Post on 12-Jul-2020
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Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio número 1)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 3 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
2
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 3z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
3
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
4
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
5
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 11 15 224 5 8 92 1 1 12 4 7 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 13dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
6
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 2y + 3z = 2y + 5z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 8x + αy + z = 103x + αy = 9
Hasta aquí el ejercicio de Antonio José Fernández Soriano.
7
Regalo de Navidad para Noelia Alcaraz Gómez (ejercicio número 2)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 6 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 6, 1, 0), (3, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
8
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 6z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
9
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
10
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
11
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 20 11 194 8 6 82 1 1 12 7 5 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 40dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
12
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 2y + 6z = 2y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 14x + αy + z = 116x + αy = 18
Hasta aquí el ejercicio de Noelia Alcaraz Gómez.
13
Regalo de Navidad para Laura María Gómez Rocamora (ejercicio número 3)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 5 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 5, 1, 0), (6, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
14
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 5z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
15
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
16
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
17
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 17 17 164 7 9 72 1 1 12 6 8 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 29dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
18
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 2y + 5z = 2y + 6z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 12x + αy + z = 135x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Laura María Gómez Rocamora.
19
Regalo de Navidad para Antonio Alfonso Giménez García (ejercicio número 4)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 4 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 4, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
20
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 4z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
21
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
22
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
23
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 14 15 174 6 8 62 1 1 12 5 7 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 20dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
24
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 2y + 4z = 2y + 5z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 10x + αy + z = 114x + αy = 12
Hasta aquí el ejercicio de Antonio Alfonso Giménez García.
25
Regalo de Navidad para Ángel Tudela Mayol (ejercicio número 5)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 3 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 3, 1, 0), (6, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
26
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 3z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
27
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
28
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
29
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 11 17 226 5 9 93 1 1 13 4 8 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 18dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
30
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 3z = 3y + 6z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 12x + αy + z = 123x + αy = 12
Hasta aquí el ejercicio de Ángel Tudela Mayol.
31
Regalo de Navidad para Matías López Bastida (ejercicio número 6)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 6 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 6, 1, 0), (2, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
32
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 6z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
33
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
34
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10
35
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 20 9 196 8 5 83 1 1 13 7 4 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 45dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
36
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 3y + 6z = 3y + 2z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 21x + αy + z = 116x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Matías López Bastida.
37
Regalo de Navidad para Javier Bustillos Cuéllar (ejercicio número 7)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 5 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 5, 1, 0), (7, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
38
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 5z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
39
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
40
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
41
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 17 19 166 7 10 73 1 1 13 6 9 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 34dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
42
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 3y + 5z = 3y + 7z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 18x + αy + z = 155x + αy = 20
Hasta aquí el ejercicio de Javier Bustillos Cuéllar.
43
Regalo de Navidad para José Miguel Sánchez Zapata (ejercicio número 8)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 4 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 4, 1, 0), (1, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
44
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 4z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
45
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
46
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
47
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 14 7 176 6 4 63 1 1 13 5 3 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 25dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
48
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 3y + 4z = 3y + 1z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 15x + αy + z = 84x + αy = 16
Hasta aquí el ejercicio de José Miguel Sánchez Zapata.
49
Regalo de Navidad para Juan Francisco García Pedreño (ejercicio número 9)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 3 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (4, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
50
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
51
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
52
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
53
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 11 13 228 5 7 94 1 1 14 4 6 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 25dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
54
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 4y + 3z = 4y + 4z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 113x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Juan Francisco García Pedreño.
55
Regalo de Navidad para Daniel Guillén Buendía (ejercicio número 10)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 6 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 6, 1, 0), (1, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
56
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 6z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
57
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
58
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 12 − 18 12− 3 14 − 18 12− 3 12 − 16 12− 2 9 − 15 13
59
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 20 7 198 8 4 84 1 1 14 7 3 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 52dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
60
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 4y + 6z = 4y + 1z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 28x + αy + z = 116x + αy = 30
Hasta aquí el ejercicio de Daniel Guillén Buendía.
61
Regalo de Navidad para José Antonio Madrid Font (ejercicio número 11)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 5 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 5, 1, 0), (8, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
62
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 5z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
63
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
64
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
65
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 17 21 168 7 11 74 1 1 14 6 10 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 41dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
66
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 4y + 5z = 4y + 8z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 24x + αy + z = 175x + αy = 25
Hasta aquí el ejercicio de José Antonio Madrid Font.
67
Regalo de Navidad para Alberto Corbalán Bernad (ejercicio número 12)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 4 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 4, 1, 0), (6, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
68
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 4z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
69
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
70
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
71
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 14 17 178 6 9 64 1 1 14 5 8 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 32dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
72
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 4y + 4z = 4y + 6z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 20x + αy + z = 144x + αy = 20
Hasta aquí el ejercicio de Alberto Corbalán Bernad.
73
Regalo de Navidad para Francisco Fernández Sánchez (ejercicio número 13)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 1 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (2, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
74
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
75
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
76
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
77
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 5 9 2210 3 5 95 1 1 15 2 4 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 26dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
78
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 5y + 1z = 5y + 2z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 81x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de Francisco Fernández Sánchez.
79
Regalo de Navidad para Pablo González Alcaraz (ejercicio número 14)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 1 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (3, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
80
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
81
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
82
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
83
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 5 11 1910 3 6 85 1 1 15 2 5 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 26dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
84
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 5y + 1z = 5y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 91x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de Pablo González Alcaraz.
85
Regalo de Navidad para Emilio Gil Estade (ejercicio número 15)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 1 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (4, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
86
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
87
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
88
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
89
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 5 13 1610 3 7 75 1 1 15 2 6 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 26dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
90
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 5y + 1z = 5y + 4z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 101x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de Emilio Gil Estade.
91
Regalo de Navidad para Celia Ruiz Zamora (ejercicio número 16)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 1 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (5, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
92
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
93
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
94
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14
95
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 5 15 1710 3 8 65 1 1 15 2 7 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 26dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
96
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 5y + 1z = 5y + 5z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 111x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de Celia Ruiz Zamora.
97
Regalo de Navidad para Sebastián García Abellán (ejercicio número 17)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 2 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 2, 1, 0), (2, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
98
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 2z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
99
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
100
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 7 − 3 − 3− 3 9 − 3 − 3− 3 7 − 1 − 3− 2 4 0 − 2
101
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 8 9 2212 4 5 96 1 1 16 3 4 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 40dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
102
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 6y + 2z = 6y + 2z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 18x + αy + z = 102x + αy = 14
Hasta aquí el ejercicio de Sebastián García Abellán.
103
Regalo de Navidad para José Ángel Rubio López (ejercicio número 18)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 2 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 2, 1, 0), (3, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
104
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 2z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
105
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
106
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
107
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 8 11 1912 4 6 86 1 1 16 3 5 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 40dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
108
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 6y + 2z = 6y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 18x + αy + z = 112x + αy = 14
Hasta aquí el ejercicio de José Ángel Rubio López.
109
Regalo de Navidad para Lourdes Fábregas (ejercicio número 19)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 2 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 2, 1, 0), (4, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
110
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 2z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
111
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
112
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
113
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 8 13 1612 4 7 76 1 1 16 3 6 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 40dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
114
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 6y + 2z = 6y + 4z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 18x + αy + z = 122x + αy = 14
Hasta aquí el ejercicio de Lourdes Fábregas.
115
Regalo de Navidad para Ana María Antolí Gil (ejercicio número 20)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 2 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 2, 1, 0), (5, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
116
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 2z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
117
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
118
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
119
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 8 15 1712 4 8 66 1 1 16 3 7 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 40dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
120
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 6y + 2z = 6y + 5z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 18x + αy + z = 132x + αy = 14
Hasta aquí el ejercicio de Ana María Antolí Gil.
121
Regalo de Navidad para Álvaro Conesa Aparicio (ejercicio número 21)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 7 2 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 2, 1, 0), (6, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
122
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 2z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
123
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
124
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14
125
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
14 8 17 2214 4 9 97 1 1 17 3 8 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 28
x2 − 14x + 53dx =
15. Dada A =
(1 70 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(7 −77 7
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
126
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 74 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 7y + 2z = 7y + 6z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 21x + αy + z = 152x + αy = 16
Hasta aquí el ejercicio de Álvaro Conesa Aparicio.
127
Regalo de Navidad para Enrique López López (ejercicio número 22)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 7 2 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 2, 1, 0), (7, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
128
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 2z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
129
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
130
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17
131
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
14 8 19 1914 4 10 87 1 1 17 3 9 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 28
x2 − 14x + 53dx =
15. Dada A =
(1 70 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(7 −77 7
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
132
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 74 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 7y + 2z = 7y + 7z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 21x + αy + z = 162x + αy = 16
Hasta aquí el ejercicio de Enrique López López.
133
Regalo de Navidad para Miguel Ángel Belmonte Ortiz (ejercicio número 23)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 7 3 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 3, 1, 0), (3, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
134
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 3z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
135
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
136
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 7 − 3 − 3− 3 9 − 3 − 3− 3 7 − 1 − 3− 2 4 0 − 2
137
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
14 11 11 1614 5 6 77 1 1 17 4 5 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 28
x2 − 14x + 58dx =
15. Dada A =
(1 70 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(7 −77 7
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
138
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 74 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 7y + 3z = 7y + 3z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 28x + αy + z = 133x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Miguel Ángel Belmonte Ortiz.
139
Regalo de Navidad para Mario González Ortín (ejercicio número 24)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 7 3 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 3, 1, 0), (4, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
140
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 3z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
141
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
142
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
143
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
14 11 13 1714 5 7 67 1 1 17 4 6 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 28
x2 − 14x + 58dx =
15. Dada A =
(1 70 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(7 −77 7
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
144
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 74 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 7y + 3z = 7y + 4z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 28x + αy + z = 143x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Mario González Ortín.
145
Regalo de Navidad para Pedro Martínez López (ejercicio número 25)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 3 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 3, 1, 0), (5, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
146
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 3z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
147
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
148
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
149
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 11 15 226 5 8 93 1 1 13 4 7 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 18dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
150
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 3z = 3y + 5z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 12x + αy + z = 113x + αy = 12
Hasta aquí el ejercicio de Pedro Martínez López.
151
Regalo de Navidad para Elena Pérez Gómez (ejercicio número 26)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 3 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (4, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
152
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
153
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
154
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
155
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 11 13 198 5 7 84 1 1 14 4 6 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 25dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
156
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 4y + 3z = 4y + 4z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 113x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Elena Pérez Gómez.
157
Regalo de Navidad para Carlos Gómez-Gil de la Cerda (ejercicio número 27)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 3 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 3, 1, 0), (7, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
158
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 3z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
159
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
160
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14
161
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 11 19 1610 5 10 75 1 1 15 4 9 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 34dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
162
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 5y + 3z = 5y + 7z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 20x + αy + z = 153x + αy = 18
Hasta aquí el ejercicio de Carlos Gómez-Gil de la Cerda.
163
Regalo de Navidad para Ana Marina Carralero Hernández (ejercicio número 28)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 3 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 3, 1, 0), (8, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
164
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 3z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
165
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
166
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17
167
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 11 21 1712 5 11 66 1 1 16 4 10 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 45dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
168
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 6y + 3z = 6y + 8z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 24x + αy + z = 173x + αy = 21
Hasta aquí el ejercicio de Ana Marina Carralero Hernández.
169
Regalo de Navidad para Diego Barberán Verdú (ejercicio número 29)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 8 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 8, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
170
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 8z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
171
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
172
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
173
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 26 15 184 10 8 92 1 1 12 9 7 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 68dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
174
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 2y + 8z = 2y + 5z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 18x + αy + z = 158x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Diego Barberán Verdú.
175
Regalo de Navidad para José María Navarro Alarcón (ejercicio número 30)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 8 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 8, 1, 0), (4, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
176
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 8z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
177
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
178
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10
179
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 26 13 174 10 7 82 1 1 12 9 6 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 68dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
180
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 2y + 8z = 2y + 4z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 18x + αy + z = 148x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de José María Navarro Alarcón.
181
Regalo de Navidad para Jesús Aguirre Cárcel (ejercicio número 31)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 8 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 8, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
182
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 8z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
183
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
184
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
185
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 26 15 164 10 8 72 1 1 12 9 7 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 68dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
186
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 2y + 8z = 2y + 5z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 18x + αy + z = 158x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Jesús Aguirre Cárcel.
187
Regalo de Navidad para Álvaro Alejandro Martínez Millán (ejercicio número 32)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 8 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 8, 1, 0), (2, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
188
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 8z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
189
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
190
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 13 − 21 15− 3 15 − 21 15− 3 13 − 19 15− 2 10 − 18 16
191
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 26 9 154 10 5 62 1 1 12 9 4 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 68dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
192
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 2y + 8z = 2y + 2z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 18x + αy + z = 128x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Álvaro Alejandro Martínez Millán.
193
Regalo de Navidad para Adrián Ibánez del Toro (ejercicio número 33)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 8 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 8, 1, 0), (1, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
194
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 8z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
195
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
196
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 14 − 24 18− 3 16 − 24 18− 3 14 − 22 18− 2 11 − 21 19
197
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 26 7 226 10 4 93 1 1 13 9 3 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 73dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
198
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 8z = 3y + 1z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 27x + αy + z = 128x + αy = 32
Hasta aquí el ejercicio de Adrián Ibánez del Toro.
199
Regalo de Navidad para Daviz Pérez Lozano (ejercicio número 34)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 9 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 9, 1, 0), (6, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
200
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 9z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
201
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
202
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
203
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 29 17 216 11 9 83 1 1 13 10 8 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 90dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
204
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 3y + 9z = 3y + 6z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 30x + αy + z = 189x + αy = 36
Hasta aquí el ejercicio de Daviz Pérez Lozano.
205
Regalo de Navidad para Francisco David Morales Fernández (ejercicio número 35)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 9 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 9, 1, 0), (5, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
206
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 9z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
207
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
208
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10
209
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 29 15 206 11 8 73 1 1 13 10 7 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 90dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
210
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 3y + 9z = 3y + 5z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 30x + αy + z = 179x + αy = 36
Hasta aquí el ejercicio de Francisco David Morales Fernández.
211
Regalo de Navidad para Elina Krassimirova Anguelova (ejercicio número 36)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 9 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 9, 1, 0), (4, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
212
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 9z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
213
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
214
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 12 − 18 12− 3 14 − 18 12− 3 12 − 16 12− 2 9 − 15 13
215
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 29 13 196 11 7 63 1 1 13 10 6 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 90dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
216
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 3y + 9z = 3y + 4z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 30x + αy + z = 169x + αy = 36
Hasta aquí el ejercicio de Elina Krassimirova Anguelova.
217
Regalo de Navidad para Carlos Andrés Santiago Civantos (ejercicio número 37)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 9 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 9, 1, 0), (3, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
218
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 9z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
219
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
220
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 13 − 21 15− 3 15 − 21 15− 3 13 − 19 15− 2 10 − 18 16
221
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 29 11 268 11 6 94 1 1 14 10 5 17
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 97dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
222
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 4y + 9z = 4y + 3z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 40x + αy + z = 169x + αy = 45
Hasta aquí el ejercicio de Carlos Andrés Santiago Civantos.
223
Regalo de Navidad para Fernando Monteagudo López (ejercicio número 38)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 9 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 9, 1, 0), (2, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
224
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 9z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
225
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
226
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 14 − 24 18− 3 16 − 24 18− 3 14 − 22 18− 2 11 − 21 19
227
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 29 9 168 11 5 84 1 1 14 10 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 97dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
228
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 4y + 9z = 4y + 2z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 40x + αy + z = 159x + αy = 45
Hasta aquí el ejercicio de Fernando Monteagudo López.
229
Regalo de Navidad para Fernando Costa Hernández (ejercicio número 39)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 9 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 9, 1, 0), (1, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
230
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 9z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
231
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
232
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 15 − 27 21− 3 17 − 27 21− 3 15 − 25 21− 2 12 − 24 22
233
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 29 7 158 11 4 74 1 1 14 10 3 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 97dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
234
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 4y + 9z = 4y + 1z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 40x + αy + z = 149x + αy = 45
Hasta aquí el ejercicio de Fernando Costa Hernández.
235
Regalo de Navidad para Carmen María Hernández Jara (ejercicio número 40)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 7 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 7, 1, 0), (4, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
236
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 7z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
237
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
238
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
239
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 23 13 148 9 7 64 1 1 14 8 6 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 65dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
240
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 4y + 7z = 4y + 4z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 32x + αy + z = 157x + αy = 35
Hasta aquí el ejercicio de Carmen María Hernández Jara.
241
Regalo de Navidad para Pedro Muñoz Díaz (ejercicio número 41)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 7 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 7, 1, 0), (3, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
242
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 7z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
243
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
244
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10
245
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 23 11 2110 9 6 95 1 1 15 8 5 12
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 74dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
246
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 5y + 7z = 5y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 40x + αy + z = 157x + αy = 42
Hasta aquí el ejercicio de Pedro Muñoz Díaz.
247
Regalo de Navidad para Gloria Motos Cascales (ejercicio número 42)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 3 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 3, 1, 0), (4, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
248
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 3z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
249
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
250
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
251
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 11 13 196 5 7 63 1 1 13 4 6 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 18dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
252
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 3y + 3z = 3y + 4z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 12x + αy + z = 103x + αy = 12
Hasta aquí el ejercicio de Gloria Motos Cascales.
253
Regalo de Navidad para Patricio David Tripiana García (ejercicio número 43)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 3 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (5, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
254
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
255
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
256
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
257
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 11 15 268 5 8 94 1 1 14 4 7 17
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 25dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
258
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 4y + 3z = 4y + 5z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 123x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Patricio David Tripiana García.
259
Regalo de Navidad para María Ángeles García Martínez (ejercicio número 44)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 3 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (6, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
260
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
261
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
262
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
263
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 11 17 168 5 9 84 1 1 14 4 8 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 25dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
264
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 4y + 3z = 4y + 6z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 133x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de María Ángeles García Martínez.
265
Regalo de Navidad para Alejandro Ottenwalder Rivas (ejercicio número 45)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 3 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (7, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
266
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
267
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
268
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14
269
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 11 19 158 5 10 74 1 1 14 4 9 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 25dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
270
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 4y + 3z = 4y + 7z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 143x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Alejandro Ottenwalder Rivas.
271
Regalo de Navidad para Juan Miguel Rodríguez Soler (ejercicio número 46)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 7 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 7, 1, 0), (2, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
272
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 7z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
273
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
274
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 12 − 18 12− 3 14 − 18 12− 3 12 − 16 12− 2 9 − 15 13
275
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 23 9 2010 9 5 85 1 1 15 8 4 12
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 74dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
276
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 5y + 7z = 5y + 2z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 40x + αy + z = 147x + αy = 42
Hasta aquí el ejercicio de Juan Miguel Rodríguez Soler.
277
Regalo de Navidad para Aránzazu Ros Liarte (ejercicio número 47)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 7 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 7, 1, 0), (1, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
278
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 7z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
279
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
280
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 13 − 21 15− 3 15 − 21 15− 3 13 − 19 15− 2 10 − 18 16
281
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 23 7 1910 9 4 75 1 1 15 8 3 12
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 74dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
282
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 5y + 7z = 5y + 1z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 40x + αy + z = 137x + αy = 42
Hasta aquí el ejercicio de Aránzazu Ros Liarte.
283
Regalo de Navidad para Alfonso Dávila Abellán (ejercicio número 48)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 6 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 6, 1, 0), (3, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
284
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 6z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
285
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
286
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
287
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 20 11 1810 8 6 65 1 1 15 7 5 12
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 61dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
288
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 5y + 6z = 5y + 3z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 35x + αy + z = 146x + αy = 36
Hasta aquí el ejercicio de Alfonso Dávila Abellán.
289
Regalo de Navidad para Javier Olmedo Romero (ejercicio número 49)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 6 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 6, 1, 0), (2, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
290
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 6z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
291
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
292
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10
293
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 20 9 2512 8 5 96 1 1 16 7 4 16
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 72dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
294
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 6y + 6z = 6y + 2z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 42x + αy + z = 146x + αy = 42
Hasta aquí el ejercicio de Javier Olmedo Romero.
295
Regalo de Navidad para Julio José Jiménez Cava (ejercicio número 50)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 6 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 6, 1, 0), (1, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
296
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 6z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
297
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
298
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 12 − 18 12− 3 14 − 18 12− 3 12 − 16 12− 2 9 − 15 13
299
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 20 7 2412 8 4 86 1 1 16 7 3 16
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 72dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
300
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 6y + 6z = 6y + 1z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 42x + αy + z = 136x + αy = 42
Hasta aquí el ejercicio de Julio José Jiménez Cava.
301
Regalo de Navidad para Juan Manuel Girón Sola (ejercicio número 51)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 5 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 5, 1, 0), (2, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
302
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 5z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
303
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
304
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
305
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 17 9 1412 7 5 76 1 1 16 6 4 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 61dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
306
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 6y + 5z = 6y + 2z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 36x + αy + z = 135x + αy = 35
Hasta aquí el ejercicio de Juan Manuel Girón Sola.
307
Regalo de Navidad para Francisco José Pérez Losella (ejercicio número 52)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 5 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 5, 1, 0), (1, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
308
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 5z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
309
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
310
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10
311
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 17 7 1312 7 4 66 1 1 16 6 3 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 61dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
312
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 6y + 5z = 6y + 1z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 36x + αy + z = 125x + αy = 35
Hasta aquí el ejercicio de Francisco José Pérez Losella.
313
Regalo de Navidad para Miguel García Alcobas (ejercicio número 53)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 7 1 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 1, 0), (2, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
314
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 1z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
315
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
316
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
317
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
14 5 9 2014 3 5 97 1 1 17 2 4 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 28
x2 − 14x + 50dx =
15. Dada A =
(1 70 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(7 −77 7
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
318
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 74 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 7y + 1z = 7y + 2z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 14x + αy + z = 101x + αy = 8
Hasta aquí el ejercicio de Miguel García Alcobas.
319
Regalo de Navidad para Oscar Amorós Ferri (ejercicio número 54)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 7 1 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 1, 0), (3, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
320
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 1z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
321
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
322
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
323
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
14 5 11 1914 3 6 87 1 1 17 2 5 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 28
x2 − 14x + 50dx =
15. Dada A =
(1 70 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(7 −77 7
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
324
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 74 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 7y + 1z = 7y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 14x + αy + z = 111x + αy = 8
Hasta aquí el ejercicio de Oscar Amorós Ferri.
325
Regalo de Navidad para Rosa Ana Hurtado Latorre (ejercicio número 55)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 7 1 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 1, 0), (4, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
326
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 1z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
327
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
328
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
329
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
14 5 13 1814 3 7 77 1 1 17 2 6 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 28
x2 − 14x + 50dx =
15. Dada A =
(1 70 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(7 −77 7
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
330
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 74 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 7y + 1z = 7y + 4z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 14x + αy + z = 121x + αy = 8
Hasta aquí el ejercicio de Rosa Ana Hurtado Latorre.
331
Regalo de Navidad para Abraham Lorente Vela (ejercicio número 56)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 7 1 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 1, 0), (5, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
332
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 1z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
333
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
334
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14
335
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
14 5 15 1714 3 8 67 1 1 17 2 7 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 28
x2 − 14x + 50dx =
15. Dada A =
(1 70 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(7 −77 7
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
336
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 74 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 7y + 1z = 7y + 5z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 14x + αy + z = 131x + αy = 8
Hasta aquí el ejercicio de Abraham Lorente Vela.
337
Regalo de Navidad para Eduardo Cuevas Tortosa (ejercicio número 57)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 1 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 1, 0), (6, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
338
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 1z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
339
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
340
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17
341
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 5 17 246 3 9 93 1 1 13 2 8 15
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 10dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
342
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 3y + 1z = 3y + 6z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 6x + αy + z = 101x + αy = 4
Hasta aquí el ejercicio de Eduardo Cuevas Tortosa.
343
Regalo de Navidad para Andrés García (ejercicio número 58)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 1 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 1, 0), (7, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
344
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 1z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
345
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
346
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 1 15 − 21− 3 3 15 − 21− 3 1 17 − 21− 2 − 2 18 − 20
347
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5 19 238 3 10 84 1 1 14 2 9 15
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 17dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
348
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 4y + 1z = 4y + 7z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 8x + αy + z = 121x + αy = 5
Hasta aquí el ejercicio de Andrés García.
349
Regalo de Navidad para Ángel Reverte (ejercicio número 59)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 3 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (6, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
350
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
351
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
352
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
353
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 11 17 168 5 9 84 1 1 14 4 8 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 25dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
354
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 4y + 3z = 4y + 6z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 133x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Ángel Reverte.
355
Regalo de Navidad para María Angeles Moya Navarro (ejercicio número 60)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 1 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (8, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
356
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
357
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
358
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 0 18 − 24− 3 2 18 − 24− 3 0 20 − 24− 2 − 3 21 − 23
359
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 5 21 2210 3 11 75 1 1 15 2 10 15
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 26dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
360
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 5y + 1z = 5y + 8z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 141x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de María Angeles Moya Navarro.
361
Regalo de Navidad para Francisco Antonio Campoy Aznar (ejercicio número 61)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 1 10 1 9 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1, 0), (9, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
362
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 1z + 9t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
363
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
364
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 − 1 21 − 27− 3 1 21 − 27− 3 − 1 23 − 27− 2 − 4 24 − 26
365
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 5 23 1212 3 12 66 1 1 16 2 11 6
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 37dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
366
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 6y + 1z = 6y + 9z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 12x + αy + z = 161x + αy = 7
Hasta aquí el ejercicio de Francisco Antonio Campoy Aznar.
367
Regalo de Navidad para Antonio Ángel Escudero Lidón (ejercicio número 62)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 2 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 0), (3, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
368
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 2z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
369
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
370
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
371
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 8 11 184 4 6 92 1 1 12 3 5 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 8dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
372
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 2y + 2z = 2y + 3z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 6x + αy + z = 72x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de Antonio Ángel Escudero Lidón.
373
Regalo de Navidad para Juan Antonio Núñez Reolid (ejercicio número 63)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 2 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 0), (4, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
374
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 2z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
375
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
376
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
377
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 8 13 174 4 7 82 1 1 12 3 6 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 8dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
378
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 2y + 2z = 2y + 4z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 6x + αy + z = 82x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de Juan Antonio Núñez Reolid.
379
Regalo de Navidad para María Isabel León Sánchez (ejercicio número 64)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 2 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
380
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 2z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
381
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
382
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
383
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 8 15 164 4 8 72 1 1 12 3 7 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 8dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
384
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 2y + 2z = 2y + 5z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 6x + αy + z = 92x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de María Isabel León Sánchez.
385
Regalo de Navidad para María Cerezo Martínez (ejercicio número 65)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 2 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 0), (6, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
386
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 2z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
387
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
388
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14
389
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 8 17 154 4 9 62 1 1 12 3 8 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 8dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
390
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 2y + 2z = 2y + 6z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 6x + αy + z = 102x + αy = 6
Hasta aquí el ejercicio de María Cerezo Martínez.
391
Regalo de Navidad para Cristóbal Marín Fernández (ejercicio número 66)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 2 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 2, 1, 0), (7, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
392
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 2z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
393
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
394
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17
395
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 8 19 226 4 10 93 1 1 13 3 9 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 13dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
396
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 2z = 3y + 7z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 9x + αy + z = 122x + αy = 8
Hasta aquí el ejercicio de Cristóbal Marín Fernández.
397
Regalo de Navidad para Elena Clos Pérez (ejercicio número 67)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 2 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 2, 1, 0), (8, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
398
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 2z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
399
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
400
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 1 15 − 21− 3 3 15 − 21− 3 1 17 − 21− 2 − 2 18 − 20
401
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 8 21 216 4 11 83 1 1 13 3 10 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 13dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
402
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 3y + 2z = 3y + 8z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 9x + αy + z = 132x + αy = 8
Hasta aquí el ejercicio de Elena Clos Pérez.
403
Regalo de Navidad para Alejandro Acosta León (ejercicio número 68)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 2 10 1 9 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 2, 1, 0), (9, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
404
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 2z + 9t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
405
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
406
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 0 18 − 24− 3 2 18 − 24− 3 0 20 − 24− 2 − 3 21 − 23
407
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 8 23 206 4 12 73 1 1 13 3 11 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 13dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
408
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 3y + 2z = 3y + 9z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 9x + αy + z = 142x + αy = 8
Hasta aquí el ejercicio de Alejandro Acosta León.
409
Regalo de Navidad para Alumnno 04 (ejercicio número 69)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 3 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (7, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
410
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
411
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
412
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14
413
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 11 19 158 5 10 74 1 1 14 4 9 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 25dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
414
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 4y + 3z = 4y + 7z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 143x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 04.
415
Regalo de Navidad para Alumnno 05 (ejercicio número 70)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 4 3 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (8, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
416
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
417
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
418
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17
419
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
8 11 21 148 5 11 64 1 1 14 4 10 8
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 16
x2 − 8x + 25dx =
15. Dada A =
(1 40 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(4 −44 4
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
420
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 44 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 4y + 3z = 4y + 8z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 153x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 05.
421
Regalo de Navidad para Alumnno 06 (ejercicio número 71)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 3 10 1 9 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 3, 1, 0), (9, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
422
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 3z + 9t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
423
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
424
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 1 15 − 21− 3 3 15 − 21− 3 1 17 − 21− 2 − 2 18 − 20
425
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 11 23 2110 5 12 95 1 1 15 4 11 12
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 34dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
426
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 5y + 3z = 5y + 9z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 20x + αy + z = 173x + αy = 18
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 06.
427
Regalo de Navidad para Alumnno 07 (ejercicio número 72)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 4 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 4, 1, 0), (5, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
428
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 4z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
429
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
430
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
431
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 14 15 2010 6 8 85 1 1 15 5 7 12
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 41dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
432
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 5y + 4z = 5y + 5z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 25x + αy + z = 144x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 07.
433
Regalo de Navidad para Alumnno 08 (ejercicio número 73)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 4 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 4, 1, 0), (6, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
434
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 4z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
435
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
436
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
437
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 14 17 1910 6 9 75 1 1 15 5 8 12
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 41dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
438
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 5y + 4z = 5y + 6z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 25x + αy + z = 154x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 08.
439
Regalo de Navidad para Alumnno 09 (ejercicio número 74)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 5 4 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 4, 1, 0), (7, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
440
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 4z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
441
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
442
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11
443
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
10 14 19 1810 6 10 65 1 1 15 5 9 12
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 20
x2 − 10x + 41dx =
15. Dada A =
(1 50 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(5 −55 5
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
444
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 54 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 5y + 4z = 5y + 7z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 25x + αy + z = 164x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 09.
445
Regalo de Navidad para Alumnno 10 (ejercicio número 75)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 4 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 4, 1, 0), (8, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
446
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 4z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
447
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
448
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14
449
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 14 21 2512 6 11 96 1 1 16 5 10 16
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 52dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
450
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 6y + 4z = 6y + 8z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 30x + αy + z = 184x + αy = 28
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 10.
451
Regalo de Navidad para Alumnno 11 (ejercicio número 76)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 4 10 1 9 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 4, 1, 0), (9, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
452
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 4z + 9t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
453
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
454
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17
455
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 14 23 2412 6 12 86 1 1 16 5 11 16
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 52dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
456
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 6y + 4z = 6y + 9z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 30x + αy + z = 194x + αy = 28
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 11.
457
Regalo de Navidad para Alumnno 12 (ejercicio número 77)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 5 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 5, 1, 0), (6, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
458
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 5z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
459
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
460
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5
461
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 17 17 1412 7 9 76 1 1 16 6 8 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 61dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
462
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 6y + 5z = 6y + 6z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 36x + αy + z = 175x + αy = 35
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 12.
463
Regalo de Navidad para Alumnno 13 (ejercicio número 78)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 6 5 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 5, 1, 0), (7, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
464
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 5z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
465
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
466
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8
467
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
12 17 19 1312 7 10 66 1 1 16 6 9 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 24
x2 − 12x + 61dx =
15. Dada A =
(1 60 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(6 −66 6
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
468
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 64 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 6y + 5z = 6y + 7z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 36x + αy + z = 185x + αy = 35
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 13.
469
Regalo de Navidad para Alumnno 14 (ejercicio número 79)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 5 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 5, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
470
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 5z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
471
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
472
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 7 − 3 − 3− 3 9 − 3 − 3− 3 7 − 1 − 3− 2 4 0 − 2
473
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 17 15 224 7 8 92 1 1 12 6 7 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 29dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
474
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 2y + 5z = 2y + 5z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 12x + αy + z = 125x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 14.
475
Regalo de Navidad para Alumnno 15 (ejercicio número 80)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 5 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 5, 1, 0), (1, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
476
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 5z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
477
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
478
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10
479
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 17 7 194 7 4 82 1 1 12 6 3 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 29dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
480
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 2y + 5z = 2y + 1z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 12x + αy + z = 85x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 15.
481
Regalo de Navidad para Alumnno 16 (ejercicio número 81)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 6 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 6, 1, 0), (6, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
482
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 6z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
483
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
484
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 7 − 3 − 3− 3 9 − 3 − 3− 3 7 − 1 − 3− 2 4 0 − 2
485
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 20 17 164 8 9 72 1 1 12 7 8 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 40dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
486
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 2y + 6z = 2y + 6z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 14x + αy + z = 146x + αy = 18
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 16.
487
Regalo de Navidad para Alumnno 17 (ejercicio número 82)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 2 5 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 5, 1, 0), (2, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
488
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 5z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
489
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
490
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
491
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
4 17 9 174 7 5 62 1 1 12 6 4 11
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 8
x2 − 4x + 29dx =
15. Dada A =
(1 20 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(2 −22 2
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
492
17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 24 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 2y + 5z = 2y + 2z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 12x + αy + z = 95x + αy = 15
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 17.
493
Regalo de Navidad para Alumnno 18 (ejercicio número 83)
Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida
Observaciones
1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.
2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.
3. Entregad dos folios grapados.
4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.
5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.
Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por
Mβ5c β5
c(f) =
1 3 6 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0
.
Responde a las siguientes cuestiones:
1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
Plantilla para la solución:
β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}
2. Considera las bases
β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},
β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 6, 1, 0), (3, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}
y calcula Mβ4β5(f)
494
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f) =
3. Calcula las matrices Mβ4β4
cy Mβ5β5
c.
Plantilla para la solución:
Mβ4β4c
=
Mβ5β5
c=
4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto
de las bases β4 y β5 respectivamente).
Plantilla para la solución:
Ker f
Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer f = { }
dim Ker f =
Im f
Im f = {(x, y, z, t)β5 : }
βIm f = { }
dim Im f =
5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 6z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)
495
Plantilla para la solución:
Mβ4β4(g) =
6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Ker g
Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }
βKer g = { }
dim Ker g =
7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).
Plantilla para la solución:
Im g
Im g = {(x, y, z, t)β4 : }
βIm g = { }
dim Im g =
8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g
Plantilla para la solución:
(Ker g + Ker f) + Im g
(Ker g + Ker f) + Im g =
βKer g+Im g =
dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =
9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))
496
Plantilla para la solución:
Mβ4β5(f ◦ g) =
10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g
Plantilla para la solución:
f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5
11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5
c(f) y calcula
(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).
Plantilla para la solución:
A7 =
12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo
quién es ésta. En este ejercicio
A =
− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7
497
Plantilla para la solución:
A =
P =
; P−1 =
13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣
6 20 11 226 8 6 93 1 1 13 7 5 13
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
14. Calcula la primitiva que sigue
∫4x + 12
x2 − 6x + 45dx =
15. Dada A =
(1 30 1
)se pide calcular (usando el binomio de Newton)
A30 =
16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}. Dada A =
(3 −33 3
)se pide justificar si el conjunto
de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).
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17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio
p(x) = x4 + 34 =
18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 6z = 3y + 3z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:
a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.
Plantilla para la solución:
a) βU = { }
b) V = {(x, y, z, t)β : }
c) βU∩V =
d) βU+V = { }
e) U + V = {(x, y, z, t) : }
19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 21x + αy + z = 126x + αy = 24
Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 18.