S UMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISIￓN DE POLINOMIOS.

Álgebra: II semestre Grupos: E, F, G, H. ING. JOSE J. BALAN CHI 2007

S u m a

Suma de polinomios

P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna3. Se reducen los términos semejantes:a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativosc. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y bd. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

Hallar la suma de:

1 | P á g i n a C E T M A R 1 5 C O A T Z A C O A L C O S V E R

Hallar la suma de:

S u m a

Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios

1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada uno con su respectivo signo4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signosNota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo común denominador (m.c.d.)

Hallar la suma de:

S u m a

Suma de polinomios y valor numérico

1. Se ordenan los polinomios2. Se suman los polinomios3. En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 4. Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado

Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.

R e s t a

Resta de monomios

1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado3. Se reduce la expresión resultanteNota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

Restar:

R e s t a

Resta de polinomios

1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultanteNota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.

Restar:

Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios

1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultanteNota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)

Restar:

R e s t a

Resta de polinomios y valor numérico

1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultante4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico5. Se simplifica aritméticamente el resultado

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)

Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5:

Signos de agrupación

Supresión de signos de agrupación

Procedimiento

Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera:

1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que estaban agrupados por él no cambian de signo2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que estaban agrupados por él cambian de signo3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los términos semejantes

Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:

Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +:

Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo -:

Multiplicación

Multiplicación de monomios

1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")2. Se multiplican los coeficientes numéricos3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

M u l t i p l i c a r :

Multiplicación

1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto"3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

E f e c t u a r :

Multiplicación

Producto continuado de monomios

1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el número de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el número de signos menos es par el producto es positivo2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionarios se efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto"3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

M u l t i l p l i c a r :

M u l t i p l i c a c i ó n

Multiplicación de polinomios por monomios

1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden:a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos"b. se multiplican los numeros entre si. c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y, sumando los exponentes respectivos ...2. Se ordena el polinomio resultante

Multiplicación de polinomios por monomios

1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden:a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos"b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los numeradores; denominador, producto de los denominadoresc. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun y, sumando los exponentes respectivos ...2. Se ordena el polinomio resultante

Multiplicación de polinomios por polinonomios

1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna6. Se reducen los términos semejantes

Ley de los signos+ por + da ++ por - da -- por + da -- por - da +

Propiedad en el producto de potencias

Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.

Multiplicación de polinomios con coeficientes separados

1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna6. Se reducen los términos semejantesNota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los denominadoresNota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.d.)

M u l t i p l i c a c i ó n Multiplicación por coeficientes separados

1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un término3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de las letras de los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador

Multiplicar por coeficientes separados:

Producto continuado de polinomios

1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se multiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningún factor2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna6. Se reducen los términos semejantesNota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos primeramente dicho monomio por uno de los paréntesisNota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el monomio por cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en cuenta la "ley de los signos"

S i m p l i f i c a r :

Multiplicación combinada con suma y resta

1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término del multiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos)2. Se reducen los términos semejantesNota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio":

Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por la diferencia de dos cantidades":

Supresión de signos de agrupación con productos indicados

1. Se suprimen los signos de agrupación más internos2. Se reduce3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, se reduce; y así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación

POTENCIACIÓN O ELEVACIÓN A POTENCIAS.DEFINICIONES: Es la Transformación de la multiplicación de varios números iguales, en un solo número natural llamado “POTENCIA”.Es una operación de composición que tiene por objeto hallar las potencias de un número.

PotenciasEs el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.. De este modo la notación de la potencia n-ésima de a , se expresa por an y se define simbólicamente por:

exponente

“Potencia enésima de a”→ an = a a a ... a

n veces

Exponente

Base an = b Potencia

Ejemplo. (1) 23 = 2 2 2 = 8 “8 es la potencia cubica de 2”

(2) 52 = 5 5 = 25 “25 es la potencia cuadrada de 5”

Ejercicios resueltos: Determina por definición las siguientes potencias:

(1) 25 = 2 2 2 2 = 32 (3) (–1)5 = -1 -1 -1 -1 -1

(2) 34 = 3 3 3 3 = 81 (4) (½)4 = ½ ½ ½ ½

Observación:

1. Las potencia numéricas. Son aquellas que su base y su exponente es un número.

2. Los números cuadrado perfecto. Son aquellos que son potencias cuadradas de un número natural.(ej.: 4, 9, 16, 25, 36, ….)

3. No existe valor numérico real para la potencia de base cero y exponente cero.

Propiedades de las PotenciasPropiedad Ejemplo

1. 23 22 = a3 + 2 = 25

x3 . x4 = x7

2. (a 0)

Si “n” “m”

an : am = 1/am-n (a 0)

Si “m” “n”

3. 24 34 = (2 3)4 = 64

X2 . y2 = ( x . y )2

4. (b 0)

5. (a 0) 100 = 1

b 0 =1

( 2x . 3y )2 = 4x2 . 9y2

7. (b 0)

9. (a 0)

RADICACIÓN.

Es una operación inversa a la potenciación; consiste en hallar un número llamado Raíz, que elevado a una Potencia de exponente igual al Índice, resulte el número objeto de la operación que se denomina Radicando.

La radicación, consiste en que conociendo la potencia y el exponente, se halla la base.

Radical

Índice (orden) Raíz (resultado del radical )

Radicando o Subradical.(cantidad afectada por el radical)

Se lee “ La raíz enésima (n) de “a”

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE POTENCIACIÓN.

Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que después de 1 hora queda la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento hay 320 gramos de la sustancia, ¿Cuánto quedará después de 8 horas?

Granos que quedan.

Inicio: 0 horas

Después de 1 hora

Después de 2hora

Después de 3 hora

“ “

Después de 8 horas.

Observemos que el exponente de ½ es el mismo que el número de horas durante las que ha estado decayendo la sustancia. Si continúa la misma pauta, llegamos a la conclusión

que después de n horas quedan:

Los exponentes se pueden emplear para representar números muy grandes y muy pequeños de un modo conciso. Por Ejemplo:

La distancia de la Tierra al Sol es, aproximadamente, 150, 000, 000 = 1.5 x 108.

También un Microscopio óptico recién desarrollado puede diferenciar detalles hasta de unos 12 nanómetros o mil millonésimos de metro. Esto es, en notación científica.

0.0000000012= 1.2 x 10-8

Ejercicios.

1. Suponga que una sustancia decae de tal modo que ½ de ella queda después de una hora. Si había 640 gramos al inicio. ¿ Cuánto queda después de 7 horas?.

R= 5 Gramos, 640 (1/2 )n

2. Si una cuerda tiene 243 pies ( 30.48 cm.) de longitud y se cortan sucesivamente 2/3De longitud. ¿Cuánto queda después de 5 cortes?

R= 32 pies, 243 ( 2/3)n

3.- Si la distancia entre el sol y la tierra es de aproximadamente 9.3 x107 millas, y si la luz viaja a una velocidad de 1.86 x 105 mill/seg. , vemos al sol tal como estaba hace pocos minutos .

¿Cuántos?.

D i v i s i ó n

División de monomios

1. Se aplica la ley de los signos2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

Dividir:

D i v i s i ó nDivisión de polinomios por monomios

1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera:3. Se aplica la ley de los signos4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

D i v i d i r :

D i v i s i ó nDivisión de polinomios por monomios

1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera:3. Se aplica la ley de los signos4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"

6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

D i v i d i r :

D i v i s i ó n

División de dos polinomios

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ...7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Dividir:

D i v i s i ó n

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ...7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece

D i v i d i r :

D i v i s i ó n

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ...7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece

D i v i d i r :

División de polinomios con coeficientes fraccionarios

Dividir:

D i v i s i ó n

División de polinomios por el método de coeficientes separados

P r o c e d i m i e n t o1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0 donde falte algún término3. Se efectúa la división con los coeficientes4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente del primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente

Dividir por coeficientes separados:

P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s

Productos notables

BINOMIO AL CUADRADO

(Suma o resta de 2 cantidades al cuadrado)

a.-) Identificación:

b.-) Regla: (Desarrollo mental)

El primer término al cuadrado, más (o menos) el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2

Escribir por simple inspección, el resultado de:

Ejercicios propuestos:

Desarrollar cada binomio al cuadrado:

CUBO DE UN BINOMIOCUBO DE UN BINOMIO

Regla de la Suma: El cubo de la suma de dos cantidades, es igual a, la primera cantidad elevada al cubo, más tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, más tres veces la primera cantidad por la segunda cantidad elevada al cuadrado más la segunda cantidad elevada al cubo.

Regla de la Diferencia: El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual a la primera cantidad elevada al cubo, menos tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, más tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado, menos la segunda cantidad elevada al cubo

Para la resta será:

Entonces:

EJERCICIOS resueltos:

Tarea: Desarrollar los diez primeros problemas del ejercicio número 66 del libro de Álgebra de “Baldor” Pág. 104.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS.

(Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades)

1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

Productos notables

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1)2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

CUBO DE UN BINOMIOCUBO DE UN BINOMIO

Regla: El cubo de la suma de dos cantidades, es igual a, la primera cantidad elevada al cubo, más tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, más tres veces la primera cantidad por la segunda cantidad elevada al cuadrado más la segunda cantidad elevada al cubo.

Cubo de un binomio

1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3:2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda"3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda"4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

Para la resta será:

Entonces:

Regla: El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual a la primera cantidad elevada al cubo, menos tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, más tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado, menos la segunda cantidad elevada al cubo.

EJERCICIOS resueltos:

Tarea: Desarrollar los diez primeros problemas del ejercicio número 66 del libro de Álgebra de “Baldor” Pág. 104.

Sistemas de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas

Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones.1) Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).2) Método de igualación.3) Método de sustitución.

Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).

Ejemplo: 6 x – 7 y = 5

8 x – 9 y = 7

1er Paso: Multiplicamos las 2 ecuaciones por un “número” (resultado del m.c.m. entre ellos), para igualar el valor numérico de los coeficientes de la incógnita “x” en las 2 ecuaciones.

6 x – 7 y = 5 ..... m.c.m. = 24

8 x – 9 y = 7

6 x – 7 y = 5 ..... ( x 4)

8 x – 9 y = 7 ..... ( x 3)

24 x – 28 y = 20

24 x – 27 y = 21

2do Paso: Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incógnitas "x"; luego resolvemos la ecuación.

24 x – 28 y = 20

–24 x + 27 y = –21

– y = –1 ..... ( x –1)

3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor de la incógnita "x"; o bien se calcula está incógnita repitiendo los pasos anteriores.

6 x – 7 y = 5

6 x – 7 . (1) = 5

6 x – 7 = 5

6 x = 5 + 7

6 x = 12

Por último; el conjunto solución es: 2 ; 1 .

Ejercicio de Aplicacuión

Método de igualación.

Ejemplo:

1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de cada una de las ecuaciones dadas.

x = 10 – 3 y 4

x = 4 – 5 y 8

2do Paso: Igualamos las incógnitas "x"; luego resolvemos la ecuación.

3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones despejadas para obtener el valor de la incógnita "x".

y 5 4 x 8

m.c.m y 4

5 1 x 2

5 x 2 10 y 3 x

76 y 19

1 76 y 19

80 4 y 5 y 24

y 5 4 y 24 80

y 5 4 y 3 10 8

m.c.m 8

y 5 4 y 3 10

20 4 x 12 10 x

4 5 4 x 4 3 10 x

y 5 4 x y 3 10 x

:también o

x = – 2

Por último; el conjunto solución es: – 2 ; 4 .

Método de sustitución

Ejemplo: x + 2 y = 9

3 x – y = 13

1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de una de las ecuaciones dadas.

x + 2 y = 9

x = 9 – 2 y

2do Paso: Reemplazamos la incógnita "x", en la otra ecuación dada; para obtener el valor de la incógnita "y".

3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en la 1ra expresión obtenida; para obtener el valor de la incógnita "x".

x = 9 – 2 y

x = 9 – 2 . (2)

x = 9 – 4

Por último; el conjunto solución es: 5 ; 2 .

S UMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISIￓN DE POLINOMIOS.

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