Ruido más allá de las orejas: Procesos

estocásticos en biología

Raúl ToralInstituto Mediterráneo de

Estudios Avanzados(IMEDEA, CSIC-Universitat de les

Illes Balears)Palma de Mallorca

- P.Simon de Laplace en 1814, en su Théorie analytique des probabilités, escribe:

Debemos considerar el estado presente del universo como el efecto del estado anterior y como la causa del que le seguirá. Una inteligencia que en un instante dado conociera todas las fuerzas presentes en la naturaleza y la situación respetiva de los seres que la componen, y que fuera por otra parte suficientemente amplia como para someter esos datos al análisis, incluiría en la misma fórmula los movimientos de los cuerpos mayores del universo, así como los del átomo más ligero; nada sería incierto para ella y tanto el futuro como el pasado le sería visible.

La física se presenta como el paradigma del determinismo:

-Movimientos de planetas, predicción de eclipses, péndulos, relojes, planos inclinados, etc.

-La mecánica cuántica (principio de incertidumbre de Heisenberg) pone límites a la precisión del conocimiento de la condición inicial.

-Comportamiento caótico (efecto mariposa) pone límites al horizonte de predicción.

-En los sistemas más “pequeños” tenemos una cantidad inimaginable de coordenadas,

€

N ≈1023

Este punto de vista no es correcto

Si los átomos fuesen céntimos de euro, el aire de esta habitación daría más de un billón de euros a cada persona del mundo.

Un nuevo punto de vista empezó cuando Robert Brown (1828) observó un movimiento errático en pequeñas partículas disueltas en agua.

Remarks on Active Molecules (1829)

On the general Existence of active Molecules in Organic and Inorganic Bodies.

In the first place, I have to notice an erroneous assertion of more than one writer, namely, that I have stated the active Molecules to be animated […] I have remarked, that certain substances, namely, sulphur resin, and wax, did not yield active particles, which, however, proceeded merely from defective manipulation; for I have since readily obtained them from all these bodies.

That extremely minute particles of solid matter, whether obtained from organic or inorganic substances, when suspended in pure water, or in some other aqueous fluids, exhibit motions for which I am unable to account, and which from their irregularity and seeming independence resemble in a remarkable degree the less rapid motions of some of the simples animalcules of infusions. That the smallest moving particles observed, and which I have termed Active Molecules, appear to be spherical, or nearly so, and to be between 1-20,000dth and 1-30,000dth of an inch in diameter; and that other particles of considerable greater and various size, and either of similar or of very different figure, also present analogous motions in like circumstances.

Consideraciones sobre moléculas activas (1829)

Sobre la existencia general de moléculas activas en cuerpos orgánicos e inorganicos

En primer lugar, tengo que corregir una afirmación de algunos autores, concretamente que yo he dicho que las moléculas activas están animadas […] He asegurado que algunas sustancias tales como azufre, resina y cera, no produjeron partículas activas, lo que, sin embargo, tenía su explicación en una mera manipulación defectuosa; de hecho, fui después capaz de obtenerlas de todas esas sustancias.

Que partículas extremadamente pequeñas de materia sólida, obtenidas a partir de sustancias orgánicas o inorgánicas, cuando están suspendidas en agua pura, o en algún otro fluido acuoso, muestran movimientos que no sé explicar, y que en su irregularidad y aparente independencia, se parecen remarcablemente a los movimientos menos rápidos de algunos de los animálculos más sencillos en infusiones. Que las partículas más pequeñas observadas, y que he llamado moléculas activas, parecen ser aproxidamente esféricas y tienen un diámetro entre 1 y 2 micras, y que otras partículas mayores y de diversos tamaños, del mismo o diferente aspecto, también presentan movimientos análogos en circunstancias parecidas.

“Pequeñas partículas en un gas ejecutarán movimientos debidos a que la presión en la superficie de las partículas puede fluctuar.”

Albert Einstein, en su “annus mirabilis” (1905) presentó la primera explicación convincente del movimiento browniano:

“[…] según la teoría cinético-molecular del calor, cuerpos de tamaño visible pero microscópico suspendidos en un fluido efectuarán movimientos de tal magnitud que se puedan observar fácilmente en un microscopio. Es posible que esos movimientos sean idénticos con el denominado movimiento molecular browniano”.

Ludwig Boltzmann (1896) ya tenía una idea del origen de este errático movimiento:

Einstein considera posiciones r separadas por un tiempo

Los valores de r se determinan según una cierta probabilidad.

Sea p() la probabilidad de que una partícula se desplace una distancia en el tiempo .

€

n(r, t + τ ) = n(r − Δ, t)p(Δ)dΔ∫

Einstein, en un sencillo desarrollo, llega a la ecuación de difusión:

€

∂n

∂t= D∇ 2n

De donde concluye que:

€

⟨r(t)⟩= 0

⟨r(t)2⟩= 6Dt

Una predicción teórica comprobada por Jean Baptiste Perrin.

El punto de vista de Paul Langevin.

Usar la ley de Newton con una fuerza aleatoria.

€

rF =

r F ext − γ

r v +

r ξ (t)

Descomponer la fuerza que actúa sobre la partícula en una componente determinista y otra estocástica.

€

rξ (t) = (ξ x (t),ξ y (t),ξ z(t))

El ruido representa aquella parte de la fuerza que no se puede conocer con total precisión.

La parte estocástica se conoce como “ruido”.

-Gaussiano.-Media y correlaciones:

€

⟨ξ i(t)⟩= 0; ⟨ξ i(t)ξ j (t ')⟩= δ ijC(t − t')

-Se supone un decaimiento exponencial de las correlaciones:

€

C(t − t') =D

2τe−| t−t '| /τ

Ruido blanco:

t-t’

Del ruido basta con dar sus propiedades estadísticas:

€

→ 0⇒ C(t − t') = Dδ(t − t ')

Se reobtienen las predicciones de la teoría de Einstein:

€

⟨ r

r (t)⟩=0

€

⟨ r

r (t)2⟩=6kT

γt

Permitió una medida de la constante de Boltzmann k

Fue la demostración definitiva de la existencia de los átomos.

Base de datos del ISI: Más de 50,000 referencias con la palabra “noise” en el título.

En revistas de la American Physical Society, más de 1,000 entradas con “noise” en titulo o resumen en los últimos 3 años.

-Circuitos eléctricos (donde se oye el ruido).

-Circulación oceánica y modelos de predicción del tiempo

-Emisión de luz láser

-Crecimiento de superficies

-Dinámica de poblaciones y epidemias

-Reacciones químicas

-Neuronas

- ……

Desde entonces, se escucha ruido en todas partes:

-Dinámica de poblaciones (epidemias).

-Mutaciones en la reproducción del ADN

-Dinámica del Ca2+ inter/intra-celular

-Sistema neuronal

Corrientes eléctricas con muchas conexiones y mucho ruido.

En biología el ruido está presente en muchos sitios:

Algunos de los efectos locales causados por el agrupamiento de la infección se pueden modelar mediante aproximaciones deterministas. Sin embargo, para explorar la completa dinámica espaciotemporal de la epidemia, en particular, el comportamiento altamente irregular en las colas de la epidemia, usamos un modelo espacial estocástico, basado en granjas individuales.

Evolución de la concentración de calcio intercelular.

En circuitos eléctricos, por ejemplo, se procura reducir todo lo que sea posible.

El ruido tiene, intuitivamente, un efecto desordenador.

No hay ruido que sea bueno

El ruido no siempre es querido.

Reduces noise to near thermal.“Ruido

interno”

-Rectificación de fluctuaciones (efecto carraca o “ratchets”)

-Resonancia estocástica

-Coherencia estocástica

-Sincronización inducida por ruido

-Transiciones de fase inducidas por ruido

Hay situaciones en que las fluctuaciones pueden inducir algún tipo de movimiento ordenado o mejorar la respuesta a estímulos externos.

Transporte de kinesina a lo largo de microtúbulos.

Relacionado con el efecto ratchet y con la paradoja de Parrondo (combinación de dos juegos perdedores resulta ganadora).

Rectificación del ruido.

La frecuencia fantasma.

Cuando suenan dos frecuencias, f0 y f1, el oído escucha una tercera frecuencia f.

Resonancia estocástica[Gammaitoni et al., Rev. Mod. Phys. 70 (1997) 223]

Una resonancia estocástica es un fenómeno en el que un sistema nolinearestá sujeto a una señal modulada periódicamente tan débil que no seria normalmente detectable, pero se hace detectable debido a la adición de una débil fuerza estocástica.La explicación radica en una resonancia entre el tiempo característico de la señal de entrada y alguna escala temporal de la dinámica inducida por ruido.

Clima en la tierra muestra periodos glaciares y cálidos

Mecanismo propuesto para explicar la periodicidad entre eras glaciales y de clima templado

~ 105 años

coincide con el período de cambio en la excentricidad de la órbita terrestre

cambio de la energía recibida

12 %insuficiente

[Benzi et al., J. Phys. A. 14 (1981) L453] [Nicolis, Sol. Phys. 74 (1981) 473]

T

Tg Tt

Modelo biestable para la temperatura global...

Efecto del cambio de la excentricidad terrestre…

T

Tg Tt

…modulación periódica…

T

Tg Tt

…modulación periódica…

Efecto del cambio de la excentricidad terrestre…

Variaciones rápidas de radiación recibida...

…modeladas por ruido gaussiano…

T

Tg Tt

…Existe una intensidad de ruido óptima tal que la débil señal de la excentricidad es amplificada…

T

Tg Tt

Ingredientes del modelo...

Biestabilidad

Modulación peródica

Ruido

Mecanismo del fenómeno

sistema biestable

señal periódica…débil…

ruido…gaussiano blanco…

Mecanismo del fenómeno

-

A es tal que los pozos no desaparecen

…dinámica subumbral…

Mecanismo del fenómeno

-

En presencia de ruido, existensaltos de acuerdo a la ley de Kramers

Si D es demasiado bajo, Los saltos son esporádicos

Mecanismo del fenómeno

-

Si D es demasiado alto, gobierna la dinámica

En presencia de ruido, existensaltos de acuerdo a la ley de Kramers

Mecanismo del fenómeno

-

Cuando se satisface que

la sincronización entre la señal externa y la dinámica, es óptima

~

( )t1η ( )t2η ( )tξt ( )tσξ ( )30/2sin5.0 tπ( )tx

( )t1η

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

1600 1700 1800 1900 2000

t

output signal

input signal?5.0=σ

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

1600 1700 1800 1900 2000

t

75.1=σ

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

1600 1700 1800 1900 2000

t

0.3=σ

Señales de entrada y salida para diferentes intensidades de ruido.

Un modelo genérico

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 1 2 3

3.0

0.5

1.75

0/ ff

( )( )txFT

€

dx t( )dt

= −x t( )3

+ bx(t) + Asin 2πf0t( ) + ξ t( )

SNR

Resonancia estocástica

Amplificación de señales sum-umbrales debido al ruido

D

SNR

Ejemplo: Sistema láser

Ejemplo: Sistema electrónico

Amplificador controlado por ruido

Resonancia estocástica en un sistema sensorial

Procambarus clarkii

SR in Real Life !!

Noise can increase the detectability of weak signals.

'

Stochastic resonance within the Stochastic resonance within the Human BrainHuman Brain

'

K.Kitajo et al. Phys.Rev.Lett. 90 (2003) 218103

T.Mori i S.Kai, Phys.Rev.Lett. 88 (2002) 218101

Conclusiones-Repaso a la visión de Einstein del movimiento browniano.

-Definición de ruido como términos en las ecuaciones dinámicas descritos probabilísticamente.

-El ruido puede tener un efecto ordenador:

-Transporte inducido por ruido

-Transiciones inducidas por ruido

-Transiciones de fase inducidas por ruido

-Coherencia estocástica

-Dependencia con el tamaño

- ………………………

-Resonancia estocástica mejora la sincronización a un forzamiento externo en presencia de ruido.

No hay ruido bueno…

Pero algunos ruidos son mejores que otros.