Post on 11-Feb-2017
Sistemas con parámetros
distribuidos
Régimen Transitorio
Líneas y Máquinas
65-10. Teoría de Campos
Régimen Transitorio
Interesa en: conexiones, sobretensiones, caída de rayos, etc.
Líneas sin pérdidas: mayoría de los casos.
Líneas con pérdidas: ensayos analógicos, cálculos computacionales (EMTP, etc)
Línea sin pérdidas
[ ]
n)propagació de (velocidad1
donde1
x
i-
x
u-
:resultan 0g 0,rcon ,cualquiera onda una para sta telegrafidel ecuaciones Las
2
2
2
2
22
22
2
2
clv
mseg
clt
u
vt
ucl
tx
il
x
u
t
uc
t
ucug
t
il
t
ilir
⋅=∴
=⋅∂
∂⋅=
∂
∂⋅⋅=
∂⋅∂
∂⋅−=
∂
∂
∴
∂
∂⋅≈
∂
∂⋅+⋅=
∂
∂
∂
∂⋅≈
∂
∂⋅+⋅=
∂
∂
≈≈
( ) ( )( ) ( )tvxFtvxFi
tvxftvxfu
⋅++⋅−=
⋅++⋅−=
21
21
:teAnalogamen
:es Alembert)(D'solución Cuya
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )[ ]
[ ]
( ) ( )[ ]tvxftvxfZ
iFZf
FZf
c
l
cllvlZvl
Fvlf
FvlfvFvFl
ffx
tvx
tvx
f
x
f
x
fff
x
t
il
t
ilir
tvxFtvxFi
CC
C
C
⋅+−⋅−=∴
⋅−=
⋅=∴
=⋅
⋅=⋅=∴Ω=⋅
′⋅⋅−=′
′⋅⋅=′∴⋅′+−⋅′⋅=
′−′−=
+
∂
⋅−∂
⋅−∂
∂−=
=
∂
∂+
∂
∂−=
+
∂
∂−=
∂
∂−
∂
∂⋅≈
∂
∂⋅+⋅=
∂
∂
⋅++⋅−=
21
22
11
22
11
21
211
2121
21
1
ticacaracterís impedancia ó onda de impedancia la es
1 como pero
...
x
u
x
u-en dolareemplazány
dada Entonces
Para resolver un problema se requiere conocer la
longitud L de la línea y uno de los siguientes pares de
valores: l-c; ZC – v o ZC – τ , siendo τ el tiempo de travesía de la onda.
Todo sistema de cargas libres, que origina una cierta
distribución de tensiones, estará moviéndose a lo largo de la línea con velocidad v y originando la corriente i.
Si hay más de un conductor asociado a la línea, las ecuaciones pasan a ser matriciales, por ejemplo:
y el problema puede ser muy complicado . Para líneas polifásicas transpuestas pueden usarse los valores “de servicio” y considerarla como línea única.
[ ] [ ] [ ]
∂
∂⋅+⋅=
∂
∂−
t
ilir
x
u
( ) ( )( ) ( )
inversa la para análoga siendo directa,
cualquiera onda una para figura la deción representa laadmiten y
:como también escribirsepueden
e sexpresione Las
21
21
−=−=
+=
⋅++⋅−=
⋅++⋅−=
C
i
C
d
id
id
Z
u
Z
uiii
uuu
tvxFtvxFi
tvxftvxfu
Circuito equivalente
( )
L
CL
dL
CL
dL
idLC
idLL
LLL
ZZZ
uu
ZZ
ui
uuiZ
uuiZ
ipZu
iu
⋅+
⋅=⇒
+
⋅=⇒
−=⋅
+=⋅∴
⋅=
22
(*)
:será e entrerelación la línea, la de salida laEn
( ) ( )
dri
C
dr
C
ii
CL
CLr
dri
CL
dCLLCLi
iKiZ
uK
Z
ui
reflexióndefactorZZ
ZZK
uKu
ZZ
uZZiZZu
⋅=∴⋅==
+
−=
⋅=∴
+
⋅⋅−=⋅−=⋅
.con
22
ZL
CARGA
ud
+
u
-
i
+
uL
-
iL
2ud
ZC
ZL
iL
+
uL
-
El circuito equivalente de parámetros concentrados ,sin propagación, da
uL
e iL
(transmitidos):
Restando (*), se calcula uie i
ien función de u
d:
Ejemplo: las ondas de sobretensión (por ejemplo las producidas por una descarga atmosférica) tienen un frente de onda muy escarpado respecto a las ondas de frecuencia industrial. Aparecen simultáneamente:
y al llegar a la carga se reflejan según el valor de estas:
x
ud
U v
id
I=U/ZC v
x
U
v
2U
x
vI
x
La tensión llega a 2U, la i es I=0, en el extremo en un instante posterior a la
llegada de la onda incidente.
Línea abierta: ZL=infinito ρρρρL =1
vU
x
I
v
2I
x
Línea en CoCo: ZL=0, ρL= -1
Ejemplo: Línea de transmisión alimentada con fuente de cccon impedancia interna nula, sufre un CoCo a una distancia dde la fuente. Hallar i(t) en el lugar del CoCo y en la fuente.
En t<= 0-, la u a lo largo de la línea es cte. (c cargados, l no afecta) iL= E/RL= cte.
Línea de transmisión
R=0
d dx
ZC (real)
1 2
+
E
-
l dx
c dxRL
ZC (real)
Línea de transmisión
l dx
c dx
3
En t>= 0+ el flujo regular de cargas hacia RL se detiene de inmediato al producirse el CoCo ; hay un transitorio por descarga de los c a través de las l (la fuente es un CoCo
para las i transitorias; y en fuente y en CoCo siempre puede considerarse u=0)
Eu Lr ρ=
La tensión incidente para t>0 será ui=E, entonces:
L
LrR
EIi == ρ
En el corto (punto 1) tendremos:
11 −=+
−=
+
−=
C
C
C
C
ZR
ZR
ZR
ZRρ
Eur −=
Iir −=
Eut 1τ=
Iit 1τ=
02
1 =+
=CZR
Rτ
0=tu
0=ti
RL
v vir it
iL
riLriL iiiiii −−=⇒++
IIIiL 2)()( =−−−−=
uE
iI
21
Diagrama espacial
0<t
Sea t12=d/v el tiempo de travesía entre la fuente y el corto y t23=(Long-d)/v el
tiempo de travesía entre el corto y la carga:
Para
u
E
1
012 >> ttPara
E
0 V
3
E
E
023 >> tt
i
ir=I
21
I
0 V
ii=I
I
2I
0 A
iL
012 >> ttPara
023 >> tt
Condiciones de borde: en el CoCo siempre u2=0, en fuente siempre u1=E.
Cuando se aplica el CoCo , una onda de amplitud –E se dirige hacia la fuente haciendo u=0. La acompaña una
i=id-ii=0-(-E/ZC)=E/ZC. Cuando las ondas alcanzan la
fuente, las condiciones de borde imponen la iniciación de una nueva onda asociada a una id=E/ZC, que se
superpone a la preexistente. Al volver a incidir en el CoCo :
( )[ ]CC
drdid
iiid
C
C
C
Cr
Z
E
Z
EiKiiii
EuuEuuu
Z
Z
ZR
ZRK
211
;0
;10
0
2
=−−⋅=−=−=
−=∴+=+==
−=+
−=
+
−=
4Ii1
2I
τ 3τ t
2τ 4τ
3Ii2
I
t
fuente
falla
Línea con derivación o discontinuidad
Línea con discontinuidad (más ejemplos en NS p 338)Antes de la discontinuidad se propagan:
Al llegar a la discontinuidad se generan las ondas inversas ui e ii que subsisten
mientras no aparecen otras ondas debidas a reflexiones, etc. El análisis de lo
que pasa en la discontinuidad puede hacerse:
====
==
IZ
UZ
uii
Uuu
CC
dd
d
11
//1
//
2
21
2
2
22
ZZ
ZU
ZZ
ZZZ
ZZ
ZZ
UuC
CD
CDC
CD
CD
L+
⋅⋅=
+
⋅+
+
⋅⋅
⋅=
.peligrosas esoscilacion alugar dando máquina
la ay volver nuevamente reflejarse puede )( excesivo, es
toalargamien el si alarga; la aunque espiras) 1 lasen onessobretensi
(menores onda la de pendiente la suaviza pues onessobretensi
contra protección eficaz una constituye C el ,)300(Z aérea
línea una y Z )1000 a200(Z AT de máquina una es ZSi
:27 figura la de lasson x defunción en curvas mismas Estas
retorna que inversa onda la sería que
:es cte)(x C deposición la para que
pasivada) (fuentecon
12
:es emporalsolución t cuya reales), (números y Z por Z formado
resistivodivisor un de travésa carga se C que vese circuito Del
.1capacitor un es idaddiscontinu la ahora sianterior ejemploel, Dado
eras
C1
C1C2C2
21
21
21
2
C2C1
TRANSMi
LiiL
id
CC
CC
t
CC
CL
D
uu
UuuuUu
uux,t: u
CZZ
ZZ
eZZ
ZUu
CpZ
Ω≈
Ω=
−=∴+=
=+=∀
⋅+
⋅=
−⋅
+⋅⋅=
=
−
τ
τ
Evolución de las ondas, cuando llega a la carga en 3-3 se repite el fenómeno
Descarga atmosférica
1. Previo a la descarga. La línea acumula progresivamente cargas a través de aisladores de signo contrario al de la nube.
2. Se inicia la descarga sobre la línea. Las cargas se van recombinando, las “-” más concentradas en el frente. En tierra las “+” casi inmóviles.
3. Se completa la bajada de
“-”; la línea y el C entre espiras y a masa del transformador quedan cargados.
Nube (Base (“-”)- - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
Transformador
0 V
MV
- - - - - - - - - - - - -
+ + - - - - - - + + + + +
+ + + + + + + + +
Transformador
U=Max 0 V
- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + +
Transformador
U- -+ +
A REVISAR
4. Se descarga C sobre el
bobinado del transformador,
asimilable a
( )
CL
L
RteUu t
C
⋅=−=
⋅=⋅⋅⋅= ⋅−
1;
;2
cos
022
0 ωαωω
αωα
Las máximas amplitudes no superan U, pero estas oscilaciones en el transformador se superponen a la variación real que impone el rayo.
Parámetros distribuidos en máquinas
Las máquinas eléctricas presentan parámetros distribuidos en forma análoga al caso de las líneas. El caso más importantepara analizar es el del transformador por estar frecuentemente conectado a líneas aéreas susceptibles de recibir descargas atmosféricas que originan ondas de alta tensión aunque de breve duración (del orden de los microsegundos). En estos casos es indispensable protegerlos con descargadores de sobretensiones (de carburo de silicio u óxido de zinc) que, no obstante, imponen una tensión muy superior, abrupta, a la nominal de diseño. Esto obliga a adoptar algunas providencias constructivas en los transformadores. El caso más exigido, y felizmente el más fácil de analizar, es el de un transformador con neutro puesto a tierra (que es el que se verá).
Con las máquinas rotativas acontece una situación similar, pero usualmente están sometidas a las sobretensiones internas del sistema (por desconexiones, etc.). Estas sobretensiones en ocasiones pueden ser importantes y deben preverse protecciones acordes a las mismas.
A REVISAR
Transformador con neutro a tierra
Considérese el caso de un bobinado de transformador puesta a tierra que recibe un rayo.
La distribución de potenciales dependerá de las capacidades a masa y entre espiras. Llamando:
( ) dxdxl
L
nLL
dxdxl
dxdxlC
l
lC
n
CnC
S
S
por ainductanci
espirapor ainductanci
por paralelo capacidadC
por serie capacidad
:figura laen observa se ranomenclatu última estacon
longitud de unidadpor paralelo capacidad C
longitud, de unidadpor serie capacidad
: tambiéno
paralelo totalcapacidad C tierra,a espira 1 de capacidadC
C
serie totalcapacidad C espiras, 2 entre capacidad
1
P
P
PP
1
sS1
=⋅
==
=⋅
=⋅⋅
=
=⋅
==
=⋅=
La corriente de descarga no puede atravesar inicialmente (t=0) la L y la tensión se reparte en los capacitores
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
⋅
⋅−⋅=⇒∴
⋅+⋅=
+=
=→=
=→=⋅+⋅==⋅=
≈⋅∂
∂
−⋅
⋅−=
∂
∂⇒
⋅∂
∂⋅
⋅−=
∂
∂
∂
∂⋅−=
∂
∂
⋅⋅⋅
−=∂
∂
⋅∂
∂+=+
⋅∂
∂+=+
++∂
∂⋅
⋅=
++⋅⋅⋅
=
−⋅−
−
⋅−⋅
∫
∫∫
∫
α
α
αα
αα
αα
αα
sh
l
xsh
eeUuAAeAeA
AAU
ulx
UuxeAeAu
Cu
ldx
u
dtt
u
llCx
u
dtx
i
lCx
u
t
u
lx
i
dtilCx
u
dxx
ixidxxi
dxx
uxudxxu
dxxit
u
l
dxxi
dxxudtilC
dxxu
xl
xl
xl
S
S
S
S
S
21
21
21
212
2
2
2
2
2
2
,0
0
0
1
1
1
;
con y :resulta solución cuya C
cond
:0t para que sea o C
C
pero C
P2
P
P
P
( )α
α
α
αα sh
l
ysh
UueAeAU
AA
Uuly
uyu
ldy
ud
y
⋅
=∴
⋅+⋅=
+=
∴
=→=
=→=⋅=
−21
21
2
2
2
2
0
00 :con y ,
:anterior forma misma la de es solución La
figura). Ver( coordenada la usar resulta simple Más
.permanente
regimen en que misma la es tensiones de
óndistribuci la y , :0 Si
espiras. 1
las en aplicada queda U la Si
0.t para tensiones
de óndistribuci la da se 33 figura la En
eras
l
yUl
y
Uu ⋅=⋅
⋅=≈
∞→
≈
α
αα
α :
37) figura
" los por dada está punto cada en alcanza se que amplitud máxima La
con LC descarga una de tratarse por 36, figura la muestra
como para oscilación una implica nteTemporalme
35). figura (, final uno hasta inicial valor un
de variará el y 34, figura la tiene se tramo un Para
0
(
"
1
2
22
U
LC
xU
UU
Ux
fi
∆∴
=
∆
∆∆
∆∆
ω
Los sucesivos “capacitores” se irán cargando con cierto retraso (carga RC) por lo que las oscilaciones en cada sección no serán contemporáneas.
Como α conviene que sea chico, de [52] se concluye que
conviene aumentar Cs y disminuir Cp. Ambas condiciones son difíciles de cumplir por necesidades de aislación. En transformadores de AT existen varias disposiciones constructivas para lograrlo. Una de ellas consiste en reforzar la aislación de las primeras espiras (ver fig 33) e interponer anillos conductores (aislados) entre ellas para que Cs no se vea reducida.