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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN
I. E. RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS
TRUJILLO – PERÚ 2009
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
Tercer Trimestre
Inicio:
Término:
Docente: Jorge Yáñez Díaz
20 setiembre 2010
18 de diciembre del 2010
Alumno(a): ..................................................................... Sección: ...... Nº de orden: .......
Dirección: ....................................................................... Teléfono: ..................................
Correo electrónico: .........................................................
Horario de clases
Día
Hora Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
7:00 – 7:45
7:45 – 8:30
8:30 – 9:15
9:15 –10:00
10:00 – 10:20 R E C R E O
10:20 – 11:05
11:05 – 11:50
11:50 – 12:35
………………………………………….. ………………………………….. …………………………………………
Ms. Emilio Fernández Lic., Jorge Yáñez Díaz Lic. Ladislao castillo Tuya
Coordinador Académico Docente del curso Asesor del área
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
1
Unidad III
Notación funcional
Problemas sobre segmentos
Problemas sobre ángulos
Problemas sobre triángulos
Problemas sobre circunferencias
Problemas sobre Áreas y perímetros
Comprender, interpretar, formular y resuelve creativamente situaciones problemáticas
empleando la teoría de funciones.
Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas
empleando las relaciones métricas en el triangulo.
Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas
empleando las relaciones métricas de los segmentos.
Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas
empleando las relaciones métricas de los ángulos.
Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas
empleando las relaciones métricas en la circunferencia.
Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente problemas sobre áreas y
perímetros de elementos geométricos.
Demuestra perseverancia en la búsqueda de soluciones.
Valora la utilidad de las propiedades de las operaciones en la solución de situaciones
problemáticas.
Muestra seguridad y confianza en la aplicación de algoritmos.
Resuelve los problemas de más de una forma.
Realiza sus trabajos con orden y limpieza en su cuaderno y su módulo.
Contenidos
Aprendizaje esperado
Actitudes ante el curso
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
2
Introducción
Una de las características innatas del ser humano es la capacidad de razonar, pues tal capacidad se
activa frente a los estímulos que proporcionan el medio conjuntamente con las necesidades que se
presenten, lo cual en muchos casos desarrollan una aptitud para la matemática. En tal sentido
podemos decir que existe la posibilidad de educar a esta capacidad, que gracias a ello nos permitimos
orientar nuestro pensamiento para analizar situaciones y resolver situaciones problemáticas
La asignatura de Razonamiento Matemático es un complemento de la asignatura de Matemática, pues
su desarrollo en la formación académica del estudiante rafaelino, no sólo va a cubrir una exigencia
académica actual establecida por las instituciones educativas de nivel superior, sino también va a
desarrollar en los estudiantes la capacidad de razonar y pensar lógicamente de manera creativa,
haciendo uso de sus propias experiencias y de los principios y conceptos básicos de la matemática en
la solución de situaciones problemáticas en general.
El presente módulo de trabajo ha sido elaborado para que el alumno de quinto año tenga una
información teórica básica, la cual la analizará y en algunos casos realizará las demostraciones
respectivas para conocer el por qué de la teoría. Posteriormente la ejercitación y práctica con los
ejemplos que se desarrollarán en clase permitirán tener un mejor entendimiento y comprensión del
tema desarrollado.
Durante la conducción del proceso de aprendizaje del educando en el curso de Razonamiento
Matemático se le orientará para que:
Utilice con propiedad el lenguaje, conceptos y términos matemáticos, expresándose con
libertad y autenticidad.
Desarrolle su capacidad de pensar y razonar creativamente con autonomía, respetando las
ideas y expresiones ajenas.
Tome conciencia que la matemática contribuye al desarrollo de las capacidades intelectuales
que le permitirán actuar críticamente, creativamente y responsablemente en su realidad
natural y social para transformarla adecuadamente para el beneficio personal y de la sociedad.
Valore a la matemática como un aporte indispensable en el desarrollo de la ciencia en general y
la tecnología.
El autor
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
2
NOTACIÓN FUNCIONAL
Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas empleando la teoría de relaciones y funciones.
En muchas situaciones con frecuencia existen
ciertas relaciones entre dos o más conjuntos
numéricos, por ejemplo la ganancia “g”
generada por la venta de “x” artículos a un
precio “p” cada uno se puede expresar :
g = px , luego si conocemos la cantidad de
artículo vendidos , entonces podemos calcular
la ganancia por medio de la regla de
correspondencia g=px , esta regla es un
ejemplo de función.
Al parecer la palabra función fue introducida
por René Descartes en 1637
aproximadamente, para él una función
significaba tan solo cualquier potencia entera
positiva de una variable x .
Posteriormente Gottfried Wilhelm Von
Leibniz ( 1646-1710), quien siempre enfatizó
el lado geométrico de las matemáticas, utilizó
la palabra función para denotar cualquier
cantidad asociada con una curva . Estas
ideas ahora en nuestra era están bien
definidas y su aplicación es muy amplia, por
ejemplo: el salario de una persona puede
depender del número de horas que está
trabajando, la producción total de una fabrica
está en función del número de maquinas
empleadas, la distancia recorrida por un
objeto puede depender del tiempo empleado
desde que abandonó un punto específico, es
volumen del espacio ocupado por un gas a
presión constante está subordinado a la
temperatura del gas, etc. La relación de tales
cantidades con frecuencia está determinada
por los conceptos más importantes en las
matemáticas, fundamentalmente para el
estudio del cálculo y las aplicaciones que
ésta tiene en nuestra vida cotidiana.
FUNCIÓN
Definición: Se define como función al
conjunto de pares ordenados de números
reales (x,y) en los cuales dos pares
ordenados distintos no tienen el mismo primer
componente.permisibles de “x” (dominio) de
la función y el conjunto de todos los valores
resultantes de “y” se conoce como
contradominio o rango de la función.
Ejemplo 01
Sea la función definida por: y = 4x2 ;
debido a que los números estan restringidos
en R, es decir “y” es una función de “x” sólo
para x 2 o bien x -2 el dominio de f es:
- ; -2] [ 2 ; + ; y su rango es [ 0 ; + .
Ejemplo 02
Dado que f es una función definida por :
f(x) = x2 +5x –4
Calcule: a)f(o) b) f(2) c) f(2h) d) f(-1/5)
Resolución
a) f(0) = 0 +5(0) –4 = -4
b) f(2) = 22+ 5(2) –4 = 10
c) f(2h) = (2h)2 + 5(2h) –4 = 4 h2 + 10h –4
d) f(-1/5) =(-1/5)2 +5(-1/5)-4= 25
124
Aprendizaje esperado
x2
x3
x4
x1
y2
y1
y3
.
.
.
.
.
.
.
.
..
f
Dominio Rango
(figura 1)
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
3
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN LINEAL
Es aquella función con dominio R y cuya
regla de correspondencia es de la forma:
f(x) = mx + b.
donde “m” y “b” son constantes y m 0.
Su gráfica es una línea recta no vertical con
pendiente m = tan y su ordenada en el
origen es b. Una función lineal es creciente
si m > 0, decreciente si m < 0 y constante si
m = 0.
f(x)
b
Y
X0
Ejemplo 03
Sea f(x)=x + 3 una función lineal. Construya
la gráfica respectiva y encuentre el ángulo
de inclinación de dicho lugar geométrico.
Resolución
Primero construimos la gráfica de la función
f(x) = x + 3 para esto, buscamos los puntos
que interceptan a los ejes del plano
cartesiano, es decir:
Si x = 0, entonces y = f (0) = 3, luego y = 3
Entonces un punto de intersección es (0 , 3)
También hacemos f(x) = y = 0 entonces 0 =
x + 3, luego x = -3
Luego el otro punto de intersección es(-3 , 0)
f(x)
= x
+ 3Y
X0
Para calcular la medida del ángulo de
inclinación ( )
En el gráfico observamos que tan = 1
Sabemos por trigonometría que:
tan -1 1 = = 45º .
Por lo tanto, la inclinación de la recta es 45º.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Es aquella función con dominio R y
definida por la regla de correspondencia:
f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son
constantes y a 0.
Su gráfica es una parábola simétrica con
respecto a una recta vertical x = a2
b ,
llamada eje de la parábola. Esta abre hacia
arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0 , su
vértice está dado por el par ordenado
)a2
b(f ,
a2
b.
Y
X0
V )a2
bf( ,
a2
b( )
)a2
bf(
a2
b
a > 0
.
Y
X0
V )a2
bf( ,
a2
b( ))
a2
bf(
a2
b
a < 0
.
Ejemplo 04
Sin construir la gráfica, determinar el vértice
y el eje de la parábola definida por f(x) = -3x2
+ 6x + 1 y determinar si se abre hacia arriba
o hacia abajo.
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
4
Y
X0
f(x) = 2x
Resolución
Para esta función cuadrática a = -3 ; b = 6
y c = 1, luego la abscisa x del vértice está
dada por: 16
6
32
6
a2
bx
Por tanto la ordenada del vértice es:
41631fa2
bf
En consecuencia, el vértice está ubicado en el
punto (1; 4).
El eje de simetría de la parábola es la recta
1a2
bx luego como a = -3 < 0 , la parábola
Se abre hacia abajo.
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Es aquella función con dominio R, cuya regla
de correspondencia es:
f(x) = | x | =
Los elementos de la función f(x) = x son
pares ordenados (x, |x|) donde x R y su
gráfica es la unión de dos partes de las
f(x) = x y f(x) = -x
Y
X0
f(x)
= xf(x) = - x
Ejemplo 05
Construya la gráfica de la función
f(x) = 1x – 3 y determine su dominio y su
r rango.
Resolución
Despejamos el valor absoluto así:
f(x) + 3 = 1x , asumimos que f(x) = y, luego
por definición se tiene:
f(x) + 3 0 [y + 3 = x – 1, si x 1 ó
y + 3 = -x + 1 si x < 1]
y -3 [y = x – 4 si x 1 ó y = -x -2
si x < 1]
La gráfica de f(x), es la unión de dos rectas
cuyos puntos son simétricos a la recta x = 1.
Y
X0
y = - x - 2y =
x -
4x =
1
V(1; -3)
Dom f(x) = R ; Ran f(x) = [-3;
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función exponencial es una función de la
forma f(x) = ax , donde a R y a 1
El dominio de la función f(x) es el conjunto de
todos los números reales.
Ejemplo 06
Grafica función exponencial f(x) = 2x
Dom f(x) = R; Ran f(x) = [0; +
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica de base “a”, donde
a > 0 y a 1 se denota por: f(x) = loga x
si y sólo si x = af(x) (y = loga x x = ay)
x, si x 0
– x, si x < 0
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
5
Y
X
y = ax
y = log a x
y = x
Características de esta función.
- La intersección de la gráfica con el eje X es
en 1.
- No existe intersección con el eje Y.
- El eje Y es una asíntota vertical de la
gráfica.
- La función logarítmica es decreciente si 0 <
a < 1 y creciente si a > 1.
Observación:
Como las funciones exponencial y
logarítmica son inversos entre si, la gráfica
de una función logarítmica y = log ax es la
reflexión de la gráfica de la función
exponencial y = ax con respecto a la función
identidad y = x.
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Es aquella función con dominio en el
conjunto de los números reales positivos y
cuya regla de correspondencia es:
f(x) = x , x 0
Sus elementos del conjunto de la función
raíz cuadrada son pares ordenados de la
forma (x , x ), si x 0.
Ejemplo 07
Construir la gráfica de f(x) = 2x y
determinar su dominio y rango.
Resolución
Sea y = 2x y tal que x 2 , luego
dominio de la función Y= 2x es: [ 2, +
Así también como f(x) 0 , x Dom f(x)
entonces el rango es [0 , + , y su gráfica
es una rama de la parábola horizontal
TALLER Nº 01
INSTRUCCIÓN: Escribe en tu cuaderno de práctica los ejercicios propuestos y resuélvelos en forma ordenada y coherente.
1. Identifica de los siguientes conjuntos de
pares ordenados los que son funciones
I) { (2,1) , (1,5) , (0,0) , (6,2) }
II) { (-3,1) , (-3,0) , (4,2) , (7,5) }
III) { (-5,2) , (1,2) , (3,2) , (5,2) , (7,2) }
IV) {(0, 2 ) , (2
3,
2
1), (5,2) , (7,2) ,(0,5 ; 0,5) }
a) I y III b) II y III c) III y IV
d) III, IV y I e) I, II, III
2. Indique el rango de la función f, si f tiene
como dominio {-1, 3, 6, 7} y como regla de
correspondencia: f(x) = x2 - 2x
a) {-1, 3, 24, 35 } b) { 3, 24, 35 } c) {-3, 3,
24, 35} d) {-3, 14, -35} e) {-1, 12, -35}
3. Sea f la función:{(1,5),(2,6),(-2,2),(3,7)
Luego el valor de : f(1) +f(2) +f(3) es:
a) 18 b) 16 c) 15 d) 14 e) 20
4. Señale el dominio de la función:
)2x(xf
a) <- , 0> <1, > b) <- , 0] [1, >
c) <- ,0] [2, >
d) <- , > e) <- , 1]
2x)x(f
Y
X0 21 3 4 5 6 7
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
6
5. Respecto a las siguientes gráficas
identifica las que representan una función
b )
c ) d )
a )
x
y y
x
x
y
x
y
6. Indique la alternativa que expresa el rango
de la función:
F(x) =
-2 si x -1
x-1 si -1 < x < 3
2 si x 3
a) <1, 2> b) <-1, 3> c) <-2, 2>
d) <-1, 5> e) [-2, 2]
7. Si : g(x) = x2- 2x ; el valor de g(2x) - 2g(x)
es:
a) 2x2 b) x c) 0 d) 2x e) x2
8. Sea f(x) =1x
x2, marque (V) ó (F) según
corresponda:
I. El dominio es R - {-1} II. El rango es
R -{-1} III. El dominio es igual al
Rango
a) VVV b) FFF c) VFF d) FVV
e) N.A.
9. Luego de hallar el el dominio (Df) y el
rango (Rf) de la siguiente función:
f = {(2,5); (-1, -3); (2, 2a-b); (-1, b-a); (a+b2.
a)} ; El Df Rf es:
a) {3} b) {-1} c) {2} d) {5} e) { }
10. Respecto a la función: f(x) = 1x4x2
sabiendo que: x <2, 4>; el rango es:
a) <-15; 35> b) < 3515 ; > c) <13;33>
d) < 3313 ; > e) < 2110 ; >
11. El rango de la función:
F(x) = 2x2 + 3x + 2 ; es:
a) [1/8; + > b) [7/8; + > c) [-1; 2]
d) <- ; 7/8> e) N.A.
12. El rango de la función:
f(x) = 64x5
x
2
2
es:
a) [0; 1/5> b) <- ; 1/5] c) [0; 5>
d) [1/5; + > e) N.A.
13. El rango de la función:
f(x)= 4x2x
4x2x
2
2
; es:
a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6]
d) [1/3; 4] e) [-3; 1]
14. si x <-2; 5>; El rango de la función:
G(x) = x2 - 6x + 3 ; es:
a) <-6; 19> b) [-5; 10> c)[-6; 19>
d) <-6; 6> e) [-7; 10>
15. El rango de la función: F= {(x;y) R2 /y =
25x4x2 } es:
a) R b) [3; + > c) <2; + > d)
[2; + > e) <3; + >
17. Identifica el gráfico de la función:
F(x) = (x+2)2 - 4
e) N.A.
a)
x
y b)
x
y
d)
x
yc)
x
y
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
7
SEGMENTOS Y ANGULOS
PROBLEMAS SOBRE RELACIONES
MÉTRICAS CON SEGMENTOS
DELOS FUNCIONALES
Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas empleando las relaciones métricas de los segmentos y ángulos.
El hombre de la prehistoria con sus conceptos
vagos de número y de la medida es muy
probable que contara con los dedos u otros
objetos y que midiera las longitudes de ciertas
líneas (por ejemplo los babilonios
perfeccionaron la AGRIMENSURA)
comparándolas con ciertas partes de su
cuerpo (medición antropométrica) y es allí
donde observamos que el hombre de estos
tiempos ya manejaba la idea de líneas la cual
la fue perfeccionando para lograr mayor
exactitud en el desarrollo de la humanidad
(los egipcios en la construcción de las
pirámides, los incas en la construcción de los
andenes).
Si observamos nuestro entorno
podemos decir que el ser humano se ha
inspirado en gran parte de sus obras en
formas geométricas. Así podemos ver las
formas geométricas en las construcciones de
puentes, túneles, casas, planos de
construcciones, diseños de mosaicos, entre
otros.
Es así como podemos observar que la
matemática en forma particular la geometría
tiene aplicación en diversas disciplinas.
Segmento.
Es una parte de la recta comprendida entre
dos puntos de dicha recta, a los cuales se les
denomina extremos del segmento.
A B
a
Así, en el gráfico se tiene el segmento de
extremos A y B.
Notación: Segmento AB : AB
La Longitud de un Segmento Expresa el
tamaño o medida de un segmento y resulta
que la comparación del segmento con otro
tomado como unidad (metro); por ejemplo: si
un segmento contiene 3 veces la unidad
(metro) entonces dicho segmento tiene una
longitud de 3 m.
Segmentos consecutivos y colineales.
Son aquellos segmentos consecutivos
contenidos en una misma recta:
A B C D
AB BC y CD son colineales y consecutivos.
Ejemplo 01
Una araña camina sobre el borde de una
mesa en línea recta, desde un punto A hacia
el punto B; si al llegar a M (M punto medio de
AB) decide retroceder hasta el punto P y se
encuentra que la distancia de P hasta M es la
cuarta parte de la distancia de P hasta B.
Calcula AB (largo de masa) Si la araña ha
recorrido 144 cm.
Resolución
A BP M
2x x 3x
3x + x = 144
x = 36
AB = 6x = 6(36) = 216 cm = 2,16
Ejemplo 02
Dadas los puntos consecutivos P, Q, R, S en
una misma recta; se cumple que: RS
PS
QR
PQ
y 9
1
PS
1
PQ
1. Calcular PR
Aprendizaje esperado
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
8
Resolución
P SQ R
a b c
d
1º) Se conoce: RS
PS
QR
PQ, es decir
c
d
b
a;
entonces forman una cuaterna armónica.
2º) Luego PS
1
PQ
1
PR
2
3º) Según los datos tenemos: 9
1
PS
1
PQ
1
4º) Reemplazando: (3º) en (2º)
18PR 9
1
PR
2
ANGULOS
El hombre de la prehistoria también se
observa que ya tenían la idea de ángulo para
dar forma a figuras cerradas que la usaban
para delimitar los terrenos de cultivo, dar
forma a los bloques de piedras para las
edificaciones, etc.
En la actualidad también notamos el uso de
estas figuras en el diseño de ciertos objetos
Angulo.
Es aquella figura geométrica formada por dos
rayos que tienen el mismo origen.
A dichos rayos se les denomina lados y al
origen común vértice del ángulo.
A
BO
Región interior
del ángulo AOB
Elementos:
Lados: OA y OB
Vértice: O
Notación: Ángulo AOB: AOB
Medida del ángulo AOB: m AOB
AOB m
Clasificación
a) Por su magnitud:
B) Por su posición
Observaciones:
Las parejas de ángulos alternos internos,
alternos externos o correspondientes entre si
son congruentes. Las parejas de ángulos
conjugados internos o externos son
suplementarios.
NULO
O B A
m AOB = 0º
AGUDO
A
O
B
0º < m AOB <
90º
RECTO
O
B
A
m AOB = 90º
OBTUSO
O
B
A
90º < m AOB
< 180º
LLANO
A O B
m AOB = 180º
CÓNCAVO -
CONVEXO
A
B
Convexo:
0º < < 180º
Cóncavo:180º
< < 360º
CONSECUTIVOS
A
B
C
O D
BOA , COB y
DOC son
consecutivos
ADYACENTES
A
B
CO
BOA y COB
son adyacentes y
forman un par lineal.
OPUESTOS POR
EL VÉRTICE
A
BC
D O
m AOB = m COD
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
9
C) Por la suma de sus medidas
Sean los ángulos cuyas medidas son y
, entonces los ángulos pueden ser:
Complementarios si + = 90º
Suplementarios si + = 180º
Replementarios si + = 360º
Bisectriz de un ángulo
Es aquel rayo ubicado en la región interior del
ángulo cuyo origen es el vértice de dicho
ángulo y que forma con sus lados, ángulos de
igual medida.
En la figura OP : bisectriz del ángulo AOB.
Entonces: POB m AOP m
O
A
B
P
Propiedades:
ax c
b
a
b
c
d
e
L2
L1
x
L2
L1
x
y
z
Ejemplos de Aplicación:
1.- La medida de dos ángulos adyacentes
suplementarios se diferencian en 50°.
Halla la medida del lado mayor.
Resolución:
a – b = 50
a + b = 180
a = 115
2. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y
BOC. Se traza OD bisectriz de AOB.
Hallar la medida del ángulo COD si AOC
+ BOC =160
Resolución:
Según el gráfico: La incógnita: COD = a +
B Pero: AOC + BOC = 160°
80ba
160bba2
3. Se consideran los ángulos adyacentes
ABC, CBE, de tal modo que BD es
bisectriz del ángulo CBE y la suma de las
x = a + b + c a + b + c + d + e = 180º
Si L1 // L2 + = x
Si L1 // L2 + + = x+ y + z
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
10
medidas de los ángulos ABC y ABE es
52°. Calcula el valor del ángulo ABD.
Resolución:
Por dato:
m < ABD = x
m < ABC = x – a
m < ABE = x + a
Resolviendo: 2 x = 52; x = 26
TALLER Nº 02
INSTRUCCIÓN:
Escribe en tu cuaderno de práctica los problemas propuestos y resuélvelos en forma ordenada. Luego encierra con una circunferencia la respuesta correcta
1.-A, B, C y D son puntos situados en una recta de modo que se cumple que
CD
AD
BC
AB. Si además
3
1
AD
1
AB
1,
entonces la longitud de AC es:
A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18
2 .Dados los segmentos consecutivos y
colineales AB , BC DEyCD, se cumple
que: DE11
9CDyCD
7
5BC;BC
9
7AB ,
además sus medidas están expresadas en números enteros, siendo los menores posibles. Entonces la distancia de A al punto
medio de BD es:
a) 110 b) 89 c) 108 d) 70 e) 56
3. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D, donde AC = 2BD. Si 2AB+7 = 3BC + 4CD. El valor de BC es:
a) 7 cm b) 2 cm c) 5 cm d) 9 cm e) 3,5 cm 4. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D, siendo CD = 3AB además AD + 3BC = 60.Luego el valor de AC es:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 23 5. En una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C y D si: “M” y “N” son puntos medios de AB y CD
respectivamente, además: AD = 60; BC = 10. Luego el valor de MN es: a) 25 b) 15 c) 60 d) 45 e) 35
6. Sobre una recta se dan los puntos
consecutivos A, B, C, D tal que: AC = 17m; BD = 25m. siendo: P y Q puntos medios de AB y CD respectivamente. Luego el valor de PQ es:
a) 30 b)40 c) 50 d)60 e) 45.
7. En la siguiente figura. El valor de CD es:
A B C D
30
80
a) 20 b) 40 c) 60 d)50 e) 24.
8. En la siguiente figura. el valor de AB 2
3 es:
A B C D
20
40 a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 56 9. En la siguiente figura. el valor de
CDAB es:
A B C D
50
20
a) 15 b) 30 c) 40 d)45 e) 54
10. En la siguiente figura. El valor de BC es:
A B C D
38
20
25
a) 5 b) 6 c) 7 d)8 e) 9
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
11
TALLER Nº 03
INSTRUCCIÓN:
Escribe en tu cuaderno de práctica los problemas propuestos y resuélvelos en forma ordenada. Luego encierra con una circunferencia la respuesta correcta
01 . Dos ángulos adyacentes están en la
relación de 3 a 5 . Luego el ángulo menor
mide:
a) 22º30’ b)112º30 c)67º30’
d) 52º30’ e) 15º37.
02. Si la diferencia entre su suplemento y
complemento de un ángulo es seis veces
el valor de dicho ángulo, entonces el
ángulo mide:
a) 15º b) 18º c ) 9º d) 12º e) 24º
03.Si a un ángulo se le resta su complemento,
es igual a la cuarta parte de su
suplemento. El ángulo mide:
a) 80º b) 45º c) 15º d) 60º e) 75º
04.Si a uno de dos ángulos suplementarios se
le disminuye 35º para agregarle al otro,
este nuevo ángulo resulta ser ocho veces
mayor de lo que queda del primero. El
menor de los ángulos suplementarios
mide:
a) 50º b) 45º c) 125º d) 55º e) 75º.
05. En la figura ORyOB Son bisectrices.
160º., :POR BOC mide
AD
P
B C
R
O
a) 80º b) 140º c) 100º d) 120º e) 30º
06.Se tiene los ángulos consecutivos NOM
y
PON
y OM bisectriz de POM
.
si NOP
- NOM
= 50º, luego RON
mide:
a) 100º b) 25º c) 30º d) 60º e) 80º
07.Se tienen los ángulos consecutivos BOA
y
COB
. Se traza OD bisectriz de BOA
.
si COA
+ COB
= 160º, DOC
mide:
a) 60º b) 40º c) 80º d) 100º e)50º
8. La diferencia de dos ángulos consecutivos
RQP
y SQR
es 30º.El ángulo que forman la
bisectriz del SQP
con el lado QR ? mide:
a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 15°
9. Tres ángulos consecutivos situados a un
mismo lado de una recta están en
progresión aritmética., si el menor y el
mayor están en la relación de 3 a 7, los
ángulos miden:
a) 36°, 60°, 84° b) 0°, 60°, 84° c)60°,
20°, 70° d)40°,50°,80° e)10°, 60°, 82°
.
10. Cinco ángulos situados alrededor de un
punto están en progresión aritmética. Si el
suplemento del mayor y el suplemento del
menor están en relación de 4 es a 5, el
mayor mide:
a) 84° b) 48° c) 70° d) 40° e) N.A.
11. Sabiendo que: OQ: Bisectriz de AOB; OR:
Bisectriz de AOC y BOC = 48°,El
ángulo QOR mide:
O
Q
R
B
C
a) 14°
b) 24°
c) 12°
d) 26°
e) 10°
A
12. En el siguiente gráfico:
B
A
C
DO
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
12
PROBLEMAS SOBRE TRIÁNGULOS
AOC + BOC = 100°
AOC – BOC = 40°
OD : Bisectriz de AOC. Luego DOB mide:
a) 8° b) 6° c) 5° d) 15° e) 10°
13. Sabiendo que: OQ es bisectriz de A O B;
OR es bisectriz de A O C y B O C = 48°,
luego Q O R mide:
B
A
O
C
R
Q
a) 14° b) 24° c) 12° d) 26° e) 10°
14. En el siguiente gráfico BD es bisectriz del
ángulo CBE y la suma de los ángulos ABC
+ ABE = 86°. Luego el ángulo ABD mide:
B
A
C
D
E
a) 45°
b) 30°
c) 43°
d) 48°
e) 60°
Comprender, interpretar, formular y resolver creativamente situaciones problemáticas empleando las relaciones métricas del triángulo.
En nuestro alrededor al observar podemos identificar las formas de muchas figuras geométricas, por ejemplo en las partes de una ventana o de una puerta o las esquinas de las paredes nos indican la presencia de líneas, ángulos y triángulos que en su conjunto forman diversas figuras geométricas.
Es así como podemos observar que la matemática en forma particular la geometría tiene aplicación en diversas disciplinas.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Las relaciones métricas más importantes del
triángulo rectángulo ABC, con sus elementos,
son los siguientes.
Elementos:
a y b : catetos.
c : Hipotenusa
m : Proyección de a sobre c
n : Proyección de b sobre c
h : Altura.
PROPIEDADES:
222
2
2
2
222
b
1
a
1
h
1
n.mh
c.nb
c.ma
h.cb.a
bac
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Teorema de Euclides: 1
Si 90 cm2cba 222
Teorema de Euclides: 2
Aprendizaje esperado
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
13
10
1
10)1(
.
2
2
r
r
arb
Si 90 cm2cba 222
Teorema de la bisectriz interior.
BE : es bisectriz interior
m
n
c
a
mnacx 2
Teorema de la bisectriz exterior.
CD = bisectriz exterior
b
a
n
m
abmnCD2
Aplicaciones
1.- El cateto c de un triángulo rectángulo mide
tres metros y el cateto b mide un metro. La
altura que parte del vértice A del ángulo recto
divide a la hipotenusa en dos segmentos: r y
s, adyacentes respectivamente, a los catetos
b y c. La relación r/s es:
Resolución:
Construyendo la figura, según la indicación.
Hallando la hipotenusa a:
ma
cba
10
222
Por propiedad 3: c.ma 2
Por propiedad 4: c.nb2
10
9
.2
s
asc
la relación r/s es:
9
1
10
9
10
1
1. Respecto a la figura:
A. Halla el valor de “m”
Por teorema de bisectriz interior
m18
12
m
15; Resolviendo m = 10
B. Hallar BH
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
14
10BH
80180BH
8x1012x15BH
2
2
2. En la figura calcular BF
BC
AB
CF
AF
Reemplazando: 5
7
CF
CF8 de donde:
CF = 20 y AF = 8 + 20 = 28
Luego: BF = ( 20) ( 28) -7 x 5
215BF
TALLER Nº 04
INSTRUCCIÓN:
Escribe en tu cuaderno de práctica los problemas propuestos y resuélvelos en forma ordenada.
1.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en
B, si AB= 20cm, BC= 15cm, BD es altura,
Calcula la diferencia entre los perímetros
de los triángulos ABD y BDC.
2.- Si en la figura AB = 50cm y CD = 24cm.
¿Cuánto mide DH?
3.- Las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa de un triángulo rectángulo son
dos números enteros consecutivos y la
altura relativa a la hipotenusa es 42 m
¿Cuánto mide la hipotenusa?
4.-Elabora según tu criterio un problema
,sobre relaciones métricas en el triángulo
rectángulo.
5.- En un triángulo ABC, 222 cba ,
donde a, b y c son los lados opuestos a
los vértices A, B y C respectivamente.
Hallar el valor de al mitad del ángulo A
6.- Calcula el valor de “x” en el gráfico.
7.- En el triángulo ABC, AB= 15cm; BC=
14cm, la proyección de AC sobre BC mide
5 m. Calcula AC
8.- La medida de los lados de un triángulo
acutángulo están en proyección
aritmética, si el menor de ellos mide 13 cm
y su proyección sobre el lado intermedio
es de 5 cm. Encuentra la suma de los dos
lados mayores.
9.- En un triángulo ABC se traza la bisectriz
AD = 14cm y los lados valen AB = 15m y
AC = 24m. Calcula el valor de los
segmentos determinados sobre el lado BC.
10.- Los lados de un triángulo miden AB = 21,
BC = 35 y AC = 28, la bisectriz BR corta
AC en el punto R.
Encuentra la distancia de R a BC.
11- En un triángulo rectángulo de 13m de
hipotenusa, la bisectriz interior del mayor
ángulo divide al cateto opuesto en dos
segmentos cuya suma es 12m. Calcula su
diferencia.
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
15
PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERENCIAS
12.-Calcula la hipotenusa del triángulo
rectángulo de 60m de perímetro, si la
bisectriz del ángulo recto divide a dicha
hipotenusa en dos segmentos parciales,
uno de ellos es 2,4 veces el otro.
13.- En un triángulo ABC, recto en B se traza
la altura BH, la cual es acortada en los
puntos Q y M por la bisectrices interiores
AD y CE respectivamente. Hallar MQ, si
BE = 9 y BD = 14
14. En el gráfico hallar el valor de BF
15- En el triángulo ABC ; la diferencia del
ángulo C respecto al ángulo A es 42 ;BC
es bisectriz exterior halla la medida del
ángulo CEB
16.- En el triángulo ABC , BK es bisectriz ; BF
es bisectriz exterior, si AK=33m, KC=17m
Calcula el valor de CF
17. En el triángulo ABC , AB=24m; BC=18m
y AC=21m. Por el vértice B se traza la
bisectriz interior y exterior interceptando
al lado AC y a su prolongación en los
puntos P y Q respectivamente hallar
PQ
Comprende, interpreta, formula y resuelve creativamente situaciones problemáticas empleando las relaciones métricas de la circunferencia. 1.- CIRCUNFERENCIA.
Es el lugar geométrico de todos los puntos de
un plano que equidistan de otro punto llamado
centro. La distancia del centro a cualquiera de
los puntos del lugar geométrico se llama radio.
2.- ELEMENTOS:
ARCO
CUERDA : CD
RADIO : OM
DIAMETRO : MN
RECTA TANGENTE: T
RECTA SECANTE: 2L
CENTRO: O
3.- PROPIEDADES GENERALES.
Aprendizaje esperado
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
16
BQAQQDCQ
ACBCDC2
2
ATBTA
TEOREMA DE PONCELET
AB + BC = AC + 2r
4.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
4.1.- En el círculo del centro “O” A = 20°
BM es tangente al círculo.
Encuentra el valor de MBC
20AMBC
2
BCA
2
BCMBC
4.2.- En una circunferencia se traza una recta
tangente que pasa por un punto. Del mismo punto
se traza una secante, del otro extremo de la secante
se traza otra secante que se une a la tangente. Si la
tangente mide m34 . Halla la medida exterior
de la segunda secante, si se sabe que la cuerda
mide 8m.
Resolución:
4.3.- Los segmentos de una cuerda que se corta con
otra mide 16cm. y 7 cm. Hallar el segmento mayor
de la otra, sabiendo que es el cuádruplo de la
primera.
Por teorema de cuerdas:
72x
28x
716x4
2
2
TALLER Nº 05
INSTRUCCIÓN:
Escribe en tu cuaderno de práctica los ejercicios propuestos y resuélvelos en forma ordenada.
1. En el círculo del centro “O” A = 20°
BM es tangente al círculo. Encuentra el
valor de MBC
2.- En una circunferencia se traza una recta
tangente que pasa por un punto. Del mismo
punto se traza una secante, del otro extremo
de la secante se traza otra secante que se une a
la tangente. Si la tangente mide m34 .
Calcula la medida exterior de la segunda
secante, si se sabe que la cuerda mide 8m.
3 .- Los segmentos de una cuerda que se corta con
otra mide 16cm. y 7 cm. Hallar el segmento
mayor de la otra, sabiendo que es el cuádruplo
de la primera.
4 . El ángulo ABC de un triángulo ABC mide 68°
y el ángulo BCA = 12°. ¿Calcular el menor
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
17
ángulo que forman entre sí las alturas bajadas
de las vértices B y C?
5. Determinar el radio de la circunferencia inscrita
en un triángulo rectángulo de catetos 7 y 24.
INSTRUCCIÓN:
Escribe en tu cuaderno de práctica los problemas propuestos y resuélvelos en forma ordenada. Luego encierra con una circunferencia la respuesta correcta
6. Se tiene un triángulo ABC la circunferencia
inscrita es tangente a AC en “T” y AB = 13, BC
= 14 y AC = 15. Luego el valor de AT
expresado en metros mide:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
7. En una circunferencia a una cuerda que mide
12metreos le corresponde una flecha que mide
2 metros. Luego el valor del radio expresado en
metros es:
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
8. En la figura mostrada “O” es centro de la
semicircunferencia y “T” es punto de tangencia.
Si AO = OB = BC. El valor de “x” expresado
en grados es:
xº
T
A B CO
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35
10. En la figura, el valor de “x” expresado en
grados sexagesimales es:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 36
11. Si el perímetro del triángulo ABC es 24
metros, CT mide:
8
A B
C
xT
a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) 8m
12. Si AB = 6m y BC = 8m, el valor de R
expresado en metros es:
B
A C
R
a) 16 b) 14 c) 12 d) 20 e) 10
13. En la figura “O” es el centro y AB = AC.
Siendo mediada del arco AB = 86 y mediana
del arco AC=y. El valor de 2x + 3y es:
x°OA
B
C
a) 580 b) 570 c) 634 d) 660
e) 654
14. En la figura “O” es centro, CD = OD, mediada
del arco CD = y. El valor de 6y - 4x es :
A
B
C
115°
O
D
x°
a) 12 b) 14 c) 15 d) 10 e) 9
I.E. RAFAEL NARVAEZ CADENILLAS- UNT MATEMÁTICA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5TO AÑO
18