1. Resistencia de Materiales Aplicada Primera Edicin Alejandro
M. Mayori M.
2. Resistencia de Materiales Aplicada Primera Edicin Alejandro
M. Mayori M. Universidad Mayor de San Andrs Revisin Tcnica:
Editorial Yucatn Hermosa La Paz Bolivia Impreso en La Paz Bolivia
1
3. Dedicatoria A mis hijas Mariel y Marian A mi esposa, padres
y hermanos 2
4. Prefacio El presente libro estudia los temas ms importantes
de la Resistencia de Materiales, con nfasis en aplicaciones,
solucin de problemas y diseo de elementos estructurales y
dispositivos mecnicos. El presente texto esta orientado para
alumnos de Ingeniera del segundo o tercer ao. Es recomendable que
los estudiantes que lean este texto hayan completado un curso de
esttica y otro sobre las propiedades de momentos y centroides de
reas planas. En el presente libro, la resistencia de materiales se
basa en conceptos bsicos y en el uso de conceptos simplificados de
los cuales se deducen las ecuaciones de modelos matemticos. En la
mayora de los captulos el objetivo principal es la determinacin de
los esfuerzos normales y cortantes, para luego determinar sus
valores mximos y finalmente el clculo de las correspondientes
deformaciones. Se estudian cargas de Traccin, Corte, Torsin y
Flexin. Estos tipos de carga se complementan con un apreciable
nmero de ejemplos o problemas resueltos y luego con problemas
propuestos para que el alumno refuerce su comprensin. Las unidades
que se emplean en el presente libro son las unidades mtricas y para
la solucin de muchos de los problemas se uso software matemtico
como MATHCAD. 3
5. NDICE 1.Conceptos Generales 1.1.Introduccin 1.2.Concepto de
Esfuerzo (Esfuerzo) 1.3.Concepto de Deformacin por Esfuerzos
Normales 1.4.Coeficiente de Poisson 1.5.Concepto de Deformacin por
Esfuerzos Cortantes 1.6.Propiedades Mecnicas de los Materiales
1.7.Esfuerzo admisible - Coeficiente de Seguridad 1.8.Modulo de
Elasticidad - Ecuacin de Hooke 1.9.Cargas Estticas y Variables
1.10.- Esfuerzo admisible para Cargas Variables PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS 2.Traccin Compresin 2.1.Introduccin
2.2.Esfuerzos en traccin compresin (Cargas en una dimensin)
2.3.Esfuerzos principales (Cargas en una dimensin)
2.4.Deformaciones (Cargas en una dimensin) 2.5.Esfuerzos en traccin
compresin (Cargas en dos dimensiones) 2.6.Esfuerzos principales
(Cargas en dos dimensiones) 2.7.Deformaciones (Cargas en dos
dimensiones) 2.8.Cargas debido al Peso Propio 2.9.Deformaciones
debido a la temperatura 2.10.- Problemas Estticamente
Indeterminados (Hiperestticos) PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS
PROPUESTOS 3.Esfuerzos de Corte 3.1.Introduccin 3.2.Esfuerzos en
corte 3.3.Esfuerzos principales 3.4.Deformaciones 3.5.Problemas
Estticamente Indeterminados (Hiperestticos) PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS 4.Torsin 4.1.Introduccin 4.2.Calculo de
Esfuerzos 4.3.Deformaciones 4.4.Problemas Estticamente
Indeterminados (Hiperestticos) PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS
PROPUESTOS 4
6. 5.Flexin - Fuerza Cortante y Momento Flector 5.1.Introduccin
5.2.Tipos de Cargas 5.3.Carga puntual equivalente de distribuida
5.4.Tipos de Apoyos 5.5.Tipos de Vigas 5.6.Calculo de reacciones
5.7.Momento Flector y Fuerza Cortante 5.8.Relacin entre el momento
Flector y la Fuerza Cortante 5.9.Clculo del momento Flector y la
Fuerza Cortante 5.10.- Valores del Momento Flector y la Fuerza
Cortante en los extremos 5.11.- Calculo de Momentos por funciones
de Singularidad PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 6.Flexin
Esfuerzos Normales y Cortantes 6.1.Introduccin 6.2.Esfuerzos
normales en flexin 6.3.Esfuerzo cortantes en flexin 6.4.Perfiles
preferidos para secciones transversales de vigas PROBLEMAS
RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 7.Deformaciones en flexin
7.1.Introduccin 7.2.mtodo de la doble integracin 7.3.Mtodo de
Superposicin 7.4.Mtodo del rea del Diagrama de Momentos
7.5.Sistemas Hiperestticos.PROBLEMAS RESUELTOS a) Mtodo de la doble
integracin b) Mtodo de Superposicin c) Mtodo del rea del diagrama
de Momentos d) Sistemas hiperestticos PROBLEMAS PROPUESTOS a) Mtodo
de la doble integracin b) Mtodo de superposicin c) Sistemas
hiperestticos 8.Mtodos Energticos 8.1.Introduccin 8.2.Trabajo
8.3.Energa Potencial 8.4.Ecuaciones de la energa 8.5.Teorema de
Castigliano PROBLEMAS RESUELTOS 5
7. PROBLEMAS PROPUESTOS 9.Esfuerzos Combinados 9.1.Introduccin
9.2.Ecuaciones para hallar el esfuerzo en cualquier direccin
9.3.Circulo de Mohr 9.4.Esfuerzos principales 9.5.Ecuaciones para
hallar la deformada en cualquier direccin 9.6.Combinacin de
Esfuerzos 9.7.Combinacin de Deformaciones PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS 10.Pandeo de Columnas 10.1.- Introduccin y
Objetivos 10.2.- Tipos de apoyos 10.3.- Tipos de Columnas 10.4.-
Falla por pandeo (Formula de Euler) 10.5.- Falla por Compresin y
por pandeo 10.6.- Formula de La Secante Problemas Resueltos
Problemas Resueltos 6
8. 1.- CONCEPTOS GENERALES 1.1.- INTRODUCCIN 1.1.1 Propsito de
la Resistencia de los Materiales En los cursos de esttica se
consideran los cuerpos indeformables, sin embargo en la realidad
los cuerpos sufren deformaciones. La Resistencia de los Materiales
analiza a los cuerpos como deformables, predice estas deformaciones
y permite encontrar los materiales y dimensiones ptimos. Con la
Resistencia de los Materiales se puede verificar la habilidad de
los elementos para soportar las cargas a las que estn sometidos y
se pueden disear elementos seguros y baratos. Entonces en lo
posterior se consideran a todos los cuerpos no rgidos sino
elsticos, es decir, que cualquier carga producir en ellos
deformaciones que en magnitud son pequeas comparadas con las
dimensiones globales del cuerpo. 1.1.2. Tipos de elementos En el
presente texto los cuerpos se clasificaran en tres tipos: a) Barra:
Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeas en comparacin con la
tercera. La lnea une los centros de gravedad de sus secciones
transversales se denomina eje centroidal de la barra Fig. 1.1.-
Barra b) Placa: Es un cuerpo que tiene una dimensin pequea en
comparacin con las otras dos. Fig. 1.2.- Placa c) Bloque: Es un
cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden. 7
9. 1.1.3. Tipos de problemas La Resistencia de Materiales tiene
como finalidad el clculo de los cuerpos sometidos a cargas y los
problemas a resolver son de dos tipos: a) Dimensionamiento.- Cuando
se busca seleccionar el material, las formas y dimensiones ms
adecuadas de una pieza, de manera que sta pueda trabajar con
seguridad, en buen estado y con costos adecuados. b) Verificacin.-
Cuando una pieza tiene el material, las formas y dimensiones
prefijadas y es necesario conocer si estas son las adecuadas para
resistir el estado de solicitaciones actuantes. 1.1.4. Hiptesis
fundamentales En el presente texto se asumen como ciertas las
siguientes hiptesis: a) Los material se consideran continuos.- La
mayora de los materiales cumple con esta hiptesis an cuando existan
poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la
materia, compuesta por tomos que no estn en contacto rgido entre s,
ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen
vinculados, formando una red ordenada. b) Los materiales se
consideran homogneos.- Con esta hiptesis se consideran las
propiedades idnticas en todos los puntos. c) Los materiales son
istropos.- Con esta hiptesis se consideran las propiedades idnticas
en todas las direcciones. Los metales son materiales homogneos e
istropos y la madera, el hormign y la piedra no lo son. d) Las
fuerzas interiores que preceden a las cargas son nulas.- Las
fuerzas interiores entre las partculas del material se oponen al
cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al
hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas
moleculares que existen en un slido no sometido a cargas. e) Es
vlido el principio de superposicin de efectos.- Debido a que las
deformaciones de los cuerpos son pequeos en comparacin con las
dimensiones del mismo, las ecuaciones de equilibrio correspondiente
a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuracin
inicial, es decir, sin deformaciones, y que las deformaciones son
proporcionales a las cargas. f) Es aplicable el principio de Saint
Venant.- Segn este principio las fuerzas interiores en los puntos
de un slido, situados lejos de los lugares de aplicacin de las
cargas no 8
10. dependen del modo de aplicacin de las mismas, por lo que se
puede sustituir un sistema de fuerzas por otro equivalente g) Las
cargas son estticas o cuasi-estticas.- Es decir que no varan con el
tiempo 1.1.5. Metodologa Para el calculo de elementos y sistemas
nunca se podrn incluir todas las variables por lo que se deben
despreciar aquellas que no son relevantes. Por ejemplo, en el
calculo del cable de un ascensor se deben incluir el peso de la
cabina, su aceleracin y el peso del cable, pero se pueden
despreciar la resistencia al aire del ascensor, la presin
baromtrica a distintas alturas, la variacin de la temperatura con
la altura, etc. Adicionalmente se debern realizar ciertas
simplificaciones en: a) La geometra del objeto. As los slidos muy
largos se idealizaran como barras. b) Los vnculos. Usualmente se
consideran ideales. c) Los sistemas de fuerzas aplicadas. Las
cargas concentradas prcticamente no existen en la realidad, sino
que son las resultantes de fuertes presiones localizadas en zonas
pequeas. d) Las propiedades de los materiales. 1.2. FUERZAS Y
MOMENTOS INTERNOS Los elementos de estructuras o maquinas estn
sometidos a la accin de fuerzas y momentos externos. Estas Fuerzas
y Momentos externos generan en las secciones internas de los
cuerpos, Fuerzas y Momentos Internos que cuando sobrepasan a las
fuerzas de atraccin de las molculas del material producen la
separacin o rotura de la pieza. Las Fuerzas y los Momentos de cada
seccin internos se pueden hallar generalmente con las ecuaciones de
la esttica P1 Fuerza Interna P2 Momento Interno M2 M1 Pn P3 Mn M3
P1 P4 Fig. 1.3.- Fuerza y Momento Internos 9
11. La magnitud y direccin de la Fuerza y el Momento internos
dependen de la seccin elegida, pero pueden descomponerse en una
direccin normal y en otra tangencial a la seccin. Estas componentes
definen los diferentes tipos de carga. As la componente de la
Fuerza Normal a la seccin producir cargas Normales de Traccin o
Compresin, la componente de la Fuerza Tangencial a la seccin
producir cargas de Corte o Tangenciales, la componente del Momento
Normal a la seccin producir cargas de Torsin y la componente del
Momento Tangencial a la seccin producir cargas de Flexin. 1.3.
CONCEPTO DE ESFUERZO O TENSIN Considrese una barra sometida a la
accin de dos fuerzas iguales, opuestas y colineales en sus
extremos. Se verifica el equilibrio: P - P = 0 Fig. 1.4.- Fuerzas
Moleculares Si se aumenta el tamao de una seccin de la barra hasta
ver sus molculas. La fuerza externa se distribuye en pequeas
fuerzas tirando de cada molcula, que tratan de separarla de sus
vecinas. Sin embargo la atraccin entre molculas opone resistencia
con una fuerza igual y contraria, lo que finalmente impide que las
molculas se alejen entre si. Tomando un par de ellas se verifica
que: -Pi Fi -Fi Pi (1.1 Donde Pi es la accin sobre cada molcula
generada por las fuerzas P y Fi las reacciones que opone el
material generada por la atraccin molecular (o Atmica). Aumentando
P aumenta la reaccin Fi , que podr crecer hasta un determinado
lmite, ms all del cual las molculas se separan irremediablemente, y
como consecuencia la barra se deforma permanentemente o se separa.
1.3.1. Hiptesis de Navier A fin de facilitar el estudio del
comportamiento de los slidos homogneos frente a los distintos
esfuerzos, Navier propuso la siguiente hiptesis: Un slido homogneo
puede imaginrselo como una sucesin de innumerables secciones
transversales paralelas 10
12. entre si y perpendiculares a su eje longitudinal (Parecido
a varios naipes firmemente pegados entre s). Cada seccin
transversal sera tan delgada como el dimetro de un tomo. Al mirar
la barra de costado veramos: Fig. 1.5.- Hiptesis de Navier Entonces
de acuerdo al modelo de Navier, en un slido homogneo cada seccin
transversal es una especie de placa con el espesor de un tomo,
donde todos los tomos estn perfectamente ordenados y dispuestos
segn un arreglo matricial cuadrado. Sobre cada tomo de cada una de
las secciones, actuar una fuerza Pi, de manera que podramos
escribir : Pi = P n (1.2 n P = Pi (1.3 i =0 Donde : n el nmero de
tomos que hay en la seccin transversal. Este modelo atmico explica
el comportamiento de un slido ideal. Sin embargo los materiales
reales distan mucho de esta definicin, por lo que en un modelo ms
macro se divide a cada seccin transversal en un nmero finito N de
reas unitarias elementales y que al aplicar una fuerza P esta no se
concentra en un solo punto sino que se distribuye en toda el rea de
la seccin dando como resultado una fuerza Fi sobre cada rea
unitaria. La fuerza que soporta cada unidad de rea es el Esfuerzo.
Esfuerzo = Fuerza F = Area A (1.4 1.3.2.- Esfuerzos Normales ()
Aquellos esfuerzos o fuerzas que soporta cada unidad de rea cuya
direccin es perpendicular a la seccin transversal se conocen como
esfuerzos normales. Para 11
13. fuerzas de compresin el esfuerzo normal ser negativo y para
fuerzas de traccin el esfuerzo normal ser positivo. En la figura 6,
se muestran dos perfiles unidos por un perno que soportan la accin
de dos fuerzas opuestas P y paralelas al eje del perno. En las
secciones transversales al perno aparecen fuerzas internas
perpendiculares a estas secciones que se distribuyen generando solo
esfuerzos normales. P P P Esf uerzos Normales P Fig. 1.6.-
Esfuerzos Normales 1.3.2.- Esfuerzos Cortantes () Aquellos
esfuerzos o fuerzas que soporta cada unidad de rea cuya direccin es
tangencial a la seccin transversal se conocen como esfuerzos
cortantes. Los esfuerzos de corte no son positivos ni negativos. En
la figura 7, se muestran dos piezas unidas por un perno que
soportan la accin de dos fuerzas opuestas P y perpendiculares al
eje del perno. En las secciones transversales al perno aparecen
fuerzas internas tangenciales a ellas que se distribuyen generando
solo esfuerzos cortantes. P P P P Esfuerzos Cortantes Fig. 1.7.-
Esfuerzos Cortantes Los esfuerzos normales y cortantes aparecen por
lo general simultneamente y sus valores no son constantes en una
seccin sino que varan de un punto a otro. 12
14. 1.4. RESISTENCIA DE LOS CUERPOS Los esfuerzos que un cuerpo
puede soportar dependen nicamente del material Sin embargo las
Fuerzas y Momentos que un cuerpo puede soportar dependen adems del
material, de sus dimensiones. C a b le A lu m in io 0 .1 [c m ] (a
) C a b le A c e ro 0 .0 5 [ c m ] (b ) Fig. 1.8.- Resistencia de
Cables A modo de ilustracin, se pide elegir el cable mas resistente
de dos cables, el primero de aluminio de 1 mm de dimetro y el
segundo de acero de 0.5 mm de dimetro. Un breve anlisis no sugiere
que : - Si ambos cables tuvieran el mismo dimetro, debido a que el
acero es ms resistente que el aluminio se debera elegir al segundo
- Si el material fuera el mismo para ambos cables, el de mayor
resistencia fuera el de mayor dimetro y por lo tanto se debera
elegir al primero Ahora bien como los materiales y las dimensiones
son diferentes la eleccin del cable con mayor resistencia se
complica. La eleccin se analiza en la seccin de problemas
resueltos. 1.5. DENSIDAD O FLUJO DE ESFUERZOS Fig. 1.9.- Densidad
de Esfuerzos 13
15. Si una barra de seccin constante es sometida a cargas de
traccin F, en cualquier seccin transversal aparece una fuerza
interna de igual magnitud F que equilibra a la externa y que se
origina solo esfuerzos normales = F/A de magnitud constante. Cuando
una barra de seccin variable se somete a cargas de traccin F, en
cualquier seccin transversal aparece una fuerza interna F que
equilibra a la externa que se distribuye en esfuerzos normales. Sin
embargo la magnitud de estos esfuerzos es variable debido a la
variacin del rea. Estos esfuerzos son mayores donde las secciones
normales son las menores y viceversa. Dibujando lneas equidistantes
de la periferia se puede apreciar que ellas tienen mayor
concentracin o densidad donde el rea es menor. La magnitud de los
esfuerzos es proporcional a la concentracin de lneas equidistantes.
Este fenmeno es similar a la velocidad que adquiere un fluido en
una tubera por lo que tambin es conocido por flujo de esfuerzos.
1.6. CONCENTRACIN DE ESFUERZOS Fig. 1.10.- Concentracin de
Esfuerzos Los cambios o variaciones de las secciones transversales
de una pieza y especialmente las variaciones bruscas, resultan en
la magnificacin de los Esfuerzos efecto conocido como Concentracin
de Esfuerzos. Las hendiduras, agujeros y cambios de seccin bruscos
son Concentradores de Esfuerzos. Se ha podido verificar que por
ejemplo un agujero circular en una placa plana incrementa los
esfuerzos hasta tres veces. 1.7. TIPOS DE SOLICITACIN O CARGA Los
tipos de solicitacin o carga son: 1.7.1.- Cargas Axiales de Traccin
o Compresin Fig. 1.11.- Barra sometida a cargas de traccin 14
16. Una barra recta esta sometida a cargas de traccin o
compresin sometida a fuerzas paralelas a su eje centroidal.
Dependiendo si la carga tiende a estirar o a comprimir la pieza, la
carga ser de traccin o compresin. 1.7.2.- Cargas Tangenciales o de
Corte Un cuerpo esta sometido a cargas tangenciales o de corte
cuando sus caras o secciones internas soportan fuerzas
tangenciales. P P Fig. 1.12.- Cuerpos sometidos a cargas de
Tangenciales o de Corte 1.7.3.- Cargas de Torsin Una barra esta
sometida a cargas de torsin cuando en sus extremos estn aplicados
momentos con direccin paralela al centroidal. Mom en to Mo mento
Fig. 1.13.- Barra sometida a cargas de Torsin 1.7.4.- Cargas de
Flexin Una viga esta sometida a cargas de flexin cuando soporta
fuerzas y momentos con direccin perpendicular a su eje centroidal
Fuerza Momento Fig. 1.14.- Viga sometida a cargas de Flexin 15
17. 1.7.5.- Cargas Combinadas Los cuerpos y elementos bajo
condiciones de carga reales presentaran la combinacin de los
anteriores tipos de carga. En el presente texto inicialmente se
analizaran los tipos de carga individual separadamente El cmo
combinar los diferentes tipos de carga, se analizar posteriormente.
1.8. DEFORMACIONES Las deformaciones que presentan los cuerpos
dependen de los tipos de carga a los que estn sometidos 1.8.1.-
Deformacin provocada por Cargas de Axiales Fig. 1.15.- Deformacin
provocada por Cargas Axiales Una barra sometida a cargas axiales
adems de experimentar deformacin segn la Direccin de la fuerza, el
cuerpo tambin se deforma en las direcciones normales a ella. La
traccin provoca alargamiento con adelgazamiento y la compresin
acortamiento con ensanchamiento Las deformaciones se definen como:
= lf - lo = (lf lo)/lo q = df - do q = (df do)/do lf, lo, df y do
Deformacin longitudinal Deformacin longitudinal unitaria Deformacin
transversal Deformacin transversal unitaria Dimensiones
longitudinal y normal final e inicial 1.8.2. Coeficiente de Poisson
Se define como coeficiente o mdulo de Poisson a la relacin entre
las ddeformaciones longitudinal y transversal unitarias = q (1.5
16
18. El coeficiente de Poisson vale de 0,25 a 0,35 en los
materiales metlicos, de 0,1 a 0,25 para el concreto y para los
elastmeros y materiales plsticos hasta 0,5. 1.8.3.- Deformacin
provocada por Cargas de Corte Las cuerpos sometidos a Cargas de
Corte mas que deformarse (cambio de dimensiones) se distorsionan
(cambio de forma). Fig. 1.16.- Distorsin provocada por Cargas de
Corte La deformacin se define como: Angulo de inclinacin de las
caras 1.8.4.- Deformacin provocada por Cargas de Torsin Las barras
sometidas a cargas de Torsin no presentan deformaciones
longitudinales sino rotaciones o deformaciones angulares. Las
secciones transversales giran una respecto a otra. Fig. 1.17.-
Deformacin provocada por Cargas de Torsin La deformacin se define
como: Angulo de rotacin entre extremos de la barra 17
19. 1.8.5.- Deformacin provocada por Cargas de Flexin Los
cuerpos generalmente rectos sometidos a cargas de Flexin se vuelven
curvos por lo que presentan deformaciones lineales y angulares.
Fig. 1.18.- Deformacin provocada por Cargas de Flexin Las
deformaciones se definen como: Deformacin lineal Deformacin angular
1.9.- RELACIN ESFUERZO NORMAL DEFORMACIN LONGITUDINAL. 1.9.1.-
Ensayo de traccin El ensayo de traccin consiste en someter a una
barra a cargas axiales y graduales de traccin y hallar las
deformaciones que estas producen. Para ello en una mquina de
ensayos se traccionan probetas normalizadas para poder repetir
internacionalmente el ensayo. Para los aceros, la probeta tiene en
su parte central una seccin transversal circular con un rea de 1
cm2, (dimetro = 11,284 mm). Esta seccin se ensancha gradualmente en
sus extremos para una mejor sujecin a las mordazas de la mquina de
ensayos. L Fig. 1.19.- Probeta para el ensayo de traccin 1.9.2.-
Grafico Esfuerzo Deformacin La relacin entre esfuerzos normales vs.
deformaciones unitarias para el caso del acero comn (acero dulce)
presenta una forma similar al de la figura. 18
20. Fig. 1.20.- Diagrama Esfuerzo - Deformacin 1.9.3.-
Propiedades Mecnicas En el Diagrama Esfuerzo - Deformacin se
definen: a) Zona elstica.- Zona donde las deformaciones no son
permanentes b) Zona plstica.- Zona donde las deformaciones son
permanentes c) Lmite de elasticidad Se.- Esfuerzo mximo que provoca
deformaciones no permanentes d) Lmite de proporcionalidad Sp.-
Esfuerzo mximo donde hay proporcionalidad entre los esfuerzos y las
deformaciones e) Lmite de fluencia Sy.- Esfuerzo que produce uma
aumento de deformacion sin incremento de esfuerzo La esfuerzo de
proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la esfuerzo
de fluencia. p = 0.8 y (1.6 Durante la fluencia se producen
deslizamientos relativos entre los cristales y en la superficie de
la probeta aparecen las llamadas lneas de Chernov - Lders, que
forman con el eje de la misma un ngulo de 45. Fig. 1.21.- Lneas de
Chernov - Lders 19
21. e) Lmite de rotura Sut.- Sobrepasada la fluencia, el
material se endurece y admite un incremento de carga aunque con
grandes deformaciones. El lmite de rotura es el esfuerzo mximo del
grafico. Este esfuerzo luego disminuye hasta que se produce la
rotura o separacin fsica. Fig. 1.22.- Estriccion f) Coeficiente de
estriccin lateral .- Pasado el esfuerzo de rotura Sut, la seccin
central de la pieza se reduce por lo que aumentan las esfuerzos
(diagrama efectivo) aunque para el clculo de las esfuerzos se toma
el rea inicial (diagrama convencional). Fig. 1.23.- Diagrama
efectivo y convencional Se define el coeficiente de estriccin
lateral, como: = Ao A f Af (1.7 donde Ao y Af son las reas inicial
y final. En los aceros ~ 50% g) Mdulo de elasticidad E.- Es la
tangente de la recta en la zona elstica 1.9.4.- Ecuacin de Hooke En
la zona elstica 20
22. tg ( ) = =E (1.8 1.9.5.- Endurecimiento Cuando una pieza
metlica se descarga en la zona plstica, el esfuerzo desaparece por
una recta paralela a la de la zona elstica, quedando una deformacin
permanente. Si la pieza se carga de nuevo la curva llega al punto
N, y la proporcionalidad entre esfuerzos y deformadas se verifica
hasta esfuerzos mayores a la fluencia inicial. Fig. 1.24.-
Endurecimiento mecnico de los metales Este fenmeno se denomina
endurecimiento mecnico o por trabajo en fro y puede lograrse por
laminado en fro, trefilado o torsin. El trefilado se utiliza para
endurecer alambres o barras circulares finas, y el torsionado para
barras redondas. Las caractersticas de los aceros endurecidos son:
- Sus lmites de proporcionalidad y elasticidad son ms elevados que
los aceros comunes. - La deformacin de rotura se reduce
considerablemente - No hay una zona de escurrimiento plstico ni un
lmite de fluencia definido. Este se determina en forma convencional
como la esfuerzo para la cual la deformacin unitaria permanente del
0.2 % Sut Sy Sp Fig. 1.25.- Limite de fluencia de metales
endurecidos 1.9.6.- Materiales dctiles y frgiles 21
23. Los materiales como el acero dulce, que alcanzan una gran
deformacin antes de alcanzar la rotura, se denominan dctiles y los
materiales como el acero duro donde la rotura se produce sin
grandes deformaciones se denominan frgiles. Acero de Alta Calidad M
aterial Fragil Aceros de M edia Calidad Acero Corriente M aterial
Ductil Fig. 1.26.- Materiales dctiles y frgiles 1.9.7.- Modulo de
elasticidad de materiales no metlicos El diagrama esfuerzo
deformacin de algunos materiales no presenta un tramo recto (Ej. el
hormign) y se toman tres valores del mdulo de elasticidad Fig.
1.27.- Diagrama Esfuerzo Deformacin de materiales no metlicos a)
Mdulo al origen.- Que es la tangente en el origen E = tg ( ) (1.9
b) Mdulo instantneo. Que es la tangente en cada punto E= d = tg ( )
d (1.10 c) Mdulo secante.- Que es la tangente del ngulo 1. E = tg
(1 ) (1.11 Para estos materiales, Bach, propone k = E (1.12 22
24. Material Coeficiente k Hormign k = 1,15 Cobre k = 1,10 Latn
k = 1,085 Cuero k = 0,70 En el caso particular en que se toma k =
1, 0 se obtiene la ley de Hooke 1.9.8.- Diagramas esfuerzo
deformacin ideal Para simplificar el manejo matemtico se puede
idealizar los diagramas de esfuerzo deformacin (Prandtl). Para un
material dctil se toman dos tramos rectos, el primero inclinado
correspondiente al perodo elstico; el otro horizontal,
correspondiente al perodo de fluencia. El perodo de endurecimiento
no interesa porque la deformacin al final de la fluencia es tan
significativa que el material est en falla antes de llegar a la
rotura. Sy Sy = Sut Sut y Diagrama ideal de un material ductil ut
Diagrama ideal de un material fragil Diagrama ideal de un material
plastico Fig. 1.28.- Diagrama Esfuerzo Deformacin ideal Para un
material frgil el lmite de proporcionalidad es muy prximo a la
esfuerzo de rotura, prescindindose entonces del tramo curvo. Para
materiales plsticos el diagrama es una recta horizontal, lo que
significa que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente
sin incremento de esfuerzo. 1.10.- RELACIN ESFUERZO CORTANTE
DEFORMACIN ANGULAR. 1.10.1.- Ensayo de corte El ensayo de corte
consiste en someter a un cuerpo a cargas graduales de corte y
hallar las deformaciones que estas producen. Para ello generalmente
un paraleleppedo fijo en su parte inferior y de baja altura es
sometido a cargas de corte P en su cara superior. 23
25. Fig. 1.29.- Probeta para el ensayo de corte La grafica
entre esfuerzos cortantes y deformaciones , es similar a la de
esfuerzos normales. Fig. 1.30.- Grafica esfuerzos cortantes -
deformaciones 1.10.2.- Propiedades Mecnicas En el diagrama se
definen: a) Zona elstica.- Zona donde las deformaciones no son
permanentes b) Zona plstica.- Zona donde las deformaciones son
permanentes c) Lmite de elasticidad Se.- Esfuerzo mximo al que el
material se comporta elsticamente d) Lmite de proporcionalidad Sp.-
Esfuerzo mximo donde se verifica proporcionalidad entre esfuerzos y
deformaciones e) Limite de fluencia Sy.- Esfuerzo que produce uma
aumento de deformacion sin incremento de esfueroz f) Mdulo de
elasticidad transversal G.- Es la tangente de la recta en la zona
elstica 1.10.2.- Ecuacin de Hooke En la zona elstica los esfuerzos
cortantes son proporcionales a las deformaciones angulares tg ( ) =
=G (1.13 24
26. Los mdulos de elasticidad longitudinal y transversal estn
relacionados por: E=2G(1+) (1.14 1.11.- COEFICIENTE DE SEGURIDAD Y
ESFUERZO ADMISIBLE En una pieza existen numerosas causas de
incertidumbres: - Las hiptesis de cargas - Las hiptesis de clculo -
Los errores de clculos - Defectos del material - Errores de las
dimensiones - Errores de ejecucin La falla de una pieza adems de
una perdida econmica puede provocar perdidas humanas por lo que se
debe buscar la mxima seguridad. La teora de probabilidades nos
ensea que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo nico que
puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla.
Para ello el esfuerzo mximo de trabajo no debe superar cierto
valor. max S adm max S ' adm (1.15 (1.16 donde : es el coeficiente
de seguridad un nmero mayor que la unidad SL para materiales
dctiles es el lmite de fluencia y para frgiles es el lmite de
rotura La eleccin del coeficiente de seguridad es compleja pero
disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de
acero; indican valores que varan entre 1.25 y 1.60. Para
estructuras de hormign armado, los coeficientes de seguridad varan
entre 1,75 y 2,10. 1.12.- CARGAS ESTTICAS Y VARIABLES 1.12.1.-
Cargas Estticas Se denominan cargas estticas a aquellas en las que
la magnitud de la carga se mantiene invariable con el transcurso
del tiempo. 25
27. P P ax m Pm i n t Fig. 1.31.- Carga esttica 1.12.2.- Cargas
Variables Cargas Variables son aquellas en las que la magnitud de
la carga vara con el transcurso del tiempo. Por lo general estas
cargas pueden representarse por ondas armnicas. P P ax m t P in m
Fig. 1.32.- Carga variable Se define el valor medio de la carga
como a la semisuma de los valores extremos Pmed = Pmax + Pmin 2
(1.17 Dos casos especiales de las cargas variables son: - Cargas
Intermitentes.- Son aquellas cuyo valor mnimo es cero. P Pm a x P
in m t Fig. 1.33.- Carga Intermitente Pmed = Pmax 2 (1.18 26
28. - Cargas Alternantes.- Son aquellas cuyos valores mximos y
mnimos tienen igual magnitud pero diferente sentido P P ax m t P in
m Fig. 1.34.- Carga Alternante Pmed = Pmax + Pmin =0 2 (1.19
1.12.3.- Teora de Goodman Modificado Existen varias teoras para
verificar la falla frente a cargas variables. En el presente libro
se analizara slo la teora de Goodman Modificado que exige a los
esfuerzos estar dentro de la regin sombreada del Diagrama de
Goodman Esfuerzos Mximos S ut Sy Esfuerzos Medios Se 45 med
Esfuerzos Mnimos -S e Fig. 1.35.- Diagrama de Goodman Para
construir el diagrama se necesitan slo tres valores : El Limite de
Rotura Sut , El Limite de Fluencia Sy y el Limite de Resistencia a
la fatiga Se cuyo valor aproximado es la mitad de la resistencia a
la rotura. 27
29. PROBLEMAS RESUELTOS 1.1. Hallar la capacidad de carga de
dos cables metlicos, el primero de Aluminio con un dimetro de 1 mm
y el segundo de Acero con un dimetro de 0.5 mm. Tomar Sy al 2 2 =
283 Mpa (2884.8 Kg/cm ) y Sy ac= 428 Mpa (4362.8 Kg/cm ). Cable Al
0.1 [cm] (a) Cable Ac 0.05 [cm] (b) Solucin : P Sy A P AS y = De
donde Pal= 22.65 Kg Pac= 8.56 Kg Por lo que el cable de aluminio
puede levantar una mayor carga que el de acero. 1.2. Dos barras a y
b con una longitud inicial de 10 cm y 100 cm y un dimetro de 1 cm,
se deforman hasta alcanzar longitudes finales de 11 cm y 105 cm
respectivamente. Se pide calcular las deformadas longitudinales
(total y unitaria) Solucin : Ntese que: = lf lo = / lo = (lf - lo)/
lo a = 1 cm a = 0.1 (10%) b = 5 cm b = 0.05 (5%) a < b pero a
> b 1.3. En el problema anterior ambas se pide calcular las
deformadas transversales (total y unitaria). Tomar = 0.3 Solucin :
q = - df = q d + d 28
30. qa = - 0.03 (3%) dfa = 0.97 cm qb = - 0.015 (1.5%) dfb =
0.985 cm 1.4. Para el problema 1.2 se pide hallar los esfuerzos a
los que estn sometidas las piezas si son de acero. Tomar E = 2.1 x
10 6 Kg/cm2 = E a = 0.1 (10%) b = 0.05 (5%) Entonces a = 210000
Kg/cm2 b = 105000 Kg/cm2 Ningn material soporta estos esfuerzos.
Estas deformadas (10 y 5 %) son imposibles. Solucin : 1.5. Cual es
la deformada mxima que puede tener un acero antes de fallar. Tomar
Sy = 428 Mpa (4362.8 Kg/cm2) y E = 2.1 x 10 6 Kg/cm2 Solucin : <
Sy = E 0 1.10. Hallar los esfuerzos admisibles para carga esttica,
carga intermitente y carga alternante del material del problema 8
30
32. Solucin : a) Carga esttica b) Carga intermitente c) Carga
alternante 2 S = Sy = 4000 Kg/cm S =. Smax = x/2+3000 2 para x =
2000 S = 4000 Kg/cm 2 S = Se = 3000 Kg/cm 1.11. Para las cargas
dadas determinar en cada caso si hay o no falla con el material del
problema anterior. max = 3500 Kg/cm2 y min = 3500 Kg/cm2. 2 2 max =
3500 Kg/cm y min = 500 Kg/cm . 2 2 max = 4500 Kg/cm y min = 0 Kg/cm
. max = 4500 Kg/cm2 y min = 1500 Kg/cm2. Solucin : med = (max+
min)/2 a med = 0 b med = 1500 Kg/cm2 c med = 2250 Kg/cm2 2 d med =
3000 Kg/cm S 6000 B 4000 3000 C A 45 D(20000,0) -3000 a) b) c) med
E a med = 0 S max = 3000 < a max = 3500 b max = 3500 Kg/cm2 <
4000 Kg/cm2 y = x/2+3000 S max = 3750 > b max = 3500 Kg/cm2 2 b
min = - 500 Kg/cm < 0 y = 1,5 x 3000 2 Smin = - 750 < b min =
-500 Kg/cm 2 2 c max = 2250 Kg/cm < 4000 Kg/cm Hay falla No hay
falla No hay falla 31
33. d) y = x/2+3000 2 Smax = 4125 < b max = 4500 Kg/cm 2 2 d
max = 3000 Kg/cm < 4000 Kg/cm y = x/2+3000 2 Smax = 4500 < b
max = 4500 Kg/cm 2 d min = 3000 Kg/cm > 0 y = 2x 4000 2 Smin =
2000 > b min = 1500 Kg/cm Hay falla No hay falla Hay falla 1.12.
Hallar las ecuaciones genricas de los esfuerzos mximos, esfuerzos
medios y esfuerzos mnimos. S S ut B Sy Se C A 45 D med A(0,0.5*S ut
) B(S ut ,S ut ) C(S y ,S y ) D(Descon,0) E(0,0.5*S ut ) -S e E
Solucin: La ecuacin de la recta conocidos dos puntos es ( y y1 ) (
y 2 y1 ) = ( x x1 ) ( x 2 x1 ) La curva de esfuerzos mximos va de A
a B ( y 0.5S ut ) ( S ut 0.5S ut ) = ( x 0) ( S ut 0) ( x + S ut )
para Smax< Sy S max = 2 Las curvas de esfuerzos mnimos van de B
a E y de C a D ( y S ut ) (0.5S ut S ut ) BE) = ( x S ut ) (0 S ut
) (3x S ut ) para min < 0 S min = 2 CD) Cuando Smin = 0 x =
Sut/3 y la coordenada de D ( Sut/3, 0) 32
34. (y Sy ) (0 S y ) S ( ut S y ) 3 ( x S y )( S y ) y= + Sy S
( ut S y ) 3 ( x S y )( S y ) S min = + Sy S ( ut S y ) 3 (x S y )
= para min > 0 33
35. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.13. Se pide hallar la carga que
pueden levantar (resistencia) dos cables metlicos, el primero de
Aluminio con un dimetro de 2 mm y el segundo de Acero con un
dimetro 2 2 de 1 mm. Tomar Sy al = 2884.8 Kg/cm y Sy ac= 4362.8
Kg/cm 1.14. Se pide hallar resistencia de los cables del
1.anterior, para cargas Alternante e Intermitente. 1.15. Una carga
de 100 Kg se aplica a una pieza de Acero con un dimetro de 1 cm y
una longitud de 100 cm. Se pide calcular las deformadas
longitudinal y transversal. 1.16. En el anterior 1.se pide calcular
la variacin del volumen debido a la deformacin. 1.17. Que carga
aplicada a una pieza cilndrica de Acero con un dimetro de 1 cm y
una longitud de 100 cm produce una deformacin de 0,1 mm. 1.18. Cual
es la deformada mxima que puede tener un Aluminio antes de alcanzar
la 2 2 fluencia. Tomar Sy = 2884.8 Kg/cm y E = 0.7 x 10 6 Kg/cm
1.19. Construir el diagrama de Goodman Modificado para un material
con Sy = 3000 Kg/cm2 Sut = 5000 Kg/cm2 y Se = Sut/2 = 2500 Kg/cm2
1.20. En el anterior 1.hallar las ecuaciones de los esfuerzos
mximos, esfuerzos medios y esfuerzos mnimos. 1.21. Hallar los
esfuerzos admisibles para carga esttica, carga intermitente y carga
alternante del material de los problemas 4 y 5 1.22. Para las
cargas dadas determinar en cada caso si hay o no falla con el
material de los problemas 4, 5 y 6 max = 3000 Kg/cm y min = 3000
Kg/cm . max = 3000 Kg/cm2 y min = 500 Kg/cm2. 2 2 max = 4000 Kg/cm
y min = 0 Kg/cm . 2 2 max = 4000 Kg/cm y min = 1500 Kg/cm . 2 2
1.23. Hallar las ecuaciones genricas de los esfuerzos mximos,
esfuerzos medios y esfuerzos mnimos. 34
37. 2.- TRACCIN COMPRESIN 2.1- INTRODUCCIN Una barra esta
sometida a cargas de traccin o compresin cuando soporta fuerzas en
sus extremos dirigidos a lo largo de su eje centroidal. Dependiendo
si la carga tiende a estirar o a comprimir la pieza, la carga ser
de traccin o compresin. Fuerza Fuerza Fig. 2.1.- Barra sometida a
carga de traccin Ejemplos reales de elementos sometidos a este tipo
de carga son los cables metlicos usados en maquinas de elevacin,
arriostres y elementos de Armaduras. Para la validez de las
ecuaciones y resultados de este captulo se asume la veracidad de
las siguientes condiciones : 1.- Los elementos son rectos 2.- Los
elementos tienen secciones transversales uniformes 3.- Las
secciones transversales permanecen planas y perpendiculares al eje
axial 4.- Las deformaciones son pequeas comparadas con las
dimensiones de la barra 5.- Los esfuerzos no sobrepasan los lmites
de fluencia. 6.- Las cargas estn aplicadas en los centros de
gravedad de la seccin transversal, de modo que no se produce flexin
7.- Los elementos no son tan esbeltos para producir pandeo. 2.2.-
ESFUERZOS Si en una barra sometida a traccin, se dibujan lneas
rectas, paralelas y perpendiculares al eje de la barra antes de su
deformacin, luego de su deformacin las distancias entre las rectas
paralelas disminuyen y entre las rectas perpendiculares aumenta por
lo que la pieza sufre un incremento en su longitud y un decremento
del rea de su seccin transversal. 36
38. Esfuerzos P P Fig. 2.2.- Esfuerzos en una seccin
transversal Entonces en cualquier seccin transversal actan
solamente esfuerzos normales, distribuidas uniformemente. Por lo
que: P = n dA = n dA = n A A n = (2.1 A P A (2.2 n = 0 (2.3 Sin
embargo en una seccin inclinada un ngulo respecto a la seccin
transversal, P P N Q Fig. 2.3.- Esfuerzos en una seccin inclinada
Para equilibrar a la fuerza externa en la seccin aparece una fuerza
interna de igual magnitud la que puede descomponerse en una fuerza
N perpendicular a la seccin que produce esfuerzos normales y en
otra fuerza Q tangencial a la seccin que produce esfuerzos
cortantes. N = P Cos (2.4 Q = P Sin (2.5 = N/A (2.6 = Q/A (2.7
37
39. AN = A Cos (2.8 De 2.2, 2.3 y 2.6 N PCos PCos 2 = = AN A AN
Cos P(1 + Cos 2 ) = 2 AN = (2.9 De 2.4, 2.5 y 2.6 Q PSin PSinCos =
= AN A AN Cos P ( Sin 2 ) = 2 AN = (2.10 Reemplazando = 0 en 2.7 y
2.8, se verifican los resultados de 2.1 Ya que (Sin 2 ) +( Cos 2 )
=1 (2.11 De 2.7 P ( ) 2 AN Cos 2 = P 2 AN (2.12 De 2.8 Sin 2 =
(2.13 Entonces 2 2 P 2 AN P 2 P 2 2 ( ) + = ( ) 2 AN 2 AN (2.14 Lo
que demuestra que la relacin entre y es una circunferencia con
radio de P/2AN y centro en P/2AN, conocido como el circulo de Mohr.
38
40. max P/2AN max Fig. 2.4.- Circulo de Mohr 2.3.- ESFUERZOS
PRINCIPALES Se llaman esfuerzos principales a los valores mximos de
los esfuerzos normales. De 2.7 y 2.8 y del grfico Para = 0 Para =
45 max = N = P/AN 45 = P/2AN min = 0 max = P/2AN (2.15 (2.16 Estos
resultados indican que una barra sometida a carga axial de traccin
y compresin presenta los esfuerzos normales mximos en una seccin
transversal a la carga = 0 y los esfuerzos cortantes mximos en una
seccin a = 45. Para evitar la falla, ambos esfuerzos mximos no
deben exceder de los lmites de fluencias longitudinales y
transversales respectivamente . max = P/AN < Sy max = P/2AN <
Sy (2.17 2.4.- DEFORMACIONES Fig. 2.5.- deformaciones 39
41. Una barra sometida a cargas axiales experimenta cambios en
su longitud y en sus dimensiones transversales. En la seccin 1.8.1
se definieron las deformaciones longitudinales como: = lf - lo = /
lo Deformacin longitudinal Deformacin longitudinal unitaria (2.18
Ahora bien, en la direccin axial solo hay esfuerzos normales y si
estos no sobrepasan el limite de fluencia (zona elstica) es valida
la ecuacin de Hooke 1.8 =E (2.19 = P/AN (2.20 Entonces = Pl 0 EA
(2.21 Ecuacin que indica que la deformacin es proporcional a la
carga P y a la longitud lo de la barra, pero inversamente
proporcional al producto EA, el cual se denomina Rigidez Axial.
Efectivamente, este producto representa la oposicin de la pieza a
la deformacin. La ecuacin es vlida para solicitaciones de traccin
como de compresin. Sin embargo, en cuerpos sujetos a compresin las
ecuaciones pierden validez si los elementos son largos y delgados
donde se presenta un fenmeno denominado pandeo, cuyo estudio se
realiza posteriormente. La ecuacin 2.17 solo es valida para barras
de seccin con rea constante. En una barra con seccin variable se
puede aplicar esta ecuacin a un elemento diferencial dx en la que
el rea se puede considerar constante. dx P P l lf Fig. 2.6.- Barra
de seccin variable 40
42. Pdx EA l Pdx = EA 0 d = Entonces Y (2.22 (2.23 2.5.- CARGA
BIAXIAL Se denomina carga biaxial en un cuerpo que soporta cargas
en dos direcciones perpendiculares. 2.5.1.- Esfuerzos y x x 2 x y 2
1 Fig. 2.7.- Esfuerzos bajo carga biaxial Los esfuerzos normales y
cortantes en una seccin cualquiera l Cos = dy l Sin = dx F1= 0 l dz
- y dx dz Sin - x dy dz Cos = 0 - y Sin2 - x Cos2 = 0 (1 Cos 2 ) (1
+ Cos 2 ) + x 2 2 ( x + y ) ( x y ) = + Cos 2 2 2 =y F2= 0 (2.24
(2.25 (2.26 (2.27 (2.28 (2.29 (2.30 (2.31 = Ya que l dz + y dx dz
Cos -x dy dz Sin = 0 + y Sin Cos - x Sin Sin = 0 (2.32 ( x y ) 2
Sin 2 (Sin 2 )2+( Cos 2 )2 =1 (2.33 41
43. ( + y ) ( y ) x + 2 = x 2 2 2 2 (2.34 Las ecuaciones 2.26 y
2.29 dan los esfuerzos normales y cortantes para cualquier seccin
inclinada. Similar a una dimensin, las ecuaciones representan una
circunferencia con desplazamiento solo en de (x + y )/2, y radio
igual al (x - y )/2. ( x + y)/2 max (x-y)/2 max Fig. 2.8.- Circulo
de Mohr para carga biaxial Los valores mximos de los esfuerzos
normales y cortantes son : max = x min = 0 Para = 0 Para = 90 max =
y min = 0 Para = 45 min = 0 max = (x -y )/2 (2.35 (2.36 (2.37 Los
esfuerzos normales mximos ocurren en las direcciones x y y y los
esfuerzos cortantes mximos en una direccin = 45. 2.5.2.-
Deformaciones Consideremos una placa sometida a cargas traccin
compresin biaxial : 42
44. Fig. 2.9.- Superposicin de deformaciones para carga biaxial
Por el principio de superposicin, se puede superponer las
deformaciones provocadas por las cargas horizontales con las
provocadas por las cargas verticales. Las deformaciones provocadas
por las cargas horizontales x = x /E y = - q = - x /E Las
deformaciones provocadas por las cargas verticales y = y /E x = - q
= - y /E Superponiendo xt = x /E - y /E = x- y yt = y /E - x /E =
y- x (2.38 (2.39 (2.40 (2.41 (2.42 (2.43 2.5.3.- Recipientes de
pared delgada Un caso muy comn de la carga biaxial son los
recipientes de pared delgada sometidos a presin interna. Considrese
un cilindro de radio interior r y espesor de pared delgado e
sometido a una diferencia de presin, p, entre el interior y el
exterior. r/e >= 10 e r Fig. 2.10.- Recipiente cilndrico 43
45. En un punto cualquiera del espesor de la pared se originan
dos esfuerzos normales, uno axial 2 y otra circunferencial 1. d/ 2
1 2 2 d d/ 2 1 Fig. 2.11.- Esfuerzos en un recipiente cilndrico
Debido a que el espesor es pequeo se pueden considerar estos
esfuerzos constantes. Aplicando la esttica en la direccin
circunferencial 1Cos d d 1Cos =0 2 2 (2.44 Aplicando la esttica en
la direccin radial Presin x rea interior = Componente radial
esfuerzo x rea lateral p( rddz ) 2 1 Sin d (edz ) = 0 2 d d = 2 2
pr 1 = e Aplicando la esttica en la direccin axial p (r 2 ) = 2 2re
= 0 pr 2 = 2e Sin (2.45 (2.46 (2.47 (2.48 (2.49 Para recipientes
esfricos los esfuerzos en cualquier direccin se calculan con 2.49
2.6.- PESO PROPIO En cuerpos de gran altura como edificios, torres
y otros, el peso propio del cuerpo origina considerables esfuerzos
y deformaciones por lo que debe ser tomado en cuenta. Las secciones
transversales soportan el peso de la porcin del cuerpo que se
encuentran encima de ellas. A modo de ilustracin consideremos una
torre de 3 personas. En ella la persona de arriba no soporta sobre
sus hombros ninguna carga, 44
46. la del medio soporta sobre sus hombros el peso de una
persona y la de abajo soporta sobre sus hombros el peso de dos
personas. dy W(y) Peso sobre "y" A h y Fig. 2.12.- Peso propio El
peso de un elemento diferencial dy en la que el rea de su seccin
puede tomarse constante es dW = A(y) dy (2.50 El peso de la porcin
del cuerpo sobre una altura y es h W ( y ) = A8 y ) dy (2.51 y Si
se tomar el lmite inferior como cero la ecuacin calcular el peso de
todo el cuerpo. Los esfuerzos son : h = Fuerza = Area P + A( y ) dy
y A (2.52 La deformacin se halla con 2.19 h P + A( y )dy h 0 Pdy y
dy = = EA 0 EA 0 (2.53 Expresin que da la deformacin producida por
una carga exterior y el peso propio. 2.7.- DEFORMACIONES TRMICAS
Los cuerpos tambin se deforman por cambios de temperatura. En el
caso de materiales homogneos e istropos, un cambio de temperatura
origina una deformacin lineal uniforme en todas las direcciones.
45
47. Las deformaciones trmicas lineales se calculan mediante: t
= l T (2.54 donde es el coeficiente de dilatacin trmica lineal
Material Aluminio Fundicin Cobre Acero Hormign Entonces (x 10-6/C)
23.2 10.4 16.7 11.7 10.8 t = T (2.55 La deformacin se debe a la
accin de cargas y a cambios de temperatura. tot = P + t = /E + T
(2.56 sta ecuacin deriva en la ley de Hooke extendida que tambin es
llamada la ley de Duhamel Neumann = E (P - T) (2.57 Si la expansin
trmica de un sistema se restringe por ejemplo anclando una pieza
entre dos paredes rgidas, pequeos cambios de temperatura producen
grandes esfuerzos trmicos. Esto se debe al modulo de Young que para
la mayora de los materiales usados en Ingeniera es grande 2.8.-
PROBLEMAS HIPERESTATICOS Desde el punto de vista esttico, la
condicin de hiperestaticidad viene dada por el hecho de que la
cantidad de ecuaciones que surgen de los planteos de equilibrio de
la Esttica es menor que la cantidad de incgnitas reactivas
planteadas. Para poder resolver estas estructuras es necesario
agregar ecuaciones de compatibilidad. Estas reciben este nombre
precisamente porque tratan de expresar la compatibilidad entre las
deformaciones y la vinculacin existente, que como hemos dicho,
resulta superabundante. Una observacin importante es que la ecuacin
de compatibilidad depende de las caractersticas mecnicas y
geomtricas de los cuerpos. Por esta razn el proceso de
dimensionamiento suele ser iterativo. 46
48. PROBLEMAS RESUELTOS 2 2.1. Una pieza con una seccin de 1 cm
est sometida a una fuerza de traccin en una dimensin de 100 Kg
Hallar los esfuerzos en secciones con ngulos de 0 hasta 360 con un
intervalo de 10. Solucin : =(P/2An)(1+Cos 2) 100.0 97.0 88.3 75.0
58.7 41.3 25.0 11.7 3.0 0.0 3.0 11.7 25.0 41.3 58.7 75.0 88.3 97.0
100.0 97.0 88.3 75.0 58.7 41.3 25.0 11.7 3.0 0.0 3.0 11.7 25.0 41.3
58.7 75.0 88.3 97.0 100.0 =(P/2An)(Sin 2) 0.0 17.1 32.1 43.3 49.2
49.2 43.3 32.1 17.1 0.0 -17.1 -32.1 -43.3 -49.2 -49.2 -43.3 -32.1
-17.1 0.0 17.1 32.1 43.3 49.2 49.2 43.3 32.1 17.1 0.0 -17.1 -32.1
-43.3 -49.2 -49.2 -43.3 -32.1 -17.1 0.0 60.0 40.0 20.0 Esf Corte
(Gr) (Rad) 0 0.0 10 0.2 20 0.3 30 0.5 40 0.7 50 0.9 60 1.0 70 1.2
80 1.4 90 1.6 100 1.7 110 1.9 120 2.1 130 2.3 140 2.4 150 2.6 160
2.8 170 3.0 180 3.1 190 3.3 200 3.5 210 3.7 220 3.8 230 4.0 240 4.2
250 4.4 260 4.5 270 4.7 280 4.9 290 5.1 300 5.2 310 5.4 320 5.6 330
5.8 340 5.9 350 6.1 360 6.3 0.0 -50.0 0.0 50.0 100.0 -20.0 -40.0
-60.0 Esf Normal 47
50. 2.4. Hallar los esfuerzos mximos del problema 2.3. Solucin
: 2 =0 max = x = 90 kg/cm = 90 max = y = -120 Kg/cm2 2 = 45 max =
(x -y )/2 = 105 kg/cm 2.5. Una pieza cilndrica de Acero tiene = 3
cm y largo L=100 cm est sometida a una carga de 1000 Kg Se pide
hallar : Los esfuerzos mximos o Los esfuerzos a 30 Las deformadas
total y unitaria longitudinal y transversal Los coeficientes de
seguridad Sy= 1800 Kg/cm2 y Sy= 960 Kg/cm2 Soluciona: a) b) c) d) A
= /4= 7,07 cm 2 max = N = P/AN = = 141,47 Kg/cm 2 max = P/2AN =
70,73 Kg/cm = (P/2AN )(1 + Cos 2) 2 30 = 106,10 Kg/cm = (P/2AN) Sin
2 30 = 61,25 Kg/cm2 = Pl/EA= 6,73 x 10-3 cm = /l = 67 x 10-6 ( 67 x
10 4 %) q= - = -20,20 x 10 6 (-20,20 x 10 4 %) q = q d = -60,6 x 10
6 cm = Sy/max = 1800/141,47= 12,72 = Sy/max = 960/70,73= 13,57 2 2
para = 0 para = 45o o 2.6. Una pieza de a = 2 cm de ancho por b = 3
cm de alto y c = 1 cm de profundidad est sometida a una fuerza
horizontal de 100 Kg y una vertical de 200 Kg Se pide hallar las
dimensiones finales. Tomar =0.3 200[kg] c 100[kg] b a 49
51. Solucin : x = Fx/(b c) = 33,33 Kg/cm2 y= Fy/(a c) = 100,00
Kg/cm2 xt= x /E - y /E = 1,58 x 10-6 yt= y /E - x /E = 4,28 x 10-5
af= a + a xt = 2,000003 cm bf= b + b yt= 3,00012 cm 2.7.- Halle la
distribucin de esfuerzos en una barra cnica con radios ro y 2ro y
longitud l sometida a cargas de compresin F Solucin: La ecuacin del
radio El esfuerzo x r ( x) = ro (1 + ) l F ( x) = x ro 2 (1 + ) 2 l
2.8.- Halle la forma de la seccin de una barra que soporta una
carga F para que los esfuerzos sean constantes Solucin: h De 2.50 =
Fuerza = Area P + A ( y ) dy y A( y ) = cte 50
52. h P + A( y )dy = A( y )cte y Derivando A( y) = dy =
Integrando y= dA( y ) cte dy dA( y) cte 2rdr cte 2dr cte = = A( y )
r r 2 2cte r = ke ln(r ) + cte1 y 2 cte 2.9.- Dimensionar las
barras del reticulado de la figura. Para las barras 1 y 2 debe 2 2
emplearse madera con adm = 80 kg/cm , adm = L/300 y E = 100 t/cm y
para la barra 2 2 3 debe emplearse acero con adm = 2.400 kg/cm ,
adm = L/500 y E = 2.100 kg/cm Solucin: Las barras de madera
soportan P = 2830 Kg Amad = Pmad/ Smad = 35,4 cm2 Se adopta una
escuadra de 3 x 2 con un rea de A = 38.7 cm2 mad = Pl 283 = 0,2cm
< = 0,94cm EA 3002 La barra de acero soporta P = 2000 Kg 2 Aac =
Pac/ Sac = 0,83 cm 2 Se adopta una barra de 1 12 con un rea de A =
1,13 cm 51
53. ac = Pl 400 = 0,34cm < = 0,8cm EA 500 2.10. En la
pirmide truncada de rea transversal cuadrada de la figura. Se pide
calcular: a) El peso parcial sobre cualquier altura y b) El
esfuerzo normal mximo c) La deformada total 60[cm] SEC. A-A dy A
1000[cm] A y 90[cm] Solucin : b(y) = (- 30/1000) y + 90 a) El peso
sobre y es h h y y W ( y ) = A( y )dy = W ( y) = 4 2 [( 30 / 1000)
y + 90] dy 250 3 30 y 3 + 90 60 1000 90 b) El esfuerzo normal es
mximo en la base ( y = 0) max = 250(603 903 ) 90 3 max = 552.68 c)
La deformada h Wdy EA 0 = h = 0 250 90 3 30 60 3 y + 90 dy 1000 2
30 E y + 90 1000 = 305441.34/E 52
54. 2.11. En la pieza cnica truncada de la figura, se pide
hallar la deformacin debida a la accin de la fuerza P y del peso
propio. P D/2 SEC. B-B dy B h B y D Solucin : h = [P + W ( y )]dy
EA 0 D y + 2 2 h d= A= d 2 4 = D y + 2 4 2 h 2 2 y y D2 y W ( y ) =
A( y )dy = 2 dy h 0 0 4 4 W ( y) = = h 0 = D 2 16 D 2 h y h 2 = h 3
0 48 ( P + W ) dy = EA 3 h y 3 y D 2 h 3 2 2 P 48 h 0 E D y 2 4 2 h
2 3 y 3 2 2 h dy h(48P + D 2 5) 6 ED 2 2.12. En el sistema de la
figura se piden las esfuerzos en los cables. 53
55. l l (b) l (c) (a) (b) P (c) b a l/2 l c Solucin: Fy = 0 Ta
+ Tb + Tc = P (i Ma = 0 P l/2 Tb l Tc 2l = P/2 - Tb Tc 2 = 0 (ii El
sistema es hiperesttico con 3 incgnitas (Ta,Tb,Tc) y 2 ecuaciones.
La tercera ecuacin se halla analizando las deformaciones (a - c)/2l
= (b - c)/l Tl Ta l Tl Tl c = 2 b c EA EA EAa EAc c b De i, ii y
iii Ta Tc = 2 (Tb Tc) Ta 2 Tb + Tc = 0 Ta = P - Tb - Tc = 2 Tb - Tc
Tb = P/3 Tc = P/12 Ta = 7P/12 (iii 2.13. En el sistema de la figura
se piden las esfuerzos en los cables =30 =60 P Solucin : Fy = 0 Fx
= 0 lb = la Sin = 0.5 la lb = lc Sin = 0.866 lc Ta Sin + Tb+Tc Sin
= P Ta 0.5 + Tb + Tc 0,866 = P Ta Cos = Tc Cos Ta 0,866 = Tc /2 (I
(ii 54
56. Ma = 0 No existe ya que las fuerzas son concurrentes
Sistema hiperesttico con 3 incgnitas (Ta,Tb,Tc) y 2 ecuaciones. De
las deformaciones O O O' Del grfico De iii y iv De iv y v De vi De
vii De viii y ix O' a = OOSin (-) = Ta la / EA (iii b = OOSin (90-)
= Tblb/EA (iv c = OOSin (+) = Tclc/EA (v (vi Ta la/ Sin (-) = Tb
lb/ Sin (90-) Tb lb/ Sin (90-) = Tc lc/ Sin (+) (vii la 0.5 = lb lc
0,866= lb Tala/(Sin Cos - Sin Cos ) = Tblb/ Cos Ta (lb/0.5)/(Cos
0.5- Sin 0,866) = Tblb/ Cos Ta = 0.5Tb( 0.5- 0.866 Tan ) 0.5 - (Ta
/ 0.5Tb) = 0.866 Tan Tan = [( 0.52Tb - Ta) / (0.5Tb)]/0.866 (viii
Tb lb/ Cos = Tc lc/ SinCos+Sin Cos) Tb lb/ Cos = Tc (lb/0.866)/
(0.866Cos+Sin 0.5) 0.5 Tan = (Tc/0.866 Tb) 0.866 Tan = [(Tc
0.8662Tb) / (0.866 Tb)]/0.5 (ix [( 0.52Tb - Ta) / (0.5Tb)] 0.5=
[(Tc 0.8662Tb) / (0.866 Tb)] 0.866 ( 0.52Tb - Ta)= (Tc 0.8662Tb)
1.3862Tb = Ta + Tc (x Esta es la ecuacin de deformaciones. Con ella
Ta = 0.211 P Tc = 0.366 P Tb = 0.577 P 55
57. 2.14. En el sistema de la figura se piden hallar los
esfuerzos en los cables a y b. La barra horizontal se supone rgida
y articulada en la pared Ta l/2 Rx Ry l/2 l/2 P Tb l/2 l/2 P
Solucin: Tan = (l/2)/(l/2) = 1 = 45 Tan = (l/2)/l = 0.5 = 26,56 Fx
= 0 Rx- TaCos -Tb Cos = 0 Fy = 0 Ry + Ta Sin +Tb Sin -P= 0 Mo = 0 -
Ta Sin l/2 -Tb Sin l + P l= 0 Ta 0.3535 + Tb 0.4472 = P Son tres
ecuaciones con cuatro incgnitas Rx , Ry , Ta y Tb (i (ii (iii l/2 A
A' a Del grafico Entonces De donde B' b la Cos =l/2 lb Cos = l a=
AASin b= BBSin AA= BB/2 AA = a / Sin = BB/2 = b /2 Sin Tala/(EA Sin
) = Tblb/ (2EA Sin ) Ta/(2 Cos Sin ) = Tb/ (2 Cos Sin ) Ta/ Sin (2
) = Tb/ Sin (2 ) Ta/ 1 = Tb/ 0.8 Ta = 1.405 P Tb = 1.124 P (iv
56
58. 2.15. Hallar las esfuerzos en los cables a y b 30 Ta (a) 30
(b) 30 Rx 60 30 Tb 60 Ry l/2 l/2 P P Solucin : Fx = 0 Fy = 0 Mo = 0
Rx + Ta Sin 30 = 0 Ry + Ta Cos 30 + Tb -P= 0 -Ta l/2 -Tb Sin 60 l +
P Sin 60 l/2 = 0 -Ta 0,5 -Tb 0,866 + P 0,433 = 0 (i (ii (iii El
sistema es hiperesttico con tres ecuaciones y cuatro incgnitas Rx ,
Ry , Ta y Tb 30 (a) 60 A B A' 60 b B' Entonces lb Cos 30 = la a=
AASin 90 b= BBSin 60 AA= BB/2 AA = a / Sin 90 = BB/2 = b /(2 Sin
60) Tala/(EA) = Tblb/ (2EA Sin 60) Ta lb Cos 30 = Tb lb / (2 Sin
60) Ta 1,5 = Tb (iv De donde Ta = 0,2406 P Tb = 0,361 P 57
59. 2.16. Se pide hallar el dimetro de la barra AC. Tomar Sy =
1800 Kg/cm2 A T AC 20 30 B 60 2T BC Cos B C P Vista Lateral P
Solucin : Tan = 20/60 = 18.43 = 14.03 Tan = 15/60 Fy = 0 TAC Sin =
P TAC = 3163.09 Kg Fx = 0 TAC Cos + 2TBC Cos = 0 TBC = - 1546.56 kg
Analizando solo la barra AC AC = TAC/( dAC2/4) < Sy Traccin
Compresin - Pandeo dAC = 1.49 cm 2.17. En el sistema de la figura
se piden las reacciones en A y B 30[cm] B Rb B T 2 40[cm] P y P 1 x
A A 60[cm] Ra Solucin : Fy = 0 Rb = Ra + P Las ecuaciones de los
crculos respecto del sistema x - y son 2 (i 2 x +y = 302 2 2 x +
(y-40) =152 los dimetros 1 = 2 (30 -y ) 2 2 1/2 58
60. 2 = 2 [152-(y-40)2]1/2 stos se igualan a un altura de 2 2
1/2 2 2 1/2 2(30 -y ) = 2[15 -(y-40) ] 2 2 2 2 30 -y = 15 - y + 80y
1600 y = 28,43 La deformacin total es nula t = 1 + 2= 0 1 = 28.43 0
1 = 2 = [ Ra dy 4 E 2(30 y ) ] 2 1/ 2 2 2 = Ra E 60 28.43 0 1 1 (30
+ y) + (30 y) dy Ra (3.6167) E 60 ( Ra + P )dy 4 40 ( Ra + P) 1 1
dy + E 30 2843 15 + ( y 40) 15 ( y 40) , 40 = E [2(15 ( y 40) ) ] (
Ra + P) 2 = ( 2.0472 ) E 30 Ra ( R + P) (3.6167 ) + a 1 + 2 = (
2.0472) = 0 E 60 E 30 2 1/ 2 2 2 28, 43 Ra = - 0.259 P Rb = 0.741 P
2.18. Se pide hallar las reacciones en las paredes del sistema de
la figura 1 60 30 A 45 RA P 30 B 10 2 RA A x P 3 RB B Solucin : Fx=
0 Rb + P = Ra (i Los dimetros y deformadas d1= -30 x/45 + 60 d2= 30
d3= 3 x - 195 59
61. 1 = 45 Ra 4 4 Ra 45 E ( 30 x / 45 + 60) dx = E (30 x / 45 +
60) 30 2 0 4( 45) Ra 1 1 1 = ( ) = Ra 9,09e 7 E 30 30 60 R 30(4) 2
= a = Ra 2,02e 8 E 30 2 85 ( Ra P ) 4 4( Ra P ) 3 = dx = 2 E (3x
195)(3) 75 E (3 x 195 ) 3 = 4( Ra P ) 1 1 ( ) = ( Ra P )3,36e 9 E
(3) 60 30 t = 1 + 2 + 3 = La ecuacin de deformadas Ra9,09e - 7 +
Ra2,03e 8 + (Ra - P)3,36e 9 = 0,001 Ra = 0.75 P Rb = 0.25 P 2.19.
Hallar los esfuerzos en las barras del sistema de la figura 100 cm
a b Tb a 30 Ta P Ta P Solucin Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Ta Cos 30 = Ta
Cos 30 2 Ta Sin 30 + Tb = P Las fuerzas son concurrentes No aporta
(i Se tiene una ecuacin y dos incgnitas. De las deformaciones
60
62. b a a 30 O b a O' b = OO a = OOSin 30 b = a /Sin 30 Tb
lb/EA=Tala/(EA Sin 30) la Sin 30 = lb Tb la Sin 30=Ta la/Sin 30 Tb
= Ta / Sin2 30 Tb = 4Ta De i y ii (ii 2 Ta Sin 30 + 4Ta = P Ta =
0.2 P Tb = 0.8 P 2.20. Una barra rgida horizontal esta articulada
en su extremo izquierdo mientras que en su extremo derecho hay tres
cables y un peso W como se indica en la figura. a) Determinar las
expresiones para calcular los esfuerzos en cada una de las barras y
la fuerza total sobre la barra AO. b) Utilizando las anteriores
relaciones determinar las esfuerzos s: A1 = A2 = A3 = 2 cm2 = 30; =
45; W = 2500 kg L 2,A 2 ,E 0 L 1,A 1 ,E 0 L 3 ,A 3 ,E 0 L a W
Solucin. Mo = 0 (T1 cos )a + T2 a + (T3 cos )a Wa = 0 T1 cos + T2 +
T3 cos W = 0 (i 61
63. 1 3 2 Adems cos = 1 / 2 cos = 3 / 2 l1 Cos = l2 = l3 Cos
(ii (iv A T1 = cos 2 1 A 2 A T3 = cos 2 3 A 2 T2 T2 (v cos A1W A2 +
cos 3 A3 + cos 3 A1 (vi A2W T2 = 3 A2 + cos A3 + cos 3 A1 (vii cos
2 A3W T3 = A2 + cos 3 A3 + cos 3 A1 (viii T1 = 2 Adems y T1 T2 T3 R
x W T3 sen T1 sen R = 0 W (cos 2 sen A3 cos 2 sen A1 ) R= A2 + cos
3 A3 + cos 3 A1 (ix De donde T1= 936.062 Kg T2 = 1248 Kg T3 =
624.041 Kg R = - 26.768 Kg 62
64. 2.21. Hallar la deformacin total de la barra de la figura,
considerando el material 6 2 Acero con D = 10 cm, l = 50 cm, E =
2.1x10 Kg/cm y P = 2000 Kg P D/2 2P l/2 D/3 l/2 D l/2 Solucin : T =
l /2 0 P1 dx l P2 dx 3l / 2 P3 dx + + EA1 l 2 EA2 EA3 / l P1 = -P
(compresin) P2 = -P (compresin) P3 = P (traccin) D D1 = 2 D 3 5D 2
2 2 A1 = ( D1 d1 ) = 4 144 d1 = D2 = Dx D 2x + l + = D( ) 2l 4 4l
d2 = D 3 A2 = ( D2 d 2 ) = 2 4 2 2 D 2 2 x + l 1 4 4l 9 Dx D 2x + l
+ = D( ) 2l 4 4l D3 = d3 = 0 A3 = T = ( D3 d 3 ) = 2 4 l/2 0 2 2 D
2 2 x + l 4 4l P1 dx l P2 dx 3l / 2 P3 dx 72 Pl 12 Pl 25 8Pl + + =
ln + EA1 l 2 EA2 EA3 5ED 2 ED 2 13 3ED 2 / l Reemplazando T = -
0,00296 cm 63
65. 2.22. Para el sistema de la figura, se pide determinar las
reacciones que soportan las paredes rgidas por efecto de las cargas
que se indican. El espesor de la barra es b y 6 2 L = 30 cm; H = 10
cm; h = H/3; E = 2.1x10 kg/cm ; P = 5000 kg; b = 5 cm l/2 B P A H
2P h H B-B B l l b l x Solucin : l T = 0 P1 dx 2l P2 dx 5l / 2 P3
dx 3l P4 dx + + + EA1 EA2 EA3 5l/ 2 EA3 l 2l 2x A1 = b1 H 3l A2 =
bH / 3 bH (l + 2 x' ) H h A3 = A4 = b x'+ h = 3l l Asumiendo que el
bloque no llega a chocar en el extremo izquierdo P1 = 0 P2 = P P3 =
P P4 = 3P Reemplazando l T = 0 l T = 0 T = 2l 0dx Pdx + + bH 2x l E
Eb1 H 3 3l 2l 0dx Pdx + + bH 2x Eb1 H l E 3 3l l/2 l/2 0 0 l Pdx
3Pdx + bH (l + 2 x' ) l 2 bH (l + 2 x' ) / E E 3l 3l l Pdx 3Pdx +
bH (l + 2 x' ) l 2 bH (l + 2 x' ) / E E 3l 3l PL 9 (3 3 ln 2 + ln
3) = 0.00837cm EbH 2 ya que ste valor es mayor a la tolerancia
indicada, hay contacto en la pared izquierda por lo que se debe
tomar en cuenta la reaccin R1 sobre la pared izquierda del apoyo.
Recalculamos la deformada con P1 = - R1 64
66. P2 = P - R1 P3 = P - R1 P4 = 3P - R1 Y la deformacin iguala
a la tolerancia dada (=0.001) l T = 0 T = R1dx ( P R1 )dx + + bH 2x
l E Eb1 H 3 3l 2l l/2 0 ( P R1 )dx (3P R1 )dx + = 0.001 bH (l + 2
x' ) l 2 bH (l + 2 x' ) / E E 3l 3l l 3Pl 3R l (2 2 ln 2 + 3 ln 3)
1 (ln 3 + 1) = 0.001 2 EbH EbH De donde R1 = 4657.03 Kg Adems R2 =
P + 2P R1 R P 1 De donde R 2 2P R2 = 10342.97 Kg 2.23. Hallar una
expresin para determinar la deformacin que sufre una barra con
seccin variable segn una funcin cuadrtica, como se ve en la figura.
y y P D x d D f(x2) Dx dx x d x l Solucin : t = l 0 Pdx EAx la
variacin del dimetro en funcin de x es cuadrtica 65
67. D x = Ax 2 + B para x = 0 para x = l Dx = d Dx = D
Resolviendo Dd Dx = 2 x 2 + d l Ax = t = D d 4 l2 l E D d x 2 Pdx 0
De donde 2 x + d 2 +d 2 4 l 2 2 Pl 1 + D arctg D d t = d (D d ) E d
D Dd 2.24. Hallar una expresin para determinar la reaccin en cada
uno de los apoyos, de los elementos mostrados en la figura,
originados por un aumento de la temperatura T, considerando como
datos: , l, a. a Cu Al a/2 l a l Solucin : Suponiendo que la
deformacin por dilatacin es mayor a la holgura Cu Al La deformada
en la pieza de cobre por esfuerzos es l Rdx cu = 0E A cu x 66
68. Dx = a x ( + 1) 2 l l Rdx 0 a x cu = Ecu + 1 4 2 l 2 8Rl E
cu a 2 En el aluminio la deformacin es similar: l Rdx al = 0E A al
x a x D x = ( + 1) 2 l l Rdx al = 2 0 a x Eal + 1 4 2 l 8 Rl al =
Eala 2 La deformacin por la variacin de temperatura: cu = Adems T =
l cu T + l al T = l ( cu + al )T cu + al = T reemplazando,
obtenemos: 8Rl 8Rl + = l ( cu + al )T E cu a 2 E al a 2 8R * l E cu
* * a 2 + 8R * l E al * * a 2 = l * T ( cu + al ) De donde: 8 Rl 8
Rl + = l ( cu + al )T Ecua 2 Eala 2 R= Ecu Eala 2 2 Ecu + Eal [l (
cu + al )T ] 2.25. Para el sistema de la figura se pide calcular
las reacciones en los extremos por efectos de dilatacin cuando la
temperatura aumenta de 25 a 120C, tomar : l = 20 cm, 67
69. D = 5 cm, d = 2 cm, cu = 17x10-6[1/C]; al = 22.2x10-5[1/C];
Ecu = 1.1x106 Kg/cm2; Eal 5 2 = 7x10 Kg/cm T=25 C Cu Al l D l d
Solucin : La deformacin debido a la dilatacin es: T = l cu T + l al
T = l ( cu + al )T T = 20(17 x10 6 + 22.2 x10 5 )(120 25) T =
0.4541cm Ya que la deformada es mayor a la holgura, hay contacto en
la pared derecha. R = T dx Dx Cu R Al x x l R = 0 2l P1 dx P dx + 2
E al Aal l E cu Acu P1 = R 2 A1 = d /4 P2 = R 2 A2 = Dx /4 El
dimetro es lineal Dx = A x + B de las condiciones de borde se
obtiene que: 68
70. Dd x + 2d D l Dx = reemplazando: l R = 0 resolviendo: R =
Reemplazando Rdx + d 2 E al 4 2l Rdx l E cu Dd 4 l x + 2d D 2 4 R(
DE al + dEcu ) Dd 2E al E cu 4 R( DEal + dE cu ) Dd 2 E al E cu = T
con los datos R = 2599.39 Kg 2.26. Para el sistema de la figura se
piden las fuerzas que soportan los cables que soportan a la barra
rgida, articulada en uno de sus extremos. E,A ,l1 1 E,A ,l2 2 l l l
E,A ,l3 3 P Solucin : Las deformaciones 1 a 3 2 b por semejanza a /
l = b / (2l) 1 = a Sin 2 = b Sin 3 = b Sin 69
71. adems reemplazando: l = l1 Cos l = l2 Cos l = l3 Cos 2 sen
=2 1 sen 1 sen 2 = 2 sen 1sen 3 = 2 sen Las deformadas: Tl 1 = 1 1
EA1 Tl 2 = 2 2 EA2 T3 l 3 3 = EA3 l l T2 T1 cos cos sen =2 EA2 EA1
sen 2 sen cos A2T1 T2 = sen cos A1 l l T3 T1 cos cos sen =2 EA3
EA1sen 2sen cos A3T1 T3 = sen cos A1 De la esttica T1senl Pl + T2
sen 2l + T3sen 2l = 0 sen cos A1P T1 = K sen cos A2 2P T2 = K sen
cos A3 2P T3 = K K = A1 sen 2 cos + 4 A2 sen 2 cos + 4 A3 sen 2 cos
donde 70
72. 2.27. Determinar la deformacin debido al peso propio del
bloque mostrado en la figura. La seccin transversal es circular y
con variacin parablica H x ry y H dy y wy H/3 y Solucin : T = H 0
w( y ) dy EAy la ec. de la parbola es x xo = P( y y o ) 2 ( xo , yo
) = ( para x = H/2 H ,H) 6 y=0 ( y H )2 H + 3H 6 El rea a cualquier
altura y es: x = rr = ( y H )2 H 2 A( y ) = rr = + 6 3H 2 El peso
por debajo de y es: w( y ) = ry dy 2 Reemplazando y simplificando:
w( y ) = 2 (47 H 5 135 H 4 y + 180 H 3 y 2 140 H 2 y 3 + 60 Hy 4 12
y 5 ) H 540 La deformada : 71
73. 47 H 5 135 H 4 y + 180 H 3 y 2 140 H 2 y 3 + 60 Hy 4 12 y 5
2 H T = H 540 2 0 ( y H )2 H E + 6 3H ( ) dy simplificando: T = H 2
90 E (17 + 6 ln 3) 72
74. PROBLEMAS PROPUESTOS 2.28. Hallar el esfuerzo normal en una
barra de seccin circular sujeta a una carga de traccin de 100 Kg si
su dimetro es de 1 cm. 2.29. Hallar los esfuerzos normal y cortante
para una seccin a 30 en el anterior problema 2.30. Una pieza esta
sometida a esfuerzos de traccin compresin en dos dimensiones con x
= - 120 Kg/cm2 y y = -150 Kg/cm2. Hallar los esfuerzos para una
seccin que forma un ngulo de 30 con la horizontal 2.31. Hallar el
crculo de Mohr y los esfuerzos mximos en el anterior problema.
2.32. Una pieza de acero tiene seccin cuadrada de 3 x 4 cm y un
largo de 900 cm y esta sometida a una carga de 1500 Kg Se pide
hallar : Los esfuerzos mximos Los esfuerzos a 30o Las deformadas
total y unitaria longitudinal y transversal Los coeficientes de
seguridad Sy = 1800 Kg/cm2 y Sy= 960 Kg/cm2 2.33. Una pieza de a =
3 cm de ancho por b = 4 cm de alto y c = 2 cm de profundidad esta
sometida a una fuerza horizontal de 150 Kg y una vertical de -200
Kg Se pide hallar las dimensiones finales. Tomar =0.3 200[kg] c
150[kg] b a 2.34. En el sistema de la figura la seccin transversal
es circular y las dimensiones estn en centmetros. Se pide hallar :
a) El peso parcial sobre cualquier altura y b) El esfuerzo normal
mximo c) La deformada total 73
75. 30 1000 y 500 15 45 2.35. En el sistema de la figura se
piden los esfuerzos en los cables. l l (a) (b) (c) (b) (a) l/2 P
2.36. En el sistema de la figura se piden los esfuerzos en los
cables 30 (a) 45 60 (b) (c) P 74
76. 2.37. En el sistema de la figura se pide hallar las fuerzas
que soportan los cables l/4 (a) (b) (c) (d) l/5 l/5 (e) l/5 l/5 l/5
P 2.38. En el sistema de la figura se pide hallar las fuerzas que
soportan los cables 30 (a) (b) 30 (c) 60 l/2 l/2 P 2.39. Se pide
hallar el dimetro de la barra AC. Tomar Sy = 1800 Kg/cm2 A A 20 30
B B 60 C P 2.40. En el sistema de la figura se pide hallar la
deformacin total debido al peso propio. 75
77. 30 40 P 25 60 2.41. Las unidades en el sistema de la figura
son centmetros. Se pide las reacciones en A y B B 40 50 P 30 A 50
2.42. Se pide hallar las reacciones en las paredes. Tomar = 0.01 cm
70 40 A 60 P 50 B 20 2.43. Tres barras se encuentran articuladas en
A para soportar juntas, un peso W como se indica en la figura. El
desplazamiento horizontal del punto A esta impedido por una varilla
corta horizontal AO que se supone infinitamente rgida, a)
Determinar las expresiones para calcular los esfuerzos en cada una
de las barras y la fuerza total sobre la barra AO. b) Utilizando
las anteriores relaciones determinar las esfuerzos s: A1=A2=A3=2
cm2 =30; =45; W=2500[kg]. 76
78. l/4 l/4 l/4 l/4 l/3 A P 2.44. Determinar la deformacin
total del sistema de la figura. Tomar E = 2.1x106 Kg/cm2 y P = 2000
Kg 0.35 P 60 45 45 2.45. Hallar la deformada debido a la fuerza P y
el peso propio P D h dy A A y D/2 2.46. En el sistema mostrado en
la figura determinar las reacciones que soportan las paredes rgidas
por efecto de las cargas y un incremento de la temperatura .
Considerar una seccin rectangular de espesor constante b y los
siguientes datos: L=30 cm; H=10 cm; h=H/3; E=2.1x106 kg/cm2 ;
P=5000 kg; b=5 cm T = 90C 77
79. l/2 B P A H 2P h H B-B B l l b l 2.47 Hallar una expresin
para determinar la deformacin que sufre una barra con seccin
variable segn una funcin cbica, como se ve en la figura. y y P D d
x Dx D dx f(x2) x d x l 2.48. Hallar una expresin para determinar
la reaccin en cada uno de los apoyos, de los elementos mostrados en
la figura, debido a la variacin de temperatura T, considerando como
datos: , l, a. T a/2 Cu a l Al l 2.49. Si la temperatura aumenta a
120 C, determinar las reacciones que soportan los apoyos luego de
la dilatacin, tomando: l = 20 [cm]; D = 5 [cm]; d = 2 [cm]; cu =
17x10-6[1/C]; al = 22.2x10-5[1/C]; Ecu = 1.1x106[Kg/cm2]; Eal =
7x105[Kg/cm2 78
80. T a Al Cu d l D l =0.01cm 2.50. Hallar los esfuerzos en el
sistema de la figura. Cuando las deformaciones adems de la carga P
provienen de un incremento de la temperatura T E,A,l1 1 E,A,l2 2 l
l l E,A,l3 3 P 2.51. Determinar la variacin que debe tener la
seccin circular del elemento de la figura, de modo que los
esfuerzos debido al peso propio sean constantes. ry y dy wy y
79
81. 2.52. La barra maciza mostrad en la figura, consta de un
tramo troncocnico y otro cilndrico, determinar la deformacin total
del sistema siendo el material el mismo para ambos tramos. d D 3P P
l 2P l 2.53. Determinar la expresin para calcular la deformacin
total de la barra, que tiene una perforacin que produce una pared
de espesor constante t, como se muestra en la figura, la barra se
encuentra sometida a la accin de las respectivas cargas. La seccin
de la barra vara segn se ve en dicha figura. t D l/2 2P 3P 2P P D/2
l l 2.54. La barra mostrada en la figura se encuentra sometida a la
accin de las fuerzas mostradas que produce una reaccin interna de
la barra, debido a los apoyos que se muestran, determinar las
reacciones que se producen en dichos apoyos, considerando adems que
los materiales tienen diferente mdulo de elasticidad, y su seccin
transversal es circular y varia en cada tramo. 3P 2P E 2 d 2d E 1 E
1 l l l 80
82. 2.55. Determinar la ecuacin para determinar el rea de las
secciones transversales de los elementos elsticos que se muestran
en la figura. Considerar conocidas las longitudes de cada una de
stas. 1 2 a P 3 a 2.56. Hallar los esfuerzos de los elementos
mostrados en la figura. 1 2 P a 2.57. Hallar los esfuerzos en las
barras de la armadura mostrada en la figura cuando se aplica la
fuerza indicada. Considerar E, A igual para todas las barras. a 1 2
a a P 81
83. 2.58. Una armadura simtrica experimenta las cargas
mostradas en la figura. Determinar los esfuerzos normales que
experimentan cada una de ellas. 1 1 a 3a 3a 2 2 P 2.59. Calcular
las esfuerzos de montaje de los elementos flexibles mostrados en la
figura, si uno de ellos fue fabricado con una falla en su longitud
=0.5cm. a=1[m] 2a =30 a 2.60. Determinar los desplazamientos,
horizontal y vertical, del punto de aplicacin de la fuerza P, adems
determinar todas las esfuerzos en las diferentes barras.
Considerar, el mdulo de rigidez a la esfuerzo EA, constante. l 2l 1
2 3 l l P . 82
84. 2.61. Determinar el desplazamiento del punto A debido a las
cargas aplicadas sobre la armadura mostrada en la figura. 2l l 3 1
2 l A l P 83
85. 3.- CORTE PURO 3.1.- INTRODUCCIN Como se vio en el captulo
1 en cualquier seccin de un cuerpo que soporta cargas externas, se
origina una fuerza interna que puede descomponerse dos fuerzas la
primera con direccin normal y la segunda con direccin tangencial a
la seccin. Cuando la fuerza interna solo tiene un componente
tangencial a la seccin se originan esfuerzos cortantes y la carga
se conoce como de corte. Fig. 3.1.- Esfuerzos normales y cortantes
Una pieza est sometida a cargas y esfuerzos de corte, cuando sobre
ella se aplican fuerzas externas dirigidas perpendicularmente a su
eje centroidal. Fig. 3.2.- Corte Puro En los siguientes casos se
puede admitir esfuerzos de corte puro: - Vigas de muy pequea luz
donde el efecto de flexin es despreciable - El corte de planchas
metlica mediante el empleo de una cizalla. - Punzonamiento, por
ejemplo, la perforacin de hojas. - Uniones con remaches, bulones,
soldadura, pernos, etc. 84
86. 3.2.- ESFUERZOS Si no hay presencia de esfuerzos normales
(corte puro), del equilibrio Q = n dA = n dA = n A A A n = Q/A n =
0 (3.1 Analizando un elemento diferencial y para que en l se
verifique el equilibrio (a) (b) (c) (d) Hay equilibrio en x Hay
equilibrio en y No equilibrio en z No equilibrio en x Hay
equilibrio en y No equilibrio en z Hay equilibrio en x Hay
equilibrio en y No equilibrio en z Hay equilibrio en x Hay
equilibrio en y Hay equilibrio en z Fig. 3.3.- Condiciones de
Equilibrio Solo se verifica equilibrio en el caso (d). Se puede
concluir que: - Los esfuerzos de corte aparecen en las cuatro caras
del elemento diferencial. - Los esfuerzos son concurrentes o
divergentes en las aristas y tienen igual valor. Ahora bien,
analizando una seccin inclinada a un ngulo x 2 dx dy y dl 1 Fig.
3.4.- Esfuerzos en secciones inclinadas Geomtricamente dl Cos = dy
dl Sin = dx (3.2 85
87. De la esttica F1= 0 (3.3 = - Sin 2 (3.4 dl dz - y dy dz Cos
+ x dx dz Sin = 0 - y Cos Cos + x Sin Sin = 0 (3.5 = Cos 2 F2= 0 dl
dz + y dy dz Sin + x dx dz Cos = 0 + y Cos Sin + x Sin Cos = 0 (3.6
Cuando = 0 se verifica que 0 = 90 = 0 0 = 90 = Ya que (Sin 2 )2+(
Cos 2 )2 =1 De 3.3 y 3.5 2 + 2 = 2 (3.6 Que es la ecuacin de una
circunferencia con centro en el origen. max max Fig. 3.5.- Circulo
de Mohr 3.3.- ESFUERZOS PRINCIPALES Los valores mximos de los
esfuerzos normales y cortantes son : Para = 0 Para = 45 min = 0 max
= P/AN max = P/AN min = 0 (3.7 (3.8 86
88. Para evitar la falla, ambos esfuerzos mximos no deben
exceder de los lmites de fluencias longitudinales y transversales
respectivamente max = P/AN < Sy max = P/AN < Sy (3.9 3.4.-
DEFORMACIN Una pieza sometida a esfuerzos de corte puro se
distorsiona Fig. 3.6.- Deformacin bajo esfuerzos de corte tg ( ) =
h l (3.10 3.5...- ECUACIN DE HOOKE Mientras los esfuerzos no
sobrepasen el lmite de fluencia, ellos son proporcionales a las
deformaciones (3.11 = G Ecuacin conocida como la ley de Hooke, dnde
G recibe el nombre de mdulo de elasticidad transversal. 87