahora nuestros juicios sobre una proposicion logica ya no sebasan en los valores de verdad asignados a dicha proposicion, sino ennuestra habilidad para justificarla vıa una prueba explıcita o“construccion”.

Definition

Una construccion de A1 ∧ A2 consiste de una construccion de A1 yuna construccion de A2;

Una construccion de A1 ∨ A2 consiste de un indicador i ∈ 1, 2 y unaconstruccion de Ai ;

Una construccion de A1 ⊃ A2 es un metodo (funcion) que transformatoda construccion de A1 en una construccion de A2;

No existe construccion para ⊥;

¬A es una abreviacion de A ⊃ ⊥.

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∧′ → es derivable en LK

Demostracion.

A,B, Γ→ ∆

A ∧ B,B, Γ→ ∆∧ →

B,A ∧ B, Γ→ ∆I →

A ∧ B,A ∧ B, Γ→ ∆∧ →

A ∧ B, Γ→ ∆C →

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∧ → es derivable dada ∧′ → y el resto de LK

Demostracion.

A, Γ→ ∆

B,A, Γ→ ∆D →

A,B, Γ→ ∆I →

A ∧ B, Γ→ ∆ ∧′ →

B, Γ→ ∆

A,B, Γ→ ∆D →

A ∧ B, Γ→ ∆ ∧′ →

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∨′ → es derivable en LK

Demostracion.

Γ→ ∆,A,B

Γ→ ∆,A,A ∨ B→ ∨

Γ→ ∆,A ∨ B,A→ I

Γ→ ∆,A ∨ B,A ∨ B→ ∨

Γ→ ∆,A ∨ B→ C

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→ ∨ es derivable dada → ∨′ y el resto de LK

Demostracion.

Γ→ ∆,A

Γ→ ∆,A,B→ D

Γ→ ∆,A ∨ B → ∨′

Γ→ ∆,B

Γ→ ∆,B,A→ D

Γ→ ∆,A,B→ I

Γ→ ∆,A ∨ B → ∨′

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Ejemplos de por que es deseable quitar las reglasestructurales

Example

Por $50 puedes comprar una cajetilla de Camel y una cajetilla deMarlboro (conjuncion concurrente o conjuncion estatica);

Juan abrio la puerta y salio del cuarto (conjuncion secuencial);

Algunas cuantas razones mas.

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Ejemplos de por que es deseable quitar las reglasestructurales

Example

Por $50 puedes comprar una cajetilla de Camel y una cajetilla deMarlboro (conjuncion concurrente o conjuncion estatica);

Juan abrio la puerta y salio del cuarto (conjuncion secuencial);

Algunas cuantas razones mas.

Jose de Jesus Lavalle Martınez Jose Ramon Arrazola Ramırez Francisco Javier Ponciano Carmona Hugo Salinas Ramırez (BUAP)Sobre Sistemas de Tipo Gentzen 8GSNM 2012 15 / 16

Ejemplos de por que es deseable quitar las reglasestructurales

Example

Por $50 puedes comprar una cajetilla de Camel y una cajetilla deMarlboro (conjuncion concurrente o conjuncion estatica);

Juan abrio la puerta y salio del cuarto (conjuncion secuencial);

Algunas cuantas razones mas.

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Finalmente,

¡Muchas gracias!

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Finalmente,

¡Muchas gracias!

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