Post on 13-Jan-2016
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RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA NORMALEN UN PUNTO
Sea f : R R en una funcion derivable en x = a. Considerando la interpretaciongeometrica de f (a), se tiene las siguientes definiciones:
Definicion 5. (Recta tangente)
Se llama recta tangente a la grafica de f en el punto P (a; f(a)) a la recta cuyaecuacion es.
Definicion 6. (Recta normal)
La recta que pasa por el punto P (a; f(a)) y que es perpendicular a la rectatangente de la grafica de f en P se llama recta normal la grafica de f en el punto P
Si f (a) 6= 0. la ecuacion de la recta normal es PN : y f(a) = 1f(a)
1NSi f(a) = 0.laecuaciondelasrectasmnormalesLN : x a = 0
Ejemplo 12.
Dada f(x) = x2 2x + 3 halle las ecuaciones de la recta tangente y la rectanormal a la grafica de f en el punto P (2, 3)
Solucion
la pendiente de la recta tangente es
PN = f(2) = lm
h0f(2 + h) f(2)
h= lm
h0(h + 2) = 2
luego, las ecuaciones de la recta tangente y normal a la grafica de f en el puntoP (2, 3)
Lt : y 3 = 2(x 2) Lt : 2x y 1 = 0Ln : y 3 = 1
2(x 2) Ln : x + 2y 8 = 0
Ejemplo 13.
Sea f(x) = 2 x x2 Determine la ecuacion de la recta tangente y la grafica dela f que es paralela a la recta L : x y 4 = 0
Solucion
f (2) = lmh0
f(x + h) f(x)h
= lmh0
(1 2x h) = 1 2x
Con la recta L dependiente mL = 1 es paralela a la recta tangente. entoncesmt = f(x) = 1 2x = mL = 1 de donde se obtiene que x = 1en el punto de tangencia es P (1; f(1)) = P (1; 2) Por consiguiente a la accion dela recta tangente es Lt : x y + 3 = 0.
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Ejemplo 14.
Dada f(x) = 2x3 + 3x2 36x + 1, determine las ecuaciones de tangentes hori-zontales a la grafica de f .
Solucion
La tangente es horizontal si f(x) = 0.
Si el lado es facil verificar que f (x) = 6x2 + 6x 36 = 6(x 2)(x + 3)
f (x) = 0 = (x 2)(x + 3) = 0 = x = 2x = 3Tanto e los puntos P (2,43) y Q(3, 82) las tangentes de f son semejantes y susecuaciones son respectivamente:
Lt : y = 43 Lt : y = 82
Ejemplo 15.
La resta L es normal a la grafica de la f(x) = x2 4 en Q(a : f(a)) por el puntoP (33, 0). determine Q a la ecuacion de L.
Solucion
f(x) = 2x. La pendiente de Mr de la recta tangente a la grafica de f en el puntoQ(a, f(a)) es mr = f
(a) = 2a.En otro lado la pendiente de la recta L que pasa por los puntos P (33, 0) y f(a) es
ml =f(a) 0a 33 =
a2 4a 33
Dado en cuenta que l es perpendicular a la Reta Tangente. entonces
ml =1
f(a) 2a3 7a 33 = 0 (a 3)(2a2 + 6a + 11) = 0
En consecuencia. a = 3 es la unica raz real de la ecuacion.
Q(3, 5) y L : x + 6y 33 = 0
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REGLA DE DERIVACION
Teorema 1.
Sea f y g dos funciones derivables en xy sea k una constante
entonces, las funciones kf, f + g, f g, fg.1g
yf
gson derivables en x, y se tiene:
D1 : (kf)(x) = k[f (x)]
D2 : (f g)(x) = f (x) g(x)
D3 : (f.g)(x) = f (x).g(x) + f(x).g(x)
D4 :
(1
g
)(x) = g
(x)[g(x)]2
. si g(x) 6= 0
D5 :
(1
g
)(x) =
g(x).f (x) f(x).g(x)[g(x)]2
. si g(x) 6= 0
Demostracion
(Se demostrara que el teorema es valido para x = a.)
D1 : (kf)(a) = lm
xa(kf)(x) (kf)(a)
x a = lmxakf(x) kf(a)
x a= lm
xaf(x) f(a)
x a = k[f(a)]
D2 Ejercicio.
D3 como f y g son derivables en a, entonces son continuas en a. En particularlmxa g(x) = g(a) y
(f, g)(a) = lmxa
f, g(x) f, g(a)x a = lmxa
f(x).g(x) f(a).g(a)x a
= lmxa
f(x) f(a)x a g(x) + f(a)
g(x) g(a)x a
f(a).g(a) + f(a).(a)
como y es derivable en a y g(a) = 0. entonces por el teorema de conservacion del
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signo existe B(a.r) tal que para todo x B(a, r) .g(x) se tiene el mismo signo que
luego para x B(a, r) se tiene
(1
g)(a) = lm
xa
(1
g)(x) (1
g)(a)
x a = lmxa
1
g(x) 1g(a)
x a= lm
xa[g(x) g(a)
x a ][1
g(a)g(x)] = g(a)
[g(a)]2
comof
g= f.
1
gy f y g son derivables en a entonces
1
gyf
gson derivables en a. luego.
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