Post on 18-Aug-2020
MASTER'EN'BANCA'Y'MERCADOS'FINANCIEROS'
Curso de R para Banca y Finanzas
Profesor: Vanesa Jordá Gil
Curso 2016/2017'
jordav@unican.es vanesajorda.com
Motivación
¿Cómo'distribuyo'el'capital?'
Ac#vos'con'riesgo' Ac#vos'sin'riesgo'
+'Rentabilidad'+'Riesgo' C'Riesgo'
C'Rentabilidad'
2'
Selección de carteras y teoría de la utilidad
Curvas'de'indiferencia''Inversores'con!aversión!al'
riesgo'
Rentabilidad'
Riesgo'
CI2'
Riesgo(0)'
Rentabilidad(0)'Rentabilidad(1)'
Rentabilidad(2)'
Riesgo(1)'Riesgo(2)'
3'
Rentabilidad'
Riesgo'
CI1' CI2' CI3'
Riesgo'
Rentabilidad(1)'Rentabilidad(2)'Rentabilidad(3)'
Selección de carteras y teoría de la utilidad
4'
Rentabilidad'
Riesgo'
CI1' CI2' CI3'
Riesgo(1)'
Rentabilidad'
Riesgo(2)'
Selección de carteras y teoría de la utilidad
5'
Problema'Dual''
1. Maximizar'la'rentabilidad'para'un'determinado'nivel'de'riesgo.'
2. Minimizar'el'riesgo'para'una'rentabilidad'dada.'
Selección de carteras y teoría de la utilidad
6'
Análisis Media-Varianza
Planteamiento'del'problema''
' ' 'Max''Rentabilidad*de*la*inversión*' ' 's.a.'''Nivel*de*riesgo*dado*
*¿Cómo'medir'la'rentabilidad'de'la'inversión?''¿Y'el'riesgo?'
7'
'Para'el'caso'de'un'único'ac#vo'(Constant'expected'return'N'CER):'
'Rit*='μi'+eit';'eit'~'N(0,'σ2i),''donde'Rit*='ln(Pt*/PtN1).'
'
Modelo CER
8'
N0.25000'
N0.20000'
N0.15000'
N0.10000'
N0.05000'
0.00000'
0.05000'
0.10000'
0.15000'
3'de'nov'de'2014'
1'de'ene'de'2014'
1'de'mar'de'2013'
1'de'may'de'2012'
1'de'jul'de'2011'
1'de'sep'de'2010'
Rendimiento'mensual'de'Repsol'
'Propiedades'del'modelo'CER''
Rit*='μi'+eit''
• 'Rit'~'N(μi,'σ2i)'(Normalidad)'• E[Rit]'='μi***************************************************************• Var[Rit]'='σ2i ' ' ''''''''''''''''''''(Estacionariedad)**• cov[Rit,*Rjt]'='σij';'cor[Rit,'Rjt]'='ρij'*• cov[Rit,*Ris]'='0'si's≠t*'(ausencia'de'correlación'serial)*
''
Modelo CER
9'
CARTERAS'MIXTAS'• Incluyen'ac#vos'arriesgados'y'ac#vos'sin'riesgo.'• Los'ac#vos'sin'riesgo'#enen'una'rentabilidad'garan#zada'para'
un'determinado'periodo'temporal.'
• En'selección'de'carteras'suelen'considerarse'ac#vos'relacionados'con'deuda'pública:'Bonos'y'Letras'del'Tesoro.'
• Los'Bonos'y'las'Letras'del'Tesoro'son'libres'de'riesgo'en'términos'nominales'únicamente.'
*'''''
'
10'
11'
El'Teorema'de'la'Separación'de'Fisher''
Divide'el'problema'de'asignación'del'capital'en'dos'#pos'de'decisiones:''1. Determinamos'la'cartera'óp#ma'de'ac#vos'con'riesgo.'2. Buscamos'la'mejor'combinación'de'ac#vos'con'riesgo'y'ac#vos'sin'
riesgo.''
Nosotros'analizamos'primero'el'Problema'2!!''
Después'veremos'que'en'el'caso'de'múl#ples'ac#vos'con'riesgo,'la'cartera'óp#ma'va'a'ser'la'misma'para'todos'los'inversores,'que'únicamente'deciden'entre'la'proporción'asignada'a'ac#vos'con'y'sin'riesgo.'
CARTERAS'MIXTAS:'*'''''
δ!='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'con'riesgo.'1,!δ'='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'sin'riesgo.'
'
'
'
ACTIVOS'SIN'RIESGO' ACTIVOS'CON'RIESGO'
! fff rrE == ][µ! 0][2 == ff rVarσ
! ][RiEi =µ! 0][2 ≠= fi rVarσ
! 0],[, == fifi rRCovσ ! 0],[, ≠= jiji RRCovσ
12'
CARTERAS'MIXTAS:'*'''''
δ!='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'con'riesgo.'1,!δ'='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'sin'riesgo.''
'
ACTIVOS'SIN'RIESGO' ACTIVOS'CON'RIESGO'
! fff rrE == ][µ! 0][2 == ff rVarσ
! ][RiEi =µ! 0][2 ≠= fi rVarσ
RENDIMIENTO'DE'LA'CARTERA'
! )()1( fififp rRrRrR −+=+−= δδδ
! 0],[, == fifi rRCovσ ! 0],[, ≠= jiji RRCovσ
13'
CARTERAS'MIXTAS:'*'''''
δ!='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'con'riesgo.'1,!δ'='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'sin'riesgo.''
'
'
ACTIVOS'SIN'RIESGO' ACTIVOS'CON'RIESGO'
! fff rrE == ][µ! 0][2 == ff rVarσ
! ][RiEi =µ! 0][2 ≠= fi rVarσ
RENTABILIDAD'ESPERADA'DE'LA'CARTERA'
Prima'absoluta'de'riesgo'
! 0],[, == fifi rRCovσ ! 0],[, ≠= jiji RRCovσ
! )(][ fifpp rrRE −+== µδµ
14'
CARTERAS'MIXTAS:'*'''''
δ!='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'con'riesgo.'1,!δ'='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'sin'riesgo.''
'
'
ACTIVOS'SIN'RIESGO' ACTIVOS'CON'RIESGO'
! fff rrE == ][µ! 0][2 == ff rVarσ
! ][RiEi =µ! 0][2 ≠= fi rVarσ
RIESGO'DE'LA'CARTERA'
!jpjpp RVar σδσσδσ =→== 222 ][
! 0],[, == fifi rRCovσ ! 0],[, ≠= jiji RRCovσ
Carteras mixtas
15'
CARTERAS'MIXTAS:'N Con' préstamo:' El' inversor' invierte' un' porcentaje' (δ)' de' sus'
ac#vos'en'una'cartera'con'riesgo'y'el'resto'lo'invierte'el'#po'de'interés'libre'de'riesgo.'
'
N Con' endeudamiento:' El' inversor' pide' prestado' al' #po' de'interés' libre' de' riesgo'para' inver#r' una' can#dad' superior' al'capital'inicial'en'una'cartera'con'riesgo.'
'
'
δ*<*1,'1:*δ*>*0''
δ*>1,'1:*δ*<*0''
Carteras mixtas
16'
FRONTERA'EFICIENTE'Obje#vo:'representar'la'relación'entre'la'rentabilidad'esperada'y'el'riesgo'de'una'cartera'formada'por'un'ac#vo'con'riesgo'y'otro'sin'riesgo.'
Prima'rela#va'de'riesgo'
Carteras mixtas
17'
σ P = δ σ i →δ =σ P
σ i
µP = rf +δ(µi − rf )→ µP = rf +σ P
σ i
(µi − rf )
µP = rf +(µi − rf )σ i
σ P
• La'prima'rela#va'de'riesgo'se'usa'para'ordenar'ac#vos.'
• Representa'la'rentabilidad'adicional'por'unidad'de'riesgo.'• Los'ac#vos'con'mayor'prima'de'riesgo'rela#va'se'prefieren'
frente'a'los'ac#vos'con'menor'prima.'
• La'prima'rela#va'de'riesgo'es'la'pendiente'de'la'Línea'de'Asignación'de'Capitales.'
'
18'
µP = rf +(µi − rf )σ i
σ P
19'
Problema''
Supongamos'que'tenemos'un'ac#vo'con'una'rentabilidad'anual'esperada'del'15%,'siendo'la'desviación'ppica'del'rendimiento'anual'0.25.'Las'letras'del'tesoro'a'un'año'se'ofertan'con'un'interés'del'6%.'a) Determinar'la'cartera'de'inversión'con'una'rentabilidad'esperada'del'
12%.'b) Determinar'la'cartera'de'inversión'con'desviación'ppica'igual'a'0.2.'c)''''Suponiendo'que'nuestro'capital'para'realizar'la'inversión'es'de'1000000'
de'euros'y'que'únicamente'tenemos'reservas'de'capital'por'valor'de'150000'euros.'Determinar'la'cartera'de'inversión'que'nos'permi#rá'cubrir'las'pérdidas.'
20'
Problema''
Supongamos'que'tenemos'un'ac#vo'con'una'rentabilidad'anual'esperada'del'15%,'siendo'la'desviación'ppica'del'rendimiento'anual'0.25.'Las'letras'del'tesoro'a'un'año'se'ofertan'con'un'interés'del'6%.'μr'=0.15''μnr'=0.06'E[R]='δ'0.15+'(1Nδ)0.06'='0.06'+'δ0.09,'Var[R]'='δ20.252''
''
21'
Problema''
μr'='0.15''μnr'='0.06'E[R]'='δ'0.15+'(1Nδ)0.06'='0.06'+'δ0.09,'Var[R]'='δ20.252'''
a) Determinar'la'cartera'de'inversión'con'una'rentabilidad'esperada'del'12%.'E[R]'='0.06'+'δ0.09'='0.12'!'δ'='(0.12'N'0.06)'/'0.09'='2/3'
'
''
22'
Problema''
μr'='0.15''μnr'='0.06'E[R]'='δ'0.15+'(1Nδ)0.06'='0.06'+'δ0.09,'Var[R]'='δ20.252'''
b) Determinar'la'cartera'de'inversión'con'con'desviación'ppica'igual'a'0.2.'Var[R]'='δ20.252'!SD[R]'='δ*0.25'=0.2'!='δ*='0.2'/'0.25'!δ*='0.8.'''''
23'
Problema''
'
c)''''Suponiendo'que'nuestro'capital'para'realizar'la'inversión'es'de'1000000'de'euros'y'que'únicamente'tenemos'reservas'de'capital'por'valor'de'150000'euros,'determinar'la'cartera'de'inversión'que'nos'permi#rá'cubrir'las'pérdidas.'
R'>'N0.15''
Si'queremos'que'se'cumpla'la'condición'con'una'probabilidad'del'100%'inver#remos'todo'en'el'ac#vo'sin'riesgo.'Relajamos'este'supuesto'y'calculamos'la'cartera'que'cumple'dicha'condición'con'un'probabilidad'del'99%.'
'
24'
Problema''
'
'''Dado'que'el'rendimiento'de'la'cartera'se'distribuyen'normalmente:'P(R'<'N0.15)'='Φ((N0.15NE[R])/SD[R])'='0.01'
(N0.21N0.09δ)'/'(0.25δ)'='N2.33'ΦN1(0.01)'='N2.33,'es'el'cuan#l'de'la'distribución'normal'estándar'(inversa'de'la'función'de'distribución).'
N0.21='(N2.33'0.25N0.09)'δ*δ*='N0.21/'(N2.33'0.25N0.09)''
δ*='0.4271'''''
25'
Problema''
Para'una'cartera'formada'por'acciones'de'Supermercados'día'y'letras'a'un'año'con'un'interés'anual'del'1.5%.'a) Determinar'la'cartera'de'inversión'con'una'rentabilidad'diaria'esperada'
del'0.10%.'b) Determinar'el'conjunto'de'carteras'eficientes'y'dibujar'las'combinación'
rentabilidad'–'riesgo'de'dicho'conjunto'(Línea'de'asignación'de'capitales'N'LAC).'
'Para'el'caso'de'un'único'ac#vo:''Rentabilidad'esperada:''E[Ri]=μi'Riesgo:''Var[Ri]=σi2'
''
Fuente:'www.finanzasparatodos.es'
La'diversificación'reduce'el'riesgo'
26'
Cartera'de'inversión'
Ac#vo'X1'Ac#vo'X2'
w1'
w2'
Caso!de!dos!ac1vos**
Posiciones'cortas'wi'<'0''Posiciones'largas''wi'>'0''
27'
w1'+'w2'=1'
1:w1'
OBJETIVO:'Determinar'los'pesos'que'maximizan'la'rentabilidad'esperada'para'un'determinado'nivel'de'riesgo.'**
Problema!dual:'Determinar'los'pesos'que'maximizan'la'rentabilidad'esperada'para'un'determinado'nivel'de'riesgo'o'que'minimizan'el'riesgo'sujeto'a'un'nivel'de'rentabilidad.'**
28'
E[RP ]= µP =w1µ1 + (1−w1)µ2 →w1 =µP −µ2µ1 −µ2
σ P = w12σ1
2 + (1−w1 )2σ 2
2 + 2w1 (1−w1 )σ1,2
RP = w1R1 + (1−w1)R2
Minw1 ...wn
σ p2 =Var[Rp ]
s.a. µp = E[Rp ]= µ(0)
wii=1
n
∑ =1
Maxw1 ...wn
µp = E[Rp ]
s.a. σ p2 =Var[Rp ]=σ (0)
2
wii=1
n
∑ =1
Caso práctico
29'
1.0 1.5 2.0 2.5
0.10
0.15
0.20
0.25
desviación típica
rendimiento
DIA
Mapfre
Cartera de mínima varianza
Vamos'a'considerar'ahora'el'caso'de'un'ac#vo'sin'riesgo'(5%'interés'anual'simple)'y'dos'ac#vos'con'riesgo'(Día'y'Mapfre).'Como'somos'un'inversor'muy'averso'al'riesgo'decidimos'distribuir'nuestro'capital'entre'la'cartera'de'mínima'varianza'y'el'ac#vo'sin'riesgo.''Presentar'en'el'gráfico'anterior'la'LAC'entre'ambos'#pos'de'ac#vos.''¿es'una'combinación'eficiente'en'el'sen#do'de'mediaNvarianza?'*
30'
Caso práctico
31'
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
desviación típica
rendimiento
DIA
Mapfre
Cartera'de'inversión'
.'
.'
.'
Ac#vo'X1'Ac#vo'X2'
Ac#vo'Xn*
.'
.'
.'
w1'
w2'
wn*
!1
1
=∑=
n
iiw
OBJETIVO:'Determinar'los'pesos'que'maximizan'la'rentabilidad'esperada'para'un'determinado'nivel'de'riesgo.'**
Posiciones'cortas'wi'<'0''Posiciones'largas''wi'>'0''
32'
Elementos'de'la'cartera'''Rentabilidad'esperada'de'la'cartera'
''Riesgo'de'la'cartera'(varianza)''
'
!!!
"
#
$$$
%
&
=
nw
w!1
w """""!!!
"
#
$$$
%
&
=
nµ
µ!1
μ """""!!!
"
#
$$$
%
&
=2
1
121
nn
n
σσ
σσ
"
!#!"
Ω "
!
( ) ∑=
=""""
#
$
%%%%
&
'
===n
iii
n
npp wwwRE1
1
1][ µ
µ
µ
µ !"μw'
33'
!
( ) ∑∑<=
+=
""""
#
$
%%%%
&
'
""""
#
$
%%%%
&
'
===n
jijiji
n
iii
nnn
n
npp www
w
w
wwRVar 2,
1
22
1
21
121
12 2][ σσ
σσ
σσ
σ !
"
!#!
"
"Ωww'
Problema'de'op#mización'cuadrá#ca''
' ' ''''''
El'problema'tendrá'una'solución'para'cada'posible'nivel'de'riesgo'μp(0)''
FRONTERA'EFICIENTE'
34'
Minw1 ...wn
w'Ωw
s.a. w'1=1w'µ = µ(0)
Problema'de'op#mización'cuadrá#ca''
' ' ''''''''La'función'obje#vo'es'cuadrá#ca'y'las'restricciones'de'igualdad/'desigualdad'son'lineales''
35'
Minx
12x'Dx−d 'x
s.a. A 'neq x ≥ bneqA 'eq x = beq
d = 0x =wD = 2Ω
A 'eq =1'µ
!
"##
$
%&&;beq =
1µ(0)
!
"##
$
%&&
36'
0 1 2 3 4 5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
riesgo
rendimiento
BBVA
TEL
DIA
Añadimos'otro'#po'de'restricciones''
' ' '''''
37'
Minw1 ...wn
w'Ωw
s.a. w'1=1w'µ = µ(0)w ≥ 0
Problema'de'op#mización'cuadrá#ca''
' ' '''''''''La'función'obje#vo'es'cuadrá#ca'y'las'restricciones'de'igualdad/'desigualdad'son'lineales''
38'
Minx
12x'Dx−d 'x
s.a. A 'neq x ≥ bneqA 'eq x = beq
d = 0x =wD = 2Ω
A 'eq =1'µ
!
"##
$
%&&;beq =
1µ(0)
!
"##
$
%&&
A 'neq = I;bneq = 0
39'
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
sd.p
mu.p
BBVA
TEL
DIA
MASTER'EN'BANCA'Y'MERCADOS'FINANCIEROS'
Curso de R para Banca y Finanzas
Profesor: Vanesa Jordá Gil
Curso 2016/2017'
jordav@unican.es vanesajorda.com