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representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
Representación de la adjunta en basesortonormales
Operadores autoadjuntos
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
14 de octubre de 2010
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto interno
T : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación lineal
B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de V
C = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W
entonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
lema general
lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con
aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
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lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
lema previo
demostración
A =C (T )B matriz asociada a T
⇒ columna j=
a1ja2j...
amj
= coordC(T (vj))
como C base ortonormal,
T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm
⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =
〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉
...〈T (vj),wm〉
⇒ aij = 〈T (vj),wi〉
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre K
T : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒
B(T ∗)C = [C(T )B]t
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.
B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒
B(T ∗)C = [C(T )B]t
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de V
C = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒
B(T ∗)C = [C(T )B]t
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W
⇒B(T ∗)C = [C(T )B]
t
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matriz asociada de la adjunta
matriz asociada de la adjunta
proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒
B(T ∗)C = [C(T )B]t
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉
= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉
= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉
= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉
= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉)
= 〈T (vi),wj〉 = ajit
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matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉
= ajit
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada de la adjunta
demostración
sean A =C (T )B y B(T ∗)C
queremos ver que B = At
o sea, queremos ver que bij = aji
ahora
bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit
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operadores autoadjuntos
definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto interno
T : V → V operador lineal autoadjuntosi
T = T ∗
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operadores autoadjuntos
definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto internoT : V → V operador lineal autoadjunto
siT = T ∗
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operadores autoadjuntos
definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto internoT : V → V operador lineal autoadjuntosi
T = T ∗
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propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno
T : V → V operador linealentonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v),w〉 = 〈v ,T (w)〉 ∀v ,w ∈ V
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propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoT : V → V operador lineal
entonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v),w〉 = 〈v ,T (w)〉 ∀v ,w ∈ V
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propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoT : V → V operador linealentonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v),w〉 = 〈v ,T (w)〉 ∀v ,w ∈ V
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propiedades
demostración
ejercicio
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno sobre C
T : V → V operador linealentonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v), v〉 ∈ R ∀v ∈ V
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno sobre CT : V → V operador lineal
entonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v), v〉 ∈ R ∀v ∈ V
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
propiedades
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno sobre CT : V → V operador linealentonces
T autoadjunto ⇔ 〈T (v), v〉 ∈ R ∀v ∈ V
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propiedades
demostración
no la vamos a dar (consultar libro rojo)
la proposición no vale si V e.v. sobre R
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propiedades
demostración
no la vamos a dar (consultar libro rojo)la proposición no vale si V e.v. sobre R
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matriz asociada - caso real
matriz simétrica
matriz simétrica
A ∈Mn(K) matriz simétricasi
At = A
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matriz asociada - caso real
matriz simétrica
matriz simétricaA ∈Mn(K) matriz simétrica
siAt = A
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matriz asociada - caso real
matriz simétrica
matriz simétricaA ∈Mn(K) matriz simétricasi
At = A
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matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre R
T : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
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matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador lineal
Son equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto
2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica
3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B
= [B(T )B]t= [B(T )B]
t
xq T = T ∗ (autoadjunto)
proposición anteriorxq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t
= [B(T )B]t
xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anterior
xq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t= [B(T )B]
t
xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anteriorxq B(T )B matriz real
⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t= [B(T )B]
t
xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anteriorxq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 1 ⇒ 2
B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t= [B(T )B]
t
xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anteriorxq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 2 ⇒ 3
OBVIO
si vale para toda base ortonormal, vale para alguna baseortonormal
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 2 ⇒ 3
OBVIOsi vale para toda base ortonormal, vale para alguna baseortonormal
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétrica
entonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t
= [B0(T )B0 ]t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t
= [B0(T )B0 ]t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t
=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior
⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso real
demostración 3 ⇒ 1
sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces
B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]
t=B0 (T ∗)B0
por ser [B0(T )B0 ]t matriz real
por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0
⇒ T = T ∗ (autoadjunto)
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
matriz hermítica
definición (matriz hermítica)A ∈Mn(K) matriz hermítica
siA = A
t
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
matriz hermítica
definición (matriz hermítica)A ∈Mn(K) matriz hermíticasi
A = At
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre C
T : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador lineal
Son equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto
2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica
3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
teorema
teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:
1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
matriz asociada - caso complejo
demostración
ejercicio
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
teorema
teoremaV e.v. complejo de dimensión finita
T : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
teorema
teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto
⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
teorema
teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales
⇒ todas las raíces características son reales.
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
teorema
teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T
⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉
= λ〈v , v〉
por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep
⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉
= λ〈v , v〉
por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉
= λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉
por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉
= λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉
⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
demostración
λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:
〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉
ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2
como v 6= ~0, λ = λ
⇒ λ ∈ R
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
corolario
corolarioA ∈Mn(C) matriz hermítica
⇒ todos los vap de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso complejo
corolario
corolarioA ∈Mn(C) matriz hermítica⇒ todos los vap de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
teorema
teoremaA ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ todos los vap de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
teorema
teoremaA ∈Mn(R) matriz simétrica⇒ todos los vap de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica
⇒ todas las raíces características de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
demostración
A ∈Mn(R) matriz simétrica
⇒ At= At = A
⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
corolario
corolarioV e.v. real de dimensión finita
T : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
corolario
corolarioV e.v. real de dimensión finitaT : V → V autoadjunto
⇒ todos los vap de T son reales
representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos
caso real
corolario
corolarioV e.v. real de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales