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Movimiento Browniano vs. Movimiento
Browniano Fractal: simulación de portafolio tipo en Esquema Multifondos (ley 1328 de
2009)
Violeta Margarita Hernández Martínez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Económicas
Maestría en Ciencias Económicas
Bogotá, Colombia
2016
Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano
Fractal: simulación de portafolio tipo en esquema
Multifondos (ley 1328 de 2009)
Violeta Margarita Hernández Martínez
Director:
Profesor Hernando Bayona Rodríguez, Ph.D.
Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:
Magíster en Ciencias Económicas
Línea de Investigación:
Economía Financiera
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Económicas, Maestría en Ciencias Económicas
Bogotá, Colombia
2016
A mis padres
En los oscuros recovecos de la mente, una
enfermedad conocida como Miedo se regocija
de las almas de aquellos que no pueden vencer
su poder...
Patrick McHale
Resumen y Abstract IV
Resumen Esta tesis es el estudio comparativo entre el Movimiento Browniano y el
Movimiento Browniano Fractal aplicados a la gestión de portafolios en el esquema
Multifondos de Fondos de Pensiones Obligatorias (Ley 1328 de 2009). El objetivo
de la misma consiste en mostrar que el Movimiento Browniano sobrestima la
relación retorno/riesgo frente al Movimiento Browniano Fractal, ya que el segundo
incluye el horizonte temporal como variable de medición de riesgo. Para ello, se
utilizaron series de retornos diarias de activos que representan las inversiones
permitidas dentro de los límites del esquema desde el año 2008 hasta el 2015. Se
encontró que El Movimiento Browniano sobreestima la relación retorno/riesgo en
comparación con el Movimiento Browniano Fractal. Asimismo, el Movimiento
Browniano no tiene en cuenta el aumento del horizonte temporal, ya que las
combinaciones de activos en el portafolio permanecen inalteradas. De acuerdo
con los resultados obtenidos por el Movimiento Browniano Fractal llevados al
esquema multifondos, se aconsejan combinaciones de activos más
conservadoras consistentes en una mayor participación de activos locales de
renta fija. Además, se recomienda la revisión periódica de los límites de inversión
para los diferentes fondos, teniendo en cuenta la influencia del horizonte temporal
en los cambios de las series de retornos financieras.
Palabras clave: Movimiento Browniano, Movimiento Browniano Fractal,
Portafolio de Markowitz, Esquema Multifondos.
Clasificación JEL: G11; G18; G23; C14.
Resumen y Abstract V
Abstract This thesis is a comparison between the Brownian motion and Fractal Brownian
Motion, applied to portfolio management in the Multifund Scheme Mandatory
Pension Funds (Law 1328 of 2009). Its purpose is to show that the Brownian
motion overestimates the return/risk ratio compared to the Fractal Brownian
Motion, because the latter includes time horizon as a risk measure variable. To do
this, sets of daily returns of representative assets were used to represent
investments allowed within the limits of the scheme (2008-2015). It was found that
Brownian Motion overestimates the return / risk ratio compared to the Fractal
Brownian Motion. Also, the Brownian Motion does not take into account the
increase in time horizon, Also, the Brownian motion does not account for the
increased time horizon, as when scaling the results at 1 and 10 years,
combinations of assets in the portfolio remain unchanged. According to the results
obtained by the Fractal Brownian Movement applied to multifunds scheme, the
combinations recommended are more conservative, with greater participation of
local fixed-income investments. In addition, the periodic review of the investment
limits for funds is recommended, taking into account the influence of the time
horizon changes in financial return series.
Keywords: Brownian Motion, Fractal Brownian Motion, Markowitz
Portfolio, Multifunds Scheme.
JEL Classification: G11; G18; G23; C14.
Contenido VI
Contenido
Resumen .............................................................................................................. IV
Abstract ................................................................................................................. V
Lista de Figuras ................................................................................................. VIII
Lista de Símbolos y abreviaturas ...................................................................... XI
1. Antecedentes ................................................................................................. 4
1.1. Esquema Multifondos en América Latina .................................................. 4
1.1.1. Clasificación de los Fondos y Límites de Inversión ............................ 5
1.1.2. Selección y Transferencia entre Fondos ............................................ 7
1.2. Antecedentes del Esquema Multifondos en Colombia (Ley 1328 de 2009)
9
1.2.1. Selección de Fondos y Transferencias de Fondos en Colombia ...... 12
1.3. Inversiones de los Fondos de Pensiones Obligatorias ............................ 13
1.3.1. Portafolio Conservador ..................................................................... 14
1.3.2. Portafolio Moderado ......................................................................... 16
1.3.3. Portafolio de Mayor Riesgo .............................................................. 17
2. Objetivo y Definición del Problema de Investigación ............................... 19
2.1. Definición del problema de investigación ................................................ 19
3. Movimiento Browniano Y Propiedades Empíricas De Series De Retornos
Financieras ......................................................................................................... 24
3.1. Movimiento Browniano Fractal ................................................................ 29
Contenido VII
3.2. Optimización de Portafolio: Modelo de Frontera Eficiente de Markowitz 36
3.3. Inconvenientes del Modelo ...................................................................... 39
3.4. Optimización de Portafolio en Horizontes de Tiempo de Mediano y Largo
Plazo 40
4. Metodología .................................................................................................. 43
4.1. Clasificación de Portafolios ..................................................................... 43
4.2. Cálculo de Frontera Eficiente .................................................................. 45
4.3. Datos ....................................................................................................... 46
5. Resultados ................................................................................................... 50
5.1. Análisis de portafolios ............................................................................. 50
5.1.1. Portafolio Conservador ..................................................................... 50
5.1.2. Portafolio Moderado ......................................................................... 52
5.1.3. Portafolio Mayor Riesgo ................................................................... 53
5.1.4. Efecto de la ampliación del horizonte de inversión a 10 años. ......... 54
6. Conclusiones ............................................................................................... 68
Bibliografía.......................................................................................................... 71
Contenido VIII
Lista de Figuras Pág.
Figura 1-1: Participación de afiliados por tipo de fondo en Chile ........................... 5
Figura 4-1: Volatilidades anualizadas por activo .................................................. 48
Figura 5-1: Comparación de participaciones Portafolio Conservador. ................. 52
Figura 5-2: Comparación de participaciones Portafolio Moderado ....................... 53
Figura 5-3: Comparación de participaciones Portafolio Mayor Riesgo ................. 54
Figura 5-4: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente
de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Conservador. ...... 55
Figura 5-5: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente
de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Moderado. ........... 56
Figura 5-6: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente
de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Mayor Riesgo. ..... 56
Figura 5-7: R/S COLCAP ..................................................................................... 58
Figura 5-8: R/S TES ............................................................................................. 59
Figura 5-9: R/S CEMBI ......................................................................................... 59
Figura 5-10: R/S EMBI Colombia ......................................................................... 60
Figura 5-11: R/S EMBI Europa ............................................................................. 60
Figura 5-12: R/S EMBI Latinoamérica .................................................................. 61
Figura 5-13: R/S MOODYS AAA .......................................................................... 61
Figura 5-14: R/S MOODYS BAA .......................................................................... 62
Figura 5-15: R/S S&P 500 .................................................................................... 62
Contenido IX
Lista de Tablas
Pág.
Tabla 1-1: Tipos de fondos esquema multifondos en Chile .................................... 6
Tabla 1-2: Tipos de fondos esquema multifondos en Perú .................................... 7
Tabla 1-3: Tipos de fondos esquema multifondos en México ................................ 7
Tabla 1-4: Selección de fondos por grupo de edad en Chile .................................. 8
Tabla 1-5: Asignaciones de fondos por defecto en México .................................... 8
Tabla 1-6: Regla de convergencia de selección de fondos en Colombia ............. 13
Tabla 1-7: Límites de inversión por fondo ............................................................ 13
Tabla 1-8: Participación por tipo de instrumento de inversión en fondo
conservador.......................................................................................................... 15
Tabla 1-9: Participación por tipo de instrumento de inversión en fondo moderado.
Total del sistema de FPO. .................................................................................... 16
Tabla 1-10: Participación por tipo de instrumento de Inversión en fondo de mayor
riesgo. Total del sistema de FPO ......................................................................... 18
Tabla 4-1: Descripción de instrumentos de inversión ........................................... 43
Tabla 4-2: Descripción de instrumentos de inversión ........................................... 43
Tabla 4-3: Universo de instrumentos de inversión ............................................... 44
Tabla 4-4: Límites de inversión por fondo ............................................................ 45
Tabla 4-5: Estadística descriptiva y análisis de series de retornos ...................... 47
Tabla 5-1: Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Conservador.
............................................................................................................................. 51
Tabla 5-2: Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Moderado . 52
Tabla 5-3: Análisis de Rango Rescalado Activos ................................................. 63
X Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Tabla 5-3: Análisis de Rango Rescalado Activos ................................................. 64
Tabla 5-3: Análisis de Rango Rescalado Activos ................................................. 64
Tabla 5-4. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Conservador
............................................................................................................................. 65
Tabla 5-5. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Moderado . 65
Tabla 5-6. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Mayor
Riesgo. ................................................................................................................. 66
Tabla 5-7 Comparación Retorno Riesgo de Portafolio ......................................... 67
Contenido XI
Lista de Símbolos y abreviaturas
Símbolos con letras latinas
Símbolo Término Unidad Definición
R/S Rango Rescalado 1 (R/S) = c + nH
Símbolos con letras griegas
Símbolo Término Unidad Definición
Coeficiente de autocorrelación
Movimiento Browniano
Variable Normal Estándar
Volatilidad o desviación estándar
Subíndices Subíndice Término
d Periodicidad de la serie de tiempo evaluada i Activo i n Número de periodos originales o tamaño de la muestra t Tiempo
Superíndices
XII Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Superíndice Término
H Exponente de Hurst
Abreviaturas Abreviatura Término
AFP Administradoras de Fondos de Pensiones
APT Arbitrage Pricing Theory
B&S Black & Scholes
CAPM Capital Asset Pricing Model
CEMBI Corporate Emerging Markets Bond Index
COLCAP Índice de precios de las 20 acciones más líquidas de la Bolsa de Valores de Colombia
EMBI Europa Emerging Market Bond Index Europa
EMBI Latam Emerging Market Bond Index Latinoamérica
FOGACOOP Fondo de Garantías de Entidades Coooperativas
FOGAFIN Fondo de Garantías de Instituciones Financieras
FPO Fondos de Pensiones Obligatorias
IDXTES Índice Representativo del Mercado de Deuda Pública Interna
IGBC Índice General de la Bolsa de Valores de Colombia
MOODYS AAA Moody's Seasoned Aaa Corporate Bond Yield
MOODYS BAA Moody's Seasoned Baa Corporate Bond Yield
S&P 500 Índice de las 500 acciones más importantes del mercado estadounidense
SIEFORE Sociedades de Inversión Especializada en Fondos de Retiro
TES Título del Estado Colombiano
TRM Tasa Representativa del Mercado
Introducción 1
Introducción Los Fondos de Pensiones Obligatorias en Colombia son gestionados por las
Administradoras de Fondos de Pensiones – AFP, las cuales son Sociedades
Anónimas o Instituciones Solidarias del sector privado, vigiladas por la
Superintendencia Financiera de Colombia. La supervisión y control ejercidos por
la Superintendencia tienen como finalidad la protección de los ahorros
previsionales de los colombianos y por esta razón las AFP están en la obligación
de cumplir la regulación relacionada con los fondos administrados y reportar
periódicamente dicho cumplimiento.
La ley 1328 de 2009 reformó el Sistema Financiero en Colombia, en particular, el
Sistema General de Pensiones. En el caso particular de los Fondos de Pensiones
Obligatorias (FPO), esta reforma consistió en el cambio de esquema de inversión
de un solo fondo de pensiones a un esquema multifondos. Ello obedeció a la
necesidad de alinear los intereses de las Administradoras y los afiliados, a través
de una mayor variedad de instrumentos que permitan obtener un mayor nivel de
retornos a un nivel de riesgos determinado.
El esquema multifondos consiste en la segmentación de los fondos de acuerdo
con tres tipos de perfiles de riesgo: conservador, moderado y alto riesgo. Cada
perfil tiene asignados diferentes límites de inversión por instrumento, enfocados
en la diversificación de portafolio hacia activos en el exterior y disminuyendo la
2 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
exposición a activos de renta fija local. Esto contrasta con la normativa anterior
conforme a la cual los aportes de los afiliados de cada AFP eran gestionados en
un sólo fondo, cuyas inversiones se concentraban en su mayor parte en activos
locales de renta fija.
Estas reformas fueron impulsadas por análisis de eficiencia de portafolios de FPO
bajo el antiguo esquema, siguiendo los principios de la Teoría Moderna de
Portafolio (Banco de la República, Universidad Externado de Colombia, 2009).
Uno de esos principios es que las series de precios de activos financieros siguen
una caminata aleatoria a través del tiempo, es decir, cumplen con las
características de un Movimiento Browniano. Este principio sirve de base para
modelos de valoración de activos, medición de riesgos y toma de decisiones en
los mercados financieros.
Sin embargo, las series de retornos de activos financieros exhiben diferentes
comportamientos a través del tiempo, buena parte de ellas muestran patrones o
tendencias reflejadas en la dependencia serial a corto y largo plazo. Estos
patrones son asumidos como anomalías, entendidas como un patrón regular en
los retornos de un activo que es confiable, ampliamente conocido e inexplicable.
Una anomalía proporciona evidencia de que una hipótesis o modelo determinado
no se sostiene en la práctica (Lo, 2007).
La presente investigación muestra que la aplicación del Movimiento Browniano
sobreestima los niveles de retorno/riesgo al compararlo con el Movimiento
Browniano Fractal al llevarlo al esquema multifondos. Para esto se construyeron
tres portafolios tipo, constituidos por series de retornos diarias de activos que
representan las inversiones permitidas dentro de los límites del esquema y se
aplicó el escalamiento del horizonte temporal a partir del Movimiento Browniano y
el Movimiento Browniano Fractal.
Se encontró que El Movimiento Browniano sobreestima la relación retorno/riesgo
en comparación con el Movimiento Browniano Fractal. Asimismo, el Movimiento
Introducción 3
Browniano no tiene en cuenta el aumento del horizonte temporal, ya que las
combinaciones de activos en el portafolio permanecen inalteradas.
Esta investigación muestra que de acuerdo con los resultados obtenidos por el
Movimiento Browniano Fractal llevados al esquema multifondos, se aconsejan
combinaciones de activos más conservadoras consistentes en una mayor
participación de activos locales de renta fija.
Esto significa que a pesar de que la Ley 1328 de 2009 y la adopción del esquema
multifondos en los Fondos de Pensiones Obligatorias se basaron en criterios
técnicos y estudios de eficiencia (Banco de la República, Universidad Externado
de Colombia, 2009) con el fin de lograr la asignación más adecuada de activos en
los portafolios de inversión; la aplicación del Movimiento Browniano en dichos
estudios implicó la subestimación de riesgos.
Esta investigación contribuye a la literatura de portafolios de inversión en varias
direcciones. Por un lado, propone una forma alternativa para la medición de
riesgo para el esquema multifondos a través del análisis fractal. En segundo
lugar, aporta evidencia sobre posibles problemas de subestimación del riesgo de
los portafolios de inversión para los esquemas multifondos de los Fondos de
Pensiones Obligatorias.
Este documento está dividido en 5 capítulos: el primero describe el contexto en el
cual se estableció el esquema multifondos y la estructura de inversión por
portafolio para el Sistema de Fondos de Pensiones Obligatorias desde la puesta
en marcha de dicho esquema. El segundo capítulo consiste en la definición del
problema de investigación y los objetivos de la misma. En el tercer capítulo se
define el marco teórico de bajo el cual se aplicará la metodología y el desarrollo
del modelo, descritos en el capítulo 4. Finalmente en el capítulo 5 se establecen
las conclusiones.
1. Antecedentes
1.1. Esquema Multifondos en América Latina1
El desarrollo de reformas políticas a la inversión de Fondos de Pensiones en
América Latina durante la primera década del milenio surgió como medida de
protección de los mismos a raíz de la crisis asiática de los años 1997 y 1998.
Dichas reformas, traducidas en la aplicación de esquemas multifondos,
obedecieron en gran medida a la protección a los aportes de los afiliados a través
de la diversificación de inversiones, lo cual a su vez generaría una mayor
competencia entre Administradoras de Fondos de Pensiones, mayor libertad de
elección por parte de los clientes y distintos niveles de exposición al riesgo a
partir de la creación de perfiles de inversión acordes con cercanía al tiempo de
jubilación. Esto traería como efectos positivos una mayor oferta de inversión y un
mayor enfoque en los retornos de los Fondos (Conrads, 2007).
Asimismo, la diversificación de instrumentos de inversión vista como un objetivo
de la aplicación de esta medida, ofrece alternativas de inversión y retornos para
los Fondos de Pensiones, además de los la propuesta por los mercados locales,
que en el caso particular de América Latina presentan un tamaño reducido. Esto
se logra a partir de la creación de tipos de fondos de acuerdo con los rangos de
edad de los afiliados y combinaciones de activos de renta fija y variable, local y
extranjera.
Los países precursores de esquemas multifondos en la región fueron Chile (2000,
2002), Perú (2005) y México (2008); por esta razón, los primeros resultados de
esta medida influenciaron su aplicación en Colombia (2011). La descripción de
1 Información de Federación Internacional de Administradoras de Pensiones (FIAP), (2007).
Multifondos: Los Casos de Chile, México y Perú.
1. Antecedentes 5
antecedentes en América Latina tiene como objetivo ofrecer un acercamiento a
experiencias similares en la región y cómo estas sirvieron para la aplicación de
este esquema en Colombia, abordando características de dichos esquemas tales
como la clasificación de fondos por tipo y límites de inversión y la selección y
transferencia entre los mismos.
1.1.1. Clasificación de los Fondos y Límites de Inversión
Chile puso en marcha el esquema multifondos en el año 2000, como medida de
protección de los Fondos de Pensiones a raíz de la crisis asiática presentada
entre los años 1997 y 1998. En ese año, la introducción del esquema consistió en
la oferta de dos tipos de fondos: Un primer fondo (conocido como Balanceado),
destinado a la diversificación de inversiones hacia activos de renta fija y acciones,
y un segundo fondo llamado de Renta Fija. La participación del segundo Fondo
era muy pequeña, razón por la cual en la práctica sólo había un Fondo de
inversión para todo el Sistema (Asociación Gremial de Administradoras de
Fondos de Pensiones de Chile - AAFP de Chile, 2010).
Figura 1-1: Participación de afiliados por tipo de fondo en Chile
Fuente: AAFP de Chile, FIAP. Elaboración Propia
0,8%
30,0%
62,1%
5,9%
1,2%
14,0%
38,5% 37,2%
8,9%
1,4%
14,0%
37,5% 36,5%
10,0%
2,0%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
A B C D E
Dic. 2002
Oct. 2009
Feb. 2012
6 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Por esta razón, en el 2002 se suman otros cuatro fondos al fondo de mayor
participación (históricamente el fondo C), ordenados de mayor a menor
proporción de activos de renta variable en A, B, C, D y E (Ver Tabla 1-1). El
primer fondo está destinado a la inversión en pensiones voluntarias y los cuatro
restantes corresponden a la oferta disponible en pensiones obligatorias. Esto
contribuyó a que la concentración de afiliados en un solo tipo de Fondo
disminuyera desde la aplicación de la norma, como lo muestra la ¡Error! No se
ncuentra el origen de la referencia..
Tabla 1-1: Tipos de fondos esquema multifondos en Chile
Tipo de
Fondo
Renta
Variable
Títulos
estatales
Cuotas de
Fondos de
inversión y
mutuos
nacionales
Depósitos a
largo plazo
y bonos
emitidos por
instituciones
financieras
Instrumentos extranjeros
+ Inversión Indirecta en el
extranjero2
Límite
conjunto
Límite por
fondo
Min. Máx. Min. Máx. Máx Máx. Min. Máx. Min. Máx.
A 40% 80% 30% 40% 40% 40% 30% 80% 45% 100%
B 25% 60% 30% 40% 30% 40% 30% 80% 40% 90%
C 15% 40% 35% 50% 20% 50% 30% 80% 30% 75%
D 5% 20% 40% 70% 10% 70% 30% 80% 20% 45%
E 0% 5% 50% 80% 5% 80% 30% 80% 15% 45%
Fuente: Federación Internacional de Administradoras de Fondos de Pensiones - FIAP.
Por su parte, Perú implementó el esquema multifondos en diciembre de 2005, con
tres tipos de fondos: Conservador, Balanceado y de Crecimiento, cuyos límites de
inversión (Tabla 1-2). Este esquema es el que guarda mayores similitudes con el
caso colombiano en número de fondos ofrecidos.
2 A través de cuotas en fondos de inversión y mutuos.
1. Antecedentes 7
Tabla 1-2: Tipos de fondos esquema multifondos en Perú
Tipo de Fondo Derivados Corto Plazo Renta Variable Renta Fija
Conservador 10% 40% 10% 100%
Balanceado 10% 30% 45% 75%
De Crecimiento 10% 30% 80% 70%
Fuente: Federación Internacional de Administradoras de Fondos de Pensiones – FIAP.
En cuanto a México, este sistema se implementó en marzo de 2008, inicialmente
con dos tipos de fondos o SIEFORES3: SIEFORE Básica1 (SB1), dirigida a la
inversión en renta fija Nacional o extranjera y SIEFORE Básica2 (SB2),
consistente en una combinación de renta fija nacional o extranjera y un máximo
de renta variable del 15%. En marzo de 2008, se agregaron tres tipos de fondos
al esquema: las SIEFORES Básicas 3, 4 y 5 (Ver Tabla 1-3).
Tabla 1-3: Tipos de fondos esquema multifondos en México
Tipo de
Fondo
Renta
Variable
(Máximo)
Instrumentos
en Divisas
Valores
Extranjeros
Instrumentos
Bursatilizados
Instrumentos
Estructurados
SB1 5% 30% 20% 10% 0%
SB2 25% 30% 20% 15% 15%
SB3 30% 30% 20% 20% 20%
SB4 40% 30% 20% 30% 20%
SB5 40% 30% 20% 40% 20%
Fuente: Federación Internacional de Administradoras de Fondos de Pensiones – FIAP.
1.1.2. Selección y Transferencia entre Fondos
La selección que puede hacer cada afiliado de los Fondos de Pensiones en
América Latina está limitada por grupos de edad. En Chile, los hombres menores
de 55 años y las mujeres menores de 50 pueden elegir cualquiera de los 5 fondos
3 Sociedades de Inversión Especializada de Fondos para el Retiro.
8 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
existentes, los hombres mayores de 55 años y mujeres mayores de 50 que aún
no se han pensionado pueden escoger entre los fondos B, C, D o E y los
pensionados que siguen aportando al sistema pueden escoger entre los fondos
C, D, o E. En cuanto a la selección por defecto, efectuada cuando el afiliado no
elige ningún fondo, ésta se lleva a cabo como lo muestra la Tabla 1-4. Cabe
anotar que los traslados pueden hacerse dos veces al año sin ningún costo
asociado.
Tabla 1-4: Selección de fondos por grupo de edad en Chile
Grupo de edad (años) Selección Fondo Asignación por defecto
Hombres Mujeres
< 35 < 35 A, B, C, D, E B
36- 55 36 - 50 A, B, C, D, E C
> 55 > 50 B, C, D, E D
Pensionados C, D, E
Fuente: Federación Internacional de Administradoras de Fondos de Pensiones – FIAP.
En México, los afiliados pueden escoger entre cualquiera de los 5 fondos
disponibles y se pueden hacer traslados sin costo. Las asignaciones por defecto
están descritas en la Tabla 1-5.
Tabla 1-5: Asignaciones de fondos por defecto en México
Grupo de edad (años) Asignación por defecto
≤ 26 SB5
27 – 36 SB4
37 - 45 SB3
46 - 55 SB2
≥ 56 SB1
Fuente: Federación Internacional de Administradoras de Fondos de Pensiones – FIAP.
En Perú, Para los aportes obligatorios, los afiliados pueden escoger entre los tres
tipos de fondos y para aportes voluntarios, los afiliados menores de 60 años
1. Antecedentes 9
pueden escoger entre el fondo balanceado y de crecimiento y los mayores de 60
años tienen asignado el fondo conservador. En cuanto a las asignaciones por
defecto, los afiliados mayores de 60 años tienen asignado el fondo conservador y
los menores de 60 años tienen asignado el fondo balanceado.
1.2. Antecedentes del Esquema Multifondos en Colombia (Ley 1328 de 2009)
Antes de la puesta en marcha del esquema multifondos, las AFP invertían todos
los aportes a los Fondos de Pensiones Obligatorias en un solo portafolio que
cumpliera con las restricciones especificadas en la ley 100 de 1993. Gestionar
recursos pertenecientes a un grupo de afiliados con distintos perfiles de riesgo y
diferentes grupos etarios en un solo fondo con los mismos instrumentos de
inversión suponía un desafío para un Administrador de Fondo de Pensiones
(Bertín & Musalem, 2009), ya que las oportunidades de diversificación y
aprovechamiento de distintos horizontes de inversión eran limitados (Tinbergen
citado en (Bertín & Musalem, 2009)). Los afiliados recientemente integrados al
Sistema cuentan con nivel de aversión al riesgo bajo atribuido a una mayor
cantidad de años restantes para el acceso a una pensión y, por el contrario;
quienes están próximos a cumplir los requisitos de acceso a pensión exhiben un
mayor grado de aversión al riesgo. Sin embargo, todos enfrentan el mismo nivel
de riesgo y de retornos, puesto que sus aportes se encuentran invertidos en un
solo fondo.
Asimismo, los administradores de Fondos de Pensiones Obligatorias (FPO)
dependían en gran medida de la estabilidad del mercado financiero colombiano y
diariamente se enfrentaban los riesgos asociados a la inversión en activos de un
mercado que se encontraban altamente correlacionados.
A esto se suma que las Administradoras de Fondos de Pensiones tenían acceso
a una oferta limitada de instrumentos financieros locales, debido a que el
mercado de capitales colombiano es pequeño, con una alta participación de
10 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
activos de deuda pública, poca variedad en oferta de otros instrumentos, y
escasez de actores que transen con frecuencia. Además, la regulación mantenía
límites superiores bajos para la inversión en emisiones de títulos y valores en el
mercado externo: si bien estos niveles se incrementaron a un 40% un año antes
de la puesta en vigencia al esquema multifondos, en años anteriores se mantenía
en niveles máximos del 20% (Martinez & Murcia, 2007).
Ante esta situación, investigadores del Banco de la República abordaron el
estudio de la Administración de Fondos de Pensiones, luego de lo cual
encontraron: concentración en activos locales, alta y positivamente
correlacionados (Martínez y Murcia, 2008), relaciones riesgo retorno por debajo
de la línea de eficiencia del mercado (Jara, 2005), desempeños limitados por
criterios de rentabilidad mínima y un sistema de comisiones que no depende de
las rentabilidades del portafolio.
Dichos autores sugieren que el marco regulatorio establecido por la regulación
anterior generó la no alineación de los intereses de las Administradoras de
Fondos de Pensiones y sus afiliados en cuanto a la maximización del retorno de
portafolios, específicamente en tres factores: 1. Los límites individuales por
instrumento, emisor y emisiones, 2. Los criterios para el cobro de comisiones por
parte de las AFP (hecho sobre el 3% del salario base de cotización de cada mes);
3. La divulgación de indicadores de desempeño centrada en los retornos y no en
el riesgo y la ausencia de límites superiores a indicadores de riesgos, de forma
similar a como se exige con la rentabilidad mínima.
De manera que, diversos autores, entre ellos Jara (2005), recomendaron el
aumento del límite superior de inversiones en activos externos con el propósito de
lograr una mayor diversificación. La inversión en instrumentos en mercados
externos permitiría contar con una menor exposición al riesgo del mercado local y
generaría un mayor retorno para los fondos de pensiones obligatorias.
1. Antecedentes 11
A esto se suma que las medidas de prevención de riesgos de la regulación
vigente se limitaban a restringir la inversión hacia la adquisición de activos que
individualmente no fueran altamente riesgosos y a que la divulgación de
indicadores de desempeño incluyera solamente los retornos de los portafolios y
omitía las medidas de riesgo portafolio. Ante esta situación, Martinez y Murcia
(2007) recomendaron medidas adicionales de supervisión del riesgo tales como
establecer un indicador de riesgo de portafolio (VaR, Índice de Sharpe) y topes
máximos para el mismo, así como su inclusión en la información que los Fondos
están obligados a divulgar (Bertín & Musalem, 2009).
Asimismo, las AFP no tienen incentivos para alcanzar un nivel máximo de retorno
de portafolio, dado un nivel de riesgo, ya que la totalidad de los rendimientos de
dichos portafolios son abonados a las cuentas de ahorro pensional individual de
los afiliados, sin traducirse en aumento de la comisión de las Administradoras.
Por el contrario, un alto porcentaje de las ganancias de estas administradoras
(83%) provenían de las comisiones cobradas a los afiliados por administración, de
acuerdo con el monto de aportes individuales (Reveiz & Leon, 2008) (Jara, 2006).
Al respecto, investigaciones del Banco de la República (Reveiz & Leon, 2008)
(Jara, 2006) coinciden en proponer mecanismos que incentiven una alineación de
objetivos de las AFP y los afiliados: un esquema de comisiones que considere la
función del desempeño de cada fondo e incentive la minimización de los costos
de transacción por rotación de posiciones y una mayor creación de valor.
Al respecto, Reveiz y León (2008) proponen mecanismos que incentiven una
alineación entre objetivo de las AFP y los afiliados: un esquema de comisiones
que considere la función del desempeño de cada fondo, e incentive la
minimización de los costos de transacción por rotación de posiciones y una mayor
creación de valor.
12 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Ante esta situación, diversos autores proponen la aplicación de un esquema
multifondos, con diferentes niveles de Rentabilidad Mínima (tantos como el
número de fondos disponibles), acorde con la etapa dentro del ciclo de vida que
enfrenta cada afiliado, lo que permitirá una buena segmentación de los afiliados
por perfiles de riesgo y mayor diversificación de las inversiones con diferentes
combinaciones riesgo-retorno. Cabe anotar, que los resultados esperados con
este esquema, se verán influenciados por el nivel de educación de los afiliados en
temas como gestión de ahorros previsionales, derechos de los afiliados e
inversiones a largo plazo.
Estos hallazgos dieron lugar a reformas. A partir de la puesta en marcha de la ley
1328 de 2009 (Ley de Reforma Financiera), que modificó la ley 100 de 1993, los
afiliados a los fondos de pensiones obligatorias pueden escoger, basados en la
información disponible, entre cuatro tipos de portafolio, con diferentes perfiles de
riesgos: conservador, moderado, mayor riesgo y especial para retiro programado.
No obstante, dichas recomendaciones se basan en supuestos surgidos de la
teoría moderna de portafolio, la cual no diferencia entre inversionistas de largo
plazo y especuladores de corto plazo. Esta afirmación se basa en la Hipótesis de
Mercados Eficientes según la cual los precios reflejan toda la información que
podrían anticipar futuros eventos, lo que implica que ningún agente puede sacar
ventaja del mercado. Para ello se requiere que las series de retornos estén
idéntica e independientemente distribuidos en una normal y por esta razón se
comportan igual tanto en el corto como en el largo plazo.
1.2.1. Selección de Fondos y Transferencias de Fondos en Colombia
En el caso de Colombia, los afiliados pueden seleccionar sólo un tipo de Fondo,
salvo que cumpla con las reglas de convergencia, que consiste en que a medida
que hombres y mujeres se acerquen a la edad de pensión deben tener un
porcentaje mínimo de participación de sus aportes en el fondo conservador, tal
1. Antecedentes 13
como se describe en la Tabla 1-6; caso en el cual podrá estar en dos tipos de
fondos, siendo uno de ellos obligatoriamente el fondo conservador. Asimismo, los
traslados están permitidos cada seis meses, sin costo.
Tabla 1-6: Regla de convergencia de selección de fondos en Colombia
Grupo de edad (años) Saldo Mínimo en
Fondo Conservador Hombres Mujeres
55 50 20%
56 51 40%
57 52 60%
58 53 80%
≥ 54 ≥ 59 100%
Fuente: Federación Internacional de Administradoras de Fondos de Pensiones – FIAP.
1.3. Inversiones de los Fondos de Pensiones Obligatorias
En Colombia, el esquema multifondos fue implementado inicialmente en
septiembre de 2010, con la introducción de un solo fondo, llamado moderado, que
era el continuador del Fondo ya existente. Posteriormente, el 28 de febrero de
2011, se adicionaron al esquema los fondos conservador y de mayor riesgo,
cuyos límites de inversión se describen en la Tabla 1-7. A continuación, se
presentan las principales características de estos tipos de fondos y las
inversiones en las cuales se ha enfocado el Sistema a partir de la implementación
del esquema.
Tabla 1-7: Límites de inversión por fondo
Tipo de Activo
Cálculo
Límite
Esquema Anterior
Fondo Conservador
Fondo Moderado
Fondo Alto Riesgo
Títulos de deuda pública
TES 60% 50% 50% 50%
14 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Deuda corporativa local
CEMBI 60% 60% 60% 60%
Títulos agentes externos
EMBI Europa + EMBI Latam + MOODYS AAA
+ MOODYS BAA +S&P 500
40% 40% 60% 70%
Renta variable Local
COLCAP 40% 15% 35% 45%
Fuente: Jara, Gomez, & Pardo, Análisis de Eficiencia de los portafolios pensionales obligatorios en Colombia, 2005. Elaboración Propia.
1.3.1. Portafolio Conservador
En cuanto al portafolio conservador, las inversiones se concentran en deuda de
emisores nacionales, en su mayoría en títulos emitidos por la Nación (cerca del
50%) seguidos de títulos de deuda de entidades vigiladas por la Superintendencia
Financiera, FOGAFIN o FOGACOOP, teniendo estos una tendencia creciente
desde la puesta en práctica del Sistema Multifondos.
En cuanto a las inversiones de emisores del exterior, estas constituyen entre el
7% y el 13% de las inversiones totales de portafolio, registrando un incremento
sostenido a lo largo del tiempo. La mayor participación dentro de este grupo la
tienen las participaciones en Fondos Representativos de commodities, acciones y
fondos mutuos (Mutual Funds).
Otras inversiones, alcanzan entre el 2% y el 4% de las inversiones de todo el
sistema en el Fondo Conservador, constituidas por depósitos a la vista y
derivados, estos últimos con un 0% dentro del total del portafolio en todos los
años de estudio (Tabla 1-8).
1. Antecedentes 15
Tabla 1-8: Participación por tipo de instrumento de inversión en fondo conservador
Tipo de Inversión 2015-1
2014-1
2013-1
2012-1
2011-3
Deuda interna y externa, emitidos o garantizados por la Nación 47% 51% 53% 56% 48%
Títulos de deuda cuyo emisor, garante o aceptante sea una entidad vigilada por la Superintendencia Financiera de Colombia, incluidos FOGAFIN y FOGACOOP
26% 23% 18% 16% 8%
Participaciones en carteras colectivas 0% 1% 1% 0% 1%
Acciones de alta y media bursatilidad, certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs) y acciones provenientes de procesos de privatización o con ocasión de la capitalización de entidades donde el Estado tenga participación
6% 7% 11% 10% 7%
Acciones de baja y mínima bursatilidad, ADRs y GDRs. 0% 0% 0% 0% 0%
Otros Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales 5% 5% 6% 6% 25%
Total Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales 84% 87% 89% 89% 88%
Títulos de deuda emitidos o garantizados por gobiernos extranjeros o bancos centrales extranjeros. 0% 0% 0% 0% 0%
Participaciones en fondos representativos de índices de commodities, de acciones, incluidos los ETFs, participaciones en fondos representativos de precios de commodities y fondos mutuos o de inversión internacionales (mutual funds)
12% 9% 6% 5% 4%
Acciones emitidas por entidades del exterior o certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs).
0% 1% 1% 1% 0%
Otros Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior 0% 0% 1% 0%
Total Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior 13% 10% 8% 7% 10%
Depósitos a la vista 3% 3% 4% 4% 2%
Instrumentos financieros derivados 0% 0% 0% 0% 0%
Total Otras inversiones y operaciones 3% 3% 4% 4% 2%
TOTAL GENERAL 100% 100% 100% 100% 100%
Fuente: Superintendencia Financiera. Elaboración Propia
16 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
1.3.2. Portafolio Moderado
De acuerdo con información de la Superintendencia Financiera, las inversiones
del total del Sistema en el fondo moderado se centran principalmente en
inversiones de emisores nacionales (entre 70% y 80%), dividida en títulos de
deuda emitida o garantizada por la Nación (cerca del 40%) y acciones de alta y
media bursatilidad (20% y 30%). Se puede observar que las inversiones en renta
variable ganan participación frente a los títulos de deuda en comparación con las
inversiones registradas en el portafolio Conservador (Tabla 1-9).
Tabla 1-9: Participación por tipo de instrumento de inversión en fondo moderado. Total del sistema de FPO.
Tipo de Inversión 2015-1 2014-1 2013-1 2012-1 Deuda interna y externa, emitidos o garantizados por la Nación
37% 38% 38% 39%
Títulos de deuda cuyo emisor, garante o aceptante sea una entidad vigilada por la Superintendencia Financiera de Colombia, incluidos FOGAFIN y FOGACOOP
6% 6% 6% 4%
Participaciones en carteras colectivas 0% 0% 1% 0%
Acciones de alta y media bursatilidad, certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs) y acciones provenientes de procesos de privatización o con ocasión de la capitalización de entidades donde el Estado tenga participación
21% 25% 31% 30%
Acciones de baja y mínima bursatilidad, ADRs y GDRs. 1% 1% 1% 1%
Otros Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales
5% 6% 0% 8%
Total Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales
69% 76% 83% 82%
Títulos de deuda emitidos o garantizados por gobiernos extranjeros o bancos centrales extranjeros.
0% 0% 0% 0%
Participaciones en fondos representativos de índices de commodities, de acciones, incluidos los ETFs, participaciones en fondos representativos de precios de commodities y fondos mutuos o de inversión internacionales (mutual funds)
21% 14% 9% 9%
Acciones emitidas por entidades del exterior o certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs).
0% 1% 2% 2%
Otros Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior
4% 3% 2% 2%
Total Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior
26% 19% 14% 14%
Depósitos a la vista 3% 4% 2% 2%
Instrumentos financieros derivados 0% 0% 0% 0%
Total Otras inversiones y operaciones 5% 5% 3% 4%
TOTAL GENERAL 100% 100% 100% 100%
1. Antecedentes 17
Fuente: Superintendencia Financiera. Elaboración Propia.
En cuanto a inversiones de emisores del exterior, éstas ocupan entre el 15% y
25% del portafolio de inversiones moderado, registrando un incremento sostenido
a lo largo del periodo de aplicación del sistema de multifondos. De forma similar al
Fondo Conservador, la mayor parte de las inversiones de este grupo se centra en
participaciones en Fondos Representativos de commodities, acciones y fondos
mutuos (Mutual Funds). En cuanto a otras inversiones, estas ocupan entre el 3%
y el 5% del total del portafolio, conformadas principalmente por depósitos a la
vista, seguidos de derivados, los cuales tienen un 0% de participación dentro del
total del portafolio.
1.3.3. Portafolio de Mayor Riesgo
El portafolio de mayor riesgo, por su parte, muestra mayor proporción de
inversiones de emisores nacionales (entre el 54% y el 70%), compuesta en su
mayor parte por acciones de alta y media bursatilidad (25% y 35%), seguidas de
inversiones en títulos de deuda interna y externa emitidos o garantizados por la
Nación (23% y 27%).
En cuanto a inversiones de emisores del exterior, estas cuentan con una mayor
participación en este portafolio, en comparación con los fondos conservador y
moderado ocupando entre el 27% y 41% de participación y con una tendencia al
alza. Dentro de estas inversiones se destacan las participaciones en Fondos
Representativos de commodities, acciones y fondos mutuos (Mutual Funds),
llegando a participar hasta en un 35% del portafolio a comienzos del año 2015
(Tabla 1-10).
18 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Tabla 1-10: Participación por tipo de instrumento de Inversión en fondo de mayor riesgo. Total del sistema de FPO
Tipo de Inversión 2015-1 2014-1 2013-1 2012-1
Deuda interna y externa, emitidos o garantizados por la Nación 23% 25% 28% 27%
Títulos de deuda cuyo emisor, garante o aceptante sea una entidad vigilada por la Superintendencia Financiera de Colombia, incluidos FOGAFIN y FOGACOOP
3% 3% 2% 1%
Participaciones en carteras colectivas 0% 0% 0% 0%
Acciones de alta y media bursatilidad, certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs) y acciones provenientes de procesos de privatización o con ocasión de la capitalización de entidades donde el Estado tenga participación
25% 30% 35% 32%
Acciones de baja y mínima bursatilidad, ADRs y GDRs. 0% 0% 0% 0%
Otros Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales 4% 3% 3% 4%
Total Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales 54% 61% 69% 64%
Títulos de deuda emitidos o garantizados por gobiernos extranjeros o bancos centrales extranjeros.
0% 0% 0% 0%
Participaciones en fondos representativos de índices de commodities, de acciones, incluidos los ETFs, participaciones en fondos representativos de precios de commodities y fondos mutuos o de inversión internacionales (mutual funds)
35% 27% 21% 19%
Acciones emitidas por entidades del exterior o certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs).
2% 1% 4% 5%
Otros Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior 4% 3% 3% 2%
Total Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior 41% 31% 28% 27%
Depósitos a la vista 3% 6% 3% 9%
Instrumentos financieros derivados 0% 0% 0% 1%
Total Otras inversiones y operaciones 5% 8% 4% 9%
TOTAL GENERAL 100% 100% 100% 100%
Fuente: Superintendencia Financiera. Elaboración Propia.
2. Objetivo y Definición del Problema de
Investigación
A pesar de que la Ley 1328 de 2009 y la adopción del esquema multifondos en
los Fondos de Pensiones Obligatorias se basaron en criterios técnicos y estudios
de eficiencia con el fin de lograr la asignación más adecuada de activos en los
portafolios de inversión de dichos Fondos; la aplicación de supuestos de
aleatoriedad en las series de retornos de los activos y de El Movimiento
Browniano en dichos estudios generó la sobreestimación de la relación
retorno/riesgo de estos portafolios.
El objetivo de esta tesis consiste en mostrar que para un portafolio tipo, la
aplicación del Movimiento Browniano sobreestima los niveles de retorno/riesgo al
compararlo con el Movimiento Browniano Fractal al llevarlo al esquema
multifondos.
La Hipótesis de esta investigación consiste en mostrar que la aplicación de
supuestos de aleatoriedad sobre las series de retornos de los activos y del
Movimiento Browniano no permite incluir el efecto de caídas consecutivas en los
mercados que se ven reforzadas y eventos extremos que generan un efecto
acumulado que al final afecta la gestión de portafolios. Para la evaluación de
dicha hipótesis se aplicará el análisis de Rango Rescalado como herramienta
estadística que permitirá identificar los procesos de memoria larga en las series
de retornos de activos admisibles para los FPO e incluir dicha dependencia en el
modelo de optimización de portafolio de Markowitz.
2.1. Definición del problema de investigación
La puesta en marcha de esta norma supuso un avance en la ampliación de las
oportunidades de inversión dispuestas para las AFP; ello se logró gracias a la
20 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
realización de estudios basados en criterios técnicos de eficiencia de portafolio
(Banco de la República, Universidad Externado de Colombia, 2009) y medición de
riesgos desarrollados a partir de los fundamentos de la Teoría de Mercados de
Capitales.
No obstante, dichos estudios se basaron en la aplicación de modelos de
optimización de portafolios basados en el criterio media- varianza, los cuales
suponen series de retornos independiente e idénticamente distribuidas en una
normal.
Esto se deriva de la aplicación de uno de los supuestos más importantes de la
Teoría de Mercados de Capitales, el Movimiento Browniano, utilizado para
describir el comportamiento de los retornos de activos a través del tiempo,
supone que las series de retornos de activos se comportan siguiendo las
siguientes características:
- Su media y varianza se mantienen constantes en el tiempo
(Estacionariedad).
- Independencia lineal de los retornos, lo cual quiere decir que los precios en
la actualidad no se relacionan con observaciones pasadas.
- Los retornos siguen una distribución normal.
Sin embargo, este supuesto no tiene en cuenta las anomalías del mercado,
entendida como un patrón regular en los retornos de un activo que es confiable,
ampliamente conocido e inexplicable. Una anomalía proporciona evidencia de
que una hipótesis o modelo determinado no se sostiene en la práctica (Lo, 2007).
Entre las debilidades de la aplicación de los modelos de eficiencia de media
varianza para la puesta en marcha del esquema multifondos se encuentran: 1.
Supone que las series de retornos de los activos financieros están independiente
e idénticamente distribuidas, el cual sólo es un caso particular del
2. Objetivo y Definición del Problema de Investigación 21
comportamiento de dichas series. 2. Las medidas de volatilidad por sí sola
pueden ofrecer información sobre eventos extremos sólo en caso de normalidad
de los retornos.
Con respecto a la primera debilidad, no todas las series de retornos de activos
siguen una caminata aleatoria. En periodos en los cuales los precios de activos
financieros registran caídas que se ven reforzadas, lo cual conlleva a periodos de
crisis, la dependencia en las series financieras debe ser evaluada como un factor
de riesgo. Esto se refleja en la valoración de riesgos de las inversiones,
especialmente en épocas de inestabilidad de los mercados financieros, lo cual
cobra especial importancia en la Administración de Pensiones y la protección de
los aportes de los afiliados a este Sistema. Al respecto, León & Laserna (2008)
encontraron que autores como Greenspan (2008), Bhansali (2005) y
Zimmermann et al. (2003) coinciden en afirmar que dichos periodos de crisis
resultan breves en comparación con los periodos de auge, pero por ser más
abruptas tienen un efecto mucho mayor. Al incluir información histórica tanto de
los periodos de auge como los de caída en modelos de estimación de riesgos, los
resultados conllevan a la sobrevaloración de la diversificación, la subvaloración el
riesgo y la no consideración de eventos extremos (Leon & Laserna, 2008).
Esto nos lleva a la segunda debilidad, al usar modelos basados en la normalidad
de los retornos, la probabilidad de encontrar una desviación con respecto a la
media baja de forma exponencial, y por lo tanto no es posible medir los eventos
extremos, los cuales generan un efecto acumulado en actividades como la
gestión de portafolios (Taleb (2007) citado por León y Laserna (2008) ).
De acuerdo con esto, el supuesto de aleatoriedad en series de retornos
financieras desconoce los patrones o tendencias que pueden presentar las
mismas. Al respecto, Peters (1994) establece que el comportamiento de las
series de retornos puede ser descrito a partir del Movimiento Browniano Fractal,
el cual puede ser visto como la generalización del Movimiento Browniano, el cual
22 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
ha sido aplicado como el proceso de difusión de los retornos por defecto durante
muchos años.
El Movimiento Browniano Fractal (Mandelbrot, 2006) o caminatas aleatorias
sesgadas (Peters E. E., 1989) pueden describirse como series de retornos con
un nivel de persistencia o memoria de largo plazo, que consiste en la correlación
entre observaciones del pasado con otras del futuro, aunque se encuentren
separadas por años (Lo, 2007).
El grado de persistencia es medido a partir de la metodología del Rango
Rescalado y el cálculo del exponente de Hurst (H), el cual toma valores entre 0 y
1. Cuando H = 0.5; la serie de retornos evaluada sigue una caminata aleatoria o
Movimiento Browniano. Cuando H tiene un valor entre 0 y 0.5 la serie de retornos
es antipersistente, o sigue un proceso de reversión a la media y si está toma
valores mayores a 0.5 y menores o iguales a 1, la serie es persistente, esto
quiere decir que una tendencia de retornos positivos se puede ver reforzada por
la sucesión de retornos positivos y en caso contrario, una tendencia hacia
retornos negativos se puede ver reforzada por la sucesión de retornos negativos.
Por tal razón, esta tesis emplea la metodología Análisis de Rango Rescalado y el
cálculo del exponente de Hurst, los cuales buscan superar las debilidades
anteriores ya que esta es utilizada con el fin de medir la memoria de largo plazo
en series de tiempo y de esta forma medir el impacto de los mismos en la
medición del riesgo de portafolio. Ello se logra debido a que:
- Se incorpora la influencia del pasado en el comportamiento de los retornos
de los mercados de capitales. De acuerdo con Peters (1989), esto
convierte al análisis de Rango Rescalado en una medida del sentimiento
del mercado (generado por eventos pasados) sobre retornos futuros. El
sentimiento del mercado es entendido como la interpretación de eventos
que influyen en el mercado de capitales.
2. Objetivo y Definición del Problema de Investigación 23
- Al tener en cuenta la persistencia de correlaciones que se acumulan a lo
largo del tiempo, el análisis de Rango Rescalado incluye como nueva
variable al tiempo (Holton, 1992).
3. Movimiento Browniano Y Propiedades
Empíricas De Series De Retornos
Financieras
El Movimiento Browniano debe su nombre a Robert Brown quien en 1828
describió el movimiento de las partículas de polen como un movimiento errático,
ya que el movimiento anterior no afectaba la dirección futura.
Más adelante, en 1900, Louis Bachelier describe las fluctuaciones de los precios
de acciones y bonos en Paris y concluye que graficar el precio pasado de una
acción para predecir el futuro no resulta muy útil, ya que los cambios de precios
son independientes, ante lo cual afirma que hay información predecible y otra que
no, y cuando esta es predecible ya se ve reflejada en los precios y los mercados
funcionan de forma eficiente.
En 1950, Samuelson retomó la tesis de Bachelier para analizar la valoración de
opciones. Samuelson reemplazó el llamado movimiento browniano aritmético, en
el cual el proceso aleatorio describe la dinámica de los precios, por el movimiento
browniano geométrico, el cual describe la dinámica de los retornos logarítmicos
de los precios de los activos; que de ahora en adelante llamaremos Movimiento
Browniano (MB).
Más adelante, el matemático Norbert Wiener formuló el Movimiento Browniano a
través de la descripción del proceso que siguen los precios de los activos a través
del tiempo, el cual es llamado proceso de Wiener. Un proceso de Wiener ,
conocido también como Movimiento Browniano Estándar, puede ser entendido
como pequeños cambios ( asociados a pequeños incrementos
en el tiempo. Un proceso estocástico continuo es un proceso Wiener si
satisface dos condiciones:
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
25
1. , donde es una variable aleatoria normal estándar, y
2. es independiente de para todo .
La primera condición implica que sigue una distribución normal con media 0 y
varianza . De la segunda condición se desprende una condición de Markov
según la cual, para intervalos de tiempo no traslapados, los incrementos de
tiempo son independientes. De ahí se puede deducir que el cambio de la variable
en un periodo de tiempo determinado y uno inicial , es la suma de
pequeños intervalos entre ellos :
; (1)
Variable aleatoria e IID N (0,1)
La esperanza y la varianza de están dadas por:
(2)
(3)
Como resultado, este es un proceso de media 0 y varianza proporcional a la
longitud del intervalo de tiempo, que puede ser generalizado con el fin de
describir otro tipo de procesos. Al respecto, el proceso generalizado de Wiener
describe cambios a través del tiempo de una variable , cuya esperanza cambia
a razón de y la varianza cambia a razón de a través del tiempo:
26 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
(4)
Donde o , es un proceso de Wiener o Movimiento Browniano:
(5)
(6)
(7)
Un caso particular del Movimiento Browniano, el Movimiento Browniano
Geométrico, es utilizado para describir el comportamiento de los precios y los
retornos de activos financieros a través del tiempo, en modelos representativos
de la teoría financiera como el de valoración de opciones de Black y Scholes, y el
CAPM, entre otros. Para ello, el Movimiento Browniano debe satisfacer:
1. Continuidad en al menos el horizonte de tiempo t.
2. Incrementos independientes.
3. Incrementos Estacionarios
El Movimiento Browniano es uno de los supuestos base de la Teoría Financiera;
ya que otorga ciertas características a las series de cambios de precios de activos
financieros. Una serie de retornos de un activo financiero es descrita como un
Movimiento Browniano si:
- Su media y varianza se mantienen constantes en el tiempo
(Estacionariedad).
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
27
- Independencia lineal de los retornos, lo cual quiere decir que los precios en
la actualidad no se relacionan con observaciones pasadas.
- Los retornos siguen una distribución normal.
Sin embargo, existe evidencia de que las series de retornos de activos financieros
pueden exhibir características diferentes a las del Movimiento Browniano,
específicamente en lo relacionado con la independencia lineal de los retornos. Al
respecto, diversos autores entre ellos León y Vivas (2010) y León y Reveiz (2010)
muestran que la presencia de memoria larga en las series de retornos de
mercados financieros viola los supuestos de Movimiento Browniano. En cuanto a
los mercados internacionales de acciones, Lo (1987) y (1991) muestran que las
series de retornos de las mismas no siguen caminatas aleatorias y exhiben
memoria a largo plazo, lo cual traería implicaciones a modelos ampliamente
aplicados en el análisis de mercados financieros.
Asimismo, León (2009) encuentra características empíricas para activos del
mercado financiero tanto a nivel nacional como internacional, las cuales invalidan
las propiedades del Movimiento Browniano:
1. La volatilidad no es constante a través del tiempo.
2. Los cambios en los precios no son independientes, debido a que a grandes
cambios en los precios de los activos le siguen cambios del igual tamaño y
dirección, lo cual se conoce como agrupamiento de volatilidad o volatilty
clustering (Mandelbröt y Hudson, 2004).
3. También se evidencian saltos en los retornos de los activos financieros, así
como distribuciones de probabilidad empírica diferentes a la distribución
normal.
28 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Al respecto, cabe mencionar, los resultados encontrados por Cont (Cont, 2001,
pág. 224) y designado por el mismo como hechos estilizados relacionados con las
propiedades empíricas de las series de retornos, entre los cuales se cuentan:
1. Ausencia de autocorrelación.
2. Colas pesadas.
3. Gaussianidad Agregacional4: a medida que crece la escala de tiempo
en la cual se calculan los retornos, la distribución de la serie se acerca
a la distribución gaussiana.
4. Intermitencia: los retornos exhiben, a cualquier escala de tiempo, un
alto grado de variabilidad. Esto es cuantificado por la presencia de
estallidos irregulares en las series de tiempo de una gran variedad de
estimadores de volatilidad.
5. Efectos de apalancamiento: la mayoría de las medidas de volatilidad
de un activo están negativamente correlacionados con los retornos de
tal activo.
Sin embargo, tal como el mismo Cont (2001, pág. 233) lo reconoce, si bien estas
propiedades deberían ser tenidas en cuenta en los modelos con el fin de replicar
las características de los retornos de los activos del mercado financiero, lo cual
implicaría la obtención de resultados diferentes en dichos modelos, estas
propiedades empíricas conllevan a muchas restricciones al tratar de ser reflejadas
todas al mismo tiempo en un solo modelo.
No obstante, el debate acerca de la validez de los supuestos base de dichos
modelos ha crecido, lo que se deriva en la búsqueda de metodologías alternativas
4 Traducción literal.
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
29
para el análisis de los mercados financieros. Uno de los resultados de dicho
debate ha sido la aplicación del Movimiento Browniano Fractal (MBF) en los
modelos de análisis financiero y estimación de retornos y riesgos.
3.1. Movimiento Browniano Fractal
A lo largo del análisis de los mercados financieros, diferentes estudios han
encontrado que el comportamiento que exhiben las series de retornos financieras
es diferente al de caminata aleatoria o movimiento browniano, que constituye la
base la Teoría Financiera Moderna.
De acuerdo con Holton (1992) la hipótesis de caminata aleatoria como base de
modelos de inversión y análisis de riesgo en mercados de capitales tiene impacto
en la medición unidimensional del riesgo sin tener en cuenta el horizonte
temporal. En ausencia de aleatoriedad, en cambio, se demuestra que la
dependencia serial genera cambios en la medición de aleatoriedad como medida
de riesgo, lo cual introduce cambios en la estimación del mismo, al incluir la
variable del horizonte de tiempo.
Peters (1989) identifica patrones o tendencias en el comportamiento de los
retornos de los mercados de capitales, lo cual describe proceso aleatorio
sesgado, caracterizado por dependencia de las series en el largo plazo, llamada
también memoria o persistencia.
Dicho comportamiento guarda similitud con fenómenos estudiados en las ciencias
naturales y que han sido estudiados a través del Análisis de Rango Rescalado o
R/S. El análisis R/S fue inicialmente aplicado por H. E. Hurst en los años 50 para
estudiar las fluctuaciones de reservorios a través del tiempo. Para este fin era
necesario conocer el régimen de lluvias y las desviaciones en los niveles
promedio de las mismas, así como su rango de valores máximo y mínimo,
variable en las cuales el horizonte de tiempo es determinante.
30 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
El análisis R/S ha contribuido al avance de la geometría fractal, al proveer medios
de descripción de la organización de estructuras que descansan en formas
irregulares o series generadas por un sistema no lineal; identificando patrones
consistentes que operan a través de escalas de tamaño o de tiempo.
Aplicada a la serie de retornos de un activo, el análisis R/S consiste en tomar una
serie de retornos , cuya media se define como:
(8)
Y la desviación estándar como:
(9)
Luego, se normaliza la serie de retornos restando la media muestral:
, (10)
Seguida por la creación de una serie acumulada Y:
, ( 11)
El rango ajustado, , es el valor máximo menos el mínimo de
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
31
( 12)
Para aplicar el rango rescalado a series que no describan un movimiento
browniano, se debe generalizar la ecuación de movimiento browniano ha:
(13)
Donde,
: Exponente de Hurst
Término independiente
Luego de discretizar:
(14)
De donde se calcula a partir de Mínimos Cuadrados Ordinarios. El exponente
de Hurst toma valores entre 0 y 1. Cuando H=0.5; la serie sigue una caminata
aleatoria, un caso particular tratado en el cálculo del VaR; cuando H tiene un valor
entre 0 y 0.5, la serie sigue un proceso antipersistente, que se relaciona con un
proceso de reversión a la media y si está entre 0.5 y 1 es persistente, es decir
que un retorno negativo (positivo) puede ser seguido por más retornos negativos
(positivos) con una alta probabilidad.
32 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Los hallazgos de León y Vivas (2010) para el mercado colombiano concluyeron el
rechazo de la hipótesis de independencia de largo plazo de los retornos de
activos en los mercados cambiarios (TRM), de renta variable (IGBC) y renta fija
(IDXTES), lo cual les permitió concluir que:
- La utilización de la regla de la raíz cuadrada del tiempo subestima el
riesgo, especialmente para los mercados accionarios y de renta fija.
- La evidencia de dependencia desvirtúa los fundamentos de los principales
modelos de valoración de activos (v.g. CAPM, APT y B&S) y de
optimización de portafolios (v.g. Markowitz y Black-Litterman)
Otros estudios han sido aplicados para otros mercados, tales como para índices
de mercado de acciones (Peters (1992), Ambrose et al. (1993), Bilel y Nadhem
(2009), Alptekin (2008)), commodities (Corazza et al (1997), Ezgraber et al
(2008)) y monedas (Sierra (2007), Da Silva et al (2007), Peters (2008)) y se han
encontrado ciertos niveles de persistencia en los retornos de los activos
financieros (0,5 < H ≤ 1).
Por ello, se propone una segunda metodología de desempeño de los portafolios
basada en el Análisis Fractal. Esta metodología ha sido abordada por autores
como Leon y Vivas (2010) con el fin de demostrar la volatilidad del mercado
colombiano y en el caso de Latinoamérica, en México, esta metodología ha sido
aplicada para el mercado de derivados (Sierra, 2007). En Alemania, Sun, Rachev
y Fabozzi (2007) evaluaron la dependencia de largo plazo y las colas largas en
los retornos del mercado accionario de dicho país. Es importante señalar que, al
momento de elaborar esta tesis, no se han encontrado aplicaciones de la
metodología fractal para portafolios de pensiones de FPO en la bibliografía
consultada.
Dicha metodología surge de la importancia del horizonte de tiempo en el estudio
de series. En primer lugar, debido a que las series de tiempo financieras registran
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
33
dependencia serial de largo plazo. Ello quiere decir que los retornos actuales de
un activo tienen incidencia en los retornos futuros en el corto plazo y largo plazo.
La persistencia de tendencias de las series que hacen que las ganancias que son
altas pueden escalarse o las grandes pérdidas pueden empeorar hace que los
precios de los activos en los mercados financieros no retornen a la media, como
se espera cuando tienen una distribución normal.
En el caso del mercado colombiano Reveiz y Vivas (2010) encontraron
persistencia significativa en los mercados accionario y de renta fija, y si se
incorpora el efecto de esta persistencia en el modelo de optimización de
portafolio, entonces los resultados y participaciones óptimas cambiarían.
Por el contrario las Finanzas Modernas, que incluyen a Markowitz, CAPM, la
Hipótesis de Mercados Eficientes y la Hipótesis de Mercados Eficientes tienen
entre sus principales supuestos el comportamiento de los retornos descrito como
un movimiento browniano (en adelante aleatorio) (Leon & Vivas, 2010),
caracterizado por ser:
1. Continuos: sin saltos.
2. Independientes: el precio de un periodo no está relacionado con los
precios de otros periodos.
3. Estacionarios: la media y la varianza de los precios son constantes5.
4. Tienen distribución normal.
De estas características, la más importante de acuerdo con muchos autores es la
independencia serial debido a que esta implica que si bien los retornos no se
distribuyen de forma normal pero son independientes, y por tanto convergen a la
media, por el Teorema del Límite Central, de acuerdo con el cual, si existe un
gran número de variables aleatorias independientes con idéntica distribución,
5 Se considera estacionariedad débil (Gujarati & Porter, 2009)
34 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
entonces, con pocas excepciones, la distribución de su suma tiende a ser normal
a medida que se incrementa al infinito el número de tales variables (Gujarati &
Porter, 2009).
El movimiento aleatorio es expresado a partir de la regla de la raíz del tiempo
(Leon & Vivas, 2010):
(15)
En donde,
: Número de periodos originales o tamaño de la muestra
: Periodicidad de la serie de tiempo evaluada
: Desviación estándar calculada en d
: Volatilidad en periodo dn
Como lo señalan León y Vivas (2010), la aplicación más notoria de ésta se
muestra en el cálculo del VaR:
(16)
Ello hace que se suponga en primer lugar una aleatoriedad en los rendimientos,
lo que no permite reconocer los patrones o tendencias en los retornos de los
activos del mercado de capitales que persisten a través del tiempo; por lo que se
hace necesario analizar el movimiento de los retornos como un Movimiento
Browniano Fractal.
Asimismo, se han encontrado otras limitaciones a la teoría. Litterman (2003)
identificaba dos debilidades del criterio media-varianza: 1. Sólo en caso de
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
35
normalidad de los retornos de los activos (un caso especial en la vida real), la
varianza por si sola puede dar suficiente información como para contemplar
eventos extremos. 2. La varianza no diferencia entre el riesgo de aumento o caída
en el precio de un activo.
Para efectos de la optimización del portafolio a partir de la aplicación del
Movimiento Browniano Fractal, es necesario evaluar la hipótesis nula de
independencia de largo en la serie de retornos de activos de forma individual.
Para ello se utilizará el cálculo del rango rescalado modificado propuesto por Lo
(1991), el cual introduce dos elementos:
1. Reemplaza la desviación estándar (S) por un estimador (Q) que incluye la
varianza y autocovarianza de los datos. Esto con el fin de reducir la
incidencia de los procesos de memoria de corto plazo en los de largo
plazo:
(17)
Donde
Desviación estándar de la muestra
Autocovarianza estimada de la muestra
: Ponderación de la autocovarianza con rezago
36 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
(18)
Coeficiente de autocorrelación de la serie de retornos.
2. Desarrolla el estadístico , utilizado para evaluar la hipótesis nula de
independencia de largo plazo en las series de retornos. Este estadístico
acepta la hipótesis nula en un 95% de confianza si el valor de se
encuentra entre 0,809 y 1,862.
Adicionalmente, para reducir el sesgo del uso de series finitas, que resultaría en
un alejamiento significativo de la hipótesis nula de independencia de largo plazo,
se calcula el exponente de H ajustado:
(19)
Donde,
: Exponente de Hurst estimado.
: Exponente de Hurst para series finitas.
3.2. Optimización de Portafolio: Modelo de Frontera Eficiente de Markowitz
6
6 Descripción tomada de Markowitz (1952). “Portfolio Selection”, The Journal of Finance, Vol. 7,
No. 1, p.77-91, 1952.
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
37
Harry Markowitz (1952), (1959) es llamado el padre de la Teoría Moderna de
Portafolio ya que fue el primero en formular un modelo de selección de portafolios
que sirvió de base a otros modelos como el CAPM desarrollado por Treynor
(1961, 1962)7, Sharpe (1964), Lintner (1965) y Mossin (1966). Por esta razón
Markowitz y Sharpe compartieron el premio Nobel de Economía en 1990 por su
aporte a los modelos de selección de portafolio y valoración de activos.
En este modelo, las creencias y proyecciones sobre inversiones siguen las
mismas reglas de probabilidad que obedecen las variables aleatorias (Markowitz,
1999); de allí se desprende que: 1. El retorno esperado de portafolio es igual al
promedio ponderado de los retornos esperados de inversiones individuales; 2. La
varianza del retorno del portafolio es una función particular de las varianzas y
covarianzas entre las inversiones y su participación en el portafolio. El modelo de
selección de portafolio de Markowitz se considera un tema importante de elección
bajo incertidumbre, ya que consiste en que el inversionista debe decidir cómo
distribuir su riqueza entre un número de oportunidades de inversión en un solo
periodo llamados activos. Sea el número de activos en los que se va a invertir,
sean el retorno del activo i; el retorno del portafolio (R) está dado por:
(20)
Siendo,
: Monto invertido en el activo i.
: Retorno del activo i.
7 Si bien Treynor (1961, 1962) desarrolló el CAPM antes que los demás autores, este sólo tuvo
reconocimiento cuando en 1981 Fischer Black lo afirmó en una carta abierta dirigida a Treynor (French, 2003).
38 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
El retorno esperado del portafolio es igual a:
(21)
Donde
Participación del activo i dentro del portafolio.
Si se tienen dos activos i y j, la covarianza entre estos dos activos es:
(22)
Covarianza entre i y j.
Coeficiente de correlación entre i y j.
Desviación estándar de i.
Desviación estándar de j.
La varianza del portafolio es:
(23)
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
39
(24)
(25)
En donde,
: Retorno de Portafolio .
: Vector de Participaciones de los activos dentro del portafolio.
: Matriz de varianzas y covarianzas.
: Riesgo del Portafolio .
El inversionista tiene una elección de varias combinaciones de E y V dependiendo
de su elección de portafolio; y la regla de E-V determina que el inversionista
querría o (debería) seleccionar uno de esos portafolios que conllevará al conjunto
de combinaciones indicadas como eficientes, las cuales maximizan el retorno
esperado de portafolio a una varianza dada o minimizan la varianza a un nivel de
retorno esperado de portafolio.
3.3. Inconvenientes del Modelo
Si bien el modelo de Markowitz proporciona un marco de referencia a la
optimización de portafolio a través de su análisis media-varianza, en la práctica
40 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
este procedimiento lleva a selección de carteras con bajos retornos y
maximización del riesgo (Michaud, 1998).
Las soluciones de los problemas de optimización de portafolio son muy sensibles
a las perturbaciones de los parámetros, ya que los estimadores se encuentran
sujetos al error estadístico y los resultados de la estimación no son muy
confiables (Goldfarb & Iyengar, 2003). Sin embargo, en el caso de la matriz de
varianzas y covarianzas es imposible conocer su verdadero valor, por lo cual es
necesario recurrir a los estimadores de los parámetros.
El modelo de Markowitz es formalmente un modelo de un solo periodo. Por esta
razón, muchos inversionistas institucionales, entre ellos, las administradoras de
fondos de pensiones, con horizontes de inversión de largo plazo encuentran
dificultades al utilizar este modelo en el largo plazo.
Los modelos MV son más apropiados para periodos de tiempo relativamente
cortos debido a que:
- Una aproximación cuadrática de la utilidad máxima esperada es más
probable que sea válida para periodos cortos como meses, trimestres o
semestres.
- Al alargar la unidad de tiempo se reduce el número de periodos
independientes en un conjunto de datos histórico y la significancia
estadística de la optimización de los parámetros estimados.
- Incrementar el periodo histórico de tiempo puede disminuir la relevancia de
los estimados para el periodo de tiempo proyectado.
3.4. Optimización de Portafolio en Horizontes de Tiempo de Mediano y Largo Plazo
La alternativa convencional de medición de riesgo y retorno de portafolio para
horizontes de inversión a largo plazo consiste en la estimación media y
desviación de retornos de baja frecuencia en un horizonte de tiempo prolongado a
partir del escalamiento de la media y la desviación de retornos de alta frecuencia.
3. Movimiento Browniano y Características Empíricas de Series de Retornos Financieras
41
En el caso de los retornos esperados, consiste en el cálculo de los retornos
compuestos anuales a partir de los diarios:
(26)
En donde,
Retornos esperados compuestos diarios
Retornos esperados horizonte de un año
Número de días en un año.
Para la desviación estándar de los retornos, se aplica la regla de la raíz cuadrada
del tiempo, la cual consiste en multiplicar la desviación estándar estimada por el
número de observaciones de alta frecuencia:
(27)
Desviación estándar esperada compuesta diaria
Desviación estándar horizonte de un año
Número de días en un año.
En una segunda etapa, se evaluará el exponente de Hurst en la matriz de
varianzas y covarianzas. Para ello se utilizará el método propuesto por León y
Reveiz (2010) de acuerdo con el cual se reescala el horizonte de inversión
utilizando el exponente de Hurst.
42 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
La regla de la raíz cuadrada del tiempo es reemplazada por la expresión:
(28)
En el caso de la covarianza entre los activos y :
(29)
4. Metodología
4.1. Clasificación de Portafolios
La metodología propuesta consiste en la construcción de tres portafolios
representativos de las inversiones de los Fondos de Pensiones Obligatorias
correspondientes al esquema multifondos: Conservador, Moderado y de Mayor
Riesgo. Todos los fondos contarán con participaciones de las inversiones
admisibles, detalladas en la Tabla 4-1 (Jara, Gomez, & Pardo, 2005).
Tabla 4-1: Descripción de instrumentos de inversión
Grupos de Instrumentos de Inversión
Subgrupos de Instrumentos de Inversión
Total Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales
Deuda interna y externa, emitidos o garantizados por la Nación
Títulos de deuda cuyo emisor, garante o aceptante sea una entidad vigilada por la Superintendencia Financiera de Colombia, incluidos FOGAFIN y FOGACOOP
Participaciones en carteras colectivas
Acciones de alta y media bursatilidad, certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs) y acciones provenientes de procesos de privatización o con ocasión de la capitalización de entidades donde el Estado tenga participación
Acciones de baja y mínima bursatilidad, ADRs y GDRs.
Otros Títulos, valores o participaciones de emisores nacionales
Total Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior
Títulos de deuda emitidos o garantizados por gobiernos extranjeros o bancos centrales extranjeros.
Participaciones en fondos representativos de índices de commodities, de acciones, incluidos los ETFs, participaciones en fondos representativos de precios de commodities y fondos mutuos o de inversión internacionales (mutual funds)
Acciones emitidas por entidades del exterior o certificados de depósitos negociables representativos de dichas acciones (ADRs y GDRs).
Otros Títulos, valores o participaciones de emisores del exterior
Tabla 4-2: Descripción de instrumentos de inversión
Total Otras inversiones y operaciones
Depósitos a la vista
44 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Instrumentos financieros derivados
Fuente: Superintendencia Financiera. Elaboración Propia.
Se adopta la metodología de representación de cada uno de los instrumentos de
inversión utilizada por Jara (2006) (Tabla 4-3), y los límites de inversión
especificados en la Tabla 4-4, así como las fuentes de información de cada uno
de los índices. Las series de precios son de frecuencia diaria y el periodo de
estudio corresponde al periodo comprendido entre el 15 de enero de 2008 y el 7
de septiembre de 2015.
Tabla 4-3: Universo de instrumentos de inversión
Activo Serie Fuente
TES: TES ligados a la inflación (UVR e IPC)
Índice TES Banco de la República
CEMBI: Bonos corporativos colombianos.
Índice de deuda corporativa
Elaboración propia a partir de datos de la Bolsa de Valores de Colombia
EMBI Col: Deuda externa colombiana
EMBI Colombia
JP Morgan Bonos del Tesoro de los Estados Unidos
COLCAP: Renta Variable Local
Índice COLCAP Bolsa de Valores de Colombia
EMBI Europa: Deuda gubernamental de países desarrollados
EMBI Europa JP Morgan
EMBI Latam: Deuda gubernamental externa de países emergentes con calificación aceptable
EMBI Latam JP Morgan
MOODYS AAA Y MOODYS BAA: Deuda Corporativa Externa.
Índices de Retorno de bonos corporativos AAA y BAA
Moody's
S&P 500: Renta Variable Externa.
S&P 500 Standard and Poors
Fuente: Jara, Gomez, & Pardo, Análisis de Eficiencia de los portafolios pensionales obligatorios en Colombia, 2005.
4. Metodología 45
Tabla 4-4: Límites de inversión por fondo
Tipo de Activo
Cálculo
Límite
Esquema Anterior
Fondo Conservador
Fondo Moderado
Fondo Alto
Riesgo
Títulos de deuda pública
TES 60% 50% 50% 50%
Deuda corporativa local
CEMBI 60% 60% 60% 60%
Títulos agentes externos
EMBI Europa + EMBI Latam + MOODYS AAA + MOODYS BAA +S&P
500
40% 40% 60% 70%
Renta variable Local
COLCAP 40% 15% 35% 45%
Fuente: Jara, Gomez, & Pardo, Análisis de Eficiencia de los portafolios pensionales obligatorios en Colombia, 2005. Elaboración Propia.
4.2. Cálculo de Frontera Eficiente
En una fase inicial se evalúa el desempeño de los portafolios a partir del enfoque
planteado por Markowitz de acuerdo con el cual la variable dependiente es la
Esperanza de Retorno de Portafolio o E(R) y la variable independiente es la
Matriz de Varianzas y Covarianzas de los mismos.
Asimismo, se corrige el efecto de la inflación y la tasa de cambio de activos
locales en los retornos utilizando la serie de la tasa de cambio de activos externos
y la serie diaria de UVR.
Los retornos y las volatilidades serán anualizados con el fin de recoger el efecto
del paso del tiempo en un horizonte de un año. Al anualizar las volatilidades se
aplicarán dos metodologías que serán contrastadas con el fin de comparar la
medición de riesgo aplicando Movimiento Browniano y Movimiento Browniano
Fractal.
46 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
La primera metodología de escalamiento del tiempo es la metodología de la raíz
cuadrada del tiempo, que no tiene en cuenta la persistencia o memoria larga en
las series de retornos y consiste en el producto entre la covarianza de los activos i
y j, y la raíz cuadrada del número de días hábiles del año, lo cual supone que el
exponente de Hurst para todos los activos es de 0,5; lo cual es consistente con el
supuesto de aleatoriedad de los retornos.
La segunda metodología de escalamiento del tiempo es la metodología de la raíz
cuadrada del tiempo, que consiste en el producto entre la covarianza de los
activos i y j, y el número de días hábiles del año elevado a la suma de los
exponentes de Hurst de los activos i y j (Ecuación 28); con lo cual se tiene en
cuenta la persistencia o memoria a largo plazo de en las series de retornos de los
activos.
Finalmente, se escalará el horizonte de inversión de 1 a 10 años, con el fin de
comparar el efecto del tiempo en la medición del riesgo en ambos métodos, lo
cual se verá reflejado en el cambio de las participaciones de los activos en los
portafolios de la frontera eficiente.
4.3. Datos
Para el análisis de eficiencia de los portafolios de FPO se utilizaron índices que
replican el comportamiento mostrado por cada uno de los instrumentos de
inversión. La utilización de dichas variables presenta algunas limitaciones, entre
ellas, el cálculo de retornos de un grupo de diferentes activos a través de un solo
indicador.
Para el análisis de retornos de activos y la composición del portafolio
representativo del esquema multifondos de los Fondos de Pensiones
Obligatorias, se escogieron las cotizaciones diarias en el periodo comprendido
entre el 15 de enero de 2008 y el 7 de septiembre de 2015. El conjunto de activos
4. Metodología 47
está conformado por inversiones en renta fija y renta variable tanto de emisores
locales como extranjeros, que representan los instrumentos de inversión
permitidos a los Fondos de Pensiones Obligatorias. Estos activos se encuentran
representados en índices que describen el comportamiento agregado de cada
tipo de activo y se encuentran descritos en la Tabla 4-1.
Asimismo, se calcularon la media, la desviación estándar, el p-value del test
Jarque Bera y la curtosis para las series de datos anteriormente mencionada. Se
encontró para todas ellas que a pesar de que la media de los retornos de estas
series es muy cercana a 0, la distribución de estas series muestra un exceso de
curtosis y el cálculo del p-value del test de Jarque Bera permite rechazar la
hipótesis nula de normalidad de las mismas (Tabla 4-5).
Tabla 4-5: Estadística descriptiva y análisis de series de retornos
Índice Media Desviación Estándar
Jarque Bera - pvalue
Curtosis Exponente de
Hurst
COLCAP 0,0002 0,0112 0,0010 10,804469 0,66834
TES 0,0004 0,0026 0,0010 8,4315248 0,61186
CEMBI 0,0003 0,0151 0,0010 7,9179505 0,60179
EMBI Colombia
0,0011 0,0448 0,0010 7,74281 0,46686
EMBI Europa 0,0003 0,0056 0,0010 60,507572 0,67906
EMBI Latam 0,0002 0,0058 0,0010 31,529089 0,65945
MOODYS AAA
-0,0001 0,0138 0,0010 4,1939806 0,52005
MOODYS BAA
-0,0000 0,0104 0,0010 4,0179314 0,61889
S&P 500 0,0003 0,0142 0,0010 12,252089 0,59603
Fuente: Elaboración Propia.
Dicho lo anterior, se procede a realizar el análisis de Rango Rescalado para cada
una de las series, el cual es una técnica estadística utilizada para medir la
naturaleza y magnitud de la variabilidad de datos a través del tiempo. Esta técnica
busca identificar patrones en los retornos que pueden ser repetidos a través en el
futuro. Del Rango Rescalado se deriva el exponente de Hurst que mide el ritmo
de escalamiento de las series.
48 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Luego de aplicar el análisis de rango rescalado, se encontró evidencia de
dependencia de largo plazo en las series, debido a que el exponente de Hurst de
estas se ubica entre 0,5 y 1, a excepción de la serie correspondiente al índice
EMBI Colombia que tiene exponente de Hurst de 0,48, muy cercano a 0,5 (Figura
5-7 - Figura 5-15).
Esto se ve reflejado al momento de anualizar las volatilidades de las series. Al
encontrar persistencia en los datos, la volatilidad anualizada de los activos
individuales calculada a partir del exponente de Hurst es mayor que la volatilidad
anualizada utilizando la regla de la raíz cuadrada del tiempo, como lo muestra la
Figura 4-1.
Figura 4-1: Volatilidades anualizadas por activo
Fuente: Elaboración Propia
Asimismo, el hallazgo de dependencia de largo plazo en las series se ve reflejado
en la medición de riesgos de portafolio y en el cálculo de la frontera eficiente,
especialmente en la matriz de covarianzas anualizada, ya que la regla de la raíz
4. Metodología 49
cuadrada del tiempo fue modificada con el fin de mostrar el riesgo de inversión de
los activos a partir de un aumento en el horizonte de inversión.
5. Resultados
5.1. Análisis de portafolios
La influencia de la dependencia de largo plazo en la optimización de portafolio se
puede ver en la comparación de la medición de retorno/riesgo entre los métodos
de anualización basados en la regla de la raíz cuadrada del tiempo y el exponente
de Hurst. Para los tres portafolios se pudo observar que la regla de la raíz del
tiempo sobrestima la relación retorno/riesgo en comparación con el coeficiente de
Hurst.
5.1.1. Portafolio Conservador
Manteniendo los límites de inversión del portafolio conservador, se muestran a
continuación las participaciones máximas y mínimas para cada uno de los activos
del portafolio.
Las participaciones máximas más altas corresponden en su orden al índice
CEMBI (Índice de deuda corporativa colombiana), tanto en la aplicación de la
regla de la raíz cuadrada del tiempo como en la aplicación del exponente de
Hurst. Si bien las participaciones de cada uno de los activos de emisores
extranjeros (EMBI Europa, EMBI Latam, MOODYS AAA, MOODYS BAA y S&P
500) permanecen por debajo del 8% de participación; de forma agregada, estos
activos aportan hasta el 40% dentro del total del portafolio. Mientras tanto, los
instrumentos de inversión en deuda pública de emisores locales, resumidos en
los índices TES y EMBI Colombia, completan el 20% establecido como límite
máximo de inversión.
5. Resultados 51
En cuanto a la aplicación del escalamiento con el exponente de Hurst se puede
observar una menor participación de inversiones de emisores extranjeros, de las
cuales se destacan las inversiones en renta variable extranjera, representada en
el índice S&P 500 y las inversiones en deuda pública extranjera, (índices EMBI
Europa y EMBI Latam), mientras que los bonos corporativos extranjeros no
tuvieron participación dentro del portafolio. Finalmente, las inversiones en deuda
pública de emisores locales (TES) se mantienen en el límite, así como la
inversión en bonos corporativos locales (CEMBI) (Tabla 5-1).
Tabla 5-1: Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Conservador.
COLCAP TES CEMBI
EMBI Colombia
EMBI Europa
EMBI Latam
MOODYS AAA
MOODYS BAA
S&P 500
H = 0,5 Max 15% 25% 23% 25% 8% 8% 8% 8% 8%
Min 1% 25% 0% 2% 8% 8% 7% 8% 3%
Hurst Max 0% 25% 55% 22% 0% 0% 0% 0% 0%
Min 0% 25% 53% 20% 0% 0% 0% 0% 0%
Fuente: Elaboración Propia.
En cuanto a los niveles de diversificación, la ¡Error! No se encuentra el origen
e la referencia. muestra una mayor variedad en el portafolio en el cual se aplica
la anualización mediante la regla de la raíz cuadrada del tiempo, mientras que en
el portafolio en el cual se aplica el exponente de Hurst, existe una mayor
participación de los títulos locales y en menor medida de los títulos de emisores
extranjeros de los cuales hay participación casi exclusiva de inversiones en deuda
pública.
52 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Figura 5-1: Comparación de participaciones Portafolio Conservador.
Fuente: Elaboración Propia.
5.1.2. Portafolio Moderado
El portafolio moderado con la aplicación de la raíz cuadrada del tiempo, muestra
una mayor diversificación y una disminución en términos relativos en la
participación en deuda corporativa local (índice CEMBI). Esto se puede atribuir al
incremento en los límites de inversión con respecto al portafolio conservador.
En contraposición, las participaciones del portafolio anualizado con el exponente
de Hurst siguen mostrando una mayor participación para los activos de deuda
corporativa local en sus valores máximo y mínimo y una participación de 0% para
los activos de deuda corporativa de emisores extranjeros (Tabla 5-2).
Tabla 5-2: Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Moderado
COLCAP TES CEMBI
EMBI Colombia
EMBI Europa
EMBI Latam
MOODYS AAA
MOODYS BAA
S&P 500
H = 0,5 Max 22% 25% 18% 11% 12% 12% 4% 11% 12%
Min 8% 25% 5% 2% 12% 6% 2% 9% 0%
Hurst Max 0% 25% 54% 25% 9% 0% 0% 0% 0%
Min 0% 25% 41% 21% 0% 0% 0% 0% 0%
Fuente: Elaboración Propia.
5. Resultados 53
En términos generales, el portafolio en el cual se aplicó la anualización con el
exponente de Hurst muestra una menor diversificación de activos, con una mayor
participación de activos de emisores locales y deuda pública de emisores
extranjeros. Los límites de inversión por tipo de fondo actúan como una
restricción importante en la formación de los portafolios eficientes y las
participaciones de los activos, si bien se puede observar que en la medida en la
que se cambia de clasificación de portafolio, las posibilidades de diversificación
aumentan (Figura 5-2).
Figura 5-2: Comparación de participaciones Portafolio Moderado
Fuente: Elaboración Propia.
5.1.3. Portafolio Mayor Riesgo
De manera similar al portafolio moderado, el portafolio de mayor riesgo
anualizado a partir de la regla de la raíz cuadrada del tiempo, muestra una
disminución de la participación de los títulos de deuda privada por debajo de su
límite superior de inversión compensada por un aumento en la participación de
otros activos dentro del portafolio. Por su parte la anualización hecha a partir del
54 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
exponente de Hurst muestra una mayor participación de los títulos de deuda
corporativa local, seguido por renta variable local y en una menor participación los
títulos de deuda pública de emisores locales y títulos emitidos por emisores
externos.
En cuanto a la diversificación, se muestra que la anualización con el exponente
de Hurst conlleva a una menor diversificación de activos, restándole participación
a los títulos de emisores extranjeros, dados los límites de inversión de los activos
(Figura 5-3).
Figura 5-3: Comparación de participaciones Portafolio Mayor Riesgo
Fuente: Elaboración Propia.
5.1.4. Efecto de la ampliación del horizonte de inversión a 10 años.
Finalmente, se puede ver que el horizonte de inversión juega un papel importante.
Al escalar la optimización del portafolio a un horizonte de inversión de 10 años se
evidencian diferencias en cada una de las metodologías.
5. Resultados 55
El uso del método de la raíz cuadrada del tiempo, (H = 0,5) para la optimización
de portafolios no implica cambios en las participaciones de los activos de los
fondos conservador (Figura 5-4), moderado (Figura 5-5) y de mayor riesgo
(Figura 5-6); ya que al pasar de un horizonte de un año a otro de diez, dichas
participaciones permanecen constantes.
Figura 5-4: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Conservador.
Fuente: Elaboración Propia
56 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Figura 5-5: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Moderado.
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 5-6: Comparación de métodos: Raíz Cuadrada del Tiempo vs. Exponente de Hurst. Horizontes de inversión de 1 año y 10 años. Fondo Mayor Riesgo.
Fuente: Elaboración Propia.
5. Resultados 57
En cuanto a la aplicación del exponente de Hurst, se pueden observar cambios
en las participaciones de los activos en los portafolios eficientes para los tres
fondos al aumentar el horizonte temporal de inversión, lo cual se atribuye al
método de escalamiento del tiempo.
Los resultados presentados luego de la anualización de portafolio a partir del
exponente de Hurst muestran una alta ponderación de los activos locales dentro
de los tres portafolios analizados, especialmente en los títulos de deuda pública.
La concentración de las inversiones de los activos en este frente plantea
interrogantes sobre el establecimiento de los límites a los instrumentos de
inversión y la posibilidad de evaluar periódicamente el retorno y riesgo de
portafolio, con el fin de flexibilizar las restricciones que enfrentan las
Administradoras de Fondos de Pensiones en la elección optima de dichos
portafolios.
Por otra parte, los activos de emisores extranjeros pierden participación al aplicar
el exponente de Hurst. En esta medida se debe considerar el papel de la
diversificación de inversiones en otros mercados como una medida efectiva de
reducción del riesgo de portafolio, ya que esta por si sola podría resultar
insuficiente teniendo en cuenta la incidencia de la memoria de largo plazo de las
series de retorno en el aumento del riesgo de portafolio.
En general, la anualización de portafolios a partir del exponente de Hurst arroja
combinaciones eficientes con una mayor participación en instrumentos de
inversión de renta fija local. Esto implica que en presencia de memoria o
dependencia de largo plazo, las participaciones de los activos dentro de los
portafolios eficientes tienden a ser más conservadoras.
Asimismo, se puede ver que el aumento del horizonte temporal en presencia de
memoria de largo plazo influye en las participaciones de los activos permitiendo
una mayor diversificación de los mismos.
Esto llevado al esquema multifondos plantea la necesidad de una revisión
periódica de los límites de inversión de cada uno de los fondos, teniendo en
58 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
cuenta el horizonte temporal en la medición del riesgo y el efecto de caídas o
alzas en los precios a medida que se agreguen datos al modelo.
Al final se detallan los análisis de rango rescalado de cada uno de los activos
(Figura 5-7 - Figura 5-15), así como los resultados de la optimización de
portafolio.
Figura 5-7: R/S COLCAP
Fuente: Elaboración Propia
5. Resultados 59
Figura 5-8: R/S TES
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 5-9: R/S CEMBI
Fuente: Elaboración Propia.
60 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Figura 5-10: R/S EMBI Colombia
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 5-11: R/S EMBI Europa
Fuente: Elaboración Propia.
5. Resultados 61
Figura 5-12: R/S EMBI Latinoamérica
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 5-13: R/S MOODYS AAA
Fuente: Elaboración Propia.
62 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Figura 5-14: R/S MOODYS BAA
Fuente: Elaboración Propia.
Figura 5-15: R/S S&P 500
5. Resultados 63
Tabla 5-3: Análisis de Rango Rescalado Activos
Análisis de Rango Rescalado COLCAP
Análisis de Rango Rescalado TES
N (R/S) Log(R/S) Log (N)
N (R/S) Log(N) Log (R/S)
1.864 86,88 7,53 4,46
1.864 86,88 7,53 4,46
932 59,15 6,84 4,08
932 59,15 6,84 4,08
466 32,89 6,14 3,49
466 32,89 6,14 3,49
233 19,00 5,45 2,94
233 19,00 5,45 2,94
117 15,52 4,76 2,74
117 15,52 4,76 2,74
58 7,87 4,06 2,06
58 7,87 4,06 2,06
28 6,42 3,33 1,86
28 6,42 3,33 1,86
14 4,67 2,64 1,54
14 4,67 2,64 1,54
7 3,04 1,95 1,11
7 3,04 1,95 1,11
Resultados de la Regresión
Resultados de la Regresión Constante
- 0,58
Constante
- 0,58
Error Estándar
0,08
Error Estándar
0,08
R Cuadrado
0,98
R Cuadrado
0,98
H
0,67
H
0,67
Error Estándar del Coeficiente 0,00
Error Estándar del Coeficiente 0,00
Análisis de Rango Rescalado CEMBI
Análisis de Rango Rescalado EMBI Colombia
N (R/S) Log(R/S) Log (N)
N (R/S) Log(R/S) Log (N)
1.864 108,76 4,69 7,53
1.864 50,76 7,53 3,93
932 90,11 4,50 6,84
932 35,72 6,84 3,58
466 74,55 4,31 6,14
466 35,40 6,14 3,57
233 45,79 3,82 5,45
233 24,31 5,45 3,19
117 22,13 3,10 4,76
117 12,88 4,76 2,56
58 7,59 2,03 4,06
58 5,93 4,06 1,78
28 6,87 1,93 3,33
28 4,58 3,33 1,52
14 3,83 1,34 2,64
14 4,37 2,64 1,47
7 2,44 0,89 1,95
7 3,38 1,95 1,22
Resultados de la Regresión
Resultados de la Regresión Constante
0,31
Constante
0,43
Error Estándar
0,23
Error Estándar
0,17
R Cuadrado
0,87
R Cuadrado
0,88
H
0,60
H
0,47
Error Estándar del Coeficiente 0,01
Error Estándar del Coeficiente 0,00
64 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Tabla 5-4: Análisis de Rango Rescalado Activos
Análisis de Rango Rescalado EMBI Europa
Análisis de Rango Rescalado EMBI Latinoamérica
N (R/S) Log(R/S) Log (N)
N (R/S) Log(R/S) Log (N)
1.864 106,44 7,53 4,67
1.864 98,53 4,59 1,52
932 65,79 6,84 4,19
932 71,62 4,27 1,45
466 48,12 6,14 3,87
466 46,84 3,85 1,35
233 30,07 5,45 3,40
233 28,20 3,34 1,21
117 15,56 4,76 2,74
117 18,53 2,92 1,07
58 8,73 4,06 2,17
58 8,61 2,15 0,77
28 5,29 3,33 1,67
28 7,11 1,96 0,67
14 4,50 2,64 1,50
14 3,93 1,37 0,31
7 2,86 1,95 1,05
7 2,98 1,09 0,09
Resultados de la Regresión
Resultados de la Regresión
Constante
- 0,43
Constante
- 0,30
Error Estándar
0,10
Error Estándar
0,08
R Cuadrado
0,98
R Cuadrado
0,98
H
0,68
Exponente de Hurst (H) 0,66
Error Estándar del Coeficiente 0,00
Error Estándar del Coeficiente 0,00
Análisis de Rango Rescalado Moodys AAA
Análisis de Rango Rescalado Moodys BAA
N (R/S) Log(R/S) Log (N)
N (R/S) Log(R/S) Log (N)
1.864 40,25 7,53 2,02
1.864 63,53 4,15 7,53
932 22,09 6,84 1,92
932 41,29 3,72 6,84
466 21,98 6,14 1,82
466 39,43 3,67 6,14
233 22,53 5,45 1,70
233 27,13 3,30 5,45
117 6,82 4,76 1,56
117 7,23 1,98 4,76
58 5,83 4,06 1,40
58 5,83 1,76 4,06
28 3,89 3,33 1,20
28 3,80 1,34 3,33
14 3,15 2,64 0,97
14 3,02 1,11 2,64
7 2,22 1,95 0,67
7 2,17 0,77 1,95
Resultados de la Regresión
Resultados de la Regresión
Constante
- 0,22
Constante
- 0,431
Error Estándar
0,18
Error Estándar
0,216
R Cuadrado
0,89
R Cuadrado
0,888
H
0,52
Exponente de Hurst (H) 0,619
Error Estándar del Coeficiente 0,00
Error Estándar del Coeficiente 0,005
Tabla 5-5: Análisis de Rango Rescalado
5. Resultados 65
Activos
Análisis de Rango Rescalado S&P 500
N (R/S)
Log(N) Log (R/S)
1.864 57,83
7,53 4,06
932 38,81
6,84 3,66
466 27,53
6,14 3,32
233 15,25
5,45 2,72
117 10,67
4,76 2,37
58 5,34
4,06 1,67
28 5,33
3,33 1,67
14 4,48
2,64 1,50
7 2,52
1,95 0,92
Resultados de la Regresión
Constante
- 0,463
Error Estándar
0,096
R Cuadrado
0,973
H
0,596
Error Estándar del Coeficiente 0,002
Fuente: Elaboración Propia
Tabla 5-6. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Conservador
COLCA
P TES CEMBI
EMBI Colombia
EMBI Europa
EMBI Latam
MOODYS AAA
MOODYS BAA
S&P
500
H = 0,5
Max
15% 25% 23% 25% 8% 8% 8% 8% 8%
Min 1% 25% 0% 2% 8% 8% 7% 8% 3%
Hurst
Max
0% 25% 55% 22% 0% 0% 0% 0% 0%
Min 0% 25% 53% 20% 0% 0% 0% 0% 0%
Tabla 5-7. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Moderado
COLCAP TES CEMBI
EMBI Colombia
EMBI Europa
EMBI Latam
MOODYS AAA
MOODYS BAA
S&P 500
H = 0,5 Max 22% 25% 18% 11% 12% 12% 4% 11% 12%
Min 8% 25% 5% 2% 12% 6% 2% 9% 0%
Hurst Max 0% 25% 54% 25% 9% 0% 0% 0% 0%
Min 0% 25% 41% 21% 0% 0% 0% 0% 0%
66 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Tabla 5-8. Participaciones máximas y mínimas por activo, Portafolio Mayor Riesgo.
COLCA
P TES
CEMBI
EMBI Colombi
a
EMBI Europa
EMBI Latam
MOODYS AAA
MOODYS BAA
S&P 500
H = 0,5
Max 22% 25% 18% 11% 14% 14% 3% 12% 14%
Min 5% 25% 4% 2% 13% 5% 2% 7% 0%
Hurst Max 0% 25% 50% 25% 9% 0% 0% 0% 0%
Min 0% 25% 41% 25% 0% 0% 0% 0% 0%
5. Resultados 67
Tabla 5-9 Comparación Retorno Riesgo de Portafolio
Conservador Moderado Mayor Riesgo
No.
Por
t.
H = 0,5 Hurst H = 0,5 Hurst H = 0,5 Hurst
Ret
(%)
Riesg
o
Ret/
Ries.
Ret
(%) Riesgo
Ret/
Ries.
Ret.
(%) Riesgo
Ret/
Riesgo
Ret.
(%) Riesgo
Ret/
Ries.
Ret.
(%) Riesgo
Ret/
Ries.
Ret.
(%) Riesgo
Ret/
Ries.
1 6,5 0,02 2,80 5,8 0,33 0,18 6,2 0,02 3,00 5,2 0,32 0,16 6,2 0,02 3,02 3,0 0,34 0,09
2 6,5 0,02 2,81 5,9 0,33 0,18 6,2 0,02 3,02 5,3 0,32 0,17 6,2 0,02 3,04 3,1 0,34 0,09
3 6,5 0,02 2,82 5,9 0,33 0,18 6,3 0,02 3,04 5,3 0,32 0,17 6,3 0,02 3,06 3,1 0,34 0,09
4 6,6 0,02 2,83 5,9 0,33 0,18 6,3 0,02 3,06 5,4 0,32 0,17 6,3 0,02 3,08 3,2 0,34 0,09
5 6,6 0,02 2,84 5,9 0,33 0,18 6,3 0,02 3,08 5,4 0,32 0,17 6,4 0,02 3,11 3,3 0,34 0,10
6 6,6 0,02 2,85 5,9 0,33 0,18 6,4 0,02 3,10 5,5 0,32 0,17 6,4 0,02 3,13 3,4 0,34 0,10
7 6,6 0,02 2,86 6,0 0,33 0,18 6,4 0,02 3,11 5,5 0,32 0,17 6,5 0,02 3,15 3,4 0,34 0,10
8 6,6 0,02 2,86 6,0 0,33 0,18 6,4 0,02 3,13 5,6 0,32 0,17 6,5 0,02 3,17 3,5 0,34 0,10
9 6,7 0,02 2,87 6,0 0,33 0,18 6,5 0,02 3,15 5,6 0,32 0,17 6,6 0,02 3,19 3,6 0,34 0,11
10 6,7 0,02 2,88 6,0 0,33 0,18 6,5 0,02 3,17 5,7 0,33 0,17 6,6 0,02 3,21 3,6 0,34 0,11
11 6,7 0,02 2,89 6,0 0,33 0,18 6,6 0,02 3,18 5,7 0,33 0,18 6,7 0,02 3,23 3,7 0,34 0,11
12 6,7 0,02 2,89 6,1 0,33 0,18 6,6 0,02 3,20 5,8 0,33 0,18 6,7 0,02 3,25 3,8 0,33 0,11
13 6,8 0,02 2,90 6,1 0,33 0,18 6,6 0,02 3,21 5,8 0,33 0,18 6,7 0,02 3,27 3,8 0,33 0,12
14 6,8 0,02 2,91 6,1 0,33 0,18 6,7 0,02 3,23 5,9 0,33 0,18 6,8 0,02 3,29 3,9 0,33 0,12
15 6,8 0,02 2,92 6,1 0,33 0,18 6,7 0,02 3,24 5,9 0,33 0,18 6,8 0,02 3,31 4,0 0,33 0,12
6. Conclusiones
Después de aplicar el análisis en las series de retornos que representan los
instrumentos de inversión admisibles para los Fondos de Pensiones bajo el
esquema multifondos, se encuentra que estas series siguen una caminata
aleatoria sesgada (Peters E. E., 1989), lo cual va en línea con lo encontrado en
otras investigaciones acerca del comportamiento de las series de retornos
financieras, las cuales muestran que la dependencia de largo plazo es común de
las series de retornos en los mercados financieros (León & Reveiz, 2010). Esto se
ve reflejado en un exponente de Hurst mayor a 0,5 para estas series, lo cual
implica: 1. Los retornos se ven influenciados por el pasado; 2. Esta influencia se
presenta a través de escalas temporales.
Posteriormente, la optimización de portafolios anualizados mediante la regla de la
raíz del tiempo mostró una subestimación del riesgo frente a la anualización
calculada a partir del exponente de Hurst, la cual muestra combinaciones de
retornos menos favorables a un nivel de riesgo dado.
Asimismo, se encontró una menor diversificación de inversiones en la
optimización anualizada a partir del exponente de Hurst, la cual mostró mayores
ponderaciones de activos locales dentro del portafolio, contrario al propósito de la
puesta en marcha del esquema multifondos, el cual tenía entre sus objetivos, la
diversificación de las inversiones de los fondos de pensiones hacia activos de
renta variable e inversiones en el exterior.
No obstante, la asignación de los límites de inversión para los portafolios del
esquema de (conservador, moderado y mayor riesgo), coincide en niveles de
riesgo con los portafolios anualizados a partir del exponente de Hurst, situación
6. Conclusiones 69
que no se presenta en la anualización de portafolios a partir de la regla de la raíz
cuadrada del tiempo.
Esto conlleva a hacer recomendaciones en materia de política de inversiones de
los fondos de pensiones obligatorias en dos aspectos: el primero relacionado con
la diversificación y el segundo con la asignación efectiva de activos dentro de los
portafolios de dichos fondos.
En cuanto al primer aspecto, si bien las medidas tomadas por el Gobierno
Nacional frente al régimen de inversiones de Fondos de Pensiones Obligatorias
(FPO) se enfocan en la diversificación de instrumentos de inversión (fondos de
capital privado y proyectos de infraestructura), estas responden a necesidades
diferentes a la protección de aportes a los FPO; entre ellas financiar de proyectos
de infraestructura y dinamizar el mercado de valores local. Por ello, es necesario
considerar que en presencia de memoria de largo plazo, la diversificación por sí
misma no es una medida de gestión del riesgo, y en esa medida se deben
considerar participaciones de activos poco diversificadas y más conservadoras
como las obtenidas a partir de la aplicación del exponente de Hurst.
Esto lleva al segundo aspecto, frente al cual se recomienda el aumento de la
periodicidad con la que se revisan el régimen de inversión de FPO. Esta
asignación debe responder tanto a la búsqueda de retornos en el largo plazo
como a la adaptación estratégica frente a cambios en los mercados financieros.
En esta medida, la aplicación del exponente de Hurst incorpora tanto los cambios
y tendencias registrados en los mercados financieros como el efecto que tiene el
horizonte de inversión en la gestión de portafolios.
Entre las limitaciones para la aplicación del modelo se encuentran las pocas
observaciones para las series de retornos, especialmente en el caso de los
activos locales, por lo cual fue necesario ajustar el análisis de portafolios a
retornos diarios en un periodo definido a partir de la primera fecha del cálculo del
Índice COLCAP, consultado la página web del Banco de la República.
70 Movimiento Browniano vs. Movimiento Browniano Fractal: simulación de portafolio
tipo en Esquema Multifondos (Ley 1328 de 2009)
Cabe anotar que, si bien el análisis de Rango Rescalado es una técnica
estadística ampliamente aplicada en mercados financieros alrededor del mundo,
su aplicación relativamente reciente contempla la necesidad de ajustes, lo cual
seguirá siendo objeto de investigación y debate.
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