Post on 12-Feb-2015
Escuela de Ingenieros de Bilbao Departamento Matemática Aplicada
SERIES POTENCIALES 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial:
( )xn
n
n
+
=
∞
∑ 32
1
Realizando el cambio de variable, 3x y+ = , tenemos la serie: 21
n
n
yn
∞
=∑
Campo de convergencia:
1
221
2
2
( ) ( 1)lim lim lim | | | |( ) ( 1)
n
nnn n n
n
yf y nn y y
yf y nn
+
+
→∞ →∞ →∞
+= = =+
Si | | , la serie es absolutamente convergente. Luego 1 Si ( 1,1)y y< ⇒ ∈ − 1R = es el radio de convergencia de la serie.
Por tanto, la serie converge cuando | 3 | 1 4 2 ( 4, 2x x x )+ < ⇒ − < < − ⇒ ∈ − −
En los extremos:
a) . La serie es en ese punto: 4x = − 21
( 1)n
n n
∞
=
−∑ . La serie formada por los valores
absolutos de sus términos es: 21
1n n
∞
=∑ , que, por comparación con la armónica es
convergente. Por lo tanto, en es absolutamente convergente. 4x = −
2x = − . La serie en ese punto es: 21
1n n
∞
=∑ , que es convergente. b)
Por lo tanto, el cvampo de convergencia es [ 4, 2]− −
Solución: [-4,-2]
2.- Hallar el radio de convergencia de la serie:
xn
n
n2
1=
∞
∑
1
221
2
2
( ) ( 1)lim lim lim | | | |( ) ( 1)
n
nnn n n
n
xf y nn x x
xf y nn
+
+
→∞ →∞ →∞
+= =+
=
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Si | la serie converge. Por lo tanto, el radio de convergencia es 1. | 1 ( 1,1)x x< ⇒ ∈ −
Nota. En este caso no es necesario hallar si converge en los extremos del intervalo porque no nos lo piden.
Solución: R = 1
3.- Hallar el radio y campo de convergencia de la serie:
nn
xnn
n 2 2 11
1 ⋅ −⋅ −
=
∞
∑ ( )( )
11
1
1 ( 1)( ) 1 2 1 | 1|2 (2 1)lim lim lim | 1|
( ) 2 2 1 2( 1)2 (2 1)
nn
n
n n nnnn
n xf x n n xn xnf x n nx
n
++
+
→∞ →∞ →∞
+−
+ − −+= =+−
−
− =
Si | 1| 1 | 1| 2 ( 1,3)2
x x x−< ⇒ − < ⇒ ∈ − la serie es absolutamente convergente.
En los extremos, tendremos:
a) En . La serie en este punto es: 3x =1 1
22 (2 1) 2 1
nn
n n
nn n
∞ ∞
= =
⋅ =n
⋅ − −∑ ∑ que no converge
porque su término general no tiende a cero, que es la condición necesaria de convergencia..
b) En . La serie es en este punto: 1x = −1 1
( 1)( 2)2 (2 1) 2 1
nn
nn n
n nn n
∞ ∞
= =
−⋅ − =
⋅ − −∑ ∑ , que tampoco
converge porque su término general, en valor absoluto no tiende a cero y no se cumple la condición necesaria de convergencia.
Por lo tanto, el campo de convergencia de la serie será: (-1,3)
Solución: R = 2, C. C. : (-1,3)
4.- Hallar el radio y campo de convergencia de la serie:
…… ++++++++++ −− nnn xxxxxxxx 212225432 33331
Solución: R = 1, C. C. : (-1,1)
2 3 4 5 2 2 2 1 2 2 3 4 5
0
1 3 3 3 3 (1 3 )(1 )
(1 3 )
n n n
n
n
x x x x x x x x x x x x x
x x
− −
∞
=
+ + + + + + + + + + = + + + + + + =
= + ∑
… …
r x
…
Pero ésta última serie es geométrica de razón = , que converge si | | 1 1 1 ( 1,1)x x x< ⇒ − < < ⇒ ∈ − 5.- Hallar el radio y campo de convergencia de las series:
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a) xn
n
nn 4 2
1 ⋅=
∞
∑ Solución: R = 4, C.C.: [-4,4]
1
21 21
2
2
( ) | |4 ( 1)lim lim lim | |( ) 4( 1) 4
4
n
nn
nn n nn
n
xf x n xn x
xf x nn
+
++
→∞ →∞ →∞
+= =+
=
Si | | 1 | | 4 ( 4,4) 44x x x R< ⇒ < ⇒ ∈ − ⇒ = la serie es absolutamente convergente.
En los extremos, tendremos:
a) En la serie es: 4x = 21 1
44
n
nn nn n
∞ ∞
= =
=⋅∑ ∑ 2
1 que es una serie armónica de y
por lo tanto, convergente.
2 1a = >
b) En , la serie es: 4x = − 21 1
( 4) ( 1)4
n n
nn nn n
∞ ∞
= =
−=
⋅∑ ∑ 2
− . La serie en valor absoluto es: 21
1n n
∞
=∑
que es convergente. Por lo tanto, campo de convergencia de la serie es : [-4,4]
b) xn
n
nn
−
=
∞
⋅∑1
1 4 Solución: R = 4, C.C.: [-4,4)
11
1
( ) | |4 ( 1)lim lim lim | |( ) 4( 1) 4
4
n
nn
nn n nn
n
xf x n xn x
xf x nn
++
−→∞ →∞ →∞
+= =+
=
Si | | 1 | | 4 ( 4,4) 44x x x R< ⇒ < ⇒ ∈ − ⇒ = la serie es absolutamente convergente.
En los extremos, tendremos:
a) En . La serie es: 4x =1
1 1
4 1 14 4 4
n
nn n nn n
−∞ ∞
= =
= =⋅∑ ∑ ∑
1
1n
∞
=
que es una serie armónica de
y por lo tanto, diverge. 1a =
b) En , la serie es: 4x = −1 1
1 1
( 4) 1 ( 1)4 4
n n
nn nn n
− −∞ ∞
= =
− −=
⋅∑ ∑ . La serie en valor absoluto es:
1
1n n
∞
=∑ que es divergente. Pero es alternada y cumple las dos condiciones del teorema
de Leibnitz y por lo tanto, es condicionalmente convergente. El campo de convergencia de la serie es : [-4,4)
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6.- Obtener la suma de la serie potencial (para aquellos valores que la hagan convergente:
x x x xn
n
+ + + +−
+−5 9 4 3
5 9 4 3… …
Solución: S x xx
x x( ) ( , )=+−FHGIKJ + ∀ ∈ −
14
11
12
11L arctg
En primer lugar, vamos a estudiar el campo de convergencia de esta serie:
4 1
4 44 3
4 34 1lim lim4 1
4 3
n
nn n
xnn x x
x nn
+
−→∞ →∞
−+ = =+
−
. Si la serie es
absolutamente convergente. En los extremos tendremos:
4| | 1 | | 1 ( 1,1)x x x< ⇒ < ⇒ ∈ −
a) 1x = . La serie es: 1
14 3n n
∞
= −∑ . Pero 14 3 4n n−
∼ 1 y ésta última tiene el mismo carácter
que la armónica, es decir, divergente.
b) En , la serie es: 1x = −4 3
1
( 1)4 3
n
n n
−∞
=
−−∑ , que es una serie que tiene todos sustérminmos
negativos y por lo tanto, tiene el mismo carácter que la anterior. Por lo tanto, también en la serie no converge. 1x = −
En resumen, el campo de convergencia de la serie es: ( 1,1)− Para obtener su suma, vamos a derivarla término a término:
4 8 4 41 nx x x −+ + + + +… … Esta serie tiene el mismo radio de convergencia que la anterior y por lo tanto, tiene suma finita al menos en ( . 1,1)−Es sencillo sumarla porque es una serie geométrica de razón 4x . Su suma será, además, derivada de la suma:
4
1( )1
S xx
′ =−
Entonces, 4( ) ( )1
dxS x S x dxx
′= =−∫ ∫
Para resolver esta integral, descomponemos en factores:
4
11 1 1 1 2
A B Cx Dx x x x
+= + +
− + − +; Igualando coeficientes, se obtiene:
1 1; 0;4 2
A B C D= = = =
Por lo tanto:
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4 2
1 1 1( ) ( )1 4 1 4 1 2 1
dx dx dx dxS x S x dxx x x x
′= = = + + =− + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1|1 | |1 | arctan4 4 2
L x L x x= + − − + + k
Pero 1 1 1(0) 1 1 arctan 0 0 04 4 2
S L L k k= − + + = ⇒ =
Por lo tanto: 41 1 1 1 1( ) arctan 0 arctan , ( 1,1)4 1 2 1 2
x xS x L x L x xx x
+ += + + = + ∀ ∈
− −−
7.- Estudiar la convergencia y hallar la suma de las series:
a) xn
n
n=
∞
∑1
Solución: S x x x( ) [ , )= ∀ ∈ −-L(1- ) 11
b) Soluciónn xn
n
⋅ −
=
∞
∑ 1
1
: S xx
x( )( )
( , )=−
∀ ∈ −1
1112
a)
1
1( ) 1lim lim lim | | | |( ) 1
n
nnn n n
n
xf x nn x x
xf x nn
+
+
→∞ →∞ →∞
+= = =+
Si | | 1 ( 1,1) 1x R< ⇒∀∈ − ⇒ = la
serie es absolutamente convergente. En los extremos tendremos:
a.1) En 1x = la serie es: 1n∑ que es la armónica y por lo tanto, divergente.
a.2) En , la serie es: 1x = − ( 1)n
n−∑ . La serie formada por los valores absolutos de
los términos de la serie es 1n∑ , que ya hemos visto que es divergente. Por lo tanto, no
es absolutamente convergente. Pero es alternada y cumple las dos condiciones del teorema de Leibnitz, ya que su término general en valor absoluto es una sucesión que tiende a cero y es decreciente. Por lo tanto, en este punto es condicionalmente convergente.
En resumen, el campo de convergencia de esta serie es [ 1,1)−
a.3) Esta serie tiene, en este intervalo [ 1,1)− una suma finita:
2 3
... ... ( )2 3
nx x xx S xn
+ + + + + = Y se cumplirá que, en ( 1,1)− ,
2 3 1 11 ... ... ( ) ( ) ( ) ( )1 1
n dxx x x x S x S x S x S x dxx x
− ′ ′ ′+ + + + + + = ⇒ = ⇒ = = =− −∫ ∫
|1 |L x= − − +(0) 0 1S L= = − +
k Para determinar el valor de k, sumamos la serie en el punto :
0x =0 ( ) |1 | [ 1,1)k k k S x L x x= ⇒ = ⇒ == − − ∀ ∈ −
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b) 11
( ) ( 1)lim lim | |( )
nn
nn nn
f x n x xf x n x+
−→∞ →∞
+ ⋅= =
⋅. Si | | 1 ( 1,1) 1x R< ⇒∀∈ − ⇒ = la serie es
absolutamente convergente. En los extremos tendremos:
a.1) En 1x = la serie es: cuyo término general no cumple la condición necesaria de convergencia y por lo tanto diverge.
n∑
a.2) En , la serie es: . La serie formada por los valores absolutos no cumple la condición necesaria de convergencia y por lo tanto, no converge.
1x = − 1( 1)n n−−∑
En resumen, el campo de convergencia de esta serie es ( 1,1)−
a.3) Esta serie tiene, en este intervalo ( 1,1)− una suma finita: 2 3 11 2 3 4 ... ... ( ) ( 1,1)nx x x nx S x x−+ + + + + + = ∀ ∈ −
(. La integral de la serie es la
serie de las integrales en el campo mde convergencia 1,1)− y podremos escribir:
2 3 ... ... ( ) ( 1,1) ( )1
n xk x x x x S x dx x k S x dxx
+ + + + + + = ∀ ∈ − ⇒ + =−∫ ∫
Derivando término a término, obtenemos:
2 2
1 ( 1) 1( ) ( ) ( 1,1)(1 ) (1 )x x S x S x x
x x− − −
= ⇒ = ∀ ∈ −− −
8.- Hallar la suma de la serie:
S x x x xn
xn
( ) /= + + +−
+ =−3 7 4 1
3 7 4 11 2… … para
En primer lugar debemos hallar el campo de convergencia de la serie: 4 3
4 14 41
4 11 1
( ) 4 14 3( ) lim lim lim | | | |4 1 ( ) 4 3
4 1
n
nn
n nn n nn n n
xf xx nnf x x
xn f x nn
+
−∞ ∞+
−→∞ →∞ →∞= =
−+= ⇒ = = =− +
−
∑ ∑ x
Si la serie es absolutamente convergente. En los extremos tendremos:
4| | 1 | | 1 ( 1,1) 1x x R< ⇒ < ∀∈ − ⇒ =
a.1) 1x = La serie es: 14 1n −∑ que tiene el mismo carácter que la armónica y por lo
tanto, diverge.
a.2) . La serie es: 1x = − 14 1n−−∑ , que es negativa y tendrá el mismo carácter que la
anterior, es decir, divergente.
En resumen, la serie converge en ( 1,1)− . En todos los puntos de este intervalo tendrá suma finita.
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a.3) Para sumarla en el punto 12
x = , la sumaremos en primer lugar en un punto
cualquiera del intervalo y posteriormente lo particularizaremos para ese punto pedido.
3 7 4 1
( ) ( 1,1)3 7 4 1
nx x x S x xn
−
+ + + + = ∀ − ⇒−
… …
2 22 6 10 4 4
4 4( ) ... ... ( ) ( )1 1
n x xS x x x x x S x dx S x dxx x
−′ ′= + + + + + = ⇒ = =− −∫ ∫
Para resolver esta integral, descomponemos en factores:
2
41 1 1 1 2
x A B Cx Dx x x x
+= + +
− + − +; Igualando coeficientes, se obtiene:
1 1; 0;4 2
A B C D= = = = −
Por lo tanto:
4 2
1 1 1( )1 4 1 4 1 2 1
dx dx dx dxS xx x x x
= = + −− + − +∫ ∫ ∫ ∫ =
1 1 1|1 | |1 | arctan4 4 2
L x L x x= + − − − + k
Pero 1 1 1(0) 1 1 arctan 0 0 04 4 2
S L L k k= − − + = ⇒ =
Por lo tanto: 1 1 1( ) arctan ( 1,1)4 1 2
xS x L x xx
+= − ∀ ∈ −
−
Entonces,
111 1 1 1 1 12 arctan 3 arctan12 4 2 2 4 212
S L L+⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ −
12
Solución: S( / )1 2 14
12
= L3- arctg 12