Post on 06-Feb-2015
QUIMICA CUANTICA
VECTORES
Vectores en R2:
Un vector en R2 es un segmento orientado del plano.
Vectores equivalentes
sentido u orientación origen
extremoa
a b
|a| = a = longitud módulo
QUIMICA CUANTICAVECTORES
OPERACIONES
1)PRODUCTO POR ESCALAR k
2)SUMA (RESTA) a+b
a-b
a
b
-a
kaa
QUIMICA CUANTICAVECTORES
SISTEMA DE COORDENADAS
a = ( a1 , a2 )
Notación columna o fila:
Vectores base:
a
a2
a1
j
i
y
x
2
1
a
aa 21 aaa
0
1i
1
0j
ji 21 aa a
QUIMICA CUANTICAVECTORES
OPERACIONES
1) Producto por un escalar k:
2) Suma (Resta):
3) Producto escalar:
Con vectores columna:
2
1
a
a
k
k k a
22
11
2
1
2
1
ba
ba
b
b
a
aba
22
11
2
1
2
1
ba
ba
b
b
a
a b)(aba
a
b θ
2211
2
1
2 1 babab
baa
b . a
)cos(..)cos(.. ba bab . a
QUIMICA CUANTICAVECTORES
OPERACIONES
4) Longitud:
En columnas:
5) cos (θ):
Reemplazando el módulo en producto escalar
222212211
2
1
2 1 aaaaaaaa
aaa
a . a
2221 aaa
)cos(..)cos(.. 22222121 bbaaba b . a
22222121
2211
..)cos(
bbaa
baba
ba
b . a
2aa
2.)cos(.. aaa aaa . a
QUIMICA CUANTICAVECTORES
CAMBIO DE SISTEMA DE COORDENADAS
S (XY) S’ (X’Y’)
i’=(cos θ, sen θ)
j’=(-sen θ, cos θ)
Para un vector cualquiera:
Matricialmente:
θj’j i’
i
y
x
y’ x’
2
1
2
1
'
'
a
a
a
aa
x’
y’
a’1
a’2
a2
a1
aθ
j’
ji’
i
y
x
cos '
cos'
212
211
asenaa
senaaa
2
1
2
1
cos
cos
'
'
a
a
sen
sen
a
a
QUIMICA CUANTICAMATRICES
Arreglo rectangular de números, ordenados en filas y columnas indicadas por los subíndices: i, j. Por ejemplo las matrices C, D y X:
2x2 2x3 2x1
Vectores en forma matricial: A’ = Q A
2221
1211
cc
ccC
232221
131211
ddd
dddD x
21
11
x
xX
21
11
2221
1211
21
11
'
'
a
a
a
a
QUIMICA CUANTICAMATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
1) Producto por un escalar:
2) Suma (Resta) de matrices:
Matriz Cero
Bbb
bb
aka
aka
aa
aakkA
k
k
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Ccc
cc
baba
baba
bb
bb
aa
aaBA
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
0 0 0
0 0
2221
1211
2221
1211
aa
aa
aa
aaAA
QUIMICA CUANTICAMATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
3) Producto de matrices: A . B = C
Restricción:
A . B = CMxN NxL MxL
CONMUTADOR:
k
kjikij bac .
Cc
cc
bb
bb
aa
aaBA
c
.
.
2221
1211
2221
1211
2221
1211
conmutan no
conmutan
ABBA
ABBABA
..0
..0,
ABBABA ..,
QUIMICA CUANTICAMATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
3) Producto de matrices: vectores
Vimos producto escalar
Con matrices:
Matriz columna y matriz fila
El producto escalar:
2211
2
1
2 1 babab
baa
b . a
kbabab
baa
21121111
21
11
12 11 b . a
21
11
a
aA a 21 11 aaA a
.21
11
12 11 kb
baaBA
b . a
QUIMICA CUANTICA
MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
4) Matriz Transpuesta:
Matriz transpuesta de la matriz A es la matriz Ā que se obtiene intercambiando filas por columnas.
MATRICES CUADRADAS
5) Matriz Simétrica: La matriz A={aij} es simétrica si se cumple para todo elemento que aij = aji.
En consecuencia, toda matriz simétrica coincide con su transpuesta.
2221
1211
aa
aaA
2212
2111
aa
aaA
4 2
3 1
4 3
2 1 Si AA
AA
4 2
2 1
QUIMICA CUANTICA
MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
6) Matriz Diagonal:
Todos los elementos fuera de la diagonal son iguales a cero.
Para todo i ≠ j dij = 0
7) Matriz Unidad:
8) Matriz Inversa:
La matriz A-1 es la inversa de A si se cumple:
0
0
22
11
d
dD
4 0
0 3D
ji si 0
ji si 1
1 0
0 1dondesea o ijijUU
U.AAA.A 11
QUIMICA CUANTICA
MATRICES
6) Matriz Ortogonal:
Sus columnas son vectores mutuamente ortogonales.
Verificar para
Cumplen:
0
22
12
2111
q
qqq
1 0
0 1
U
cos
cos
sen
senQ
0cos..cos cos
. cos
sensensen
-sen
1cos cos
. cos 22
sen-sen
-sen
1QQ UQQQQ 1..
1 0
0 1
cos
- cos.
cos
cos.
sen
sen
sen
senQQ
si ortogonal es
2221
1211
qqQ
QUIMICA CUANTICAMATRICES
FUNCION VECTORIAL LINEAL
Produce la transformación lineal de un vector x
en otro y en el mismo sistema de coordenadas.
Es lineal:
)(XfY
y
x
x2
x1
ji
y
xy1
y1
XAY
21
11
2221
1211
21
11
x
x
aa
aa
y
y
)''()'( 2)
)()( )1
XfXfX'')f(X'
XkfkXf
QUIMICA CUANTICA
VECTORES EN R3
Se agrega el producto vectorial:
VECTORES Y MATRICES EN Rn
Se cumplen las operaciones anteriores.
1
21
11
nv
v
v
V
v
nnnn
n
n
21
2 2221
1 1211
aaa
aaa
aaa
A
tirabuzóndel regla :Sentido
de plano allar Perpendicu
..ccba ab
senbac
QUIMICA CUANTICA
MATRICES CUADRADAS: 2 USOS
1) Función Vectorial Lineal:
Transforma X en Y dentro del mismo
Sistema de coordenadas.
Corresponde también a:
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Vale para sistemas de NxN.
XAY y
x
x2
x1y1
y1
1222112121
1212111111
xaxay
xaxay
21
11
2221
1211
21
11
x
x
aa
aa
y
y
YAX
XUYA
XAAYA
1
1
11
XAY
QUIMICA CUANTICA
1
21
11
nx
x
x
nnnn
n
n
21
2 2221
1 1211
aaa
aaa
aaa
1
21
11
ny
y
y
Ejemplo: Dado un sistema de N ecuaciones con N incógnitas
XAY
Se resuelve invirtiendo la matriz A de los coeficientes de las incógnitas:
YAX 1
QUIMICA CUANTICA
MATRICES CUADRADAS: 2 USOS
2) Transformación ortogonal:
Q permite determinar las coordenadas X’
de un vector en un nuevo sistema S’ a partir
de las coordenadas X del mismo vector en
un sistema viejo S.
XQX '
x’1
x’2
x2
x1
x
θ
S
S’
21
11
21
11
'
'x
x
x
x
x
QUIMICA CUANTICA
TENSORES
TRANSFORMACION DE SIMILITUD
Se consideran los dos casos
simultáneamente (1 y 2):
Sea f una función vectorial lineal
representada por A en el sistema
S y por A’ en el sistema S’.
Conocidas: Luego:
f es un tensor representado por una matriz cuadrada en cada sistema.
(7) '
(6) '
(5) ' ''
(4)
YQY
XQX
XAY
XAY
' ' QXAQY
' ' QXAQQYQ
' ' QXAQY
(8) ' QAQA
S
y
x
AX
Y
S’x
y A’ X’
Y’
QUIMICA CUANTICA
VECTORES, MATRICES, TENSORES
DIAGONALIZACIÓN
Sea f un tensor representado por A (simétrica) en el sistema S, entonces habrá una transformación Q que lleve a un sistema S’ en el cual el tensor está representado por una matriz diagonal D:
Luego: donde:
Entonces es
posible separar:
Cada ecuación es el Problema de Autovalores y Autovectores.
DQAQ
DQAQ
QDAQ
QDQAQQ
2 1
21
2221
1 1211
n
nnn
2
qqq
Q
qqq
qqq
qqq
Q
n
n
n
nn
22
11
qq.
qq.
qq.
22
11
nndA
dA
dA
QUIMICA CUANTICA
VECTORES, MATRICES, TENSORES
DIAGONALIZACIÓN
Problema de Autovalores y Autovectores.
Dada A simétrica, encontrar los valores de q y de d
que satisfacen las N ecuaciones.
Ejemplo:
Reordenando:
Sistema homogéneo. Determinante Secular:
Se obtiene:
MatLab: [Q, D] = EIG(A)
21
11
11
11
21
11
11
21
11
11
21
11
11
21
11
0
0
1 0
0 1.
3 1
1 2
q
q
q
q
q
qU
q
q
q
q
0. 3 1
1 2
21
11
11
11
q
q
03 1
1 2
11
11
.6183 0
0 .3821D
QUIMICA CUANTICA
NUMEROS COMPLEJOS
a y b números reales. “i” es la unidad imaginaria:
Conjugación: si
Dados :
Operaciones con conjugados:
biaz 1i
biaz biaz *
ibbbbb
iaaaaa
22
22
11
11
),(
),(
*** baba
*** .. baba
*** baba
*** baba
-b
a
z*
Eje imaginario
Eje real
z
b
y
x
MATRICES COMPLEJAS
Sus elementos son números complejos. La mismas operaciones excepto con conjugados.
MATRIZ ADJUNTA de A: Transpuesta de A:
MATRIZ HERMITICA: Simétrica:
MATRIZ UNITARIA: Ortogonal:
QUIMICA CUANTICA
A A
i i
i -A
242
321
i
i i A
24 3
221
AA AA
i
i AA
5 23
23 2
1 QQ 1QQ
ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT)
ANALOGIA CON VECTORES
El conjunto base cumple
Cualquier otro vector a
Que es una Combinación Lineal de los vectores base.
También: en general:
QUIMICA CUANTICA
21, ii ijji ii .
a1
a2
i1
i2
a
y
x
1 0
1 0 1. 11
ii
0 1
0 0 1. 21
ii
ii 2211 aa a
2
1
a
aa
N
iia
1iia
ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT)
FUNCIONES
Sea el conjunto base que cumple
En la notación de Dirac:
Cualquier otra función se puede expresar como
Combinación Lineal de las funciones base:
En general:
QUIMICA CUANTICA
c1
c2
1
2
y
x
21, ijjdi .*
ijji
2211 cc
N
iiic
1
ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT)
ANALOGIA DE VECTORES Y FUNCIONES
QUIMICA CUANTICA
Vectores Funciones
Base Base
Ortogonal Ortogonal
Otro vector Otra función
Combinación lineal de los vectores base Combinación lineal de las funciones base
21, ii 21,
ijjdi .*
ijji ii .
N
iia
1iia
N
iiic
1
ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT)
PRODUCTO ESCALAR DE FUNCIONES
Dadas las funciones
QUIMICA CUANTICA
N
iii
N
iii
xbxg
xaxh
1
1
)()(
)()(
dxbadxbadxbadxxgxhgh iiiiiiii
N
iii
N
iii
**
1
*
1
* .)().(
N
iiibagh
1