Post on 02-Apr-2020
1
UNIVERSIDAD PEDAGÒGICA NACIONAL
UNIDAD AJUSCO
“PROPUESTA DIDÁCTICA COMPUTACIONAL PARA FORTALECER EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN EN ALUMNOS DE CUARTO
GRADO DE PRIMARIA”
T E S I N A
QUE PARA OBTENER EL DIPLOMA DE ESPECIALIZACIÓN EN COMPUTACIÓN Y EDUCACIÓN
P R E S E N T A :
LIC. JOSÉ MANUEL LUNA TORRES
ASESOR:
MTRO. RAUL CUEVAS ZAMORA
México, DF. FEBRERO 2011.
3
AGRADECIMIENTOS.
“Muchas gracias a dios por haberme dejado concluir una etapa más en mi vida profesional y por otra oportunidad de vivir”
Agradezco profundamente a mi madre por el apoyo que me brinda. Es nuestro ejemplo vida.
A mis hermanos por ayudarme en momentos difíciles y de alegrías. Siempre tratan de estar a mi lado incondicionalmente.
Gracias a mis colegas y ahora amigos de la especialidad, pues de ustedes aprendí mucho.
Al profesor Raúl Cuevas por su apoyo y paciencia en la conclusión de este trabajo.
A TODOS LOS QUE SIEMPRE HAN ESTADO A MI LADO…..MIL GRACIAS POR ESTAR SIEMPRE CONMIGO.
Lic. José Manuel Luna Torres.
2
ÌNDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………………………....................... 1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA………………………………………………………. 3 JUSTIFICACIÓN………………………………………………………………………………. 8 CAPÍTULO 1. LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN DESDE EL PARADIGMA CONSTRUCTIVISTA…………………………………………. 10 1.1. La multiplicación en la escuela primaria………………………………………...13 1.2. La enseñanza de la multiplicación desde el paradigma constructivista… 19 1.3. Proceso de aprendizaje en los niños…………………………………………… 31 1.4. Noción del maestro bajo el paradigma constructivista……………………… 37 1.5. Estrategias de aprendizaje……………………………………………………….. 38 2. MANUAL DE OPERACIÓN Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS……………………40 2.1. Características básicas del equipo de cómputo, para operar la
propuesta…………………………………………………………………………..... 41 2.2. Actividades de la propuesta……………………………………………………… 43 3.- PROTOCOLO DE INVESTIGACIÓN…………………………………………………. 54 3.1. Objetivo de la investigación……………………………………………………….. 54 3.2. Pregunta de investigación………………………………………………………….. 54 3.3. Hipótesis de investigación………………………………………………………….. 54 3.4 Variables………………………………………………………………………………. 55 3.5. Indicadores…………………………………………………………………………… 55 3.6. Tipo de investigación……………………………………………………………….. 55 3.7. Tipo de muestra……………………………………………………………………… 56 3.8. Análisis de datos…………………………………………………………………….. 56 ANEXO 1…………………………………………………………………………………….. 60 ANEXO 2…………………………………………………………………………………….. 62 Fuentes referenciales…………………………………………………………………….. 65
4
INTRODUCCIÓN.
En el ámbito nacional la educación ha jugado un papel importante en el desarrollo del
país, ha venido generando cambios importantes en los últimos años. Particularmente en
educación básica y específicamente en la educación primaria, dado que ha promovido
la inserción de la tecnología y que son vistas en la educación como recursos y
herramientas que organizan y estimulan el aprendizaje en las aulas. Particularmente la
computadora, que es vista y se ha convertido en una herramienta para coadyuvar a la
enseñanza de los contenidos. Es decir, el docente utiliza este recurso1 para poder
complementar o apoyarse para enriquecer sus clases. No como un recurso motivador e
ilustrativo, sino como una ayuda para construir y generar conocimiento.
La presente propuesta de trabajo tiene como finalidad ayudar a los alumnos de cuarto
grado de educación primaria a fortalecer el aprendizaje de la multiplicación. Por lo que
este trabajo contiene una serie de actividades que permitirán al usuario interactuar y
poner en práctica sus conocimientos previos.
Durante mucho tiempo el método convencional que se ha utilizado para la enseñanza
de la multiplicación y de las tablas de multiplicar ha sido a través de la repetición y
memorización, pero con el paso del tiempo se olvidan con facilidad las tablas y su
aplicación en la resolución de problemas. Esto le ocasiona problemas al alumno, ya que
en el cuarto grado de primaria debería aplicar sin dificultad esta operación básica, y es
lo contrario, se ha observado que tienen dificultad en la comprensión, razonamiento y
en el procesamiento de esta operación.
Es por esto, que he tenido la inquietud de construir una propuesta, que permita al
alumno desarrollar ciertas competencias que le ayuden a comprender y resolver
problemas donde la multiplicación este presente, permitiendo con ello que además el
1 En educación, se entiende por recursos cualquier medio, personal, material, procedimiento, etc, que con una finalidad de apoyo se incorpora en el proceso de aprendizaje para que cada alumno alcance el límite superior de sus capacidades y potenciar su aprendizaje.
5
alumno lo vea interesante y divertido, que despierte su interés y con ello propicie la
construcción de su aprendizaje.
Esto no quiere decir, que el método convencional sea inadecuado para sus
aprendizajes, ya que estoy convencido de que la memorización de las tablas de
multiplicar se da de manera significativa, esto se observa a través de su uso constante,
o al intentar resolver problemas y no por la repetición mecánica de ellas.
El presente documento esta integrado de la siguiente manera:
En el capítulo 1 se desarrolla la fundamentación teórica que sustenta la propuesta y que
se explica desde el paradigma constructivista.
El capítulo 2 explicar el Manual de Sugerencias Didácticas, el cual es una herramienta
imprescindible para la utilización de la propuesta. Este capítulo está integrado por la
presentación del interactivo por cada una de sus rutinas, objetivos y descripción de las
actividades, así como sugerencias para las mismas.
El capítulo 3 presenta el Protocolo de Investigación, parte importante de la propuesta
debido a que nos permite observar los alcances e impacto de la propuesta en la
realidad. El protocolo inicia con una introducción, objetivos, la pregunta de
investigación, hipótesis, variable, tipo de variable, una metodología y finalmente por un
análisis de los datos.
Por último se presenta la bibliografía utilizada. Así como se incluye el apartado de
anexos.
6
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
En los últimos años, la escuela primaria ha experimentado cambios significativos, en
todos sus ámbitos. Esto ha traído consigo un cambio en la forma de enseñar y aprender
por parte del profesor, permitiendo con ello lograr un aprendizaje significativo en los
alumnos.
Los problemas que he detectado en los alumnos de 4º. grado son bastos y complejos.
Teniendo en cuenta que la resolución de problemas es el punto neurálgico del enfoque
actual de la enseñanza de las matemáticas.
Una de las operaciones básicas es la multiplicación, que es donde se enfocara la
propuesta, en ayudar al alumno con los problemas que tiene la operación de la
multiplicación. Ya que es a partir de este grado cuando los alumnos empiezan a calcular
áreas de rectángulos poco a poco se dan cuenta que existen otros problemas que
también se resuelven con la multiplicación.
Convencionalmente la enseñanza de las operaciones en la escuela primaria se inicia
con el algoritmo y después se aplica en las situaciones problemáticas. La enseñanza
del algoritmo se da casi en forma mecánica, al alumno se le va diciendo paso a paso
como realizar la operación sin que el alumno encuentre ningún sentido o necesidad por
hacerla, ya que no se hace referencia a ninguna situación concreta.
La enseñanza del algoritmo no debería de ser punto de partida, sino de llegada, porque
una operación va más allá de una representación simbólica; su enseñanza debería ser
en otro sentido, con formas de expresión y resolución de problemas reales. Tal vez esto
al alumno le resulte significativo y comprensivo.
Una de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen
los conocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas, y que, a partir de sus
soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus formas de solución. Eso es lo que
la escuela debe de realizar, sin embargo la realidad es otra.
Al docente encargado de la cuestión pedagógica dentro del aula le toca en este sentido,
crear ambientes propicios para el aprendizaje de la multiplicación, donde el alumno
pueda ser capaz de organizar sus conocimientos y habilidades que le permitan
comprender y dar respuesta a los problemas que su medio le plantea o a sus mismas
necesidades.
7
Es a partir de segundo grado donde se empieza la introducción al tema de la
multiplicación mediante resolución de problemas, y que al finalizar el ciclo lectivo los
alumnos, tendrían que adquirir y dominar el aprendizaje de las tablas de multiplicar del
1 al 10 para su aplicación en los problemas; más aún, en tercer grado los alumnos
deberían aplicar la multiplicación en el planteamiento y resolución de problemas
diversos, que para los alumnos son difíciles de enfrentar, comprender y manejar sino
han entendido bien el concepto de la multiplicación.
Fernández, Llopis y Pablo (1999) señalan que la multiplicación, aunque se realice de
modo mecánico, exige el aprendizaje memorístico (previo de las tablas), lo que no
siempre consiguen los alumnos con dificultades de aprendizaje o mal aprendizaje de las
mismas. Por lo que es habitual que los alumnos multipliquen consultando las tablas. Este procedimiento dispersa su atención, lentifica la ejecución y corta la continuidad en la realización de la operación.
Es decir, algunos alumnos al no saberse las tablas, confunden la operación y no
deberían tener dificultad en cuarto grado con la multiplicación. Pero la realidad es que
un porcentaje de alumnos tiene problemas al presentársele un planteamiento y
resolución de problemas con este algoritmo, tiene problemas para resolverlos o no
entiende el procedimiento que va a realizar. Pero también es posible que el alumno
tenga problemas con la comprensión del texto, es decir que sencillamente no entiende
lo que se le dice en un problema, y con ello no tiene claro lo que va a realizar. Así
mismo, desencadena con ello la mala ordenación de los datos necesarios para hallar la
solución del problema.
Un ejemplo de ello es cuando al alumno se le dicta “Luís compró 20 lápices y cada uno
le costó 6 pesos. ¿Cuánto pagó en total por los lápices?; el alumno no puede distinguir
qué operación va a realizar. Así como al identificar lo que va a hacer, no lo hace
correctamente ya que acomoda posicionalmente mal los números.
Debiendo haber colocado
2 0X 6
2 0X 6
8
También es frecuente que al no ser capaces de retener las unidades que se llevan,
escriban el número correspondiente sobre la cifra del multiplicador que sigue
inmediatamente. Pero además otra dificultad que se presenta reside en que los niños
no tienen una cabal comprensión del Sistema Numérico Decimal, lo cual obstaculiza,
principalmente la adecuada disposición de los dígitos de los productos parciales, por
ejemplo:
En vez de
En este caso, el alumno no comprende que el 72 hace referencia a 720 unidades, en
función de lo cual el hueco corresponde al cero, que se elimina al respetar el valor
posicional en relación al número superior.
Hay alumnos capaces de analizar los problemas y explicar los pasos que hay que hacer
para una solución, pero es mucho más frecuente que no sepan realizarlo o hacerlo
adecuadamente.
Por lo que el problema a trabajar es la enseñanza de la multiplicación, mediante una
serie de actividades y ejercicios que formalmente se deben desarrollar en cuarto grado,
ya que el alumno tiene problema con la aplicación de esta operación en la resolución de
problemas. Los alumnos tienen grandes dificultades para resolver adecuadamente
problemas matemáticos cotidianos que tienen que ver con la multiplicación. Muchas
veces el alumno al realizar el ejercicio, no lee el problema y se precipita a aplicar una
operación aritmética, por lo que no tiene una comprensión y por ende presenta un
desarrollo inadecuado de la operación.
Es importante mencionar que algunos docentes enseñan la multiplicación de un modo
convencional y que a veces dejan fuera recursos y estrategias que le permitirían
apoyarse para lograr un mejor aprendizaje, o simplemente no toman en cuenta estos
aspectos.
2 43 6X
2 43 6X
1 4 427
4 4127
2 1 6 8 6 4
9
La forma convencional se caracteriza por un acto de repetición y mecanización, donde
son utilizadas técnicas de repetición para aprender las tablas de multiplicar del 1 al 10, y
después trasladarlos a los planteamientos de problemas donde esta la multiplicación,
sin tener en consideración qué tan significativo es para el alumno y más aún, que tan
importantes le serán las tablas en el transcurso de su vida cotidiana.
En la práctica el alumno tiene problemas para memorizar las tablas de multiplicar, más
aun este problema se ve cuando el alumno tiene que resolver problemas, ya que se le
dificulta demasiado su aplicación. Es decir, lo único que realiza el niño es memorizar y
repetir las tablas, sin que haya un razonamiento y reflexión del mismo. Es un problema
que se arrastra y que se vuelve muy serio ya que en el transcurso de la primaria
tendrán problemas si no resuelven está deficiencia. Más aún, si los niños no tienen la
estimulación contribuirá tener un bajo desempeño académico.
Ávila (2006), menciona que en la enseñanza tradicional, considerada por muchos como
la que describe lo que acontece en las aulas, el profesor tradicional acepta escasas
responsabilidades; transmitir u ostentar las nociones, repetir, ejercitar; quien no asume
la responsabilidad efectiva de que sus alumnos aprendan. Esto también lo podemos
llamar convencional como ya lo habíamos mencionado, pero era necesario explicarlo.
Es importante también decir que la manera de enseñar la multiplicación se inicia con la
mecanización y memorización ya que es necesario tener presente las tablas de
multiplicar para que las utilice en la resolución de problemas. Pero al no comprender
completamente las razones de cada paso, el aprendizaje estará lleno de rigidez, de una
excesiva automatización y carente de significado para el niño, ya que no lo ve como
significativo para su entorno.
En el aprendizaje del algoritmo de la multiplicación suele enfatizarse la memorización
de la técnica y de manera paralela la de las tablas de multiplicar, ocasionando que el
niño no realice un aprendizaje que lo lleve a comprender el significado de las acciones
que esta operación implica.
Por lo general la escuela pone énfasis en la mecanización de los algoritmos, pero esto
no garantiza que el niño pueda aplicarlas en la resolución de un problema, ya que es
necesario comprender las operaciones que tiene que realizar.
10
La práctica que realiza la mayoría de docentes es escribir en el pizarrón gráficamente
las tablas, para que los alumnos copien en su cuaderno y repitan cuantas veces puedan
con la finalidad de memorizarlas. Esto no quiere decir que sea una técnica incorrecta
sino que posteriormente al alumno al presentársele planteamientos de problemas no
razona lo que va a realizar y además le cuesta trabajo la comprensión del enunciado del
problema y de su organización para multiplicar los datos que le son dados, así como a
veces cae en el error de acomodarlos incorrectamente como ya lo mencionamos.
Por lo que no hay una reflexión de lo que va a realizar. Esto más lo he observado
cuando a los niños se les presentan una serie de problemas, ya que se realiza a través
de una serie de enunciados, y donde al alumno tiene que identificar la operación que va
a realizar, y más cuando colocan erróneamente los números posicionalmente.
La forma en que se enseña podría estar dificultando el aprendizaje de los educandos,
pues algunos docentes ponen mayor énfasis en que el alumno realice un problema de
forma mecánica, restándole importancia al razonamiento. Esto trae consigo que los
niños no reconozcan la funcionalidad ni la aplicación que les pueden dar las tablas de
multiplicar, ya que al realizar problemas mecanizados no tienen una comprensión y
razonamiento de las mismas.
Es decir, cuando el profesor expone un determinado ejercicio en el cual se debe recurrir
a la multiplicación para llegar al resultado o solución, el alumno no es capaz de
reconocer y distinguir los datos con los que se plantea.
En cuarto grado el alumno debería tener bien entendidas y comprendidas las tablas de
multiplicar, para que cuando resolviera problemas no tenga dificultad, pero lo que se
visualiza es que en su mayoría los alumnos no tienen dominio de las tablas y no
emplean el razonamiento cuando se les presenta un problema, sino que quieren
resolverlo mecánicamente.
11
Por lo anterior podemos decir que la multiplicación se ha convertido en una constante
repetición y mecanización de los números y resultados, y que lo idóneo es que el
alumno tuviera la capacidad de analizar, reflexionar y razonar el aprendizaje de la
multiplicación; aun teniendo en cuenta que no es simplemente en el aula donde aplicara
este algoritmo, sino durante toda su vida cotidiana.
Permitiendo consigo que el aprendizaje de la multiplicación se vea como una
mecanización, sino por el contrario, debería convertirse en un proceso de razonamiento
que el educando tiene que construir.
Expuesta anteriormente la problemática, considero importante y necesario tratar de
buscar estrategias que permitan mejorar el aprendizaje de la multiplicación para los
alumnos de cuarto grado.
JUSTIFICACIÓN La finalidad de desarrollar esta propuesta es la de ayudar a los alumnos de cuarto
grado para que adquieran la comprensión y el aprendizaje del concepto de la
multiplicación y lo desarrollen en el aula y en la vida diaria. Es importante decir que la
propuesta se enfoca en multiplicaciones de números naturales.
Con la propuesta se busca que el niño tenga la capacidad de reconocer, plantear y
resolver problemas de multiplicación que se le presenten, en donde se sienta participe
de una serie de actividades que le puedan ayudar. Dado a que la forma de enseñar las
matemáticas tiende a ser repetitiva, mecánica y donde el alumno solo es receptor y no
existe una interacción tan intensa. Es decir, el alumno se limita a ser un sujeto que
recibe información, instrucciones y procedimientos que el docente le da; no tiene
oportunidad de pensar, reflexionar. Dicho lo anterior, se busca lograr que con la
propuesta se permita al alumno tener una interacción y manipulación y ver su impacto
en el desarrollo social y académico.
12
Considero que al ayudar a construir el conocimiento sobre este algoritmo, permitiría con
ello mejorar su comprensión y aplicación a los problemas que se le planteen, donde se
desarrolla ésta operación. Más aun si consideramos que es por medio de la
computadora donde el alumno tiene una libertad de hacer lo que quiera sin que exista
una presión del docente.
También se realiza para apoyar a los docentes, para que tengan una herramienta
didáctica que les permita enseñar la multiplicación, procurando con ello desarrollar el
tema sin dificultad, evitando que se realice memoristicamente, sino que el alumno
construya su propio conocimiento de este algoritmo, logrando que desarrolle la reflexión
y el razonamiento en el aprendizaje de la multiplicación.
Además de ello creo que también es personal, ya que me permitirá construir una serie
de conocimientos que me permitan desarrollarme profesionalmente y así mismo
contribuir a la educación primaria.
OBJETIVOS DE LA PROPUESTA.
1. Proporcionar por medio de la computadora diversas estrategias didácticas, que
coadyuven a fortalecer el aprendizaje de la multiplicación en alumnos de cuarto grado
de primaria.
2. Despertar el interés de los educandos para que resuelvan diversas multiplicaciones
por medio del algoritmo.
3. Construir una serie de ejercicios de multiplicación para que el alumno mejore sus
conocimientos sobre el terma.
4. Proporcionar a los docentes una herramienta computacional que les ayude a impartir
la enseñanza de la multiplicación.
13
1. LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN DESDE EL PARADIGMA CONSTRUCTIVISTA.
En la vida del ser humano siempre han estado presentes las matemáticas, y han sido
producto de la interacción con su realidad. Muchos desarrollos se han logrado a partir
de esta disciplina, donde además se han resuelto problemas de gran trascendencia
para la humanidad, por lo que es una disciplina tan importante para el ser humano, que
sin ella no se podría simplemente contar o medir o resolver cierto tipo de problemas que
al hombre se le han presentado. Actualmente debe ser vista la enseñanza de las
matemáticas como un instrumento que permita explicar, interpretar y comunicar las
diferentes situaciones de la vida.
Por lo que las matemáticas se han convertido en un mecanismo medular para la
sociedad contemporánea, esto ha permitido enfrentar los nuevos desafíos del mundo
actual, para ello es importante desarrollar estrategias que permitan al docente mejorar
su enseñanza-aprendizaje en esta materia.
Son tan importantes que permiten resolver problemas en todas las áreas y ámbitos
donde está presente el hombre, tales como tecnológico, científico y en la vida cotidiana,
utilizando diferentes estrategias o procedimientos. Aunque si bien todas las personas
construyen conocimientos fuera de la escuela (no convencionales) que les permiten
enfrentar dichos problemas aun cuando algunas veces sean lentos y entretenidos, esos
conocimientos no bastan para actuar eficazmente en la práctica diaria.
Por lo que contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la
escuela (convencional) debe proporcionar, permite que se tenga una mejor
comunicación y entendimiento de la matemática y de sus problemas. En matemáticas
es muy importante la relación de los aprendizajes con la vida real de los alumnos. El
acercamiento a los contenidos matemáticos se facilita con el apoyo de actividades
prácticas y en la manipulación de objetos concretos, por lo que la propuesta está
dirigida a que el alumno realice actividades relacionadas con su modo de vivir y por otro
“Las matemáticas son uno de los instrumentos más poderosos que ha creado el hombre para formalizar su pensamiento”
14
lado que tenga la visualización de objetos concretos, para que tenga un mejor
entendimiento.
Es importante señalar que con todo lo anterior queda de manifiesto que las
matemáticas deben ser una herramienta útil para los alumnos, haciendo uso de sus
conocimientos previos y generando sus propios recursos podrán enfrentar y resolver
situaciones problemáticas que se les presenten. Porque son las experiencias e
interacción con su medio, las que promueven la construcción de su conocimiento.
La Secretaría de Educación Pública (1993), considera que una de las funciones de la
escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos que ya
tienen para resolver ciertos problemas. Es decir, para los alumnos las matemáticas
serán una herramienta funcional y flexible que les permitan resolver problemáticas que
se les presenten en su acontecer diario, por lo que esta propuesta está encaminada a
coadyuvar al alumno en el aprendizaje del concepto de la multiplicación y pueda
aplicarlo en la resolución de problemas, para que con ello tenga la posibilidad de
construir sus propios planteamientos o pueda resolver los que se le presentan en su
vida cotidiana. Así mismo despierten su interés y su deseo de búsqueda de soluciones
y disfrute al realizar esta operación, desarrollando su creatividad e imaginación.
Vergnaud (2000), hace referencia que partir de un material concreto para enseñar la
multiplicación significa introducir la multiplicación como adición reiterada de una misma
cantidad y, por consecuencia, hacer del multiplicando una medida y del multiplicador un
operador.
Si bien es cierto que convencionalmente en la escuela, la forma en que se introduce a
la multiplicación es por medio de la adición abreviada como lo dice Vergnaud, donde el
multiplicando es una medida y el multiplicador un simple operador. Por ejemplo 3 x 4, es
enseñado 3 veces 4; donde el 3 es la representación de la medida; y el 4 un número sin
dimensión. Esto si bien se hace en el aula, no aplica a todas las propiedades de la
multiplicación, las cuales se abordarán dada a la importancia que tienen.
La multiplicación es un concepto difícil de comprender, aun cuando el alumno ya haya
captado la suma. A partir de ejemplos extraídos de la naturaleza, puede mostrarse
cómo se multiplican las cosas. De tal manera, multiplicar constituye la forma más rápida
de sumar. Sin embargo, a veces como docentes convencionalmente la utilizamos para
15
introducir a los alumnos a la multiplicación. Es decir, cuando los sumandos de una
suma son iguales, podemos abreviar la operación recurriendo a la multiplicación.
Suma = 3 +3 + 3 + 3 = 12
Producto = 4 veces 3 = 12
El modo convencional para enseñar y aprender la multiplicación debe ser introducida,
didácticamente como una suma de sumandos iguales. No obstante, una suma no es
una multiplicación. Como se puede apreciar la suma es utilizada para realizar la
multiplicación, siempre y cuando los sumandos sean iguales. Pero cuando se enfrenta
el alumno a otros problemas más complejos donde se involucra este concepto, se le
dificulta resolverlo.
Creo que uno de los problemas que se presenta en el aprendizaje de las matemáticas
se refiere a las cuatro operaciones básicas pero especialmente para la propuesta nos
enfocaremos en la multiplicación. Y bajo esto hay que considerar dos cuestiones
fundamentales.
Una vinculada a la comprensión de lo que es la operación, y otra a la mecánica de la
misma, es decir, cómo debe hacerse.
En cuanto a la comprensión del significado de la operación, es preciso que el niño
previamente haya comprendido en la práctica, a través de actividades manipulativas,
con material estructurado o no, lo que significa la operación: en este caso es multiplicar.
En cuanto a la mecánica de la operación, el niño deberá aprender una serie de reglas
que serán tanto más difíciles cuanto menos interiorizadas tenga las nociones anteriores,
y que abarcan, la estructura espacial de esta operación, ésta se refiere que en la
multiplicación hay que recorrer las cantidades una columna hacia la izquierda en cada
fila, los automatismos para llegar al resultado, hay que aprender las tablas con el
esfuerzo de atención y memoria que esto supone, especialmente para la tabla de
multiplicar, y además, el orden que hay que seguir, por dónde empezar cada operación,
dónde colocar los resultados, cómo expresarlos de forma abreviada y en sentido
horizontal. Por ejemplo al realizar una multiplicación debería saber ya el alumno todos
estos mecanismos, pero la realidad es que hay muchas deficiencias en ese sentido.
16
Con la propuesta computacional para fortalecer el aprendizaje de la multiplicación en
alumnos de cuarto grado el niño no sólo deberá saber cómo se realiza la operación de
la multiplicación, sino además se intentará enfocarla para su vida cotidiana y aplicarla
en la resolución de problemas que se le presenten día con día, por ejemplo cuando va
de compras. Esto conlleva saber el valor de cada uno de los productos que va a
comprar así como la operación que va a realizar.
1.1 LA MULTIPLICACIÓN EN LA ESCUELA PRIMARIA. La multiplicación debe entenderse como una operación aritmética entre números
naturales; se expresa con el signo por (x) y con el cual se asocia un par de números;
ahí que se conciba como una aplicación entre el conjunto N X N de parejas ordenadas
de números naturales y el propio conjunto de N, por ejemplo:
N X N N
3 X 4 12
Es decir, existe una cantidad (multiplicando) que es transformada por otra cantidad
(multiplicador) que señala el número de veces que se repite la primera. Multiplicar
quiere decir encontrar a partir de dos números, un tercero que contenga uno de estos
números tantas veces como unidades haya en el otro.
Pero también, la multiplicación puede ser vista como una operación aritmética que se
puede explicar como una manera de sumar números idénticos, es decir, un número se
suma consigo mismo varias veces, a esto se le ha llamado suma repetida. Por ejemplo
la expresión 4 x 3 significa que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces.
4 Representa el número de veces que se repite el número 3. 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Es Importante decir, que al resolver este tipo de operaciones, el niño debe iniciar
manipulando objetos de su entorno como menciona Piaget dentro del estadio de las
operaciones concretas, hasta comprender lo que está haciendo y lograr encontrar el
interés de las actividades que realiza en el aula para que pueda aplicar en su vida
17
social. El alumno necesita de materiales que lo estimulen a manipular, ordenar, contar,
contrastar, construir.
La multiplicación es una operación independiente que opera contrariamente a la suma,
Gómez (1991) nos hace notar que la escuela suele enseñar la multiplicación como una
suma abreviada, pero que al sumar, por ejemplo, 3+3+3+3 o multiplicar 4x3, así como
multiplicar 4x3 o 3x4 si bien es lógico y claro para el adulto, para el niño no lo es tanto
puesto que, desde un punto de vista epistemológico y psicológico, la construcción de la
operación de multiplicación comporta un proceso (En cuanto a abstracción
reflexionante) de un mayor nivel de complejidad que el de la adicción.
Gómez (1991) explica que desde hace tiempo se sabe que esta afirmación es falsa, ya
que no se puede identificar la multiplicación con la suma reiterada, sin embargo, los
docentes es la forma que utilizan para la introducción de esta operación. Pero además
la manera en que se ha enseñado la multiplicación en la escuela ha sido de una
manera convencional, ya que se pone énfasis en la mecanización de la multiplicación,
pero esto no garantiza que el niño pueda aplicarlo en la resolución de problemas, ya
que es necesario comprender bien este aspecto.
Es decir, cuando hablamos de la multiplicación solemos hacer referencia a ésta como
una simplificación de la suma (suma reiterada), esto es, una forma más rápida de
obtener el producto. Muchas de las situaciones multiplicativas se puedan resolver
mediante una estrategia de este tipo, lo cual ha llevado a definirla de esa manera. Pero
como ya se mencionó no es correcto presentarla como una suma reiterada, sino que su
construcción va más allá.
Esto se observa al multiplicar el número cero con un número natural, el cero se
convierte en un elemento absorbente, es decir, que al combinarse con cualquier otro
número lo convierte en sí mismo, por lo que la función del cero en la multiplicación es
exactamente opuesta a la que cumple en el caso de la suma.
18
Pero también hay que decir cuando se multiplica el número uno a cualquier número
natural, se obtiene este segundo número. Es decir, que el uno en la multiplicación es un
elemento neutro y cumple la misma función que cumple el cero en el caso de la suma,
por lo que la multiplicación no puede ser vista como una suma reiterada.
A que decir, que dentro del aula, se observa que los alumnos aprenden a multiplicar a
partir del modelo de la suma repetida o reiterada, pero como ya lo explicamos, este
modelo o estrategia no cubre los distintos significados de la multiplicación y los alumnos
presentan dificultad al aplicar la operación. Las limitaciones de este modelo de adición
repetida son evidentes cuando se consideran los diversos significados de la
multiplicación como por ejemplo al realizar la proporcionalidad simple o al realizar
ejercicios donde se desarrollan las medidas.
Cabe señalar que existen diversas propiedades de la multiplicación, pero en la escuela
no se introducen de manera formal, sino se utilizan solamente como herramienta para
realizar, facilitar o explicar cálculos donde se lleva acabo esta operación matemática.
Sin embargo, a continuación se dará un bosquejo de las propiedades de la
multiplicación. Se abordarán la conmutativa, asociativa y distributiva específicamente
con números naturales.
La propiedad conmutativa: En la multiplicación se hace válido el principio que dice “el
orden de los factores no altera el producto”, lo que significa que el multiplicando y el
multiplicador pueden cambiar su función sin que cambie el resultado.
a x b = b x a
4 x 3 = 12 4 x 3 = 3 x 4
Ávila (2006), señala que la propiedad conmutativa se refiere a una cuestión intuitiva y
simple; el hecho de que si multiplicamos, por ejemplo 4 x 3, obtendremos el mismo
resultado que si multiplicamos 3 x 4. Lo mismo ocurre con 7 x 6 y 6 x 7. Como sugieren
estos ejemplos. Si a y b son números naturales, entonces a x b = b x a, como ya se
explico.
19
Vergnaud (2000), explica que esta propiedad de la multiplicación, en el plano numérico
permite perfectamente, que el aprendiz visualice la función que desempeña el
multiplicador y el multiplicando; para lograrlo es necesario tener cierta precaución
pedagógica, para conseguir que los alumnos acepten tal conmutatividad.
4 multiplicando
X3 multiplicador
12 Producto
Es importante decir, que las multiplicaciones mas simples son estas, donde el
multiplicador solo tiene una cifra, ya que el alumno no tiene mucha dificultad para
resolverlas, dado que no implica mayor dificultad en su pensamiento lógico-matemático.
Dado lo anterior se puede decir que la multiplicación es la operación que tiene por
objeto hallar el producto de dos números, un tercero que contenga uno de estos
números tantas veces como unidades haya en el otro. Esto siempre y cuando los
dos factores multiplicando y multiplicador, sean números naturales.
En el caso de los números enteros serán vistas dentro de las propiedades de la
multiplicación que posteriormente se explicaran.
La propiedad Asociativa: Como la multiplicación es una operación binaria, sólo puede
realizarse con dos números al mismo tiempo, pero para encontrar el producto de tres o
más números, es necesario encontrar primero el de dos; por ejemplo, para hallar el
producto de 6 x 5 x 8, primero se multiplica 6 x 5=30; luego se multiplica 30 x 8 y se
obtiene el producto total que es 240.
x 5 x 8 =
(6 x 5) x 8 =
( 30 ) x 8 = 240
20
La propiedad distributiva: Esta propiedad es necesaria a partir del momento en que se
introduce la multiplicación por un número de dos cifras. Por ejemplo 24 x 15, que
verticalmente quedaría así:
24
X 15 (15= 10 +5)
120 (24 x 5) = 120
24 (24x10) = 240
360 360
Esta propiedad debe necesariamente ser explicada a los niños, si se quiere que
comprendan la regla operativa de la multiplicación. Contrariamente a lo que se podría
pensar, dicha regla no esta fuera de la capacidad de los niños, dado a que como
explica Piaget el sujeto entre (7-11 años) se encuentra en el estadio de operaciones
concretas, donde se desarrolla el pensamiento lógico matemático, pero requiere de
ciertas precauciones pedagógicas que el docente debe tener en cuenta para que el
alumno comprenda y haga suyo este concepto de la multiplicación. Sin embargo, la
principal dificultad que se ha observado en la aplicación de esta propiedad no reside
tanto en la distributividad, si no en el hecho de que es el multiplicador el que está
descompuesto aditivamente y no el multiplicando. Es decir, el 15 veces= 10 veces + 5
veces. Ejemplo:
15 15 veces = 10 veces + 5 veces
X3
Dentro de la aritmética también existen procedimientos para simplificar operaciones y
en la multiplicación las tablas de multiplicar es uno de ellos. Las tablas de multiplicar
consisten en adicionar reiteradamente cada dígito en orden progresivo ascendente de
cero a diez veces consigo mismo, y se representan como una adición reiterativa de un
número (multiplicando), tantas veces como lo indique otro (multiplicador) para obtener
un resultado final (producto). Por ejemplo:
21
4 x 3 = 12 Multiplicando Producto. Multiplicador
El aprendizaje de las tablas de multiplicar es asociado habitualmente a la
memorización. Por ejemplo, las tablas se aprendían de memoria ordenándolas
sucesivamente (del 1 al 10), pero esto no garantiza que lo recuerde y comprenda
adecuadamente el alumno como ya se menciono anteriormente.
Esto con respecto a la tabla de multiplicar, pero además en el aprendizaje del algoritmo
de la multiplicación suele enfatizarse la memorización de la técnica y de manera
paralela la de las tablas de multiplicar, ocasionando que el alumno no realice un
aprendizaje que lo lleve a comprender el significado de las acciones que esta operación
implica.
El algoritmo permite resolver, mediante una serie de pasos, una operación aritmética
determinada. Constituye un proceso determinado que puede ser ejecutado y repetido
con el mismo éxito por cualquier persona y permite, además, resolver problemas de un
mismo tipo. Avila (2006), explica que el algoritmo es utilizado en matemáticas para
referirse a los procedimientos que se siguen para resolver una operación con dos
números, cuando el resultado no es evidente de inmediato.
22
1.2. LA ENSEÑANZA DE LA MULTIPLICACIÓN DESDE EL PARADIGMA CONSTRUCTIVISTA.
En este apartado se habla de las dos corrientes pedagógicas que van a soportar la
propuesta “aprendiendo y jugando con la multiplicación”, para iniciar es importante
decir, que la postura constructivista en el aspecto educativo se cimienta bajo diversas
corrientes psicológicas, pero para la propuesta “aprendiendo y jugando con la
multiplicación” solo se enfocara en el paradigma psicogenético de Piaget y en el
aprendizaje significativo de Ausubel. Si bien es cierto son teóricos que tienen
diferencias, ambos comparten la importancia de la actividad constructiva del alumno en
la acción de sus aprendizajes.
De acuerdo con Coll (citado por Díaz Barriga y Hernández 2002), la concepción
constructivista está organizada en torno a tres ideas fundamentales:
1) El alumno es el responsable de su propio proceso de aprendizaje; el educando
reconstruye sus conocimientos; cuando el sujeto está activo es cuando manipula,
explora, descubre o inventa.
2) La actividad mental constructiva del alumno se aplica a contenidos que poseen
ya un grado considerable de elaboración. Es decir, que el sujeto no construye a
cada momento su conocimiento. Ya que el conocimiento es resultado de un
procesos de construcción y hay veces que ya está definido buena parte de este.
3) La función del docente es unir los procesos de construcción del alumno con el
saber colectivo culturalmente organizado; la función del docente no es solo crear
las condiciones para que el alumno realice una actividad mental constructiva,
sino que debe orientar, guiar dichas actividades.
La concepción constructivista establece que el sujeto cognoscente construye el
conocimiento, o sea que cada sujeto tiene que construir sus propios conocimientos y no
recibirlos construidos por otros. La construcción es una tarea individual, o sea, se da al
interior del sujeto y solamente él la puede realizar, aunque no es una actividad aislada,
El principal objetivo de la educación es crear personas capaces de hacer cosas nuevas, no simplemente repetir lo que otras generaciones han hecho. El segundo objetivo de la educación es formar mentes críticas, con capacidad de verificación, que no acepten sin más todo lo que se les da.
Jean Piaget
23
se da conjuntamente con los demás sujetos. Es decir, el conocimiento es resultado de
la reorganización de un conocimiento previo, y de un nuevo conocimiento que es
asimilado-acomodado para que llegue a un equilibrio y con ello un aprendizaje.
Mediante la realización de aprendizajes significativos, el alumno construye, modifica,
diversifica y coordina sus esquemas de conocimiento, que con ello enriquecen su
mundo físico y social.
Esta construcción de conocimiento es un largo y laborioso proceso; no sólo se modifica
lo que ya se tenia como conocimientos previos, sino también se interpreta el nuevo
conocimiento de forma peculiar, de manera que se pueda integrarlo y hacerlo propio.
Cuando se da este proceso, decimos que estamos aprendiendo significativamente,
construyendo un significado propio y personal para un objeto de conocimiento que
existe. Es decir, no es un proceso que conduzca a la acumulación de nuevos
conocimientos, sino a la integración, modificación, establecimiento de relaciones y
coordinación entre esquemas de conocimientos que uno posee y que son modificados
con la nueva información que se tiene.
El aprendizaje de la multiplicación y de las tablas de multiplicar es un hito para todos los
estudiantes de educación básica. Tradicionalmente la multiplicación y las tablas de
multiplicar se han enseñado de modo memorístico, aunque con la revolución de las
matemáticas modernas se están implementando nuevos métodos de enseñanza para el
aprendizaje de las mismas.
Entre memorizar y aprender hay una gran diferencia, porque si el alumno memoriza no
aprende, mientras que sí aprende cuando se pone de relieve el proceso de
construcción de significados como elemento central del proceso de enseñanza y de
aprendizaje; el alumno aprende un contenido en este caso la multiplicación cuando es
capaz de asignarle un significado. Cuando el alumno no puede atribuirle significado
alguno, se dice, entonces que es un aprendizaje puramente memorístico. Porque el
contenido lo repite o lo utiliza mecánicamente sin entender en absoluto lo que dice o
hace.
Piaget (citado por Tovar 2001) explica que el sujeto construye su conocimiento y lo
transforma sin cesar, en relación con el mundo que le rodea, cambiando a la vez su
manera de pensar. Esto se puede transpolar al ámbito educativo y decir que el alumno
24
explora activamente su entorno, creando a partir de sus acciones, estructuras internas
que le permiten ir conociendo el mundo de forma cada vez más estable y objetiva, con
ello va construyendo su conocimiento. Es importante decir, que el niño para entender y
aprender también está influido y determinado por el medio en el que se encuentra. Es
un sujeto que manipula, explora, descubre o inventa con su entorno y los objetos que lo
rodean.
Es necesario tener en cuenta que los niños no son entes pasivos y contemplativos y
menos, que el conocimiento sea innato, ya dado en el niño con anterioridad a la
experiencia, sino todo lo contrario éste conocimiento es producto de una interacción
constante entre el sujeto y el objeto. Según la posición constructivista, el conocimiento
no es una copia fiel de la realidad, sino una construcción del ser humano. Es decir, la
construcción del pensamiento ocupa el lugar más importante.
Piaget, (citado por Tovar 2001) explica que el conocimiento se va construyendo, y por lo
tanto, el desarrollo cognitivo es también una larga y continua construcción de formas
nuevas de conocimiento, las cuales no están presentes en el sujeto (como ocurre con
los reflejos) ni están en el entorno (ya sea en los objetos o en formas transmitidas social
y culturalmente). Hay que entender como docentes que la adquisición del conocimiento
es un proceso continuo. Es decir, el conocimiento no es una copia de la realidad,
conocer un objeto no es simplemente verlo, y hacer una copia mental de él, es actuar
sobre el objeto, donde haya una manipulación o transformarlo.
Por lo que los maestros deben dejar de transmitir conocimientos a los alumnos en
formas preestablecidas y en vez de eso, fomentar su propio proceso constructivo; la
función del maestro desde la perspectiva piagetiana es ayudar al niño a construir su
propio conocimiento guiándolo para que esa experiencia sea fructífera, no es transmitir
conocimientos ya elaborados para vertirlos sobre el alumno (CONALTE, 1993).
Piaget, (1969) postuló que el desarrollo cognitivo tiene lugar a través de una secuencia
de etapas desde la infancia hasta la juventud. El desarrollo intelectual se manifiesta en
cuatro etapas y varias subetapas, pero cabe mencionar que en distintas oportunidades
Piaget formuló sus etapas de manera diferente a las que a continuación se mencionan,
pero no se trata de una discrepancia porque igualmente las divisiones se refieren a las
mismas observaciones.
25
Piaget, (citado por Tovar 2001) distinguió cuatro estadios o períodos de desarrollo; cada
una de estas etapas tiene características muy específicas. Pero para esta investigación
es relevante el tercer estadio, que es el de las operaciones intelectuales concretas
(aparición de la lógica) y de los sentimientos morales y sociales de cooperación. La
edad en que se presenta en los niños es de los 7 a los 11 años.
De acuerdo con Piaget, las capacidades del niño para entender, aprender y por
supuesto la forma en que el niño ve el mundo como totalidad, están determinadas por el
estadio particular de desarrollo en el que se encuentra, por lo que se describen a
continuación los cuatro estadios que establece, los cuales tienen características
propias.
1- Sensoriomotriz (desde el nacimiento hasta el año y medio y los dos años), en
el transcurso del cual se organizan los esquemas sensorio-motores hasta llegar a actos
de inteligencia práctica por comprensión inmediata (utilización del palo, del hilo, etc.) y
las subestructuras prácticas de las futuras nociones (esquema del objeto permanente,
de los desplazamientos espaciales, causalidad sensorio-motriz, etc.)
2- Preoperacional (de dos a siete años), que se subdivide en preconceptual
inicial (de dos a cuatro años) e intuitiva final (de cuatro a siete años) un periodo que
comienza con la aparición de la función semiótica (lenguaje, símbolos del juego,
imágenes).
Los niños entre las edades de los siete y los once años de acuerdo a los postulados de
Piaget, se encuentran en el periodo de las operaciones concretas. Es decir, pasaron de
un pensamiento preoperacional al de operaciones concretas.
3- Operacional concreta (de siete a once años), el niño experimenta una serie de
fenómenos como: se interesa por el origen o causa de los hechos; ubica la posición
espacial; adquiere el concepto de la conservación numérica y entiende las operaciones
inversas; y puede dar diversas soluciones a un mismo problema ya que su pensamiento
es más lógico.
Pero además, es capaz de realizar acciones mentalmente, es decir, son
definidas como acciones interiorizadas, reversibles y coordinadas entre sí. Se puede
decir, que el niño deja de ser intuitivo, egocéntrico y desarrolla un pensamiento más
lógico, lo que permite que pueda plantear y resolver problemas de tipo concreto.
26
Son reversibles en el sentido que puede regresar al inicio de la actividad que
inició. Por ejemplo cuando el niño de estas edades despliega una operación (suma dos
números, reúne varios objetos por su semejanza o compara un objeto menor con otro
mayor) es capaz de desplegar la operación en sentido contrario (resta un número de
otro, quita objetos, compara el mayor con el menor). Por lo que la reversibilidad del
pensamiento es fundamental.
Los niños en esta etapa pueden operar en pensamiento, lo que significa que pueden
reemplazar las acciones reales por acciones virtuales. Pero si bien ya lo hacen es
preciso tener en cuenta que los niños necesitan todavía la presencia concreta de los
objetos para poder razonar.
También en este estadio aparecen operaciones como las siguientes: clasificaciones,
seriaciones, correspondencias y número que realizan los niños, los cuales se manejan
sobre objetos concretos. La clasificación se refiere a las relaciones entre objetos,
semejanzas y diferencias de equivalencia. Desarrollar la destreza de clasificación es
fundamental en este estadio, ya que el niño a través de esta puede clasificar objetos
sobre la base de combinaciones complejas de muchas dimensiones como su color,
forma, tamaño o peso; seriación entendida como la cantidad y correspondencia de
grupo; conservación vista como poder concluir que un número dado de elementos es
independiente a la configuración perceptiva de estos. Por ejemplo, los dedos de las
manos tendrán igual número de dedos independientemente si están juntos o
separados.
Piaget (citado por Avila, 2006), menciona que el niño no aprende los signos
convencionales mediante la asociación con objetos, sino mediante la asimilación. Los
niños de esta etapa asimilan los signos a las ideas que han construido mediante la
abstracción reflexionante. Es decir, cuando el niño todavía no puede construir una
relación de jerarquía, asimila 3 X 4 =12 pero tiene que ser por medio de objetos
concretos. Posiblemente esta aquí una de las dificultades y me refiero que a lo largo de
todo el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas afloran dificultades que
unas veces son consecuencia de aprendizajes anteriores mal asimilados.
Podemos decir que alrededor de los siete años comienza este estadio, donde la
característica principal consiste en que el niño es capaz de pensar lógicamente ante los
27
objetos físicos. El sujeto interviene activamente para aprender y modificar al medio y
modificarse a sí mismo. El niño es capaz de manejar conceptos abstractos como los
números, se caracteriza por un pensamiento lógico, es decir trabaja las operaciones
lógicas, pero siempre utilizando símbolos referidos a objetos concretos y no abstractos.
La principal limitación de los niños de este estadio es que sólo pueden resolver
problemas sobre la base de la experiencia que en realidad han tenido sobre objetos
concretos, ya sea objetos físicos, biológicos, morales o afectivos. Y aún no pueden
resolver problemas abstractos (hipótesis o enunciados formales) como ya se mencionó,
ya que será parte del pensamiento hipotético-deductivo propio de los adolescentes.
El niño de 6-12 años en este estadio desarrolla un razonamiento lógico-concreto, tiene
además la capacidad de inducir de lo particular a lo general y de lo general a lo
particular; entiende que las operaciones pueden invertirse o negarse mentalmente, ya
no basa su juicio en la apariencia de las cosas, como ya mencionamos anteriormente,
ya tiene la capacidad de clasificar; de utilizar el conteo y la seriación.
Estas operaciones mentales proporcionan al niño, entre los 7 y 11 años, la capacidad
de entender nociones de conservación. Por ejemplo, que la cantidad de líquido
contenida en un recipiente con una capacidad determinada es la misma que hay en otro
recipiente, con la misma capacidad aunque el recipiente tenga formas distintas. Es
decir, que modificar la apariencia de algo no modifica sus restantes propiedades. Esta
propiedad se le llama conservación.
Para entender esto, el niño tiene que representar o interiorizar la transformación al
pasar el líquido de un recipiente a otro, y al revés, por lo cual implica una reversibilidad.
Cabe señalar que, aunque el niño durante este periodo puede resolver correctamente
problemas de conservación, su pensamiento, se califica como concreto porque todavía
necesita la experiencia sensorial directa para resolver esta clase de problemas, lo que
es importante que en el aula el alumno conozca los objetos y los manipule, así los
podrá llevar al plano cognitivo y lo interiorizará, dando como resultado que sea
significativo ese aprendizaje.
Las operaciones del pensamiento son concretas porque sólo alcanzan a la realidad
susceptible de ser manipulada o la posibilidad de recurrir a una representación viva.
28
Los conceptos de espacio, tiempo y velocidad, constituyen un proceso complejo y lento
en su adquisición; el único espacio que existe es el ocupado por un objeto, el tiempo lo
entiende al representar recorridos.
En este periodo (7-11 años), también se desarrolla la base lógica de la matemática, lo
que es importante ya que la propuesta que se va a desarrollar está enfocada a alumnos
de 9 a 10 años. La lógica matemática es explicada bajo una forma de una serie de
esquemas lógicos. Es decir, antes de que el niño haya desarrollado los conceptos
fundamentales del número, puede memorizar 1+1=2, eso lo realiza por mecanismos de
asociación de memoria. Cabe señalar que este tipo de aprendizaje está al margen de
las estructuras mentales o esquemas. Y si esto lo trasladamos a la multiplicación,
también el niño aunque no tenga bien entendida la multiplicación puede hacer ese
mecanismo, esto no quiere decir, que lo comprenda y que lo interiorice.
Avila (2006), señala que se entiende como el concepto de número a la cantidad de
elementos que integran un grupo o conjunto, por ejemplo: pelota, bicicleta son los
juguetes de Jorge; por tanto, Jorge tiene 2 juguetes, es el numeral 2 que nos
proporciona la idea de cantidad.
Una vez elaborado el concepto del número, el aprendizaje del 1+1= se integra a los
esquemas matemáticos y sobreviene el aprendizaje con comprensión. Y esto también
se da con el aprendizaje del concepto de la multiplicación. Para lograr esto, es
conveniente la construcción del concepto de número y para ello se requerirá en primer
momento realizar acciones físicas, es decir, a través de objetos, donde el niño pueda
juntar, ordenar y manipular. Por lo que la propuesta está diseñada para trabajar con
objetos para que el niño comprenda lo que está realizando y poco a poco ir retirándolos
ya que haya comprendido e interiorizado el concepto, ya que el aprendizaje en esta
etapa comienza siempre en el nivel concreto, después pasa al semiconcreto, simbólico
y finalmente a los niveles abstractos.
Avila (2006), explica que si los niños han construido la idea de la multiplicación,
mediante la abstracción constructivista, representarán este esquema para si mismos
con el numeral o un dibujo como ya se mencionó, por lo que la propuesta está enfocada
a enseñarle al niño a través de este enfoque, es decir, primero lo concreto y poco a
poco irlo llevando a lo abstracto.
29
4 - Operacional formal final (de once a dieciséis años) está caracterizada por la
liberación del sujeto ante la dependencia de lo concreto, es capaz de razonar sobre los
hechos, así como también sobre hipótesis propias del pensamiento.
Las etapas anteriores constituyen un proceso secuencial, pues no es posible
llegar a las operaciones concretas sin pasar por una preparación sensorio-motriz, es
decir, esta secuencia de etapas y subetapas en la que cada una es necesaria y en la
que cada una es resultado necesariamente de la anterior excepto la primera, y dichas
etapas preparan para la siguiente excepto la última, dicho de otra manera, la etapa
inferior está coordinada e integrada a la etapa próxima superior.
También es necesario señalar que para que podamos hablar de estadios hace
falta, según Piaget, cumplan tres condiciones: El orden de sucesión de los estadios
debe ser constante para todos los sujetos, esto quiere decir que no se pueden saltar un
estadio sin que se haya concretado el anterior; un estadio ha de poder caracterizarse
por una forma de organización (estructura de conjunto): y por último la maduración, la
experiencia con los objetos y la experiencia con las personas son imprescindibles para
explicar el desarrollo. Pero para lograrlo es necesaria la equilibración, lo cual permite
asegurar un equilibrio de los intercambios entre sujeto y medio ambiente.
Considera el aprendizaje como un proceso evolutivo que se logra mediante el
equilibramiento, que para él es una herramienta mental para coordinar la maduración, la
experiencia física y la experiencia social del individuo. Piaget, (citado por Ausubel y
Sullivan, 1997) postula cuatro factores principales para explicar el paso de una etapa a
otra:
1) la maduración, la cual determina las posibilidades e imposibilidades en una etapa
dada, para que esas posibilidades se concreten; es indispensable la presencia
de un ambiente social particular, es decir, su concreción puede acelerarse o
retardarse en función de las condiciones culturales y educacionales.
2) La interacción social, la cual concreta el desarrollo de las etapas por medio de la
transmisión, en el amplio sentido del lenguaje y educación.
3) La experiencia física, consiste en actuar sobre los objetos y extraer algún
conocimiento de ellos, dicho conocimiento es derivado de las acciones
efectuadas sobre él.
30
4) Equilibración, considerada por Piaget como la más importante que incluye a
todas las demás, y definida como la organización interior progresiva del
conocimiento de un modo gradual. La organización comprende la constante
reorganización e integración de lo que Piaget denomina esquemas que son tipos
de programas o estrategias que el individuo tiene a su disposición cuando
interactúa con su ambiente.
Este proceso se puede representar cuando el niño pone en entredicho sus esquemas
mentales previos; en ese instante el niño requiere de crear otro nuevo esquema
integrando datos nuevos al conocimiento anterior (asimilación) y alterando sus
categorías básicas de pensamiento o acciones (adaptación). Para lograrlo, es necesario
considerar tres elementos que según Piaget son fundamentales, la asimilación, la
acomodación y el equilibrio.
La adaptación comprende dos procesos invariables: la asimilación y la
acomodación.
La asimilación es la acción del sujeto (organismo) sobre los objetos que lo
rodean (medio ambiente), para incorporarlos a los esquemas de interacción del sujeto
(conducta). Por lo que podemos decir, que la asimilación es considerada como el
proceso por el cual el sujeto incorpora la nueva información haciéndola parte de su
conocimiento.
La acomodación es el cambio en las estructuras intelectuales (esquemas) que
son necesarias para que el individuo se ajuste a las exigencias del ambiente. Esta
también es entendida como el proceso mediante el cual la persona transforma la
información que ya se tiene en función de la nueva que le es proporcionada.
La interacción de estos dos procesos (asimilación y acomodación) da como
resultado un proceso de equilibrio.
El equilibrio es un factor interno, es decir, es un proceso de autorregulación.
Implica también una estabilidad entre los dos procesos invariables de asimilación y
acomodación. Cuando se produce un desequilibrio, el organismo se ve forzado a
modificar sus esquemas (estrategias) para adaptarse a las demandas del ambiente
(adaptación). Cuando el organismo trata de ajustarse al medio con esquemas
preexistentes, se dice que opera la asimilación. La desequilibración o inestabilidad se
31
produce cuando la asimilación no tiene éxito. La acomodación es el resultado de la
desequilibración, siguiendo luego la alteración o aparición de nuevos esquemas.
El niño no solo asimila experiencias en su entorno existente, sino que también
acomoda las estructuras que da como resultado de su experiencia.
Tovar (2001), señala que el conocimiento es explicado por la función adaptativa
de los sujetos en su interacción con el medio. A través de los esquemas, quedan
asimilados los nuevos aspectos de la realidad, y en caso de dificultad de encaje, se
produce el equilibrio necesario que suscita la modificación de esquemas (estrategias),
hasta lograr su acomodación.
La conducta humana está gobernada por representaciones internas conocidas
como esquemas o unidades de conocimiento, cuyo incremento se puede representar
mediante una gran espiral, en donde cada círculo o esquema es más amplio que el
anterior. En cada uno de los niveles se produce un estado de equilibrio. Es decir, los
nuevos esquemas descansan sobre la base de los anteriores, y los conocimientos
aparecen organizados jerárquicamente.
En la vida, el ser humano constantemente se adapta al medio a través de las
funciones de asimilación y acomodación, estos movimientos se repiten constantemente
y esta repetición tiene como resultado facilitar la adaptación. Los esquemas se pueden
automatizar y de esta manera las acciones se realizan rápidamente, así también se
pueden modificar y cada modificación de un esquema provoca una acomodación que
permite la asimilación de situaciones más complejas. La generalización de dichos
esquemas se traducirá en un aprendizaje real y significativo. Pero además hay que
considerar que el aprendizaje es un proceso interno, por lo tanto, no se puede observar.
El estudiante demuestra cuando aprende a través de sus conductas, éstas si se pueden
observar. Pero, el aprendizaje es un proceso interno que no puede ser programado
desde afuera para ayudar a los estudiantes a comprender y aprender un tema. Lo que
sí se puede hacer es estimularlo disponiendo las condiciones externas esenciales para
que este proceso se produzca
Bajo esto y dentro del aula el alumno no copia la realidad tal como se le
representa a sus sentidos, ya que es capaz de relacionar e interpretar la información
32
que le llega del exterior y adaptarla a su marco de referencia intelectual, construyendo
así su propio conocimiento
Cuando los esquemas son aplicados a situaciones idénticas, lo único que el
sujeto tiene que hacer es repetir el esquema y de este modo la acción se automatiza, lo
importante es que los esquemas se pueden aplicar a situaciones diferentes.
Los niños de cuarto grado de primaría se encuentran en la etapa de las
operaciones concretas. En esta etapa el niño alcanza formas de organización de su
conducta muy superior a la que le antecede. El tipo de organización que el niño logra en
esta etapa le permite entender mejor las transformaciones. Para llegar a comprender la
realidad es necesario que el niño construya representaciones adecuadas de ella,
alejándose de los datos que recibe a través de la percepción. La organización mental
que el niño ha alcanzado en este periodo de desarrollo son las clasificaciones,
seriaciones y la noción de número.
El niño, a partir de las experiencias que va teniendo con los objetos de la
realidad, construye progresivamente su conocimiento por lo que es importante tomar en
cuenta que la relación sujeto-objeto es fundamental ya que el niño desde muy pequeño
y en forma gradual va construyendo su conocimiento al interactuar con el mundo que lo
rodea y puede considerarse el conocimiento bajo tres dimensiones (Piaget, 1995):
o El físico que resulta de la construcción cognoscitiva de las características de los
objetos; tamaño, color, forma, estructura.
o El conocimiento social que es producto de la información recibida en la interacción
del sujeto con el mundo que le rodea, el que le permite saber el nombre
convencional que se le ha asignado a cada cosa según el contexto.
o El conocimiento lógico-matemático que no está dado con exclusividad directa por
los objetos sino por la relación mental que el sujeto establece entre ellos y las
situaciones.
33
Por lo tanto, el niño comienza a ser capaz de manejar las operaciones lógicas
esenciales, pero siempre que los elementos con los que se realicen sean referentes
concretos, no símbolos de segundo orden, entidades abstractas como las algebraicas,
carentes de una secuencia directa con el objeto (Delval, 1994). Solo el conocimiento
operativo permite comprender las transformaciones de forma, sin que pueda reducirse
al conocimiento figurativo. Éste puede servir de apoyo a la comprensión, es decir, si el
niño interactúa con objetos concretos, le ayudará a razonar y comprender el
conocimiento que se le presente a diferencia de presentarle únicamente el conocimiento
simbólicamente.
La práctica docente, por parte de algunos maestros en el proceso de enseñanza
aprendizaje no toma en cuenta estos aspectos y obliga al niño a repetir y mecanizar
números pensando que son conceptos que el alumno debe aprender únicamente en la
escuela.
Es un grave error pensar que el niño adquiere la noción de número y otros
conceptos matemáticos exclusivamente en la escuela, ya que en la vida cotidiana el
niño se enfrenta a situaciones reales donde en forma espontánea adquiere experiencias
que le hacen reflexionar y apropiarse de conceptos matemáticos atravesando por un
proceso de construcción del conocimiento, similar al proceso histórico de las
matemáticas, las cuales a pesar de ser abstractas, tienen su origen en lo concreto.
El niño para que pueda construir el concepto de número debe construir como
prerrequisito, relaciones lógicas, correspondencia uno a uno, seriación, clasificación,
conservación de cantidad. Por tal motivo tratar de imponer el aprendizaje de conceptos
matemáticos al niño antes de tiempo es un error, esto sólo lleva a la memorización y
mecanización de los mismos, pues el verdadero aprendizaje se propicia únicamente
con el desarrollo mental, el cual obedece a la construcción del conocimiento.
34
1.3 PROCESO DE APRENDIZAJE EN LOS NIÑOS. Dentro de la postura constructuvista se rechaza la concepción del alumno como un
mero receptor o reproductor de los saberes. Sino más bien, el alumno es el que
construye su conocimiento y su proceso de aprendizaje. Él es quien construye los
saberes, convirtiéndose en un sujeto activo que manipula, explora, descubre, o inventa.
En la escuela se puede observar esto, dado que los niños aprenden en la práctica de
forma intuitiva o en situaciones que se les presentan dentro del aula, lo interpretan, lo
estructuran y lo asimilan formando su conocimiento.
La psicología genética en la educación está centrada en los métodos activos basados
en el alumno; señala que el alumno tiene un lugar protagónico y central en las
actividades; la tarea docente estaría, hasta cierto punto, subordinada al diseño de ese
contexto constituido por situaciones y experiencias. La presente propuesta está
enfocada a que el alumno desarrolle y adquiera habilidades relacionadas con el
concepto de la multiplicación y en la resolución de problemas donde esta presente esta
operación y no solo la habilidad de memorizar y mecanizar los procesos de la
multiplicación. Esto no quiere decir, que no funcione la memorización y mecanización,
sino más bien que el alumno entienda cómo se realiza éste, comprenda, reflexione,
sobre el concepto de la multiplicación.
Bajo este paradigma enseñar es plantear problemas a partir de los cuales sea posible
reelaborar los contenidos escolares y es también proveer toda la información necesaria
para que los alumnos puedan avanzar en la reconstrucción de esos contenidos.
Enseñar es promover la discusión
Es brindar la oportunidad de coordinar diferentes puntos de vista.
Es orientar hacia la resolución cooperativa de las situaciones problemáticas
Es propiciar redefiniciones sucesivas hasta alcanzar el conocimiento.
El niño actualmente debe implicarse en la construcción de su propio conocimiento, que
se generará como consecuencia del procesamiento de la nueva información a partir de
otros conocimientos anteriores, y deja de ser un mero receptor pasivo de la información,
convirtiéndose en un sujeto constructor de su conocimiento.
35
La función del docente es engarzar los procesos de construcción del alumno con el
saber colectivo. Es decir, el maestro no solo se limita a crear condiciones óptimas para
que el alumno despliegue su actividad, sino que deba orientar y guiar explicativamente
y deliberadamente dicha actividad.
C. Coll (citado por Fernández, Lopis y Pablo 1999), pues explica que la concepción
constructivista se caracteriza por situar la actividad mental constructiva del alumno en
base a los procesos de desarrollo personal que trata de promover la educación. Esto
mediante una serie de aprendizajes significativos, el alumno construye, modifica,
diversifica y coordina sus esquemas de conocimiento, estableciendo de este modo
redes de significados que enriquecen sus conocimientos.
Díaz Barriga y Hernández (2002), explican que el Aprendizaje Significativo es aquel que
conduce a la creación de estructuras de conocimiento mediante la relación sustantiva
entre la nueva información y las ideas previas de los alumnos.
Las estructuras están integradas por esquemas de conocimiento, son abstracciones
que los individuos hacen a partir de objetos, hechos y conceptos y de su interacción que
se realicen entre estos. Más aún, los esquemas no solo son una asimilación de la nueva
información, sino que implican una modificación, reestructuración de las nuevas
relaciones y conexiones que aseguren el significado de lo aprendido.
El aprendizaje significativo es aquel en el que la nueva información (conocimiento) se
relaciona de manera sustantiva, es decir, no arbitraria, no al pie de la letra, con los
conocimientos que el alumno ya tiene, produciéndose una transformación de los propios
conocimientos que ya tenía con los nuevos. El aprendizaje, desde esta concepción,
debe ser una actividad significativa para la persona que aprende y dicha significatividad
está directamente relacionada con la existencia de relaciones lógicas entre el
conocimiento nuevo y el que ya posee el alumno y lo que trata la propuesta es esto,
que el alumno pueda utilizar lo que aprendió en una situación problemática o
simplemente en situaciones donde pueda aplicar este aprendizaje.
Ausube citado por Díaz Barriga y Hernández, (2002), considera que deben existir tres
condiciones fundamentales para que exista el aprendizaje significativo:
36
a) El sujeto debe manifestar una actitud y disposición ante el material nuevo que se
va a aprender, las cuales están en relación directa con el interés y la motivación
que el alumno presente ante la experiencia de aprendizaje.
b) La relación substancial y no arbitraría con la estructura cognoscitiva está en
función de la intencionalidad del aprendizaje, la cual se presenta en dos sentidos.
1. Como captación y asimilación de las ideas esenciales y de las
expresiones simbólicas del material nuevo, en lugar de la retención de
información textual y al pie de la letra, como sucede en el aprendizaje
mecánico o memorístico.
2. Como asociación del material que se va a aprender con la estructura
cognoscitiva del aprendiz.
c) Los conocimientos que ya existen en la estructura cognoscitiva, están
representados por los conceptos que ha adquirido el alumno en sus experiencias
previas de aprendizaje. Algunos de estos estarán relacionados con el material
nuevo, por lo tanto, cumplirán la función de integrar dicho material con los
elementos de conocimientos existentes en la estructura cognoscitiva del niño.
Estas tres condiciones, tienen como punto central que el aprendizaje significativo es un
proceso que depende en forma principal de las ideas relevantes que ya posee el sujeto,
y se produce a través de la interacción con la nueva información. El resultado de esta
interacción será una asimilación ente los viejos y nuevos significados para formar un
nuevo conocimiento.
Ausubel (citado por Tovar 2001) proporciona una definición de aprendizaje significativo.
Explica que ocurre cuando la información nueva, por aprender, se relaciona con la
información previa, ya existente en la estructura cognitiva del alumno, de forma no
arbitraria ni al pie de la letra; para llevarla a cabo debe existir una disposición por parte
del alumno, así como significación lógica en los contenidos o materiales de aprendizaje.
Ausubel considera que el aprendizaje y la enseñanza deben basarse sobre todo en la
práctica secuenciada y en la repetición de elementos divididos en pequeñas partes,
aprender es sinónimo de comprender.
37
El en marco del aprendizaje significativo, se definen al aprendizaje y la enseñanza
como (Villalobos 2002):
Enseñanza: Es una serie de actividades intencionales y planificadas que
se llevan a cabo con el objetivo de lograr el aprendizaje significativo
Aprendizaje: Es la adquisición conciente y pensada de los rasgos
característicos que configuran una realidad sociocultural.
El aprendizaje significativo se da cuando el nuevo conocimiento puede incorporarse a
las estructuras de conocimiento que posee la persona. Es decir, cuando el nuevo
material adquiere significado para el educando a partir de su relación con conocimientos
anteriores. Por lo que es necesario que el conocimiento que se adquiera tenga
significado.
El educando en la actualidad es el protagonista de su propio proceso de aprendizaje.
Cuando aprende se da cuenta de que es capaz de hacer cosas, de los cambios, de las
adquisiciones conceptuales y la generación de actitudes o el desarrollo de habilidades,
en los procedimientos, la actividad física o mental que realiza mientras está
aprendiendo. Aun más para lograr lo anterior es necesario que el niño tenga un interés
y una disposición ante el nuevo conocimiento, para relacionarlo con los conceptos que
ya existen en su estructura cognoscitiva del niño.
Cuando el educando conoce los procedimientos para procesar la información gracias al
nivel de relación que logra establecer, la nueva información también se relaciona con lo
que ya se sabe, de modo que la estructura del conocimiento se modifica, reestructura y
autorregula y el resultado es un aprendizaje significativo. Es decir, le significa al
educando, le estigmatiza, le deja marcado, le cobra relevancia lo aprendido para la vida.
Sin embargo, hay actividades escolares en las que el alumno recibe una información
que sólo puede relacionar de manera memorística con sus conocimientos previos, como
puede ser el caso de aprender las tablas de multiplicar y después aplicarlas a la
resolución de problemas donde está implicada la multiplicación. De ahí que los
conocimientos previos que tenga el niño serán fundamentales para que construya su
conocimiento.
38
Pero también Ausubel (citado por Tovar 2001) explica que el aprendizaje significativo,
se presenta o conecta con el conocimiento previo de los alumnos. De ahí, los
organizadores previos como materiales introductorios, genéricos e incluyentes del
aprendizaje a ser desarrollado, sirven de puente, entre lo que el alumno ya conoce y lo
que él necesita conocer, antes de que él pueda aprender significativamente la tarea
propuesta.
Para Ausubel citado por Díaz Barriga y Hernández (2002), hay varios tipos de
aprendizaje de acuerdo a dos criterios:
Respecto a la formación de conceptos.
Por repetición Significativo
En este tipo de aprendizaje la mayoría de las nociones adquiridas por el alumno, tanto
dentro como fuera del aula, no las descubre por sí mismo sino que le son dadas.
Respecto a la resolución de problemas.
Verbal No verbal
La mayor parte del aprendizaje se presenta de forma verbal. Puede haber también
aprendizaje por recepción no verbal, que no es necesariamente mecánico.
Ausubel (citado por Castro, 1996) hace especial hincapié en el aprendizaje significativo,
y se puede decir que es el motivo central de su obra. En esencia, se trata de relacionar
las ideas expresadas simbólicamente con lo que el alumno ya sabe, es decir, con algún
aspecto esencial de su estructura de conocimiento. Es importante señalar que bajo este
aprendizaje, también existen tres tipos distintos de aprendizaje significativo: De
representaciones; de proposiciones; de conceptos.
El aprendizaje significativo de representaciones consiste en captar el significado de los
símbolos, generalmente palabras, y entender lo que representan. Así, el aprendizaje de
las operaciones se realiza mediante el empleo de un tipo especial de representaciones
llamadas “modelos”. Por ejemplo. Una representación de la multiplicación se hace
39
mediante el modelo cardinal que emplea el diagrama de conjuntos. Por ejemplo, 2 x 3 =
6 se representa mediante el “modelo”
Mientras que en el aprendizaje de proposiciones se trata de captar el significado de
nuevas ideas, expresadas en forma proposicional, se realizan distintas
representaciones de una misma operación de modo significativo por parte del alumno.
El cúmulo de información que aportan se sintetizó en un hecho numérico: 3 por 2 igual a
6. Este aprendizaje significativo sirve para lograr el dominio de los números y sus
operaciones.
El aprendizaje de conceptos desde el punto de vista del aprendizaje significativo
también se da al estudiar las operaciones. Se considera que un niño ha logrado el
concepto de la multiplicación cuando sabe conocer y utilizar dicha operación en los
diferentes contextos numéricos en los que se presenta. Es posible que este sea un
elemento que no ha integrado el docente a su práctica, es decir, no se le da a entender
cuándo, dónde y por qué va a emplear la multiplicación. Y algunas veces los profesores
solamente pedimos que realicen las cuentas de multiplicar repetitivamente, sin que
haya razonamiento profundo de este.
Es por ello, que es de gran relevancia enseñar la multiplicación desde el punto de vista
del aprendizaje significativo, consiste en la asimilación de nueva información, en el
proceso de modificar la información recientemente adquirida y la estructura
preexistente.
En el ámbito educativo el aprendizaje significativo es aquel que tiene sentido para el
individuo y puede transferir a situaciones similares, esto implica la transformación de
nociones y conceptos a partir de experiencias, intereses, habilidades y actitudes, que
dentro de mi propuesta nos enfocaremos a fomentar ciertas habilidades en el concepto
de la multiplicación aplicado a la resolución de problemas.
Dentro del aprendizaje significativo se pueden observar tres tipos de contenidos como
lo explican Díaz Barriga y Hernández (2002): Declarativo (el saber); procedimental
(saber hacer); y actitudinal-valoral (el saber ser). El primero son los contenidos
X = 6
40
conceptuales, es decir los datos, hechos, sucesos, fórmulas, clasificaciones, etc.; el
segundo son los contenidos procedimentales, es decir, las estrategias, habilidades,
destrezas, metas, procedimientos, resolución de problemas y por último son los
contenidos actitudinales y se refieren a las normas, actitudes, valores y reglamentos. En
el caso de la propuesta utilizare los dos primeros tipos de contenido ya que son
fundamentales para la comprensión de la multiplicación.
Podríamos decir que el aprendizaje de conceptos aplicado a la propuesta está enfocado
a que el alumno comprenda el concepto de la multiplicación, teniendo en cuenta que
tiene conocimientos previos y que serán fundamentales para la construcción de su
nuevo conocimiento.
Y por otro lado, el saber procedimental se observará en la propuesta, por medio de la
aplicación de los procedimientos en el uso del concepto de la multiplicación en la
resolución de problemas y en las actividades que se realicen en la propuesta, por medio
de la ejercitación.
1.4. NOCIÓN DEL MAESTRO BAJO EL PARADIGMA CONSTRUCTIVISTA El maestro debe encaminar sus esfuerzos hacia promover el desarrollo psicológico y la
autonomía de los educandos. El profesor debe asumir la tarea fundamental de
promover una atmósfera de reciprocidad, de respeto y autoconfianza para el alumno y
debe dar la oportunidad de que el aprendizaje autoestructurante de los educandos
pueda desplegarse sin tantos obstáculos. En pocas palabras crear las condiciones para
que se realicen adecuadamente todas las actividades educativas
Hernández y Sancho (1996) señalan que el docente debe ayudar al alumno a construir
su propio conocimiento, guiándolo para que sea una experiencia fructífera y no sólo le
transmita conocimientos ya elaborados; debe ser un promotor del desarrollo y de la
autonomía de los alumnos. Pudiera ser que esto no se de, pues el maestro deberá
incitar a la actividad haciéndose participe de cada unas de las actividades que se
realizan. Más aún debe ser un moderado, coordinador, facilitador, mediador.
Pero además debe conocer los intereses de los alumnos; las necesidades de cada uno
de ellos; todo esto para que el alumno construya su conocimiento.
41
El profesor debe evitar el uso arbitrario de las recompensas y el castigo y tendrá que
promover que el mismo alumno construya sus propios valores morales, y en caso muy
necesario utilizar lo que Piaget llamó sanciones por reciprocidad. Estas sanciones son
las que están directamente relacionadas con el acto acreedor de la sanción.
El papel que deberá tener el docente para que el proceso de enseñanza-aprendizaje
sea significativo, es que el alumno logre por lo menos observar, experimentar, se haga
preguntas y conjeture (proceso inductivo y construcción del conocimiento). Lograrlo
dependerá de las estrategias aplicadas por cada uno de los docentes, cuidando
siempre las necesidades y el contexto del alumno.
1.5. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE. En el ámbito pedagógico una estrategia es la selección y secuenciación de acciones
(actividades) de enseñanza y aprendizaje y su relación con un conjunto de recursos de
apoyo que son necesarios para cumplir los objetivos educativos.
Beltran (citado por Villalobos (2002) menciona que las estrategias son grandes
herramientas del pensamiento puestas en marcha por el estudiante cuando tiene que
comprender un texto, adquirir un conocimiento o resolver problemas.
De acuerdo con Saturnino (2000), una estrategia es la organización secuenciada de la
acción como procedimiento adaptativo, por el que organizamos secuenciadamente la
acción en orden a conseguir las metas previstas. Sin embargo, aunque apuntan a una
finalidad, no siempre se desarrollan a un nivel consciente o deliberado.
Díaz Barriga (2002), menciona que las estrategias de aprendizaje son procedimientos
(conjuntos de pasos, operaciones o habilidades) que un aprendiz emplea en forma
consciente, controlada e intencional como instrumentos flexibles para aprender
significativamente y solucionar problemas.
Fainholc (1998), denomina estrategias de aprendizaje a aquellos procedimientos,
procesos, mecanismos y estrategias que el aprendiz aplica, consciente o inconsciente,
al mejoramiento de su proceso de enseñanza-aprendizaje. Estas estrategias influyen en
el procesamiento, almacenamiento, recuperación y aplicación de conocimientos y
destrezas en un sentido amplio.
42
Pero también pueden ser entendidas las estrategias de aprendizaje como los procesos
que sirven de base a la realización de las tareas intelectuales. Las estrategias
representan habilidades de un orden más elevado que controlan y regulan las
habilidades más específicas referidas a las tareas o más prácticas. Pero además una
estrategia de aprendizaje está encaminada a regular el trabajo académico y a producir
un desempeño exitoso del estudiante. Por lo que se puede percibir, las estrategias de
aprendizaje son hechas por el aprendiz (alumno), siempre que le requiera aprender,
recordar o solucionar problemas sobre algún contenido de aprendizaje.
Para lograr un mejor aprendizaje de los conocimientos es importante lograr desarrollar y
ejecutar una serie de estrategias didácticas que permitan y coadyuven a la construcción
de los conocimientos de los alumnos.
Ahora bien, González (2003), señala que las estrategias de aprendizaje se entienden
como un conjunto interrelacionado de funciones y recursos, capaces de generar
esquemas de acción que hacen posible que el alumno se enfrente de una manera más
eficaz a situaciones generales y especificas de su aprendizaje; que le permiten
incorporar y organizar selectivamente la nueva información para solucionar problemas
de diverso orden. Podemos decir que son entendidas como secuencias integradas de
procedimientos o actividades que se eligen con el propósito de facilitar la adquisición,
almacenamiento y la utilización de la información.
Las estrategias aplicadas a la propuesta “Aprendiendo y jugando con la multiplicación”,
tienen la intención de recuperar primeramente conocimientos previos, que les permitan
dar soluciones a los problemas que se les presentan y que a través de esto el alumno
desarrolle competencias que le permitan enfrentar los problemas que en la vida tendrá
que afrontar.
Si bien las estrategias presentadas en la propuesta tienen la finalidad de coadyuvar en
la enseñanza- aprendizaje de la multiplicación por medio de la computadora, no quiere
decir, que por el sólo hecho de utilizar la computadora la práctica educativa mejorará.
43
2. MANUAL DE SUGERENCIAS DIDÁCTICAS.
El siguiente manual tiene la finalidad de apoyar al docente en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de sus alumnos, con el apoyo de este manual podemos lograr un mejor
resultado si se siguen las indicaciones de cómo utilizarlo, además de las estrategias
didácticas que se mencionan en éste.
Se pretende que la propuesta computacional “Aprendiendo y jugando con la
multiplicación”, permita al alumno comprender el concepto de la multiplicación y su
aplicación en el entorno que lo rodea. Una de las ventajas de enseñar a través de la
computadora es que se provoca una mayor actividad por parte del estudiante
procurando con ello tratar de ayudar en su instrucción. Considero que uno de los restos
más importantes es que la propuesta logre dotar de herramientas a los alumnos que les
permitan transformar la información que están recibiendo en conocimiento y que a su
vez, les sea significativo para su vida, es decir, que le sea relevante, con sentido y que
vaya relacionado con la vida y el desarrollo personal del niño.
Actividades previas a la utilización del interactivo.
El docente deberá trabajar con los alumnos los conocimientos previos, es decir, para
entrar al tema de la multiplicación el alumno debe dominar la suma, así como
desarrollar actividades en donde los niños pongan en práctica los saberes previos que
ya tienen, para enfrentar y resolver los problemas que se les plantean.
La sugerencia es que se desarrollen actividades donde se vea en un primer momento la
suma, para posteriormente entrar a la multiplicación, con la finalidad de que el alumno
desarrolle este algoritmo y posteriormente entrar de lleno al tema central. El empleo de
objetos, dedos, palitos, etc., puede constituir un buen apoyo para la introducción del
tema. Posteriormente, a medida que se capta el significado y se consigue una fluidez en
El niño necesita que se le den ideas que lo motive, que lo muevan a hacer cosas. Ideas que, por así decirlo, le hagan cosquillas en las manos y remolinos de imágenes en la cabeza. CIRCO, MAROMA Y BRINCO (CONAFE).
44
la realización mecánica de la operación, dejan de utilizarse los objetos y se van
sustituyendo por signos representativos, hasta llegar al cálculo mental.
Antes de iniciar el interactivo (propuesta) es necesario que realicen actividades previas,
ya que estas tienen la finalidad de preparar y alertar al alumno de qué y cómo va a
aprender el concepto de la multiplicación. Esencialmente se trata de observar a través
de los ejercicios y actividades qué conocimientos previos tienen los alumnos.
La propuesta computacional “Aprendiendo y jugando con la multiplicación” permitirá al
alumno interactuar y analizar los problemas que se le presenten de una manera
simbólica y gráfica, de tal forma que el alumno tenga elementos para resolver el
problema, a diferencia de la enseñanza convencional que es más informativa que
formativa, ya que el niño aprende mecánicamente utilizando procedimientos y para
algunos no es significativo para su vida cotidiana. En este caso, de las operaciones
aritméticas como las multiplicaciones, el alumno memoriza las tablas del 1 al 9, lo cual
le lleva mucho tiempo, y no lo dejamos reflexionar porqué 3 x 4 son 12. Más aún,
algunas veces el niño al aprender la multiplicación no encuentra ningún sentido o
interés para utilizarla, sin darse cuenta que en la vida cotidiana las utiliza en gran parte
de sus actividades, la propuesta intenta atraer la atención, por medio de juegos,
problemas que tienen la finalidad de que el alumno arrastre objetos, o simplemente
observe y analice los problemas para darles solución.
Se recomienda que el profesor realice en el salón de clases actividades de cálculo
mental. Las estrategias que utilice el docente dependen de las habilidades con las que
se cuente para transformar los datos y las operaciones de la situación planteada.
Este manual tiene como finalidad guiar al docente en la aplicación de la propuesta;
primero que nada es necesario explicar que para iniciar el programa es importante
considerar las siguientes recomendaciones. No se puede aplicar la propuesta en un
grupo determinado sin antes ser evaluado o trabajado por el docente.
45
Características básicas del equipo de cómputo, para operar la propuesta. Mediante la computadora y el software que sustenta la propuesta se pretender que el
alumno acceda a manipular, analizar y comprender la información para el aprendizaje
de la multiplicación.
El software interactivo pretende constituirse como un material de apoyo en el proceso
de enseñanza y aprendizaje de la multiplicación. Cabe señalar que nunca se sustituirá
la labor del docente porque la propuesta es una herramienta que se puede utilizar en el
proceso educativo. Esta herramienta es sólo un medio para despertar el interés,
mantener la motivación y la participación activa en el proceso de enseñanza-
aprendizaje.
A continuación se presentan las características del equipo de cómputo.
‐ Un procesador de 486 a 6 Mhz o superior.
‐ Sistema Operativo 95 ó superior.
‐ Unidad lectora de Disco CD ROM
‐ Ratón.
‐ Bocinas
‐ El monitor deberá estar configurado:
1. Colores: Color de alta densidad (16) bits.
2. Área de pantalla 800 x 600 pixeles.
En inicio se va iniciar dado la presentación del trabajo, se le tiene que dar un clic para
continuar. Aparece el menú el cual está dividido en tres submenús: Aprendiendo a
multiplicar, Jugando multiplicando y Problemas usando la multiplicación.
46
ACTIVIDADES DE LA PROPUESTA. Inicio. Apw. Se inicia el interactivo con la presentación de la propuesta que tiene como finalidad que el alumno conozca el titulo de la propuesta.
Dentro de esta rutina Inicio apw.; se da entrada para que el alumno pueda elegir o salir del programa.
El alumno tiene dos opciones al dar clic en salir, el programa está programado para salir del interactivo. Pero si el niño da clic en el de entrar automáticamente le da la bienvenida a Entrada. apw.
47
En esta rutina el alumno(a) deberá escribir su nombre, para posteriormente dar un enter para que el interactivo se dirija al menú. El propósito de que el alumno escriba su nombre es para que se sienta especial, además para el docente servirá en ciertas actividades para llevar un registro de lo que realice el alumno.
48
Menu. Apw. Objetivo: El alumno observará las partes en las que esta constituido el interactivo a fin de facilitar la navegación del mismo, para esto deberá dar clic a una opción y así poder ingresar a la opción que eligió. Descripción: En la pantalla se muestran las tres opciones del programa, el usuario deberá ubicar el cursor sobre el dibujo y dar clic para poder acceder a la opción que le agrade. Sugerencias: Es importante que el docente le enseñe al alumno como poderse mover en el menú, ya que esto permitirá lograr un mejor aprovechamiento del interactivo.
El menú está integrado en tres partes básicas. La primera parte se denomina Aprendiendo a multiplicar; la segunda Jugando multiplicando; y por último Problemas usando la multiplicación. El alumno tendrá oportunidad de elegir cualquiera de estas opciones. La intención es que el alumno se dé cuenta de las diferentes formas que se le presentan para aprender la multiplicación. Los materiales presentados así como sus contenidos pretenden estimular el proceso de enseñanza-aprendizaje.
49
Subm1. apw. Al darle clic en “Aprendiendo a multiplicar”, el interactivo se dirigirá a un submenú el cual tiene dos opciones solamente; la primera se refiere a la seriación y la segunda se llama tablas de multiplicar.
La actividad de seriación tiene la intención de que el alumno busque e identifique los números que conoce mediante la actividad de seriación, esto implica identificar y analizar la relación que mantienen los números para saber cuales faltan o complementar la serie. Además esto ayudará a que el alumno vaya entendiendo la construcción de las seriaciones.
SERI7.APW
50
Descripción: El alumno tendrá que construir las seriaciones; es importante señalar que las rutinas tienen la intención de ir de menos a más en la construcción de la seriación. El niño puede manipular y poner a prueba sus conocimientos previos y así poder resolver la seriación. Se le presentará otra actividad que será la construcción de series numéricas por ejemplo (Contar de 3 en 3 o 6 en 6) hasta llegar al resultado, donde la intención es que el alumno analice cuál de las posibles respuestas es la correcta. Sugerencias didácticas: Que los alumnos realicen una serie antes de iniciar la rutina, es importante que no sea larga y que implique ordenar los números y compararlos e identificar la secuencia que lleva, entre otros. Efectuar ejercicios de secuencias numéricas en el cuaderno, utilizando objetos, colores, figuras geométricas con material concreto y gráfico. Para posteriormente llevarlos a la propuesta permitiéndoles ejercitarlo.
SER6.APW
51
También se presenta otra actividad denominada “Las tablas de multiplicar” y tiene la intención de que el alumno comprenda y desarrolle la comprensión de las tablas de una manera que él o ella pueda manipular, clasificar; posteriormente se le presentará una actividad donde realice una serie de multiplicaciones que en la pantalla observará, permitiendo que tenga una mejor comprensión del número y el algoritmo. Mult6. apw. Y Mult7 y así sucesivamente. Descripción: La intención de esta rutina es que el alumno tenga un mejor aprendizaje de las tablas de multiplicar, si bien es cierto, que la memorización de las tablas ha sido fundamental, ahora también ha sido un lugar de enfrentamiento o de oposiciones dado a que el alumno no comprende sino sólo memoriza. Sin embargo, aprender las tablas es importante para que los alumnos puedan resolver los problemas. Y no debe ser visto como hay que enseñar las tablas de memoria, porque es un aprendizaje mecánico y sin sentido, por el contrario, en las rutinas se buscará que el alumno interactúe, así como desarrollar el concepto de multiplicación. Sugerencias didácticas: Antes de iniciar esta rutina se sugiere al docente que realice en el cuaderno ejercicios donde se apliquen las tablas de multiplicar con un digito, para posteriormente reforzarlo con esta actividad.
52
Subm2. apw. Como sabemos los juegos forman parte de la vida de todas las personas, y en el caso de los niños, es un componente fundamental en su desarrollo. Es por ello que el programa “Aprendiendo y jugando con la multiplicación” tiene la intención de que el alumno comprenda la multiplicación a través del juego. Se ha tomado en cuenta el juego ya que se ha convertido en una herramienta de aprendizaje porque permite a los niños, abordar la multiplicación de una manera diferente y divertida, procurando llamar la atención e interés por parte del alumno. Ahí se desarrollan tres juegos donde se ve la multiplicación y que fueron adaptados con el prepósito que el alumno se divierta. El primero de ellos es el domino, el segundo el cálculo mental y por último el memorama.
53
Domino. Apw.
El domino tiene el propósito de que el alumno construya por medio de las fichas las tablas de multiplicar. Se sugiere que se trabaje con este juego, estableciendo una serie de fichas hechas de papel y así poder manipular y con ello construir el concepto de multiplicación.
54
CALCULO MENTAL El cálculo mental, se caracteriza por el uso exclusivo de procesos mentales, no utiliza lápiz ni papel, ni se apoya en otros dispositivos como la calculadora. Este cálculo puede ser exacto o estimado, pero las actividades incluidas aquí se refieren solamente al cálculo exacto. La enseñanza del cálculo mental no debe centrarse en la rapidez con la que se ejecuta, sino en mejorar la comprensión de la multiplicación. Descripción: Esta actividad consiste en que el alumno desarrolle un conjunto de cálculos sencillos para posteriormente realizar otros más complejos. Por ejemplo, es necesario saber que 6 x 7 = 42. Teniendo en consideración que la disponibilidad en memoria de ciertas relaciones numéricas es un recurso útil para los niños. Pero esto no significa que la memorización sea el punto de partida de la enseñanza de las estrategias del cálculo, ni tampoco que el trabajo de memorización sea realizado como una actividad puramente mecánica. Para que el alumno adquiera un cierto dominio en el cálculo mental precisa contar con un nivel cognitivo suficiente a la vez que ha tenido que asimilar e interiorizar la comprensión y mecanización de la multiplicación. Sugerencias didácticas: Antes de entrar a interactuar con esta actividad, es importante realizar en el aula actividades que tengan como objetivo la realización de cálculos multiplicativos. Se sugiere que el docente al azar realice preguntas donde esté implicado el cálculo multiplicativo.
55
Subm3. apw.
Este subm3 tiene la intención de desarrollar en el alumno habilidades de cálculo mental mediante el planteamiento de situaciones problemáticas que generalmente se utilizan en la vida cotidiana. En este caso la proporcionalidad como significado del concepto de multiplicación de números naturales. En la resolución de problemas, la interacción de alumnos juega un papel muy importante, ya que cada uno de los participantes aporta sus ideas o estrategias de solución, discute y analiza los diferentes puntos de vista hasta encontrar los resultados con ello se enriquecen los conocimientos, se obtienen mejores resultados y se avanza significativamente. Se desarrollarán actividades que implican la elaboración de tablas de variación proporcional, donde se manejan dos magnitudes que varían ejemplo:
56
Propo1. apw. Proponemos estas rutinas ya que por lo general, en los libros de texto, los problemas de multiplicación pertenecen a este tipo de problema, aun cuando no suelen considerarse como problemas de proporcionalidad. La mayoría de los problemas que los alumnos resuelven en la escuela y en la vida cotidiana pertenecen a este tipo de problemas. El objetivo no es que el alumno reconozca las propiedades de la proporcionalidad, pero sí que empiece a utilizarlas intuitivamente para resolver problemas como éstos. En estas actividades las situaciones en las que interviene la multiplicación aparecen dos conjuntos, claramente definidos, y una relación constante (cajas y manzanas, bollos y pesos, autobuses, pasajeros). Cuando el niño realiza esta actividad debe saber el significado de lo que hace; de este modo su ejecución adquiere un sentido para él.
Propo0.apw.
57
Todas las actividades contenidas en el interactivo tienen la intención de ayudar al
alumno en su aprendizaje y al maestro desde el punto de vista de proporcionarle esta
herramienta, que le permita interactuar conjuntamente con el alumno. Son actividades
que pueden impulsar y ayudar al alumno, pues la finalidad es dotar al alumno de
recursos que le ayuden a comprender la multiplicación y que permita un mejoramiento
en su comprensión y aplicación en los problemas que enfrenta en su vida cotidiana.
Sólo resta agradecer el entusiasmo, apoyo y orientación de mis profesores para la
creación y conclusión de éste material. Así también agradecer a todas las personas que
estuvieron a lo largo de este proceso.
58
3. PROTOCOLO DE INVESTIGACIÓN.
La propuesta es una alternativa que pretende coadyuvar en el proceso enseñanza-
aprendizaje, para que en alumno de cuarto grado de primaria comprenda el concepto
de multiplicación y lo aplique a su vida cotidiana, por lo que es necesario averiguar si la
propuesta cumple con los objetivos planteados.
Una vez de haber realizado la propuesta “Aprendiendo y jugando con la multiplicación”,
se quiere llevar acabo una investigación de tipo experimental y comparativo con la
finalidad de verificar si la propuesta cumple con el objetivo que es que el alumno
comprenda y entienda el concepto de la multiplicación, y que lo utilice en su entorno.
Para esto a continuación se presentan los elementos del Protocolo de investigación.
Siempre que se elabora un material, es necesario establecer un protocolo de la
investigación pertinente que permita llevar a cabo su estudio.
3. 1. Objetivos de la investigación Averiguar si la propuesta “Aprendiendo y jugando con la multiplicación” favorece la
comprensión del concepto de la multiplicación en alumnos de cuarto grado de primaria,
en comparación con el método convencional.
3.2. Preguntas de investigación: ¿Las actividades que se desarrollan en la propuesta contribuyen significativamente a
comprender y a fortalecer el aprendizaje de la multiplicación en los niños de cuarto
grado, en comparación con el método convencional?
3.3. Hipótesis de la investigación: Averiguar si con la aplicación de la propuesta, el alumno de cuarto grado desarrolla y
comprende mejor el concepto de la multiplicación, en comparación con el modo
convencional utilizado en el aula.
59
3.4. Variables de la investigación: Una variable es una propiedad que puede variar y cuya variación es susceptible de
medirse u observarse. La variable se aplica a un grupo de personas u objetos, los
cuales adquieren diversos valores o manifestaciones respecto a la variable. A
continuación se presentan las variables que se utilizaran para la propuesta.
-Construyen sin problemas los problemas que se le presentan en la propuesta.
-El grado de desarrollo de los alumnos al construir las actividades.
-Consolida la comprensión el concepto de la multiplicación y su aplicación en la
resolución de problemas.
-Nivel de logro de respuestas correctas e incorrectas antes de después de la propuesta.
-Existe durante las actividades interés del alumno.
-El tiempo que tardan para construir problemas de multiplicación.
3.5. Indicadores de la investigación:
-Se analizara por medio del acierto y error.
-Se analizara por medio de tiempo utilizado.
3.6. Tipo de investigación Para constatar esta hipótesis con la realidad, es necesario en primera instancia
escoger el tipo de investigación, por lo que vaya de acuerdo
El tipo de estudio que se utilizara será el experimental y comparativo. Para efectuar una
investigación adecuada y considerando que esta propuesta persigue la comprensión del
concepto de la multiplicación en los alumnos de cuarto grado de educación básica, es
necesario utilizar cuestionarios y guías de observación que serán fundamentales para
esta investigación y su interpretación.
Experimental: Se pretende verificar si la propuesta que se realizo para niños de cuarto grado de
educación primaria es pertinente o mejor que la forma convencional de enseñar el
concepto de multiplicación en la resolución de problemas.
60
Comparativo: Esta se realizara confrontando dos grupos, una es el grupo de control y el otro el grupo
experimental
Definición de la población de la investigación. Se pretende que esta investigación sea aplicada a cualquier población escolar de
cuarto grado de primaria, ya que esto no deberá ser una limitante para el estudio.
3.7 Tipo de muestra. La población con la que se trabajara se refiere a los niños y niñas de cuarto grado de
educación primaria, que tienen edades que oscilan entre 9 a 10 años.
3.8. Análisis de Datos. Se considerara para el análisis de datos la Prueba de t de student, con muestras
independientes, donde existen dos grupos de personas que han sido seleccionadas en
forma independiente. Según Sampieri (1998), la diferencia es significativa entre dos
grupos cuando t es mayor a 1.96. Cuando es menor a 1.96 la diferencia no es
significativa.
Para realizar el análisis cuantitativo de los datos se utilizó el estadístico de prueba “t de
Student” que nos permite comparar los promedios obtenidos en las distintas mediciones
realizadas. Dicho estadístico se aplicó en las siguientes modalidades:
• Prueba t para grupos independientes en el pretest. Este análisis nos permite comparar los promedios obtenidos en los dos grupos (experimental y de comparación) antes de aplicar la propuesta para determinar su equivalencia numérica.
• Prueba t para grupos independientes en el postest. Se comparan los promedios
obtenidos en la evaluación final de los dos grupos después de aplicar la propuesta.
Prueba t para grupos relacionados. Aquí se analizan los promedios obtenidos en el pretest y en el postest en el grupo experimental.
• Prueba t para grupos relacionados. Aquí se analizan los promedios obtenidos en el
pretest y en el postest en el grupo comparación.
61
En este caso la formula utilizada será el estadístico de proporciones t, pretende hallar la
diferencia entre los grupos experimental y de contraste en el pre-test y pos-test de cada
uno de ellos, con el fin de analizar si hay o no diferencia significativa entre ambos.
t = X1 – X2
Sx2 + Sy
2
Nx Ny
Donde S= (n1 – 1)Sx
2 + (n2-1)Sy2
Nx + Ny -2 Donde: X1 = Media del primer grupo. X2 = Media del segundo grupo. Sx
2 = Varianza del primer grupo. Sy
2 = Varianza del segundo grupo.
Nx = Número de casos en el primer grupo. Ny = Número de casos en el segundo grupo. Prueba t para grupos independientes en el pretest
Con los puntajes obtenidos en la evaluación inicial se obtienen los siguientes datos:
Grupos Promedio Desviación Estándar
n
Propuesta
Convencional
Hipótesis estadísticas:
62
Ho: μ1 - μ2 ≤ 0 H1: μ1 - μ2 > 0 Estadístico de prueba: “t de Student” Regla de decisión. Con ∞ = .05, el valor encontrado en la tabla de distribución “t de student” con n1 + n2 – 2 = 50 grados de libertad es t(50) = 1.684. A partir de estos datos se definen las regiones de rechazo y no rechazo de Ho como sigue: No se rechaza Ho si tc � �– ∞, 1.684]
Se rechaza Ho si tc � [1.684, ∞⟩ Cálculos: El valor de tc calculado es: tc = 5.325 Interpretación: Como se rechazo Ho: μ1 - μ2 ≤ 0 con ∞= .05 hay evidencia para considerar con 95% de
confianza que las calificaciones obtenidas en el postest del grupo experimental son
mayores que las obtenidas en el pretest del mismo grupo.
63
ANEXO 1 Nombre de la escuela: __________________________________ Entidad: __________________________________ Nombre del alumno: __________________________________________________ Sexo________ Edad_________ Grado: _________ Grupo__________ Lee con atención y resuelve cada uno de los problemas que a continuación se te presentan: 1.- En el cumpleaños de María había cincuentas y siete bolsas de dulces, le dio 23 bolsas de dulces a Carmen. ¿Cuántas bolsas tiene María? 2.- ¿Cuánto dinero pago Paco por todos sus aviones, si compró 8 coches a veinticinco pesos cada uno? 3.- Ricardo tiene setenta y dos canicas. Juan tiene dos veces más canicas que Ricardo. ¿Cuántas canicas tiene Juan? 4.- Margarita fue a la papelería y compró 34 libretas a 12 pesos cada uno. ¿Cuánto dinero pagó por todas las libretas? 5.- Saúl tiene 17 lápices; Lupita tiene treinta y cuatro lápices más que Saúl. ¿Cuántos lápices tiene Lupita?
64
6.- En el restaurante hay 5 mesas para 6 personas. ¿Cuántas personas podrán sentarse? 7.- Cuando llegó el repartidor, Juan ayudó a bajar la mercancía. Bajó 24 cajas con 6 frascos de mayonesa en cada una. ¿Cuántas mayonesas hay en total? 8.- Manuel tiene dieciséis balones de fútbol Olga tiene 23 más. ¿Cuántos balones de fútbol más tiene Manuel que Olga? 9.- En el salón de clases, hay 12 filas de sillas. En cada filas hay 12 sillas. ¿Cuántas sillas tiene el salón?
10.-Ofrecen una enciclopedia de nueve tomo. Se puede pagar con 24 mensualidades
de 142 pesos cada una. ¿Cuánto costara la enciclopedia finalmente?
65
Guía de observación del anexo 1
Escuela ___________________________________________________ Nombre del alumno__________________________________________________ Sexo________ Edad_______ Grado: _______ Grupo________
Instrucciones: marca con una X de acuerdo a las conductas presentadas por el alumno.
Conducta Nunca Algunas veces Casi siempre Siempre
Identifica la operación a emplear en cada problema
Efectúa correctamente la multiplicación involucrada
Termina correctamente los 10 problemas
Utiliza la suma y llega al resultado
Utiliza la multiplicación e identifica errores y corrige
Pide ayuda al docente en la resolución del problema
Utiliza la multiplicación directamente llegando al resultado
No lo pudo resolver (no hizo el intento por resolverlo)
Valores 1 2 3 4
66
ANEXO 2 Nombre de la escuela: __________________________________ Entidad: __________________________________ Nombre del alumno: __________________________________________________ Sexo________ Edad_________ Grado: _________ Grupo__________
INSTRUCCIONES: Realiza las operaciones que se te presentan a continuación.
13 456 298 297 x 7 x 4 x 8 x 6 560 701 32 67 x 45 x 6 x 12 x 9 13 456 298 297 x 8 x 7 x 09 x 36
67
INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes problemas que a continuación se te presentan. 1.- Mario hace 8 canastas en un día ¿cuántas canastas realiza en 9 días? Lo sabrás si completas los siguientes cuadros. Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Canastas 8 16 24
2.- En una tienda hay 10 cajas con 18 galletas cada una ¿cuántas galletas hay en total? Anota la operación con la que puedes encontrar los resultados.
CAJAS GALLETAS
1 18
2
3
4
5
6
7
8
9
10
68
GLOSARIO.
Algoritmo: procedimiento que permite realizar una operación. Una preinscripción efectuada paso a paso para alcanzar un objetivo particular. Aritmética: Se define literalmente como el arte de contar: Del griego arithmétike: arithmos, que significa número y techné, arte o habilidad. Así, la aritmética se convierte en el arte o habilidad para utilizar, manejar o combinar los números. Cognición: Proceso activo e interactivo (un ir y venir entre el sujeto y el medio). Dialécticamente es un proceso que nunca acaba de construirse internamente y, también es un mecanismo de regulación que conecta a la persona con el ambiente, o sea el sujeto afecta al ambiente, pero, al mismo tiempo, el ambiente influye sobre la persona. Multiplicación: Es una operación binaria en que dados dos números llamados factores se les asocia por medio de una regla, un único elemento al cual se llama producto. Multiplicador: Es el número que indica las veces que se toma el multiplicando. Multiplicando: Es el número que se quiere multiplicar. Producto: Solución de una multiplicación. Valor posicional de los números: Comprende la noción de que cada cifra, según su posición, tiene un valor determinado, las cifras para expresar el número representan diferentes agrupamientos de los que derivan su valor.
69
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
AUSUBEL, David Paul y SULLIVAN, Edmund V. (1997) El desarrollo infantil, México. Editorial PAIDOS. AVILA, Alicia. (2006) Transformaciones y costumbres en la matemática escolar. PAIDOS, México. CASTRO MARTINEZ, Encarnación, RICO ROMERO, Luís y CASTRO MARTINEZ, Enrique (1996), Número y operaciones: Fundamentos para una aritmética escolar. SINTESIS, España. CONALTE (1993) Implicaciones educativas de seis teorías psicológicas, México, SEP. DELVAL, J. (1994) Desarrollo Humano, Editores, S.A. Madrid. DIAZ BARRIGA ARCEO, Frida y HERNÁNDEZ ROJAS, Gerardo (2002). Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Una interpretación constructivista. Ed. Mcgraw-Hill, México. FAINHOLC, Beatriz (1998). Nuevas tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza. AIQUE. Argentina. FERNANDEZ BAROJA, Fernanda; LLOPIS PARET, Ana María; y PABLO MARCO, Carmen (1999). Matemáticas básicas: Dificultades de aprendizaje y recuperación. Ed. AULA XXI, Santillana. España. GOMEZ GRANELL, Carmen (1981). “Procesos cognitivos en el aprendizaje de la multiplicación, en Infancia y aprendizaje, No. 15. (Pablo del Río Editor). Madrid. GONZALEZ ORNELAS, Virginia (2003). Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Ed. PAX. México. HERNANDEZ, Fernando y SANCHO, Juana María (1996). Para enseñar no basta con saber la asignatura. Ed. PAIDOS, México. HERNANDEZ SAMPIERI, Roberto. FERNÁNDEZ COLLADO, Carlos. BAPTISTA LUCIO, Pilar (1998). Metodología de la investigación. Mc Graw – Hill. México D.F, PIAGET.J. (1969), Biología y conocimiento, España, siglo XXI EDITORES. PIAGET.J. (1995), Seis estudios de psicología. Colombia, Editorial Labor. SATURNINO, T. (2000). Estrategias didácticas innovadoras. Octaedro. España. SEP (1993). Plan y programas de estudio. México, SEP.
70
TOVAR SANTANA, Alfonso (2001). El constructivismo en el proceso enseñanza-aprendizaje. IPN, México. VERGNAUD, Gerard (2000). El niño, las matemáticas y la realidad. Problemas de la enseñanza de las matemáticas en escuela primaria. Ed. Trillas, México. VILLALOBOS PEREZ-CORTES, Elvia Marveya (2002). Didáctica integrativa y el proceso de aprendizaje. Ed. Trillas. México.