Post on 18-Nov-2015
description
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
41
RESPUESTAS
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
42
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 1 2) a) 10 b) 3 c) 34 d) 158 e) 69 f) 6 3)
a) b)
c) d)
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
43
e) f)
g) h)
i) j)
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
44
k) l)
m) n)
) o)
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
45
p) q)
4) a) i) 3147 =++ zyx ii ) 16253 =+ zyx b) i) no son paralelas ii) son paralelas iii) no son paralelas iv) no son paralelas
5) a) 4
51
47
1 =
=
zyx ( ) ( )ttttF 45;4;71 +++=
b) 2
251
35
=
=+ zyx ( ) ( )ttttF 22;51;35 ++=
c) 4
33
22
1 =
=
zyx ( ) ( )34;23;12 +++= ttttF
6) a) 33
41
+
==zyx ( ) ( )ttttF 33;4;1 +=
7) a) b )
012
34
x
0 1 23 4
y
0
1
2
3
4
z
012
34
x0
1
2
3
4
z
02
46
x
0 2 46
y
0
2
4
6
z
02
46
x0
2
4
6
z
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
46
c) d)
01
23
4
x
0 12 3
4
y
0
2
4
6
8
z
01
23
4
x
0 12 3
4
y
0
2
4
6
8
z
00.511.52
x
0 1 23 4
y
0
1
2
3
4
z
00.511.52x
0
1
2
3
4
z
e) f)
0
2
4
6
8
x
0
2
4
6
y
0
1
2
3
4
z
0
2
4
6
8
x
- 10
1
- 1
0
1
- 2
0
2
- 1
0
1
g) h)
-4
-2
0
2
4 -2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2
-4
-2
0
2
4
-2
-1
0
1
2
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
00.5
1
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
47
i) j)
-4-2
0
2
4
x
-4
-2
0
2
4y
-2
0
2
z
-4-2
0
2
4
x
-4
-2
0
2
4y
-2
0
2x
0
2
4
6y
-2
0
2
z
-2
0
2x
0
2
4
6y
k) l)
-1-0.5 0 0.5 1
x
-1-0.5
00.5
1y
-2
0
2
z
-1-0.5
00.5
1y
-5
0
5
x
-4
-2
0
2
4
y
01234
z
-5
0
5
x
m) n)
-4
-2
0
2
4
x
-4
-2
0
2
4
y
-4
-2
0
2
4
z
-4
-2
0
2
4
x
-4
-2
0
2
4
y
-5-2.5
0
2.5
5
x-5
-2.5
0
2.5
5
y
-2-1012
z
-5-2.5
0
2.5
5
x
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
48
o) p)
-4-2
02
4
x
-4
-2
0
24
y
-4
-2
0
2
4
z
-4-2
02
4
x
-4
-2
0
24
y
-5-2.5
02.5
5
x
-2
0
2y
0
5
10
z
-2
0
2y
q) r)
-20-10
010
20
-20-10
010
20
-20
-10
0
10
20
-20-10
010
20
-20-10
010
20
-2-1
01
2
x
-2
-1
0
12
y
-2
-1
0
1
2
z
-2-1
01
2
x
-2
-1
0
12
y
8) a)
A es cerrado, no es abierto, no es acotado.
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
49
No existen puntos interiores. Los puntos frontera son todos los puntos que pertenecen a A. El conjunto de puntos exteriores est constituido por el complemento de A ( A2 ). El conjunto de puntos de acumulacin es el conjunto A. b)
B no es cerrado, es abierto, es acotado. El conjunto de puntos interiores es B. Los puntos frontera son ( ){ }41 22222 =+=+ yxyx/y;x Los puntos exteriores son ( ){ }41 22222 >++ xy/y;x
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
50
El conjunto de puntos frontera es ( ) ( ){ }41 22 =+ xy/y;x El conjunto de puntos exteriores es ( ) ( ){ }41 22
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
51
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 2 Funciones de varias variables
1) a) f(3;2) = 9 f(-1;1) = 7 f(0;2) =12 b) f(3;-2) = -2e f(-1;4) = 4e-1 f(0;2) =2 c) f(2;3;9) = 2 f(-1;0;1) = 0 f(-5;1;2) =-5/2 d) f(2;3;-1;0) = -25 f(-1;0;1;-3) = -7 f(-5;-2;1;2) =7 2)
Tasa de inflacin I Tasa de impuestos 0 0,01 0,05
0 2593,7 2348,1 1592,3
0,28 2004,2 1814,4 1230,4
0,35 1877,1 1699,3 1152,4
3) a) Df = ( ){ }0y/y;x 2 b) Df = ( ){ }4xy/y;x 2 c) Df = ( ){ }4yx/y;x 222 + d) Df = ( ){ }0xy/y;x 2 e) Df = ( ){ }Zkk21xy/y;x 2 +
f) Df = ( )
> 14y
4x/y;x
222
g) Df = ( )
>+> 9yx14y
4x/y;x 22
222
h) Df = ( ) ( ) ( ){ }1;0y;xxy/y;x 22 i) Df = ( ){ }Zkkyx/y;x 2 + j) Df = ( )
>+ 24
22
2 yx/y;x
k) Df = ( ){ }1xy/y;x 2
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
52
l) Df = ( ){ } ( ){ }0;00xy9yx/y;x 222 U+
4) a) Df = ( ){ }0p0p18pp2/p;p baba2ba +
b) Df = ( )
> 0p0p4p4
p/p;p ba
2b
2a2
ba
c) Df = ( )
+>>+ 0012194
222
bababa
ba pppppp
/p;p
5) a) 1200400300 ++= y,x,)y;x(C
b) $4700 c) 4800350300 += y,x,)y;x(U
6) a) k = -2 2x4y 2 = k = -1 1x4y 2 = k = 0 2x4y = k = 1 1x4y 2 += k = 2 2x4y 2 += b) k = -5 9xy 22 =+ k = 0 4xy 22 =+ k = 3 1xy 22 =+ c) k = -2 no existe k = -1 no existe k = 0 (0;0) k = 1 1y4x 22 =+ k = 2 2y4x 22 =+ d) k = -1 no existe k = 1 3xy = k = 4 4lnxy 3 +=
e) k = -2 22
xy2=
k = -1 3xy 2 = k = 0 no existe k = 1 1xy 2 +=
k = 2 2xy
2=
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
53
f) k = -2 41y
21x 2
2
=+
+
k = -1 ( ) 1y1x 22 =++ k = 0 x = 0 k = 1 ( ) 1y1x 22 =+
k = 2 41y
21x 2
2
=+
7) a) Df = ( ){ }0L0K/L;K 2
b) f(1000;500) = 75785,83 ; f(2000;1000) = 151571,66. La produccin se duplica.
c) 33 k243L;
K
1L == . Representan las distintas combinaciones de unidades de
capital y trabajo para las cuales la produccin total se mantiene constante e igual a 100 y 300 unidades respectivamente.
8) b) z = 1 19y
4x 22
=+
z = 2 118y
8x 22
=+
z = 3 127y
12x 22
=+
Representan las distintas combinaciones de insumos x e y para los cuales la produccin total se mantiene constante e igual a 3, 2 y 1 respectivamente. No corresponde al caso normal. 9) a) No crecen en direccin noreste.
b) No son convexas. 10) a) 21 x6x5100 +=
b) x1 = 10 ; x2 = 25/3. La utilidad mxima es 250. 11) a) 21 x5x3I += b) x1 = 4,84 ; x2 = 1,38. El ingreso mximo es 21,42.
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
54
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 3 Lmite y continuidad
a) L=L1= L2 = Lr= -1
b) L1 = 21
, L2 = 21 , Lr = ( )m
m312
31+ no existe lmite doble
c) L=L1= L2 = Lr=6
d) L=L1= L2 = Lr= 121
e) L1= L2 = 0, Lr = ( )2123
mm+
no existe lmite doble
f) L=L1= L2 = Lr= 0 g) L=L1= L2 = Lr= 0 h) L=L1= L2 = Lr= 0
i) L1 = 21
, L2 = 3, Lr = mm
213+ no existe lmite doble
j) L1= L2 = 0, Lr = 42
1 mm+
no existe lmite doble
k) L= Lr = 0, 21 , LL // l) L= L2 = Lr = 0, 1L/
mi) L1 = -1, L2 =1, Lr = mm
+
11 no existe lmite doble mii) L=0
n) L1= L2 = Lr = 0, L 21L
2=
= yx no existe lmite doble
) L1= 41 , L2 = 4, Lr =
21
21
4 mm
+
no existe lmite doble
o) L1= L2 = 0 21L
4=
=xy no existe lmite doble
2) a) Discontinua evitable. / f (0;0). L = 0. b) Continua. L= f (0;0) = 0 3) a) f es continua en (0; 0) y en (1,0) f presenta discontinuidad esencial en (1; 1) b) f presenta discontinuidad esencial en (0;0), y en (1;1) f es continua en(1;0) c) f presenta discontinuidad evitable en (0;0) f es continua en (1;1) y en (1;0)
d) f es continua en (0; 0), en (1;1) y en (1;0)
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
55
4) a) f presenta discontinuidad esencial en (1;1) b) f es continua en (1;1) 5) a). f presenta discontinuidad esencial en (0;0) b) f es continua en (0; 0) c) f es continua en (0; 0) d). f presenta discontinuidad esencial en (0;0) e) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) f) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) g) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) h) f presenta discontinuidad evitable en (0; 0) 6) a) Es continua en ( ){ }0xy/y;xD 2 = b) Es continua en ( ){ }yx/y;xD 2 >= c) Es continua en ( ){ }4yx/y;xD 222
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
56
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 4 Derivadas Parciales
1) a) ( ) 142;1f x = ( ) 82;1f y = b) ( ) 41;2f x = ( ) 11;2f y = c) ( ) 11;1f x = ( ) 11;1f y =
d) ( )3 41
3211 = ;f x ( ) 3 4
13211 = ;f y
e) ( ) 21;2f x = ( ) 41;2f y =
f) ( )211;2f x = ( ) 01;2f y =
2) a) yx2x2
x eee2f+
= yx2y
y eeef+
=
b) 2ytgxxsecf x += xy2f y =
c) ( )ysenx31ef xcosy3xx = + xcosy3xy excos3f +=
d) ( )2x yx
y2f+
= ( )2y yx
x2f+
=
e) ylnyf xx = 1x
y yxf=
f) ( )2yx
y2x
xee
ef+
=+
( )2yx
yx2
yee
ef+
=+
g) 22x zyxx2f+
= 22y zyx1f+
=
22z zyxz2f+
=
h) yzxf 1yzx= xlnxzf yzy =
xlnxyf yzz = 3) A cargo del alumno 4) a) ( ) 10;0zx = ( ) 10;0z y = b) No existen las derivadas parciales en el origen. c) ( ) 00;0zx = ( ) 00;0z y = d) ( ) 00;0zx = ( ) 00;0z y = e) ( ) 10;0zx = ( ) 00;0z y = f) ( ) 00;0zx = ( ) 00;0z y =
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
57
5) a) f(x;y) es discontinua esencial en (0;0) y existen ambas derivadas parciales ( ) 00;0zx = y ( ) 00;0z y =
f(x;y) es continua en (1;1) y existen ambas derivadas parciales ( ) 31;1zx = ( ) 21;1z y = f(x;y) es continua en (1;-1) y existen ambas derivadas parciales ( ) 31;1zx = y
( ) 21;1z y = b) f(x;y) es discontinua esencial en (0;0) y no existe ( )0;0zx y ( ) 00;0z y =
f(x;y) es continua en (1;1) y existen ambas derivadas parciales ( )411;1zx = y
( )411;1z y =
f(x;y) es discontinua esencial en (1;-1) y no existen ambas derivadas parciales.
6) ( ) 10;2;1f x = ( ) 210;2;1f y = ( ) 4
10;2;1f z =
7) ( ) 181;1zx =
8) 5
12
9) a) Es derivable slo en las direcciones de los versores (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1),
( ) 02;0fv = b) ( ) 00;1fv = si 0vv 21 = y no existe ( )0;1fv si 0vv 21
10) 339
11) 2
23
12) a) ( ) 6522;1fmax = ( ) 6522;1fmin = b) ( ) 31;1;2fmax = ( ) 31;1;2fmin = c) ( ) 21;1fmax = ( ) 21;1fmin = d) ( ) 531;1fmax = ( ) 531;1fmin = 13) a) ( ) 61;1f xx = ( ) ( ) 41;1f1;1f yxxy == ( ) 21;1f yy = b) ( ) 242;1;1f xx = ( ) 82;1;1f yy = ( ) 22;1;1f zz = ( ) ( ) 242;1;1f2;1;1f yxxy == ( ) ( ) 02;1;1f2;1;1f zxxz == ( ) ( ) 02;1;1f2;1;1f zyyz ==
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
58
14) A cargo del alumno.
15) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
=
+
++
+
=0;0y;x0
0;0y;xyx
x2yxyxx2xy2yxyxy2
f 2222222
22
22
x
( )( ) ( )
( ) ( )
=
+
+
=0;0y;x0
0;0y;xyxyx4xy2
yxyxx2
f 2222
22
22
y
( ) 20;0f xy = ( ) 20;0f yx = ( ) ( )0;0f0;0f yxxy
b) xyf no es continua en el origen, por consiguiente no se cumplen las hiptesis del teorema de Schwarz.
( )2223254
xyx
yx8y2yx2f+
+=
( )( ) ( )( )
( )4223254222222244
xyyx
yx8y2yx2yxy4yxyx24y10x2f+
++++=
En la direccin x=y en todo entorno del origen
( ) 0x16
x64x64x;xf 466
xy =
= y ( ) 20;0f xy = Por lo tanto xyf es discontinua en el origen 16) A cargo del alumno. Aplicaciones econmicas
1) a) ( ) 21;2;1pD
1
1 = ( ) 41;2;1
pD
2
1 = ( ) 21;2;1
pD
3
1 =
b) Como ( ) 01;2;1pD
1
1 < el bien es tpico.
c) ( ) 018,01;2;1EpED
1
1 ( ) 07501212
1 ,;;EpED
( ) 018,01;2;1EpED
3
1
2) a) ( ) 45;8pq
1
1 = 1Q bien tpico ( ) 35;8p
q
2
2 = 2Q bien tpico
( ) 25;8pq
2
1 =
( ) 5,15;8pq
1
2 =
1Q y 2Q son bienes
sustitutos.
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
59
( )37165;8
EpEq
1
1 = ( )8ln1265
155;8EpEq
2
2
+=
( )3755;8
EpEq
2
1 = ( )8ln1265
125;8EpEq
1
2
+=
3) a) Ambos bienes son tpicos y son sustitutos entre s.
11
1 p2EpEx
= 22
2 p3EpEx
=
12
1 =EpEx 1
1
2 pEpEx
=
b) Ambos bienes son tpicos y son complementarios entre s.
( )2111
1
1
pplnp1p
EpEx
++
= 1EpEx
2
2 =
( )21121
pplnp1
EpEx
+= 1
EpEx
1
2 =
c) El primer bien es Giffen, el segundo es tpico y son independientes entre s.
1EpEx
1
1 = 22
2 pEpEx
=
1EpEx
2
1 = 11
2 pEpEx
=
4) Para ( ) ( )10;12q;q 21 = al consumidor le da igual comprar una unidad adicional del bien 1Q o del bien 2Q , puesto que las utilidades marginales para dichas cantidades son iguales. Es decir,
( ) ( ) 1410;12qU10;12
qU
21
=
=
5) a) ( )3
104;4KQ
= ( )
3204;4
LQ
=
b) Para K=10 y L=20 ( ) ( ) 2913,53
41020;10LQ20;10
KQ 3
=
=
c) 31
EKEQ
= 32
ELEQ
= EKEQ2
ELEQ
=
6) 0peIx 2,0I >= bien normal 020 21
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
60
RESPUESTAS PRCTICA N 5 Diferencial
1) a) =dz 0,01 =z 0,011492 b) 18z == dz 2) a) 018702,0z = dz=0,02 b) 1,159
3) a) dzz1dy
y2dx
x1du ++= b) ydzlnxydyxzydxydu z1zz ++= c)
4xdz =
4) a) 0f0f yx == discontinua no diferenciable
b) 0f0f yx == continua no diferenciable
c) 0f0f yx == discontinua no diferenciable
d) 0f0f yx == es continua es diferenciable
5) a) 1,06 b) 4,045 6) a) 22222 2466 dyydydxxdxyxzd ++= 3233 48186 dyydydxxdxyzd ++=
b) 222 2 dyycosedydxsenyedxycosezd xxx =
( )32233 33 dysenydydxsenydydxycosdxycosezd x +=
7) df(1;2)=0 ( ) 222 dy29dxdy2dx62;1fd ++= ( ) 33
258213 dydx;fd =
8) ( )24
4ln2;1 =
XYTST
9) ( ) ( )2140;20
YXTMS240;20
XYTMS =
=
10) a) 13z
21y3y2x4z
=
=+=4
1-x
b) 18z1y17yx12z
==+=12
2-x
11) dz=0,6
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
61
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 6 Funciones Compuestas e Implcitas
Derivadas de funciones compuestas
1) 318
381
3
2 ddw
+=
2) ( )( ) ( ) ( ) 76222222 7223 tcostzyxxyzcostzxzyxcostzyzyxcosdtdw
=++=
3). ( )tsssst
eettse
tz
22212
+=
+ ( )
tss
sst
eet
tetsz
22212
+=
+
4) ry
yz
rx
xz
rz
+
=
= senyzcos
xz
+
y
yz
x
xz
z
+
=
( ) cosryzrsen
xz
+
=
22
222
cos2cos senyzsen
yz
xz
xz
rz
+
+
=
222
22222
coscos2 ryzsenr
yz
xzsenr
xzz
+
=
( ) ( )
222
2222
2
2
coscos1 +
++
=
+
senyzsen
xzz
rrz
22
+
=yz
xz
5) 02
;;2 =
w
6) ( ) 45 56 ttth += ( ) ( ) ( )45 35363 += h =1863 7) ( ) ( )( )vugFvuH ;; o= ( )vusenxeuye
uH xyxy += 22cos
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
62
( )uxevyevH xyxy += 26
=
8 i) 122 222 ++
=
vuwu
xyuvw
xz
( ) 00;1 =xz
( )senyvuy2wux1uvw2
yz 22 ++=
( ) 0=
oPyz
8 ii) ( ) 00 = Puz ( ) 600 =
Pvz
9) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]dyyxxyxyxdxyxyxyyxdz 222222222222 8282 +++++++=
10) ( ) ( )t232,t1
32x tt =+= y
11) ( )yx
exxcosyxeyxseny
dtdz tt
231
4623
+
++
+=
Funciones Implcitas
1) i) ( ) ( ) 042141221 =+
+
= ,,F
-4+4=0
ii) ( )2
2
yxyzFx +
= es continua en un entorno del punto (-1;2;2)
( )
yyx
xzFy 222
++
= es continua en un entorno del punto (-1;2;2)
yx
xzFz +=
2 es continua en un entorno del punto (-1;2;2)
iii) ( ) 042;2;1 =zF F define implcitamente z =f(x;y) y existen ( ) ( )2;1;2;1
yz
xz .
( ) 81
24=
= PFx ; ( )
( ) 41
212=
= PFz ;
( ) 841
41=+
=yF
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
63
( ) 24
82;1 =
=xz
2) i) F(1; 1 e ; -1)=0 ii) zyzeF xzx = es continua en un entorno del punto (1;
1 e ;-1)
zxFy = es continua en un entorno del punto (1;1 e ; -1)
yxxeF xzz = es continua en un entorno del punto (1;1 e ; -1)
iii) ( ) 02221 1 = e;;Fz F define implcitamente z =f(x; y). ( ) ee;
yz
211 1 =
.
3) i) F(2;2;6)=0
ii) yyxz
zFx +
=22
es continua en un entorno del punto (2;2;6)
xyxz
yFy +
=2
es continua en un entorno del punto (2;2;6)
22 yxz
xFz+
= es continua en un entorno del punto (2;2;6)
iii) ( ) 041622 = ;;Fz F define implcitamente z =f(x; y).
( ) 5622 = ;;xz .
4) ( ) 0;; =zyxF , x
yy F
Fyxx
=
= , yF
Fy xz
= , z
xx F
Fz
=
1=
z
x
y
z
x
y
FF
FF
FF
, 0;0;0 zyx FFF
5) ( )( )zxyexzxyex
FF
xz
zy
zy
z
x
+
=
=
+
+
coscos3
3
2
6) xzye
senxFF
zx
xx
z
cos+=
=
7) A cargo del alumno 8) A cargo del alumno.
9) ( ) ( ) 32
yy3
2
xy3
22
xxy z z z z zx;
zxyxz;
zxyz;
zx;
zxyzx =
=
==
=
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
64
10) ( )222 dydx154zd +=
11) a) PL.Tg. 03
28z92y
31x
32
=+ Recta Normal 9/2
27z3/18y
3/21x
+
=
=
b) PL.Tg x-y-3=0 Recta Normal 3z =
= ,13y6x
Aplicaciones Econmicas
1) 9619
dtdq375,0
EpEq625,0
EpEq125,0
pq3125,0
pq 1
2
1
1
1
2
1
1
1 ====
= obien tpic
2)
131 81dt
dq
1761
1721 801 201
arioscomplement bienesXy X 21 21
o.bien tpicX 31 obien tpicX 11
21
2
2
1
2
2
1
1
1
2 11
2
2
1
22
2 1
1
1
====
========
==
==
==
==
tdt
dqt
tEpEqt
EpEq,t
EpEq,t
EpEq
tpq
tpq
tpqt
pq
3)
=
dtdY.
YdtdM.
M.P
dtdP 11
4)LQ
LKQLQ
KLKQ 34
323LQ 34
6223+
+=
++
=
6223
323
+
+=
=
KL
LKQQQ
LKTST
K
L
5)
221222
213
2 1622
3212
1
2.2
1.1
pppppDpppp
pD
dtdp
pD
dtdp
pD
dtdD
++=+=
+
=
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
65
( )
( )2p1p6532p522p1p3422p3532pt44
22p3t2
dt2dp
2p1p6532p5
22p1p34
22p3
2p1tp12522p1p3t4
dt1dp
+
+
++
+
=
+
+
+
=
6) Y..dYdM
MDA
dYdC
CDA
dYdDA 6060 =
+
=
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
66
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 7 Funcin Homognea
1) a) homognea grado 3 b) no homognea c) homognea grado 1 d) homognea grado 1 e) homognea grado 2 f) homognea grado 5/4 g) homognea grado 2 h) no homognea 2) A cargo del alumno
3) a) 41 b) 6 c) 8
Aplicaciones Econmicas 1) A cargo del alumno 2) a) La funcin es homognea de grado 1 (homognea lineal). Esto significa que cuando los factores de produccin (a y b) varan segn una misma proporcin t, la produccin vara en la misma proporcin. b) A cargo del alumno. c) P(10,10) = 80 d) El rendimiento a escala es constate debido a que la produccin vara en la misma proporcin que los insumos.
e) La TMS = a
2b , es homognea de grado cero. Esto significa que la TMS entre los
factores es invariante ante cambios proporcionales en los insumos. f) La senda de expansin es la recta a=b. 3) El producto aumentara en la misma proporcin que los factores, es decir, en un 1% por se la funcin de Cobb Douglas homognea de grado 1. 4) a) La funcin es homognea de grado 2. b) A cargo del alumno. c) f (3,5) = 112 d) fb(3,5) = 22 e) b.fb(3,5) = 5 . 22 = 110 5) La funcin es homognea de grado 0. La demanda permanece invariante ante cambios proporcionales del precio y la renta. 6) a) La funcin es homognea de grado 2,47. b) A cargo del alumno.
c) 2,470,342,13EbEy
EaEx
=+=+ . Se demuestra que la suma de las elasticidades parciales
es igual al grado de homogeneidad.
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
67
d) Existe rendimiento a escala creciente, es decir, que la produccin aumenta en una proporcin mayor que los factores de produccin (capital y trabajo). e) b=2 a 7) a) A cargo del alumno. b) y c) En los dos casos las demandas no varan ante una variacin del 20% en los precios por ser funciones homogneas de grado cero.
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
68
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 8 Frmula de Taylor y Mac Laurin
1) a) ( ) ( ) 322 1211
2111 Tyxyx)xy(ln ++=
( ) ybxab,afdT
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
69
6) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 322 277298278
2728
81
2127
948336 TccttctP +
++++=
P (8,4;28,35) 37,8 7) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 322212121 121448
1211448 TxxxxxxP +
++++=
P (3,99;1,1) 8,3794 8) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3222121211 12142
1481
21114
411 TppppppD +
+++=
D1 (4,01;1,02) 0,97795, el bien es tpico. 10) f (0,09;1,1) 1,02925
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
70
RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO N 9 Extremos Libres y Condicionados
Extremos Libres:
1) a) Mnimo34
31;
34f =
b)
( )( ) aensilladur de punto 0;0;0P
Mnimo =
= 11;1f
c)( )( )
( ) ( ) aensilladurdePuntos2621y1;2;-26Mximo 282;-1-
Mnimo 2812
;;f
;f
==
d) No existen extremos
e) ( ) ( )Mnimo 3;-3-fy Mximo 3;3f f) No existen extremos
g) Mximo
3;
3f h) Mnimo
34;
29f
i) ( ) Mximo 10;0f = j) Puntos crticos (1;1) y (-1;-1), pero no extremos k) Existen infinitos mnimos pertenecientes a la recta x-y+1=0 l) ( ) Mnimo 21;1f =
2) Puntos crticos: ( )
33;
33;
33;
33;
33;
33;
33;
33 ;0;0
3) a) ( ) Mnimo 32;1f = b) P=(0;0;0) punto de ensilladura
4) Mximo27k
3k;
3kf
3
=
5) a) 2z1 = Mximo y 2z2 = Mnimo b) ( ) ( ) Mnimo 4;-2fy Mximo 332;4f == Extremos Condicionados: 1)
a) 75,246)2
17;4(f = Mnimo b) ( )5.0;25.0f Mnimo
c) 222;
22f =
Mximo
d) ( ) ( ) ( ) ( )2;2 ;2;2 ;2;2 ;2;2 e)
++ 222
22
2
baba;
baabf
f) Tringulo Equiltero 2) x=24; y=18; z=6
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
71
3) dm
;dm1r 3 3 1 2h ==
4) 25yx ==
5)715z ;
710-y ;
75x ===
6)
=
= 0;
21;
21P 0;
21;
21P 21
Aplicaciones Econmicas 1) x1 = 5 ; x2 = 9 B(5,9) = 103 2) f(3,2)=34 Mximo relativo 3) qa = 2 ; qb = 4 ; Bmax = 48 4) No es posible distribuir la produccin con el objeto de minimizar costos.
. 5) q1 = 40 ; q2 = 60 ; Cmin = 2340 6)
a) x1 = 7,5 ; x2 = 2,5 ; = 2,5; U = 18,75 b) De la condicin necesaria surge:
31
1
2 =xx . Esta igualdad equivale a decir que la razn de las utilidades marginales
(tasa marginal de sustitucin entre los bienes) debe ser igual al cociente entre los precios de los bienes (pendiente de la recta balance). Entonces, la combinacin ptima de bienes, que le proporciona al consumidor la mxima utilidad sujeta a su ingreso, esta dada por el punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la recta balance pertinente. La TMS entre los bienes corresponde a la pendiente de la curva de indiferencia e indica en cuanto hay que reducir (aumentar) el consumo de un bien para compensar un aumento (disminucin) de otro bien, manteniendo constate la satisfaccin o utilidad del consumidor. De la condicin suficiente surge: > 0, su signo esta determinado por las caractersticas de la funcin utilidad.
c) El lambda () indica en cuento vara la funcin objetivo ante una variacin muy pequea en la restriccin. En el ejercicio, indica la utilidad marginal del ingreso. Esto significa que una leve variacin en el ingreso producir una variacin de 2,5 unidades en la utilidad del consumidor.
7) x = 1 ; y = 2
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
72
8) a) Se destinarn q1 = 5 y q2 = 3 que son las cantidades que maximizan el beneficio. b) p1 = 21 y p2 = 28 (se obtienen reemplazando las cantidades ptimas en la
ecuacin original). c) B = 125.
d) 37(21,28)
EpEq ;
521(21,28)
EpEq
2
2
1
1 == 37<
521 28 > 21
Vemos que a menor elasticidad corresponde mayor precio y viceversa. 9)
Condicin necesaria: 2
1
2x
1x
rr
f'f'
= . La ptima combinacin de cantidades de insumos esta
dada por el punto de tangencia entre la isocuanta y la recta de isocosto pertinente. Condicin suficiente: > 0 su signo esta determinado por las caractersticas de la funcin de produccin. 10) f(12,2)=480) es un mximo relativo 11) f(100,25)=5000 mximo relativo 12) f(4,2)=112 mximo relativo. 13)
a) q1 = 20 ; q2 = 10 ; = 0,5 y Imax = 500 b) q1 = 60 ; q2 = 30 ; = 6 y Xmin = 4500 c) En el punto a) el es el ingreso marginal de utilizar una unidad ms de insumo.
Esto significa que ante una variacin muy pequea en la cantidad de insumos el ingreso vara en 0,5 por unidades monetarias. En el punto b), ante una leve variacin del ingreso, la cantidad de insumos vara en 6 por unidades de variacin.
d) No es conveniente para la empresa esta alternativa, dado que el costo total de los insumos es de $20 magnitud que supera el ingreso de $10 que se obtiene con el incremento de 20 unidades.
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
73
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 10 Integrales
1) a) 5 b) [ ]33
41 c)3 ln 8 d) 4 e 8
e)15 1 ln 24 2
+
2) a) 2 3
0 0
( ; )x
dx f x y dy = 2
3
6
0);(
y
dxyxfdy
b)
223 3
0 0
( ; )x
dx f x y dy
= 332 2
0 0
( ; )y
dy f x y dx
c) 2
2
93
3 9
( ; )x
x
dx f x y dy
= 2
2
93
3 9
( ; )y
y
dy f x y dx
d) 23
1 0
( ; )x
dx f x y dy = 32
0 1
( ; )dy f x y dx + 36
22
( ; )y
dy f x y dx
e) 2
2
44
0 4
( ; )x x
x x
dx f x y dy
= 2
2
2 42
2 2 4
( ; )y
y
dy f x y dx+
f) 2 41
0 2
( ; )y
y
dy f x y dx +
= 2 2
0 0
( ; )
x
dx f x y dy + 24 2
2 0
( ; )
x
dx f x y dy +
3) a) 73
b)31 c) 1+ 2 d) 16
3 e) 19
6
4) a) 2
2 42 2
1
( )y
dy y x dx+ = 1934105
b) 1 1
0 1
( )x
dx y x dy
+ = 23
c) 21
3
0 0
1x
dx x dy+ = 29
( 2 2 - 1)
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
74
d) 1 2
0 0
( )x
dx x y dy+ = 43
e) ln 2 2
0
lnye
y xdy dxx =
18
ln4 2
5) a) ln 2 b) 41 22
e e
6) a) 16
b) 9 c) 6
13
7) V = 1 2 2
2
0 0
16x
dx x dy
= 12 2
2
0 0
16
y
dy x dx
8) 35215
9) a) V = 8 22 4
2 2
0 0
[4 ]x
dx x y dy
b) V.=. 4 23 9
2 2
0 0
[9 ]x
dx x y dy
10) a) 38 (e2 + 3 ) b) 4 c) 1e
d)
11) 6
12) 512
13) a) 649
b) 9
14) Produccin Media 2203391005000
1350
300
200
100
4060 ,dxyxdy ,, ==
15) Beneficio Medio ( )dyxyyxyxdx +=45
35
55
40
22 400025650200150
1
16) a) A cargo del alumno b) 2 2
2y x yx+
17) A cargo del alumno b) P( 0x2, 5y6 ) = 527
18) $49.793
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
75
RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 11
Ecuaciones diferenciales
1) A cargo del alumno
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
1) a) Ct2cost2x2 ++= b) ( ) y1
e1xC = c) Cx1y 2 =+
d) ( ) Cx149
y9yln 4 +=
e) 22 y2x1 =+ f) ( )2t153y +=+
2) a) Cxln
xy
= b) Cyxy2x 22 =+ c) xy
Cey =
d) 42 =+ ylnyx e) 06
yxyln =+
3) a) Cyxyx 22 =++ b) ( ) C1yexy2x
3x y223 =+ c)
ylny33x 2 +
=
4) Cxy2k 2 ==
5) A cargo del alumno
6) a) Cyxxln =+ b) Cxcosyx 22 = c) Cxye y
x
=
7) a) ( ) Cyxyxxx 223 =+= b)
( ) Cyx2xyyy 432 ==
c) ( ) C2yxyxln
x1x
2
=+=
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
76
8) a) xx3 e21Cey = b)
21Cey
2x = c)
xCxcossenxy ++=
d)
+= x
12 Ce2xy e) ( )2Cyeyx y3 = f)
xxln2y +=
9) A cargo del alumno
10) a) ( )xlnCx1y+
= b) 2Cx
x5y 52
+= c)
++=
xCxxlnxy
43
233 d)
( )23 xCxy +=
11) a) Cxy +=32
32 c) 3
x3
Cey
=
d) 2
xcossenxCey x += e) xCy = f) Ctgxy3xy 2 =
g) Cyx =+ h) Cycosxy =+ i) yeC xcos =
j) ( )Cex
y x += 1 k) C2xey
2x4 += m) Cxeyx y22 =++
n) 211 xC
yy
=+ p) ( ) Cxlny ++= 22 1 s)
2122 ++= xCey x
u) 2
22xxlnCyarctg =+ v)
2
xC1xy
= w) Cxysenxy +=
x) xlnyyxC 22 +=
12) a) ( ) ( )1= trerktA b) ( ) ( ) ( )[ ]trer
rtA tr += 11412
13 a) ( ) kteCtP += 20 b) ( ) ( ) ktkt etPetP =+= 10202020
c) P(t) convergente 20=P
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
77
14) a) ( ) 500500 500 += t,ePP
b) 500300500500500 5050 =+== PePeP t.t.
c) P (t) divergente
15) ( ) tkeCAtN = N(t) convergente AN =
16) a) ( ) t3e46tp += b) p(t) convergente 6p =
17) ( ) 0ytty += ( ) 002 Dtyt21tD ++= ( )( ) += ty
tDlimt
18) ( ) t0 eyty = ( ) ( )1eyDtD t00 +=
( )( )
tytDlim
t=
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden
1) a) x22x
1 eCeCy += b) x3
2
x31
1 eCeCy +=
c) ( )x3senCx3cosCey 21x += d) ( )xCCey 21x
31
+=
e) x5senCx5cosCy 21 += f) 2x
21
1 CeCy +=
g) ( )senxxcosey x += h) ( )1x32x1 eCe2y +=
i) x3sen31y =
2) a) x3sen781x3cos
785eCeCy x22
x31 +=
b)
( ) x21x2 e91CxCey ++=
c) 324
136x
18xx6senCx6cosCy
2
21 ++= d) 10eeCeCy
xx
2
x41
1 ++=
Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009
78
e) xsenxcosxxsenxcosey x 31313
263
52
512
13007972
650523
+
++
+=
f)
+=
323
8xee
3217e
85y x3xx g) ( )2231 3 CxeeCy xx ++=
h) xxeCCy x45
43 22
21 +++=
i) xcosxcosCxsenCy 510155 21 +=
j) xxx exexCeCy 221 21
++=
3) ( ) 426 ++= tt eetp
4) ( ) ( ) 9t2sen2t2cos3etp t ++= fluctuacin amortiguada convergente a 9p =