Sistema de Coordenadas Polares

     Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.

Este sistema consiste en señalar un punto que es el origen de las coordenadas y a partir de él se señala un segmento de recta horizontal denominado línea inicial o eje polar, en el cual se marca la escala que se desee, para medir distancias. Una vez hecho esto, para indicar la posición de un punto cualquiera del plano, trazamos la recta desde el punto en cuestión hasta el origen del sistema y se mide el ángulo por el eje polar y la recta. La medida del ángulo y de la distancia del punto al origen son las coordenadas polares del punto.

En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la distancia se le suele llamar radio y se designa por la letra r o la letra griega r(rho), al ángulo se le suele designar por la letra griega q  (theta). El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario.

Gráfica de una Ecuación Polar

     La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los cuales              

x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ).

En otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.

Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

Para la solución de ciertos problemas es necesario saber cómo pasar de un sistema de

Coordenadas a otro. Las relaciones son las siguientes:

x = r cosθ, y = rsenθ, r= (x2+ y2 )1/2

Que son las ecuaciones de cambio, para cambiar las coordenadas de un punto o de una ecuación cartesiana en polar y viceversa.

Trazado de una curva dada su ecuación polar.

Para localizar puntos o para bosquejar las gráficas, se hace en papel coordenado polar, que se construye de la siguiente forma: A partir de un punto que es el polo, se trazan círculos concéntricos igualmente espaciados. Los puntos situados sobre el lado terminal del ángulo corresponden a valores positivos de las distancias y los puntos situados sobre la prolongación del lado terminal del serán para los valores negativos de las distancias, Para graficar una ecuación polar, procedemos igualmente que con las ecuaciones cartesianas, dando valores al ángulo θ entre 0 y 360 , haciendo uso de preferencia del papel coordenado polar.

AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES

Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas polares, se emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de otra. Aunque en el siguiente ejemplo los cálculos no fueron sencillos, con frecuencia, determinar los límites de integración es la parte más desafiante para hallar el área de una región polar.

Ejemplo .- Hallar el área de la región A comprendida dentro del caracol r=1+2cos θ y el exterior del circulo r=2

Solución: Si observamos la figura se puede apreciar las dos ecuaciones donde el área A entre ellos esta sombreada. Los puntos de intersección del círculo y el caracol están dados por:

1+2cos θ = 2, igualando

1−2+2 cos θ = 0

−1+2cos θ=0 , entonces: 2 cos = 1, luego cos θ =

12 , por lo que

θ=cos−1 12 y

además θ = ± π /3

Estos valores son los límites de integración que se necesitan, luego:

A=12 ∫

− π3

π3

[ (1+2cosθ )2−22 ] dθ = ∫0

π3

( 4cosθ+4cos2θ−3 ) dθ

¿∫0

π3

(4cosθ+2cos2θ−1 ) dθ Linealidad y Teorema Fundamental del Cálculo .

¿(4cosθ+sen2θ−θ )|0

π3 =

52

√3−π3

Unidades cuadradas (u2)

Ejemplos de graficas en coordenadas polares:

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS

UNA ROSA DENTRO DE OTRA

CARDIOIDES

 

Limacones o caracoles:

Caracol con hendidura o caracol con concavidad

La circunferencia

LEMNISCATA

 

CONCOIDES DE NICÓMENES

 

CISOIDE DE DIOCLES

 

PARÁBOLA

 

ESPIRAL

El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y

matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.

Espiral de Fermat

Espiral recíproca o espiral hiperbólica.

 

Espiral logarítmica