Post on 15-Apr-2018
Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso du
PROZESU KIMIKOEN
INSTRUMENTAZIO ETA
KONTROLA
Unai Iriarte Velasco
EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO
ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA
Egilea: Unai Iriarte Velasco EHUko Zientzia eta Teknologia Fakultateko irakaslea Ingeniaritza Kimikoa Saila unai.iriarte@ehu.es ISBN: 978-84-692-3020-6 Leioa, 2009ko maiatza
i
AURKIBIDEA 1 GAIA: SARRERA 1.1 Sarrera 1 1.2 Kanpo-eraginak konpentsatzea 3 1.3 Egonkortasuna ziurtatzea 7 1.4 Prozesua optimizatzea 7 1.5 Prozesu kimiko bateko aldagaien sailkapena 8 1.6 Kontrol-sistema baten diseinua 9 1.7 Instalazio kimiko sinple baten kontrola 12 1.8 Kontrol-sistema baten osagaiak 13 2 GAIA: EREDU MATEMATIKOAK INGENIARITZA KIMIKOAN 2.1 Eredu motak 15 2.2 OINARRIAK: eredu teorikoak 16 2.3 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN KONSTANTEA 18 2.4 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN ALDAKORRA 20 2.5 BEROTURIKO BI GORDAILU SERIEAN 21 2.6 CSTR ez-isotermoa 22 3 GAIA: LAPLACE TRANSFORMATUA 3.1 Ekuazio motak 26 3.2 Definizioa 27 3.3 Oinarrizko funtzioen Laplace transformatua 28 3.4 Ekuazio diferentzialen ebazpena Laplace transfo rmatua erabiliz 31 3.5 Erroen esanahi fisikoa 38 3.6 Laplace transformatuaren beste propietate batzu k 39 4 GAIA: LEHEN MAILAKO SISTEMEN ERANTZUN DINAMIKOA 4.1 Transferentzia-funtzioa 43 4.2 Maila-aldaketako perturbazio baten aurreko eran tzuna 46 4.3 Bulkada baten aurreko erantzuna 47 4.4 Perturbazio sinusoidala 48 4.5 Bode-ren diagrama 50 4.6 NYQUIST-en diagrama 51 4.7 Lehen mailako sistemen adibideak 52
ii
5 GAIA: LINEALIZAZIOA ETA SISTEMEN ARTEKO INTERAKZIOA 5.1 Linealizazio-teknikak 58 5.2 Lehen mailako sistemen erantzuna 66 5.3 Maila-aldaketa batekiko erantzuna 71 6 GAIA: BIGARREN MAILAKO SISTEMAK 6.1 Maila-aldaketa motako perturbazio baten aurreko erantzuna 74 6.2 “Sistemaren identifikazioa” 79 6.3 Bulkada baten aurreko erantzuna 82 6.4 Erantzun frekuentziala 84 6.5 Sistema linealen erantzun frekuentziala. Metodo orokorra 85 6.6 Bode-ren diagrama 88 6.7 Nyquist-en diagrama 89 7 GAIA: DENBORA HILA 7.1 Perturbazioekiko erantzuna 90 8 GAIA: SEINALEEN NEURKETA ETA TRANSMISIOA 8.1 Osagai nagusiak 93 8.2 Neurketaren ezaugarriak 93 8.3 Neurgailuen sailkapena 93 8.4 Transmisioa 94 8.5 Kalibrazioa 94 8.6 Diagramak 95 9 GAIA: AZKEN KONTROL-ELEMENTUA 9.1 Eragileak 101 9.2 Azken kontrol-elementua 101 9.3 Kontrol balbula 102 10 GAIA: ATZERAELIKADURAZKO KONTROL-SISTEMAK ETA KONTROL-AKZIOAK 10.1 Kontrol proportzionala 107 10.2 Akzio integrala 108 10.3 Akzio deribatua 109 10.4 Kontrol proportzional eta integrala 110 10.5 Kontrol proportzional deribatua 112 10.6 Kontrol proportzionala akzio integral eta deribatuarekin 114
iii
11 GAIA: KONTROL-BEGIZTA ITXIKO TRANSFERENTZIA-FUN TZIOA. EGONKORTASUN KONTZEPTUA 11.1 Kontrol-akzio proportzionalaren eragina KONTRO L-BEGIZTA itxian 118 11.2 Kontrol-akzio integralaren eragina KONTROL-BEG IZTA itxian 121 11.3 Kontrol-akzio deribatuaren eragina KONTROL-BEG IZTA itxian 123 11.4 Kontrol-akzio KONBINATUEN eragina KONTROL-BEGI ZTA itxian 123 11.5 Egonkortasunerako irizpideak 123 12 GAIA: PID kontroladoreen sintonizazioa 12.1 Atzeraelikadurazko kontroladoreen sintonizazio a 125 12.2 Irizpide motak 126 12.3 Erantzun-irizpide sinpleak 126 12.4 Denboraren eremuko erantzunean oinarritutako i rizpideak 128 12.5 Kontroladorearen parametroak sintonizatzeko me todoak 132 12.6 Kontroladoreak sintonizatzeko metodoak 143 13 GAIA: ROUTH-EN IRIZPIDEA ETA ERROEN KOKAPENA 13.1 Routh-en irizpidea 146 13.2 Erroen kokapena 147 13.3 Erroen kokapenaren eskema marrazteko arauak 15 0 13.4 Denbora hilaren eragina erroen kokapenaren mar razketan 152 14 GAIA: ERANTZUN FREKUENTZIALA. BODE-REN ETA NIQUI ST-EN EGONKORTASUN-IRIZPIDEAK 14.1 Bode-ren egonkortasun-irizpidea 153 14.2 Irabazi- eta fase-marjinak 156 14.3 Niquist-en egonkortasun-irizpidea 159
iv
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
1
1 GAIA: SARRERA
1.1 Sarrera
Instalazio kimiko bat hainbat prozesuren konbinazioa baino ez da (erreaktorea, bero-trukagailua,
destilazio-zutabea, absorbatzailea, gordailu, eta abar). Edozein lantegiren helburu nagusia da
erreaktibo batzuk produktu bihurtzea. Prozesu hori modu kontrolatu batean egin behar izaten da.
Zergatik?
- Instalazioak kanpo-eraginak jasaten dituztelako (erregulazio-arazoa)
- Operazio-baldintzak aldatu nahi izaten direlako (serbo-arazoa)
- Automatizazioak hauxe dakar:
efizientzia handiagoa, segurtasun gehiago, langile gutxiago, garestiagoa, konplexuagoa
(adituak),...
Zertarako?
- Kontrol-sistemaren (KS) betebeharrak:
• segurtasuna (presioa, tenperatura, likido-maila,...)
• kalitatea (produktuaren purutasuna)
• ingurumena (ISO 14001)
• operazio-baldintzak (gordailuen maila, tenperatura, ponpen kabitazio-presioa, eta abar)
• optimizazio ekonomikoa
Nola?
Atzeraelikadura: kontrolatu behar den irteera neurtu, eta sarrerako erreferentziarekin
konparatzen da. Bien artean errorerik agertzen bada, errore hori erabiltzen da
kontrolatutako irteerak erreferentziari jarrai diezaion.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
2
- Oro har, kontrol-sistema baten betekizunak hauek dira:
• kanpo eraginak konpentsatzea
• prozesuaren egonkortasuna ziurtatzea
• optimizazioa
IKASGAIAREN HELBURUAK
- Kontrol-teoriaren oinarrizko ezagutzak lortzea.
- Edozein adituk proposaturiko sistema konplexuak ulertzeko gaitasuna lortzea.
- Prozesuaren kontrol-arazo sinpleak ebazteko gaitasuna garatzea (“Lehen artea zena orain
zientzia da…”).
- Etorkizunean aditu-mailako ezagutza lortzeko gaitasuna izatea.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
3
1.2 Kanpo-eraginak konpentsatzea
- Egoera ohikoena.
- Prozesuan beharrezko aldaketak egin beharko dira.
Condensado
F, T
Vapor deagua
Fst
TQ
F , Ti i
h
Ur-lurruna
KondentsatuaCondensado
F, T
Vapor deagua
Fst
TQ
F , Ti i
h
Ur-lurruna
Kondentsatua
1.1 irudia. Berotutako nahasketa perfektuko erreaktore jarraitua (CSTR).
1.1 irudian gordailu bateko tenperatura erregulatzeko sistema ageri da. Gordailuko T tenperatura,
sarrerako jarioaren tenperaturaren (Ti), emariaren (Fi) eta gehitutako beroaren (Q) menpekoa
izango da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
4
F, T
Fst
TQ
Termoparea
Kontroladorea
T
Ts ε
-
+
Kontsigna-puntua
Ti, Fi = Konstante
F, T
Fst
TQ
Termoparea
Kontroladorea
T
Ts ε
-
+
Kontsigna-puntua
Ti, Fi = Konstante
1.2 irudia. Berotutako CSTRa, tenperaturaren atzeraelikadurazko kontrol-sistema duena.
1.2 irudian tenperatura erregulatzeko erabiltzen den begizta itxiko kontrol-sistema ageri da.
Neurgailuak T irteera-aldagaia neurtu, eta Ts erreferentziarekin konparatzen du. Bien artean
errorerik bada, balbularen posizioa mugitzen du, eta, horrenbestez, Q bero-fluxua aldatzen da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
5
TQ
F i
Likido-mailaren
neurgailua
Kontroladorea
Kontsigna-
puntua
h
h
+
-T = konstantei
s
ε
TQ
F i
Likido-mailaren
neurgailua
Kontroladorea
Kontsigna-
puntua
h
h
ε+
-
T = konstantei
s
TQ
F i
Likido-mailaren
neurgailua
Kontroladorea
Kontsigna-
puntua
h
h
+
-T = konstantei
s
ε
TQ
F i
Likido-mailaren
neurgailua
Kontroladorea
Kontsigna-
puntua
h
h
+
-T = konstantei
s
ε
TQ
F i
Likido-mailaren
neurgailua
Kontroladorea
Kontsigna-
puntua
h
h
ε+
-
T = konstantei
s
TQ
F i
Likido-mailaren
neurgailua
Kontroladorea
Kontsigna-
puntua
h
h
ε+
-
T = konstantei
s
1.3 irudia. Berotutako CSTRa, bolumenaren atzeraelikadurazko kontrol-sistema duena. Bi kontrol estrategia posible.
1.3 irudian, aldagai kontrolatua berbera izanik, aldagai manipulatua ezberdina izan daitekeela
ikusten da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
6
T
Q
Fi
Kontroladorea
i
Termoparea
= Konstante
T
F, T
Ti
T
Q
Fi
Kontroladorea
i
Termoparea
= Konstante
T
F, T
Ti
1.4 irudia. Berotutako CSTRa, tenperaturaren feedforward kontrol-sistema duena.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
7
1.3 Egonkortasuna ziurtatzea
Edozein prozesutako aldagai batean perturbazio bat gertatzen bada:
Prozesua egonkorra izatea nahi da.
Ezegonkorra bada → kontrol-sistema (KS) beharrezkoa.
Tenperatura
Ene
rgia
, cal
/den
bora
T1 T2 T3
Tenperatura
Ene
rgia
, cal
/den
bora
Tenperatura
Ene
rgia
, cal
/den
bora
T1 T2 T3T1 T2 T3
1.5 irudia. Erreakzio exotermiko bat, hozte-atorra daukan CSTR batean.
1.4 Prozesua optimizatzea
- Betebehar garrantzitsuenak: segurtasuna eta kalitatea.
- Ondoren, errentagarritasuna hobetzea.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
8
1.5 Prozesu kimiko bateko aldagaien sailkapena
- Bi talde bereiz daitezke:
� Sarrera-aldagaiak: inguruaren eragina prozesuan
Manipulatuak: langileek doitu/manipulatu ditzaketenak
Perturbazioak: ez dira KSren ondorio
Neurgarriak: zuzenean neur daitezke
Neurgaitzak: ezin daitezke zuzenean neur
� Irteera-aldagaiak: prozesuaren eragina inguruan
Neurgarriak: zuzenean neur daitezke
Neurgaitzak: ezin daitezke zuzenean neur
Irteera-aldagai
neurgarriakAldagai
manipulatuakProzesua
. . . . .
. . .
Perturbazioak
Kontroladorea
Irteera-aldagai
neurgaitzak
Irteera-aldagai
neurgarriakAldagai
manipulatuakProzesua
. . . . .
. . .
Perturbazioak
Kontroladorea
Irteera-aldagai
neurgaitzak 1.6 irudia. Prozesu kimiko bateko sarrera- eta irteera-aldagaiak.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
9
1.6 Kontrol-sistema baten diseinua
- Kontrol-sistema (KS) prozesuarekin batera diseinatu behar da. Bestela, kontrola kaskarra da,
bideraezina.
- Helburu orokorra da sistemaren erantzun azkarra lortzea eta perturbazioen magnitude eta
maiztasuna txikia izatea. (Instalazioaren izaera eta diseinuaren arabera).
- Eman beharreko pausoak:
1. Helburuak finkatu: kanpo-eraginak konpentsatzea, egonkortasuna lortzea, optimizazio
ekonomikoa iristea ala denak batera.
2. Neur daitezkeen aldagaiak identifikatu (helburuaren arabera)
Irteera neurgaitza (aldagai sekundarioak, KS inferentziala)
3. Manipula daitezkeen aldagaiak identifikatu.
Kontrolaturiko eta neurturiko aldagaiak finkatu ondoren, horien eragina nola
konpentsatuko den erabaki behar da.
4. KSren konfigurazioa aukeratu.
Feedforward/atzeraelikadura Manipulatu berdina / neurketa ezberdina
Feedforward/atzeraelikadura Neurketa berdina / manipulatu ezberdina
(1.3,1.4, 1.7 irudiak)
Aldagai manipulatu/neurtuen kopuruaren arabera:
SISO (single input / single output).
Adibidez: likido-maila, irteerako edo sarrerako emaria manipulatuz.
MIMO (multiple input / multiple output).
Adibidez: likido-maila eta tenperatura, sarrerako emaria eta lurrun-emaria
manipulatuz.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
10
a) b)
c)
1.7 irudia. Hainbat kontrol-konfigurazio. Kontrolaren helburua: destilatuaren kontzentrazioa. a) atzeraelikadurazkoa, b) feedforward, c) atzeraelikadurazko inferentziala.
Kondentsadorea
Elikadura
Errefluxua
Destilatua
Hozte-ura
Kontsigna-
puntua
Irakingailua
Ur-lurruna
Osagai astunak
Destilazio-zutabea
Konposizio-
analisia
Kontroladorea
Kondentsadorea
Elikadura
Errefluxua
Destilatua
Hozte-ura
Kontsigna-
puntua
Irakingailua
Ur-lurruna
Osagai astunak
Destilazio-zutabea
Konposizio-
analisia
Kontroladorea
Errefluxua
Kontroladorea
Konposizio-
analisia
Elikadura
Destilatua
Osagai astunak
Errefluxua
Kontroladorea
Konposizio-
analisia
Elikadura
Destilatua
Osagai astunak
Kontrola: destilatuarentzat
estimaturiko kontzentrazio
balioak
Ordenagailua: destilatuaren
kontzentrazioa estimatzen
da tenperaturaren araberaT1 ,T2 eta T3
T1
T2
T3
Kontsigna-
puntua
Errefluxua Destilatua
Osagai astunak
Elikadura
Kontrola: destilatuarentzat
estimaturiko kontzentrazio
balioak
Ordenagailua: destilatuaren
kontzentrazioa estimatzen
da tenperaturaren araberaT1 ,T2 eta T3
T1
T2
T3
Kontsigna-
puntua
Errefluxua Destilatua
Osagai astunak
Elikadura
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
11
5. Kontroladoreak diseinatu/sintonizatu.
Manipulazioaren magnitudea eta iraupena, abiadura egokitzeko.
Kontroladore gabe
Denbora
Errorea
(Tsp-T)
Errorea
(Tsp-T)
Kontroladore gabe
(α=0)
Denbora
b)
a)
Kontroladore gabe
Denbora
Errorea
(Tsp-T)
Kontroladore gabe
Denbora
Errorea
(Tsp-T)
Errorea
(Tsp-T)
Kontroladore gabe
(α=0)
Denbora
b)
a)
1.8 irudia. Tenperaturaren erantzuna hainbat kontrol-legetarako. a) Kontrol-akzio proportzionala, b) Kontrol-akzio integrala.
Kontrol-akzio proportzionala ( )spQ T T Qs= α − +
Kontrol-akzio integrala ( )t
spQ T T dt Qs,
0
= α − +∫
6. Instrumentazioa aukeratu.
Sentsoreak, transmisoreak, azken kontrol-elementua, eta abar.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
12
1.7 Instalazio kimiko sinple baten kontrola
Destilazio
zutabea
Hozte-
ura
Ur-
lurruna
Kondentsatua
Ur-
lurruna
Destilazio
zutabea
Hozte-
ura
Ur-
lurruna
Kondentsatua
Ur-
lurruna
1.9 irudia. Instalazio kimiko sinple bat.
- Helburuak:
Kalitatea: C emaria eta purutasuna
Segurtasuna:
Erreaktoreko likido-maila mantendu (ez lehortzeko, ez urak gainezka egiteko
moduan)
Destilazio-zutabean likido-maila zaindu
- Perturbazioak:
Erreaktiboen emariak, kontzentrazioa eta tenperatura
Destilazio-zutabeko presioa
Hoztailearen tenperatura
- Aldagai manipulatuak:
Destilazio-zutabeko errefluxua
Erreaktoreko FA/FB erlazioa
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
13
1.8 Kontrol-sistema baten osagaiak
Prozesu-unitateak (erreaktorea, bero-trukagailua, ponpatze-sistema,...)
- Sentsoreak (aldagai kontrolatua, perturbazioa, aldagai sekundarioak, manipulatuak,...)
Termopareak, venturimetroak, kromatografoak, ...
- Transduktoreak
Neurketa transmititzeko seinalea eraldatu behar da.
Adibidez: venturimetro batean sortutako karga-galera, Bar-etik V-ra
- Transmisio-lerroak (anplifikadoredunak)
- Kontroladorea
Neurtutako seinalearen arabera kontrol-akzioa erabakiko du
- Azken kontrol-elementua
Kontroladoreak erabakitakoa egingo duten elementuak: balbulak, abiadura aldakorreko
ponpak,...
- Erregistradorea
Neurketak grabatzeko, prozesuaren egoeraren jarraipena egiteko
Tenp.
erregistradoreaLikido-mailaren
erregistradorea
KontroladoreaKontroladorea
Tenp. Kontsigna-puntua
Transmisio-lerroak
Kontrol-
balbulaKontrol-
balbula
Transmisio-lerroak
hs Kontsigna-puntua
Presio dif.
neurgailuaTermoparea
Tenp.
erregistradoreaLikido-mailaren
erregistradorea
KontroladoreaKontroladorea
Tenp. Kontsigna-puntua
Transmisio-lerroak
Kontrol-
balbulaKontrol-
balbula
Transmisio-lerroak
hs Kontsigna-puntua
Presio dif.
neurgailuaTermoparea
Tenp.
erregistradoreaLikido-mailaren
erregistradorea
KontroladoreaKontroladorea
Tenp. Kontsigna-puntua
Transmisio-lerroak
Kontrol-
balbulaKontrol-
balbula
Transmisio-lerroak
hs Kontsigna-puntua
Presio dif.
neurgailuaTermoparea
1.10 irudia. Beroturiko gordailu bateko kontrol-begiztaren osagaiak.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
14
Oro har:
- Ez da prozedura/metodologia zeharo matematikoa,
erabakiak fenomeno fisiko-kimikoen ezagutzan oinarrituta baitaude.
- Kontrol-teoria ezagutzea beharrezkoa da, hain zuzen,
prozesuaren erantzun dinamikoa, KSren konfigurazioa eta kontroladoreak
sintonizatzeko teknikak ezagutzea.
- Instrumentazioaren ezagutza zabala.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
15
2 GAIA: EREDU MATEMATIKOAK INGENIARITZA KIMIKOAN
ZERTARAKO? Sistemaren erantzun dinamikoa adierazteko.
- Prozesua ulertzeko
Ikerkuntza
Prozesuaren garapena
Optimizazio ekonomikoa
- Aldagai manipulatu/kontrolatu bikoteen erlazioa ezartzeko
Manipulatuaren aldaketa batek zenbat aldatuko du aldagai neurtua?
Zer abiaduratan gertatuko da aldaketa hori?
I)
Korronte
hotza
Korronte beroa
Korronte
hotza
Korronte beroa
II)
Korronte hotza
Korronte beroa
Korronte hotzaren
by-pass-a
Korronte hotza
Korronte beroa
Korronte hotzaren
by-pass-a
2.1 irudia. Bi kontrol-konfigurazio posible. Kontrol-helburua: bero-trukagailuko irteera-tenperatura.
- Aldagai manipulatuaren mugek ezarriko dituzte aldagai kontrolatuaren mugak
- Kontrol-begiztaren ezaugarriak finkatzeko: kontrol zuzena/alderantzizkoa (noranzkoa),
magnitudea, abiadura
2.1 Eredu motak
Teorikoak (ebazpen analitiko konplexua)
Enpirikoak (fidagarritasun-eremu mugatua, esperimentazio mugatua)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
16
2.2 OINARRIAK: eredu teorikoak
2.2.1 Materia/energia/higidura kantitate-balantzeak
Materia-balantzea orokorra edo osagai batekiko izan daiteke:
Masa/energia-emaria –
sistemara SARTU
Masa/energia-emaria=
sistematik IRTEN
Sistemako masa/energiaren
METATZE-abiadura
2.2.2 Garraio-legeak:
2.1 taula. Garraio-legeak. Beroa Masa Higidura kantitatea
Emaria q NA τrz
Maila molekularrean
Indar eragilea ∂T∂z
∂CA∂z
∂vz∂r
Legea Fourier Fick Newton Propietatea Eroaletasun Difusibitatea Biskositatea termikoa kT DA µ
Maila makroskopikoan Indar eragilea ∆T ∆CA
(1) ∆P
Erlazioa q=hT∆T NA=kL∆CA (2) (1) Presio partziala edo frakzio molarra ere erabil daitezke. (2) Eskuarki, marruskadura-koefizientea izaten da: f=(gd∆P/L)/2vρ2.
2.2.3 Termodinamika
- Egoera-ekuazioak: gas idealen ekuazioa
- Oreka-ekuazioak: oreka kimikoa, fase arteko oreka, lurrunkortasun erlatiboa
Oreka kimikoa
1
0n
j jj=
ν µ =∑ (2.1)
1
2
k
a bkA B→ν ν← (2.2)
µj = µj0 + RT ln Pj (2.3)
νb(µB0 + RT ln PB) - νa(µA0
+ RT ln PA) = 0 (2.4)
RT ln(PB)νb - RT ln(PA)
νa = νa µA0 - νb µB0
(2.5)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
17
ln
PB
νb
PAνa
= νa µA0 - νb µB0
RT (2.6)
Kp = PB
νb
PAνa
(2.7)
2.2.4 Zinetika kimikoa
Erreakzio motaren arabera
-A+B→R
1,0exp− =
−
a b
A A B
ar k C CE
RT (2.8)
ATSR rR = 0,5
rS = CA/2rT = 3CA
2A
TSR rR = 0,5
rS = CA/2rT = 3CA
2
A ↔ B
1,0exp 1− =
− −
A
a AAo
Ae
r C kE X
RT X (2.9)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
18
2.3 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN KONSTANTEA
FAo
CAo
Qo
XAo(0)To
FA1
CA1
FA2
CA2
FA3
CA3
FAo
CAo
Qo
XAo(0)To
FA1
CA1
FA2
CA2
FA3
CA3
2.2 irudia. CSTR erreaktore sorta seriean.
Balantze orokorra:
1d( V )
dt
ρ = ρFo - ρF1 = 0 (2.10)
F1,s = Fo,s (2.11)
Era berean, F3,s
= F2,s
= F1,s
= Fo,s
= F
Materia-balantzea A osagaiarekiko:
V1 dCA1
dt = F(CAo - CA1) - V1k1CA1 (2.12)
V2 dCA2
dt = F(CA1 - CA2) - V2k2CA2 (2.13)
V3 dCA3
dt = F(CA2 - CA3) - V3k3CA3 (2.14)
Erreakzio-abiadura, kn, Arrhenius-en arabera adieraz daiteke:
kn = α e-E/RTn (2.15)
n = 1,2,3
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
19
Emariak, tenperaturak eta bolumenak konstante eta berdinak badira hiru erreaktoreetan:
dCA1
dt + (k + 1
τ) CA1 =
1t CA0 (2.16)
dCA2dt + (k +
1
τ) CA2 =
1t CA1 (2.17)
dCA3dt + (k +
1
τ) CA3 =
1t CA2 (2.18)
Horrela, sistemak 3 ezezagun ditu, eta 3 ekuazioren bitartez deskribatu da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
20
2.4 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN ALDAKORRA (grabitatez
hustea)
FAo
CAo
Qo
XAo
To
FA1
CA1
FA2
CA2
FA3
CA3V3
V2
V1
2.3 irudia. CSTR erreaktore sorta seriean, grabitatez hustea.
1 erreaktorea: 1dVdt
= Fo - F1
( )1 1Ad V C
dt= FoCAo - F1CA1 - V1k1(CA1)n (2.19)
2 erreaktorea: 2dVdt
= F1 - F2
( )2 2Ad V C
dt= F1CA1 - F2CA2 - V2k2(CA2)n (2.20)
3 erreaktorea: 3dVdt
= F2 - F3
( )3 3Ad V C
dt= F2CA2 - F3CA3 - V3k3(CA3)n (2.21)
Tenperatura ezaguna denez, K1, K2 eta K3 ezagunak(*) dira.
Beraz, 6 ekuazio eta 9 ezezagun(**) ditu sistema horrek: CA1, CA2, CA3, V1, V2, V3, F1, F2 eta
F3.
Beste 3 ekuazio (eredu) behar dira. Irteera-emaria eta -bolumena erlazionatzen dituztenak erabil daitezke.
F1 = f(V1) F2 = f(V2) F3 = f(V3)
* Ez dira aldagaiak. Haien balioa ezaguna eta konstantea da, eta haien araberakoak izango dira ezezagunen azken balioak, hau da, sistemaren operazio-baldintzak (V1-3, CA1-3, F1-3). ** Sistemaren aldagaiak dira; sarrera- edo irteera-aldagai izan daitezke. Horrela, adibidez, F1 maila-aldaketa (sarrera) gisa aldatuz, V3 (irteera) nola aldatzen den aurrez esan liteke eredu horien bitartez.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
21
2.5 BEROTURIKO BI GORDAILU SERIEAN (bolumen konstan tea)
Emaria, bolumena, dentsitatea konstante badira,
bero-transmisioa lehen gordailuan bakarrik, Q1:
FAo
CAo
Qo
XAo(0)To
FA1
CA1
FA2
CA2
Q1
FAo
CAo
Qo
XAo(0)To
FA1
CA1
FA2
CA2
Q1 2.4 irudia. Beroturiko bi gordailu seriean.
Energia-balantzea 1 gordailuan: 1 1d CpVT
dt
( )ρ= ρCp(Fo To - F1 T1) + Q1 (2.22)
Energia-balantzea 2 gordailuan: 2 2d CpV T
dt
( )ρ= ρCp(F1 T1 - F2 T2) (2.23)
Emariak, dentsitateak eta bolumenak konstante direnez:
CpV1 dT1dt = ρCpF(To - T1) + Q1 (2.24)
ρCpV2 dT2dt = ρCpF(T1 - T2) (2.25)
Ezagunak: ρ, Cp, V1, V2 , F, Q1, To.
Beraz, 2 ezezagun (T1 , T2) eta 2 ekuazio ditugunez, sistema osoa deskribatuta dago. Hau da,
irteera-aldagai guztien(*) erantzun dinamikoa azter genezake.
* Gogoratu irteera-aldagaiak T1 eta T2 direla, adibide honetan horrela aukeratu baita. Irteera-aldagai gehiago
kontrolatu nahi izanez gero, noski, bakoitzarentzat beste ekuazio/eredu bat eratorri beharko litzateke.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
22
2.6 CSTR ez-isotermoa (hozte-atorra)
Demagun hau dugula:
A → B n ordenakoa A-rekiko.
Erreakzio beroa: λ (exotermikoa)
Bero-galera baztergarriak
Pareten altzairu-masa baztergarria
FA1
CA1
FJ
TJo
FJ
TJ
FA2
CA2
V T CA
FA1
CA1
FJ
TJo
FJ
TJ
FA2
CA2
V T CA
2.5 irudia. CSTR ez-isotermoa. 2.6.1 Jarraitutasunaren legeak
ERREAKZIOETAN:
Materia-balantzea:
Materia-balantze orokorra:
dVdt = Fo – F (2.26)
A materia-balantzea:
d(VCA)
dt = Fo CAo - F CA - Vk(CA)n (2.27)
Energia-balantzea:
ρ Pd(VC T)dt
= ρ(Fo CpTo - F CpT) + λVk(CA)n - UAH(T - TJ) (2.28)
non k=α exp(-E/RT) egiaztatzen baita.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
23
ATORREAN:
a) Nahasketa perfektua izanik
(emaria oso handia bada, TJ kte → fluxu motak ez du eraginik)
ρJ VJ P Jd(C T )dt
= FJ ρJ(CpTJo - CpTJ) + UAH(T - TJ) (2.29)
Ezagunak: T0, TJ0, F0, CA0 eta FJ.
Ezezagunak: V, AH, F, CA, T eta TJ.
Beraz, 4 ekuazio (2.26-2.29) eta 6 ezezagun!!!
Beste bi ekuazio behar dira. Erreaktore-irteerako emaria honela adieraz daiteke:
F = KV·V (2.30)
Gainera, AH likido-mailaren (bolumenaren) menpe dago: AH = 4D V.
b) Atorrako pistoi-fluxua
TJA =
TJ0 + TJs2 (2.31)
Bero-balantzea:
ρJ VJ CJ dTJA
dt = FJ ρJ CJ(TJo - TJs) + UAH(T - TJA) (2.32)
Hau da,
bi aldagai berri ditugu: TJA, TJs;
eta beste bi ekuazio berri: (2.31) eta (2.32).
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
24
c) Atorran “eredu elkartua” erabilirik
Atorra banaturik V bereko nahasketa perfektuko 4 ontzitan:
FA1
CA1
FJ
TJo
FJ
TJ
FA2
CA2
V T CA
TJ4
TJ3
TJ2
TJ1
FA1
CA1
FJ
TJo
FJ
TJ
FA2
CA2
V T CA
TJ4
TJ3
TJ2
TJ1
14 ρJ VJ CJ
dTJ1dt = FJ ρJ CJ(TJo - TJ1) +
14 UAH(T - TJ1)
14 ρJ VJ CJ
dTJ2dt = FJρJ CJ(TJ1 - TJ2) +
14 UAH(T - TJ2)
14 ρJ VJ CJ
dTJ3dt = FJ ρJ CJ(TJ2 - TJ3) +
14 UAH(T - TJ3)
14 ρJ VJ CJ
dTJ4dt = FJ ρJ CJ(TJ3 - TJ4) +
14 UAH(T - TJ4)
2.6 irudia. CSTR ez-isotermoa. Atorrako jario-eredu elkartua.
Era berean,
4 ezezagun berri agertzen dira (atorraren tarte bakoitzean tenperatura aurrez esatea lor
genezake) eta 4 ekuazio berri ere planteatu dira.
Sistema ebatzi egin daiteke.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
25
d) Pareten masa kontuan harturik
Zehaztasun osoz deskribatu nahi izanez gero sistema, denbora eta posizioarekiko deribatu
partzialak ebatzi beharko lirateke:
Tm=f(t,z,r)
T hurbilketa ez da posizioarekin aldatzen, denborarekin bakarrik:
Tm=f(t)
Erreaktorean, ρ Cp d(VT)
dt = ρ Cp(Fo To - F T) + λ V(CA)n α e-E/RT - hi Ai(T - TM) (2.33)
Atorran, ρJ VJ CJ dTJdt = FJ ρJ CJ(TJo - TJ) + h0 A0(TM - TJ) (2.34)
Paretan , ρM VM CM dTM
dt = hi Ai(T - TM) - ho Ao(TM - TJ) (2.35)
Hor ezezagun hauek ditugu:
ho: beroaren transmisiorako koefizientea kanpo-geruzan
hi: beroaren transmisiorako koefizientea barne-geruzan
ρm: metalaren dentsitatea
CM: metalaren bero espezifikoa
VM: paretaren bolumena
Ai: beroaren transmisiorako paretaren barne-gainazala
Ao: beroaren transmisiorako paretaren kanpo-gainazala
INGENIARI KIMIKOAREN EGINBEHARRA
KONPROMISOA EDO OREKA BILATZEA BEHARREZKOA DA!!!
Eredu zehatzenek ebazpen konplexua dute.
Eredu sinpleenek ebazpen zehaztugabea emango dute.
Eta horretarako hainbat sinplifikazio edo suposizio onartu behar dira.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
26
3 GAIA: LAPLACE TRANSFORMATUA
Sistema linealen erantzun dinamikoa aztertzeko tresna.
Eredu matematikoko ekuazio diferentzialak → ekuazio aljebraikoak.
TRANSFERENTZIA-FUNTZIO kontzeptua
Egonkortasuna
Erantzun kualitatiboa
Bloke-diagramak (blokeen aljebra)
3.1 Ekuazio motak
3.1.1 Ekuazio diferentzial arruntak
Mendeko aldagai bat edo gehiago, eta
aske bakarra:
1
1 1 01
n n
n nn n
d y d y dya a ... a a y x(t)
dt dt dt
−
− −+ + + + = (3.1)
3.1.2 Ekuazio diferentzial partziala
Mendeko aldagai bat edo gehiago, eta
aldagai aske anitz:
T Tk
x t∂ ∂=∂ ∂
(3.2)
3.1.3 Ekuazio diferentzial lineala
Lehen mailako terminoen batuketa da.
T Tk
x t∂ ∂=∂ ∂
(3.3)
3.1.4 Ekuazio diferentzial ez-lineala
Lineala ez dena.
0ydt
dy2
=+
edo
2
20
d yCosy
dt+ = edo
2
2
d y dyx y 0
dt dt+ + =
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
27
Ekuazio hauek egoeren espazioan (espacio de estados) ebatz daitezke.
Kontrolean, hain zuzen, Laplace eremuan ebazten dira.
Laplace transformatuak erabiltzen dira ekuazio diferentzial arrunt linealak ebazteko.
Esan bezala:
ekuazio diferentzialak → ekuazio aljebraikoak
3.2 Definizioa
f(t) funtzio baten Laplace transformatua:
{ } st
0L u(t) e f(t)dt
∞ −= ∫ (3.4)
Laplace transformatuaren ezaugarriak:
- s aldagaia zenbaki konplexu bat da (alde erreala eta alde konplexua ditu). t (denbora)
eremutik s (Laplace) eremura pasatzen garela esaten dugu.
- Laplace transformatuak, f(s)-k, ez dauka f(t)-ri buruzko informaziorik t<0 denerako.
Kontrolean ez du garrantzirik. Izatez, f(t)=0, t<0 izanik, egiaztatzeko definitzen dira
aldagaiak.
- Laplace transformatua integral inpropio batek definitzen duenez, f(t) funtzio guztiek ez dute
Laplaceren transformaturik.
- Laplace transformatua lineala da. Matematikoki adierazita:
L{af1(t) + bf2(t)} = aL{f1(t)} + bL{f2(t)} (3.5)
- f(t) funtzioak eta haren f(s) Laplace transformatuak bikote bakana osatzen dute. Hau da, ez
dago Laplace transformatu bera duten bi f(t) eta g(t) funtzio.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
28
3.3 Oinarrizko funtzioen Laplace transformatua
3.3.1 Maila-aldaketa
0 t 0f(t)
1 t 0
<= ≥
(3.6)
Maila-aldaketa unitarioa denean [aurrerantzean, u(t)], anplitudeak 1 balio du, eta haren Laplace
transformatua hauxe da:
{ }st
st
00
e 1L u(t) 1 e dt
s s
∞−∞ −
= = − =
∫ (3.7)
Anplitudea A izanez gero: As
3.3.2 Funtzio esponentziala
atat
0 t 0f(t) u(t)e
e t 0−
−
< = = ≥
(3.8)
(s a)tat (s a)t
00
e 1L{u(t)e } = e dt
s a s a
∞− +∞− − +
= − = + + ∫ (3.9)
s+a > 0 bete behar da; hau da, s > -a.
3.3.3 Arrapala-funtzioa
0 t 0f(t) tu(t)
t t 0
< = = ≥
(3.10)
st
0L{t u(t)} = t e dt
∞ −⋅ ∫ (3.11)
Zatika integratuz: t = u ⇒ du = dt
e-stdt = dv ⇒ v = -e-st/s
st st st st2 20
0 0 0
t 1 t 1 1L{t u(t)} = e e dt e e 0
s s s s s
∞ ∞ ∞∞− − − − ⋅ − − − = − + − = + ∫ = (3.12)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
29
3.3.4 Sinu-funtzioa
0 t 0f(t) u(t)senkt
senkt t 0
< = = ≥
(3.13)
{ } st
0L u(t) sen kt = sen kt e dt
∞ −∫ (3.14)
Zatika integratuz: u = e-st ⇒ du = -se-stdt
dv =senkt dt ⇒ v = - 1
kcoskt
{ } st st
00
1 sL u(t) sen kt e coskt e cosktdt
k k
∞∞− − = − − = ∫
st st
00
1 s 1 se senkt e senktdt
k k k k
∞∞− −
− + = ∫
2 2st
2 20
1 s 1 se senktdt L{u(t)senkt}
k k k k∞ −− = −∫ (3.15)
Beraz:
2
2
11
sL{u(t)senkt}
k k
+ =
(3.16)
2 2 2 2
1
1
/ k kL{u(t)senkt}
s /k s k= =
+ + (3.17)
3.3.5 Kosinu-funtzioa
ktcos)t(u0t
0t
ktcos
0)t(f =
≥<
= (3.18)
Aurreko kasuan bezala:
2 2
sL{u(t)coskt}
s k=
+ (3.19)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
30
3.3.6 Deribatuen Laplace transformatua
Oso ezaugarri baliagarria da, deribazioa biderketa bihurtzen baitu.
df(t)L sf(s) f(0)
dt = −
(3.20)
non f(s) baita f(t)-ren Laplace transformatua (f(s) = L{f(t)}) eta f(0) aldiz f(t) funtzioaren balioa t =
0 betetzen denerako.
st
0
df(t) dfL e dt
dt dt∞ − =
∫ (3.21)
Zatika integratuz: u = e-st ⇒ du = -se-stdt
dv= df
dtdt ⇒ v =f
Beraz: st st
00
df(t)L fe s fe dt = -f(0)+sf(s)
dt
∞ ∞− − = + = ∫ (3.22)
Kontrolean, normalean, f(0) = 0 betetzen denez,
lehen deribatuaren Laplace transformatua sf(s) izaten da.
Bigarren deribatuaren Laplace transformatua kalkulatzeko:
[ ]2
2t 0
d f(t) d df df df(t)L L sL s sf(s) - f(0) - f'(0) =
dt dt dt dt dt =
= = − =
2 =s f(s) - sf(0) - f'(0) (3.23)
eta t = 0 denean, f = 0 eta df/dt = 0 betetzen bada, orduan:
2
2
2d f(t)L = s f(s)
dt
=
(3.24)
Ekuazio orokorra honela idatz daiteke, n-garren (n>3) deribatuaren Laplace transformatua kalkulatzeko:
nn n-1 n-2 (1) (n-2) (n-1)
n
d f(t)L s f(s)-s f(0)-s f (0)-...-sf (0)-f (0)
dt
=
(n>3 izanik) (3.25)
non f(i)(0) baita f(t)-ren i-garren deribatua t-rekiko, t=0 baliorako.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
31
3.4 Ekuazio diferentzialen ebazpena Laplace transfo rmatua erabiliz
1. Laplace transformatua kalkulatu ekuazioaren bi aldeetarako. Hasierako balioak (t=0)
kontuan hartu.
2. Lortutako berdinketa ebatzi, funtzio ezezaguna, f(s), askatuz.
3. Lortutako Laplace transformatuari dagokion f(t) funtzioa kalkulatu. Azken hori da alderik
konplexuena, Laplace transformatuaren alderantzizkoa kalkulatzea. Teknika ugari erabil
daitezke. Ikasgai honetan frakzio partzialetan hedaturik egingo dugu.
3.4.1 3.1 adibidea:
funtzioa:
dyy 1
dt
y(0) 0; y´(0) 0
+ =
= = (3.26)
1. Laplace transformatua bi aldeetan:
1sy(s) +y(s) =
s (3.27)
2. Ekuazioa ebatzi, funtzio ezezaguna, f(s), askatuz:
1y(s)
s(s 1)=
+ (3.28)
3. Frakzio partzialetan hedatu:
1 A By(s)
s(s 1) s s 1= = +
+ + (3.29)
non A eta B konstante baitira. Taulaturiko Laplace transformatu zuzenei erreparaturik:
ty(t) A Be−= + (3.30)
A eta B kalkulatuz sistema ebatzita legoke.
A eta B kalkulatzeko, (3.29) berdinketa erabiliko da.
1s
B
s
A
)1s(s
1
++=
+ (3.29)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
32
3.29 ekuazioaren bi aldeetan “s” biderkatuz:
1s
BsA
)1s(
1
++=
+
(3.31)
Eta s-ren balio guztietarako betetzen denez, s=0 denean ere betetzen da.
s=0 ordeztuz: A=1.
B kalkulatzeko, (s+1)-z biderkatu:
B)1s(s
A
s
1 ++= (3.32)
eta s=-1 eginez: B =-1.
Beraz, 1s
1
s
1
)1s(s
1
+−=
+
(3.33)
1ty(t) - e−= (3.34)
3.4.2 3.2 adibidea:
funtzioa:
1dt
yd;0
dt
dy;1)0(y 0t
e4y2dt
dy
dt
yd2
dt
yd
2
2
t2
2
2
3
3
−===⇒=
+=−−+
(3.35)
Laplace transformatua kalkulatuz eta y(s) askatuz:
4 26 9 8
2 1 2 1
s s sy(s)s(s )(s )(s )(s )
− + −= =− + + − 1s
E
2s
D
1s
C
2s
B
s
A
−+
++
++
−+
(3.36)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
33
A kalkulatzeko, s biderkatuz eta s=0 eginez: A =-2.
Gainerakoak era berean.
biderkatu s berdindu emaitza
B s-2 2 B = 1/12
C s+1 -1 C = 11/3
D s+2 -2 D = -17/12
E s-1 1 E = 2/3
Emaitza:
4 26 9 8
2 1 2 1
s s sy(s)s(s )(s )(s )(s )
− + −= =− + + −
11 17 212 3 312 12
2 1 2 1s s s s s
−− + + + +− + + −
2 21 11 17 22
12 3 12 3
t t t ty(t) e e e e− −= − + + − +
(3.37)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
34
3.4.3 Erro konplexuak
funtzioa:
0dt
dy;0)0(y 0t
2y2dt
dy2
dt
yd
2
2
==⇒=
=++
(3.38)
Laplace transformatua:
2
2 2
2 2 1 1 1 1
A B Cy(s)
s(s s ) s(s j)(s j) s (s j) (s j)= = = + +
+ + + + + − + + + − (3.39)
Erro konplexuek ez dute prozedura aldatzen.
A kalkulatzeko, s biderkatuz 3.39 ekuazioaren alde bietan eta s = 0 eginez:
21
1 1A
( j)( j)= =
+ −
B kalkulatzeko, (s+1+j) biderkatuz eta s = (-1-j) eginez:
2 1
1 2 2
jB
( j)( j)− −= =
− − −
C lortzeko, (s+1-j) biderkatuz eta s = (-1+j) eginez:
2 1
1 2 2
jC
( j)( j)− += =
− +
Beraz, 3.39 ekuazioan A, B eta C ordeztuz:
1 1 1 1 1
2 1 2 1
j jy(t) =
s (s j) (s j)− − − + + + + + + −
(3.40)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
35
1 1 1 1 1
2 1 2 1
j jy(s) =
s (s j) (s j)− − − + + + + + + −
Alderantzizkoa kalkulatuz, 1/(s+a) → e-at jakinik:
1 11 11
2 2
( j)t ( j)tj jy(t) = e e− + − −− − − + + +
(3.41)
)btsenjbt(cosee att)bja( +=+ berdinketa erabiliz, denboraren eremuko erantzuna kalkula daiteke:
1 ty(t) = e (cos t sen t)−− + (3.42)
Oro har, erro konplexuak konjugatuak badira, y(t) erreala da, jakina, eta oszilakorra.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
36
3.4.4 Erro errepikatuak
3.3 adibidea:
0dt
yd;0
dt
dy;0)0(y 0t
1ydt
dy3
dt
yd3
dt
yd
2
2
2
2
3
3
===⇒=
=+++
(3.43)
Laplace transformatua aplikatuz:
3 2 3
1 1
3 3 1 1y(s) =
s(s s s ) s(s )=
+ + + + (3.44)
Frakzioetan hedaturik:
3 3 2
1
1 1 1 1
A B C Dy(s)
s(s ) s (s ) (s ) (s )= = + + +
+ + + + (3.45)
A kalkulatzeko, s biderkatuz eta s=0 eginez.
3 3 2
1
1 1 1 1
Bs Cs Dsy(s) A
(s ) (s ) (s ) (s )= = + + +
+ + + + (3.46)
3.46 ekuaziotik, A = 1.
B kalkulatzeko, (s+1)3 biderkatuz:
321 1
1 1A(s )
B C(s ) D(s )s s
+= + + + + + (3.47)
eta s=-1. 3.47 ekuaziotik, B = -1.
C kalkulatzeko, 3.45 ekuazioan, (s+1)2 biderkatuz eta s=-1 eginez,
21 11
1 1
A(s ) By(s) C D(s )
s(s ) s (s )+= = + + + +
+ + (3.48)
Baina batugaietariko bat infinitu bihurtzen da.
Ezin daiteke ebatz prozedura honen bidez.
Berdin D kalkulatzeko.
Indeterminazio hori saihesteko, 3.46 ekuazioa deribatu behar da:
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
37
)1s(D2Cs
)1s2()1s(A
s
1
2
2
2+++−+=− (3.49)
B desagertzea eta C askatzea lortu da.
s=-1 eginez, C = -1 kalkulatzen da.
D kalkulatzeko, 3.49 ekuazioa berriz deribatuko da:
D2s
)1ss)(1s(A2
s
2
3
2
3++−+= (3.50)
s=-1, D = -1.
Eta azken emaitza:
3 2
1 1 1 1
1 1 1y(s)
s (s ) (s ) (s )= − − −
+ + + (3.51)
Eta denboraren eremuan:
2
1 12
-t ty(t) - e t
= + +
(3.52)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
38
3.5 Erroen esanahi fisikoa
Y(t)-ren itxura y(s)-ren izendatzailearen erroen araberakoa izango da.
3.1 irudia. Laplace transformatuaren izendatzailearen erroen esanahi fisikoa.
3.1 taula. Erroen balioaren eta denboraren eremuko erantzunaren arteko erlazioa.
Erroak y(t), t > 0 izanik
s1 C1e-a1t
s2,s2* e-a2t
(C1 cosb2t + C2 senb2t)
s3,s3* C1 cosb3t + C2 senb3t
s4,s4* ea4t(C1 cosb4t + C2 senb4t)
s5 C1ea5t
s6 C1
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
39
3.6 Laplace transformatuaren beste propietate batzu k
3.6.1 Azken balioaren teorema
f(s) bada f(t)-ren Laplace transformatua:
[ ] [ ])s(sflim)t(flim0st →∞→
= (3.53)
Teoremaren baliagarritasun-eremua:
sf(s) ez denean infinitu bihurtzen s-ren edozein balio erreal positibotarako, Re(s)≥0.
Baldintza hori betetzen ez bada, f(t)-k ez dauka limiterik t→∞ doanean.
3.4 adibidea:
3 2
1
3 3 1sy( )
s(s s s )=
+ + +. (3.54)
Azken balioaren teorema aplikatuz y(s) funtzioari:
[ ]( )33 20
1 11
3 3 1 1t slim y(t) lim
s s s s→∞ →= = =
+ + + +
sy(s), s =-1 egiaztatzen denean, infinitua denez, BETE egiten da teorema hau.
3.5 adibidea:
4 2
3 2
6 9 8
2 2 2
s s sy(s) =
s(s )(s s s )− + −
− + − −
(3.55)
sy(s) eralda daiteke: 4 2
6 9 8
2 1 2 1(s)
s s ssy
(s )(s )(s )(s )− + −=
− + + −
(3.56)
s=1 eta s=2 betetzen denean, sy(s) infinitu denez, ez da teoremaren baliagarritasunerako
baldintza betetzen, eta, beraz, y(s) funtzioak ez dauka limiterik.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
40
3.6.2 Hasierako balioaren teorema
f(s) bada f(t)-ren Laplace transformatua:
[ ] [ ])s(sflim)t(flims0t ∞→→
= (3.57)
Teorema hau edozein f(t)-rentzat betetzen da.
3.6.3 Transformatuaren translazioa
f(s) bada f(t)-ren Laplace transformatua:
{ } )as(f)t(feL at +=− (3.58)
Laplace transformatuaren aldagaia a unitate transladatu da.
3.6.4 Funtzioaren translazioa
f(s) bada f(t)-ren Laplace transformatua:
{ } )s(fe)tt(fL 0st0
−=− (3.59)
t<0 izanik, f(t)=0 bada.
f(t-t0)-ren eta f(t)-ren arteko erlazioa irudian adierazitakoa da. f(t)-ren translazio horizontala
baino ez da f(t-t0), t0 distantzia batera dagoena.
3.2 irudia. f(t-to)-ren eta f(t)-ren arteko erlazioa.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
41
3.6 adibidea. Kalkulatu Laplace transformatua
=
h> t0
h<t<0 h
10< t 0
)t(f
f(t) bi funtzioren arteko kenketa gisa adieraz daiteke:
[ ]1f(t) u(t) - u(t - h)
h=
(3.60)
non u(t-h) baita maila-aldaketa unitarioko funtzioa h unitate transladatua (atzeratua).
Beraz:
1 1 1 1-hs -hse - ef(s) -
h s s h s
= =
(3.61)
Bulkada unitarioari dagokion Laplace transformatua kalkulatzeko baliagarria.
3.6.5 Bulkada unitarioa
h → 0 denean, puntu guztietan zero balio duen funtzioa lortzen da, jatorrian izan ezik, han
infinitu balioa baitu. Funtzio horri δ(t) deritzo, Dirac-en delta. Haren azpiko azalera unitatea da.
∫∞+∞− =δ 1dt)t(
(3.62)
δ(t)-ren Laplace transformatua kalkula daiteke, h → 0 denean (L’Hopital aplikatuz):
0 0
11
hs hs
h h
e seL{ (t)}= lim lim
hs s
− −
→ →
− = = (3.63)
Bulkada-funtzioa oso baliagarria da kontrol-sistemen diseinurako.
f(t)
0 h t
1/h
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
42
3.6.6 Integral baten transformatua
f(s) bada f(t)-ren Laplace transformatua:
{ }0
( )( )
t f sL f t dt
s=∫
(3.64)
Integrazioa deribazioaren alderantzizkoa da!!!
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
43
4 GAIA: LEHEN MAILAKO SISTEMEN ERANTZUN DINAMIKOA
Oinarrizko sistemen dinamika aztertuz gero, sistema konplexuagoen azterketa erraztu daiteke.
Horretarako, sistema konplexuak oinarrizkoen konbinazioa direla joko da. Maila honetan ikasiko
diren oinarrizko dinamikak lehen eta bigarren ordenakoak dira.
Sistema bat lehen ordenakoa da (bere dinamika lehen ordenakoa da), hura deskribatzen duten
ekuazio diferentzialak lehen mailako deribatuak direnean.
4.1 Transferentzia-funtzioa
Demagun merkuriozko termometro bat dugula egoera ezegonkorrean.
4.1 irudia. Merkuriozko termometro baten ebakidura-gainazala.
Demagun giro-tenperatura (x) denboran zehar aldatzen ari dela.
Kalkulatu beharrekoa hau da:
Tenperatura-aldaketa denborarekiko, y(t), x(t)-ren aldaketa mota (maila-aldaketa, bulkada,
sinusoidala) kontuan izanda.
Hurbilketak:
1. Bero-transmisiorako erresistentzia konbekzio-geruzan gertatzen da. Hau da, merkurio- eta
beira-masa osoan zehar tenperatura uniformea da.
2. Merkurioak dauka bero-ahalmen osoa.
3. Pareta ez da uzkurtzen, ezta dilatatzen
beirazko pareta
merkurioa
konbekzio-geruza
x = giro-tenperatura
y= neurtutako tenperatura
y
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
44
Energia-balantzea egoera ezegonkorrean:
dyhA(x - y) mCp
dt= (4.1)
A: termometroaren azalera (m2) Cp: merkurioaren bero espezifikoa (kcal/kgºC) m: merkurioaren masa (kg) t: denbora (h) h: beroaren transmisiorako koefiziente indibiduala (kcal/hm2ºC).
Orekan:
0 0s shA(x - y ) t= < (4.2)
4.1 eta 4.2 ekuazioen arteko kenketa eginez:
[ ] ss s
d(y - y )hA (x - x ) - (y - y ) mCp
dt= (4.3)
Laburtzeko:
X = x-xs eta Y = y-ys
Beraz:
[ ] dYhA X - Y mCp
dt= (4.4)
mCphA
= τ , definituz:
dYX - Y
dt= τ (4.5)
Laplace transformatua:
X(s) Y(s) sY(s)− = τ
(4.6)
Berrantolaturik:
1
1
Y(s)X(s) s
=τ +
(4.7)
Eskuineko funtzioari transferentzia-funtzio deritzo. Laplace eremuan, termometroaren neurketa
/ irteera-aldagaia eta giro-tenperatura / sarrera (maila-aldaketa, arrapala, eta abar) erlazioak
adierazten ditu.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
45
Haren alderantzizkoa kalkulatuz gero, denboraren eremuan erlazio bera lor daiteke, erantzun
dinamikoa alegia.
Edozein sistema aztertzean helburua izango da haren transferentzia-funtzioa lortzea.
Oro har, lehen mailako sistema batentzat:
1
Y(s) KG(s)
X(s) s= =
τ + (4.8)
G(s): transferentzia-funtzioa adierazteko sinboloa
K: sistemaren irabazkina, (dimentsioa du). Sarrera-aldagaian maila-aldaketa unitario bat
gertatzean, egoera egonkor berrian irteera-aldagaiak jasandako aldaketa da
τ: denbora konstantea (denbora-unitateak)
Transferentzia-funtzioak sistemaren portaera dinamikoa OSOKI deskribatzen du.
X(t) sarrera batentzat X(s) kalkula daiteke, eta, ondoren, sistemaren erantzuna, Y(s). Azken hori
honela kalkulatzen da:
Y(s) G(s)X(s)=
(4.9)
Y(s)-ren alderantzizkoa den Y(t) kalkulatuz.
Grafikoki adierazita, bloke-diagrama baten bitartez:
G(s) X(s) Y(s)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
46
4.2 Maila-aldaketako perturbazio baten aurreko eran tzuna
Demagun sarrera maila-aldaketa gisa gertatu dela.
AX(s)
s=
Lehen mailako sistema baten transferentzia-funtzioa:
1
Y(s) KX(s) s
=τ +
(4.10)
X(s) = A/s moduan adieraz daitekeen sarrera bat (A anplitudeko maila-aldaketa), lehen mailako
dinamika duen sistema bati (lehen mailako transferentzia-funtzioa bati) eraginez, sistemaren
erantzuna, Y(s), honela adieraz daiteke,
1Y(s)
K As s
=τ + (4.11)
Laplace eremuan ebatziz gero, frakzioetan hedaturik:
1 2
1 1
AK / C CY(s)
s(s / ) s s /τ= = +
+ τ + τ (4.12)
C1=AK eta C2 =-AK kalkula daitezke.
Ordeztuz eta alderantzizkoa kalkulatuz:
Y(t) = 0 t<0
Y(t) = AK(1-e-t/τ) t≥0
1. ordenako sistemen ezaugarri batzuk:
� t=τ denean, erantzuna azken balioaren %
63,2 da.
� t=2τ,3τ, 4τ denean, erantzunak, hurrenez
hurren, hauek izango dira % 86,5, % 95 eta
% 98.
� Erantzunaren malda jatorrian: AK/τ.
4.2 irudia. Lehen ordenako sistema baten erantzuna maila-aldaketa baten aurrean.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
47
4.3 Bulkada baten aurreko erantzuna
Demagun A magnitudeko bulkada bat dugula:
X(t) = Aδ(t)
Errealitatean, bulkada perfektua ezinezkoa da. Ahalik eta iraupen laburreneko maila-aldaketa
bat gertatu ohi da.
Maila-aldaketaren kasuan bezala ebatziz, X(s) = 1 sarrera lehen mailako transferentzia-funtzio
bati eraginez, sistemaren erantzun hau lortzen da:
1
KY(s)
s=
τ + (4.13)
Berrantolaturik: 1
K /Y(s)
s /τ=
+ τ
Eta alderantzizkoa kalkulatuz:
-t /KY(t) e τ=
τ (4.14)
4.3 irudia. Lehen ordenako sistema baten erantzuna bulkada baten aurrean.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
48
4.4 Perturbazio sinusoidala
Sarrera sinusoidal bat matematikoki honela adieraz daiteke:
X(t) = 0 t<0
X(t) = A senωt t≥0 (4.15)
Laplace eremuan:
2 2
AX(s)
sω=
+ ω (4.16)
Sarrera mota horren aurrean sistemak duen erantzuna aztertzea oso baliagarria da kontrol-
teorian. Erantzun frekuentzialean oinarritutako hainbat diseinu-teoria daude.
X(s) ordeztuz transferentzia-funtzioan:
2 21
K/ AY(s) G(s)X(s)
s / sτ ω= =
+ τ + ω (4.17)
2 2 2 2 2 21 1 1
-t /A K e A K AKY(t) - cos t sen t
τω τ ω τ= ω + ωτ ω + τ ω + τ ω +
(4.18)
Honako baliokidetasun trigonometriko hauek erabiliz:
p cosA + q senA = r sen(A+ )θ
(4.19)
non 2 2 p
r p q tanq
= + θ =
4.17 ekuazioa garatuz, adierazpen hau lortzen da:
2 2 2 21 1
-t /A K AKY(t) e sen( t )τω τ= + ω + φ
τ ω + τ ω + (4.20)
non φ = tan-1(-ωτ)=- tan-1(ωτ) betetzen baita.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
49
Sistemaren erantzun dinamikoa aurrera doan heinean (t→∞), lehen batugaia zerorantz doa.
Horregatik, egoera egonkorrean bigarren batugaia da erantzuna.
2 2 1s
AKY(t) sen( t )= ω + φ
τ ω + (4.21)
Sarrera eta irteera konparatuz:
X(t) = 0 t< 0
X(t) = A senωt t ≥ 0
2 2 1s
AKY(t) sen( t )= ω + φ
τ ω + (4.21)
Lehen ordenako sistema baten erantzun frekuentziala azterturik, ondorio nagusi hauek atera
daitezke:
1. Erantzuna/irteera ere funtzio sinusoidala da, eta sarreraren frekuentzia (ω) berdina du.
2. Anplitude-erlazioa K/ 122 +ωτ da, beti prozesuaren irabazkina (K) baino txikiagoa.
3. Erantzuna atzeratua izango da, angelu-fasea (φ) negatiboa delako, φ = -tan 1(ωτ).
K eta τ ezagunak dituen lehen mailako sistema batean,
anplitude-erlazioa eta erantzunaren fase-atzerapena
w frekuentziaren menpekoak dira bakarrik.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
50
4.5 Bode-ren diagrama
Grafikoki sistema baten erantzun frekuentziala laburtzeko metodoa da.
- log(anplitude-erlazioa) vs log(τω)
- φ (fase-atzerapena) vs log(τω)
Bode-ren diagrama, K-ren eta τ-ren hainbat baliotarako marraztu ohi da.
( ) ( )arctan arctanφ = −τ ⋅ ω = − τ ⋅ ω (4.22)
Anplitude-erlazioa:
2 2 1
B KA
=τ ω +
(4.23)
Fas
e-an
gelu
a, ϕϕ ϕϕ
Anp
litud
e-er
lazi
oa, B
/A/K
τ1
Fas
e-an
gelu
a, ϕϕ ϕϕ
Anp
litud
e-er
lazi
oa, B
/A/K
Fas
e-an
gelu
a, ϕϕ ϕϕ
Anp
litud
e-er
lazi
oa, B
/A/K
τ1
4.4 irudia. Lehen mailako sistema bateko Bode-ren diagrama.
Ohartu: w→0 B/A=K w→∞ B/A=0
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
51
4.6 NYQUIST-en diagrama
G(iw)-ren alde erreal eta konplexuaren adierazpen grafikoa.
Bode-ren informazio bera (anplitude-erlazioa hainbat frekuentziatarako) jasotzen da, baina
irudian ez da adierazten B/A bakoitzari dagokion w-ren balioa.
Angelu-fasea (φ) eta anplitude-erlazioa (B/KA) koordenatu polarretan adierazita daude.
B/A/K
Alde erreala
Ald
e im
agin
ario
a
B/A/K
Alde erreala
Ald
e im
agin
ario
a
4.5 irudia. Lehen mailako sistema baten Nyquist-en diagrama.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
52
4.7 Lehen mailako sistemen adibideak
4.7.1 Gordailu bateko likido-mailaren aldaketa
4.6 irudia. Gordailu bateko likido-mailaren aldaketa. Balbulako emaria (q0) altuerarekiko linealki proportzionala dela jota:
o
hq
R= , 3 1
2
mm s
s m
−−
⋅ = ⋅ (4.24)
Sistema honentzat kalkula dezagun transferentzia-funtzioa:
Materia-balantzea:
0
dhq(t) - q (t) A
dt= (4.25)
Aurreko bi ekuazioak konbinatuz:
h dhq(t) - A
R dt= (4.26)
Egoera egonkorrean, dh/dt = 0 betetzen bada:
0ss
hq -
R= (4.27)
Azken bi ekuazioen kenketa eginez:
1 ss s
d(h - h )(q - q ) (h - h ) A
R dt= + (4.28)
Desbideratze-aldagaiak definituz: Q = q – qs H = h – hs
Azkenean:
1 dHQ H A
R dt= + (4.29)
q(t)
h(t)
q0(t) R
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
53
Laplace transformatua kalkulatuz:
1Q(s) H(s) AsH(s)
R= + (4.30)
Berrantolaturik:
1
H(s) RQ(s) s
=τ +
(4.31)
non τ = AR. ( )2 2m s m s− ⋅ = egiaztatzen baita (gogoratu τ-ren dimentsioa beti denbora
dela).
R = prozesuaren irabazkina. Azken balioa da egoera egonkor berrirako, sarreran maila-
aldaketa unitario bat eginez gero. Unitateak: 3
m
ms
.
- Q(t) maila-aldaketa unitario bat eginez gero, zenbat aldatuko litzateke H(t)?
Q(t) → Q(s) = 1/s
Beraz:
1
1
RH(s)
s s=
τ + (4.32)
Azken balioaren teorematik:
[ ]( ) lim ( ) lim0 0 1t
RH t sH s R
s s sτ→∞ = = =→ → +
Kontuan izan:
Gordailuaren azalera (A, m2) handituz, τ altuagoa izango da; hau da, erantzuna geldoagoa
izango da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
54
4.7.2 Nahasketa-prozesua
Demagun nahasketa-gordailu bat dugula.
4.7 irudia. Nahasketa- edo homogeneizazio-sistema bat.
Hurbilketak:
Nahasketaren dentsitatea konstantea da.
Bolumena ez da aldatzen. Hau da, sarrerako eta irteerako emari bolumetrikoak konstante eta
berdinak dira.
Kalkula dezagun sarrerako eta irteerako kontzentrazioen arteko erlazioa. Materia-balantzea hau
izango da:
d(Vy)qx - qy
dt= (4.33)
Egoera egonkorrean:
0s sqx - qy = (4.34)
Berrantolaturik eta desbideratze-aldagaiak harturik:
X = x - xs
Y = y – ys
Beraz:
dYqX - qY V
dt= (4.35)
Laplace transformatua:
1
1
Y(s)X(s) s
=τ +
(4.36)
non τ = V/q egiaztatzen baita.
x(t)
q
V
y(t)
y(t)
q
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
55
4.7.3 Beroturiko gordailua
Demagun irudiko nahasketa perfektuzko erreaktore jarraitua dugula. Sarrera- eta irteera-
tenperaturak t1 eta t2 dira, hurrenez hurren. Kalkula dezagun nolako eragina duen t1-eko eta to-
ko aldaketa batek erreaktoreko tenperaturan (t2).
(ur-lurruna, tenp. kte.)
4.8 irudia. Beroturiko CSTR bat.
Energia-balantzea hau izango litzateke:
21 2 0 2
dtq Cpt - q Cpt UA(t - t ) V Cp
dtρ ρ + = ρ (4.37)
U: bero-transmisiorako koefiziente globala
A: bero-transmisiorako azalera
Egoera egonkorreko energia-balantzea:
1 2 0 2 0s s s sq Cpt - q Cpt UA(t - t )ρ ρ + = (4.38)
Desbideratze-aldagaiak definituz:
T1 = s11 tt − T2 = s22 tt −
T0 = s00 tt −
4.37 eta 4.38 ekuazioen kenketa eginez hau lortzen da:
[ ] 21 2 0 2
dTq CpT - q CpT UA T - T V Cp
dtρ ρ + = ρ (4.39)
q,t1
V
q,t2
t0
t0
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
56
Laplace transformatua:
[ ]1 2 0 2 2q CpT (s) - q CpT (s) UA T (s) - T (s) V CpsT (s)ρ ρ + = ρ (4.40)
Berrantolaturik:
1 2 0 2
q Cp UAT (s) - T (s) T (s) sT (s)
UA q Cp UA q Cpρ + = τ+ ρ + ρ
(4.41)
V CpUA q Cp
ρτ =+ ρ
(4.42)
Eta hauek definituz:
1
q CpK
UA q Cpρ=+ ρ
(4.43)
2
UAK
UA q Cp=
+ ρ (4.44)
1 1 2 2 0 2K T (s) - T (s) K T (s) sT (s)+ = τ (4.45)
Eta T2(s) askatuz:
1 22 1 0
1 1
K KT (s) T (s) T (s)
s s= +
+ τ + τ (4.46)
T2(s) eta T1(s) erlazionatzen dituen transferentzia-funtzioa hau izango da:
2 11
11
T (s) KG (s)
T (s) s= =
+ τ (4.47)
Era berean, T2(s) eta T0(s) erlazionatzen dituen transferentzia-funtzioa hau da:
2 22
01
T (s) KG (s)
T (s) s= =
+ τ (4.48)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
57
Kontuan izan:
Erantzunaren azkartasunari dagokionez (4.42 ekuazioa):
a) V handituz, τ handitu egiten da. Horrela, 4.47 eta 4.48 ekuazioen arabera, T2-ren aldaketa motelagoa da T1-en edo T0-ren aldaketa baten aurrean.
b) q>> bada, Vq
=τ izango da orain. T2-ren erantzuna azkarrago gertatuko da.
c) q<< bada, V CpUAρ=τ da.
Operazio-baldintzek eragina dute prozesuaren dinamikan!
Irabazkinari dagokionez (4.43 eta 4.44 ekuazioak),
a) q>> bada, K1=1 eta K2=0 egiaztatzen da. T2-ren azken balioa ez da berotze-atorraren
menpekoa, bakarrik T1-en aldaketaren araberakoa.
b) q<< bada, K1=0 eta K2=1 egiaztatzen da. Aldiz, T2-ren azken balioa ez da sarrerako
emariaren tenperaturaren (T0-ren) aldaketaren menpekoa.
Bloke-diagrama baten bitartez:
+
+
T1(s)
T0(s)G2(s)
G1(s)
T2(s)
4.9 irudia. Gordailu baten tenperaturaren bloke-diagrama.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
58
5 GAIA: LINEALIZAZIOA ETA SISTEMEN ARTEKO INTERAKZI OA
Orain arte sistema linealak ikusi dira, baina errealitatean ez-linealak ugariago dira.
Hurbilketa onargarriak lor daitezke linealizatuz eta Laplace transformatua erabiliz.
Mugak: egoera nominalaren inguruan eta ez-linealtasuna oso nabaria ez denean bakarrik dira
erabilgarriak linealizazio-teknikak. Adibidez, NaOH gehituz (sarrera-aldagaia) egiten den
neutralizazio-prozesu bat (pH-aldaketa da irteera-aldagaia) oso ez-lineala da; beraz,
ezinezkoa litzateke honelako teknikak erabiltzea.
5.1 Linealizazio-teknikak
Aurreko adibidera itzulita:
Erresistentzia ez-lineala
5.1 irudia. Nahasketa-sistema baten likido-maila.
Irteerako emariaren eta likido-altueraren arteko erlazioa koadratikoa da:
1 2
0
/q Ch= (5.1)
non C konstante bat baita.
Materia-balantzea:
0
dhq(t) - q (t) A
dt= (5.2)
Ordenagailuak ekuazio diferentzial
korapilatsuen emaitza aljebraikoki ebatz
dezake.
Baina dinamika ez,
emaitza partikularra. da.
q(t)
h(t) q0(t)
Aldiz, gogoratu Laplace transformatua erabili ahal izateko
prozesuak lineala izan behar duela.
Ez da oso baliagarria
KSren diseinurako.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
59
Berrantolaturik:
1 2/ dhq - Ch A
dt= (5.3)
Ondorioz, sistema deskribatzen duen 5.3 ekuazio diferentziala ez-lineala denez, ezin daiteke ohiko
prozedurarik erabili.
Aldiz, q0(h) funtzioa Taylor serie gisa heda daiteke polinomio batera, hs-ren inguruan:
2
00 0 0
2
n ns s s s
s s s
q (h )(h - h ) q (h )(h - h )q q q (h )(h - h ) ...
! n!
′′′ 0= + + + + (5.4)
q’0(hs): q0-ren lehen deribatua hs puntuan
q0’’(hs): q0-ren bigarren deribatua hs puntuan
5.4 ekuazioan termino lineala bakarrik kontuan hartuz:
0 0 s s sq q (h ) q (h )(h - h )′0= + (5.5)
5.1 ekuazioaren bidez 0
1 21
2
- /s sq (h ) Ch′ = kalkulatuz eta 5.5 ekuazioan ordeztuz:
0 0 0
1 2 11
2s s s s
- /sq q (h ) (h - h ) q (h ) (h - h )
RCh= + = + (5.6)
Eta han:
1 21 1
2
- /sCh
R= (5.7)
5.6 ekuazioa 5.2 ekuazioan ordeztuz, materia-balantzea honela gelditzen da:
0s
s
h - h dhq - q - A
R dt= (5.8)
Egoera egonkorrean:
qs = q0s (5.9)
Aldiz, 5.8 eta 5.9 ekuazioen kenketa eginez:
ss
h - hdhA q - q
dt R+ = (5.10)
Desbideratze-aldagaiak erabiliz: Q = q - qs eta H = h – hs
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
60
Laplace transformatua kalkulatuz:
1
H(s) RQ(s) s
=τ +
(5.11)
ARτ =
1
2
Cnon
R h
=
(5.12)
Sistema linealarentzat lortu zen transferentzia-funtzio berbera lortu da.
Erresistentzia (R) egoera egonkorrean ezarritako baldintzen menpekoa da.
- Grafikoki, 1/R-ren balioa (q0s, hs) puntutik pasatzen den lerro tangentearen malda da. Ohartu
5.6 ekuazioa 0 0
1( ) ( - )
= + s sq q h h h
Rtangentearen ekuazioa dela.
- Hurbilketa lineala desegokia izango da, likido-maila egoera egonkorretik asko urruntzean.
- Sistemaren oszilazioa nabaria bada, linealizazioak eredu desegokia emango luke.
5.2 irudia. Irteera-emariaren eta altueraren arteko erlazioa.
0 0 h hs
q
q0s
Tangentearen malda= 1/R
q0=Ch1/2
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
61
5.1.1 Sistema ez-lineal baten adibidea
Demagun irudiko erreakzio-sistema dugula. Erreakzio exotermikoa lehen ordenakoa da, eta
erreaktore eta atorra nahasketa perfektuan daude. Helburua izango da behean adierazitako
sarrera- eta irteera-aldagaien arteko erlazioa.
5.3 irudia. Nahasketa perfektuzko erreaktorea hozte-atorrarekin.
Erreaktorean:
A osagaiarekiko materia balantzea:
0
-E /RT AAi A A
d(VC )FC - FC - k e VC
dt= (5.13)
Energia-balantzea:
0
p-E/RTp i p R A C
d(V C T)F C T - F C T (- H )k e VC - UA(T - T )
dt
ρρ ρ + ∆ = (5.14)
ART/E Ce− terminoa ez-lineala da; Ts eta CAs inguruan termino hori linealizatu behar da.
Erreaktorean
Sarrera: CAi,Ti
Irteera: T, CA
Atorrean
Sarrera: Tci
Irteera: Tc
F, CAi,Ti
V
F, T, CA
Fc, Tci
Fc, Tc
A→B
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
62
s
s As s As
E /RT E /RTE /RTE /RT A A
A As s A AsA(T ,C ) (T ,C )
(e C ) (e C )e C e C (T T ) (C C )
T C
− −−− ∂ ∂≅ + − + − = ∂ ∂
2s s s-E /RT -E /RT -E /RT
As As s A Ass
Ee C e C (T - T ) e (C - C )
RT
+ +
(5.15)
Orain, ART/E Ce− terminoa T-rekiko eta CA-rekiko lineala den 5.15 ekuazioaren bidez ordeztu
daiteke.
Bestalde, egoera egonkorrean materia eta energia-balantzeak:
MB
00s-E /RT
Ais As AsFC - FC - k e VC = (5.16)
EB:
00s-E / RT
p is p s R As s csF C T - F C T (- H )k e VC - UA(T - T )ρ ρ + ∆ = (5.17)
Eta egoera ezegonkorrekoaren eta egoera egonkorrekoaren arteko kenketa eginez:
( )002
s s-E /RT -E /RTAAi A As A
s
k EdC F(C - C ) - e C T - k e C
dt V RT
′ ′ ′ ′ ′=
(5.18)
0 2s s-E /RT -E /RTR
i As A Cp s p
dT F (- H ) E UA(T - T ) k e C T e C - (T - T )
dt V C RT C V
′ ∆′ ′ ′ ′ ′ ′= + + ρ ρ (5.19)
Han, desbideratze-aldagaiak defini daitezke (t=0 izanik, 0 balio dute):
A A As
Ai Ai Ais
s
i i is
C C Cs
C C - C
C C - C
T T - T
T T - T
T T - T
′ =′ =′ =′ =′ =
( )002
s s-E /RT -E /RTAAi A As A
s
k EdC F(C - C ) - e C T - k e C
dt V RT
′ ′ ′ ′ ′=
(5.20)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
63
0 2s s-E /RT -E /RTR
i As A Cp s p
dT F (- H ) E UA(T - T ) k e C T e C - (T - T )
dt V C RT C V
′ ∆′ ′ ′ ′ ′ ′= + + ρ ρ (5.21)
5.20 eta 5.21 ekuazioen Laplace transformatuak kalkulatuz:
( )002
s s-E /RT -E /RTA Ai A As A
s
k EFsC (s) (C (s) - C (s)) - e C T (s) - k e C (s)
V RT
′ ′ ′ ′ ′=
(5.22)
0 2s s-E /RT -E /RTR
i As Ap s
Cp
F (- H ) EsT (s) (T(s) - T (s)) k e C T (s) e C (s)
V C RT
UA (T (s) T (s))
C V
∆′ ′ ′ ′ ′= + + ρ
′ ′− −ρ
(5.23)
5.22 eta 5.23 ekuazioak berrantolaturik:
00 2
s s-E /RT -E /RTA Ai As
s
k EF Fs k e C (s) C (s) - e C T (s)
V V RT
′ ′ ′+ + =
(5.24)
0 2
0
s
s
-E /RTRAs i
p s p
-E /RTRA C
p p
F (- H ) E UA Fs - k e C T (s) T(s)
V C RT C V V
(- H ) UA k e C (s) T (s)
C C V
∆ ′ ′+ + = + ρ ρ
∆ ′ ′+ +ρ ρ
(5.25)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
64
C’A(s) eta T’(s) askatuz:
0
2
0 0
0 0
1 1
s s
s s
As
s-E/RT -E/RT
A Ai
-E/RT -E/RT
VC k ERTF
F Vk e Fe VkC (s) C (s) - T (s)
V Vs s
F Vk e F Vk e
+ +′ ′ ′=
+ + + +
(5.26)
2
2 2
0
2
2 2
0
2
0
2 2
0
1
s
s
s
s
p s-E /RT
p s R As si
p s-E /RT
p s R As s
-E /RTs R
-E /RTp s R As s
p s
FC RT
F C RT - (- H )k VC Ee UARTT (s) T(s)
C VRTs
F C RT - (- H )k VC Ee UART
VRT (- H )k eF C RT - (- H )k VC Ee UART
C VRT
ρ ∆ + ′ ′= +
ρ+ ρ ∆ +
∆ ρ ∆ + +
ρ 2
2 2
0
2
2 2
0
2
2 2
0
1
1
s
s
s
A
-E /RTp s R As s
s-E /RT
p s R As sC
p s-E /RT
p s R As s
C (s)
sF C RT - (- H )k VC Ee UART
UARTF C RT - (- H )k VC Ee UART
T (s)C VRT
sF C RT - (- H )k VC Ee UART
′ +
+ ρ ∆ +
ρ ∆ + ′+
ρ+ ρ ∆ + (5.27)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
65
Laplace eremuan ekuazio hauek edukiko genituzke:
( ) ( )1 2
1 11 1
A Ai
K KC (s) C (s) - T (s)
s s′ ′ ′=
τ + τ + (5.28)
3 54
2 2 21 1 1
i A C
K KKT (s) T(s) C (s) T (s)
s s s′ ′ ′ ′= + +
τ + τ + τ + (5.29)
τ1 eta τ2 denbora konstanteak dira, eta K1,...,K5 irabazkinak. Haien balioa 5.26 eta 5.27 ekuazioen
bidez kalkula daiteke.
Azkenik, 5.28 eta 5.29 ekuazioak honela laburtu daitezke:
1 2A AiC (s) G C (s) - G T (s)′ ′ ′= (5.30)
3 4 5i A CT (s) G T (s) G C (s) G T (s)′ ′ ′ ′= + + (5.31)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
66
5.2 Lehen mailako sistemen erantzuna
Eskuarki, edozein sistema errealen erantzuna adieraz daiteke lehen mailako hainbat sistema
seriean baleude bezala. Sistema horien artean bi egoera gerta daitezke.
A) Interakziorik gabe
B) Interakzioarekin
h 1
q 1
R1
A1
h 2
q 2
R2
A2
q (t )
h 1
q 1
R1
A1
h 2
q 2
R2
A2
A) B)q(t )
5.4 irudia. Bi gordailuetako likido-mailaren aldaketa. A) Interakziorik gabe. B) Interakzioarekin. 5.2.1 Interakziorik gabe
Helburua da h2 aldagaia q emariarekiko nola aldatzen den aztertzea (erantzun dinamikoa).
Lehen gordailuko materia-balantzea idatziz:
11 1
dhq - q A
dt= (5.32)
Bigarren gordailuko materia-balantzea:
21 2 2
dhq - q A
dt= (5.33)
Emaria eta gordailuaren altuera erresistentzia konstante baten bidez erlazionatuta daudela (hau
da, erlazioa lineala dela) onartuz:
11
1
hq
R= (5.34)
22
2
hq
R= (5.35)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
67
5.32 eta 5.34 konbinatuz eta desbideratze-aldagaiak hartuz:
1
1
1
1
Q (s)Q(s) s
=τ +
(5.36)
non Q1=q1-q1s, Q=q-qs eta τ1=R1A1 egiaztatzen baitira.
Era berean, bigarren gordailuan:
2 2
1 21
H (s) RQ (s) s
=τ +
(5.37)
non H2=h2-h2s, eta τ2=R2A2 egiaztatzen baitira.
Azkenik, kalkulatu nahi genuen transferentzia-funtzioa:
2 2
1 2
1
1 1
H (s) RQ(s) s s
=τ + τ +
(5.38)
Oro har, interakziorik gabeko n sistematarako:
Transferentzia-funtzio indibidualak hauek badira:
1 1
0 11
X (s) KX (s) s
=τ +
; 2 2
1 21
X (s) KX (s) s
=τ +
;.................; 1
1n n
n- n
X (s) KX (s) s
=τ +
Transferentzia-funtzio orokorra honela idatz daiteke:
011
nn i
i
X (s) KX (s) si
=τ +=
∏ (5.39)
1
11
Ksτ +
2
21
Ksτ +
1
i
i
Ksτ +
1
n
n
Ksτ +
X0 X1 X2 Xi-1 Xn
Xn-1 Xi
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
68
5.5 irudia. Erantzun dinamikoa, maila-aldaketa unitario baten aurrean, lehen mailako n prozesuz osaturiko sistema batentzat.
n altuagoa bada, erantzuna geldoagoa izango da.
n=1, jatorrian, (t=0) erantzunaren abiadura maximoa da.
n>1, jatorrian, erantzunaren malda zero da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
69
5.2.2 Interakziodun sistemak
q (t )
h 1
q 1
R1
A1
h 2
q 2
R2
A2
q (t )
h 1
q 1
R1
A1
h 2
q 2
R2
A2
5.6 irudia. Interakziodun sistema bat.
Materia-balantzea lehen gordailuan:
11 1
dhq - q A
dt= (5.40)
Materia-balantzea bigarren gordailuan:
21 2 2
dhq - q A
dt= (5.41)
Emariaren eta altueraren arteko erlazioak:
1 1 2
1
1q (h - h )
R= (5.42)
22
2
hq
R= (5.43)
Egoera egonkorrean, materia-balantzea:
qs – q1s = 0 (5.44)
q1s – q2s = 0 (5.45)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
70
Egoera ezegonkorreko eta egonkorreko ekuazioen kenketa eginez, desbideratze- aldagaien
menpean adieraz genezake sistemaren eredu den ekuazio diferentzialen sistema:
11 1
dHQ - Q A
dt= (5.46)
21 2 2
dHQ - Q A
dt= (5.47)
1 21
1
H - HQ
R= (5.48)
22
2
HQ
R= (5.49)
5.46-5.49 ekuazioen Laplace transformatuak lortuz eta konbinatuz, kalkulatu nahi genuen
transferentzia-funtzioa lortzen da:
2 2
2
1 2 1 2 1 21
H (s) RQ(s) s ( A R )s
=τ τ + τ + τ + +
(5.50)
Interakziorik gabeko sistemarekin (5.38 ekuazioarekin) konparatuz
2 2
1 2
1
1 1
H (s) RQ(s) s s
=τ + τ +
(5.38)
ezberdintasuna A1R2 terminoa dela ikus daiteke.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
71
5.3 Maila-aldaketa batekiko erantzuna
Sistema bakoitzak maila-aldaketako sarrera baten aurrean izango duen erantzuna atal honetan
adierazten da. Demagun bi gordailuak berdinak direla, non τ1=τ2=τ betetzen baita.
5.3.1 Interakziorik gabe
22
1s
1
)s(Q
)s(Q
+τ= (5.51)
Eta maila-aldaketa unitario batekiko erantzuna denboraren eremuan:
21 -t / -t /t
Q (t) - e - eτ τ=τ
(5.52)
5.3.2 Interakzioarekin (A1=A2 bada, gogoratu 1 2 1 1 2 2 1 2A R A R A Rτ = τ = τ = = = )
+τ+τ=
1s3s
1
)s(Q
)s(Q
222
(5.53)
2 1
0 38 1 2 62 1
Q (s)Q(s) ( . s )( . s )
=τ + τ +
(5.54)
Maila-aldaketa unitario baten aurreko erantzuna:
0 38 2 62
21 0 17 1 17-t / . -t / .Q (t) . e - . eτ τ= + (5.55)
Interakzioaren eragina: 1. Sistemaren denbora konstante efektiboak aldatu dira (bata handitu, bestea murriztu). 2. Sistemaren erantzuna motelagoa da interakzioa dagoenean.
5.7 irudia. Denboraren eremuko erantzun dinamikoa, interakziorik gabeko eta interakziodun sistemetan.
6 GAIA: BIGARREN MAILAKO SISTEMAK
Orain ikusitakoaren arabera, 1. ordenako bi sistema seriean daudenean, erantzuna 2. ordenako
sistema batena izango da. Aldiz, badaude beste sistema batzuk, izatez, 2. mailako dinamika
intrintsekoa dutenak.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
72
Demagun presio diferentzialaren neurgailu bat (U manometroa) dugula.
y=0
p
y
y=0
p
y
p
y
p
y
p
y
6.1 irudia. Presio diferentzialaren neurgailua, U manometroa.
p: presio manometrikoa
A: hodiaren ebakidura-gainazala
y: likidoaren altuera
L: likidoaren luzera
Honako hauek dira likidoan, orekan dagoenean, eragina duten indarrak:
s sp A A y g= ρ (6.1)
∆p gainpresioa gertatzen denean, egoera ezegonkorrean:
2
22 s s
s s
d(y y) d (y y)(p p)A - A g(y y) - RA AL
dt dt+ ∆ + ∆+ ∆ ρ + ∆ = ρ (6.2)
non sd(y y)RA
dt+ ∆
marruskadura-indarra baita, likidoak duen abiadurarekiko proportzionala.
6.2 eta 6.1 ekuazioen kenketa eginez:
2
22
d y d ypA - A g y - RA AL
dt dt∆ ∆∆ ρ ∆ = ρ (6.3)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
73
Desbideratze-aldagaien menpean adieraziz gero:
2
22
d y d ypA - A g y - RA AL
dt dt∆ ∆∆ ρ ∆ = ρ (6.4)
Eta desbideratze-aldagaiak birdefinituz
Y= ∆y P=∆p
2
22
dY d YPA - A gY -RA AL
dt dtρ = ρ (6.5)
Berrantolaturik:
2
22 2 2
L d Y R dY PY
g dt g dt g+ + =
ρ ρ (6.6)
Hitzarmenez, 2. ordenako ekuazioak honela adierazten dira:
22
22
d Y dYY X(t)
dt dtτ + ξτ + = (6.7)
Edo baita:
2
2 2
1 2
n n
d Y dYY X(t)
dt dtξ+ + =
ω ω (6.8)
τ : denbora konstantea (denbora-unitateak)
ξ : indargetze-faktorea (adimentsionala)
nω : frekuentzia naturala
Horrela, manometroaren kasurako:
2
2
n
1 L
2gτ = =
ω edo
n
1 L
2gτ = =
ω (6.9)
22
2n
Rg
ξξτ = =ω ρ
edo 2
4
R gg L
ξ =ρ
(6.10)
2
P(t)X(t)
g=
ρ (6.11)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
74
Laplace transformatua kalkulatuz transferentzia-funtzio hau lortzen da:
2 2
1
2 1
Y(s)X(s) s s
=τ + ξτ +
(6.12)
Oro har:
2 2 2 1
Y(s) KX(s) s s
=τ + ξτ +
(6.13)
Ondorio nagusi hauek atera daitezke:
Bigarren mailako sistemen erantzun dinamikoa bi parametroren bidez definitzen da:
τ: denbora konstantea (denbora unitateak) erabiliz
ξ: moteltze-faktorea (adimentsionala) erabiliz
Definizioz, τ eta ξ positiboak dira beti.
6.1 Maila-aldaketa motako perturbazio baten aurreko erantzuna
Demagun transferentzia-funtzio hau duen sarrera bat dugula (presio-aldaketa unitarioa bat-batean
gertatzen bada; hau da, maila-aldaketa moduan):
1X(s)
s= (6.14)
6.13 eta 6.14 ekuazioak konbinatuz eta izendatzaile koadratikoa faktorizatuz:
2 2
1
2 1
KY(s)
s s s=
τ + ξτ + (6.15)
2
1
1-s -
ξξ= +τ τ
(6.16)
2
2
1-s - -
ξξ=τ τ
(6.17)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
75
Horrela, 6.13 ekuazioa honela idatz daiteke: 2
1 2
K /Y(s)
s(s - s )(s - s )τ= (6.18)
non s1 eta s2 erro erreal edo konplexuak izan baitaitezke, ξ-ren arabera.
2
1 2
K /Y(s)
s(s - s )(s - s )τ=
2
1
1-s -
ξξ= +τ τ
2
2
1-s - -
ξξ=τ τ
Hiru kasu bereiz daitezke.
a) ξ<1
s1 eta s2 erro konplexu konjugatuak dira. Alde erreal negatiboarekin.
22 1
2
111 1
1
t- - -t
Y(t) K - e sen - tan-
ξτ
ξ = ξ + τ ξξ
(6.19)
b) ξ=1
s1 eta s2 errealak, negatiboak eta berdinak.
1 1t
-tY(t) K - e τ
= + τ (6.20)
c) ξ>1
s1 eta s2 errealak, negatiboak eta ezberdinak.
2 2
21 1 1
1
t- t t
Y(t) K - e cosh - senh --
ξτ
ξ = ξ + ξ τ τξ
(6.21)
Funtzio hiperborikoak honela definituz:
senh a = 2
a -ae - e eta cosh a =
2
a -ae e+
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
76
6.2 irudia. 2. mailako sistema bateko Y(t)/K erantzuna hainbat ξ baliotarako.
ξ<1, indargetze urriko sistema (oszilakorra)
ξ=1 kritikoki indargetua (ez-oszilakorra)
ξ>1 sistema indargetua, ξ altuagoa → indargetuagoa → geldoagoa
ξ=1-etik ξ>1-era pasatzean, erantzun dinamikoa interakzioa geneukanean lortutakoaren antzekoa
da.
( )2
11-τ = ξ + ξ τ (6.22)
( )2
21- -τ = ξ ξ τ (6.23)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
77
Periodoa,T
Erantzunarenoszilazio-limiteak
EzarpendenboraIgoera denbora
Periodoa,T
Erantzunarenoszilazio-limiteak
EzarpendenboraIgoera denbora
6.3 irudia. Indargetze urriko 2. mailako sistema baten denboraren eremuko erantzuna.
Kuantitatiboki, propietate hauen bitartez deskriba daiteke erantzuna.
- Gaindikina ( sobrepasaje ): maila-aldaketa baten aurreko erantzunak azken balioa zer
portzentajetan gainditzen duen. Irudiko A/B erlazioari dagokio. (Kontuz, ez nahasi B/A anplitude-
erlazioarekin). Matematikoki (ξ-ren menpekoa):
21
A -exp
B -
πξ= ξ
(6.24)
ξ murriztu → gaindikina handitu
- Lehen maximorako denbora: lehen maximoa gertatzen den denbora.
21maxt
-
πτ=ξ
- Gainbeherapen-erlazioa ( relación de decaimiento, decay ratio ): elkarren segidako
maximoek duten altuera-erlazioa; irudiko C/A erlazioa.
Matematikoki (ξ−ren menpekoa):
2 2
21
C -exp gaindikina
A -
πξ = =
ξ
(6.25)
ξ murriztu → gainbeherapen-erlazioa handitu.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
78
- Igoera-denbora ( tiempo de subida ). Erantzunak lehen aldiz bere azken balio hartzeko
beharrezkoa den denbora. tr irudian, 2
2
1
1r
-t - arctag
-
ξτ = π
ξξ
.
ξ murriztu → tr murriztu.
- Ezarpen-denbora ( tiempo de establecimiento ). Erantzunak azken balioaren % ±5 bitartean
irauteko denbora, 2%; » 4 5%; » 3
± ±
s st eta t
τ τξ ξ .
- Oszilazio-periodoa. 6.19 ekuazioan t biderkatzen duen terminoa. T oszilazioaren periodoa da,
6.3 irudian maximoen arteko denbora.
21 -w ,rad / denb
ξ=
τ (6.26)
2
22
1
π τ= = πω − ξ
T ,denb / ziklo (6.27)
ξ murriztuz (ξ <1) → T murriztu
- Oszilazio-periodo naturala . ξ = 0 denean. Oszilazio iraunkorra. Frekuentzia naturala (ωn= 1/τ)
rad/denbora gisa definitzen da. fn frekuentzia naturala da, ziklo/denbora.
1
2 2
nnf ,ziklo / denbora
ω= =π πτ
(6.28)
Beraz, τ indargetugabeko sistema baten periodoarekin lotuta dago.
Oro har:
ξ-k sistemaren indargetze- edo oszilazio-maila ematen du.
τ-k periodo edo erantzunaren azkartasunaren ideia ematen du.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
79
6.2 “Sistemaren identifikazioa”
Maila-aldaketa motako perturbazio bat erabil daiteke sistemaren ezaugarriak (ordena,
parametro karakteristikoen balioa,...) ezagutzeko.
2. mailako sistema baten kasuan:
Irabazkinaren (K-ren) azken balioaren eta maila-aldaketaren anplitudearen arteko zatiketa.
ξ eta τ erantzunak indargetze urrikoak edo nahikoa indargetuak diren kontuan izanda:
i) Indargetze urrikoa bada, ξ gaindikinaren balioaren bidez kalkula daiteke:
21
A -exp
B -
πξ= ξ
Gero, τ denbora konstantea kalkula daiteke, periodoa esperimentalki neurtuta:
2
22
1T ,denb / ziklo
-
π τ= = πω ξ
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
80
ii) Nahikoa indargetua bada (ez dago maximorik):
Bi dira kalkulatu beharreko denbora konstanteak; hainbat metodo daude.
1 21 1
Y(s) KX(s) ( s )( s )
=τ + τ +
(6.29)
.
Era
ntzu
nfr
akzi
onal
aE
rant
zun
frak
zion
ala
6.4 irudia. 2. mailako sistema baten erantzun frakzionala vs
21
t
τ+τ.
Y(t)/K vs 1 2
tτ + τ
irudikatuz, 6.4 irudia lortzen da (2. mailako sistema batentzat). Hortik,
erantzunaren % 73 zer denboratarako (t73) ematen den behin jakinda (esperimentalki neurtuta),
1 2
tτ + τ
kalkulatzen da. Gero, 6.30 ekuazioaren bidez 1 2τ + τ kalkula daiteke.
73%1 2
1.32+ = tτ τ (6.30)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
81
Bestalde, 6.5 irudian, Y(t)/K vs 21
2
τ+ττ
irudikatzen da, t1= 0,5(τ1+τ2) egiaztatzen denerako. Hortik
aurrera, behin 1 2τ + τ kalkulaturik (6.30 ekuazioa), t1-erako erantzun frakzionala zein den behatu
(esperimentalki), eta 6.5 irudiaren bidez 21
2
τ+ττ
kalkula daiteke eta, ondoren, 2τ .
6.5 irudia. 2. mailako sistema baten erantzun frakzionala 1 2
0 5t
,=τ + τ
egiaztatzen denerako vs 21
2
τ+ττ
.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
82
6.3 Bulkada baten aurreko erantzuna
δ(t) bulkada bat 2. mailako sistema bati aplikatuz gero:
2 2 2 1
KY(s)
s s=
τ + ξτ + (6.31)
Erantzuna izendatzailearen erroen araberako izango da. Hiru kasu gerta daitezke:
1.- ξ<1
Erroak konplexu konjugatuak dira, eta 6.31 ekuazioaren alderantzizkoa hau da:
2
2
11
1
t- t
Y(t) K e sen --
ξτ
= ξ τ τ ξ (6.32)
2.- ξ=1
Bi erroak errealak eta berdinak dira. 6.31 ekuazioaren alderantzizkoa hau da:
2
1t
-Y(t) K te τ
= τ
(6.33)
3.- ξ>1
2
2
1 11
1
t- t
Y(t) K e senh --
ξτ
= ξ τ τ ξ (6.34)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
83
6.6 irudia. 2. mailako sistema baten erantzun frakzionala bulkada baten aurrean.
Ezaugarri nagusiak:
- Malda jatorrian 1,0 da, edozein dela ξ-ren balioa.
- Maila-aldaketarentzat ikusitako erantzunaren antzekoa kualitatiboki. Baina erantzuna hasierako
baliora itzultzen da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
84
6.4 Erantzun frekuentziala
Erantzunaren transferentzia-funtzioa:
( ) ( )2 2 2 22 1
K AY(s)
s s s
ω=τ + ξτ + + ω
(6.35)
Erantzuna, hainbat Y(t), batugaiz osatuta egongo da. t→∞ doanean, batzuk zerorantz doaz, eta
Y(t) honela adieraz daiteke:
( )2 221 2
KAY(t) sen( t )
- ( )= ω + φ
ωτ + ξωτ
(6.36)
Hor:
1
2
2
1
-- tan- ( )
ξωτφ = ωτ (6.37)
Irteerako eta sarrerako uhinen anplitude-erlazioa:
( )2 221 2
B KA - ( )
= ωτ + ξωτ
(6.38)
Erlazio hori K baino handiago/txikiago izan daiteke, ξ-ren eta ωτ-ren arabera.
Gogoratu, lehen mailako sistemetan erlazio hori beti K baino txikiago dela.
Irteera beti egongo da atzeratua. Frekuentzia handituz, fase-atzerapena asintotikoki -180º-rantz
(1. mailakoetan -90º-rantz) doa.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
85
6.5 Sistema linealen erantzun frekuentziala. Metodo orokorra
Orain arte erantzun frekuentziala aztertzeko, ( )2 2
AX(s)
s
ω=+ ω
sarrera bat transferentzia-funtzioan
ordeztu, eta Y(s)-ren alderantzizkoa kalkulatzen genuen. Metodo hau luzea izateaz gain erraz
okertu gaitezke.
Demagun transferentzia-funtzio hau dugula:
Y(s) Q(s)G(s)
X(s) P(s)= = (6.39)
Hor, Q(s) eta P(s) m eta n mailako polinomioak dira, hurrenez hurren, eta m<n.
Hauek frogatu daitezke:
1. Sarrera oszilakor batekiko irteera oszilakorra da.
2. Anplitude-erlazioa frekuentziaren menpekoa da, eta G(s)-ren moduluari dagokio, s = iω
ordeztuz gero.
3. Atzerapen-fasea (φ) G(s)-ren argumentuari dagokio, s = iω ordeztuz gero.
Froga:
Sarrera sinusoidal batentzat X(t) = A sen(ωt) egiaztatzen da, non hau betetzen baita:
( )2 2
AX(s)
s
ω=+ ω
2 2
AY(s) G(s)
sω=
+ ω (6.40)
Frakzio partzialetan hedaturik, hau lortzen da:
( )( )2 2
A AY(s) G(s) G(s)
s s i s - iω ω= = =
+ ω + ω ω
1 2
1 2
n
n
C C C a b...
s - p s - p s - p s i s - i
= + + + + + + ω ω
(6.41)
non p1, p2,..., pn G(s)-ren poloak baitira.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
86
Hau da, t→∞ doanean, batugai horiek zerorantz doaz. Hortaz, azken emaitza:
i t i t
tY(t) ae be− ω ω
→∞= + (6.42)
6.41 ekuazioaren bidez a eta b parametroak kalkula daitezke:
2
AG(-i )a
- iω= eta
2
AG(i )b
iω=
Hortaz:
2 2
-i t i t
t
AG(-i ) AG(i )Y(t) - e e
i iω ω
→∞
ω ω= + (6.43)
G(-iω) eta G(iω) zenbaki konplexuak era polarrean adieraz daitezke:
G(-iω) = |G(-iω)| φ−ie = |G(iω)| φ−ie (6.44)
G(iω) = |G(iω)| φie (6.45)
non φ = G(iω)-ren argumentua baita. 6.44 eta 6.45 ekuazioak 6.43 ekuazioan ordeztuz:
2 2
-i( t ) i( t )
t
A G(i ) A G(i )Y(t) - e e
i iω +φ ω +φ
→∞
ω ω= + =
i2
ee)i(GA
)t(i)t(i φ+ω−φ+ω −ω=
(6.46)
tY(t)
→∞A G(i ) sen( t )= ω ω + φ (6.47)
Horrela, 6.47 ekuazioak aurreko orrialdeko hiru arau orokorrak egiaztatzen ditu.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
87
Metodo orokorra 2. mailako sistema bati aplikatuz:
2 2 2 1
Y(s) KX(s) s s
=τ + ξτ +
s= iω ordeztuz:
( )2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 2
K K KG(i )
(i ) (i ) - i - iω = = =
τ ω + ξτ ω + τ ω + ξτω + τ ω + ξτω (6.48)
Konjugatuarekin biderkatuz eta zatituz:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 22 2 22 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
K( - - i) K( - ) -KG(i ) i
- - -
τ ω ξτω τ ω ξτω ω = = + τ ω + ξτω τ ω + ξτω τ ω + ξτω
(6.49)
6.49 ekuazioaren modulua anplitude-erlazioa izango da; hau da, B/A = 22 ImRe + :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 22 22 2 2 2
1 2
1 2 1 2
B K( ) KA
− τ ω − ξτω = + = − τ ω + ξτω − τ ω + ξτω
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 22 222 2 2 2 2
2 2 22 2 222 2
1 21 2
1 21 2
KK ( ) K − τ ω + ξτω− τ ω + ξτω= = =
− τ ω + ξτω− τ ω + ξτω
( ) ( )2 22 21 2
K
-=
τ ω + ξτω (6.50)
Eta fase-atzerapena da 6.49 ekuazioaren argumentua; hau da, 1- Imtan
Reφ =
:
1 1
2 2 2 2
2 2
1 1
- --tan - tan
- -ξτω ξτω φ = = τ ω τ ω
(6.51)
Anplitude-erlazioarentzat eta fase-atzerapenarentzat aurreko atalean lortu genituen adierazpen
berberak (6.37 eta 6.38) deribatu dira metodo orokorra erabiliz!
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
88
6.6 Bode-ren diagrama
ξ-ren hainbat baliotarako, 2. mailako sistema baten erantzun frekuentziala.
A)
B)
A)
B)
A)
B)
6.7 irudia. Bode-ren diagrama. A) Log(B/A/K) vs log(ωτ). B) φ vs Log(ωτ).
Ohartu:
− Bi asintota bereiz daitezke Bode-ren diagraman.
− ω → 0, log(B/A/K) → 0 edo (B/A/K) → 1. Frekuentzia baxuko asintota.
− ω → ∞, log(B/A/K) → -2log(ωτ). Frekuentzia altuko asintota. Haren malda= –2 da; eta B/A/K=1,
ωτ=1 puntutik pasatzen da.
− B/A/K>1 izan daiteke (erresonantzia). Boderen diagramak maximo bat dauka. Erresonantzia, ξ
< 10 707
2,= denean gertatzen da (6.50 ω-rekiko deribatuz). Erresonantzia-frekuentzia (ωr):
211 2-rω ξ
τ= (6.52)
− ξ=0 egiaztatzen denean, maximoa infiniturantz doa. Erresonantzia-frekuentzia= frekuentzia naturala (ωn = 1/τ).
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
89
6.7 Nyquist-en diagrama
Erantzun frekuentziala adierazteko beste metodo bat da.
Ordenatua: Im[G(iω)]
Absiza: Re[G(iω)]
Ohartu:
1.ω = 0, B/A/K = 1 eta φ = 0 (Hasiera)
2. ω → ∞, B/A/K → 0 y φ → -180º
(Bukaera)
ξ ≥ 1 bada, B/A/K ≤ 1 da. Nyquist-en diagrama beti zirkunferentzia unitarioaren barruan dago (ez dago erresonantziarik). ξ < 1 bada , B/A/K > 1 da ω tarte batean. Tarte horretan Nyquist-en diagrama zirkunferentzia unitariotik kanpo dago.
6.8 irudia. Nyquist-en diagrama 2. mailako sistema batentzat eta ξ-ren hainbat baliotarako.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
90
7 GAIA: DENBORA HILA
Denbora hila: prozesu batean “benetan” zerbait aldatzen hasi denetik behatzaile edo neurgailu
batek sumatu arte pasatzen den denbora.
Jarioa dagoen sistemetan agertzen da. Arrazoiak:
Nahasketa ez-perfektua
Neurketa-sentsoreak duen denbora hila
Hodierietatiko fluxua
Hortaz, prozesu kimiko gehienetan agertuko da denbora hila.
Haren transferentzia-funtzioa:
d-stY(s)e
X(s)= (7.1)
Ondorioak:
Kontrola gaizkitzen da.
Ekidin egin behar da, prozesu-elementuak elkarrengandik hurbil kokatuz
7.1 Perturbazioekiko erantzuna
7.1.1 Maila-aldaketa:
AX(s) =
s (7.2)
Eta erantzuna:
dstAY(s) e
s−= (7.3)
Y(t) kalkulatuz:
Y = 0 0 < t < td
Y = A t > td
Erantzuna sarreraren berdina da, baina td denbora-unitate atzeratua.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
91
7.1.2 Erantzun frekuentziala
s= iω ordeztuz transferentzia-funtzioan:
d-i tG(i ) e ωω = (7.4)
Euler-en berdinketa aplikatuz:
d dG(i ) cos t - i sen tω = ω ω (7.5)
Hortaz:
2 2 2 2 1d d
BRe Im cos t sen t
A= + = ω + ω = (7.6)
1 1- - dd
d
-sen tImtan tan - t
Re cos t
ωφ = = = ω ω (7.7)
Ondorioa:
Ez du anplitudea aldatzen, edozein dela ϖ.
Erantzuna ωtd radian atzeratzen du.
Bode-ren diagrama:
Lerro zuzena B/A/K=1 delako.
Fase-atzerapena -∞-rantz.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
92
7.1.3 Prozesu baten elementuak
Hainbat elementu: 1. maila, 2. maila, denbora hilak,...
Sarritan ekuazio enpirikoak erabiltzea komenigarria da.
Demagun transferentzia-funtzioa hau dugula, 3. mailako sistema, denbora hila duena:
2 2
1 21 2 1
d-stpK eY(s)
X(s) ( s )( s s )=
τ + τ + ξτ + (7.8)
- Esperimentalki: Kp, td, τ1, τ2, ξ. → Eredu enpirikoa
- Sarritan ez da beharrezkoa hainbeste parametro erabiltzea, eta nahikoa da sistema
transferentzia-funtzio sinpleago batera hurbiltzea, 1. maila eta denbora hila itxurakoa.
Ohartu:
Orain arte ikusitako parametroak ez dira beti konstante. Operazio-baldintzekin alda daitezke.
Horregatik, eredu sendoen beharra dago.
Padé-ren hurbilketa:
d
d
-t s
d
t1- s
2et
1 s2
≈+
(7.9)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
93
8 GAIA: SEINALEEN NEURKETA ETA TRANSMISIOA
8.1 Osagai nagusiak
Edozein dela kontrol-sistemaren konfigurazioa, lau dira osagai nagusiak:
- sentsoreak
- transmisorea (igorle) edo transduktoreak
- kontroladoreak
- eragileak
8.2 Neurketaren ezaugarriak
Heina (lan-tartea): aldagaia neurtua izan daitekeen eremu osoa.
Doitasuna: lagin beraren hainbat neurketaren arteko hurbiltasuna.
Zehaztasuna: neurketaren benetako balioarekiko hurbiltasuna.
Sentikortasuna: tresnaren seinalea neurtutako aldagaiaren aldaketa unitateko.
Linealtasuna.
Desbideratzea: tresnak denboran zehar jasandako aldaketa.
Detekzio-muga (tresnarena eta metodoarena).
Kuantifikazio-muga.
8.3 Neurgailuen sailkapena
Eskuarki, neurtzen duten magnitudearen arabera sailkatzen dira (emari-, presio-, konposizio-
neurgailuak, eta abar).
Beste sailkapen batzuk ere egin daitezke:
8.3.1 Monitorizazioa/kontrola
Neurtu / Neurtu+bidali
Adibidea: U manometroa / termoparea + igorlea.
8.3.2 Aktiboa/pasiboa
Kanpoko energia-iturria / Prozesuko energia
Adibidea: pHmetroa, konduktimetroa, termoparea / merkurio-termometroa, pitot hodia, diafragma.
8.3.3 Konparaziozkoak/desplazamenduzkoak
Adibidea: konduktimetroa, potentziometroa/dinamometroa, errotametroa.
8.3.4 Analogikoak/digitalak
Neurketa jarraitua / neurketa-balio finituak
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
94
8.4 Transmisioa
Kontrol Sistema, prozesutik hainbat metrotara egon daiteke.
Pneumatikoa (3-15 psig)
Segurtasuna
Eragilea pneumatikoak merkeagoak
Elektrikoa (4-20 mA)
Transmisio luzeagoak
Azkarragoa
Transmisio-lerroak merkeagoak
Voltajea edo intentsitatea (eskuarki intentsitatea)
8.5 Kalibrazioa
Aldagaiaren eta tresnak emandako seinalearen arteko erlazioa ezagutu behar izaten da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
95
8.6 Diagramak
8.1 taula. P&Iko (process and instrumentation) sinboloak.
Tresnaren kokapena
Lantegian bertan kokatutako tresna
Kontrol-gelako panelaren aurrealdean kokatutako tresna
Kontrol-gelako panelaren atzealdean kokatutako tresna
Identifikazio-letren esanahia
Lehen letra (X) Bigarren edo hirugarren letra (Y)
A Analisia Alarma
B Erregailu baten garra
C Eroankortasuna Kontrola
D Dentsitate edo grabitate espezifikoa
E Voltajea Elementua
F Emaria
H Eskuzkoa (eskuz eragindakoa) Altua
I Korrontea Adierazpena (indicación)
J Potentzia
K Denbora edo programatutako denbora Kontrolgunea
L Maila Iluminazioa edo baxua
M Hezetasuna Ertaina
O Zuloa
P Presioa edo hutsa Gunea
Q Kantitatea edo gertakizuna
R Erradioaktibitatea edo kozientea Erregistradorea
S Abiadura edo frekuentzia Etengailua (interruptor)
T Tenperatura Transmisorea (igorle)
V Biskositatea Balbula edo motelgailua
W Pisua Pultsua
Y Errele edo kalkulua
Z Posizioa Bultzatzeko ponpa
Tresna arteko konexioen identifikazioa
Kapilarra, hodieria
Pneumatikoa
Elektrikoa
Tresnaren kokapena
Lantegian bertan kokatutako tresna
Kontrol-gelako panelaren aurrealdean kokatutako tresna
Kontrol-gelako panelaren atzealdean kokatutako tresna
Identifikazio-letren esanahia
Lehen letra (X) Bigarren edo hirugarren letra (Y)
A Analisia Alarma
B Erregailu baten garra
C Eroankortasuna Kontrola
D Dentsitate edo grabitate espezifikoa
E Voltajea Elementua
F Emaria
H Eskuzkoa (eskuz eragindakoa) Altua
I Korrontea Adierazpena (indicación)
J Potentzia
K Denbora edo programatutako denbora Kontrolgunea
L Maila Iluminazioa edo baxua
M Hezetasuna Ertaina
O Zuloa
P Presioa edo hutsa Gunea
Q Kantitatea edo gertakizuna
R Erradioaktibitatea edo kozientea Erregistradorea
S Abiadura edo frekuentzia Etengailua (interruptor)
T Tenperatura Transmisorea (igorle)
V Biskositatea Balbula edo motelgailua
W Pisua Pultsua
Y Errele edo kalkulua
Z Posizioa Bultzatzeko ponpa
Tresna arteko konexioen identifikazioa
Kapilarra, hodieria
Pneumatikoa
Elektrikoa
XYZXYZXYZ
Adibideak. TC: tenp.-kontroladorea; TRC: tenp.-kontroladore eta -erregistradorea; TI: tenp.-adierazlea; TE: tenp.-elementua (termometroa); TT: tenp.-transmisorea (termoparea).
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
96
8.1 irudia. Eragile batzuen sinboloa.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
97
8.2 irudia. Neurgailu batzuen sinboloa.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
98
8.3 irudia. Kontrol-begizta sinple batzuk.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
99
Ben
tzen
oa
Tol
ueno
a
Ben
tzen
oa
Tol
ueno
a
8.4 irudia. Destilazio-zutabe baten fluxu-diagrama.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
100
9 GAIA: AZKEN KONTROL-ELEMENTUA
Kontroladoreak igorritako seinalearen arabera (eskuarki, 4-20 mA; 3-15 psia) aldagai manipulatua
aldatzen da.
Kontroladorea Transmisio-lerroa Transduktorea Eragilea Azken kontrol-elementuaKontroladorea Transmisio-lerroa Transduktorea Eragilea Azken kontrol-elementua
9.1 irudia. Kontroladorea eta azken kontrol-elementua.
Transduktorea: energia eraldatzeko elementua da. Izatez, neurgailu eta eragile guztiak dira
transduktore.
Adibidez: solenoidea, termoparea, bozgorailua.
Eragileak: balbularen kasuan, ireki edo itxi egiten duen motorra.
Azken kontrol-elementua: balbula gehienetan.
Argi-izpia
Galletak
Uhalgarraiatzailea
Motorra
KontroladoreaKorrontebihurtzailea
Labea
SentsoreaTransduktorea
Kontsigna-puntua
Argi-izpia
Galletak
Uhalgarraiatzailea
Motorra
KontroladoreaKorrontebihurtzailea
Labea
SentsoreaTransduktorea
Kontsigna-puntua
9.2 irudia. Galletak egiteko prozesua.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
101
9.1 Eragileak
9.1.1 Eragile elektrikoak
- Solenoideak
Elektrizitatea higidura mekaniko bihurtzen dute, eskuarki higidura zuzena.
- Motor elektrikoak
Elektrizitatea biratze-higidura bihurtzen dute. Biratze-abiadurak eragina du aldagai kontrolatuan.
9.1.2 Eragile pneumatikoak (seinalea, 3-15 psig)
Indar handiak egiteko erabiltzen dira. Pascal-en printzipioa: P=F/A, A azalera bikoiztuz, indarra
bikoizten da (balbuletan oso erabilia).
9.1.3 Eragile hidraulikoa
Indar oso handiak behar direnean (prentsa hidraulikoa).
9.2 Azken kontrol-elementua
9.2.1 Mekanikoa
Kontrolerako azken elementua mekanikoa da, uhal garraiatzailea. Eragilea kasu horretan motor
elektrikoa da. (Halako beste bikote bat, balbula/zurtoina).
Eragilea
Balbula
Uhal garraiatzailea
Kontroladorea
Kontsigna-puntua
Emari-neurgailua
Ale-siloa
Eragilea
Balbula
Uhal garraiatzailea
Kontroladorea
Kontsigna-puntua
Emari-neurgailua
Ale-siloa
9.3 irudia. Azken kontrol-elementua.60
9.2.2 Elektrikoa
Adibideak: erresistentzia-berogailua, eta abar.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
102
9.2.3 Kontrol-balbula (erabilienak)
Kontrolerako azken elementuaren / eragile bikoteen adibideak:
Balbula/solenoidea
Uhal garraiatzaile / motor elektrikoa
Konporta / eragile hidraulikoa
Erresistentzia-berogailua / etengailua
9.3 Kontrol balbula
- Eragile pneumatiko (zilindroa) edo elektrikoa (motorra) dituzten balbulak.
- Eskuarki, pneumatikoa. Air to open edo air to close segurtasunaren arabera.
- Materiala, erabileraren arabera (korrosiboa, pH,...).
9.4 irudia. Eragintza pneumatikodun balbula, air to open.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
103
- Diseinu-ekuazioa:
Balbularen posizioa (x) emariarekin (q-rekin) erlazionatzen du.
fx): emari-ezaugarria (enboloaren itxurarekiko)
x: zurtoinaren posizioa
Cv: balbularen koefiziente karakteristikoa
pq C f(x)
vs
∆=ρ
(9.1)
9.5 irudia. Hainbat emari-ezaugarri, f(x).
9.3.1 Dimentsionatzea
Kontrolaren ikuspuntutik, karga-galera maximoa komeni da, eraginkorragoa izateko.
Ekonomikoki karga-galera minimoa, ponpaketaren kostua murrizteko.
Konpromisoa: hf,balb=hf,instalazio/3-4
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
104
Adibidea:
Demagun bero-trukagailu batetik jario bat pasatzen dela. Erabiliko den emari-lan tartean 40 psia-
ko presio konstantea ematen duen ponpa bat instalatu da. Bestalde, emaria erregulatzeko balbula
bat instalatu behar da. Aukeratu balbularen Cv balioa honako kasu hauetarako:
a) Balbula lineala erdi irekirik egotea nahi da (x=0,5) emari nominalean (qo-n).
b) Portzentaje berdineko balbula (R=50). Guztiz irekita dagoenean, emaria qo-ren % 110 izatea
nahi bada.
Datuak: bero-trukagailuak sortzen duen karga-galera 30 psia-koa da 200 gal/min-ko emari baterako. Jo
dezagun karga-galera q2-rekiko proportzionala dela.
Ohartu:
f(X) ezaugarri lineala duen balbula batek behin instalatuta erantzun ez-lineala ematen du!
Q LORTZEKO, balbularen irekierak x=0,5 izan behar du.
Q/2 LORTZEKO, balbularen irekierak x=0,5/3.6=0,14 izan behar du.
Q/4 LORTZEKO, balbularen irekierak x=0,5/8.3=0,06 izan behar du.
Irekiera edo posizioa (x) vs emaria (q) erlazio linealena portzentaje berdineko balbula batek
emango luke.
9.3.2 Kontrol-balbulen diseinurako:
1. Ponparen kurba bereizgarria lerro zuzena bada eta instalazioaren karga-galera txikia bada
ere, emari-ezaugarri lineala duen balbula aukeratuko da.
2. Bestela, portzentaje berdineko balbula aukeratu.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
105
10 GAIA: ATZERAELIKADURAZKO KONTROL-SISTEMAK ETA KO NTROL-
AKZIOAK
Kontroladorea Eragilea Prozesua
Neurgailua
ysp
e c m
ym
y
+
_
Perturbazioa
d
Kontroladorea Eragilea Prozesua
Neurgailua
ysp
e c m
ym
y
+
_
Perturbazioa
d
10.1 irudia. Atzeraelikadurazko kontrol-begizta baten bloke-diagrama.
Kontrol-begizta itxiaren osagaiak:
1. Neurgailua
2. Konparadorea
3. Kontroladorea
4. Azken kontrol-elementua, eragilea
5. Prozesua
Ohartu:
Gehienetan, neurgailua oso azkarra da prozesuarekiko (kromatografoak, aldiz, denbora hila
eragiten du).
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
106
Sentsore-transmisorea
Adibidez: termopare-transmisorea; neurketa-tartea: 50-250 ºC.
Elektrikoa (4-20 mA)
Kst=20 4
0 08250 50
-, mA/ºC
-=
Pneumatikoa (3-15 psia)
Kst=15 3
0 06250 50
, psia/ºC− = −
Balbulak
Gogoratu ekuazio karakteristikoa: vs
px f( ), q C f(x)
∆= ε =ρ
.
Transmisio-lerroak
Elektrikoak edo pneumatikoak direnean, baztertu daitezke, oso azkarrak direlako.
Pneumatikoak, oso luzeak badira, lehen mailako dinamika batera hurbiltzen dira.
Kontroladoreak
Ez-jarraitua
Bi posiziokoa
Posizio anitzekoa
10.2 irudia. Bi posizioko kontroladore baten portaera.
Jarraitua
Hainbat kontrol-akzio erabiltzen dituzte. Errorea eta kontrol-seinalearen arteko erlazio
motari deritzo kontrol-akzio.
Proportzionala
Integrala
Deribatua
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
107
10.1 Kontrol proportzionala
c sc(t) K (t) c= ε + (10.1)
c
C(t)K
(t)=ε
(10.2)
- Kc-rekiko sentikortasuna.
- Kontrol-akzio ZUZENA (aldagai kontrolatua (Y) handituz gero, kontroladoreak kontrol-seinalea
(C) handitzen duenean, Kc<0 egiaztatu behar da. Kontrol-akzioa ALDERANTZIZKOA da, Y
handituz C murrizten denean, Kc>0 egiaztatu behar da).
- Errealitatean kontrol-seinalea ase egin daiteke.
- Banda proportzionala: erroreak izan behar duen aldaketa, kontrol-seinalea maximoa izan dadin
(Kc adimentsionala denean bakarrik).
100
c
BPK
= (10.3)
Kontrol proportzionalaren ezaugarriak:
- Offseta dauka. Ondorioz, langilearean zuzenketa behar izaten da, prozesua beste kontsigna-
puntu batera pasatu nahi izanez gero.
(10.4)
- Bode-ren diagrama (erantzun frekuentziala) lerro zuzen bat da; fase-angelua, 0º.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
108
10.2 Akzio integrala
- Errorearen integralaren arabera aldatzen da kontrol-seinalea.
0
1t
sI
c(t) (t)dt c= ε +τ ∫
(10.5)
0
1t
I
C(t) (t)dt= ετ ∫
(10.6)
I
dC(t) (t)dt
ε=τ
(10.7)
I
(s)sC(s) =
τε
(10.8)
1c
I
C(s)G
(s) s= =
ε τ (10.9)
τI0 t
c(t)
A
A/ τI
τI0 t
c(t)
A
A/ τI
10.3 irudia. Errorean A maila-aldaketa bati kontrol-seinaleak emandako erantzuna. - Kontrol-ahalmen txikia; horregatik, konbinatuta erabiltzen da (PI). Hala, τI da behar den
denbora, akzio integralak akzio proportzionalaren aldaketa berdina eragin dezan kontrol-seinalean
(c).
- Erantzun frekuentziala: B/A=1
Iϖτ; fasea = -90º.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
109
10.4 irudia. Bode-ren eta Nyquist-en diagramak 10.9 ekuazioarentzat.
10.3 Akzio deribatua
- Erroreari “aurrea hartzea” da helburua.
- Kontrol-seinalea errorearen aldaketa-abiadurarekiko proportzionala da.
D s
d (t)c(t) c
dtε= τ + (10.10)
D
d (t)C(t)
dtε= τ (10.11)
DC(s) s (s)= τ ε (10.12)
c D
C(s)G s
(s)= = τ
ε (10.13)
- KONTROL-BEGIZTA ITXIAri egonkortasuna ematen dio.
- Aldiz, prozesuaren zarata anplifikatu egiten du.
- Konbinatua nahitaez; adibidez, errorea konstantea bada, kontrol-seinalea zero da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
110
10.4 Kontrol proportzional eta integrala
- Transferentzia-funtzioa Kc-ren eta τI-ren araberakoa izango da.
0
tc
cI
KC(t) K (t) (t)dt= ε + ε
τ ∫ (10.14)
11c c
I
C(s)G K
(s) s
= = + ε τ
(10.15)
0
ε(t)
0 t
c(t)
Kc/ τI
t
0
1Kc
τI 10.5 irudia. PI kontroladoreak errorearen maila-aldaketa bati emandako erantzuna. - t= Iτ denean, akzio integralaren eragina, akzio proportzionalaren berdina da.
- Offseta eliminatzen du. Hori da abantaila bakarra!
- Kontrol-begizta itxiaren egonkortasuna murrizten du.
Yss
Uss
50.4
53.2
56.0
58.8
44.4
51.8
59.2
66.6
-0 48 96 144 192 240 288 336 384 432
Start End
Pro
cess
Var
iabl
eM
anip
ulat
ed V
aria
ble
Time
Kc=1,5 τI= 10 min Kc=1,5 τI= 5 min Kc=1,5 τI= 2,5 min
Ald
agai
man
ipul
atua
Irte
era-
alda
gaia
Denbora
Yss
Uss
50.4
53.2
56.0
58.8
44.4
51.8
59.2
66.6
-0 48 96 144 192 240 288 336 384 432
Start End
Pro
cess
Var
iabl
eM
anip
ulat
ed V
aria
ble
Time
Kc=1,5 τI= 10 min Kc=1,5 τI= 5 min Kc=1,5 τI= 2,5 min
Ald
agai
man
ipul
atua
Irte
era-
alda
gaia
Denbora 10.6 irudia. KB itxian kontsigna-puntuan maila-aldaketa batekiko aldagai kontrolatuaren erantzuna τI-ren hainbat baliotarako.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
111
- Bode eta Nyquist. Erantzun frekuentziala (iragazkia)
11 c I c
cI I
K s KG(s) K
s s
τ += + = τ τ (10.16)
c I c
I
K wi KG(iw)
wiτ +=
τ (10.17)
2 2
2 2
I I
I I
c c c cc
K w K wi K KG(iw) K i
w w
τ − τ += = −
τ τ (10.18)
22
2
2 2
11
I I
cc c
KB K KA w w
= + = + τ τ
(10.19)
1I
I
c
c
Kw
arctag - arctag -K w
τ
φ = = τ
(10.20)
Magnitude-erlazioa
Fase-atzerapena
Magnitude-erlazioa
Fase-atzerapena
10.7 irudia. Bode-ren eta Nyquist-en diagramak PI kontroladore batentzat.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
112
10.5 Kontrol proportzional deribatua
- Transferentzia-funtzioa Kc-ren eta Dτ -ren araberakoa izango da.
c c D
d (t)C(t) K (t) K
dtε= ε + τ (10.21)
[ ]1c c D
C(s)G K s
(s)= = + τ
ε (10.22)
Demagun errorea modu jarraituan aldatzen ari dela. Bi izan daitezke arrazoiak: lehen, kontsigna-
puntua modu jarraituan aldatzea (serbo-arazoa); bigarren, aldagai kontrolatua modu jarraituan
aldatzea (erregulazio-arazoa).
ε = ε =d (t)A; (t) At
dt (10.23)
2(s)
As
ε = (10.24)
Demagun arrapala moduan aldatzen dela errorea; orduan, kontrol-seinalea 10.25 ekuazioaren
arabera aldatuko da. 10.26 ekuazioak Laplace transformatua adierazten du.
c c D c c D
d (t)C(t) K (t) K K At K A
dtε= ε + τ = + τ (10.25)
[ ]2 2 21c c D c c D c D(s) (s) (s)
A A AC K K s K K s K s
s s s= ε + τ ε = + τ = + τ (10.26)
0
ε(t)
0 t
c(t)
malda KcA
t
0 cs
Kc τDA
PD kontrola
P kontrola
τD
cs
0
ε(t)
0 t
c(t)
malda KcA
t
0 cs
Kc τDA
PD kontrola
P kontrola
τD
cs
10.8 irudia. PD kontroladore baten erantzuna, ε(t) A maldadun arrapala funtzio bat denean.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
113
- Akzio deribatua proportzionalarekiko aurreratu egiten da (10.8 irudia).
- t= Dτ egiaztatzen denean, kontrol-akzio proportzionalaren eragina (kontrol-seinalean)
deribatuarenaren berdina da.
- Offseta ez duenez eliminatzen, PD kontroladorea ez da oso erabilia.
- Erantzun frekuentziala aztertuz, neurgailuaren zarata anplifikatu egiten du akzio deribatuak.
Sarreraren (hau da, ε-ren) w altuetarako, B/A ALTUAK eragingo lituzke (hau da, C-ren balio
oso altuak).
[ ]1ω = + τc DG(i ) K wi (10.27)
2 2 2 2 2 21= + τ = + τC C D C D
BK K w K w
A (10.28)
( )φ = τDarctag w (10.29)
10.9 irudia. PD kontroladore batentzat Bode-ren diagrama.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
114
10.6 Kontrol proportzionala akzio integral eta deri batuarekin
- Transferentzia-funtzioa Kc-ren, Iτ -ren eta Dτ -ren araberakoa izango da.
0
tc
c c DI
Kd (t)C(t) K (t) K (t)dt
dtε= ε + τ + ε
τ ∫ (10.30)
11c c D
I
C(s)G K s
(s) s
= = + τ + ε τ
(10.31)
- Erantzun frekuentziala (bi akzioen eragina w-ren menpean).
11
ω = + + τ τ c D
I
G(i ) K wiwi
(10.32)
11
= + − τ τ
C DI
BK w
A w (10.33)
1φ = − + τ τ D
I
arctag ww
(10.34)
10.10 irudia. PID kontroladore batentzat Bode-ren diagrama.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
115
- Kontroladore komertzialen transferentzia-funtzioa.
PID kontroladore idealaren TFa ekuazio honen bidez adieraz daiteke:
11
= = + + τ ε τ c c D
I
C(s)G K s
(s) s (10.35)
PID kontroladore komertzialetan kontrol-akzioak seriean gertatzen dira (10.36).
111 1 1I
D D
I I
'' ' '
c c c' '
sC(s)G K s K s
(s) s s
τ + = = + + τ = + τ ε τ τ
(10.36)
Gainera, akzio deribatua moteldu egiten da (10.37), seinaleari iragazki bat ezarriz (α:0,05-0,2).
Azken horren helburua da zarataren anplifikazioa moteltzea.
1 1
1I D
I D
' ''
c c ' '
s sC(s)G K
(s) s s
τ + τ += =
ε τ ατ + (10.37)
Baliokidetasunak. PID idealaren (I DcK , ,τ τ ) eta PID komertzialaren (
I D
' ' 'cK , ,τ τ ) portaera berbera
lortzeko, bakoitzean ezarri behar diren parametroen arteko erlazioak hauek dira:
I D
I
I D
I D
I D
' ''
c c '
' 'I
' '
D ' '
K K τ + τ
= τ
τ = τ + τ
τ ττ =
τ + τ
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
116
11 GAIA: KONTROL-BEGIZTA ITXIKO TRANSFERENTZIA-FUNT ZIOA.
EGONKORTASUN KONTZEPTUA
Demagun kontrol-begizta itxi hau dugula:
Kontroladorea Eragilea Prozesua
Neurgailua
ysp
e c m
ym
y
+
_
Perturbazioa
d
Kontroladorea Eragilea Prozesua
Neurgailua
ysp
e c m
ym
y
+
_
Perturbazioa
d
11.1 irudia. Atzeraelikadurazko kontrol-begizta itxi baten bloke-diagrama.
Begizta osatzen duten lau elementuentzat (kontroladorearentzat, azken kontrol-elementuarentzat,
prozesuarentzat eta neurgailuarentzat) transferentzia-funtzioak hauek izango lirateke (transmisio-
lerroen transferentzia-funtzioa baztertuz):
Prozesua p d(s) (s) (s) (s) (s)Y G m G d= + (11.1)
Neurgailua m m(s) (s) (s)Y G Y= (11.2)
Kontroladorea sp m(s) y (s) y (s)ε = − (11.3)
cc(s) G (s) (s)= ε (11.4)
Azken kontrol-elementua fm(s) G (s)c(s)= (11.5)
KONTROL-BEGIZTA itxian transferentzia-funtzioa (TF) hau izango da:
1 1
c f p dsp
c f p m c f p m
G G G GY(s) Y (s) d(s)
G G G G G G G G= +
+ + (11.6)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
117
Froga:
f f c f c sp m
f c sp m
(s) (s)c(s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) Y (s)
(s) (s) (s) (s)Y(s)
m G G G G G Y
G G Y G
= −
−
= ε =
=
(11.7)
11.7 ekuazioa 11.1 ekuazioan ordeztuz hau lortzen da:
{ }p f c sp m(s) (s) (s) (s) (s) (s)Y(s)Y G G G Y G− = (11.8)
Eta Y(s) askatuz:
1 1
c f p dsp
c f p m c f p m
G G G GY(s) Y (s) d(s)
G G G G G G G G= +
+ + (11.6)
Atzeraelikadurazko kontrol-begizta batean bi izan daitezke kontrol-arazoak: serbo-arazoa eta
erregulazio-arazoa.
- Serbo-arazoa spY kontsigna-puntuaren aldaketa (d(s)=0 izanik)
- Erregulazio-arazoa Y aldagai kontrolatua Ysp-tik ahalik eta hurbilen mantentzea. Hau da, spY (s)=0 izanik, 0Y =
mantentzea.
- Kontrol-begizta itxiaren dinamikak elementu guztien (PROZESUA + neurgailua + kontroladorea
+ eragilea) dinamikaren eragina du. Perturbazioarenak ez.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
118
11.1 Kontrol-akzio proportzionalaren eragina KONTRO L-BEGIZTA itxian
Demagun hau dugula: 1m fG (s) G (s)= = eta c cG (s) K=
1 1
p c dsp
p c p c
G K GY(s) Y d(s)
G K G K= +
+ + (11.9)
Lehen mailako dinamika duen prozesu batentzat:
1
pp
p
G (s)Ks
=τ +
eta 1
dd
p
KG (s)
sτ +=
KONTROL-BEGIZTA irekian:
11
p d
p p
KY(s) m(s) d(s)
s
Ks
+τ +
=τ +
(11.10)
KONTROL-BEGIZTA itxian:
1 1
p c dsp
p p c p p c
K K KY(s) Y (s) d(s)
s K K s K K= +
τ + + τ + + (11.11)
Berrantolaturik:
1 1
' 'p d
sp' 'p p
K KY(s) Y (s) d(s)
s s= +
τ + τ + (11.12)
Hor:
1
p'p
p cK K
ττ =
+,
1
p c'p
p c
K KK
K K=
+,
1
' dd
p c
KK
K K=
+
Hau da, KONTROL-BEGIZTA itxian erantzuna AZKARRAGOA da ( 'p pτ < τ ).
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
119
Serbo-arazoaren kasurako, sp
AY (s)
s=
Azken parametro horien arabera:
1'p '
p
tY(t) A K ( exp( )
= − − τ (11.13)
spoffset Y (s) Y(s)= − (11.14)
1 1 11 1
'
p c' 'p p'
p p c p cp
K Kt Aoffset A A K ( exp( ) A K A
K K K K
− = − − = − = − = τ + + (11.15)
Erregulazio-arazoaren kasurako;
0spY (s) = eta D
d(s)s
= maila-aldaketako perturbazio bat (A anplitudeduna)
spoffset Y (s) Y(s)= −
00
1 1
''d dd's
p p c
K K DDoffset lim s K D
s s K K→
= − = − = − τ + + (11.16)
Offseta kontrol proportzionalaren ezaugarri bat da. cK handituz, offseta murriztu egiten da.
Baina cK oso handia bada, KB ezegonkortu daiteke....
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
120
Bigarren mailako prozesu batentzat:
2 2 1
pp
p
G (s)K
s s=
τ + ξτ + (11.17)
Serbo-arazoa:
2 2 1
pp
p
Y (s) m(s)K
s s=
τ + ξτ + (11.18)
KONTROL-BEGIZTA irekian:
2 2 1
pp
p
Y (s) m(s)K
s s=
τ + ξτ + (11.18)
KONTROL-BEGIZTA itxian:
1
p cp sp
p c
G KY (s) Y
G K=
+ (11.19)
2 2 2 1p SP
'pY (s) Y
K( ') s ' 's
=τ + ξ τ + (11.20)
Hor, 1 p c
'K K
τ+
τ= , 1 p c
'K K
ξ+
ξ= eta 1
p c'p
p c
KK K
K K=
+
KB itxian, 2. mailako sistema izaten jarraitzen du; denbora konstantea eta indargetze-faktorea murriztu egiten dira.
Erantzun dinamikoari dagokionez, nahikoa indargetua (ξ >1) den 2. ordenako sistema bat,
oszilakorra ( ξ <1), izatera pasa daiteke.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
121
Erantzun estatikoari dagokionez,
sp
AY (s)
s= bada,
1 p c
Aoffset
K K=
+
Yss
Uss
48.3
50.6
52.9
55.2
57.5
0.0
28.4
56.8
85.2
0 34 68 102 136 170 204 238 272 306
Start EndControl S ta tion: Gra phic Edit
Pro
cess
Var
iabl
eM
anip
ulat
ed V
aria
ble
Time
Kc= 0,5 Kc= 5 Kc= 25
Ald
agai
man
ipul
atua
Irte
era-
alda
gaia
Denbora
Yss
Uss
48.3
50.6
52.9
55.2
57.5
0.0
28.4
56.8
85.2
0 34 68 102 136 170 204 238 272 306
Start EndControl S ta tion: Gra phic Edit
Pro
cess
Var
iabl
eM
anip
ulat
ed V
aria
ble
Time
Kc= 0,5 Kc= 5 Kc= 25
Ald
agai
man
ipul
atua
Irte
era-
alda
gaia
Denbora 11.2 irudia. P kontroladorean irabazkinaren eragina serbo-arazoan 2. ordenako sistema batentzat. 11.2 Kontrol-akzio integralaren eragina KONTROL-BEG IZTA itxian
Aurreko prozedura berbera erabiliz:
1
c f psp
c f p m
G G GY(s) Y (s)
G G G G=
+ (11.21)
1. mailako prozesu batentzat:
1m fG (s) G (s)= = , 1
pp
p
G (s)Ks
=τ +
eta 1
c cI
G (s) Ks
=τ
1
11
1
1
τ=
+τ
τ +
τ +
pc
I psp
pc
I p
Ks
Y(s) Y (s)K
s
KsKs
(11.22)
( )2 2 1
'p
spY(s) Y (s)'
K
s ' 'sτ=
+ ξ τ + (11.23)
Hor, 1'pK = ,
I p
p c
'K K
τττ
= , I
p p c
'K K
ξ τ=τ
ysp
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
122
KB itxian erantzuna 2. mailakoa bihurtzen da; hau da, geldoagoa.
Hortaz, akzio integralak erantzunaren ordena handitzen du. Ordena handituz erantzuna moteldu
egiten da (ikus 5.5 irudia. ).
Itxura ξ -ren araberakoa da (offseta, aldiz, ez).
11.3 irudia. Irabazkina eta denbora integralaren eragina serbo-arazoan 2. ordenako sistema batentzat.
Erantzuna set-pointaren maila-aldaketa unitario batekiko (serbo-arazoa):
2 2
11
2 1Y (s)
s' s ' 's=
τ + ξ τ + (11.24)
[ ] 2 20 0 0
11
1 1
2 1 2 1s s s(s)Y(t ) lim s Y lim s lim
s' s 's ' s 's→ → →
→ ∞ ⋅ = = =
=
τ + ξτ + τ + ξτ + (11.25)
Hortaz:
1 1 0sp (t )offset Y Y → ∞= − = − =
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
123
11.3 Kontrol-akzio deribatuaren eragina KONTROL-BEG IZTA itxian
c c D
c(s)G K s
(s)= = τ
ε
1m fG (s) G (s)= =
- 1. mailako prozesu batean
1
1
1
pc D
psp
pc D
p
K s
Y(s) Y (s)K s
KsKs
τ=
+ τ
τ +
τ +
( ) ( )1 1
p c D p c Dsp sp
p p c D p p c D
K K s K K sY(s) Y (s) Y (s)
s K K s K K s
τ τ= =
τ + + τ τ + τ +
Akzio deribatuak ez du erantzunaren ordena aldatzen. Denbora konstantea handitzen da, eta
prozesua moteldu egiten da.
- 2. mailako prozesu batean Ez da erantzunaren abiadura aldatzen (denbora konstante berbera mantentzen da); indargetze-
faktorea handitu egiten da (oszilazioa murriztu), eta prozesua egonkortzen da.
11.4 Kontrol-akzio KONBINATUEN eragina KONTROL-BEGI ZTA itxian
PI-Proportzionala integrala
I ( Iτ ): ordena handitu eta offseta eliminatu. Igoera-denbora gutxitzen da, baina erantzuna
oszilakorragoa da.
P(Kc): igoera-denbora gutxitzen da, baina oszilakorragoa da.
PID-Proportzionala integral deribatua
Akzio deribatuak sistema egonkortzen du.
Kc handitu daiteke, sistema askorik ezegonkortu gabe. 11.5 Egonkortasunerako irizpideak
Begizta irekian prozesuak egonkorrak dira:
Eragile eta neurgailuen transferentzia-funtzioak (TF) kontuan hartuta:
Erantzuna ≅ 1. mailako proz. + denbora hila
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
124
Denbora hilik gabeko TFa dugunean
(bestela, Padé erabiliko da).
Kontrol-begizta ixtean prozesua ezegonkortu daiteke:
TF poloen arabera (izendatzailearen erroak)
1 1
c f p dsp
c f p m c f p m
G G G GY(s) Y d(s)
G G G G G G G G= +
+ +
Ekuazio karakteristikoa: 1 0c f p mG G G G+ =
Egonkorra, ez-oszilakorra (zenbaki erreal negatiboak)
Egonkorra, oszilakorra (zenbaki konplexuak, alde erreal negatiboak)
Ezegonkorra (alde erreal positiboren bat)
*Egonkortasuna ez da TF (Gd) perturbazioaren menpekoa (beste gainerako elementuena baizik).
• KB itxiaren egonkortasuna aztertzeko irizpide batzuk:
Routh-Hurwitz matrizea
Erroen kokapenaren araberako irizpidea (Padé-ren hurbilketa)
Nyquist-en diagrama
Egonkortasunerako Bode-ren irizpidea:
wc (φ=180°) → A/B (wc) →Mg=1/(A/B)c
w (A/B=1) → φ (w) → Mf=180 - ϕ
Irabazi-marjina: Mg=1,7
Fase-marjina: Mf =30°
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
125
12 GAIA: PID kontroladoreen sintonizazioa
Gai honetan, kontroladorea sintonizatzeko teknikak ikasiko dira. Teknika horiek oinarritzen dira
prozesuaren denboraren eremuko erantzunean eta erantzun frekuentzialean.
- K, τI eta τD parametroek kontrol-aukera zabala ematen dute.
- Diseinua egiteko prozesuaren eredua beharrezko da. Bestela, prozesuaren eredu hurbildu bat
garatu beharko da. (FOPDT batera hurbildu daiteke).
- Ereduaren parametroak (Kp, τp, td) ezaguturik, horien arabera, Kc, τI eta τD aukeratuko dira.
- K-ren, τI-ren eta τD-ren behin betiko balioak esperimentalki zehaztu behar dira, saiakuntza-
errore metodoa baliatuz.
12.1 Atzeraelikadurazko kontroladoreen sintonizazio a
Kontroladorea sintonizatzekoa, honako urrats hauek egiten dira:
1. Bi dira galdekizun nagusiak:
Kontrol mota (P, PI, PID)
Parametroen sintonizazioa (K-ren, τI-ren eta τD-ren balioa)
2. Diseinu-irizpideak ezarri:
Prozesuaren erantzun dinamikoa: lortu nahi den erantzunaren ezaugarriak (oszilakorra,
indargetua, azkarra, offset gabea, eta abar).
3. Horretaz gain, gogoratu honako hauek:
Erabilitako eredua, operazio-baldintza baterako bakarrik da egokia, prozesu kimikoak ez-
linealak baitira...
Aldagai manipulatuak ez ditu aldaketa bortitzak jasan behar (balbula hondatu egin daiteke).
2. puntuan, zer-nolako erantzuna nahi dugun aukeratu behar da, baina…
Zeren arabera? Irizpideren bat erabili beharko da.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
126
12.2 Irizpide motak
- Sistemaren erantzuna aldatuko da, sarrera-aldagaia (serbo- edo erregulazio-arazoa) eta
sarrera mota (maila-aldaketa, bulkada,...) nolakoak diren kontuan izanda. Ondorioz, Kp, τ eta td
ere bai.
- Oro har, kontsigna-puntuan maila-aldaketa bati prozesuak ematen dion erantzunaren arabera
sintonizatzen da kontroladorea.
- Dena den, serbo- edo erregulazio-arazoa izateak ez ditu asko aldatzen diseinuaren ondorioz
lortuko diren Kc, τI eta τD balioak. Gogoratu KONTROL-BEGIZTA ITXIAREN dinamika
antzekoa dela bi kasuotan. Hona hemen, adibidez, lehen ordenako prozesu baten kontrola, P
kontroladore batekin egiten denean:
1 1
p c dsp
p p c p p c
K K KY(s) Y (s) d(s)
s K K s K K= +
τ + + τ + + (12.1)
12.3 Erantzun-irizpide sinpleak (ezaugarri zehatz b atean oinarrituak)
Erantzunaren ezaugarri zehatz batean oinarritzen dira:
i. gaindikina
ii. igoera-denbora
iii. ezarpen-denbora
iv. gainbeherapen-erlazioa
v. oszilazio-frekuentzia
vi. ....
Irizpide bakoitzak emango du kontroladorearen Kc, τI eta τD hirukote desberdin bat.
Ingeniariaren erabakia beharrezkoa da...
Oro har, irizpiderik erabilienetariko bat da gainbeherapen-erlazioa=1/4 izatea, hau da, erantzun
indargetuegia (oszilakorra), zeinetan bigarren oszilazioaren anplitudea lehenengoaren laurdena
baita. (Horrela, igoera-denboraren eta ezarpen-denboraren arteko konpromisoa bilatzen da).
12.1 adibidea: 1. mailako prozesua eta PI kontroladorea.
2 2
1
2 1I
sp
sY(s) Y (s)
' s 'τ +=
τ + ξτ + (12.2)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
127
I p
p c
'K K
τ ττ = ( )1
12
Ip c
p p c
K KK Kτξ = +
τ
Beraz, kontrol-begizta itxiak 2. mailako dinamika erakutsiko du.
Kontroladorearen parametro optimoak aukeratzeko irizpidea: gainbeherapen-erlazioa=1/4.
2
1
Cexp
A 2
− πζ= −ζ (12.3)
( )
( )
2 11
41 1
2
1 τ− π + 2 τ = = 1 τ− + 4 τ
Ip c
p p c
Ip c
p p c
K KK KC
expA
K KK K
(12.4)
Laburturik:
( ) ( ) 12 1
44 12
τ − π + = τ − τ +
Ip c
p p c I p c
K K lnK K K K
(12.5)
Ekuazio horrek bi ezezagun dituenez, Kc eta τI balioen bikote ugari izango dira emaitza posibleak.
Kc=10, τI=0.464 Kc=30, τI=0.348
Kc=50, τI=0.258
12.1 irudia. Hainbat Kc eta τI baliotarako KB itxiaren erantzuna serbo-arazorako.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
128
12.4 Denboraren eremuko erantzunean oinarritutako i rizpideak
Diseinua errorearen integralean oinarritzen da. Integral hori hainbat modutan defini daiteke, kasu
bakoitzean esanahi fisiko bat izanik.
Diseinu-irizpide bakoitzak eragingo du KB itxiaren erantzun dinamiko edo portaera bat.
1. Errorearen karratuan oinarritutako integrala (ISE)
0
2(t)ISE ε dt
∞
= ∫ (12.6)
Errorearen balio altuenek dute eraginik handiena integral horren balioan. Lortutako kontroladoreak
ahalik eta azkarren hurbilduko du prozesua bere azken egoeretara, hasieran 2 (t)ε baita balio
maximoa.
2. Errorearen balio absolutua (IAE)
0
(t)IAE dt∞
= ε ∫ l l (12.7)
Errorearen balio absolutuak eragina duenez integralaren balioan, errore positibo zein negatiboen
balioek ere eragina dute. Erantzun-denbora osoan zehar errorea ahalik eta txikiena izan dadin
saiatuko da kontroladorea. Lehen eta hirugarren adierazpenen batezbestekoa da.
3. Errorearen balio absolutu haztatua (ITAE)
0
(t)ITAE t dt∞
= ⋅ ε ∫ l l (12.8)
Erantzunaren denbora luzeetan oraindik irauten duen erroreak du eraginik handiena integral
horren balioan. Erantzun-denbora luzeetan errorea minimoa (edo zero) izan dadin saiatuko da
kontroladorea.
1. 2
0
ISE (t) dt
∞
= ε ∫ 2. 0
IAE (t) dt
∞
= ε ∫ l l 3. 0
ITAE t (t) dt
∞
= ⋅ ε ∫ l l
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
129
Denbora
Erantzuna
12.2 irudia. Kontrol-begizta itxiaren erantzuna hainbat irizpideren arabera.
Kontuan izan:
Hauek dira Kc-n, τI-n eta τD-n eragina duten faktoreak:
I. Nahi dugun erantzun mota edo irizpidea (IAE, ISE, ITAE)
II. Aukeratutako sarrera-aldagaia (kontsigna-puntua edo perturbazioa)
III. Sarrera mota (maila-aldaketa, bulkada,...)
12.2 adibidea. Azter dezagun 12.3 irudiko sistema.
ysp
ε c m
ym
y
+
_
d
11
= + τ c c
I
G Ks 1=
fG 20
1=
+pGs
1
1=
+dGs
++
1=m
G
ysp
ε c m
ym
y
+
_
d
11
= + τ c c
I
G Ks 1=
fG 20
1=
+pGs
1
1=
+dGs
++
1=m
G
12.3 irudia. Atzeraelikadurazko kontrol-begizta bat.
Kontroladorearen diseinurako ISE irizpidea aukeratuz gero, kontsigna-puntuan maila-aldaketa
baterako:
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
130
2 2
1
1 1 1 1
20
1 1
20 20 20 20
τ += +
+ τ + + + τ + +
τ
τ τ
I
Isp
I II I
c
c c c c
ss
Y(s) Y (s) d(s)
s s s s
K
K K K K
(12.9)
2 2 2 1
1 20
2 1
I
spcI
sY(s) Y (s) d(s)
' s ss K
' s s+
τ + ξτ +
ττ +=
τ + ξτ + (12.10)
Hor:
20I
c
'K
τ τ= ; ( )11 20
2 20ξ +τ= I
cc
KK
(12.11)
Eta denboraren eremura itzuliz:
22 2 1
2
11 1 1
1
t
Ie t tY(t) sen sen tan
ξ−τ
− − ξτ
= + − ξ − − ξ + τ τ τ ξ − ξ (12.12)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
131
Hortaz, helburura, 12.13 integralaren balioa minimizatzea da:
( )20
ISE Ysp Y(t) dt∞
= − ∫ (12.13)
Horretarako, 12.14 ekuazioko baldintza betetzen duten *ξ eta *'τ balioak kalkulatu behar dira.
( ) ( )0
ISE ISE∂ ∂= =
∂τ ∂ξ (12.14)
Eta *ξ eta *τ balioetatik 12.11 ekuazioaren arabera Kc -ren eta τI -ren balioak kalkulatuko
lirateke.
Ohartu:
Perturbazio-aldagaian egindako aldaketa erabiliko balitz kontroladorea sintonizatzeko, orduan
aurreko prozedura berari jarraituz, Kc-ren eta τI-ren beste balio batzuk eratorriko genituzke (nahiz
eta optimizazio-irizpidea bera izan, ISE). Hala gertatzen da, 12.13 ekuazioko integralean agertzen
den denboraren eremuko erantzuna, Y(t), ezberdina delako.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
132
12.5 Kontroladorearen parametroak sintonizatzeko me todoak
Sintesi zuzena
Barne-ereduaren metodoa
Erreakzio-kurbaren metodoa
Ziegler-Nichols-en metodoa (erantzun frekuentzialean oinarritua)
12.5.1 Sintesi zuzena
1 1= +
+ +c f p d
spc f p m c f p m
G G G GY(s) Y (s) d(s)
G G G G G G G G (12.15)
G=GfGp eta Gm=1 definituz:
1=
+c
sp c
G GY(s)Y (s) G G
(12.16)
Gc askatuz 12.17 ekuazioa lortzen da:
1
1
= −
sp
sp
c
Y(s)Y (s)
Y(s)Y (s)
GG
(12.17)
Kontrolatu nahi den prozesuaren eredu bat (G) eta baita kontrol-begizta itxian lortu nahi
litzatekeen erantzuna sp
Y(s)Y (s)
ezagututa, horiek 12.17 ekuazioan ordeztuz, beharrezkoa
litzatekeen kontroladorea (Gc) kalkula daiteke.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
133
Demagun nahi dugun KONTROL-BEGIZTA itxian erantzuna lehen mailako sistema batena dela.
1
1=
τ +sp c
Y(s)Y (s) s
(12.18)
Bestalde, serbo-arazoaren aurrean, KONTROL-BEGIZTA itxiaren erantzuna honela adieraz
daiteke, kontroladorearen (Gc-ren) eta prozesuaren (G-ren) TFen arabera:
1
c
sp c
G GY(s)Y (s) G G
=+
(12.19)
12.18 eta 12.19 ekuazioak berdinduz:
1
1 1= =
+ τ +c
sp c c
G GY(s)Y (s) G G s
(12.20)
Eta Gc askatuz 12.21 ekuazioa lortzen da.
1 1=τc
c
GG s
(12.21)
12.3 adibidea:
a)
1=
τ +K
G(s)s
(12.22)
1 1 1 1 11
τ + τ = = = + τ τ τ τ c
c c c
sG
G s K s K s (12.23)
Hau da, PI kontroladore bat beharko litzateke, non τ=
τcc
KK
eta Ιτ = τ betetzen baitira.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
134
b)
( ) ( )1 11 2
=τ + τ +
KG(s)
s s (12.24)
( )( ) ( )
1 1 11c
c c
G sG s K s
1 2 1 2
1 2 1 2
τ + τ τ τ= = + + τ τ τ + τ τ + τ (12.25)
Hau da, PID ideal baten transferentzia-funtzioa den adierazpen bat (12.25 ekuazioa) lortzen da.
Denbora hila duen prozesu batentzat:
Prozesuak denbora hila badauka, KB itxian edukiko genukeen dinamikak ere denbora hila edukiko
luke:
1
−
=τ +
ct s
sp c
Y(s) eY (s) s
(12.26)
non tc eta τc diseinu-parametroak baitira.
Kontu izan KB itxiak ezin edukiko duela prozesuak berak duen denbora hila baino denbora hil
txikiagoa. Hau da, tc ≥td egiaztatu behar da.
Horrela, tc = td aukeratuta eta 12.26 ekuazioa 12.17 diseinu-ekuazioan ordeztuz, 12.27 ekuazioa
eratortzen da:
1
1
−
−=τ + −
c
c
t s
c t sc
eG (s)
G s e (12.27)
Izendatzailea lehen mailako Taylor-en serie batera hedaturik, 1dt sde t s− ≈ − :
( )1
−
=τ +
ct s
cc d
eG (s)
G t s (12.28)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
135
12.4 adibidea:
a)
1
−=τ +
dt sKG(s) e
s (12.29)
tc=td aukeratuz eta 12.29 ekuazioa 12.28 ekuazioan ordeztuz, PI kontroladore bat beharko
litzatekeela ondorioztatzen da (gogoratu: KB itxiaren erantzuna 12.26 ekuazioak emandakoa izan
dadin). Hor, 1 τ=
+ τcd c
KK t
eta Ιτ = τ betetzen dira.
Ohartu Kc murriztu behar izaten dela denbora hila duen prozesu batentzat, denbora hila ez duen
baten aldean (12.23 ekuazioa).
b)
( )( )1 1
−
1 2
=τ + τ +
dt sKG(s) e
s s (12.30)
Aurreko prozedura berari jarraituz PID bat lortzen da, non hau egiaztatzen baita:
( )1 1 2τ + τ=
+ τcd c
KK t
( )Ι 1 2τ = τ + τ
( )1 2
1 2
d
τ ττ =τ + τ
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
136
12.5.2 Barne-ereduaren metodoa (modelo interno)
Bi abantaila nagusi ditu:
Ereduaren (transferentzia-funtzioaren) zehaztasun falta hartzen du kontuan.
Kontrol-begizta sendoago bat lortzen da.
Prozesuaren eredua ( ) ezagutuz, b) kontrol-begizta eraiki daiteke.
G(s)-k instrumentazioa bera ere aintzat hartzen du (eragilea, prozesua).
Gc Gysp c y+
_
d
++
Gc Gysp c y+
_
++
ĞGɶ+
_Barne-eredua
ProzesuaKontroladorea
ProzesuaKontroladorea
a) Atzeraelikadurazko kontrol-begizta
b) Barne-ereduko atzeraelikadurazko kontrol-begizta
d
*
Gc Gysp c y+
_
d
++
Gc Gysp c y+
_
++
ĞGɶ+
_Barne-eredua
ProzesuaKontroladorea
ProzesuaKontroladorea
a) Atzeraelikadurazko kontrol-begizta
b) Barne-ereduko atzeraelikadurazko kontrol-begizta
d
Gc Gysp c y+
_
d
++
Gc Gysp c y+
_
++
ĞGɶ+
_Barne-eredua
ProzesuaKontroladorea
ProzesuaKontroladorea
a) Atzeraelikadurazko kontrol-begizta
b) Barne-ereduko atzeraelikadurazko kontrol-begizta
d
*
12.4 irudia. Hainbat kontrol-konfigurazioen bloke-diagrama.
Kontroladorearen irteera-ereduaren sarrera da. Azken horren irteera benetako prozesuaren
irteerari kentzen zaio.
12.4 irudiko bi begiztak berdinak dira, Gc-ren eta Gc*-ren arteko erlazio hau betetzen bada:
1
*C
c *C
GG
G G=
− ɶ (12.31)
Hortik, kontrol-begizta itxirako TRANSFERENTZIA-FUNTZIO hau kalkula daiteke:
1
1 1
* *C C
sp* *C C
G G G Gy(s) y (s) d(s)
G (G G) G (G G)
−= ++ − + −
ɶ
ɶ ɶ (12.32)
Gɶ
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
137
Eta eredua (TF), perfektua balitz: G G=ɶ .
1= + − ɶ* *C sp Cy(s) G G y (s) ( G G) d(s)
(12.33)
Kontroladorea (Gc) diseinatzeko, lehenbizi *cG kalkulatu beharko da. Bi etapatan egiten da
diseinua:
1.- Prozesuaren eredua bi transferentzia-funtziotan zatitu, G G G+ −=ɶ definituz. G+ zatiaren
irabazkinak unitatea izan behar du, eta prozesuaren denbora hila eta alde erreal positiboa duten
zeroak hartuko ditu. Gɶ -ren gainerako elementuak (irabazkina, poloak, eta abar) G− zatiak
hartuko ditu.
2.- *cG honela definitzen da:
1*cG f
G−
= (12.34)
Hor, f lehen mailako atzerapena (behe-paseko iragazkia) da. Hau da, frekuentzia baxuko seinaleei
baino ez die pasatzen uzten.
1
1 rc
f( s )
=τ +
(12.35)
cτ kontrol-begizta itxian nahi dugun denbora konstantea da, eta r, zenbaki oso bat.
*cG -k
1
G−
baino ez duenez egonkorra eta fisikoki egingarria da. 1
G+
izan balu, dt se+ edo polo
ezegonkorren bat izango luke.
Eredua (TF) perfektua balitz (G G=ɶ ) eta *cG kontroladorearen TFa kontuan hartuta:
1spy(s) G f y (s) ( f G d(s)+− += + − ) ɶ ɶ (12.36)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
138
Hortaz, serbo-arazorako TFa honako hau litzateke:
sp
y(s)G f
y (s) +−= ɶ
(12.37)
Orain arte:
Matematika-irizpideetan (ISE, IAE, ITAE) edo kontrol-teorian (sintesi zuzenean, barne-
ereduan) oinarritutako metodoak ikusi ditugu.
Prozedura hori luzea eta konplexua izateaz gain, EREDU (TRANSFERENTZIA-FUNTZIO)
zehatz eta oso fidagarria ezagutuz gero bakarrik erabil daiteke.
Badaude zenbait irizpide sinpleagoak direnak, honako elementu hauetan oinarrituak:
Prozesuaren eredu sinple bat eratorri behar da, oro har, lehen ordena + denbora hila.
Maila-aldaketa motako sarrera bat, kontsigna-puntuan edo perturbazioan.
Erantzun-irizpide bat (IAE, ISE, ITAE, gainbeherapen-erlazioa=1/4, offset=0,...).
Horien arabera (Kp, τp eta td), zenbait autorek adierazpenak garatu dituzte, kontroladore mota
bakoitzarentzat (P, PI, PID) erantzun optimoa ematen duten parametroak (Kc, τI eta τD)
kalkulatzeko.
12.5.3 Erreakzio-kurbaren metodoa
Kontrol-begizta irekian A anplitudeko maila-aldaketa bat eragiten da c kontrol-seinalean.
Lorturiko erantzuna “erreakzio-kurba” da (eragilea + prozesua + sentsorea).
mCRP f p m
y (s)G (s) G (s)G (s)G (s)
c(s)= =
(12.38)
Gc Gf Gp
Gm
ysp(s)
ε(s)
c(s)=A/s
m(s)
ym(s)
y(s)
+
_
Gd
d(s)
+ +
12.5 irudia. Kontrol-begizta irekia.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
139
td
s
Bym
t td
Bym
t
Erantzun hurbildua
Malda=s
Benetako erantzunaa) b)
12.6 irudia. a) Prozesuaren erreakzio-kurba. b) Lehen ordena + denbora hila ereduaren bidezko hurbilketa. Industria-prozesu ia guztiek kontrol-begizta irekian itxura sigmoidala duen erantzuna ematen dute.
Hortaz, lehen maila + denbora hila duen sistema batera hurbildu daitezke.
1
dt sm
CRP
y (s) KeG (s)
c(s) s
−
= ≈τ +
(12.39)
Hiru parametro kalkulatu behar dira: τ, K, eta td.
K =irteera (egoera egonkorra heldu ondoren)
sarrera
τ =KA
malda=
BS
td sistemak (hurbilketak) erantzuten hasi arte igarotako denbora.
Behin hiru parametro horiek kalkulaturik, Cohen-Coon egileek kontroladore mota bakoitzarentzat
parametro optimoak (perturbazioko maila-aldaketa, offset minimoa, ISE, ¼ gainbeherapen-
erlazioa,...) proposatzen dituzte.
P kontroladorea: 1
1 dc
d
tK
K tτ = + 3τ
(12.40)
PI kontroladorea: 1
0 9 dc
d
tK ,
K tτ = + 12τ
(12.41)
30 3
9 20
d
I dd
tt
t
+ ττ =+ τ
(12.42)
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
140
PID kontroladorea: 1 4
3
dc
d
tK
K tτ = + 4τ
(12.43)
32 6
13 8
d
I dd
tt
t
+ ττ =+ τ
(12.44)
4
11 2D d
d
tt
τ =+ τ
(12.45)
Gogoratu:
� Prozesuaren dinamikak lehen maila+denbora hila itxura hartu behar du.
� Gehienetan betetzen da hori. Izaera oszilakorra kontroladorearen dinamikatik datorrelako.
� Ohartu, gainera, Kc (PI)<Kc (P)<Kc (PID) erlazioa betetzen dela.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
141
12.5.4 Ziegler-Nichols-en metodoa
Erantzun frekuentzialean oinarritutako metodoa.
Aurrekoa ez bezala, kontrol-begizta itxian sistemaren erantzunean oinarritzen da.
Egoera nominalean, modu automatikoan, eta akzio proportzional hutsarekin kontsigna-puntuan
maila-aldaketa bat egiten da.
Kc handituz goaz, erantzunak oszilazio iraunkorra agertu arte.
Irabazkinaren balio hori, Ku, “azken irabazkina” da, eta frekuentzia hori, wu, “azken frekuentzia”.
Balio horietatik abiaturik, bi parametro hauek kalkula daitezke:
1 1uK
BMA
= =
(12.46)
2u
u
P ,denbora / ziklow
π= (12.47)
Ziegler eta Nichols-ek, balio horietan oinarrituta, proposatzen dute kontroladorearen parametro
optimoak honako hauek direla:
12.1 taula. Ziegler-Nichols parametroak.
Kc τI, min τD, min
Proportzionala Ku/2 --- ---
PI Ku/2,2 Pu/1,2 ---
PID Ku/1,7 Pu/2 Pu/8
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
142
16.4 adibidea. Kalkulatu parametro optimoak Ziegler-Nichols metodoaren arabera.
1
1 1PG (s)
s ) s )=
(5 + (2 +
1
1mG (s)
s )=
(10 + fG (s) = 1
Akzio proportzional hutsa erabiliz:
-180º=tan-1 (–5Wu)+ tan-1 (–2Wu)+ tan-1 (–10Wu)
Wu=0,415 rad/min
Frekuentzia horretarako magnitude-erlazioa (B/A):
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1
5 1 2 1 10 1u u u
BA w w w
=+ + +
=0,08
Horregatik, azken irabazkina: Ku=1/0,08=12,6 eta Pu=2π/wu=15,14 min/ziklo
Parametro optimoak Ziegler-Nichols metodoaren arabera
P kontroladorea: Kc=12,6/2=6,3
PI kontroladorea: Kc=12,6/2,2=5,7 τI=15,14/1,2=12,62
PID kontroladorea: Kc=12,6/1,7=7,4 τI=15,14/2=7,57 τD=15,14/8=1,89
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
143
12.6 Kontroladoreak sintonizatzeko metodoak
LEHEN ORDENAKO EREDUA Denboraren eremuan Laplace eremuan
( ) ( ) ( )p p
tt t
dyy K u
dtτ + = ⋅ ( )
( ) 1
p
p
s
s
KYU s
=τ +
Barne-eredua (IMC)
CK Iτ Dτ
PI p
p cK
ττ
cτ ---
LEHEN ORDENA + DENBORA HILA EREDUA
Denboraren eremuan Laplace eremuan ( ) ( ) ( )p p d
tt t t
dyy K u
dt−τ + = ⋅ ( )
( ) 1dp t s
p
s
s
KYe
U s−=
τ +
Sintesi zuzena
Kontrolad. CK Iτ Dτ
PI ( )p
p d cK t
τ1+ τ
pτ ---
Cohen-Coon
P 1
1p d
d p
t
K t
τ+ 3τ
--- ---
PI 1
0 9p d
p d p
t,
K t
τ+ 12τ
30 3
9 20
d
pd
d
p
t
tt
+ τ
+ τ
---
PID 1 4
3
p d
d
t
K t
τ + 4τ
32 6
13 8
d
pd
d
p
t
tt
+ τ
+ τ
4
11 2
d
d
p
tt+ τ
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
144
LEHEN ORDENA + DENBORA HILA EREDUA
ITAE serbo-arazorako
Kontrolad. CK Iτ Dτ
PI
0 916,
d
pp
tK
−0,586 τ
1 03 0 165
p
d
p
t, ,
τ − τ
---
PID
0 855,
d
pp
tK
−0,965 τ
0 796 0 147
p
d
p
t, ,
τ − τ
0 929,
dp
p
t 0,308τ τ
ITAE erregulazio-arazorako
P
1 084,
d
pp
tK
−0, 490 τ
--- ---
PI 0 977
0 859,
d
pp
, tK
− τ
0 680
0 674
,p d
p
t,
τ τ
---
PID 0 947
1 357,
d
pp
, tK
− τ
0 738
0 842
,p d
p
t,
τ τ
0 995,
dp
p
t 0,381τ τ
IAE serbo-arazorako
PI 0 861,
d
pp
tK
−0,758 τ
1 02 0 323
p
d
p
t, ,
τ − τ
PID 0 869,
d
pp
tK
−1,086 τ
0 740 0 130
p
d
p
t, ,
τ − τ
0 914,
dp
p
t 0,348τ τ
IAE erregulazio-arazorako
P
0 985,
d
pp
tK
−0,902 τ
--- ---
PI
0 986,
d
pp
tK
−0,984 τ
0 707
0 608
,p d
p
t,
τ τ
---
PID 0 921,
d
pp
tK
−1,435 τ
0 749
0 878
,p d
p
t,
τ τ
1137,
dp
p
t 0,482τ τ
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
145
BIGARREN ORDENAKO EREDUA Denboraren eremuan Laplace eremuan
( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 22 p
tt t
d yy K u
dtτ τ + τ + τ = ⋅
( )( ) ( )2
1 2 1 21
ps
s
KYU s s
=τ τ + τ + τ +
Barne-eredua (IMC)
CK Iτ Dτ
PID ( )1 2
p cK
τ + ττ
1 2
τ + τ 1 2
1 2
τ ττ + τ
BIGARREN ORDENA + DENBORA HILA EREDUA Denboraren eremuan Laplace eremuan
( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 22 p d
tt t t
d yy K u
dt−τ τ + τ + τ = ⋅
( )( ) ( )2
1 2 1 21
dp t ss
s
KYe
U s s−=
τ τ + τ + τ +
Sintesi zuzena
CK Iτ Dτ
PID ( )1 21
p c dK t
τ + ττ +
1 2
τ + τ 1 2
1 2
τ ττ + τ
ZIEGLER-NICHOLS METODOA
CK Iτ Dτ
P 0 5 Cu, K --- ---
PI 0 45 Cu, K 1 2uP , ---
PID 0 6 Cu, K 2uP 8uP
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
146
13 GAIA: ROUTH-EN IRIZPIDEA ETA ERROEN KOKAPENA
13.1 Routh-en irizpidea
Ekuazio karakteristikoaren erro positiboen kopurua jakiteko erabil daitekeen irizpide guztiz
aljebraikoa da. Hala, KB itxia egonkorra den ala ez aurrez esan daiteke.
Prozedura:
i) Ekuazio karakteristikoa polinomio gisa idatzi:
1 2
0 1 20− −+ + + + =n n n
na s a s a s ... a
Sistema egonkorra izateko, batugaiek BETI positiboak izan behar dute.
Positiboak badira, sistema egonkorra edo ezegonkorra izan daiteke.
ii) Routh-en matrizea eraiki.
Lerroa 1 a0 a2 a4 a6 2 a1 a3 a5 a7 3 b1 b2 b3 4 c1 c2 c3 5 d1 d2 6 e1 e2 7 f1
n+1 g1 Matrizearen ezaugarria batzuk:
� Matrizeak n+1 lerro ditu. n da KB irekiko TFren ordena.
� n bikoitia bada, lehen lerroak elementu bat gehiago du.
� Lehen zutabean elementu negatiborik bada, erro positiboen kopurua zeinu-aldaketa kopuruaren berdina da.
� Alde errealik gabeko erro konplexurik badago, eta gainerako erroen alde errealak negatiboak badira, n-garren lerroko elementu guztiak zero dira. Aldiz, n-1 lerroak bi elementu izango ditu, eta biak ez dira zero izango. Erro horiek kalkula daitezke: Cs2+D=0 ebatziz, non C eta D baitira n-1 lerroko elementuak ezkerretik hasita. (Ohartu erro horien balioa kontuan izanda prozesuaren denbora konstantea kalkula daitekeela, ikus (6.16) ekuazioa).
iii) Egonkortasunerako araua: erro guztiak negatiboak izan daitezen, —hau da, sistema egonkorra
izateko—, beharrezkoa eta nahikoa da lehen zutabeko elementuak positibo izatea eta zero ez
izatea.
Ohartu metodo honek ez dituela erroen balioak kalkulatzen Kc bakoitzerako. Hau da, erroak konplexuak izatera
heltzeko edota alde erreal positiboa izatera heltzeko zenbat aldatu behar den Kc ez da ezagutzen.
1 2 0 31
1
−= a a a ab
a
1 3 1 21
1
−= b a a bc
b 1 5 1 3
2
1
−= b a a bc
b
1 4 0 52
1
−= a a a ab
a
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
147
13.2 Erroen kokapena
Ekuazio karakteristikoaren erro posible guztiak ezaguturik, KB itxiak eduki ditzakeen erantzun
dinamiko posible guztiak ezagutu ahal izango genituzke.
Adibidez, serbo- edo erregulazio-arazoaren aurrean (ikus 3.1):
Inoiz ezegonkortuko al da sistema?
Erantzuna indargetua/oszilakorra izan daiteke inoiz?
Zer oszilazio-maila izango du?
Erro posible guztiak erroen kokapen deritzon adierazpen grafiko baten bidez adierazten dira (lugar
de las raíces).
Demagun elementu hauek dituen kontrol-begizta bat dugula:
c cG (s) K= 1 2
1
1 1=
(τ + (τ +pG (s)s ) s )
3
1
1=
(τ +mG (s)s )
1=fG (s )
KONTROL-BEGIZTA irekia honako hau litzateke:
1 2 31 1 1
=(τ + (τ + (τ +
cKG(s)
s ) s ) s ) (13.1)
Berrantolaturik:
1 2 3
KG(s)
(s - p )(s - p )(s - p )= (13.2)
1 2 3
=τ τ τ
cKK
11
1= − τp 2
2
1= − τp 3
3
1= − τp
p1,p2 eta p3 G(s)-ren poloak dira. Poloek G(s) infinitu egiten dute.
Ekuazio karakteristikoa honako hau izango litzateke,
1 2 3
1 0K
(s - p )(s - p )(s - p )+ = (13.3)
Eta ekuazio hori berrantolaturik:
1 2 3 0s p ) s p ) s p ) K( − ( − ( − + = (13.4)
Demagun 1 2 31 0 5 1 3, , , /τ = τ = τ = dugula.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
148
60 5 0 331 1 2 3 1 2 3
1 0 5 1 13
c
c c
KK K, ,G(s)
(s )(s )(s ) (s )(s )(s )(s )( , s )( s )
⋅= = =+ + + + + ++ + +
(13.5)
Ekuazio karakteristikoa honako hau izango litzateke:
1 2 3 0(s )(s )(s ) K+ + + + = (13.6)
Hor, K=6kc egiaztatzen da (eta kc kontroladorearen irabazkina). Ekuazio hori polinomio gisa
hedaturik:
3 26 11 6 0s s s (K )+ + + + = (13.7)
Kc-ren balioetarako ekuazio horren erroak aldatu egingo dira.
Erro horien adierazpen grafikoa ardatz erreal eta konplexuan egiten da 13.1 irudian adierazten
den bezala.
Ohartu ekuazio karakteristikoaren erroek adierazten dutela zein den KB itxiaren portaera dinamikoa.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
149
13.1 taula., 1 2 3 0s ) s ) s ) K( + ( + ( + + = ekuazio karakteristikoaren erroak.
K=6Kc r1 r2 r3 0 -3,00 -2,00 -1,00
0,23 -3,10 -1,75 -1,15 0,39 -3,16 -1,42 -1,42 1,58 -3,45 -1,28-0,75i -1,28+0,75i 6,6 -4,11 -0,95-1,5i -0,95+1,5i
26,5 -5,10 -0,45-2,5i -0,45+2,5i 60,0 -6,00 0-3,32i 0+3,32i 100,0 -6,72 0,35-4,0i 0,35+4,0i
K>K2(0,39): erroetariko batek alde konplexua dauka.
K>K3(60): erroren baten alde erreala positibo izatera pasatuko da.
0 1 2 3 4 5 6 7 8-3
-2
-1
0
1
2
3
Denbora (sec)
Anp
litud
ea
Kc=6,6/6
Kc=60/6
Kc=26,6/6
Kc=100/6
a) b)
c)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Denbora (sec)
Anp
litud
ea
Kc=0,23/6 Kc=0,39/6
Kc=1,58/6
Kc=6,6/6b)
13.1 irudia. Erroen kokapenaren eta denboraren eremuko erantzun dinamikoaren arteko erlazioa. a) Erroen kokapena. b) Denboraren eremuko erantzun dinamikoa (K=6kc=0,23;0,39;1,58). c) Denboraren eremuko erantzun dinamikoa (K=0,39 kritikoki indargetua; K=6,6; K=60 marjinalki egonkorra; K=100 ezegonkorra).
KB itxiaren erantzun dinamikoa nolakoa izango den aurrez esan genezake, K-ren arabera. Azken
hori diseinu-parametroen menpekoa izango da (Kc, τI, τD).
Baina erabilitako prozedura luzea da.
Badaude zenbait arau erroen kokapenaren eskema bat eraikitzeko.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
150
13.3 Erroen kokapenaren eskema marrazteko arauak (a tzeraelikadura negatiboa)
1. Adar kopurua KONTROL-BEGIZTA irekiaren polo kopurua da.
2. Adarrak poloetatik irten eta zeroetan bukatzen dira. n-m adarrak infiniturantz doaz.
3. Ardatz erreala erroen kokapenaren parte da, eskuinetara dituen poloen eta zeroen kopurua
bakoitia bada.
4. 2. arauan aipaturiko n-m aldeak (lerroak) asintotikoki infiniturantz doaz. Asintotak polo eta
zeroen grabitate zentrotik abiatzen dira.
1 1= =−
γ =−
∑ ∑n m
j ij i
p z
n m (13.8)
Asintota horiek ardatz errealarekiko duten angelua: [ ]2 1( k ) (n m)π + − .
Hor, K=0,1,2,...,n-m-1.
5. Ardatz errealetik ateratzen diren adarrak 13.9 ekuazioa betetzen duten s-ren balioetatik
aterako dira (angelua ±π). (Haztatuz ebatz daiteke).
1 1
1 1
= ==
− −∑ ∑m n
i ji is z s p (13.9)
6. q ordenako polo bakoitzetik q adar ateratzen dira, eta angelu hauek osatzen dituzte:
( )1 1
12 1
= =
θ = + π + − − −
∑ ∑m n
a i a ji j
k arg(p z ) arg(p p )q
(13.10)
Hor, k=0,1,2,3,…q-1.
Ohartu a iarg(p z )− batugaia pa poloa eta zi zeroa lotzen dituen zuzenak horizontalarekiko osatzen duen θ
angelua dela.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
151
x x
x
x
oθ1θ2
θ3
θ4
1
-1-2
1
p1
p2
p3 p4z1
,
13.2 irudia. Poloetatik irteera-angeluaren kalkulua.
3
2 2 1
cc v p m
K s )G(s) G G G G
s i) s i) s )s
( += =
( + − ( + + ( +
13.10 ekuazioa 13.2 irudian adierazitako p1 eta p2 poloetan aplikatuz:
( ) ( ) ( )1 4 1 2 3
12 0 1 180 45 153 45 135 90 153 45
1p , , º θ = ⋅ + π + θ − θ + θ + θ = + − + + = −
( )2180 135 26 56 45 90 153 45p , , ºθ = + − + + =
Dena den, erroen kokapena x ardatzarekiko simetrikoa denez, p2-tiko irteera-angeluak ispilu-irudia
izan behar zuela aurrez esan zitekeen. 13.3 irudiak erroen kokapena erakusten du.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Erroen kokapena
Ardatz erreala
Ard
atz
imag
inar
ioa
Ard
atz
ima
jina
rioa
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Erroen kokapena
Ardatz erreala
Ard
atz
imag
inar
ioa
Ard
atz
ima
jina
rioa
13.3 irudia. Erroen kokapena: 3
2 2 1
cc v p m
K s )G(s) G G G G
s i) s i) s )s
( += =
( + − ( + + ( +
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
152
13.4 Denbora hilaren eragina erroen kokapenaren mar razketan
Demagun denbora hila duen TRANSFERENTZIA-FUNTZIO bat (KB irekian) dugula:
050 03
1 1
scp
, KG (s) e
s ) s )−=
( + (2 + (13.11)
Termino esponentziala, Padé-ren hurbilketa erabilita, ekuazio-polinomio bihurtuz:
2
2
22
1
1
s
s
s
s s ...e
ee s s ...
τ−−τ
−τ
τ 1 τ− + +
2 2 2≅ =τ 1 τ
+ + +2 2 2
(13.12)
Lehen mailako terminoak erabiliz:
1
1
sss
es s
− τ
2τ −−τ2≅ = −
τ 2+ +
2 τ
(13.13)
Hortaz, 13.11 ekuazioa 13.14 ekuazioa bezala adieraz daiteke. Ohartu erroen kokapena
eraikitzeko arauak aldatu egiten direla atzeraelikadura positiboa denean:
0 03 4 4
1 1 4 1 0 5 4
cp
, K s ) K s )G (s)
s ) s ) s ) s ) s , ) s )( − ( −= − = −
( + (2 + ( + ( + ( + ( + (13.14)
Hor: 0 03
c, K
K =2
-1.5 -1 -0.5 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Erroen kokapena
Ardatz erreala
Ard
atz
imag
inar
ioa
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Erroen kokapena
Ardatz erreala
Ard
atz
imag
inar
ioa
A) B)
0 03
1 1c
p
, KG (s)
s ) s )=
( + (2 +-1.5 -1 -0.5 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Erroen kokapena
Ardatz erreala
Ard
atz
imag
inar
ioa
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Erroen kokapena
Ardatz erreala
Ard
atz
imag
inar
ioa
A) B)
0 03
1 1c
p
, KG (s)
s ) s )=
( + (2 +
13.4 irudia. Denbora hilaren eragina erroen kokapenean. A) denbora hilik gabe, eta B) denbora hilarekin (13.14 ekuazioa).
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
153
14 GAIA: ERANTZUN FREKUENTZIALA. BODE-REN ETA NIQUI ST-EN EGONKORTASUN-IRIZPIDEAK
Aurreko gaietan, prozesuaren TRANSFERENTZIA-FUNTZIOAN oinarrituz, egonkortasuna aztertu
izan da. Ekuazio karakteristikoaren erroen arabera:
- Routh matrizea (td=0)
- Erroen kokapena
Gai honetan, prozesuaren erantzun frekuentziala (Bode, Nyquist) erabiliko da, honako hauek
aztertzeko:
- Prozesuaren egonkortasuna eta sendotasuna.
- Sendotasuna. Irabazi- eta fase-marjinaren arabera.
- Kontroladorearen sintonizazioa (Ziegler-Nichols). Prozesuaren irabazkinaren (ku-ren) eta azken
frekuentziaren (wu–ren) kalkulua (teorikoa).
14.1 Bode-ren egonkortasun-irizpidea
Demagun irudiko sistema dugula, zeinentzat kontrol-begizta irekian sentsorearen neurketaren eta
set-pointaren arteko menpekotasun hau baitago:
0 1
0 5 1
−
=+
, scm
sp
K eY (s)Y (s) , s
(14.1)
(τ, td, minututan)
14.1 irudia. Atzeraelikadurazko kontrol-begizta.
Kontrol-begizta IREKIAN (14.1 ekuazioa), sarrera (Ysp) modu oszilakorrean aldatuz gero (14.2
ekuazioa), erantzunaren (Ym-ren) fase-atzerapena φ da. Eta B/A, ω frekuentziarako anplitude-
erlazioa:
ysp
ε c m
ym
y+
_c cG K= 0 11
0 5 1
, spG e
, s−=
+1fG =
1mG =
ysp
ε c m
ym
y+
_c cG K= 0 11
0 5 1
, spG e
, s−=
+1fG =
1mG =
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
154
spY A sen( t)= ⋅ ω⋅ (14.2)
( ) 57 3 0 1arctan , ,φ = −0,5 ⋅ ω − ⋅ ⋅ ω (14.3)
2 20 5 1
cKBA ,
=ω +
(14.4)
17mY B sen( t )= ⋅ − φ (14.5)
14.3 ekuazioaren bidez kalkula daiteke zer frekuentziatarako gertatzen den fase-atzerapena (-
180º, ziklo erdi), hau da, azken frekuentzia (wu). Horrela, ωu=17 rad/min.
Frekuentzia horretarako, anplitude-erlazioa hau da:
2
10 12
0 5 17 1c
B / A,
K ( , )= =
⋅ + (14.6)
Alegia, 1
8 560 12
cK ,,
= = egiaztatzen bada, anplitude-erlazioa (B/A)=1 izango da (B=A), ω=17
rad/min denean. Sentsorearen irteera-seinalea hau litzateke:
17 17mY B sen( t ) A sen( t)= ⋅ − π = − ⋅ (14.7)
14.7 ekuazioaren arabera, neurtutako erantzuna (ym), sarreraren (Ysp-ren) ispilu-irudia da.
Demagun bat-batean kontsigna-puntua zero dela eta, aldi berean, KONTROL-BEGIZTA ITXI
egiten dugula.
Prozesuak oszilatzen jarraituko du (oszilazio iraunkorra), anplitude konstantean, nahiz eta
kontsigna-puntua aldatu ez. (Gogoratu ω=ωu frekuentziarako φ=-180º eta B/A=1 dela).
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
155
ε =sen(17t)c m
Ym=-sen(17t)
y+
c cG K= 0 11
0 5 1
, spG e
, s−=
+
Ysp=sen(17t)
1fG =
1mG =
ε =sen(17t)c m
Ym=-sen(17t)
y+
c cG K= 0 11
0 5 1
, spG e
, s−=
+
Ysp=sen(17t)
1fG =
1mG =
ε =sen(17t)c m
Ym=-sen(17t)
y+
c cG K= 0 11
0 5 1
, spG e
, s−=
+
Ysp= 0
-1fG =
1mG =
ε =sen(17t)c m
Ym=-sen(17t)
y+
c cG K= 0 11
0 5 1
, spG e
, s−=
+
Ysp= 0
-1fG =
1mG =
14.2 irudia. Goian, set-point-ean sarrera oszilakorreko kontrol-begizta irekia. Behean, kontrol-begizta itxia, set-point-eko sarrera zero duena eta oszilazio iraunkorrekoa dena. Bi egoera gerta daitezke: - 8 56cK ,> bada, B/A>1 izango da φ=-180º denean. Beraz, prozesua oszilakorra eta anplitude-
erlazio gorakorra. Hau da, sistema EZEGONKORRA izango da.
- 8 56cK ,< bada, B/A<1 izango da φ=-180º denean. Beraz, prozesua oszilakorra eta anplitude-
erlazio beherakorra. Hau da, sistemaren erantzuna indargetuz joango da; sistema
EGONKORRA da.
Ondorioz, Bode-ren egonkortasun-irizpideak honela dio:
Atzeraelikadurazko kontrol-begizta itxi bat EZEGONKORRA da, baldin eta KONTROL-BEGIZTA
IREKIAN anplitude-erlazioa unitatea baino handiagoa bada, fase-atzerapena -180º den unean.
Oharra: Bode-ren egonkortasun-irizpidea mugatua da: fase minimoa duten prozesuei bakarrik dagokie.
Fase ez-minimokoak dira zero positibo bat dutenak (alderantzizko erantzuna). Hau da, Bode-ren egonkortasun-
irizpidearen bidez ez da aztertuko alderantzizko erantzuna duten sistemen egonkortasuna.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
156
14.2 Irabazi- eta fase-marjinak
Erantzun frekuentziala (Bode-ren irizpidea) kontroladorea sintonizatzeko (parametroen balio-
aukeraketa) erabil daiteke, KONTROL-BEGIZTA ITXIAn erantzuna egonkorra izan dadin.
Irabazi- eta fase-marjinek sistemaren egonkortasun erlatiboa adierazten digute.
Ezegonkortasunarekiko hurbiltasuna.
14.2.1 Irabazi-marjina
φ=-180º egiten duen frekuentziarako, 1
B / A-ren balioa irabazi-marjina da.
Irabazi-marjina altua (irabazkinak balio altuak izan ditzake, sistema ezegonkortu aurretik) bada,
egonkortasun erlatiboa altua da → ezegonkortasunetik urrunago dago begizta itxia.
14.1 adibidea: 0 1
0 5 1
, scKG(s) e
, s−=
+ (denbora minututan).
1 1
157 3 0 5 57 3 0 1dtan ( ) , t tan ( , ) , ,− −φ = − τ ω − ω = − ω − ⋅ ω
φ=-180º egiten duen frekuentzia, ωu=17 rad/min
Eta frekuentzia horretarako: 2 21 0 5 17 1
c cK KBA ( ) ( , )
= =τ ⋅ ω + ⋅ +
=0,12Kc
1) Kc=1 bada, B/A=0,12 Irabazi-marjina=1/0,12=8,33
2) Kc=2 bada B/A=0,24 Irabazi-marjina=4,16; ezegonkortasunetik hurbilago;
perturbazio baten aurrean sistema ezegonkortzea
errazagoa izango da.
3)Kc=8,33 bada B/A=1,0 Sistema ezegonkorra da Kc,u horretatik gora
Adibidez, irabazi-marjina 1,7 izateko:
B/A=1
1 7,=0,58 0,12Kc=0,58 Kc=4,9 egiaztatu behar dira.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
157
Demagun aurreko adibideko prozesuaren denbora hila td=0,15 min dela (eta ez ereduan erabili
genuen balioa, td=0,1 min; gaizki neurtu genuelako, adibidez), eta kontroladorearen irabazkina
Kc=4,9 dela.
Orain, azken frekuentzia, ωu (φ=-180º egiten duena):
1 1
157 3 0 5 57 3 0 15dtan ( ) , t tan ( , ) , ,− −φ = − τ ω − ω = − ω − ⋅ ω ωu=11,6 rad/min
Eta frekuentzia horretarako:
2 2
4 9
1 0 5 11 6 1
cKB .A ( ) ( , , )
= =τ ⋅ ω + ⋅ +
=0,83 → KONTROL-BEGIZTA ITXIA oraindik
EGONKORRA da. 14.2.2 Fase-marjina
Fase-marjina egonkortasun erlatiboa ematen duen beste parametro bat da. Hona hemen
definizioa:
B/A=1 egiaztatzen duen frekuentziarako fasea φ bada, fase-marjina 180+φ izango da. Hau da,
fasea -180º-ra iristeko falta den gainerako fasea.
14.2 adibidea: 14.1 adibidean, sintonizatu kontroladorea fase-marjina 30º izan dadin.
Fase-marjina 180º+φ=30º izateko, φ-k -150º izan behar du.
1 1
157 3 0 5 57 3 0 1dtan ( ) , t tan ( , ) , ,− −φ = − τ ω − ω = − ω − ⋅ ω=-150º
φ=-150º egiaztatzen duen frekuentzia ω=12,1 rad/min da.
2 21 0 5 12 1 1
c cK KBA ( ) ( , , )
= =τ ⋅ ω + ⋅ +
=0,163Kc, Kc=1
0 163,=6,2
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
158
Demagun berriz td 0,15 min dela (gaizki neurtu genuelako, adibidez) eta Kc 6,2 dela.
Orain, azken frekuentzia, zeinak 1 0 5 57 3 015tan ( , ) , ,−φ = − ω − ⋅ ω=-180º egiten baitu, ωu=11,6
rad/min da.
Eta frekuentzia horretarako:
2
6 2
0 5 11 6 1
B ,A ( , , )
=× +
=1,05.
Hau da, KONTROL-BEGIZTA ITXIA EZEGONKORRA da.
Edo, bestela ere, B/A=1 egiten duen frekuentziarako (ω=12,1 rad/min) fasea φ =-188º da.
GOGORATU: φ =-188º denean, B/A=1 bada, φ =-180º denean, B/A oraindik altuagoa da; hau da,
B/A>1. EZEGONKORRA.
Oro har, sistema EZEGONKORRA da, hau da, fase-marjina 30º-an ezartzea ez da nahikoa izan,
denbora hilaren neurketan egindako errorea konpentsatzeko.
Ohartu egonkortasunaren azterketa ekuazio karakteristikoaren erroak kalkulatu gabe egin dela.
Halaber, sistema zein hurrun/hurbil dagoen ezegonkortasunaren arabera ere igar genezake.
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
159
14.3 Niquist-en egonkortasun-irizpidea
Atzeraelikadurazkoa kontrol-begizta itxi bat EZEGONKORRA da, baldin eta KONTROL-BEGIZTA
IREKIAN frekuentzia -∞-∞ tartean aldatzean lortutako Nyquist-en diagramak (-1,0) puntua badu
bere barnean.
14.3 adibidea:
Demagun kontrol-begizta irekian TF hau dugula: 1 2 1 4 1
cGK
(s )( s )( s )=
+ + +
w gorakorra∞-tik 0-ra
w beherakorra0-tik ∞-ra
w gorakorra∞-tik 0-ra
w beherakorra0-tik ∞-ra
14.3 irudia. Nyquist-en diagrama 14.3 adibiderako. Kc=1 (A kurba), Kc=50 (B kurba).
A kurbak (Kc=1) ez dauka (-1,0) puntua bere barne → EGONKORRA
B kurbak (Kc=50) (-1,0) puntua bere barne dauka → EZEGONKORRA
Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola
160
14.4 adibidea:
Diagrama guztiak dira prozesu (TRANSFERENTZIA-FUNTZIO) beraren erantzuna KONTROL-
BEGIZTA IREKIAN.
Kasu bakoitzean, kontroladorearen Kc aldaturik.
14.4 irudia. Nyquist-en diagramak, KB irekiko TF berbera eta hainbat Kc balio izanik.
14.4a,c irudiek ez dute (-1, 0) puntua inguratzen; bai, aldiz, 14.4b irudiak. Beraz, lehen eta
hirugarren sistemek erantzun egonkorra izango dute kontrol-begizta itxian; aldiz, bigarrenak ez.