Séptima SesiónSéptima Sesión

Postulados de la Mecánica Cuántica

ResumenResumen

• Parámetros característicos de las Parámetros característicos de las ondasondas

• Espectro electromagnéticoEspectro electromagnético• Espectros de absorción y de emisión Espectros de absorción y de emisión

de los átomosde los átomos• Radiación de un cuerpo negroRadiación de un cuerpo negro• Efecto fotoeléctrico: fotónEfecto fotoeléctrico: fotón• CuantizaciónCuantización

Resumen 2Resumen 2

• Modelo Atómico de BohrModelo Atómico de Bohr– Átomos hidrogenoides.Átomos hidrogenoides.– Es un modelo nuclear.Es un modelo nuclear.– Cuantización del momento angular del Cuantización del momento angular del

electrón.electrón.– Cuantización del radio de las órbitasCuantización del radio de las órbitas– Cuantización de la energía del electrón.Cuantización de la energía del electrón.– Niveles de energía.Niveles de energía.– Energías de ionización.Energías de ionización.– Transiciones electrónicas. Espectros.Transiciones electrónicas. Espectros.

Resumen 3Resumen 3

• Antecedentes de la Teoría Cuántica Antecedentes de la Teoría Cuántica ModernaModerna– Hipótesis de De BroglieHipótesis de De Broglie– Principio de Incertidumbre de Principio de Incertidumbre de

HeisenbergHeisenberg

Postulados de la Postulados de la Mecánica CuánticaMecánica Cuántica

Postulado 1Postulado 1• ““Para cada estado de un Para cada estado de un

sistema dinámico de N sistema dinámico de N partículas existe una función partículas existe una función de onda de onda ΨΨ que depende de las que depende de las coordenadas de las N coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al función de onda describe al sistema tan completamente sistema tan completamente como es posible”como es posible”

ΨΨ(x(x11,y,y11,z,z11,x,x22,y,y22,z,z22,…,x,…,xNN,y,yNN,z,zNN,t),t)

ComentarioComentario

• ΨΨ es una función de 3N+1 es una función de 3N+1 variablesvariables

• Todas la información acerca de Todas la información acerca de las propiedades de un estado de las propiedades de un estado de un sistema está contenida en la un sistema está contenida en la función de onda función de onda ΨΨ correspondiente a dicho estadocorrespondiente a dicho estado.

CorolarioCorolario

• ““Si las propiedades del sistema Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempode onda no depende del tiempo

ΨΨ(x(x11,y,y11,z,z11,x,x22,y,y22,z,z22,…,x,…,xNN,y,yNN,z,zNN))y se llama función de onda de y se llama función de onda de

estado estacionario” (3N estado estacionario” (3N variables).variables).

ComentarioComentario

• Es el caso de la energía en un Es el caso de la energía en un átomo.átomo.

• Los átomos no están irradiando Los átomos no están irradiando energía, de tal manera que no energía, de tal manera que no depende del tiempo.depende del tiempo.

Postulado 2Postulado 2

• ““Para cada observable del Para cada observable del sistema existe un operador que sistema existe un operador que reproduce el valor de la reproduce el valor de la propiedad si se aplica a la propiedad si se aplica a la función de onda”función de onda”

ObservablesObservables

• Observable es toda propiedad Observable es toda propiedad del sistema que se pueda medir, del sistema que se pueda medir, por ejemplo: la energía, el por ejemplo: la energía, el momento, la energía cinética; momento, la energía cinética; etc.etc.

OperadoresOperadores

• TransformacionesTransformaciones

• Regla de Regla de asociación entre asociación entre A y BA y B

• Si A números y Si A números y B números: B números: Función.Función.

• Si A funciones Si A funciones y B números: y B números: Funcional.Funcional.

• Si A funciones Si A funciones y B funciones: y B funciones: Operador.Operador.

A B

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

cx,,dx ,dx

d,

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

)(xf

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

)(xf• Extráigase la raíz cuadrada Extráigase la raíz cuadrada

de la función f(x).de la función f(x).

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

cx,,dx ,dx

d,

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

)(dx

dxf

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

)(dx

dxf

• Derívese la función f(x) con Derívese la función f(x) con respecto a la variable x.respecto a la variable x.

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

cx,,dx ,dx

d,

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

dx)(xf

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

dx)(xf• Intégrese la función f(x) con Intégrese la función f(x) con

respecto a la variable x.respecto a la variable x.

Por ciertoPor cierto

xx edxe

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

cx ˆ,ˆ,dx ,dx

d,

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

)(ˆ xfx

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

)(ˆ xfx• Multiplíquese la función f(x) Multiplíquese la función f(x)

por la variable x.por la variable x.

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

cx ˆ,ˆ,dx ,dx

d,

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

)(ˆ xfc

Operadores: EjemplosOperadores: Ejemplos

)(ˆ xfc• Multiplíquese la función f(x) Multiplíquese la función f(x)

por la constante c.por la constante c.

Operadores (3)Operadores (3)

• El operador es una orden o una El operador es una orden o una receta a seguir.receta a seguir.

• Esta orden se aplica a las Esta orden se aplica a las funciones y lo que se obtiene es funciones y lo que se obtiene es una nueva función.una nueva función.

Operadores (4)Operadores (4)

• A los operadores se les pone A los operadores se les pone sombrero.sombrero.

• Si queremos saber el valor Si queremos saber el valor de la propiedad Ade la propiedad A

ÂÂΨΨ=a=aΨΨ• Ecuación de valores propios Ecuación de valores propios

o eigenvalores: o eigenvalores:  es un  es un operador, operador, ΨΨ es una función y es una función y a es un número.a es un número.

¿Cómo se contruyen los ¿Cómo se contruyen los operadores en mecánica operadores en mecánica

cuántica?cuántica?

1.1. Se escribe la expresión clásica Se escribe la expresión clásica para el observable de interés en para el observable de interés en términos de coordenadas, términos de coordenadas, momentos y tiempo.momentos y tiempo.

2.2. Las coordenadas y el tiempo se Las coordenadas y el tiempo se dejan igual.dejan igual.

¿Cómo construir los ¿Cómo construir los operadores? (2)operadores? (2)

3.3. Para coordenadas cartesianas Para coordenadas cartesianas las componentes del las componentes del momento (pmomento (pqq) se reemplazan ) se reemplazan por el operador diferencialpor el operador diferencial:

1-i

qi

EjemploEjemplo

• Energía cinética (T). Una partícula Energía cinética (T). Una partícula en coordenadas cartesianas.en coordenadas cartesianas.

• Expresión clásica:Expresión clásica:

2mp

T

vm p mv; p

mv21

T

2

222

2

Ejemplo (cont.)Ejemplo (cont.)

• Poniendo p en términos de Poniendo p en términos de sus componentes:sus componentes:

2z

2y

2x ppp

2m

1T

Ejemplo (cont.)Ejemplo (cont.)

• Substituyendo las componentes Substituyendo las componentes de acuerdo al paso (3), se de acuerdo al paso (3), se obtiene el operador de energía obtiene el operador de energía cinética:cinética:

22

2

2

2

2

2

22

2mT

zyx2mT

zi

zi

yi

yi

xi

xi

2m

1T

El HamiltonianoEl Hamiltoniano

• El operador más importante en El operador más importante en mecánica cuántica es el operador de mecánica cuántica es el operador de energía total y se conoce como energía total y se conoce como operador de Hamilton o operador de Hamilton o Hamiltoniano:Hamiltoniano:

VTH

El Hamiltoniano (2)El Hamiltoniano (2)

• El operador de energía potencial El operador de energía potencial es un operador multiplicativo y es un operador multiplicativo y solo depende de las solo depende de las coordenadas de la partícula:coordenadas de la partícula:

i2

2

qV2m

-H

Ecuación de SchrödingerEcuación de Schrödinger

EH• Como el Hamiltoniano es distinto Como el Hamiltoniano es distinto

para cada sistema, existe una para cada sistema, existe una ecuación de Schrödinger ecuación de Schrödinger diferente para cada sistema.diferente para cada sistema.

Ecuación de Schrödinger (2)Ecuación de Schrödinger (2)

• La ecuación de Schrödinger es La ecuación de Schrödinger es una ecuación de valores una ecuación de valores propios (eigenvalores) y debe propios (eigenvalores) y debe resolverse para resolverse para ΨΨ y para E. y para E.

• El problema de la “Química El problema de la “Química Cuántica” es resolver la Cuántica” es resolver la ecuación de Schrödinger para ecuación de Schrödinger para sistemas de interés químico.sistemas de interés químico.

Postulado 3Postulado 3

• También se También se conoce como conoce como postulado postulado de Born.de Born.

• Max Born Max Born (1882-1970).(1882-1970).

• Premio Premio Nóbel en Nóbel en 1954.1954.

Postulado 3Postulado 3

• ““El cuadrado de la función de El cuadrado de la función de onda está relacionado con la onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región partículas en una cierta región del espacio”.del espacio”.

ComentarioComentario

• Funciones discretas y funciones Funciones discretas y funciones continuas.continuas.

• Diferencia entre contar y medir.Diferencia entre contar y medir.• ¿Qué es contar?¿Qué es contar?

ComentarioComentario

• Funciones discretas y funciones Funciones discretas y funciones continuas.continuas.

• Diferencia entre contar y medir.Diferencia entre contar y medir.• ¿Qué es contar?¿Qué es contar?

Contar es hacer una biyección con Contar es hacer una biyección con los naturales.los naturales.

Comentario (2)Comentario (2)

• Las mediciones pueden tomar cualquier Las mediciones pueden tomar cualquier valor en un rango dado (valor en un rango dado (y por lo tanto, y por lo tanto, existe un continuo de valoresexiste un continuo de valores).).

• En probabilidad:En probabilidad:– Discreto – Funciones de probabilidad Discreto – Funciones de probabilidad

discretas.discretas.– Continuo – Funciones de probabilidad o Continuo – Funciones de probabilidad o

densidades de probabilidad.densidades de probabilidad.

• Las funciones de probabilidad Las funciones de probabilidad determinan una distribución de las determinan una distribución de las probabilidadesprobabilidades

Función de probabilidadFunción de probabilidad

• Número que sale al tirar 2 Número que sale al tirar 2 dadosdados

• La probabilidad de todo el La probabilidad de todo el espacio es 1. P(S)=1espacio es 1. P(S)=1

P(1), P(6), P(3x7), P(3<x7), P(3x<7), (3<x<7), P(-x)

ContinuaContinua

ContinuaContinua

Probabilidad = Área bajo la curva

ContinuaContinua

b)xP(aF(a)-F(b)f(x)dx b

a

ContinuaContinua

Las probabilidades de puntosson cero, ya que

a

a0F(a)-F(a)f(x)dx

ContinuaContinua

Probabilidad de todo el espacio

1f(x)dx

Comentario (3)Comentario (3)

• Ambas determinan una Ambas determinan una distribución de probabilidad.distribución de probabilidad.